282解直角三角形第3课时PPT课件
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解直角三角形PPT课件
2024/1/25
正切定理
在直角三角形中，锐角的正切值等于其对边比邻边，即 tanα = a/b。
6
02
勾股定理及其逆定 理
2024/1/25
7
勾股定理内容及证明
2024/1/25
勾股定理内容
在直角三角形中，直角边的平方 和等于斜边的平方。
勾股定理证明
可以通过相似三角形、面积法、 向量法等多种方法进行证明。
2024/1/25
正弦、余弦定理
已知任意两边和夹角，可以利用正弦定理$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$或余弦定理$c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos C$求出第三边和角度。
16
已知一边一角求其他元素
正弦、余弦函数
已知一条边和一个锐角，可以利用正弦或余弦函数求出另一条直角边和斜边。例如，已知直角边$a$和锐角$A$ ，则可以利用$sin A = frac{a}{c}$求出斜边$c$，再利用勾股定理求出另一条直角边$b$。
正切函数
正切（tangent）是一个 角的对边长度与邻边长度 的比值，即 tan(θ) = 对边 / 邻边。
12
特殊角度三角函数值
0°、30°、45°、60°、90°等特殊角 度的三角函数值，如 sin(30°) = 1/2 ，cos(45°) = √2/2，tan(60°) = √3 等。
特殊角度三角函数值的推导过程及其 在解题中的应用。
2024/1/25
13
三角函数图像与性质
正弦、余弦、正切函数的图像及其周期性、奇偶性、单调性等性质。 利用三角函数图像解决相关问题的思路和方法。
2024/1/25
正切定理
在直角三角形中，锐角的正切值等于其对边比邻边，即 tanα = a/b。
6
02
勾股定理及其逆定 理
2024/1/25
7
勾股定理内容及证明
2024/1/25
勾股定理内容
在直角三角形中，直角边的平方 和等于斜边的平方。
勾股定理证明
可以通过相似三角形、面积法、 向量法等多种方法进行证明。
2024/1/25
正弦、余弦定理
已知任意两边和夹角，可以利用正弦定理$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$或余弦定理$c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos C$求出第三边和角度。
16
已知一边一角求其他元素
正弦、余弦函数
已知一条边和一个锐角，可以利用正弦或余弦函数求出另一条直角边和斜边。例如，已知直角边$a$和锐角$A$ ，则可以利用$sin A = frac{a}{c}$求出斜边$c$，再利用勾股定理求出另一条直角边$b$。
正切函数
正切（tangent）是一个 角的对边长度与邻边长度 的比值，即 tan(θ) = 对边 / 邻边。
12
特殊角度三角函数值
0°、30°、45°、60°、90°等特殊角 度的三角函数值，如 sin(30°) = 1/2 ，cos(45°) = √2/2，tan(60°) = √3 等。
特殊角度三角函数值的推导过程及其 在解题中的应用。
2024/1/25
13
三角函数图像与性质
正弦、余弦、正切函数的图像及其周期性、奇偶性、单调性等性质。 利用三角函数图像解决相关问题的思路和方法。
2024/1/25
《解直角三角形》PPT课件
这是已知直角三角形的两边解直角三角形的问题．
要会选择适当的三角比．
B
解：因为a2 + b2 = c2 , 所以
b = c2 - a2 = 63.52 -17.52 = 60.
A
b
C
由sin A = a = 17.5 = 0.28,得A = 16°15'37".
c 62.5
所以B = 90°- A = 90°-16°15'37"= 73°44'23".
c
b c
，tanA=
a b
利用这些关系，如果知道直角三角形的哪几个
元素就可以求其他的元素了？
两个角 × 两条边 √
一边一角 √
两个元素(至少一个是边)
由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过 程，叫做解直角三角形．
例1 在Rt△ABC 中，已知∠C=90°，a = 17.5 ，c＝
a
62.5 ．解这个直角三角形
c = 12 5 , ∠A＝30 °, ∠ B = 60° .
2．在Rt△ABC 中，∠C = 90 °. (l)已知c = 15 ，∠ B = 60° ，求a ; (2)已知∠A＝35 ° ，a＝24 ，求b , c .
(1)a=7.5 (2)b=34.3, c≈41.8
1.直角三角形的边角关系：
下载
/jiaoa
n/
例2在 RtDAP论PB坛TC 中 ， 已知 C = 90 °，c = 128 , B = 52°.
解这个直：w角ww三. 角形 (边长精确到 0.01).
B
1ppt.
a
cn
PPT
A
课件
解：A =/nk/e9jia0°- B = 90°- 52°= 38°；
要会选择适当的三角比．
B
解：因为a2 + b2 = c2 , 所以
b = c2 - a2 = 63.52 -17.52 = 60.
A
b
C
由sin A = a = 17.5 = 0.28,得A = 16°15'37".
c 62.5
所以B = 90°- A = 90°-16°15'37"= 73°44'23".
c
b c
，tanA=
a b
利用这些关系，如果知道直角三角形的哪几个
元素就可以求其他的元素了？
两个角 × 两条边 √
一边一角 √
两个元素(至少一个是边)
由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过 程，叫做解直角三角形．
例1 在Rt△ABC 中，已知∠C=90°，a = 17.5 ，c＝
a
62.5 ．解这个直角三角形
c = 12 5 , ∠A＝30 °, ∠ B = 60° .
2．在Rt△ABC 中，∠C = 90 °. (l)已知c = 15 ，∠ B = 60° ，求a ; (2)已知∠A＝35 ° ，a＝24 ，求b , c .
(1)a=7.5 (2)b=34.3, c≈41.8
1.直角三角形的边角关系：
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/jiaoa
n/
例2在 RtDAP论PB坛TC 中 ， 已知 C = 90 °，c = 128 , B = 52°.
解这个直：w角ww三. 角形 (边长精确到 0.01).
B
1ppt.
a
cn
PPT
A
课件
解：A =/nk/e9jia0°- B = 90°- 52°= 38°；
人教版初中数学九年级下册 28.2.1 解直角三角形 第三课时课件 (共25张PPT)
6.如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P 点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为 30° 和45° ， 求飞机的高度PO. P
30° 45°
O
A 200米
B
仰角、俯角问题的常见基本模型：
模型一 A E B
B
模型二
A
C D
C
D
B
模型三
A
模型四
C
D
方位角:
以正南或正北方向为准，正南或正北方向 线与目标方向线构成的小于90° 的角，叫做方位 角.
坡度通常写成1:m的形式，如i=1:6.
h 3.坡度与坡角的关系: i l tan 即坡度等于坡角的正切值.
例 1：
1.斜坡的坡度是 1: 3 ，则坡角α =___. 2.斜坡的坡角是45o，则坡比是_____. 3.斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_____. Nhomakorabeah
α
l
例2：水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝 高23m，斜坡AB的坡度i=1:3，斜坡CD的坡度 i=1:2.5，求： (1) 斜坡CD的坡角α (精确到1° )； 6 C B i=1:3 i=1:2.5 23 α A D
5.在山顶上处D有一铁塔，在塔顶B处测得地 面上一点A的俯角α =60o，在塔底D测得点A的 俯角β =45o，已知塔高BD=30米，求山高CD. B D α β A
C
6.如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此 时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控 o 制点B的俯角α =16 31′ ，求飞机A到控制点B 的距离.(精确到1米）
视线
铅 直 线 仰角 俯角 视线
水平线
例1 热气球的探测器显示，从热气球看一栋 高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的 俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?
解直角三角形完整版PPT课件
余弦或正切函数计算得出。
已知一边和一角求另一边
02
在直角三角形中，已知一边长和一个锐角大小可以求出另一边
长，通过正弦、余弦或正切函数计算得出。
解直角三角形的实际应用
03
例如测量建筑物高度、计算航海距离等。
三角函数在实际问题中应用
测量问题
在测量问题中，可以利用三角函数计算高度、距离等未知量。例如，利用正切函数可以计算 山的高度或者河的宽度。
直角三角形重要定理
勾股定理
如上所述，勾股定理描述了直角三角 形三边之间的数量关系。
射影定理
相似三角形判定定理
若两个直角三角形的对应角相等，则 这两个直角三角形相似。根据此定理， 可以推导出一些重要的直角三角形性 质和定理。
射影定理涉及直角三角形中斜边上的 高与斜边及两直角边之间的数量关系。
02
三角函数在解直角三角形中应用
• 性质：正弦、余弦函数值域为[-1,1]，正切函数值域为R；正弦、余弦函 数在第一象限为正，第二象限正弦为正、余弦为负，第三象限正弦、余 弦都为负，第四象限余弦为正、正弦为负；正切函数在第一、三象限为 正，第二、四象限为负。
利用三角函数求边长和角度
已知两边求角度
01
在直角三角形中，已知两边长可以求出锐角的大小，通过正弦、
注意单位换算和精确度
在求解过程中，要注意单位换算和精确度的控制，避免因单位或精 度问题导致答案错误。
拓展延伸：非直角三角形解法简介
锐角三角形和钝角三角形的解法
对于非直角三角形，可以通过作高线或利用三角函数等方法将其转化为直角三角形进行 求解。
三角形的边角关系和面积公式
了解三角形的边角关系和面积公式，有助于更好地理解和解决非直角三角形问题。
28.2解直角三角形 课件-2020-2021学年人教版九年级数学下册
(2)根据AC=2.4m,斜边AB=6, 你能求出这个三角形的其他元素吗?
A
C
三角形有六个元素,分 别是三条边和三个角.
(3)根据∠A=60°,∠B=30°, 你能求出这个三角形的其他元素吗?
在直角三角形的六个元素中,除直角外,如 果知道两个元素, (其中至少有一个是边), 就可以求出其余三个元素.
试一试
在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程,叫解直角三角形
例2.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=35°,b=20, 解这个直角三角形.(精确到0.1)
参考值 tan35°≈0.70； sin35 °≈0.57； cos35°≈0.82
Ｂ
？c
35°
？a
？
Ａ
b 20
Ｃ
解: B 35
A
90
角α
三角函数
sinα
cosα
tanα
30°
1 2
3 2
3
3
45°
2
2
2
2
1
60°
3 2
1 2
3
想一想
在Rt△ABC中,
一角
A
（1）根据∠A= 60°,斜边AB=30, 一边
你能求出这个三角形的其他元素吗?
2
C
6
∠B
AC
BC
两边
（2）根据AC=
B
2，BC=
6
你能求出这个三角形的其他元素吗？
∠A
∠B
AB
5
动动脑
在四边形ABCD中，∠ A= 60°，AB⊥BC，AD⊥DC，
AB=20cm，CD=10cm，求AD，BC的长（保留根 号）？
A
人教版数学九年级下册282解直角三角形共15张PPT
a
sinA ＝cosB= c
角 形 3.边角之间的
关系
cosA ＝sinB=
a tanA ＝
b
b c
Ａ
b tanB ＝
a
Ｂ
c a
b
Ｃ
例4
【例2】热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的 仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为 60°，热气球与高楼 的水平距离为 120m，这栋楼有多高（结果取整数） .
? BC ? BD ? CD ? 40 3 ? 120 3
? 1603 ? 277.1(m)
C
答：这栋楼高约为277.1m.
跟踪训练
建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC相距40m的D处观察旗杆顶部A的仰角54°， 观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（结果保留小数点后一位）。
【解析】在等腰三角形BCD 中∠ACD=90°， 在Rt△ACD 中：
解析
解：如图，a = 30 °,β= 60°A，D＝120．
? BD ? AD?tan a ? 120 ? tan 30?
B
3 ? 120 ? ? 40 3(m)
BD
CDα D
CD ?
3
tan ?
AD?tan ? ? 120 ? tan 60?
?
, tan ?
AD
A?
AβD
? 120 ? 31? 20 3(m)
B αD Aβ
C
在进行观察或测量时，
从下向上看，视线与水平线的夹角叫做 仰角；
从上往下看，视线与水平线的夹角叫做 俯角.
铅
视线
垂 线 仰角
水平线
俯角
视线
分析
Rt△ABC中，a=30°，AD＝120，所以利用解直角三角形 的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而αD
《28.2.1解直角三角形》教学课件(共12张PPT)
Ｂ
Ｂ
c 45°
6a
c 30° a
Ａ
bＣ
Ａ
bＣ
2、在Rt△ABC中，∠C为直角，AC=6，
BA的C 平分线AD=4 3，解此直角三角形。
A
30 60
12
6
43
60
30
C
D
B
63
在四边形ABCD中，∠ A= 60°，AB⊥BC，AD⊥DC，
AB=20cm，CD=10cm，求AD，BC的长（保留根
号）？
义务教育教科书（人教版）九年级数学下册
一、真空。
角α
三角函数
sinα
cosα
tanα
30°
1 2
3 2
3Байду номын сангаас
3
45°
2
2
2
2
1
60°
3 2
1 2
3
一个直角三角形有几个元素？它们之间有何 关系？
有三条边和三个角，其中有一个角为直角
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）；
(2)锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º；
观测点
北
60º
A
？
30海里
C
被B 观测点
这个问题归结为:
在Rt△ABC中,已知∠A= 60°,斜边AB=30,求AC的 长
在直角三角形中,由已知元素求未知
元素的过程,叫 解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系:
a2＋b2＝c2（勾股定理）；
Ｂ
(2)锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º；
c
(3)边角之间的关系: a
Ｂ
(3)边角之间的关系:
解直角三角形(共30张)PPT课件
比例性质应用
利用相似三角形中对应边 之间的比例关系进行计算。
实际应用举例
测量问题
利用相似三角形原理解决 测量中的实际问题，如测 量建筑物高度、河宽等。
航海问题
在航海中，利用相似三角 形原理解决船只定位、航 向确定等问题。
物理问题
在物理实验中，利用相似 三角形原理解决光学、力 学等问题，如光的折射、 力的合成与分解等。
利用相似三角形求边长
通过已知边长和相似比，可以求出未知边长。
利用相似三角形求角度
通过已知角度和相似关系，可以求出未知角度。
利用相似三角形求面积
通过已知面积和相似比，可以求出未知面积。
相似比计算方法和技巧
01
02
03
直接计算法
根据已知条件直接计算相 似比。
间接计算法
通过引入辅助线或构造特 殊图形来计算相似比。
解直角三角形(共30张)PPT课 件
目录
• 直角三角形基本概念与性质 • 解直角三角形方法论述 • 三角函数在解直角三角形中应用 • 相似三角形在解直角三角形中作用
目录
• 复杂图形中解直角三角形策略探讨 • 拓展延伸：非直角三角形解法探讨
01
直角三角形基本概念与性 质
直角三角形定义及特点
有一个角为90度的三角形称为直角三角形。
案例三
在三角形中解直角三角形问题。 通过作高线构造直角三角形，并
结合相似性质进行求解。
总结归纳与提高建议
总结归纳
在复杂图形中解直角三角形的关键在于构造直角三角形并利用 已知条件进行推理和计算。通过添加辅助线、利用相似性质和 三角函数关系等方法，可以有效地解决这类问题。
提高建议
为了更好地掌握解直角三角形的技巧和方法，建议多做相关练 习题并总结归纳经验。同时，也可以学习一些高级的数学知识 和技巧，如三角函数恒等式、极坐标等，以便更好地应对复杂 的数学问题。
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A
b
c
Ca
B
方位角
背景知识
❖ 指南或指北的方向线与目标方向线构成小于 90 °的角,叫做方位角.
❖ 如图：点A在O的北偏东30°
❖ 点B在点O的南偏西45°（西南方向）
北
A
30°西东 NhomakorabeaO
45°
B
南
问题探究
例3. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°
方向，距离灯塔80海里的
A处，它沿正南方向航行一段
28.2 解直角三角形 C B （3）
A
学习目标
1.理解解直角三角形的意义； 2.会利用锐角三角函数等解直角三角形； 3.感受数学与客观世界的联系，体验合作
交流探索数学的乐趣.
学前热身
解直角三角形: 在直角三角形中， 由已知元素求未知元素的过程．
事实上，在直角三角形的六个元素中， 除直角外，如果再知道两个元素（其 中至少有一个是边），就可以求出其 余的三个元素．这样，这个三角形就 可以确定下来.
18
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
背景知识
铅垂 h
高度
坡角
l 水平长度
i 坡度或坡比
i h:l
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，
有i＝
h l
= tanα.
显然，坡度（比）越大，坡角α就越大，坡面
就越陡.
问题探究
例4. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD （图中i=1:3是指坡面的铅直高度DE与水平 宽度CE的比），根据图中数据求：
h= lsina .
l
h
α
问题探究
但是，当我们要测量如图所示的山高h时，问
题就不那么简单了，这是由于不能很方便地
得到仰角a和山坡长度l
l
h
α
与测堤高相比，测山高的困难在于；堤坡是“直” 的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？
采取“化整为零，积零为整，化曲为直， 以直代曲” 的解决问题的策略.
A
60°
30°
作 者： 郭 春 港
B
12 D
F
背景知识
修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.
坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比 叫做坡面坡度（或坡比）. 记作i , 即 i = h .
l
i 坡度或坡比
铅垂 h
高度
i h:l
l 水平长度
坡度通常写成1∶m的形式，如 i =1∶6.
18.4
AD
问题探究
i=1:1.5
6m
i=1:3
Bα
FE
β
C
（2）在Rt△AFB中，∠AFB=90°
iAF1： 1.52， 且 AF6m
BF
3
∴BF=9m，
AB11710.8m
答： 33.7 ， 18.4 ，AB10.8m.
问题探究
解直角三角形有广泛的应用，解决问题时， 要根据实际情况灵活运用相关知识，例如， 当我们要测量如图所示堤坝的高度h时，只要 测出仰角a和大坝的坡面长度l，就能算出
课堂小结
利用解直角三角形的知识解决实际问题的 一般过程是:
1.将实际问题抽象为数学问题(画出平 面图形,转化为解直角三角形的问题) ;
2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函 数等去解直角三角形;
3.得到数学问题的答案;
4.得到实际问题的答案.
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
65° A
P C
sinB PC PB
34°
P B P C7 2 .5 0 47 2 .5 0 4 1 2 9 .7 0
sinBsin 3 4 0 .5 5 9
此时海轮距离灯塔P大约129.70海里．
B
2011年·天津中考
中考链接
某校兴趣小组坐游轮拍摄海河两岸美
景．如图，游轮出发点A与望海楼B的距离为
（1）坡角a和β;
（2）斜坡AB的长（精确到0.1m）
i=1:1.5 Bα
AD 6m FE
i=1:3
β
C
AD
问题探究
i=1:1.5
6m
i=1:3
Bα
FE
β
C
解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90°
tanAFi1： 1.52
BF
3
33.7
在Rt△CDE中，∠CED=90°
tanDEi1:3
CE
时间后，到达位于灯塔P的南
65° A
偏东34°方向上的B处，这时， P
海轮所在的B处距离灯塔P有
C
多远？ （精确到0.01海里）
34°
B
解：如图 ，在Rt△APC中， cosAPC PC PA
∴PC＝PA·cos（90°－65°）
问题探究
＝80×cos25° ≈80×0.9063=72.504 在Rt△BPC中，∠B＝34°
问题探究
我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以
把山坡“化整为零”地划分为一些小段，图表示
其中一部分小段，划分小段时，注意使每一小段
上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长l1，
测出相应的仰角a1，这样就可以算出这段山坡的
高度h1=l1sina1.
l1 α1
h1
在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方 法分别算出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零 为整”，把h1,h2,…,hn相加，于是得到山高h.
300m，在A处测得望海楼B位于A的北偏东
30°方向，游轮沿正北
方向行驶一段时间后到
达C，在C处测得望海
D
B
楼B位于C的北偏东60° C
方向，求此时游轮与望
海楼B之间的距离( 3 取
1.73，结果保留整数)． A
例2.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围 内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在 B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12 海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30° 方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行， 有没有触礁的危险？