测量误差基本知识
第五章 测量误差的基本知识
在测量工作中，如某个误差超过了容许误差，则相应 观测值应舍去重测。
3.相对误差
绝对误差值与观测值之比，称为相对误差。在某 些测量工作中，有时用中误差还不能完全反映测量精度， 例如测量某两段距离，一段长200m，另一段长100m， 它们的测量中误差均为±0.2m，为此用观测值的中误差 与观测值之比，并将其分子化为1，即用1/K表示，称为 相对误差。
180°00ˊ00"
0
0
179°59ˊ57"
-3
9
180°00ˊ01"
+1
1
24
130
m2
2 3.6 10
两组观测值的误差绝对值相等 m1 < m2，第一组的观测成果的精度高于第二组观测成
果的精度
2.容许误差
容许误差又称极限误差。根据误差理论及实践证明， 在大量同精度观测的一组误差中，绝对值大于两倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性约为5%；大于三倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性仅有3‰，且认为是不大可 能出现的。因此一般取三倍中误差作为偶然误差的极限误 差。
全微分
dZ Kdx
得中误差式 mZ K 2mx2 Kmx
例：量得 1:1000 地形图上两点间长度l =168.5mm0.2mm,
计算该两点实地距离S及其中误差ms： 解：列函数式 S 1000 l
求全微分 dS 1000dl
mS 1000ml 1000 0.2 200mm 0.2m
测量误差＝观测值－真值
观测误差来源于仪器误差、人的感官能力和外界环境 （如温度、湿度、风力、大折光等）的影响，这三方面的 客观条件统称观测条件。
测量误差的基本知识
名称：测量误差的基本知识一、基本概念1．真值：一个物理量的真实数值称为真值。
真值是难以准确测量的。
2．约写真值：足够接近真值的量，它与真值的差异可以忽略不计，称这个量为约定真值。
3．标称值：测量器具上标注的数值称为标称值。
4．示值：在测量过程中，测量仪器、仪表的指示值简称示值。
5．影响量：影响测量仪器示值的任何量称为影响量。
6．测量误差：表示测量数值与被测量真值之间的差异称为测量误差。
二、误差的来源1．仪器误差由于仪器本身及附件的电气和机械性能不完善而引入的误差2．使用误差由于仪器的安装、布置、调节不当所造成的误差。
3．影响误差由于受外界温度、湿度、电磁场、机械振动等影响超出仪器技术条件而造成的误差。
4．人身误差由于测量者的分辨能力、工作习惯及责任心等原因引起的误差。
5．方法和理论误差由于采用测量方法或仪表选择不当所造成的误差称为方法误差。
测量时，依据的理论不严格或用近似公式、近似值（例如π，√2，√3等）计算等造成的误差称理论误差。
三、测量误差的表示方法1．绝对误差指测量结果与被测量的真值之差，（因通常真值不能确定，实际上用的是约定真值，一般指被测量的算术平均值或标准值）表示为Δx=x-x0x—测量结果，x0—约定真值，Δx —绝对误差（Δx有大小和符号，其单位与测量结果的单位相同）另：与Δx的绝对值相等但符号相反的量称为修正值。
（用C表示）C=–Δx= x0–x通过检定（校准），由上级标准仪器给出受检仪器的修正值。
因此，将测得值与已知的修正值相加，即可算出被测量的约定真值：x0=x+c我厂仪器分内检和外检两种，检定结果若合格（兰色标签），所得修正值都在公司许可的误差内（这样才能判为合格），对使用者测量不会产生影响，故不再给出修正值，使用者可认为所用仪器的测量结果是准确的。
对于“准用”的仪器，请参照“准用证”旁的准用说明，对测量结果予以修正。
2．相对误差指测量结果的绝对误差：Δx与真值x0之比δx=Δx/x0×100%3．引用误差指计量器具的示值的绝对误差与器具的特定值x lim（如计量的上限值，量程）之比即：δx lim=Δx/x lim×100%一般x lim常指满度值，因此，也称满度相对误差，它是指仪器仪表度盘上最大的绝对误差与量程值（满度值）之比的百分数。
测量误差的基本知识汇总
测量误差的基本知识在测量工作中，对某量( 如某一个角度、某一段距离或某两点间的高差等 ) 进行多次观测，所得的各次观测结果总是存在着差异，这种差异实质上表现为每次测量所得的观测值与该量的真值之间的差值，这种差值称为测量真误差，即:测量真误差 =真值 - 观测值一、误差产生的原因 :1．观测者由于观测者感觉器官鉴别能力有一定的局限性，在仪器安置、照准、读数等方面都产生误差。
同时观测者的技术水平、工作态度及状态都对测量成果的质量有直接影响。
2．测量仪器每种仪器有一定限度的精密程度，因而观测值的精确度也必然受到一定的限度。
同时仪器本身在设计、制造、安装、校正等方面也存在一定的误差，如钢尺的刻划误差、度盘的偏心等。
3．外界条件观测时所处的外界条件，如温度、湿度、大气折光等因素都会对观测结果产生一定的影响。
外界条件发生变化，观测成果将随之变化。
上述三方面的因素是引起观测误差的主要来源，因此把这三方面因素综合起来称为观测条件。
观测条件的好坏与观测成果的质量有着密切的联二观测误差分类：1．系统误差在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，若观测误差的符号及大小保持不变，或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。
这种误差往往随着观测次数的增加而逐渐积累。
如某钢尺的注记长度为 30m，经鉴定后，它的实际长度为 30.016m，即每量一整尺，就比实际长度量小0.016m，也就是每量一整尺段就有+0.016m 的系统误差。
这种误差的数值和符号是固定的，误差的大小与距离成正比，若丈量了五个整尺段，则长度误差为 5×(+0.016)=+0.080m。
若用此钢尺丈量结果为 167.213ｍ，则实际长度为：167.213＋167.213×0.0016=167.213＋0.089=167.302(ｍ) 30系统误差对测量成果影响较大，且一般具有累积性，应尽可能消除或限制到最小程度，其常用的处理方法有：1．检校仪器，把系统误差降低到最小程度。
测量误差基本知识(全面实例)
频率直方图
偶然误差具有正态分布的特性
四个特性：有界性，趋向性，对称性，抵偿性：
1 2 n 0 lim lim n n n n
(5-1-2)
y
正态分布曲线
-ห้องสมุดไป่ตู้4
-21 -15 -18 -12
-9 -6
-3 +3 +9 +15 +21 0 +6 +12 +18 +24
第五章第六章
第五章 测量误差基本知识
内容提要：
第五章 测量误差基本知识
学习要点
◆建立测量误差的基本概念 ◆观测值的中误差 ◆观测值函数的中误差
内容提要第 六章
——误差传播定律 ◆权的概念
#测量误差的基 本概念
5.1 测量误差的分类
讨论测量误差的目的：
用误差理论分析、处理测量误差，评定 测量成果的精度，指导测量工作的进行。
2
2
2
(5-5-10)
三.几种常用函数的中误差
求观测值函数中误差的步骤：
三.几种常用函数 的中误差
(1).列出函数式； (2).对函数式求全微分； (3).套用误差传播定律，写出中误差式。 例3：已知某矩形长a=500米，宽b=440米。如边长测量 的相对中误差为1/4000，求矩形的面积中误差mp。 解：由题意 ma 500 / 4000 0.125米, mb 440 / 4000 0.11米
平均
表5-3 算
vv
计
854245[ 0 ]
16算术平均值: 25 l1 l2 l3 l4 l5 x 854245 9 5 1 观测值的中误差： 9 [vv] 60 m 3". 9 n 1 5 1 [ 60 ]
测量误差基本知识PPT课件
（三）误差处理原则
粗差（错误） 测错，记错，算错……可以避免
错误在测量成果中不允许存在，舍弃重测。
防止粗差和提高成果精度（偶然误差方面）
“ 多余观测”发现粗差剔除或重测，由 多余观测产生的往返差、不符值、闭合差， 可根据差值大小评定精度，超限重测，不超 限调整之。
系统误差应尽可能按其产生的原因和 规律加以改正、抵消或削弱，如： 校正 仪器、观测值加改正数、对称观测：水准， 前后视距离相等；测角，盘左盘右取平均 值。
不同时间的多次观测，有可能削弱部 分情况不明的系统误差
四、偶然误差的特性 测量误差理论主要讨论具有偶然误差的
一系列观测值中如何求得最可靠的结果和评 定成果的精度
n
n
可证明其合理性和可靠性
推导过程
设未知量的真值为X，可写出观测值的真 误差公式为
i li X （i=1，2，…，n） 将上式相加得
1 2 n ( l1 l2 ln ) nX
或
[][l]nX
故
X l
nn
观测值的算术平均值 x 算术平均值真误差x
则有
X xx
由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限 增多时，Δx趋近于零，
标准差为
第二节 评定精度的标准
为对观测值的精度作出科学的评定，常 用中误差、极限误差、相对误差为评定精度 的标准。
一.中误差
定义 在相同条件下，对某量（真值为X）
进行n次观测，观测值l1，l2，……，ln，偶然误
差（真误差）Δ1， Δ2，……，Δn，则中误 差M的定义式为：
M 2 lim n n
误差的容许误差，即Δ容=2m 或 Δ容=3m 。
测量学测量误差的基本知识
1 X X i X 0 n i 1
当n较大时，可用下式估算为：
。
n
X X
i
X
nn 1
二、中误差 定义 • 标准差(standard deviation)
[] lim n n
• 中误差(mean square error)
[] ˆ m n
1 2 n lim lim 0 n n n n
直方图
误差分布曲线
1 f () e 2
2 2 2
5.2 评定精度的指标
一、平均误差
平均误差即算术平均误差，其定义为：在对某量进行一 系列观测中，各次观测误差的绝对值的算术平均值叫算术平 均误差，记为 X 。
• 设三角形闭合差为
L3
i i i i 180
L1 L2
偶然误差分布情况统计
误差区间 dΔ （″）
0~3 3~6 6~9 9~12 12~15
正 误 差 个数k 频率k/n
30 21 15 14 12 0.138 0.097 0.069 0.065 0.055
合 计 负 误 差 个数k 频率k/n 个数k 频率k/n
vv n
2
因为 所以
L X
L X
n
l L
n
l X l X
n n
2 2
n2 1 2 2 1 22 2n 21 2 2 2 3 2 n 1 n n 2 2 2 (1 2 2 3 n 1 n ) n n
1 m D
0.02 1 D1 100 5000
测量误差基本知识精选
四、测量误差基本知识1、测量误差分哪两类？它们各有什么特点？测量中对它们的主要处理原则是什么？2、产生测量误差的原因有哪些？偶然误差有哪些特性？3、何谓标准差、中误差和极限误差？4、对某个水平角以等精度观测4个测回，观测值列于下表（表4-1）。
计算其算术平均值x、一测回的中误差m及算术平均值的中误差m x。
表4-15、对某一三角形（图4-1）的三个内角重复观测了九次，定义其闭合差?=?+?+?-180?，其结果如下：?1=+3?，?2=-5?，?3=+6?，?4=+1?，?5=-3?，?6=-4?，?7=+3?，?8=+7?，?9=-8?；求此三角形闭合差的中误差m?以及三角形内角的测角中误差mβ。
???4-16、在一个平面三角形中，观测其中两个水平角（内角）α和β，其测角中误差均为m=±20?，根据角α和角β可以计算第三个水平角γ，试计算γ角的中误差mγ。
7、量得某一圆形地物直径为，求其圆周的长S。
设量测直径的中误差为±5㎜，求其周长的中误差m S及其相对中误差m S/S。
8、对某正方形测量了一条边长a =100m，a m=?25mm；按S=4a计算周长和P=a计算面积，计算周长的中误差s m和面积的中误差p m。
9、某正方形测量了四条边长a1=a2=a2=a4=100m，m a=m a=m a=m a=?25mm；按S=1a +2a +3a +4a 计算周长和P=（1a ?2a +3a ?4a ）/2计算面积，求周长的中误差s m 和面积的中误差p m 。
10．误差传播定律应用（1）（1）已知m a =m c =m ，h=a -b ，求h m 。
（2）已知a m =c m =?6?，?=a -c ，求βm 。
（3）已知a m =b m =m ，S=100(a -b) ，求s m 。
（4）已知D=()h S -，s m =?5mm ，h m =?5mm ，求D m 。
（5）如图4-2，已知xa m =?40 mm ，ya m =?30 mm ；S=，?=30? 15?10?，s m =?，βm =?6?。
测量误差基本知识
第五章测量误差基本知识
1.测量误差按其产生的原因和对观测结果影响性质的不同，可以分为系统误差、偶然误差和粗差三类。
系统误差：在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果出现的误差在符号和数值上相同，或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。
偶然误差：在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面上看没有任何规律性，这种误差称为偶然误差。
粗差：由于观察者的粗心或受某种干扰造成的特别大的测量误差称为粗差。
2.偶然误差的特性如下：
在一定观测条件下的有限次观测中，偶然误差的绝对值不会超过一定的数值；
绝对值较小的误差出现的频率较大，绝对值较大的误差出现的频率较小；
绝对值相等的正负误差出现的频率大致相等；
当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均值趋近于零，即偶然误差具有抵偿性，公式见p121(5-1-2)
3.按有限次数观测的偶然误差求得的标准差称为中误差（m）。
在统计学上，对于某一量（称为母体）的有限次的观测值，称为子样，因此中误差又称子样标准差，在有关计量的规范中称为不确定度。
4.用观测值的中误差与观测值之比的形式描述距离测量的精度（面积测量也应如此），称为相对中误差（用分子为1的分式表示）
5.以两倍中误差作为允许的误差极限，称为允许误差，或称为限差。
6.在相同的观测条件下，对某个未知量进行n次观测，其观测值分别为L1，L2，L3，L4，~~~Ln。
将这些观测值取算数平均值，作为该量的最可靠的数值，所以也称为最或然值。
7.P130误差传播定律
8.P139加权平均值及其中误差表格。
测量误差基本知识
测量误差基本知识内容：了解测量误差来源及产⽣的原因；掌握系统误差和偶然误差的特点及其处理⽅法；理解精度评定的指标（中误差、相对误差、容许误差）的概念；了解误差传播定律的应⽤。
重点：系统误差和偶然误差的特点及其处理⽅法。
难点：中误差、相对误差、容许误差的概念；误差传播定律的应⽤。
§ 5.1 测量误差的概念 测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为系统误差和偶然误差。
⼀、系统误差 (system error)1、定义：在相同观测条件下，对某量进⾏⼀系列观测，如误差出现符号和⼤⼩均相同或按⼀定的规律变化，这种误差称为系统误差。
2、特点：具有积累性，对测量结果的影响⼤，但可通过⼀般的改正或⽤⼀定的观测⽅法加以消除。
⼆、偶然误差 (accident error)1、定义：在相同观测条件下，对某量进⾏⼀系列观测，如误差出现符号和⼤⼩均不⼀定，这种误差称为偶然误差。
但具有⼀定的统计规律。
2、特点：（1）具有⼀定的范围。
（2）绝对值⼩的误差出现概率⼤。
（3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。
（4）数学期限望等于零。
即：误差概率分布曲线呈正态分布，偶然误差要通过的⼀定的数学⽅法（测量平差）来处理。
此外，在测量⼯作中还要注意避免粗差 (gross error) （即：错误）的出现。
偶然误差分布频率直⽅图§ 5.2 衡量精度的指标 测量上常见的精度指标有：中误差、相对误差、极限误差。
⼀、中误差 ⽅差： —— 某量的真误差， [] ——求和符号。
规律：标准差估值（中误差 m ）绝对值愈⼩，观测精度愈⾼。
在测量中，n为有限值，计算中误差 m 的⽅法，有：1、⽤真误差（ true error ）来确定中误差——适⽤于观测量真值已知时。
真误差Δ——观测值与其真值之差，有：标准差中误差（标准差估值）， n 为观测值个数。
[ 例题 ] ：对 10 个三⾓形的内⾓进⾏了观测，根据观测值中的偶然误差（三⾓形的⾓度闭合差，即真误差），计算其中误差。
测量学-5测量误差基本知识
[z 2 ] [x 2 ] 2[xy] [y 2 ] n n n n
mz
2
mx
2
2 2 2 mz mx my
?
0
my2
2 2 mz mx my
（二）倍乘函数 已知：mx, 求：mz=?
z kx
[ z z ] mz n z k x
平方
f 2 mxn xn
2
再按照线性函 数进行计算
f 2 f 2 m mx1 mx2 x1 x2
小结
中误差关系式：
my 2 f12 m12 f 22 m2 2 ... f n2 mn 2
2
2 3
f ( x) 0.9545
x =Δ
-24″ -18 -12 -6 0 +6 +12 +18 +24″
f ( x) 0.9973
3
dΔ
极限误差取值
允 2m
或： 允 3m
§5.3 误差传播定律及其应用
设有函数式： y f ( x1 , x2 ...)
i [ ] i=1 即 Lim —— = Lim —— =0 n n n n
n
§5.2 评定精度的标准 一、方差和标准差（中误差）
正态曲线公式： 2 1 Y = f() =—— e 22 2
2
方差： D()
2 n 2 i 1
2 f ()d
F 2 F 2 mZ m1 m2 x1 x2
2
2
F 2 mn xn
2
l
1 n ln