圆锥曲线轨迹方程经典例题

轨迹方程经典例题

一、轨迹为圆的例题：

1、 必修2课本P 124B 组2：长为2a 的线段的两个端点在x 轴和y 轴上移动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程：

必修2课本P 124B 组：已知M 与两个定点（0,0），A （3,0）的距离之比为

2

1

，求点M 的轨迹方程;（一般地：必修2课本P 144B 组2：已知点M(x ,y )与两个定点21,M M 的距离之比为一个常数m ；讨论点M(x ,y )的轨迹方程（分m =1，与m ≠1进行讨论）

2、 必修2课本P 122例5：线段AB 的端点B 的坐标是（4,3），端点A 在圆1)1(2

2

=++y x 上运动，求AB 的中点M 的轨迹。

（2013新课标2卷文20）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为32。 （1）求圆心的P 的轨迹方程；

（2）若P 点到直线x y =的距离为

2

2

，求圆P 的方程。

如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2

=36的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.

解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |.又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2

=|AO |2

－|OR |2

=36－(x 2

+y 2

)又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有

(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2

－4x －10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动.

设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=

2

0,241+=

+y y x ,代入方程x 2+y 2

－4x －10=0,得244)2()24(

22+⋅

-++x y x －10=0整理得：x 2+y 2

=56,这就是所求的轨迹方程.

在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ．设圆C 的半径为1，圆心在l 上． （1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；

（2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值围．

M

B

A

（2013卷理20）已知动圆过定点)0,4(A ，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. （1） 求动圆圆心的轨迹C 的方程；

（2） 已知点)0,1(-B ，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点Q P ,，若x 轴是PBQ ∠的角平分线，证明

直线l 过定点。

二、椭圆类型：

3、 定义法：（选修2-1P 50第3题）点M(x ,y )与定点F(2，0)的距离和它到定直线8=x 的距离之比为2

1

，求点M 的轨迹方程.(圆锥曲线第二定义)

讨论：当这个比例常数不是小于1，而是大于1，或等于1是的情形呢？（对应双曲线，抛物线）

4、 圆锥曲线第一定义：（选修2-1P 50第2题）一个动圆与圆

05622=+++x y x 外切，同时与圆09162

2=--+x y x 切，求动

圆的圆心轨迹方程。

5、 圆锥曲线第一定义：点M(00,y x )圆1F 9)1(2

2

=++y x 上的一个动点, 点2

F （1,0）为定点。线段2MF 的垂直平分线与1MF 相交于点Q(x ,y ),求点Q 的轨迹方程;(注意点2F （1,0）在圆)

6、 其他形式：（选修2-1P 50例3）设点A,B 的坐标分别是（-5,0），（5,0），直线AM,BM 相交于点M ，且他们的斜

率的乘积为9

4

-，求点M 的轨迹方程:（是一个椭圆） （讨论当他们的斜率的乘积为9

4

时可以得到双曲线）

（2013新课标1卷20）已知圆:M 1)1(2

2

=++y x ，圆:N 9)1(2

2=+-y x ，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 切，

圆心P 的轨迹为曲线C 。 （1）求C 的方程； （2）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于B A ,两

点，当圆P 的半径最长时，求AB

（2013卷文20）已知动点),(y x M 到直线4:=x l 的距离是它到点)0,1(N 的距离的2倍。 （1）求动点M 的轨迹C 的方程

（2）过点)3,0(P 的直线m 与轨迹C 交于B A ,两点，若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率。

三、双曲线类型：

8、圆锥曲线第一定义：点M(00,y x )圆1F 1)1(2

2

=++y x 上的一个动点, 点

2F （1,0）为定点。线段2MF 的垂直平分线与1MF 相交于点Q(x ,y ),求点Q

的轨迹方程;(注意点2F （1,0）在圆外)

定义法：（选修2-1P 59例5）点M(x ,y )与定点F(5，0)的距离和它到定直线516=x 的距离之比为4

5

，求点M 的轨迹方程.(圆锥曲线第二定义)

四、抛物线类型：10、定义法：（选修2-1）点M(x ,y )与定点F(2，0)的距离和它到定直线2-=x 的距离相等，求

点M 的轨迹方程。（或：点M(x ,y )与定点F(2，0)的距离比它到定直线3-=x 的距离小1，求点M 的轨迹方程。）

（2013卷文20）已知动点),(y x M 到直线4:=x l 的距离是它到点)0,1(N 的距离的2倍。 （1）求动点M 的轨迹C 的方程

（2）过点)3,0(P 的直线m 与轨迹C 交于B A ,两点，若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率 已知三点(0,0)O ，(2,1)A -，(2,1)B ，曲线C 上任意一点(,)M x y 满足

||()2MA MB OM OA OB +=⋅++u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r

。

（1）求曲线C 的方程；

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