高中数学选修2-2知识点、考点

数学选修2----2知识点

第一章 导数及其应用 知识点：

一．导数概念的引入

1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是

000

()()

lim

x f x x f x x

∆→+∆-∆，

我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='， 即0()f x '=000

()()

lim

x f x x f x x

∆→+∆-∆

2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。容易

知道，割线n PP 的斜率是00

()()

n n n f x f x k x x -=

-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导

数就是切线PT 的斜率k ，即000

()()

lim

()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-

3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有

时也记作y ',即0

()()

()lim

x f x x f x f x x

∆→+∆-'=∆

考点：无 知识点：

二.导数的计算

1）基本初等函数的导数公式:

1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=；

2 若()f x x α

=,则1

()f x x

αα-'=;

3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=

4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;

5 若()x

f x a =,则()ln x

f x a a '=

6 若()x f x e =,则()x

f x e '=

7 若()log x

a f x =,则1()ln f x x a '=

8 若()ln f x x =,则1

()f x x

'=

2）导数的运算法则

1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±

2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•

3. 2

()()()()()

[

]()[()]

f x f x

g x f x g x g x g x ''•-•'= 3）复合函数求导

()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=•

考点：导数的求导及运算

★1、已知

()22sin f x x x π=+-，则()'0f =

★2、若()sin x f x e x =，则()'f x =

★3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ，

4)1(=-'f ，则a=（ ）

3

19.3

16.3

13.3

10.D C B A ★★4.过抛物线y=x 2上的点M )4

1,21(的切线的倾斜角是（） A.30° B.45° C.60° D.90°

★★5.如果曲线2

932

y x =

+与32y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x =

三.导数在研究函数中的应用

知识点：

1.函数的单调性与导数:

一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：

在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增； 如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数

极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是:

(1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值; (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数

函数极大值与最大值之间的关系.

求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；

（2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.

四.生活中的优化问题

利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题

考点：1、导数在切线方程中的应用

2、导数在单调性中的应用

3、导数在极值、最值中的应用

4、导数在恒成立问题中的应用 一、题型一：导数在切线方程中的运用

★1.曲线3

x y =在P 点处的切线斜率为k,若k=3，则P 点为（ ） A.（－2，－8） B.（－1，－1）或（1，1）

C.（2，8）

D.（－21，－81

）

★2.曲线53

123

+-=

x x y ，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（ ） A.6π B.4π C.3π D.π

43

二、题型二：导数在单调性中的运用

★1.(05广东卷)函数

32

()31f x x x =-+是减函数的区间为( ) A.(2,)+∞ B.(,2)-∞ C.(,0)-∞ D.(0,2)

★2．关于函数

762)(2

3+-=x x x f ，下列说法不正确的是（ ） A ．在区间（∞-，0）内，)(x f 为增函数 B ．在区间（0，2）内，)(x f 为减函数

C ．在区间（2，∞+）内，)(x f 为增函数

D ．在区间（∞-，0）

),2(+∞⋃内,)(x f 为增函数

★★3．(05江西)已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x