北航研究生最优估计2010试题
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As (k ) P (k k )T (k 1, k )[(k 1, k )Qk T (k 1, k ) (k 1, k ) P (k k )T (k 1, k )]1
P(k N ) P(k k ) As (k )[ P(k 1 N ) P(k 1 k )]AsT (k )
h=10cm
生
长
速 度
3c
m/
s
生长速度5cm/s
5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ009~2010 学年最优估计理论试卷
（此页空白，为答题页）
6
2009~2010 学年最优估计理论试卷
5． 强跟踪滤波器的 P(k+1|k)计算公式如下， 请结合公式说明强跟踪滤波器工作原理。 其中：
ˆ (k 1| k ) X ˆ Z (k | k -1) X Z k 1, k k
Z T Z 1 1 Z T v0( k ) Z k 1 k 1 1 (k 0) (k 1, 0 1)
P(k | k -1) Pk ,k -1
v0( k 1)
Ck 1
T Tr[v0( k 1) Rk 1 H k 1Qk H k 1 ]
2) 3) 写出离散线性系统 Kalman 最优预测公式，分析 Q、R 变化对最优增益 K 的影响， 并解释其物理含义；在 Q 趋近于无穷大时，滤波结果会是怎样？ 自适应滤波中输出相关法与新息相关法思想分别是什么？
8
v r θ
r k + 1 = r k + w1 θ k + 1 = θ k + θ + w2 x1 k + 1 x2 k + 1 = 1 0 x1 k 0 0 u1 1 0 w1 + + 0 1 x2 k 0 1 u2 0 1 w2
z1 k 1 0 x1 k 1 0 v1 = + z2(k) 0 1 x2(k) 0 1 v2
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2009~2010 学年最优估计理论试卷
（此页空白，为答题页）
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2009~2010 学年最优估计理论试卷
4． 某矩形材料采用挤塑成型的工艺， 材料生长过程中始终保持矩形形状且高度不变， 沿长、 宽方向的理想生长速度分别为 5cm/s、3cm/s，将实际生长过程中影响长、宽尺寸的干扰 作为零均值白噪声处理，长、宽方向的噪声方差均为 0.1cm2。为控制材料的尺寸，采用 材料实时重量测量的方式， 初始材料尺寸为长 5cm、 宽 3cm、 重量为 150g， 密度为 1g/cm3， 1） 给出材料外形尺寸估计的数学模型； 2） 利用 EKF 并根据以下重量测量结果给出前 2 秒材料外形尺寸的最优估计。 T(s) G(g) 1 599 2 1352 3 2403
北京航空航天大学
2009－2010 学年 第二学期期末
《最优估计理论》
研究生考试卷
班 级______________学 号 _________
姓 名______________成 绩 _________
2010 年 5 月 26 日
2009~2010 学年最优估计理论试卷
班级
学号
姓名
成绩
《最优估计理论》期末考试卷
（2010 年 5 月 26 日，星期三，16:00~18:00， 主 M102 教室）
1． 判断正误（20 分） 1)
T ] min与E [X TX ] min 所得到的估计结 对于线性最小方差估计，依据 E[ XX
果有所不同；
2) 3) 4) 5) 6)
在一定情况下极大验后估计与线性最小方差估计具有相同的估计结果； 序贯处理具有较高的计算效率，且相对传统 Kalman 滤波对线性系统中各项内容没 有额外要求，可以直接应用求解； 使用成型滤波器对有色噪声进行白化处理，有一定的适用条件； 平滑问题中的平滑误差协方差阵是求解最优平滑增益的重要依据；
T P k 1,k k 1k 1,k P k k 1,k Qk
7
2009~2010 学年最优估计理论试卷
6. 关于 Kalman 滤波器，请给出下面问题的论述。 1) 固定区间平滑的主要计算公式如下，请结合公式对其工作原理与特性进行说明；
ˆ (k N ) X ˆ (k k ) A (k )[ X ˆ (k 1 N ) (k 1, k ) X ˆ (k k )] X s
上表给出不同时刻 z 信号的测量值，试求： 1） 依据上表给出 a 与 b 的估计值计算公式，不必解算具体数值； 2） 若已知测量仪器在第 3 次与第 5 次测量时受到干扰，测量噪声方差是其他时刻的 2 倍，请给出这种情况下 a、b 的最优估计。
2
2009~2010 学年最优估计理论试卷
3． 已知某物体理想情况下沿着圆形轨道以恒定角速率θ运动，轨道半径为 r 但其精确值未 知，观测点设在圆心处，因存在测量噪声，可认为距离 r 及θ 角测量值是由真值与零均值白 噪声构成，两种测量噪声不相关且方差分别为 1（m2）与 1(度 2)，θ = 200 /s，将各种干扰 对运动半径、当前角度的影响看作不相关的白噪声，方差分别为 0.2（m2）与 1(度 2)。 1） 构建稳定、离散的 Kalman 滤波问题滤波器，实现物体位置的估计，并证明其稳定性； 2） 若 t=1~3 秒的观测值(r, θ )分别为（20，200） ， （20.5，420） ， （19.8，59.80） ，其距离单 0 2 位为 m,角度单位为度，已知初始观测值为（20.1，0.1 ） ，初始方差为（1m ，0.5 度 2） ， 计算前 2 秒的物体位置估计值； 3） 是否可以简化计算，并对简化方法进行说明。
ˆ (N | N ) 对于限定记忆滤波，在由常规滤波转入限定记忆解算的时刻 N，需要对 X
的取值进行特殊的处理，不能直接使用滤波计算结果； 对于具有滤波稳定性的线性 Kalman 滤波系统，具有方差阵的渐进性，并且存在方 差阵的极限；
7)
8) 9)
若线性系统的 Kalman 滤波解算达到最优， Z (k | k 1) 表现出白噪声的性质； 对于采用一阶近似下非线性问题线性化的标称轨道滤波、扩展 Kalman 滤波具有相 同的估计精度；
[
i 1 i
n
k 1, k
T Pk T k 1, k H k 1 H k 1 ]ii
C i ( k 1) i k 1 1
( i Ck 1 1) ( i Ck 1 1)
k 1 diag[1(k 1),2( k 1), n( k 1), ]
10) UKF 的滤波精度主要是通过计算 Jacobian 阵的高阶项保证的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
正确的在题号对应的空格处划√，否则划×。
1
2009~2010 学年最优估计理论试卷
2． 信号 z 的服从变化规律：Z=at+bt2 t Z 1 2.95 2 10.05 3 21.5 4 35.96 5 55.7 6 78.1
P(k N ) P(k k ) As (k )[ P(k 1 N ) P(k 1 k )]AsT (k )
h=10cm
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长
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（此页空白，为答题页）
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2009~2010 学年最优估计理论试卷
5． 强跟踪滤波器的 P(k+1|k)计算公式如下， 请结合公式说明强跟踪滤波器工作原理。 其中：
ˆ (k 1| k ) X ˆ Z (k | k -1) X Z k 1, k k
Z T Z 1 1 Z T v0( k ) Z k 1 k 1 1 (k 0) (k 1, 0 1)
P(k | k -1) Pk ,k -1
v0( k 1)
Ck 1
T Tr[v0( k 1) Rk 1 H k 1Qk H k 1 ]
2) 3) 写出离散线性系统 Kalman 最优预测公式，分析 Q、R 变化对最优增益 K 的影响， 并解释其物理含义；在 Q 趋近于无穷大时，滤波结果会是怎样？ 自适应滤波中输出相关法与新息相关法思想分别是什么？
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v r θ
r k + 1 = r k + w1 θ k + 1 = θ k + θ + w2 x1 k + 1 x2 k + 1 = 1 0 x1 k 0 0 u1 1 0 w1 + + 0 1 x2 k 0 1 u2 0 1 w2
z1 k 1 0 x1 k 1 0 v1 = + z2(k) 0 1 x2(k) 0 1 v2
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2009~2010 学年最优估计理论试卷
4． 某矩形材料采用挤塑成型的工艺， 材料生长过程中始终保持矩形形状且高度不变， 沿长、 宽方向的理想生长速度分别为 5cm/s、3cm/s，将实际生长过程中影响长、宽尺寸的干扰 作为零均值白噪声处理，长、宽方向的噪声方差均为 0.1cm2。为控制材料的尺寸，采用 材料实时重量测量的方式， 初始材料尺寸为长 5cm、 宽 3cm、 重量为 150g， 密度为 1g/cm3， 1） 给出材料外形尺寸估计的数学模型； 2） 利用 EKF 并根据以下重量测量结果给出前 2 秒材料外形尺寸的最优估计。 T(s) G(g) 1 599 2 1352 3 2403
北京航空航天大学
2009－2010 学年 第二学期期末
《最优估计理论》
研究生考试卷
班 级______________学 号 _________
姓 名______________成 绩 _________
2010 年 5 月 26 日
2009~2010 学年最优估计理论试卷
班级
学号
姓名
成绩
《最优估计理论》期末考试卷
（2010 年 5 月 26 日，星期三，16:00~18:00， 主 M102 教室）
1． 判断正误（20 分） 1)
T ] min与E [X TX ] min 所得到的估计结 对于线性最小方差估计，依据 E[ XX
果有所不同；
2) 3) 4) 5) 6)
在一定情况下极大验后估计与线性最小方差估计具有相同的估计结果； 序贯处理具有较高的计算效率，且相对传统 Kalman 滤波对线性系统中各项内容没 有额外要求，可以直接应用求解； 使用成型滤波器对有色噪声进行白化处理，有一定的适用条件； 平滑问题中的平滑误差协方差阵是求解最优平滑增益的重要依据；
T P k 1,k k 1k 1,k P k k 1,k Qk
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2009~2010 学年最优估计理论试卷
6. 关于 Kalman 滤波器，请给出下面问题的论述。 1) 固定区间平滑的主要计算公式如下，请结合公式对其工作原理与特性进行说明；
ˆ (k N ) X ˆ (k k ) A (k )[ X ˆ (k 1 N ) (k 1, k ) X ˆ (k k )] X s
上表给出不同时刻 z 信号的测量值，试求： 1） 依据上表给出 a 与 b 的估计值计算公式，不必解算具体数值； 2） 若已知测量仪器在第 3 次与第 5 次测量时受到干扰，测量噪声方差是其他时刻的 2 倍，请给出这种情况下 a、b 的最优估计。
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2009~2010 学年最优估计理论试卷
3． 已知某物体理想情况下沿着圆形轨道以恒定角速率θ运动，轨道半径为 r 但其精确值未 知，观测点设在圆心处，因存在测量噪声，可认为距离 r 及θ 角测量值是由真值与零均值白 噪声构成，两种测量噪声不相关且方差分别为 1（m2）与 1(度 2)，θ = 200 /s，将各种干扰 对运动半径、当前角度的影响看作不相关的白噪声，方差分别为 0.2（m2）与 1(度 2)。 1） 构建稳定、离散的 Kalman 滤波问题滤波器，实现物体位置的估计，并证明其稳定性； 2） 若 t=1~3 秒的观测值(r, θ )分别为（20，200） ， （20.5，420） ， （19.8，59.80） ，其距离单 0 2 位为 m,角度单位为度，已知初始观测值为（20.1，0.1 ） ，初始方差为（1m ，0.5 度 2） ， 计算前 2 秒的物体位置估计值； 3） 是否可以简化计算，并对简化方法进行说明。
ˆ (N | N ) 对于限定记忆滤波，在由常规滤波转入限定记忆解算的时刻 N，需要对 X
的取值进行特殊的处理，不能直接使用滤波计算结果； 对于具有滤波稳定性的线性 Kalman 滤波系统，具有方差阵的渐进性，并且存在方 差阵的极限；
7)
8) 9)
若线性系统的 Kalman 滤波解算达到最优， Z (k | k 1) 表现出白噪声的性质； 对于采用一阶近似下非线性问题线性化的标称轨道滤波、扩展 Kalman 滤波具有相 同的估计精度；
[
i 1 i
n
k 1, k
T Pk T k 1, k H k 1 H k 1 ]ii
C i ( k 1) i k 1 1
( i Ck 1 1) ( i Ck 1 1)
k 1 diag[1(k 1),2( k 1), n( k 1), ]
10) UKF 的滤波精度主要是通过计算 Jacobian 阵的高阶项保证的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
正确的在题号对应的空格处划√，否则划×。
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2009~2010 学年最优估计理论试卷
2． 信号 z 的服从变化规律：Z=at+bt2 t Z 1 2.95 2 10.05 3 21.5 4 35.96 5 55.7 6 78.1