人寿保险趸缴纯保费的厘定
第二章趸缴纯保费2
A
1 x:n
——趸缴纯保费
2－4
定期寿险趸缴纯保费的厘定
（x）在x+k到x+k+1 岁之间死亡的概率。
厘定： A
1 x:n
= E ( zk ) = ∑ v ⋅ px ⋅ qx + k
k =0 k ＋1 k 1 x:n
n −1
⇒ lx A
在x岁时lx个 参保人缴纳 的总保费
= ∑ v ⋅ d x+k
k ＋1 k =0
n −1
未来n年内保险人 赔付所有保险金 的总现值
2－5
现值随机变量的方差
公式：
Var ( zk ) = E ( z ) − E zk ) = ∑ v ⋅ px ⋅ qx + k − E ( zk ) 2 (( EZ ( EZ
2 k 2 2 k =0 n −1
2(k+1) 2 k k
第二节
死亡年末赔付 趸缴纯保费的厘定
1
死亡年末赔付
死亡年末赔付的含义
死亡年末赔付是指如果被保险人在保障期内发生 保险责任范围内的死亡，保险公司将在死亡事件 发生的当年年末给予保险赔付。 由于赔付时刻都发生在死亡事件发生的当年年 末，所以死亡年末赔付时刻是一个离散随机变 量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人 签约时的“整值剩余寿命加1”。 这正好可以使用以整值年龄为刻度的生命表所提 供的生命表函数。所以死亡年末赔付方式是保险 精算师在厘定趸缴保费时通常先假定的理赔方 式。
2－2
定期寿险趸缴纯保费：基本符号
设(x)投保n年定期寿险，保险金额为1元，保险 金在死亡年度末给付。 K = [T ] —— x 岁投保的人取整余寿 bK +1 —— 保险金在死亡年末给付函数，即
四章 保险费率厘定原理
第一节财产保险的保险费厘定原理一、保险费和保险费率保险费是投保人为获得保险保障而缴纳给保险人的费用。
保险人依靠其所收取的保险费建立保险基金，对被保险人因保险事故所遭受的损失进行经济补偿。
保险费由纯保险费和附加保险费构成。
纯保险费主要用于支付保险赔款或给付保险金。
附加保险费主要用于保险业务的各项营业支出，包括营业税、代理手续费、企业管理费、工资及工资附加费和固定资产折旧等。
同样，保险费率也由纯费率与附加费率两部分组成。
二、厘定保险费率的原则(一)公平合理原则其收取的保费应与其承担的风险相当；对投保人来说，其负担的保费应与被保险人获得的保障相当。
(二)充分原则充分原则是指收取的保费在支付赔款、营业费用和税款等之后，仍有一部分结余。
可见，充分原则要求厘定的保险费率应确保保险人的偿付能力。
(三)相对稳定原则相对稳定是指在一定时期内应保持费率的稳定。
(四)促进防灾防损原则其一，可以减少保险人的赔款支出；其二，可以减少整个社会的财富损失。
三、纯保险费率的确定财产保险费率的厘定是以保额损失概率为基础的。
(一)确定保额损失率保额损失率是指单位保额的保险损失赔偿额，即有效索赔额或实际赔偿额占承保保险金额的比率。
第一，保额损失率不是保险标的损失额与保险金额之比，而是保险赔偿金额与保险金额之比。
第二，保险财产的损失率常常要高于社会平均财产损失率，影响保额损失率的因素包括：1．保险事故发生的频率，即保险标的发生保险事故的次数与承保的全部保险标的件数的比率；2．保险事故的损失率，即受灾保险标的的件数与保险标的发生保险事故的次数比率；3．保险标的损毁程度，即保险赔偿额与受灾保险标的的保险金额的比率；4．受灾保险标的的平均保险额与全部保险标的平均保险额的比率。
保险赔偿与这四个影响因素有着内在的联系，通常保额损失率等于他们相乘的积。
[例1]已知：保险标的的件数为16000件，全部保险标的的保险金额为100000000元，发生保险事故的次数为32次，受灾保险标的的件数为40件，受灾保险标的保险金额为320000元，保险人支付的保险赔偿金额为120000元。
实验_趸缴纯保费的计算1
实验 趸缴纯保费的计算实验目的：掌握趸缴纯保费的相关知识。
要求学生熟悉死亡即付寿险、死亡年末给付的寿险的计算，同时了解死亡即付寿险与死亡年未给付寿险的趸缴纯保费的关系以及递增型寿险与递减型寿险的关系，要求学生掌握利用Excel 计算趸缴纯保费的方法。
基本假设纯保费(net prenuim)是指只覆盖保障风险的费用，不包含经营管理费用和附加利润。
在厘定纯保费时要遵循纯保费均衡原理，纯保费均衡原理是指保险人收取的纯保费应该恰好等未来的保险赔付金。
各种类型的保险产品，无论采用何种缴费方式，在厘定净保费时都应该遵循这条基本原则。
趸缴是一种缴费形式，是指将所有的费用一次性缴清。
趸缴纯保费(net single prenuim)是指在保单生效日，被保险人一次性缴付的，恰好覆盖保险人将来赔付风险的费用。
运用均衡原则厘定纯保费时，一般遵循如下三条假定：假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命独立、同分布； 假定二：实保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行拟合； 假定三：保险公司可以预测将来的投资受益（即预定利率）。
以上三条假定的意义是将单个被保险人的风险事故转化为一个同质总体的风险事故加以考虑。
对于单个被保险人而言，他何时发生风险事故，他和保险人约定的受益金额等于多少都是无法预测的，但是对于一个大数总体而言，剩余寿命的分布是有稳定的统计规律的，可以用生命表很好地测度。
所以可以用总体的剩余寿命分布来测度在各个时点的索赔发生的概率，再根据约定的各个时点的赔付额以及考虑利息因素的影响，就可以综合测定纯保费了。
趸缴纯保费的定义 赔付额现值Z 的概率分布若被保险人t 时刻死亡即刻给付1元保险赔付额，设赔付额现值变量为Z ，则x t e v Z t t -<≤==-ωδ0,其中，t 为(x)的余命，余命随机变量T(x)的概率密度函数为)()(t f x T 。
那么赔付额现值Z 小于P 的概率这：)Pr()Pr()Pr(P e P v P Z t t <=<=<-δ不等号两边同时取对数，得)ln Pr()ln Pr()Pr(δδPt P t P Z ->=<-=<也就是说，求赔付额现值Z 小于P 的概率可以转换为求余命t 大于δPln -的概率，或通过余命t 的分布可以求得保险赔付额现值Z 的概率分布。
第七章 人寿保险的趸缴纯保费(2)
• 趸缴纯保费的厘定
– 按照净均衡原则，趸缴纯保费就等于
E ( zt )
11
死亡即刻赔付
• 死亡即刻赔付的含义
– 死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发生 保险责任范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事件发 生之后，立刻给予保险赔付。它是在实际应用场合， 保险公司通常采用的理赔方式。 – 由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任意时刻， 所以死亡即刻赔付时刻是一个连续随机变量，它距 保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的剩 余寿命。
12
1．定期寿险
假设 A 表示即时给付的n年定期寿险的趸缴 纯保费，则
1 x:n
A
1 x:n
E ( zt ) zt fT (t )dt
0
n
v t t px x t dt
0
n
13
2、终身寿险
• 定义 – 保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保 险责任范围内的死亡均给付保险金的险种。 (x • 假定： ) 岁的人，保额1元终身寿险 • 基本函数关系
20
趸缴纯保费递推公式
• 公式三：
Ay v
x y
x y 1
q x (1 Ax 1 )
解释 –(y)的趸缴纯保费等于其未来所有年份的保险 成本的现值之和。
21
例7.3
• 设
x S ( x) 1 100 i 0.1
, 0 x 100
• 计算
（1 A30:10 ） 1 (2)Var ( zt )
vt v , t 0
t
bt 1 , t 0
zt bt vt vt , t 0
14
终身寿险趸缴纯保费的厘定
保险精算学-趸缴纯保费
保险精算学-趸缴纯保费一、介绍保险精算学是一门研究如何根据统计学和数学原理来评估和管理保险风险的学科。
其中，趸缴纯保费是保险精算学中的一个重要概念。
本文将介绍趸缴纯保费的含义、计算方法以及在保险业中的应用。
二、趸缴纯保费的含义趸缴纯保费是指被保险人一次性支付的保险费用，用于购置纯风险保险的保单。
这意味着保险公司承当了保险风险，并且不提供任何现金价值或投资回报。
趸缴纯保费通常应用于寿险和意外险等风险较高的保险产品。
三、趸缴纯保费的计算方法趸缴纯保费的计算方法主要基于统计模型和风险评估。
以下是常用的计算方法：1. 人寿保险中的趸缴纯保费计算方法在人寿保险中，趸缴纯保费的计算通常基于年龄、性别、保额和保险期限等因素。
常见的计算公式如下：趸缴纯保费 = 预期死亡率 × 保额 × 保险期限其中，预期死亡率是根据历史数据和统计模型计算得出的，它表示了某一年龄段人群的平均死亡概率。
2. 意外险中的趸缴纯保费计算方法在意外险中，趸缴纯保费的计算通常基于被保险人的职业、年龄、性别和保险金额等因素。
常见的计算公式如下：趸缴纯保费 = 根底保费 × 职业系数 × 年龄系数其中，根底保费是根据保险公司的费率表确定的，职业系数和年龄系数是根据不同职业和年龄段的保险风险进行评估得出的。
四、趸缴纯保费的应用趸缴纯保费在保险业中有着广泛的应用。
以下是一些应用场景：1. 个人寿险在个人寿险中，趸缴纯保费常用于购置寿险保单。
被保险人一次性支付趸缴纯保费后，保险公司承当了与被保险人生命风险相关的保险责任。
2. 团体意外险在团体意外险中，趸缴纯保费通常用于覆盖公司员工的意外风险。
员工支付趸缴纯保费后，保险公司将提供相应的意外保障。
3. 旅行险在旅行险中，趸缴纯保费可用于购置旅行期间的保险保障。
旅客支付趸缴纯保费后，保险公司将承当与旅行相关的风险，例如医疗费用、航班延误等。
五、结论趸缴纯保费是保险精算学中的一个重要概念，它是被保险人一次性支付的保险费用，用于购置纯风险保险的保单。
保险学 第二章 第四节 寿险趸缴纯保费
保险金给付的精算现值为：
E (Z )
m
v f x ( t ) dt
t
v
m
t t
p x x t dt
趸缴纯保费
m
Ax
m
v f x ( t ) dt
t
v
t t
m
p x x t dt
上式还可以表示为：
。
m
Ax
v
t t
0
p x x t dt
0 x 100
i 0 .1
f x (t )
s ( x t ) s( x)
1 100 x
当： x 30
A 30 :10 ＝
1 10
f x (t )
e
t
1 70
10 0
0
f x ( t ) dt
1 70
10
e
t
dt
0
1 70
e
t
0 . 063803
求： 解：
Ax
60 f x (t ) 0 t 60
Ax
60
e
t
0
60
f x ( t ) dt
60
e
t
1 60
dt
0
1 e
60
（三）、延期寿险的趸缴纯保费
1、延期m年的终身寿险趸缴纯保费 T m t m 0 0 Z bt v T 1 T m t m
4、延期的定期生存年金趸缴纯保费
《保险精算学》笔记：纯保费和毛保费
《保险精算学》笔记：纯保费和毛保费第一节保费简介一、保费的构成二、保费的分类1、按保费缴纳的方式分：一次性缴纳：趸缴（纯/毛）保费以年金的方式缴纳：期缴（纯/毛）保费2、按保险的种类分：只覆盖死亡的保险：纯寿险保费只覆盖生存的保险：生存险保费既覆盖死亡又覆盖生存的保险：两全险保费在前两章中，我们已经学过各险种场合趸缴纯保费的确定：（1）纯寿险趸缴纯保费（死亡受益死亡即刻支付）终身寿险趸缴纯保费：年延期终身寿险趸缴纯保费：年定期寿险趸缴纯保费：年延期年定期寿险趸缴纯保费：（2）生存险趸缴纯保费的确定（一次性生存受益期末支付，生存年金受益期初支付）年定期生存险趸缴纯保费：终身生存年金趸缴纯保费：年延期终身生存年金趸缴纯保费：年定期生存年金趸缴纯保费：年延期年定期生存年金趸缴纯保费：（3）两全险趸缴纯保费的确定（死亡受益死亡即刻支付，生存受益保险期没支付）年定期两全险趸缴纯保费：第二节净均衡保费一、净均衡保费与趸缴纯保费的关系1、纯保费厘定原则——平衡原则：保险人的潜在亏损均值为零。
L=给付金现值-纯保费现值E（L）=0E（给付金现值）=E（纯保费现值）2、净均衡保费与趸缴纯保费的关系E（趸缴纯保费现值）=E（净均衡保费现值）二、各险种净均衡保费的厘定1、完全连续净均衡年保费的厘定（1）终身寿险完全连续净均衡年保费的厘定Ø假定条件：死亡即刻给付1单位的终身人寿保险，被保险人从保单生效起按年连续交付保费（给付连续，缴费也连续）Ø厘定过程：Ø（2）常见险种完全连续净均衡年保费总结完全连续净均衡年保费年定期寿险年两全保险年缴费终身人寿保险年缴费年两全保险年生存保险年递延终身生存保险2、完全离散净均衡年保费的厘定（1）终身寿险完全离散净均衡年保费的厘定Ø假定条件：死亡年末给付1单位的终身人寿保险，被保险人从保单生效起每年年初交付保费（给付离散，缴费也离散）Ø厘定过程：Ø（2）常见险种完全离散净均衡年保费的厘定年定期寿险年两全保险年缴费终身人寿保险年缴费年两全保险年生存保险年递延终身生存保险3、半连续纯年保费的厘定（1）终身寿险半连续净均衡年保费的厘定Ø假定条件：死亡即刻给付1单位的终身人寿保险，被保险人从保单生效起每年年初交付保费（给付连续，缴费离散，这是实际中最常见的给付、缴费方式）Ø厘定过程：完全连续净均衡年保费年定期寿险年两全保险年缴费终身人寿保险年缴费年两全保险年生存保险年递延终身生存保险4、每年缴纳数次保费的纯保费的厘定Ø 终身寿险年缴 次保险假定条件： 死亡即刻给付1单位的终身人寿保险，被保险人从保单生效起每年缴费 次，每期期初缴费（给付连续，缴费离散）Ø 厘定过程：二、毛保费的确定1、毛保费的定义：保险公司实际收取的保费为用于保险金给付的纯保费和用于各种经营费用开支的附加费用之和，即毛保费，简记为：G2、毛保费厘定原则基本原则：精算等价原则毛保费精算现值=纯保费精算现值+附加费用的精算现值=各种给付精算现值+各种费用支出精算现值三、单位保单费用1、保单费用：在保险费用中，有一部分附加费用只与保单数目有关，与保险金额或保险费无关，这部分费用称为保单费用，如准备新保单、建立会计记录、邮寄保费通知的费用等。
第九讲 趸缴纯保费
×k q x = h A
1 x:n
h
A1 =
x:n
n + h −1 k =h
∑v
k +1
×k q x ×t +h qx
令t = k − h∑ v
t =0 n −1 h t +1
n −1
t + h +1
= ∑ v × v × h px ×t qx+h
t =0 h
= v × h px × ∑ v ×t qx+h
k =0 n −1
M x − M x + n + Dx + n = Dx
例题
设年龄25岁的人购买离散型的保额为5000元 的30年两全保险,试求该保单的趸缴纯保费.
2.1.3 延期保险
保额为1,h年延期的n年定期保险 n + h −1
h
A1 =
x:n
∑v
k =h
k +1
×k q x
M x+h − M x+h+n = Dx
1 = ( M x + M x+1 + M x+2 + ... + M x+n−1 − nM x +n ) Dx 1 ( Rx − Rx+n − nM x +n ) = Dx
( IA) 1
x: n
1 = ( Rx − Rx + n − nM x + n ) Dx
2 递增的终身寿险
( IA) x = ∑ (k + 1)v k +1 k qx
基本符号
(x)
—— 投保年龄。 ——人的极限年龄 ——保险金给付函数。 ——贴现函数。
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人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的 生命状况。被保险人的死亡时间是一个随机变量。 这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量， 它依赖于被保险人剩余寿命分布。
被保障人群的大数性
这就意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理计 算出平均赔付并可预测将来的风险。
假定：(x) 岁的人，保额1元n年定期寿险
基本函数关系
vt vt , t 0
vt , t n
1 , t n bt 0 , t n
zt
btvt
0
,
tn
趸缴纯保费的厘定
符号：A1x:n
厘定：
1
n
Ax:n E(zt ) 0 zt fT (t)dt
n vt
0
t
pxxt dt
Ax:m
A x m:n
A1
m x:n
m
1
Ax:n
现值随机变量的方差
记：
m年延期n年定期寿险现值随机变量为 z1 m年延期n年定期生存险现值随机变量为 z2 m年延期n年定期两全险现值随机变量为 z3
已知
z3 z1 z2
则
Var ( z3 )
Var(z1) Var(z2 )
m
A1 x:n
m
0 zt fT (t)dt 0 zt fT (t)dt
1
Ax Ax:m
现值随机变量的方差
方差公式
Var(zt ) E(zt2 ) E(zt )2
m
e2 t
fT
(t)dt
E(zt
)2
记
2
m
Ax
m
e2 t
fT
(t)dt
所以方差等价于
Var(zt )
2 m
Ax
(m
Ax )2
(3) Pr(zt 0.9 ) Pr(vt 0.9 )
=
Pr(t
ln
v
ln
0.9
)
P(t
ln 0.9
ln v
)
60 ln 0.9
60
ln0.9 fT (t)dt ln v
ln v 0.9 60
ln 0.9 6 ln v 0.9 v6 e6
3、延期终身寿险
定义
保险人对被保险人在投保m年后发生的保险责任范围内的死亡 均给付保险金的险种。
10
10
(2)
2 m
Ax
e0.12t 0.04e0.04t dt 0.04e0.16t
10
0.16
10
0.05047
Var(zt )
2 m
Ax
(m
Ax )2
0.0288
4、n 年定期生存保险
定义
被保险人投保后生存至n年期满时，保险人在第n年末支付保 险金的保险。
假定：(x) 岁的人，保额1元，n年定期生存保险
基本函数关系
vt vn , t 0
vn , t n
1 , t n bt 0 , t n
zt btvt 0 , t n
趸缴纯保费的厘定
符号：Ax:1n
趸缴纯保费厘定
1
Ax:n
E(zt ) vn n px
e n n px
现值随机变量的方差：
Var(zt ) v2n n px (vn n px )2
insurance
第一节
人寿保险 趸缴纯保费厘定的原理
人寿保险简介
什么是人寿保险
狭义的人寿保险是以被保险人在保障期是否 死亡作为保险标的的一种保险。
广义的人寿保险是以被保险人的寿命作为保 险标的的一种保险。它包括以保障期内被保 险人死亡为标的的狭义寿险，也包括以保障 期内被保险人生存为标底的生存保险和两全 保险。
vt
vt vn
, ,
tn tn
bt 1 , t 0
zt
bt vt
Байду номын сангаас
vt , t n
v
n
,
tn
趸缴纯保费的厘定
符号：Ax:n
厘定
记：n年定期寿险现值随机变量为 z1
n年定期生存险现值随机变量为 n年定期两全险现值随机变量为
z2 z3
已知
z3 z1 z2
则
1
1
E(z3) E(z1) E(z2) Ax:n Ax:n Ax:n
基本函数关系
vt vt , t 0 bt 1 , t 0
zt btvt vt , t 0
趸缴纯保费的厘定
符号：Ax
厘定：
Ax E(zt ) 0 zt fT (t)dt
0
vt
t
pxxt dt
0
e t
t
px xt dt
现值随机变量的方差
方差公式
Var(zt ) E(zt2 ) E(zt )2
m
1
Ax:n
7、递增终身寿险
定义：递增终身寿险是变额受益保险的一种特 殊情况。假定受益金额为剩余寿命的线性递增 函数
特别： 一年递增一次 一年递增m次 一年递增无穷次（连续递增）
一年递增一次
现值随机变量
例2.1
设
S(x) 1 x 100
i 0.1
计算
（1）A1 30:10
, 0 x 100
(2)Var(zt )
例2.1答案
(1)
fT
(t)
S(x t) S(x)
1 100
x
A1 30:10
10 0
vt
f30 (t)dt
101.1t
1
dt
1
1.1t
0 10
0
70 70 ln1.1
假定：(x)岁的人，保额1元，延期m年的n年定期两全
保险
基本函数关系
vt
vt
v
m
,
n
t mn , t mn
0, t m zt btvt vt , m t m n
0 , t m bt 1 , t m
vmn , t m n
趸缴纯保费的厘定
符号： m
Ax:n
厘定
1
A m x:n
n et
0
t
pxxt dt
现值随机变量的方差
方差公式
Var(zt ) E(zt2 ) E(zt )2
n 0
e2t
fT
(t)dt
E(zt
)2
记
2 A1 x:n
n 0
e2t
fT
(t)dt
（相当于利息力翻倍以后求n年期寿险的趸缴保费）
所以方差等价为
Var
(
zt
)
2A1 x:n
(A1 )2 x:n
趸缴纯保费的厘定
假定条件:
假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保 险人的剩余寿命是独立同分布的。
假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经 验生命表进行拟合。
假定三：保险公司可以预测将来的投资受益 （即预定利率）。
纯保费厘定原理
原则
保费净均衡原则
解释
所谓净均衡原则，即保费收入的期望现时值 正好等于将来的保险赔付金的期望现时值。 它的实质是在统计意义上的收支平衡。是在 大数场合下，收费期望现时值等于支出期望 现时值
E(zt )
第二节
死亡即刻赔付 趸缴纯保费的厘定
死亡即刻赔付
死亡即刻赔付的含义
死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发生 保险责任范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事件发 生之后，立刻给予保险赔付。它是在实际应用场合， 保险公司通常采用的理赔方式。
由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任意时刻， 所以死亡即刻赔付时刻是一个连续随机变量，它距 保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的剩 余寿命。
例2.3
假设（x）投保延期10年的终身寿险，保 额1元。
保险金在死亡即刻赔付。 已知
0.06，S (x) e0.04x , x 0
求：
(1) 10 Ax (2)Var(zt )
例2.3答案
(1)
fT
(t)
S(x t) S(x)
0.04e0.04t
m Ax
e0.06t 0.04e0.04t dt 0.04 e0.1t dt 0.147
现值随机变量方差
Var(z3) Var(z1) Var(z2 ) Cov(z1, z2 ) Var(z1) Var(z2 ) E(z1 z2 ) E(z1) E(z2 )
因为
所以
z1 z2 0
Var ( z3 )
Var(z1)
Var(z2 )
A1 x:n
1
Ax:n
例2.4（例2.1续）
人寿保险的分类
受益金额是否恒定
定额受益保险 变额受益保险
保单签约日和保障期 期始日是否同时进行
非延期保险 延期保险
保障标的的不同
人寿保险（狭义） 生存保险 两全保险
保障期是否有限
定期寿险 终身寿险
人寿保险的性质
保障的长期性
这使得从投保到赔付期间的投资受益（利息）成为 不容忽视的因素。
基本符号
(x) —— 投保年龄 x 的人。
——人的极限年龄 bt ——保险金给付函数。
vt ——贴现函数。
zt ——保险给付金在保单生效时的现
时值
zt bt vt
趸缴纯保费的厘定
趸缴纯保费的定义
在保单生效日一次性支付将来保险赔付金的期望现 时值
趸缴纯保费的厘定
按照净均衡原则，趸缴纯保费就等于
0.092
（2）Var
(
zt
)
2A1 30:10
(A1 )2 30:10