反距离加权插值方法研究

倒数距离加权插值，又称“反距离加权平均”或“Shepard 方法”。

设有n 个点，平面坐标为),(i i y x ，垂直高度为i z ，n i ,,2,1 =，倒数距离加权插值的插值函数为
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===≠=∑∑==时
当时
当n i y x y x z
n i y x y x d d z y x f i i i
i i n
j p j n j p j j
,,2,1,),(),(,,2,1,),(),(1
),(11 。

其中，22)()(j j j y y x x d -+-=
是),(y x 点到),(j j y x 点的水平距离，n j ,,2,1 =。

p 是一个大于0的常数，称为加权幂指数。

容易看出，z ∑∑===
n
j p j
n
j p j
j
d
d
z 1
11
是 n z z z ,,,21 的加权平均。

),(y x f 是用分段表达式表达的，看起来不连续，实际上，它是处处连续的。

),(lim y x f i i y y x x →→∑∑==→→=n j p
j
n
j p j j
y y x x d d
z i i 111lim p n p i p i p i p p n
n p i i p i i p i i p d d d d d d d z d z d z d z d z i 11111lim
111111111
0++++++++++++=+-++--→ p n p i
p i p i p i p i p p i p
n p
i n p
i p i i i p i p i i p p i d d d d d d d d d d d z d d z z d d z d d z i ++++++++++++=+-++--→ 1
111
1111101lim ),(i i i y x f z == ，
所以，),(y x f 在),(i i y x 连续。

加权幂指数p 可以调节插值函数曲面的形状。

p 越大，在节点处函数曲面越平坦；p 越小，在节点处函数曲面越尖锐。

倒数距离加权插值的优点是：公式比较简单，特别适用于结点散乱，不是网格点的问题。

它的缺点是：只能在节点上取到函数的最大最小值（因为这种插值是各节点上值的加权平均）。

当节点比较多时，倒数距离加权插值的计算工作量比较大，可将插值公式作下列简化：
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨
⎧===≠=∑∑==时
当时
当n i y x y x z n i y x y x d w z d w y x f i i i
i i n
j j n
j j j ,,2,1,),(),(,,2,1,),(),()()(),(11 ，
其中
⎪⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧>≤<⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤
<=R
d R d R
R
d R R
d d d w j j j
j j j 0314273
01)(2 。

当 3
R
d j ≤
时，)(j d w 的图像是一段双曲线（就是原来1=p 时的倒数距离加权插值
公式）；当
R d R
j ≤<3
时，)(j d w 的图像是一段抛物线；当 R d j > 时，0)(=j d w ，这样，对于距离大于R 的节点，就可以不必计算，计算工作量也就大大减少了。

.。