2013高考数学(理)热点专题专练课件：5-1302
2013届高考数学主干知识整合课件13
例 2 (1)已知数列{an}满足 a1＝2，an＋1＝53aann－－173(n ∈N*)，则数列{an}的前 100 项的和为________．
(2)已知数列{an}，{bn}满足 a1＝1，a2＝2，b1＝2，且 对任意的正整数 i，j，k，l，当 i＋j＝k＋l 时，都有 ai＋bj
2 3
【解析】 方法一：因为 S10＝70，所以10a12＋a10＝70，
即 a1＋a10＝14.又 a10＝10，所以 a1＝4，故 9d＝10－4＝6，所以 d
＝23.
方法二：由题意得a110＋a1＋9d＝45d1＝0，70，
a1＝4， 解得d＝23.
专题十三 │ 要点热点探究
► 探究点二 根据递推关系式求通项公式 如果所给数列递推关系式，不可以用叠加法或叠乘法，在
＝ak＋bl，则201102i＝0110 (ai＋bi)的值是________．
专题十三│ 要点热点探究
(1)200 (2)2012 【解析】 (1)由 a1＝2，an＋1＝53aann－－173(n∈N*)得 a2＝53××22－－173＝3，a3＝53××33－－173＝1，a4＝53××11－－173＝2，则{an}是周期 为 3 的数列，所以 S100＝(2＋3＋1)×33＋2＝200.
谢谢
例 4 在各项均为正数的等比数列{an}中，已知 a2＝2a1＋3， 且 3a2，a4,5a3 成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝log3an，求数列{anbn}的前 n 项和 Sn.
专题十三│ 要点热点探究
【解答】 (1)设{an}公比为 q，由题意得 q>0，
且a32a＝2＋2a51a＋3＝3，2a4，
2013高考数学(理)热点专题专练课件：2-5
解析
将△A′B′C′放入一个锐角为45° 的斜角坐标系
x′O′y′中，如图1所示，将其按照斜二测画法的规则还原为 真实图形，如图2所示，在真实图形中OA＝O′A′，AB＝ A′B′，OC＝2O′C′，在△O′D′C′中，O′C′＝ C′D′ 6 ＝ ，故在真实图形中OC＝ 6，即真实图形中三角形 sin45° 2
④每个面都是等边三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体．
[解析]
①正确，如图1；②错，我们找不到符合题意的不
是矩形的平行四边形；③正确，如图2；④正确，如图3；⑤正 确，如图4.故填①③④⑤.
[答案] ①③④⑤
【探究1】
把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱，
当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为 ________．
要点串讲
1.空间几何体的结构特征 (1)棱柱的结构特征：棱柱有两个面互相平行，而其余每相 邻两个面的交线都互相平行． (2)棱锥的结构特征：棱锥底面是多边形，侧面都是有一个 公共点的三角形． (3)棱台的结构特征：两底面是两个相互平行且相似的多边 形，侧棱的延长线相交于一点，侧面是梯形．
(4)将矩形绕着它的一边所在的直线旋转一周，形成的几何 体叫做圆柱，这条直线叫做轴；将直角三角形绕着它的一条直 角边所在的直线旋转一周，形成的几何体叫做圆锥，这条直线 叫做轴；将直角梯形绕着它的垂直于底边的腰所在的直线旋转 一周，形成的几何体叫做圆台，这条直线叫做轴；半圆绕着它 的直径所在的直线旋转一周，形成的几何体叫做球．半圆弧旋 转而成的曲面叫做球面．
又∵4VM－SBC＋VM—ABCD＝VS—ABCD， 1 1 1 ∴4× ×S△SBC· SABCD· ×S正方形ABCD· r＋ r＝ 3 3 3 |SO1|， 4 7 2 1 2 1 2 6 ∴3× 4 a · 3×a · 3a ·2 a， r＋ r＝ 42－ 6 解得r＝ a. 12
2013高考数学(理)热点专题专练课件：5-1301
∪
b － ，＋∞；当Δ<0时，解集为R.”在本例中x2项的系数为 2a
1，是个常数，当Δ>0时，两根的大小关系是明确的，故只需要 依据判别式与0的关系进行分类讨论就可以化解这个难点．当 一元二次不等式一端化为0后，另一端的二次三项式对应方程 的判别式是确定这个不等式解的情况的一把标尺，是进行分类 讨论的标准．
类型二 三个二次的综合问题 【例2】 (天津)设函数f(x)＝x4＋ax3＋2x2＋b(x↔R)，其中 a，b↔R. 10 (1)当a＝－ 3 时，讨论函数f(x)的单调性； (2)若函数f(x)仅在x＝0处有极值，求a的取值范围； (3)若对于任意的a↔[－2,2]，不等式f(x)≤1在x↔[－1,1]上 恒成立，求b的取值范围．
2．利用基本不等式求函数最值是确定函数最值的重要方 法，为近几年各省市高考的热点． 3．常与函数、解析几何、立体几何和实际问题交汇命题， 多以中档题形式出现．
要点串讲
1.一元二次不等式是最常见的不等式，其解集取决于它作 为方程的两个根，因此首先要判断方程是否有根，也就是要判 断其判别式的正负．在解不等式前还应把它化成二次项系数为 正值的情况，在这种情况下写出的解集不易出错． 2．与一元二次不等式有关的恒成立问题一般要与二次函 数的图象联系起来进行求解．通常需要考虑的是：二次函数的 开口方向，判别式与0的大小关系等．有区间限制的恒成立问 题还需要考虑区间端点的取值与对称轴的取值等．
b (1)y＝ax＋ x (a，b↔R＋)在 －∞，－ 上为增函数，在－ b ，0和0， a
b 和 a
b ，＋∞ a
b 上为减函数． a
b (2)求函数y＝ax＋ (a，b↔R＋，x↔(0，c])的最小值时应注 x 意：①若c≥ ②若c< b a，则当且仅当x＝ b a 时，y有最小值2 ab；
2013全国各地高考理科数学试题及详解汇编(一).pptx
【命题意图】本题主要考查函数不等式恒成立求参数范围问题的解法，是难题。
【解析】∵|
f
(x)
|=
x2 ln(x
2x, x 0 1), x 0
，∴由|
f
(x)
|≥
ax
x 0
得，
x 2
2x
ax
x 0 且 ln(x 1)
2
2x
ax
可得a x 2 ，则 a ≥-2，排除Ａ，Ｂ，
当 a =1 时，易证ln(x 1) x 对 x 0 恒成立，故 a =1 不适合，排除C，故选 D.
12、设△AnBnCn 的三边长分别为 an,bn,cn，△AnBnCn 的面积为 Sn，n=1,2,3,…
若 b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝cn＋2 an，cn＋1＝bn＋2 an，则( )
4、已知双曲线C ： x2 y2 1（ a 0,b 0 ）的离心率为 5 ，则 C 的渐近线方程为
a2 b2
2
A . y 1 x B . y 1 x C . y 1 x D . y x
4
3
2
【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，是简单题.
【解析】由题知， c
5
5
，即
=
c2
a 2 b
2
2
= 2k , k z ，∴ cos = cos(2k ) =sin = 2 5 .
2
2
5
16、若函数 f (x) = (1 x2 )(x2 ax b) 的图像关于直线 x =－2对称，则 f (x) 的最大值是
. 【命题意图】本题主要考查函数的对称性及利用导数求函数最值，是难题.
x2 y2
2013届高考数学(理)一轮复习课件第二章第十二节导数的综合应用(广东专用)
(2011·浙江高考)设函数f(x)＝a2ln x－x2＋ax，a ＞0. (1)求f(x)的单调区间； (2)求所有的实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．(其中， e为自然对数的底数)．
3．解决优化问题的基本思想
函数的极大值一定比极小值大吗？ 【提示】 极值是一个局部概念，极值的大小关系是不确定的，
即极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．
1．(教材改编题)函数 f(x)＝ax3＋x 恰有三个单调区间，则
a 的取值范围是( )
A．(－∞，－13]
B．[－13，＋∞)
第十二节 导数的综合应用
1．通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为 _优__化_____问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义 域内只有一个极值点，那么该点也是最值点．
2．利用导数研究函数的单调性和最(极)值等离不开方程与不 等式；反过来方程的根的个数，不等式的证明、不等式恒成立 求参数等，又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题，利 用导数进行研究．
【答案】 9
4 ． 已 知 f(x) ＝ 1 ＋ x － sin x ， 试 比 较 f(2) ， f(3) ， f(π) 的 大 小 为 ________． 【解析】 f′(x)＝1－cos x，当x∈(0，π]时，f′(x)＞0. ∴f(x)在(0，π]上是增函数，∴f(π)＞f(3)＞f(2)． 【答案】 f(π)＞f(3)＞f(2)
3．(2012·青岛质检)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年 产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使 该生产厂家获取最大年利润的年产量为________万件．
2013年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)(含解析版)
2013年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．62．（5分）=（）A．﹣8B．8C．﹣8i D．8i3．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣14．（5分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（）A．（﹣1，1）B ．C．（﹣1，0）D ．5．（5分）函数f（x）=log2（1+）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=（）A ．B ．C．2x﹣1（x∈R）D．2x﹣1（x＞0）6．（5分）已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B ．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）7．（5分）（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是（）A．5B．8C．12D．188．（5分）椭圆C ：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．9．（5分）若函数f（x）=x2+ax +是增函数，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．[﹣1，+∞）C．[0，3]D．[3，+∞）10．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）A ．B ．C ．D ．11．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B 两点，若，则k=（）A ．B ．C ．D．212．（5分）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中不正确的是（）A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称B ．C ．D．f（x）既是奇函数，又是周期函数二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知α是第三象限角，sinα=﹣，则co tα=．14．（5分）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种．（用数字作答）15．（5分）记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a 的取值范围是．16．（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，，则球O的表面积等于．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）等差数列{a n}的前n项和为S n．已知S3=a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{a n}的通项式．18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．（Ⅰ）求B．（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形．（Ⅰ）证明：PB⊥CD；（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的大小．20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；（Ⅱ）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．21．（12分）已知双曲线C ：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y=2与C 的两个交点间的距离为．（I）求a，b；（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．22．（12分）已知函数．（I）若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值；（II）设数列{a n}的通项a n=1+．2013年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．6【考点】13：集合的确定性、互异性、无序性；1A：集合中元素个数的最值．【专题】11：计算题．【分析】利用已知条件，直接求出a+b，利用集合元素互异求出M中元素的个数即可．【解答】解：因为集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，所以a+b的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8，所以M中元素只有：5，6，7，8．共4个．故选：B．【点评】本题考查集合中元素个数的最值，集合中元素的互异性的应用，考查计算能力．2．（5分）=（）A．﹣8B．8C．﹣8i D．8i【考点】A5：复数的运算．【分析】复数分子、分母同乘﹣8，利用1的立方虚根的性质（），化简即可．【解答】解：故选：A．【点评】复数代数形式的运算，是基础题．3．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣1【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：∵，．∴=（2λ+3，3），．∵，∴=0，∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3．故选：B．【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键．4．（5分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（）A．（﹣1，1）B ．C．（﹣1，0）D ．【考点】33：函数的定义域及其求法．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】原函数的定义域，即为2x+1的范围，解不等式组即可得解．【解答】解：∵原函数的定义域为（﹣1，0），∴﹣1＜2x+1＜0，解得﹣1＜x ＜﹣．∴则函数f（2x+1）的定义域为．故选：B．【点评】考查复合函数的定义域的求法，注意变量范围的转化，属简单题．5．（5分）函数f（x）=log2（1+）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=（）A ．B ．C．2x﹣1（x∈R）D．2x﹣1（x＞0）【考点】4R：反函数．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】把y看作常数，求出x：x=，x，y互换，得到y=log2（1+）的反函数．注意反函数的定义域．【解答】解：设y=log2（1+），把y看作常数，求出x：1+=2y，x=，其中y＞0，x，y互换，得到y=log2（1+）的反函数：y=，故选：A．【点评】本题考查对数函数的反函数的求法，解题时要认真审题，注意对数式和指数式的相互转化．6．（5分）已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B ．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）【考点】89：等比数列的前n项和．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由已知可知，数列{a n}是以﹣为公比的等比数列，结合已知可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求【解答】解：∵3a n+1+a n=0∴∴数列{a n}是以﹣为公比的等比数列∵∴a1=4由等比数列的求和公式可得，S10==3（1﹣3﹣10）故选：C．【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题7．（5分）（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是（）A．5B．8C．12D．18【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】由题意知利用二项展开式的通项公式写出展开式的通项，令x的指数为2，写出出展开式中x2的系数，第二个因式y2的系数，即可得到结果．【解答】解：（x+1）3的展开式的通项为T r+1=C3r x r令r=2得到展开式中x2的系数是C32=3，（1+y）4的展开式的通项为T r+1=C4r y r令r=2得到展开式中y2的系数是C42=6，（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是：3×6=18，故选：D．【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，本题解题的关键是写出二项式的展开式，所有的这类问题都是利用通项来解决的．8．（5分）椭圆C ：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【考点】I3：直线的斜率；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由椭圆C ：可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x0，y0）（x0≠±2），代入椭圆方程可得．利用斜率计算公式可得，再利用已知给出的的范围即可解出．【解答】解：由椭圆C ：可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x0，y0）（x0≠±2），则，得．∵=，=，∴==，∵，∴，解得．故选：B．【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、斜率的计算公式、不等式的性质等是解题的关键．9．（5分）若函数f（x）=x2+ax +是增函数，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．[﹣1，+∞）C．[0，3]D．[3，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】53：导数的综合应用．【分析】由函数在（，+∞）上是增函数，可得≥0在（，+∞）上恒成立，进而可转化为a ≥﹣2x 在（，+∞）上恒成立，构造函数求出﹣2x 在（，+∞）上的最值，可得a的取值范围．【解答】解：∵在（，+∞）上是增函数，故≥0在（，+∞）上恒成立，即a ≥﹣2x 在（，+∞）上恒成立，令h（x）=﹣2x，则h′（x）=﹣﹣2，当x ∈（，+∞）时，h′（x）＜0，则h（x）为减函数．∴h（x）＜h （）=3∴a≥3．故选：D．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，是导数的综合应用，难度中档．10．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）A ．B ．C ．D ．【考点】MI：直线与平面所成的角．【专题】15：综合题；16：压轴题；5G：空间角；5H：空间向量及应用．【分析】设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=||，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可．【解答】解：设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：则D（0，0，2），C1（1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2），=（1，1，0），=（1，0，﹣2），=（1，0，0），设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，则，即，取=（2，﹣2，1），设CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=||=，故选：A．【点评】本题考查直线与平面所成的角，考查空间向量的运算及应用，准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键．11．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B 两点，若，则k=（）A ．B ．C ．D．2【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，利用=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）=0，即可求出k的值．【解答】解：由抛物线C：y2=8x得焦点（2，0），由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，得到k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．∴x1+x2=4+，x1x2=4．∴y1+y2=，y1y2=﹣16，又=0，∴=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）==0∴k=2．故选：D．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．12．（5分）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中不正确的是（）A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称B ．C ．D．f（x）既是奇函数，又是周期函数【考点】H1：三角函数的周期性；HW：三角函数的最值．【专题】11：计算题；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据函数图象关于某点中心对称或关于某条直线对称的公式，对A、B两项加以验证，可得它们都正确．根据二倍角的正弦公式和同角三角函数的关系化简，得f（x）=2sinx（1﹣sin2x），再换元：令t=sinx，得到关于t的三次函数，利用导数研究此函数的单调性可得f（x）的最大值为，故C不正确；根据函数周期性和奇偶性的定义加以验证，可得D项正确．由此可得本题的答案．【解答】解：对于A，因为f（π+x）=cos（π+x）sin（2π+2x）=﹣cosxsin2x，f（π﹣x）=cos（π﹣x）sin（2π﹣2x）=cosxsin2x，所以f（π+x）+f（π﹣x）=0，可得y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称，故A正确；对于B，因为f （+x）=cos （+x）sin（π+2x）=﹣sinx（﹣sin2x）=sinxsin2x，f （﹣x）=cos （﹣x）sin（π﹣2x）=sinxsin2x，所以f （+x）=f （﹣x），可得y=f（x）的图象关于直线x=对称，故B正确；对于C，化简得f（x）=cosxsin2x=2cos2xsinx=2sinx（1﹣sin2x），令t=sinx，f（x）=g（t）=2t（1﹣t2），﹣1≤t≤1，∵g（t）=2t（1﹣t2）的导数g'（t）=2﹣6t2=2（1+t）（1﹣t）∴当t∈（﹣1，﹣）时或t ∈（，1）时g'（t）＜0，函数g（t）为减函数；当t ∈（﹣，）时g'（t）＞0，函数g（t）为增函数．因此函数g（t）的最大值为t=﹣1时或t=时的函数值，结合g（﹣1）=0＜g （）=，可得g（t ）的最大值为．由此可得f（x ）的最大值为而不是，故C不正确；对于D，因为f（﹣x）=cos（﹣x）sin（﹣2x）=﹣cosxsin2x=﹣f（x），所以f（x）是奇函数．因为f（2π+x）=cos（2π+x）sin（4π+2x）=cosxsin2x=f（x），所以2π为函数的一个周期，得f（x）为周期函数．可得f（x）既是奇函数，又是周期函数，得D 正确．综上所述，只有C项不正确．故选：C．【点评】本题给出三角函数式，研究函数的奇偶性、单调性和周期性．着重考查了三角恒等变换公式、利用导数研究函数的单调性和函数图象的对称性等知识，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知α是第三象限角，sinα=﹣，则cotα=2．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【专题】56：三角函数的求值．【分析】根据α是第三象限的角，得到cosα小于0，然后由sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，进而求出cotα的值．【解答】解：由α是第三象限的角，得到cosα＜0，又sinα=﹣，所以cosα=﹣=﹣则cotα==2故答案为：2【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道基础题．学生做题时注意α的范围．14．（5分）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有480种．（用数字作答）【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题．【分析】排列好甲、乙两人外的4人，然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位中即可．【解答】解：6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法：排列好甲、乙两人外的4人，有中方法，然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位，有种方法，所以共有：=480．故答案为：480．【点评】本题考查了乘法原理，以及排列的简单应用，插空法解答不相邻问题．15．（5分）记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a 的取值范围是[，4] ．【考点】7C：简单线性规划．【专题】16：压轴题；59：不等式的解法及应用．【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=a（x+1）中，求出y=a（x+1）对应的a的端点值即可．【解答】解：满足约束条件的平面区域如图示：因为y=a（x+1）过定点（﹣1，0）．所以当y=a（x+1）过点B（0，4）时，得到a=4，当y=a（x+1）过点A（1，1）时，对应a=．又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．所以≤a≤4．故答案为：[，4]【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．16．（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，，则球O的表面积等于16π．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】16：压轴题；5F：空间位置关系与距离．【分析】正确作出图形，利用勾股定理，建立方程，即可求得结论．【解答】解：如图所示，设球O的半径为r，AB是公共弦，∠OCK是面面角根据题意得OC=，CK=在△OCK中，OC2=OK2+CK2，即∴r2=4∴球O的表面积等于4πr2=16π故答案为16π【点评】本题考查球的表面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）等差数列{a n}的前n项和为S n．已知S3=a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{a n}的通项式．【考点】85：等差数列的前n项和；88：等比数列的通项公式．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由，结合等差数列的求和公式可求a2，然后由，结合等差数列的求和公式进而可求公差d，即可求解通项公式【解答】解：设数列的公差为d由得，3∴a2=0或a2=3由题意可得，∴若a2=0，则可得d2=﹣2d2即d=0不符合题意若a2=3，则可得（6﹣d）2=（3﹣d）（12+2d）解可得d=0或d=2∴a n=3或a n=2n﹣1【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，等比数列的性质的简单应用，属于基础试题18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．（Ⅰ）求B．（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HR：余弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】（I）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出cosB，将关系式代入求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（II）由（I）得到A+C的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A﹣C），变形后将cos（A+C）及2sinAsinC的值代入求出cos（A﹣C）的值，利用特殊角的三角函数值求出A﹣C的值，与A+C 的值联立即可求出C的度数．【解答】解：（I）∵（a+b+c）（a﹣b+c）=（a+c）2﹣b2=ac，∴a2+c2﹣b2=﹣ac，∴cosB==﹣，又B为三角形的内角，则B=120°；（II）由（I）得：A+C=60°，∵sinAsinC=，cos（A+C）=，∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC=+2×=，∴A﹣C=30°或A﹣C=﹣30°，则C=15°或C=45°．【点评】此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形．（Ⅰ）证明：PB⊥CD；（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的大小．【考点】LW：直线与平面垂直；M5：共线向量与共面向量．【专题】11：计算题；5G：空间角．【分析】（I）取BC的中点E，连接DE，过点P作PO⊥平面ABCD于O，连接OA、OB、OD、OE．可证出四边形ABED是正方形，且O为正方形ABED的中心．因此OE⊥OB，结合三垂线定理，证出OE⊥PB，而OE是△BCD的中位线，可得OE∥CD，因此PB⊥CD；（II）由（I）的结论，证出CD⊥平面PBD，从而得到CD⊥PD．取PD的中点F，PC的中点G，连接FG，可得FG∥CD，所以FG⊥PD．连接AF，可得AF⊥PD，因此∠AFG为二面角A﹣PD﹣C的平面角，连接AG、EG，则EG∥PB，可得EG⊥OE．设AB=2，可求出AE、EG、AG、AF和FG的长，最后在△AFG中利用余弦定理，算出∠AFG=π﹣arccos，即得二面角A﹣PD﹣C的平面角大小．【解答】解：（I）取BC的中点E，连接DE，可得四边形ABED是正方形过点P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA、OB、OD、OE∵△PAB与△PAD都是等边三角形，∴PA=PB=PD，可得OA=OB=OD因此，O是正方形ABED的对角线的交点，可得OE⊥OB∵PO⊥平面ABCD，得直线OB是直线PB在内的射影，∴OE⊥PB∵△BCD中，E、O分别为BC、BD的中点，∴OE∥CD，可得PB⊥CD；（II）由（I）知CD⊥PO，CD⊥PB ∵PO、PB是平面PBD内的相交直线，∴CD⊥平面PBD∵PD⊂平面PBD，∴CD⊥PD取PD的中点F，PC的中点G，连接FG，则FG为△PCD有中位线，∴FG∥CD，可得FG⊥PD连接AF，由△PAD是等边三角形可得AF⊥PD，∴∠AFG为二面角A﹣PD﹣C的平面角连接AG、EG，则EG∥PB∵PB⊥OE，∴EG⊥OE，设AB=2，则AE=2，EG=PB=1，故AG==3在△AFG中，FG=CD=，AF=，AG=3∴cos∠AFG==﹣，得∠AFG=π﹣arccos，即二面角A﹣PD﹣C的平面角大小是π﹣arccos．【点评】本题给出特殊的四棱锥，求证直线与直线垂直并求二面角平面角的大小，着重考查了线面垂直的判定与性质、三垂线定理和运用余弦定理求二面的大小等知识，属于中档题．20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；（Ⅱ）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】5I：概率与统计．【分析】（I）令A1表示第2局结果为甲获胜，A2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负，A表示第4局甲当裁判，分析其可能情况，每局比赛的结果相互独立且互斥，利用独立事件、互斥事件的概率求解即可．（II）X的所有可能值为0，1，2．分别求出X取每一个值的概率，列出分布列后求出期望值即可．【解答】解：（I）令A1表示第2局结果为甲获胜．A2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负．A表示第4局甲当裁判．则A=A1•A2，P（A）=P（A1•A2）=P（A1）P（A2）=；（Ⅱ）X的所有可能值为0，1，2．令A3表示第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜．B1表示第1局结果为乙获胜，B2表示第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜，B3表示第3局乙参加比赛时，结果为乙负，则P（X=0）=P（B1B 2）=P（B1）P（B2）P （）=．P（X=2）=P （B3）=P （）P（B3）=．P（X=1）=1﹣P（X=0）﹣P（X=2）=．从而EX=0×+1×+2×=．【点评】本题考查互斥、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望等知识，同时考查利用概率知识解决问题的能力．21．（12分）已知双曲线C ：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y=2与C 的两个交点间的距离为．（I）求a，b；（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．【考点】K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】14：证明题；15：综合题；16：压轴题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（I）由题设，可由离心率为3得到参数a，b的关系，将双曲线的方程用参数a表示出来，再由直线建立方程求出参数a即可得到双曲线的方程；（II）由（I）的方程求出两焦点坐标，设出直线l的方程设A（x1，y1），B（x2，y2），将其与双曲线C的方程联立，得出x1+x2=，，再利用|AF1|=|BF1|建立关于A，B坐标的方程，得出两点横坐标的关系，由此方程求出k的值，得出直线的方程，从而可求得：|AF2|、|AB|、|BF2|，再利用等比数列的性质进行判断即可证明出结论．【解答】解：（I ）由题设知=3，即=9，故b2=8a2所以C的方程为8x2﹣y2=8a2将y=2代入上式，并求得x=±，由题设知，2=，解得a2=1所以a=1，b=2（II）由（I）知，F1（﹣3，0），F2（3，0），C的方程为8x2﹣y2=8 ①由题意，可设l的方程为y=k（x﹣3），|k|＜2代入①并化简得（k2﹣8）x2﹣6k2x+9k2+8=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1≤﹣1，x2≥1，x1+x2=，，于是|AF1|==﹣（3x1+1），|BF1|==3x2+1，|AF1|=|BF1|得﹣（3x1+1）=3x2+1，即故=，解得，从而=﹣由于|AF2|==1﹣3x1，|BF2|==3x2﹣1，故|AB|=|AF2|﹣|BF2|=2﹣3（x1+x2）=4，|AF2||BF2|=3（x1+x2）﹣9x1x2﹣1=16因而|AF2||BF2|=|AB|2，所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合关系，考查了运算能力，题设条件的转化能力，方程的思想运用，此类题综合性强，但解答过程有其固有规律，一般需要把直线与曲线联立利用根系关系，解答中要注意提炼此类题解答过程中的共性，给以后解答此类题提供借鉴．22．（12分）已知函数．（I）若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值；（II）设数列{a n}的通项a n=1+．【考点】6E：利用导数研究函数的最值；8E：数列的求和；8K：数列与不等式的综合．【专题】16：压轴题；35：转化思想；53：导数的综合应用；54：等差数列与等比数列．【分析】（I）由于已知函数的最大值是0，故可先求出函数的导数，研究其单调性，确定出函数的最大值，利用最大值小于等于0求出参数λ的取值范围，即可求得其最小值；（II）根据（I）的证明，可取λ=，由于x＞0时，f（x）＜0得出，考察发现，若取x=，则可得出，以此为依据，利用放缩法，即可得到结论【解答】解：（I）由已知，f（0）=0，f′（x）==，∴f′（0）=0欲使x≥0时，f（x）≤0恒成立，则f（x）在（0，+∞）上必为减函数，即在（0，+∞）上f′（x）＜0恒成立，当λ≤0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，为增函数，故不合题意，若0＜λ＜时，由f′（x）＞0解得x ＜，则当0＜x ＜，f′（x）＞0，所以当0＜x ＜时，f（x）＞0，此时不合题意，若λ≥，则当x＞0时，f′（x）＜0恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上必为减函数，所以当x＞0时，f（x）＜0恒成立，综上，符合题意的λ的取值范围是λ≥，即λ的最小值为（II）令λ=，由（I）知，当x＞0时，f（x）＜0，即取x=，则于是a2n﹣a n +=++…++====＞=ln2n﹣lnn=ln2所以【点评】本题考查了数列中证明不等式的方法及导数求最值的普通方法，解题的关键是充分利用已有的结论再结合放缩法，本题考查了推理判断的能力及转化化归的思想，有一定的难度。
备战2013高考数学(理)6年高考试题精解精析专题5 三角函数.pptx
(Ⅰ)∵cosA＝ 2 ＞0，∴sinA＝ 1 cos2 A 5 ，
3
3
又 5 cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA
＝ 5 cosC＋ s2inC．
3
3
整理得：tanC＝ 5 ．
(Ⅱ)由图辅助三角形知：sinC＝ 5 ．
3
(A) - 5 3
（B） - 5 9
学 海 无涯
(C) 5 9
(D) 5 3
二、填空题
14.【2012 高考真题湖南理 15】函数 f（x）=sin (x )的导函数 y f (x) 的部分图像如
图 4 所示，其中，P 为图像与 y 轴的交点，A,C 为图像与 x 轴的两个交点，B 为图像的最低点.
（1）若 ，点 P 的坐标为（0， 3
3 ），则
;
6
2
（2）若在曲线段 ¼ABC与 x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率 为.
【答案】（1）3；（2）
4
学海无 涯
15.【2012 高考真题湖北理 11】设△ ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c . 若 (a b c)(a b c) ab ， 则 角 C ．
学海无 涯
【答案】（1）由正弦定理得： a cos C 3a sin C b c 0 sin A cos C 3 sin Asin C sin B sin C
sin Acos C 3 sin Asin C sin(a C) sin C 3 sin A cos A 1 sin( A 30) 1
1 D.
1
2013高考数学(理)热点专题专练课件：2-602
(1)当BD的长为多少时，三棱锥A—BCD的体积最大． (2)当三棱锥A—BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱 BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求 EN与平面BMN所成角的大小．
[解]
(1)解法一：在图1所示的△ABC中，设BD＝
x(0<x<3)，则CD＝3－x. 由AD⊥BC，∠ACB＝45° 知△ADC为等腰直角三角形， 所以AD＝CD＝3－x，由折起前AD⊥BC知，折起后(如图 2)，AD⊥DC，AD⊥BD，且BD∩DC＝D， 所以AD⊥平面BCD.
∥FD1，FD1⊥平面A1B1C1G，考虑用垂线法作二面角A－C1G－
A1的平面角． 找角或作角 → 证明该角即为所求 → 解该角所在的三角形
[解]
(1)∵AD∥D1G，
∴∠C1GD1 为异面直线 AD 与 C1G 所成的角． 连接 C1F，如图所示．
∵AE和C1F分别是平行平面ABB1A1和CC1D1D与平面AEC1G 的交线， ∴AE∥C1F， 由此可得D1F＝BE＝ 3. 再由△FD1G∽△FDA得D1G＝ 3. 在Rt△C1D1G中，由C1D1＝1，D1G＝ 3，得
面 ABCD， 又∵AC⊥BD， ∴PA⊥BD， ∵BD∥B1D， ∴PA⊥B1D1.
(2)∵AO⊥BD，AO⊥PO，∴AO⊥面PBD，过点O作OM⊥ PD于点M，连结AM，则AM⊥PD，∴∠AMO就是二面角 A—PD—O的平面角． 又∵AB＝2，PA＝ 6， PO· OD 2× 2 2 ∴AO＝ 2，PO＝ 6－2＝2，OM＝ ＝ ＝ . PD 6 3 AO 2 6 6 ∴tan∠AMO＝ ＝ ＝ ，即二面角θ的正切值为 . OM 2 2 2 3
y＝2x， 1 → 及BN＝－1，2，0，得 可取n＝(1,2，－1)． z＝－x，
2013全国各地高考理科数学试题及详解汇编(二).pptx
1
1
11
中点．
（Ⅰ）在平面 ABC 内，试作出过点 P 与平面 A1BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l
平面 ADD1A1；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 交 AB 于点 M ，交 AC 于点 N ，求二面角 A A1M N 的余弦值
．
C
D
AP
B
C1
D1
A1
B1
20．(本小题满分 13 分)
D． 2
4．（5分）高三某班团支部换届进行差额选举，从已产生的甲、乙、丙、丁四名候选人中选 出三人分别担任书记、组织委员和宣传委员，并且要求乙是上届组织委员不能连任原职，则
换届后不同的任职结果有（ ）
A．16 种
B．18 种
C．20 种
D．22 种
5．（5分）若在区域
为（ ）
A．
B．
内任取一点 P，则点 P 恰好在单位圆x2+y2=1 内的概率
C．
D．
6．（5分）设直线 l 的方程为：x+ysinθ﹣2013=0（θ∈R），则直线 l 的倾斜角 α 的范围是（ ）
A． [0，π）
B．
C．
D．
7．（5 分）下列命题正确的有 ①用相关指数R2 来刻画回归效果越小，说明模型的拟合效果越好； ②命题 p：“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0”的否定¬p：“∀x∈R，x ﹣2 x﹣1≤0”；
①若 A, B,C 三个点共线， C 在线段上，则 C 是 A, B,C 的中位点；
②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③若四个点 A, B,C, D 共线，则它们的中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．
2013高考数学(江苏专版)二轮专题课件：第三部分 专题2 应用问题
280· P%＋(x－280)· (P＋2)%＝x(P＋0.25)%，即1.75x＝560.
解得x＝320. 答案：320
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4．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万 元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与 总存储费用之和最小，则x＝________吨．
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(1)将y表示为v的函数； (2)设0＜v≤5，试确定下潜速度v，使总的用氧量最少．
30 30 解：(1)潜入水底用时 v ，用氧量为 v ×cv2＝30cv； 水底作业时用氧量为5×0.4＝2； 60 60 12 返回水面用时 v ，用氧量为 v ×0.2＝ v . 12 所以y＝30cv＋2＋ v (v>0)．
返回
若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂 在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不 低于4(克/升)时，它才能起到有效治污的作用． (1)若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？ (2)若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放a个单位的药 剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a的最小值(精 确到0.1，参考数据： 2取1.4)．
π 3π acos θ 所以 OP＝a－ ，θ∈4， 4 . sin θ
OP sin θ－cos θ 从而 l ＝ . 2θ
π 3π sin θ－cos θ 记 f(θ)＝ ，θ∈4 ， 4 . 2θ
返回
θcos θ＋sin θ－sin θ－cos θ 则f′(θ)＝ . 2θ2 令f′(θ)＝0，得θ(cos θ＋sin θ)＝sin θ－cos θ.
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类型四 利用基本不等式证明不等式 【例4】 若定义在区间D上的函数y＝f(x)对于区间D上的
x1＋x2 1 任意两个值x1、x2总有以下不等式 2 [f(x1)＋f(x2)]≥f 2 成
立，则称函数y＝f(x)为区间D上的“凹函数”．已知函数f(x)＝ 2 x ＋ ＋alnx(x>0)，试证明当a≤0时，f(x)为“凹函数”． x
)
解析 对于x>0时有2x＋2x<2x＋3x恒成立，而要使2a＋2a＝ 2b＋3b成立，则必须有a>b.
答案 A
4．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组 0≤x≤ 2 y≤2 x≤ 2y
给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为
→ → ( 2，1)，则z＝OM· 的最大值为( OA A．3 C．3 2 B．4
不成立．对这类定义域有限制的函数求解最值，在使用基本不 等式时要根据等号成立和不成立进行分类解决．
好方法好成绩
1.含有参数的一元二次不等式问题 对于不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，如果式中含有参数，需根 据参数的取值范围分类讨论进行处理，常见需讨论的有如下几 种： (1)①二次项系数的正负；②方程ax2＋bx＋c＝0中Δ与0的 大小关系；③方程ax2＋bx＋c＝0两根的大小．
800在(0，a]上是减函数． 800.
16 ∴当x＝a时，y有最小值为900a＋ a ＋5
综上，若a≥4，当x＝4时，有最小值13 000；若a<4，当x
16 ＝a时，有最小值为900a＋ a ＋5
800.
[点评]
本题的难点在于利用基本不等式时，在a<4时等号
16 ＝900x＋ x ＋5
16 则y＝900x＋ x ＋5
16 13 000，当且仅当x＝ ，即x＝4时取等号． x 若a≥4，则当x＝4时，y有最小值为13 000；
若a<4，任取x1，x2∈(0，a)且x1<x2.
16 y1－y2＝900x1＋ x ＋5 1 16 800－900x2＋ x －5 2
解析
由题意知，设每件产品的生产准备费用与仓储费用
x x·＋800 8 x 800 之和为y，∴y＝ ＝8＋ x (x≥0)． x x 800 y＝ 8 ＋ x ≥2 时等号成立． 故当每批生产80件时，y值最小．
答案 B
x 800 x 800 8·x ＝20，当且仅当 8 ＝ x ，即x＝80
新题试解 x＋y－1≥0 在平面直角坐标系中，若不等式组 x－1≤0 ax－y＋1≥0 数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为( A．－5 C．2 B．1 D．3 )
解析 如下图所示，直线y＝k(x－1)－1过定点(1，－1)， 当这条直线斜率为负值时，该直线与y轴的交点必须在坐标原 点上方，即直线的斜率为(－∞，－1)，可构成三角形区域；当 直线的斜率为正值时，y≤k(x－1)－1所表示的是直线y＝k(x－1) －1及其下方的半平面，这个区域和另外两个半平面的交集是 一个无界区域，不能构成三角形；当直线斜率为0时，构不成 平面区域．因此k的取值范围是(－∞，－1)．
(2)我们在解决以上问题时，最优的处理次序为先看二次项 系数的正负，其次考虑Δ，最后分析两根大小．分类讨论时注 意以下问题：①对参数分类时要目标明确，讨论时要不重不 漏；②最后结果要分类回答，切不可取并集，解集为∅时，也 是其中一类，不要随便丢掉；③弄清分类原因，能合理地对参 数进行分类；④并不是所有含参数的问题都需要分类讨论．
(a为常
解析
如图，阴影区域即为满足x－1≤0与x＋y－1≥0的可行域， 而直线ax－y＋1＝0恒过(0,1)，故看做直线绕点(0,1)旋转，当a ＝－5时，则可行域不是一个封闭区域，当a＝1时，面积是1； 3 a＝2时，面积是2；当a＝3时，面积恰好为2，故选D项．
2．分式不等式及高次不等式的解法 (1)分式不等式的解法： ①解分式不等式时，要注意先移项，使右边化为零，同时 注意含等号的分式不等式的分母不为零． ax＋b ② >0可转化为(ax＋b)(cx＋d)>0，也可转化为 cx＋d
ax＋b>0 cx＋d>0 ax＋b<0， 或 cx＋d<0，
800
1 1 ＝900x1－x2＋16x －x 1 2
900x1－x2x1x2－16 ＝ . x1x2 ∵x1<x2<a，
∴x1－x2<0，x1x2<a2<16，即x1x2－16<0. ∴y1－y2>0，
16 ∴y＝900x＋ x ＋5
[分析]
用长度x表示出造价，利用基本不等式求最值即
可．还应注意定义域0<x≤a，函数取最小值时的x是否在定义 域内，若不在定义域内，不能用不等式求最值，可以考虑单调 性．
[解]
12 由题意可得，造价y＝3(2x×150＋ x ×400)＋5 800 800(0<x≤a)， 800≥900×2 16 x× ＋5 800＝ x
1 不等式 2 >1不成立，综上可得不等式x2＋1≥2|x|一定成立， x ＋1 故应选C.
答案 C
3．(2012· 浙江)设a>0，b>0.( A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a>b B．若2a＋2a＝2b＋3b，则a<b C．若2a－2a＝2b－3b，则a>b D．若2a－2a＝2b－3b，则a<b
专题五 数列、不等式、推理与证明
第十三讲 一元二次不等式、 线性规划、基本不等式及其应用
要点串讲
高频考点
高考陪练
高考专题训练
【探究3】 在平面直角坐标系中，若不等式组 y≥0， y≤2x， y≤kx－1－1， 是________．
表示一个三角形区域，则实数k的取值范围
分析 题目给出的区域边界两“静”一“动”，可以画出 区域，利用数形结合解决．本题很容易在分析动直线的位置时 出错，这个错误就出现在当直线y＝k(x－1)－1的斜率为正值 时，误以为三条直线仍然能够构成三角形，这样做的结果是k 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,2)∪(2，＋∞)．
4．不等式的综合运用主要体现在利用基本不等式求一些 特殊函数的最值，根据不等式的解确定实际问题的可行范围 等．其中最大的难点是利用基本不等式求最值时的变换技 巧．常用的技巧有常数变换、平方变换、整体换元等方法，这 要根据不同的题目灵活选用.
高考陪练
1.若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则 实数m的取值范围是( A．(－1,1) ) B．(－2,2)
)
D．4 2
解析
画出区域 D 如图所示， M(x， 则 y)为图中阴影部分对
应四边形 OABC 上的动点，
→ → 又z＝OM· ＝ 2x＋y OA ∴当目标线过点B( 2，2)时，zmax＝4.
答案 B
5．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800 x 元．若每批生产x件，则平均仓储时间为 天，且每件产品每天 8 的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓 储费用之和最小，每批应生产产品( A．60件 C．100件 B．80件 D．120件 )
[点评]
本题要求较高，需综合应用不等式链
2 1 1 ＋ x1 x2
x1＋x2 ≤ x1x2 ≤ 2 ≤
2 x1＋x2 2 2 .事实上，近年来的高考试题很少
单纯显性地考查均值不等式，更多的试题是将均值不等式融入 到其他知识中隐性地考查．此外，利用均值不等式求最值，一 定要牢记“一正、二定、三等”这三个条件，解题中等号成立 的条件往往容易被忽视．
④根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的 解集．
3．线性规划的实际应用 利用线性规划解决实际问题的一般步骤： (1)认真分析掌握实际问题的背景，收集有关数据． (2)将影响问题的各项主要因素作为决策量，设为未知数． (3)根据问题特点，写出线性约束条件，建立目标函数． (4)根据约束条件，作出可行域，作出目标函数的等值线． (5)在可行域内平移目标函数等值线，确定最优解． (6)作答．
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析 Δ＝m2－4>0，则m<－2或m>2. 答案 C
2．(2012· 福建)下列不等式一定成立的是(
1 2 A．lgx ＋4>lgx(x>0)
)
1 B．sinx＋sinx≥2(x≠kπ，k∈Z) C．x2＋1≥2|x|(x∈R) 1 D. 2 >1(x∈R) x ＋1
取其并集．
ax＋bcx＋d≥0， ax＋b ③ ≥0可转化为 也可转化为不 cx＋d≠0， cx＋d ax＋b≥0 等式组 cx＋d>0 ax＋b≤0， 或 cx＋d<0，
取其并集．
(2)简单的一元高次不等式的解法用穿根法．穿根法的具体 应用方法如下： 例如，设f(x)>0 ①将f(x)的最高次项系数化为正数． ②将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的 积． ③将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方 依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇 次方根既穿又过)．
2
[分析]
由题设中“凹函数”的定义可知，只需证明函数
x1＋x2 1 f(x)在定义域(0，＋∞)上满足2[f(x1)＋f(x2)]≥f 2 即可．
[证明]
2 由f(x)＝x ＋x＋alnx得，
2
fx1＋fx2 1 2 2 1 1 a 1 2 2 ＝2(x1＋x2)＋x ＋x ＋2(lnx1＋lnx2)＝2(x1＋x2)＋ 2 1 2 x1＋x2 ＋】 某单位建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的 矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过 am．房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元 /m2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3m， 且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最 低？