1.4.3正切函数的性质与图象学案
2020_2021学年高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象学案含解析新人教A版必修4
内容标准学科素养1.会求正切函数y＝tan(ωx＋φ)的周期．2.掌握正切函数y＝tan x的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性．3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法.应用直观想象发展逻辑推理授课提示：对应学生用书第29页[基础认识]知识点一正切函数的性质阅读教材P42～44，思考并完成以下问题根据诱导公式二、三及正切线，可得出正切函数哪些性质？(1)由正切函数的定义得出定义域是什么？提示：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠kπ＋π2，k∈Z.(2)由公式二tan(π＋x)＝tan x，可得出y＝tan x的什么性质？提示：周期性．(3)由公式三tan(－x)＝－tan x可得出y＝tan x的什么性质？提示：是奇函数．(4)当x大于－π2且无限接近－π2时，正切线AT趋近________．当x小于π2且无限接近π2时，正切线AT趋近________．可得y＝tan x的值域为________．提示：－∞＋∞R定义域⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠kπ＋π2，k∈Z值域R最小正周期π奇偶性奇函数单调性在开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋kπ，π2＋kπk∈Z内都是增函数提示：不是．知识点二正切函数的图象思考并完成以下问题如何根据正切线作正切函数的图象？(1)利用正切线作正切函数图象的步骤是什么？提示：①作平面直角坐标系，并在平面直角坐标系y轴的左侧作单位圆．②把单位圆的右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线．③描点(横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线的长度)．④连线，得到如图①所示的图象．①⑤根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数y ＝tan x ，x ∈R且x ≠π2＋k π(k ∈Z )的图象，把它称为正切曲线(如图②所示)．可以看出，正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的．②(2)我们能用“五点法”简便地画出正弦函数、余弦函数的简图，你能类似地画出正切函数y＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2的简图吗？怎样画？ 提示：能，三个关键点：⎝⎛⎭⎫π4，1，(0，0)，⎝⎛⎭⎫－π4，－1，两条平行线：x ＝π2，x ＝－π2. 知识梳理 (1)正切函数的图象(2)正切函数的图象特征正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的．思考 正切函数y ＝tan x 的对称中心坐标是什么？提示：⎝⎛⎭⎫k2π，0k ∈Z . [自我检测]1．比较大小：tan 12________tan 52.答案：>2．函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫π4≤x ≤3π4，且x ≠π2的值域是________． 答案：(－∞，－1]∪[1，＋∞)授课提示：对应学生用书第29页探究一 正切函数的定义域、值域问题[阅读教材P 44～45例6]方法步骤：整体思想．[例1] (1)函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4的定义域为________；[解析] π6－x 4≠k π＋π2，k ∈Z ，∴x ≠－43π－4k π，k ∈Z .[答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－43π－4k π，k ∈Z (2)函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈⎝⎛⎭⎫－π12，7π24的值域是________． [解析] 当－π12<x <724π时，－π2<2x －π3<π4， ∴tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3<tan π4＝1值域为(－∞，1)． [答案] (－∞，1)(3)求y ＝tan 2x ＋4tan x －1的值域．[解析] 令t ＝tan x ，则t ∈R ，故y ＝t 2＋4t －1＝(t ＋2)2－5≥－5，所求的值域为[－5，＋∞)． 方法技巧求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义，即x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)求正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ≠0，ω>0)的定义域时，要将“ωx ＋φ”视为一个“整体”，令ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x .(3)求含有正切函数的复合函数的值域(或最值)的基本方法是换元法，换元后转化为以前所学过的函数值域问题，或利用正切函数的单调性来求解．延伸探究 1.将本例(1)变为y ＝tan 2x ，其定义域为________．解析：2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，∴x ≠k 2π＋π4，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k 2π＋π4，k ∈Z 2．将本例(2)变为：求y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的值域． 解析：y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝－tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，∴2x －π3≤⎣⎡⎦⎤0，π3.由正切函数的单调性质，得0≤tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤3，故函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的值域为[－3，0]．3．将本例(3)增加条件，x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，其他条件不变，求值域． 解析：∵t ＝tan x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，∴t ∈[－1，1] y ＝(t ＋2)2－5，在t ∈[－1，1]上为增函数． 当x ＝－1，y min ＝－4，当x ＝1时，y max ＝4， ∴值域为[－4，4]．探究二 正切函数的单调性问题[阅读教材P 44例6]角度1 求正切函数的单调区间[例2] 求函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4的单调递减区间．[解析] y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4＝－3tan ⎝⎛⎭⎫x 4－π6， 由k π－π2<x 4－π6<k π＋π2，k ∈Z ，得4k π－4π3<x <4k π＋8π3，k ∈Z ，∴y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫4k π－4π3，4k π＋8π3，k ∈Z . 角度2 比较大小[例3] 不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小． (1)tan 167°与tan 173°；(2)tan ⎝⎛⎭⎫－11π4与tan ⎝⎛⎭⎫－13π3. [解析] (1)∵90°<167°<173°<180°，又y ＝tan x 在90°<x <270°范围内是增函数， ∴tan 167°<tan 173°.(2)∵tan ⎝⎛⎭⎫－11π4＝－tan 11π4＝tan π4， tan ⎝⎛⎭⎫－13π5＝－tan 13π5＝tan 2π5. 又0<π4<2π5<π2，函数y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2是增函数， ∴tan π4<tan 2π5，即tan ⎝⎛⎭⎫－11π4<tan ⎝⎛⎭⎫－13π5. 角度3 解正切不等式[例4] 求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域． [解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x >0，即－1≤tan x <1. 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内，满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－π4，π4.又y ＝tan x 的周期为π，所以函数的定义域是⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )． 方法技巧 1.运用正切函数单调性比较大小的方法(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系．2．求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法(1)若ω>0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2<ωx ＋φ<k π＋π2，k ∈Z ，解得x 的范围即可． (2)若ω<0，可利用诱导公式先把y ＝A tan(ωx ＋φ)转化为y ＝A tan[－(－ωx －φ)]＝－A tan(－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可．3．求解形如tan x >a 的不等式，先解出⎝⎛⎭⎫－π2，π2内的解集，然后再加周期． 跟踪探究 1.下列不等式中，正确的是( )A ．tan 4π7>tan 3π7B ．tan 2π5<tan 3π5C ．tan ⎝⎛⎭⎫－13π7<tan ⎝⎛⎭⎫－15π8D ．tan ⎝⎛⎭⎫－13π4>tan ⎝⎛⎭⎫－12π5 解析：tan 4π7＝tan ⎝⎛⎭⎫－3π7<tan 3π7； tan 3π5＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π5<tan 2π5； ∵tan ⎝⎛⎭⎫－13π7＝tan π7，tan ⎝⎛⎭⎫－15π8＝tan π8， tan π7>tan π8，∴tan ⎝⎛⎭⎫－13π7>tan ⎝⎛⎭⎫－15π8； ∵tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＝tan ⎝⎛⎭⎫－3π－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫－π4＝－tan π4，tan ⎝⎛⎭⎫－12π5＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π－2π5＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π5＝－tan 2π5， tan 2π5>tan π4，∴tan ⎝⎛⎭⎫－12π5<tan ⎝⎛⎭⎫－13π4.故选D. 答案：D2．函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调区间为________． 解析：y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝－3tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 由－π2＋k π<2x －π4<π2＋k π，k ∈Z ，得－π8＋k π2<x <3π8＋k π2(k ∈Z )，所以y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－π8＋k π2，3π8＋k π2(k ∈Z )． 答案：⎝⎛⎭⎫－π8＋k π2，3π8＋k π2(k ∈Z ) 3．不等式tan x －3≥0的解集为________．解析：由tan x －3≥0，得tan x ≥ 3.如图，利用图象知，所求解集为 ⎣⎡⎭⎫k π＋π3，k π＋π2(k ∈Z )．答案：⎣⎡⎭⎫k π＋π3，k π＋π2(k ∈Z ) 探究三 正切函数综合问题[例5] 设函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3.(1)求函数f (x )的最小正周期，对称中心； (2)作出函数f (x )在一个周期内的简图．[解析] (1)∵ω＝12，∴最小正周期T ＝πω＝π12＝2π.令x 2－π3＝k π2(k ∈Z )， 得x ＝k π＋2π3(k ∈Z )，∴f (x )的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π＋2π3，0(k ∈Z )． (2)令x 2－π3＝0，则x ＝2π3；令x 2－π3＝π4，则x ＝7π6； 令x 2－π3＝－π4，则x ＝π6； 令x 2－π3＝π2，则x ＝5π3； 令x 2－π3＝－π2，则x ＝－π3. ∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的图象与x 轴的一个交点坐标是⎝⎛⎭⎫2π3，0在这个交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x ＝－π3，x ＝5π3，从而得到函数y ＝f (x )在一个周期⎝⎛⎭⎫－π3，5π3内的简图(如图)．方法技巧 熟练掌握正切函数的图象和性质是解决正切函数综合问题的关键，正切曲线是由相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 隔开的无穷多支曲线组成，y ＝tan x 的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2，0，k ∈Z .对于y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|.跟踪探究 4.画出f (x )＝tan|x |的图象，并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性． 解析：f (x )＝tan|x |化为f (x )＝⎩⎨⎧tan x ，x ≠k π＋π2，x ≥0（k ∈Z ），－tan x ，x ≠k π＋π2，x <0（k ∈Z ），根据y ＝tan x 的图象，作出f (x )＝tan|x |的图象，如图所示．由图象知，f (x )不是周期函数，是偶函数，单调增区间为⎣⎡⎭⎫0，π2，⎝⎛⎭⎫k π＋π2，k π＋32π(k ∈Z )；单调减区间为⎝⎛⎦⎤－π2，0，⎝⎛⎭⎫k π－32π，k π－π2，(k ∈Z )．授课提示：对应学生用书第31页[课后小结]1．正切函数的图象正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x ＝k π＋π2，k ∈Z ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．2．对于y ＝tan x ，不能认为其在定义域上为增函数，应为在每个区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数．不能写成闭区间，且无减区间．3．正切函数图象的对称中心的坐标是⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )．正切函数的图象无对称轴．[素养培优]1．忽视正切函数的定义域 [典例] 解不等式tan x ≤－1.易错分析 此题易忽视其定义域⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2， k ∈Z ，而错写为：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤k π－π4，k ∈Z . 自我纠正[解析] ∵当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，tan ⎝⎛⎭⎫－π4＝－1. ∴tan x ≤tan ⎝⎛⎭⎫－π4， ∴－π2<x ≤－π4.又∵T ＝k π，∴不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π－π2<x ≤k π－π4，k ∈Z . 2．理解错正切函数的对称中心坐标[典例] 函数f (x )＝tan(x ＋φ)(φ<0)的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π8，0，则φ的最大值为________． 易错分析 将φ＝tan x 的对称中心设为是(k π，0)而错解为φ＝－78π.自我纠正[解析] ∵⎝⎛⎭⎫－π8，0为y ＝tan(x ＋φ)的对称中心 ∴tan ⎝⎛⎭⎫－π8＋φ＝0.∴－π8＋φ＝k2π，k ∈Z . ∴φ＝k 2π＋π8，当k ＝－1时，φmax ＝－38π.[答案] －38π3．正切函数周期与弦函数周期混淆[典例] 函数y ＝tan ωx 与y ＝4两个交点间的距离为π2，则ω＝________．易错分析 此题易错有两点，一是y ＝tan x 与y ＝sin x 的周期混淆为2πω.二是只有一个ω>0的情况的值而丢解． 自我纠正[解析] 由题意得y ＝tan ωx 的最小正周期为π2，∴T ＝π|ω|＝π2，∴ω＝±2. [答案] ±24．正切函数图象的相对位置画错[典例] 在区间[－2π，2π]内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象交点的个数为( ) A ．3 B ．5 C ．7 D ．9易错分析 此题易把y ＝sin x 与y ＝tan x 的图象的位置关系画错：认为⎝⎛⎭⎫－π2，π2上，两者有三个交点，错选为D.自我纠正[解析] ⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，两者只有一个交点(0，0)，其余的交点为(π，0)，(2π，0)，(－π，0)，(－2π，0)，选B.[答案] B。
1.4.3正切函数的性质与图象(教学设计)
1.4.3正切函数的性质与图象（1）（教学设计）教学目的：知识目标：1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；2.用正切函数图象解决函数有关的性质；能力目标：1.理解并掌握作正切函数图象的方法；2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法；德育目标：培养认真学习的精神；教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象； 教学难点：正切函数的性质。
授课类型：新授课教学模式： 启发、诱导发现教学. 教学过程：一、复习回顾，新课引入： 问题：正弦曲线是怎样画的？正切线?练习正切线，画出下列各角的正切线：．下面我们来作正切函数图象． 二、师生互动，新课讲解：1．正切函数tan y x =的定义域是什么？ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ2．正切函数是不是周期函数？()tan tan ,,2x x x R x k k z πππ⎛⎫+=∈≠+∈ ⎪⎝⎭Q 且， ∴π是tan ,,2y x x R x k k z ππ⎛⎫=∈≠+∈ ⎪⎝⎭且的一个周期。
π是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。
3．作tan y x =，x ∈⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ的图象说明：（1）正切函数的最小正周期不能比π小，正切函数的最小正周期是π；（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线”。
（3）由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线()x k k Z ππ=+∈所隔开的无穷多支曲线组成的。
4．正切函数的性质 引导学生观察，共同获得： （1）定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ； （2）值域：R观察：当x 从小于()z k k ∈+2ππ，2π+π−→−k x 时，tan x −−→+∞ 当x 从大于()z k k ∈+ππ2，ππk x +−→−2时，-∞−→−x tan 。
2018版高中数学三角函数1.4.3正切函数的性质与图象导学案新人教A版
1.4.3 正切函数的性质与图象学习目标 1.会求正切函数y ＝tan(ωx ＋φ)的周期.2.掌握正切函数y ＝tan x 的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性.3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法.知识点一 正切函数的性质 思考1 正切函数的定义域是什么？ 答案 {x |x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z }.思考2 诱导公式tan(π＋x )＝tan x ，x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z 说明了正切函数的什么性质？答案 周期性.思考3 诱导公式tan(－x )＝－tan x ，x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z 说明了正切函数的什么性质？答案 奇偶性.思考4 从正切线上看，在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上正切函数值是增大的吗？答案 是.梳理 函数y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z 的图象与性质见下表：知识点二 正切函数的图象思考1 利用正切线作正切函数图象的步骤是什么？答案 根据正切函数的定义域和周期，首先作出区间(－π2，π2)上的图象.作法如下：(1)作直角坐标系，并在直角坐标系y 轴的左侧作单位圆. (2)把单位圆的右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线. (3)描点(横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线的长度). (4)连线，得到如图①所示的图象.(5)根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数y ＝tan x ，x ∈R 且x ≠π2＋k π(k ∈Z )的图象，把它称为正切曲线(如图②所示).可以看出，正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的.思考2 我们能用“五点法”简便地画出正弦函数、余弦函数的简图，你能类似地画出正切函数y ＝tan x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的简图吗？怎样画？ 答案 能，三个关键点：⎝⎛⎭⎪⎫π4，1，(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，两条平行线：x ＝π2，x ＝－π2.梳理 (1)正切函数的图象(2)正切函数的图象特征正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的.类型一 正切函数的定义域 例1 求下列函数的定义域. (1)y ＝11＋tan x ；(2)y ＝lg(3－tan x ).解 (1)要使函数y ＝11＋tan x 有意义，必须且只需⎩⎪⎨⎪⎧1＋tan x ≠0，x ≠k π＋π2(k ∈Z )，所以函数的定义域为{x |x ∈R 且x ≠k π－π4，x ≠k π＋π2，k ∈Z }.(2)因为3－tan x >0，所以tan x < 3. 又因为当tan x ＝3时，x ＝π3＋k π(k ∈Z )，根据正切函数图象，得k π－π2＜x ＜k π＋π3 (k ∈Z )，所以函数的定义域是{x |k π－π2＜x ＜k π＋π3，k ∈Z }.反思与感悟 求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线.跟踪训练1 求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域.解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x >0，即－1≤tan x <1.在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内，满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π4，π4，又y ＝tan x 的周期为π，所以函数的定义域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ).类型二 正切函数的单调性及其应用 命题角度1 求正切函数的单调区间例2 求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4的单调区间及最小正周期.解 y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π2<x <2k π＋32π(k ∈Z )，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋32π，k ∈Z ，周期T ＝π⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＝2π.反思与感悟 y ＝tan(ωx ＋φ) (ω>0)的单调区间的求法是把ωx ＋φ看成一个整体，解－π2＋k π<ωx ＋φ<π2＋k π，k ∈Z 即可.当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间.跟踪训练2 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调区间. 解 ∵y ＝tan x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π (k ∈Z )上是增函数，∴－π2＋k π<2x －π3<π2＋k π，k ∈Z ，即－π12＋k π2<x <5π12＋k π2，k ∈Z .∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋k π2，5π12＋k π2 (k ∈Z ). 命题角度2 利用正切函数的单调性比较大小 例3 (1)比较大小：①tan 32°________tan 215°； ②tan 18π5________tan(－28π9).(2)将tan 1，tan 2，tan 3按大小排列为________.(用“<”连接) 答案 (1)①< ②< (2)tan 2<tan 3<tan 1解析 (1)①tan 215°＝tan(180°＋35°)＝tan 35°， ∵y ＝tan x 在(0°，90°)上单调递增，32°<35°， ∴tan 32°<tan 35°＝tan 215°. ②tan 18π5＝tan(4π－2π5)＝tan(－2π5)，tan(－28π9)＝tan(－3π－π9)＝tan(－π9)，∵y ＝tan x 在(－π2，π2)上单调递增，且－2π5<－π9，∴tan(－2π5)<tan(－π9)，即tan 18π5<tan(－28π9).(2)tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)， ∵－π2<2－π<3－π<1<π2，且y ＝tan x 在(－π2，π2)上单调递增，∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1， 即tan 2<tan 3<tan 1.反思与感悟 运用正切函数的单调性比较大小的步骤： (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内； (2)运用单调性比较大小关系.跟踪训练3 比较大小：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π4________tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－9π5.答案 >解析 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π4＝tan π4，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－9π5＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫2π－π5＝tan π5.又0＜π5＜π4＜π2，y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递增，∴tan π5＜tan π4，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π4＞tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－9π5. 类型三 正切函数的图象及应用例4 画出函数y ＝|tan x |的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性. 解 由y ＝|tan x |，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，k π≤x <k π＋π2(k ∈Z )，－tan x ，－π2＋k π<x <k π(k ∈Z )，其图象如图所示.由图象可知，函数y ＝|tan x |是偶函数， 单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )， 单调递减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2＋k π，k π(k ∈Z )，周期为π.反思与感悟 (1)作出函数y ＝|f (x )|的图象一般利用图象变换方法，具体步骤是： ①保留函数y ＝f (x )图象在x 轴上方的部分；②将函数y ＝f (x )图象在x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折.(2)若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象，再利用周期性，延拓到定义域上即可.跟踪训练4 设函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3.(1)求函数f (x )的周期，对称中心； (2)作出函数f (x )在一个周期内的简图. 解 (1)∵ω＝12，∴周期T ＝πω＝π12＝2π.令x 2－π3＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π＋2π3(k ∈Z )， ∴f (x )的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋2π3，0(k ∈Z ).(2)令x 2－π3＝0，则x ＝2π3；令x 2－π3＝π2，则x ＝5π3；令x 2－π3＝－π2，则x ＝－π3.∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的图象与x 轴的一个交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0，在这个交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x ＝－π3，x ＝5π3，从而得到函数y ＝f (x )在一个周期⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，5π3内的简图(如图).1.函数y ＝tan(2x ＋π6)的最小正周期是( )A.πB.2πC.π2D.π6答案 C解析 最小正周期为T ＝π|ω|＝π2. 2.函数f (x )＝tan(x ＋π4)的单调递增区间为( )A.(k π－π2，k π＋π2)，k ∈ZB.(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC.(k π－3π4，k π＋π4)，k ∈ZD.(k π－π4，k π＋3π4)，k ∈Z答案 C3.在下列函数中同时满足：①在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( )A.y ＝tan xB.y ＝cos xC.y ＝tan x2D.y ＝－tan x答案 C4.方程tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝3在区间[0，2π)上的解的个数是( ) A.5 B.4 C.3 D.2 答案 B解析 由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝3，解得2x ＋π3＝π3＋k π(k ∈Z )，∴x ＝k π2(k ∈Z )，又∵x ∈[0，2π)，∴x ＝0，π2，π，3π2.故选B.5.比较大小：tan 1________tan 4. 答案 ＞解析 由正切函数的图象易知tan 1＞0， tan 4＝tan(4－π)，而0＜4－π＜1＜π2，函数y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上为增函数， 所以tan 1＞tan(4－π)＝tan 4.1.正切函数的图象正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x ＝k π＋π2，k ∈Z ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增. 2.正切函数的性质(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域是R .(2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ) (A ω≠0)的周期为T ＝π|ω|. (3)正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上单调递增，不能写成闭区间，正切函数无单调减区间.课时作业一、选择题1.函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π5，x ∈R 且x ≠310π＋k π，k ∈Z 的一个对称中心是( )A.(0，0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫45π，0D.(π，0)答案 C2.函数f (x )＝lg(tan x ＋1＋tan 2x )为( ) A.奇函数B.既是奇函数又是偶函数C.偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数 答案 A解析 ∵1＋tan 2x >|tan x |≥－tan x ，∴其定义域为{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }，关于原点对称.又f (－x )＋f (x )＝lg(－tan x ＋1＋tan 2x )＋lg(tan x ＋1＋tan 2x )＝lg 1＝0， ∴f (x )为奇函数，故选A.3.满足tan A >－1的三角形的内角A 的取值范围是( ) A.(0，34π)B.(0，π2)∪(π2，34π)C.(34π，π) D.(0，π2)∪(34π，π)答案 D解析 因为A 为三角形的内角，所以0<A <π.又tan A >－1，结合正切曲线得A ∈(0，π2)∪(3π4，π).4.下列各点中，不是函数y ＝tan(π4－2x )的图象的对称中心的是( )A.(π8，0)B.(－π8，0)C.(π4，0)D.(－38π，0)答案 C解析 令π4－2x ＝k π2，k ∈Z ，得x ＝π8－k π4.令k ＝0，得x ＝π8；令k ＝1，得x ＝－π8；令k ＝2，得x ＝－3π8.故选C.5.函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得的线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值是( )A.0B.1C.－1D.π4答案 A解析 由题意，得T ＝πω＝π4，∴ω＝4.∴f (x )＝tan 4x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tan π＝0.6.函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2内的图象是( )答案 D解析 当π2<x <π时，tan x <sin x ，y ＝2tan x <0；当x ＝π时，y ＝0；当π<x <3π2时，tan x >sin x ，y ＝2sin x <0.故选D.7.下列关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的说法正确的是( )A.在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6上单调递增B.最小正周期是πC.图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0成中心对称D.图象关于直线x ＝π6成轴对称答案 B解析 令k π－π2<x ＋π3<k π＋π2，解得k π－5π6<x <k π＋π6，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6不满足上述关系式，故A 错误；易知该函数的最小正周期为π，故B 正确；令x ＋π3＝k π2，解得x ＝k π2－π3，k ∈Z ，任取k 值不能得到x ＝π4，故C 错误；正切函数曲线没有对称轴，因此函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象也没有对称轴，故D 错误.故选B.二、填空题8.函数y ＝3tan(3x ＋π4)的对称中心的坐标是________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π6－π12，0(k ∈Z )解析 由3x ＋π4＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π6－π12(k ∈Z )， 所以对称中心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π6－π12，0(k ∈Z ). 9.函数y ＝－tan 2x ＋4tan x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4的值域为____________. 答案 [－4，4]解析 ∵－π4≤x ≤π4， ∴－1≤tan x ≤1.令tan x ＝t ，则t ∈[－1，1]，∴y ＝－t 2＋4t ＋1＝－(t －2)2＋5.∴当t ＝－1，即x ＝－π4时，y min ＝－4， 当t ＝1，即x ＝π4时，y max ＝4. 故所求函数的值域为[－4，4].10.函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期是π2，则ω＝________. 答案 ±2解析 T ＝π|ω|＝π2， ∴ω＝±2.11.函数y ＝1－tan x 的定义域是________.答案 (k π－π2，k π＋π4](k ∈Z ) 三、解答题12.判断函数f (x )＝lg tan x ＋1tan x －1的奇偶性. 解 由tan x ＋1tan x －1>0，得tan x >1或tan x <－1. ∴函数定义域为(k π－π2，k π－π4)∪(k π＋π4，k π＋π2)(k ∈Z )，关于原点对称. f (－x )＋f (x )＝lg tan (－x )＋1tan (－x )－1＋lg tan x ＋1tan x －1＝lg(－tan x ＋1－tan x －1·tan x ＋1tan x －1)＝lg 1＝0. ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数.13.求函数y ＝tan(x 2－π3)的定义域、周期、单调区间和对称中心. 解 ①由x 2－π3≠k π＋π2，k ∈Z ， 得x ≠2k π＋53π，k ∈Z . ∴函数的定义域为{x |x ∈R 且x ≠2k π＋53π，k ∈Z }. ②∵T ＝π12＝2π.∴函数的周期为2π. ③由k π－π2<x 2－π3<k π＋π2，k ∈Z ， 解得2k π－π3<x <2k π＋53π，k ∈Z . ∴函数的单调增区间为(2k π－π3，2k π＋53π)，k ∈Z . ④由x 2－π3＝k π2，k ∈Z ， 得x ＝k π＋23π，k ∈Z . ∴函数的对称中心是(k π＋23π，0)，k ∈Z . 四、探究与拓展14.若tan x >tan π5且x 在第三象限，则x 的取值范围是________. 答案 (k π＋6π5，k π＋3π2)(k ∈Z ) 15.设函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π2)，已知函数y ＝f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，且图象关于点M (－π8，0)对称. (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )的单调区间；(3)求不等式－1≤f (x )≤3的解集.解 (1)由题意知，函数f (x )的最小正周期为T ＝π2， 即π|ω|＝π2.因为ω>0，所以ω＝2，从而f (x )＝tan(2x ＋φ).因为函数y ＝f (x )的图象关于点M (－π8，0)对称， 所以2×(－π8)＋φ＝k π2，k ∈Z ， 即φ＝k π2＋π4，k ∈Z . 因为0<φ<π2，所以φ＝π4， 故f (x )＝tan(2x ＋π4). (2)令－π2＋k π<2x ＋π4<π2＋k π，k ∈Z ， 得－3π4＋k π<2x <k π＋π4，k ∈Z ， 即－3π8＋k π2<x <π8＋k π2，k ∈Z . 所以函数的单调递增区间为(－3π8＋k π2，π8＋k π2)，k ∈Z ，无单调递减区间. (3)由(1)知，f (x )＝tan(2x ＋π4). 由－1≤tan(2x ＋π4)≤3， 得－π4＋k π≤2x ＋π4≤π3＋k π，k ∈Z ， 即－π4＋k π2≤x ≤π24＋k π2，k ∈Z . 所以不等式－1≤f (x )≤3的解集为{x |－π4＋k π2≤x ≤π24＋k π2，k ∈Z }.。
高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的图像与性质学案新人教A版必修
§1.4.3正切函数的图像与性质课前预习学案一、预习目标利用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质二、预习内容1.画出下列各角的正切线：2.类比正弦函数我们用几何法做出正切函数x y tan =图象：3.把上述图象向左、右扩展，得到正切函数R x xy ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线”4.观察正切曲线，回答正切函数的性质： 定义域： 值域： 最值： 渐近线： 周期性： 奇偶性 单调性： 图像特征： 三、提出疑惑课内探究学案一、学习目标：会用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质，用数形结合的思想理解和处理问题。
学习重难点：正切函数的图象及其主要性质。
二、学习过程例1.讨论函数⎪⎭⎫⎝⎛+=4tan πx y 的性质 变式训练1. 求函数y ＝tan2x 的定义域、值域和周期例2.求函数y ＝2tan x 1－的定义域变式训练2. y 例3. 比较tan 27π与tan 107π的大小 变式训练3. tan 65π与tan (－135π)三、反思总结 1、数学知识： 2、数学思想方法： 四、当堂检测一、选择题1. 函数)43tan(2π+=x y 的周期是 ( )(A) 32π (B) 2π (C)3π (D)6π 2.函数)4ta n (x y -=π的定义域为( )(A)},4|{R x x x ∈≠π(B)},4|{R x x x ∈-≠π(C) },,4|{Z k R x k x x ∈∈+≠ππ (D)},,43|{Z k R x k x x ∈∈+≠ππ 3.下列函数中,同时满足(1)在(0, 2π)上递增,(2)以2π为周期,(3)是奇函数的是 ( )(A)x y tan = (B)x y cos = (C)x y 21tan = (D)x y tan -= 二、填空题4.tan1,tan2,tan3的大小关系是_______________________.5.给出下列命题:（1）函数y =sin|x |不是周期函数; (2)函数y =|cos2x +1/2|的周期是π/2; (3)函数y =tan x 在定义域内是增函数; (4)函数y =sin(5π/2+x )是偶函数; (5)函数y =tan(2x +π/6)图象的一个对称中心为(π/6,0)其中正确命题的序号是_______________(注:把你认为正确命题的序号全填上) 三、解答题6.求函数y=lg(1-tanx)的定义域课后练习与提高一、选择题1、tan (,)2y x x k k Z ππ=≠+∈在定义域上的单调性为（ ）.A ．在整个定义域上为增函数B ．在整个定义域上为减函数C ．在每一个开区间(,)()22k k k Z ππππ-++∈上为增函数D ．在每一个开区间(2,2)()22k k k Z ππππ-++∈上为增函数2、下列各式正确的是（ ）.A ．1317tan()tan()45ππ-<-B ．1317tan()tan()45ππ->-C ．1317tan()tan()45ππ-=- D ．大小关系不确定3、若tan 0x ≤,则（ ）.A ．22,2k x k k Z πππ-<<∈ B ．2(21),2k x k k Z πππ+≤<+∈C ．,2k x k k Z πππ-<≤∈ D ．,2k x k k Zπππ-≤≤∈二、填空题 4、函数tan 2()tan xf x x=的定义域为 .5、函数y =的定义域为 . 三、解答题6、 函数tan()4y x π=-的定义域是（ ）.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象学案新人教A版必修4
（浙江专版）2017-2018学年高中数学第一章三角函数1.4.3 正切函数的性质与图象学案新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（浙江专版）2017-2018学年高中数学第一章三角函数1.4.3 正切函数的性质与图象学案新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1．4。
3 正切函数的性质与图象预习课本P42～45,思考并完成以下问题(1)正切函数有哪些性质?(2）正切函数在定义域内是不是单调函数？错误!正切函数y＝tan x的性质与图象y＝tan x图象定义域错误!值域R周期最小正周期为π奇偶性奇函数单调性在开区间错误!(k∈Z)内递增[点睛] 错误!到＋∞，故正切函数在每一个开区间错误!(k∈Z）上是增函数，但不能说函数y＝tan x在定义域内是增函数．错误!1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”）(1)正切函数的定义域和值域都是R.（）（2)正切函数在整个定义域上是增函数．( ）(3）正切函数在定义域内无最大值和最小值．( ）（4)正切函数的图象既是轴对称图形，也是中心对称图形．( ）答案：（1）×（2）×（3）√（4）×2．函数y＝tan错误!的定义域是（)A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!答案：A3．函数f(x）＝tan错误!的单调递增区间为（）A．错误!，k∈ZB．(kπ，(k＋1)π)，k∈ZC．错误!,k∈ZD．错误!，k∈Z答案：C4．函数y＝tan x,x∈错误!的值域是________．答案：［0,1］正切函数的定义域[典例](1）y＝tan错误!;(2)y＝错误!。
「精品」高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象学案含解析新人教A版必修4
1.4.3 正切函数的性质与图象[提出问题问题1：正切函数y ＝tan x 的定义域是什么？提示：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z .问题2：诱导公式tan(π＋x )＝tan x 说明了正切函数的什么性质？tan(k π＋x )(k ∈Z)与tan x 的关系怎样？提示：周期性．tan(k π＋x )＝tan x (k ∈Z)．问题3：诱导公式tan(－x )＝－tan x 说明了正切函数的什么性质？ 提示：奇偶性．问题4：从正切线上观察，正切函数值是有界的吗？ 提示：不是，正切函数没有最大值和最小值．问题5：从正切线上观察，正切函数值在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是增大的吗？提示：是的． [导入新知] 正切函数的性质细解正切函数的性质(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是xx ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z ，值域是全体实数．(2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π.一般地，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的最小正周期是T ＝πω.若不知ω正负，则该函数的最小正周期为T ＝π|ω|.(3)正切函数无单调递减区间，在每一个单调区间内都是递增的，并且每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间．[提出问题]问题1：你还记得给定一个角在单位圆中的正切线怎样画吗？提示：过单位圆与x 正半轴的交点A ，作垂直于x 轴的直线，交角的终边或其反向延长线于点T ，则有向线段AT 即为该角的正切线．问题2：仿照利用正弦线作正弦曲线的作法，你能根据正切线作出正切曲线吗？ 提示：能． [导入新知] 正切函数的图象 (1)正切函数的图象：(2)正切函数的图象叫做正切曲线． (3)正切函数的图象特征：正切曲线是由被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的．[化解疑难]正切函数是奇函数，图象关于原点对称，与x 轴有无数个交点，因此有无穷多个对称中心，对称中心坐标是⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z ，正切函数的图象无对称轴.[例1] (1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4；(2)y ＝3－tan x .[解] (1)由x ＋π4≠k π＋π2(k ∈Z)得，x ≠k π＋π4，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的定义域为xx ≠k π＋π4，k ∈Z ，其值域为(－∞，＋∞)．(2)由3－tan x ≥0得，tan x ≤ 3.结合y ＝tan x 的图象可知，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上， 满足tan x ≤3的角x 应满足－π2<x ≤π3，所以函数y ＝3－tan x 的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π－π2<x ≤k π＋π3，k ∈Z ，其值域为[0，＋∞)．[类题通法]求正切函数定义域的方法及求值域的注意点求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义，即x ≠π2＋k π，k ∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．解形如tan x >a 的不等式的步骤：[活学活用]求函数y ＝11＋tan x的定义域．答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π－π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z[例2] (1)求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －4的单调区间；(2)比较tan ⎝⎛⎭⎪⎫－13π4与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5的大小． [解] (1)由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z)得，2k π－π2<x <2k π＋3π2，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋3π2(k ∈Z)．(2)由于tan ⎝⎛⎭⎪⎫－13π4＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋3π4＝tan 3π4＝－tan π4，tan －12π5＝－tan2π＋2π5＝－tan 2π5，又因为0<π4<2π5<π2，而y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，所以tan π4<tan 2π5，－tan π4>－tan 2π5，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4>tan ⎝⎛⎭⎪⎫－12π5.[类题通法]1．求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法(1)若ω>0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2<ωx ＋φ<k π＋π2，求得x 的范围即可．(2)若ω<0，可利用诱导公式先把y ＝A tan(ωx ＋φ)转化为y ＝A tan[－(－ωx －φ)]＝－A tan(－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可．2．运用正切函数单调性比较大小的方法(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系． [活学活用]1．比较tan 1，tan 2，tan 3的大小． 答案：tan 2<tan 3<tan 12．求函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调区间．答案：单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＋k π2，3π8＋k π2(k ∈Z)[例3] (1)求f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3的最小正周期； (2)判断y ＝sin x ＋tan x 的奇偶性． [解] (1)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，即tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期是π2.(2)定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z，关于原点对称， ∵f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )， ∴它是奇函数． [类题通法]与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略 (1)一般地，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝π|ω|，常常利用此公式来求周期． (2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f (－x )与f (x )的关系．[活学活用]关于x 的函数f (x )＝tan(x ＋φ)有以下几种说法： ①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数；②f (x )的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ，0对称； ③f (x )的图象关于(π－φ，0)对称； ④f (x )是以π为最小正周期的周期函数． 其中不正确的说法的序号是________． 答案：①4.三角函数解析式与图象的对应[典例] (山东高考)函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )[解析] 由函数y ＝x cos x ＋sin x 是奇函数，排除B.当x ＝π时，y ＝πcos π＋sin π＝－π，排除A.当x ＝π4时，y ＝π4cos π4＋sin π4>0，排除C.故选D.[答案] D [多维探究]函数图象与解析式的对应在近几年高考中出现得并不频繁，多以选择题的形式出现，解题时常从函数的奇偶性、单调性、图象上的特殊点着手逐一排除错误选项，从而得出正确结论．[活学活用]1．(浙江高考)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )答案：D2．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是( )答案：D3．(浙江高考)函数y ＝sin x 2的图象是( )答案：D[随堂即时演练]1．下列函数中，既是以π为周期的奇函数，又是⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的增函数的是( )A ．y ＝tan xB ．y ＝tan 2xC ．y ＝tan x2D ．y ＝|sin x | 答案：A2．函数y ＝tan(cos x )的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22 C ．[－tan 1，tan 1] D ．以上均不对 答案：C3．函数y ＝5tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2的最小正周期是________．答案：2π4．函数y ＝tan x －1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3的值域为________． 答案：[－2，3－1]5．求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的定义域、最小正周期及单调区间．答案：定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠4π3＋2k π，k ∈Z；最小正周期为2π；单调递增区间为－2π3＋2k π，4π3＋2k π(k ∈Z)[课时达标检测]一、选择题1．与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交的一条直线是( ) A ．x ＝π2B ．x ＝－π2C ．x ＝π4D ．x ＝π8答案：D2．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象交点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：C 3．函数y ＝log 12tan x 的定义域是( )A ．x ⎪⎪⎪x ≤π4＋k π，k ∈ZB ．x ⎪⎪⎪ 2k π<x ≤2k π＋π4，k ∈ZC ．x ⎪⎪⎪k π<x ≤k π＋π4，k ∈ZD ．x ⎪⎪⎪2k π－π2<x ≤k π＋π4，k ∈Z答案：C4．下列图形分别是①y ＝|tan x |，②y ＝tan x ，③y ＝tan(－x )，④y ＝tan |x |在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2内的大致图象，那么由a 到d 对应的函数关系式应是( )A ．①②③④B ．①③④②C ．③②④①D ．①②④③ 答案：D5．下列关于函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的说法正确的是( )A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6上单调递增B ．最小正周期是πC ．图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0成中心对称 D ．图象关于直线x ＝π6成轴对称答案：B 二、填空题6．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝1所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值是________．答案： 37．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是单调减函数，则ω的取值范围是________．答案：[－1,0) 8．若直线x ＝k π2(|k |≤1)与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交，则k ＝________. 答案：14或－34三、解答题9．作出函数y ＝tan x ＋|tan x |的图象，并求其定义域、值域、单调区间及最小正周期．解：y ＝tan x ＋|tan x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2tan x ，tan x ≥0，0，tan x <0.其图象如图所示，由图象可知，其定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z)；值域是[0，＋∞)；单调递增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z)；最小正周期T ＝π.10．若x ∈[－π3，π4]，求函数y ＝1cos 2x ＋2tan x ＋1的最值及相应的x 值．解：y ＝1cos 2x ＋2tan x ＋1＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＋2tan x ＋1 ＝tan 2x ＋2tan x ＋2 ＝(tan x ＋1)2＋1.∵x ∈[－π3，π4]，∴tan x ∈[－3，1]．故当tan x ＝－1，即x ＝－π4时，y 取最小值1； 当tan x ＝1，即x ＝π4时，y 取最大值5.11．已知－π3≤x ≤π4，f (x )＝tan 2x ＋2tan x ＋2，求f (x )的最值及相应的x 值．解：∵－π3≤x ≤π4，∴－3≤tan x ≤1，f (x )＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1，当tan x ＝－1即x ＝－π4时，f (x )有最小值1，精品资料值得拥有- 11 - 当tan x＝1即x＝π4时，f(x)有最大值5.。
1.4.3 正切函数的性质与图象
鸡西市第十九中学高一数学组
函数 y＝tan x 的性质与图象见下表： y＝tan x
图象
定义域 值域 周期 奇偶性 单调性 例1 最小正周期为__ _________ 在开区间_______________________内递增
求函数 y＝ tan x＋1＋lg(1－tan x)的定义域．
小结 求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角 函数的图象或三角函数线． 训练 1 求下列函数的定义域： 1 (1)y＝ ； (2)y＝lg( 3－tan x)． 1＋tan x
π π (5)用光滑的曲线把正切线的终点连接起来，就得到 y＝tan x，x∈ －2，2的图象，如图 所示．
现在我们作出了正切函数一个周期上的图象，根据正切函数的周期性，把上述图象向左、 π 右扩展，得到正切函数 y＝tan x(x∈R，且 x≠ ＋kπ(k∈Z))的图象，我们把它叫做“正切曲 2 线”(如下图所示)，它是被无数条直线________________所隔开的无数条曲线组成的．
鸡西市第十九中学高一数学组
鸡西市第十九中学学案
2017 年（ ）月（ ）日 班级 姓名
1.4.3 学习 目标 重点 难点
正切函数的性质与图象
1．了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质． 2．能利用正切函数的图象及性质解决有关问题． 类比正弦函数和余弦函数的研究方法，抓住正切函数的图象具有渐近线 (x＝kπ π ＋ ，k∈Z)这一明显特征 2
【正切函数的图象】阅读下文，了解正切函数图象的几何作法． π π 类比正弦函数图象的作法，作正切函数 y＝tan x，x∈ －2，2图象的步骤： (1)建立平面直角坐标系，在 x 轴的负半轴上任取一点 O1，以 O1 为圆心作单位圆． (2)把单位圆中的右半圆平均分成 8 份，并作出相应终边的 线． π π (3)在 x 轴上，把 －2，2这一段分成 8 等份，依次确定单位圆上 7 个分点在 x 轴上的位 置． (4)把角 x 的 线向右平移，使它的起点与 x 轴上的点 x 重合．
高中数学_1.4.3 正切函数的性质与图象教学设计学情分析教材分析课后反思
《正切函数的性质与图象》的教学设计一.教材分析1.地位与作用《正切函数的性质与图象》是高中数学必修4第一章第四节内容(人教版)。
在学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质之后，研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现，更是一种提升。
2.教材处理教材采用探究的方法引导学生注意正切函数与正弦函数在研究方法上类似，我采用以提问、设计问题探究的方式，让学生回忆如何有前面学习的知识得到正切函数的性质。
数的研究缺乏形象、直观的特点，进而引导学生由正弦线得到正切曲线的作图过程与方法，设计一系列问题一步步引导学生注意画正切曲线的细节。
我把空间、时间留给学生，让他们自主探究，不仅发挥了学生的能动性，而且增强了动脑、动手绘图的能力。
二．学情分析通过前面正切线，诱导公式的学习，学生已经能解决部分问题，尤其对正弦函数图象与性质的研究，让学生有了思考的方向，且具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。
但在画正切函数图象时，还有许多需要注意的地方，比如定义域，函数区间等问题。
这又提升了学生分析问题的能力及严密认真的态度。
三．教学目标确定正切函数是继正、余弦之后的又一个三角函数，三者在研究方法与研究内容上类似，但某些性质有所不同，这就养成学生在画图时必须全面考虑问题。
本着新课程标准的理念，养成学生对知识的生成过程的体验，学生亲自体会正切曲线的获得过程，这样学生的动手实践能力有了提高，又体会到学习数学的乐趣，根据教学要求及学生现有的认知水平，现制定以下教学目标：1.知识目标：1).掌握正切函数的性质.2).能借助单位圆中的正切线画出正切函数的图像.3).能够利用正切函数的图像与性质解决问题.2. 过程与方法：1）通过类比，联想正弦函数图象的作法作正切函数的图象.2）能学以致用，结合图象分析得到正切函数的性质,并能解决问题。
3.情感态度与价值观：通过一系列问题的设置，培养学生用联系发展的观点思考问题，充分体验数形结合的思想优势，激发学生学习的积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生学好数学的自信心. 4.重点与难点重点：正切函数的图象及其主要性质。
部编版2020学年高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象学案含解析新人教A版必修
1.4.3 正切函数的性质与图象正切函数的性质[提出问题问题1：正切函数y ＝tan x 的定义域是什么？提示：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z .问题2：诱导公式tan(π＋x )＝tan x 说明了正切函数的什么性质？tan(k π＋x )(k ∈Z)与tan x 的关系怎样？提示：周期性．tan(k π＋x )＝tan x (k ∈Z)．问题3：诱导公式tan(－x )＝－tan x 说明了正切函数的什么性质？ 提示：奇偶性．问题4：从正切线上观察，正切函数值是有界的吗？ 提示：不是，正切函数没有最大值和最小值．问题5：从正切线上观察，正切函数值在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是增大的吗？提示：是的． [导入新知] 正切函数的性质 函数 y ＝tan x定义域 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z值域 R周期 T ＝π奇偶性 奇函数单调性 在每个开区间⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z)上都是增函数 细解正切函数的性质(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是xx ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z ，值域是全体实数．(2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π.一般地，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的最小正周期是T ＝πω.若不知ω正负，则该函数的最小正周期为T ＝π|ω|.(3)正切函数无单调递减区间，在每一个单调区间内都是递增的，并且每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间．正切函数的图象[提出问题]问题1：你还记得给定一个角在单位圆中的正切线怎样画吗？提示：过单位圆与x 正半轴的交点A ，作垂直于x 轴的直线，交角的终边或其反向延长线于点T ，则有向线段AT 即为该角的正切线．问题2：仿照利用正弦线作正弦曲线的作法，你能根据正切线作出正切曲线吗？ 提示：能． [导入新知] 正切函数的图象 (1)正切函数的图象：(2)正切函数的图象叫做正切曲线． (3)正切函数的图象特征：正切曲线是由被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的．[化解疑难]正切函数是奇函数，图象关于原点对称，与x 轴有无数个交点，因此有无穷多个对称中心，对称中心坐标是⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z ，正切函数的图象无对称轴.正切函数的定义域、值域问题[例1] (1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4；(2)y ＝3－tan x .[解] (1)由x ＋π4≠k π＋π2(k ∈Z)得，x ≠k π＋π4，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的定义域为xx ≠k π＋π4，k ∈Z ，其值域为(－∞，＋∞)．(2)由3－tan x ≥0得，tan x ≤ 3.结合y ＝tan x 的图象可知，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上， 满足tan x ≤3的角x 应满足－π2<x ≤π3，所以函数y ＝3－tan x 的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π－π2<x ≤k π＋π3，k ∈Z ，其值域为[0，＋∞)．[类题通法]求正切函数定义域的方法及求值域的注意点求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义，即x ≠π2＋k π，k ∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．解形如tan x >a 的不等式的步骤：[活学活用]求函数y ＝11＋tan x的定义域．答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π－π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z正切函数的单调性及应用[例2] (1)求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －4的单调区间；(2)比较tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5的大小．[解] (1)由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z)得，2k π－π2<x <2k π＋3π2，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋3π2(k ∈Z)．(2)由于tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋3π4＝tan 3π4＝－tan π4，tan －12π5＝－tan2π＋2π5＝－tan 2π5，又因为0<π4<2π5<π2，而y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，所以tan π4<tan 2π5，－tan π4>－tan 2π5，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4>tan ⎝⎛⎭⎪⎫－12π5.[类题通法]1．求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法(1)若ω>0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2<ωx ＋φ<k π＋π2，求得x 的范围即可．(2)若ω<0，可利用诱导公式先把y ＝A tan(ωx ＋φ)转化为y ＝A tan[－(－ωx －φ)]＝－A tan(－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可．2．运用正切函数单调性比较大小的方法(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系． [活学活用]1．比较tan 1，tan 2，tan 3的大小． 答案：tan 2<tan 3<tan 12．求函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调区间．答案：单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＋k π2，3π8＋k π2(k ∈Z)与正切函数有关的周期性、奇偶性问题[例3] (1)求f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3的最小正周期； (2)判断y ＝sin x ＋tan x 的奇偶性． [解] (1)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，即tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期是π2.(2)定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z，关于原点对称， ∵f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )， ∴它是奇函数． [类题通法]与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略 (1)一般地，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝π|ω|，常常利用此公式来求周期． (2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f (－x )与f (x )的关系．[活学活用]关于x 的函数f (x )＝tan(x ＋φ)有以下几种说法： ①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数；②f (x )的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ，0对称； ③f (x )的图象关于(π－φ，0)对称； ④f (x )是以π为最小正周期的周期函数． 其中不正确的说法的序号是________． 答案：①4.三角函数解析式与图象的对应[典例] (山东高考)函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )[解析] 由函数y ＝x cos x ＋sin x 是奇函数，排除B.当x ＝π时，y ＝πcos π＋sin π＝－π，排除A.当x ＝π4时，y ＝π4cos π4＋sin π4>0，排除C.故选D.[答案] D [多维探究]函数图象与解析式的对应在近几年高考中出现得并不频繁，多以选择题的形式出现，解题时常从函数的奇偶性、单调性、图象上的特殊点着手逐一排除错误选项，从而得出正确结论．[活学活用]1．(浙江高考)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )答案：D2．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是( )答案：D3．(浙江高考)函数y ＝sin x 2的图象是( )答案：D[随堂即时演练]1．下列函数中，既是以π为周期的奇函数，又是⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的增函数的是( )A ．y ＝tan xB ．y ＝tan 2xC ．y ＝tan x2D ．y ＝|sin x | 答案：A2．函数y ＝tan(cos x )的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22 C ．[－tan 1，tan 1] D ．以上均不对 答案：C3．函数y ＝5tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2的最小正周期是________．答案：2π4．函数y ＝tan x －1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3的值域为________． 答案：[－2，3－1]5．求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的定义域、最小正周期及单调区间．答案：定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠4π3＋2k π，k ∈Z；最小正周期为2π；单调递增区间为－2π3＋2k π，4π3＋2k π(k ∈Z)[课时达标检测]一、选择题1．与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交的一条直线是( ) A ．x ＝π2B ．x ＝－π2C ．x ＝π4D ．x ＝π8答案：D2．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象交点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：C 3．函数y ＝log 12tan x 的定义域是( )A ．x ⎪⎪⎪x ≤π4＋k π，k ∈ZB ．x ⎪⎪⎪ 2k π<x ≤2k π＋π4，k ∈ZC ．x ⎪⎪⎪k π<x ≤k π＋π4，k ∈ZD ．x ⎪⎪⎪2k π－π2<x ≤k π＋π4，k ∈Z答案：C4．下列图形分别是①y ＝|tan x |，②y ＝tan x ，③y ＝tan(－x )，④y ＝tan |x |在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2内的大致图象，那么由a 到d 对应的函数关系式应是( )A ．①②③④B ．①③④②C ．③②④①D ．①②④③ 答案：D5．下列关于函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的说法正确的是( )A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6上单调递增B ．最小正周期是πC ．图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0成中心对称 D ．图象关于直线x ＝π6成轴对称答案：B 二、填空题6．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝1所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值是________．答案： 37．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是单调减函数，则ω的取值范围是________．答案：[－1,0) 8．若直线x ＝k π2(|k |≤1)与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交，则k ＝________. 答案：14或－34三、解答题9．作出函数y ＝tan x ＋|tan x |的图象，并求其定义域、值域、单调区间及最小正周期．解：y ＝tan x ＋|tan x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2tan x ，tan x ≥0，0，tan x <0.其图象如图所示，由图象可知，其定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z)；值域是[0，＋∞)；单调递增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z)；最小正周期T ＝π.10．若x ∈[－π3，π4]，求函数y ＝1cos 2x ＋2tan x ＋1的最值及相应的x 值．解：y ＝1cos 2x ＋2tan x ＋1＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＋2tan x ＋1 ＝tan 2x ＋2tan x ＋2 ＝(tan x ＋1)2＋1.∵x ∈[－π3，π4]，∴tan x ∈[－3，1]．故当tan x ＝－1，即x ＝－π4时，y 取最小值1； 当tan x ＝1，即x ＝π4时，y 取最大值5.11．已知－π3≤x ≤π4，f (x )＝tan 2x ＋2tan x ＋2，求f (x )的最值及相应的x 值．解：∵－π3≤x ≤π4，∴－3≤tan x ≤1，f (x )＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1，当tan x ＝－1即x ＝－π4时，f (x )有最小值1，- 11 - 当tan x ＝1即x ＝π4时，f (x )有最大值5.。
2018版高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象导学案新人教A版必修420180424
1.4.3正切函数的性质与图象学习目标 1.会求正切函数y＝tan(ωx＋φ)的周期.2.掌握正切函数y＝tan x的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性.3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法.知识点一正切函数的性质思考1正切函数的定义域是什么？π答案{x|x∈R且x≠＋kπ，k∈Z}.2π思考2诱导公式tan(π＋x)＝tan x，x∈R且x≠＋kπ，k∈Z说明了正切函数的什么性质？2答案周期性.π思考3诱导公式tan(－x)＝－tan x，x∈R且x≠＋kπ，k∈Z说明了正切函数的什么性质？2答案奇偶性.π思考4从正切线上看，在(0，2)上正切函数值是增大的吗？答案是.π梳理函数y＝tan x (x ∈R且x ≠kπ＋，k ∈Z)的图象与性质见下表：2解析式y＝tan x图象1π定义域 {x |x ∈R 且 x ≠k π＋ ，k ∈Z }2值域 R 周期 π 奇偶性奇ππ单调性在开区间(k π－，k π＋ (k ∈Z )内都是增函数 2)2知识点二 正切函数的图象思考 1 利用正切线作正切函数图象的步骤是什么？π π 答案 根据正切函数的定义域和周期，首先作出区间(－ ， )上的图象.作法如下：2 2 (1)作直角坐标系，并在直角坐标系 y 轴的左侧作单位圆. (2)把单位圆的右半圆分成 8等份，分别在单位圆中作出正切线. (3)描点(横坐标是一个周期的 8等分点，纵坐标是相应的正切线的长度). (4)连线，得到如图①所示的图象.(5)根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数 y ＝tan x ，x ∈R π且 x ≠ ＋k π(k ∈Z )的图象，把它称为正切曲线(如图②所示).可以看出，正切曲线是被相互2 π平行的直线 x ＝ ＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的.2思考 2 我们能用“五点法”简便地画出正弦函数、余弦函数的简图，你能类似地画出正切函π π数 y ＝tan x ，x ∈(－的简图吗？怎样画？， 2)22ππππ 答案 能，三个关键点：( ，1)，(0，0)，(－，－1)，两条平行线：x ＝，x ＝－ .4422梳理 (1)正切函数的图象(2)正切函数的图象特征π正切曲线是被相互平行的直线 x ＝ ＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的.2类型一 正切函数的定义域 例 1 求下列函数的定义域. 1 (1)y ＝ ； 1＋tan x (2)y ＝lg( 3－tan x ).1解 (1)要使函数 y ＝ 有意义，必须且只需Error! 1＋tan x 所以函数的定义域为π π {x |x ∈R 且 x ≠k π－ ，x ≠k π＋ ，k ∈Z }. 4 2 (2)因为 3－tan x >0，所以 tan x < 3. π又因为当 tan x ＝ 3时，x ＝ ＋k π(k ∈Z )，3π π根据正切函数图象，得 k π－ ＜x ＜k π＋ (k ∈Z )， 2 3 π π所以函数的定义域是{x |k π－ ＜x ＜k π＋ ，k ∈Z }. 2 3反思与感悟 求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三 角函数的图象或三角函数线.跟踪训练 1 求函数 y ＝ tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域. 解 由题意得Error!即－1≤tan x <1.π ππ π在(－内，满足上述不等式的 x 的取值范围是，又 y ＝tan x 的周期为 π，， 2)[－， 4)24ππ 所以函数的定义域是[k π－ ，k π＋ 4)(k ∈Z ).4类型二正切函数的单调性及其应用3命题角度 1 求正切函数的单调区间1 π x ＋例 2 求函数 y ＝tan (－4)的单调区间及最小正周期. 21 π 1 πx ＋解y ＝tan(－4)＝－tan (x －， 4)22π 1 π π由 k π－ < x － <k π＋ (k ∈Z )， 2 2 4 2 π 3得 2k π－ <x <2k π＋ π(k ∈Z )， 2 21 πx ＋所以函数 y ＝tan (－4)的单调递减区间是2 π3π(2k π－π)，2k π＋ ，k ∈Z ，周期 T ＝ ＝2π. 2 21|－2 |π 反思与感悟 y ＝tan(ωx ＋φ) (ω>0)的单调区间的求法是把 ωx ＋φ 看成一个整体，解－ 2π＋k π<ωx ＋φ< ＋k π，k ∈Z 即可.当 ω<0时，先用诱导公式把 ω 化为正值再求单调区间.2π跟踪训练 2 求函数 y ＝tan(2x － 3)的单调区间.ππππ π解 ∵y ＝tan x 在 x ∈(－(k ∈Z )上是增函数，∴－ ＋k π<2x － < ＋＋k π， ＋k π)2 223 2k π，k ∈Z ，π k π 5π k π即－ ＋ <x < ＋ ，k ∈Z . 12 2 12 2ππ k π 5π k π∴函数 y ＝tan (2x － 的单调递增区间是(k ∈Z ).3)(－＋ ＋，2)12 2 12命题角度 2 利用正切函数的单调性比较大小 例 3 (1)比较大小：①tan 32°________tan 215°；18π28π②tan________tan(－).5 9(2)将tan 1，tan 2，tan 3按大小排列为________.(用“<”连接)答案(1)①<②<(2)tan 2<tan 3<tan 1解析(1)①tan215°＝tan(180°＋35°)＝tan 35°，∵y＝tan x在(0°，90°)上单调递增，32°<35°，∴tan32°<tan35°＝tan 215°.18π2π2π②tan＝tan(4π－)＝tan(－)，5 5 5428πππtan(－)＝tan(－3π－)＝tan(－)，9 9 9ππ2ππ∵y＝tan x在(－，)上单调递增，且－<－，2 2 5 92ππ∴tan(－)<tan(－)，5 918π28π即tan <tan(－).5 9(2)tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，ππ∵－<2－π<3－π<1<，2 2ππ且y＝tan x在(－，)上单调递增，2 2∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1，即tan 2<tan 3<tan 1.反思与感悟运用正切函数的单调性比较大小的步骤：(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内；(2)运用单调性比较大小关系.7π9π 跟(－4 )________tan(－5 ).踪训练3比较大小：tan答案>7πππ 解析∵tan(－4 )＝－tan(2π－4)＝tan ，49πππtan(－5 )＝－tan(2π－5)＝tan .5ππππ又0＜＜＜，y＝tan x在内单调递增，5 42 (0，2)ππ∴tan＜tan ，5 47π9π∴tan(－4 )＞tan(－5 ).类型三正切函数的图象及应用例4画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性. 解由y＝|tan x|，得y＝Error!其图象如图所示.5。
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4-1.4.3正切函数的性质与图象（1）
教学目的：
1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；
2.用正切函数图象解决函数有关的性质；
教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象；
教学难点：正切函数的性质。
教学过程：
一、复习引入：
问题：正弦曲线是怎样画的？正切线? 练习正切线，画出下列各角的正切线：
二、讲解新课：
1．作tan y x =，x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-
2,2ππ的图象
注：由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线x= 所隔开的无
穷多支曲线组成的。
2．正切函数的性质：
（1）定义域： （2）值域：
（3）周期性： ；（4）奇偶性： ；
（5）单调性：在开区间 内，函数单调递增。
3.讲解范例：
例6求函数⎪⎭⎫
⎝⎛+=32
tan ππx y 的定义域、周期和单调区间
三、练习：P45
四、小结： 1. .
2. .
五、课后作业：
P46 5. 6.
六、课后反思：。