高考数学一轮复习 几何证明选讲 第讲 相似三角形的判定及有关性质练习 理 选修-创新

几何证明选讲 第1讲 相似三角形的判定及有关性质练习 理 选修
4.1
1．如图所示，在△ABC 中，DE∥BC，DF∥AC，AE ＝2，AC ＝3，BC ＝4，则BF 的长为 ( )
A .13
B .43
C .83
D .163
答案 B
解析 因为DE∥BC，所以AD AB ＝AE AC ＝23.
因为DF∥AC，所以AD AB ＝CF
CB .
两式联立可得23＝CF 4，解得CF ＝8
3，
故BF ＝4－83＝4
3.
2．如图所示，▱ABCD 中，AE∶EB＝2∶5，若△AEF 的面积等于4 cm 2
，则△CDF 的面积等于( )
A ．10 cm 2
B ．16 cm 2
C ．25 cm 2
D ．49 cm 2
答案 D
解析 ▱ABCD 中，△AEF∽△CDF， 由AE∶EB＝2∶5，得AE∶CD＝2∶7， ∴
S △AEF S △CDF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AE CD 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫272
， ∴S △CDF ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫722×S △AEF ＝494×4＝49 (cm 2
)．
3．一个直角三角形的一条直角边为3，斜边上的高为12
5，则这个三角形的外接圆半径是
( )
A ．5
B .52
C .54
D ．25
答案 B
解析 长为3的直角边在斜边上的射影为 32
－⎝ ⎛⎭⎪⎫1252＝95
，
故由射影定理知斜边长为32
95
＝5，因此这个直角三角形的外接圆半径为5
2
.
4. [2016·汉中模拟]如图，在梯形ABCD 中，E 为AD 的中点，EF∥AB，EF ＝30 cm ，AC 交EF 于G ，若FG －EG ＝10 cm ，则AB 等于( )
A ．30 cm
B ．40 cm
C ．50 cm
D ．60 cm
答案 B
解析 因为EF ＝30 cm ，即FG ＋EG ＝30 cm ， 又FG －EG ＝10 cm ，所以FG ＝20 cm . 因为E 为AD 的中点，EF∥AB， 所以F 为BC 的中点． 所以G 为AC 的中点，
所以AB ＝2GF ＝2×20＝40(cm )．
5．[2015·广东高考]已知AB 是圆O 的直径，AB ＝4，EC 是圆O 的切线，切点为C ，BC ＝1.过圆心O 作BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD ＝________.
答案 8
解析 由于O 为AB 的中点且BC∥OD，
∴OP∥BC 且OP ＝12BC ＝12
，AC ＝AB 2－BC 2
＝15，
∴CP＝12AC ＝152.
又∵CD 是圆O 的切线， ∴∠ACD＝∠ABC.
又∵∠DPC＝∠ACB＝90°， ∴Rt △ABC∽Rt △DCP， ∴PD AC ＝CP
BC
， ∴PD＝CP·AC BC ＝15
2×151＝15
2，
∴OD＝OP ＋PD ＝12＋15
2
＝8.
6．[2015·湖北高考]如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且BC ＝3PB ，则AB
AC
＝________.
答案 12
解析 设PB ＝1，则PC ＝4. ∵PA 2
＝PB·PC，∴PA＝2. ∵△PBA∽△PAC， ∴AB AC ＝PA PC ＝24＝12
. 7．[2013·陕西高考]如图，弦AB 与CD 相交于⊙O 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知PD ＝2DA ＝2
，则PE ＝________.
答案
6
解析 ∵PE∥BC，∴∠PED＝∠BCE. 又∵∠BCE＝∠BAD，∴∠PED＝∠BAD. 在△PDE 和△PEA 中，
⎩
⎪⎨
⎪⎧
∠P＝∠P ∠PED＝∠EAP，∴△PDE∽△PEA，
∴PD PE ＝PE PA
，∴PE 2
＝PD·PA＝2×3＝6，∴PE＝ 6. 8．如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF⊥DB ，垂足为F ，若AB ＝6，AE ＝1，则DF·DB＝________.
答案 5
解析 圆的半径OC ＝3，OE ＝2，CE ＝DE ＝32
－22
＝ 5. 而△DFE∽△DEB，∴DF DE ＝DE DB
，∴DF·DB＝DE 2
＝5.
9．[2015·课标全国卷Ⅱ]如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M ，N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点．
(1)证明：EF∥BC；
(2)若AG 等于⊙O 的半径，且AE ＝MN ＝23，求四边形EBCF 的面积．
解 (1)证明：由于△ABC 是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD 是∠CAB 的角平分线． 又因为⊙O 分别与AB ，AC 相切于点E ，F ，所以AE ＝AF ，故AD⊥EF.从而EF∥BC. (2)由(1)知，AE ＝AF ，AD⊥EF，故AD 是EF 的垂直平分线．又EF 为⊙O 的弦，所以O 在AD 上．
连接OE ，OM ，则OE⊥AE.
由AG 等于⊙O 的半径得AO ＝2OE ，所以∠OAE＝30°.因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形． 因为AE ＝23，所以AO ＝4，OE ＝2. 因为OM ＝OE ＝2，DM ＝1
2MN ＝3，所以OD ＝1.
于是AD ＝5，AB ＝103
3
.
所以四边形EBCF 的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫10332×32－12×(23)2
×32＝1633
. 10．[2015·江苏高考]如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，△ABC 的外接圆⊙O 的弦AE 交BC 于点D.
求证：△ABD∽△AEB.
证明 因为AB ＝AC ，所以∠ABD＝∠C. 又因为∠C＝∠E，所以∠ABD＝∠E， 又∠BAE 为公共角，可知△ABD∽△AEB.
11．[2015·开封一模]如图，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE⊥CD，垂足为E ，连接AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE＝∠C.
(1)求证：△ABF∽△EAD；
(2)若∠BAE＝30°，AD ＝3，求BF 的长． 解 (1)证明：∵AB∥CD， ∴∠BAF＝∠AED. 又∵∠BFE＝∠C，
∠BFE＋∠BFA＝∠C＋∠ADE， ∴∠BFA＝∠ADE. ∴△ABF∽△EAD.
(2)∵∠BAE＝30°，∴∠AEB＝60°， ∴AB AE ＝sin 60°＝32， 又△ABF∽△EAD，∴BF AD ＝AB AE ，
∴BF＝AB AE ·AD＝332
.
12．[2015·山西四校联考]如图所示，PA 为圆O 的切线，A 为切点，PO 交圆O 于B ，C 两点，PA ＝10，PB ＝5，∠BAC 的平分线与BC 和圆O 分别交于D 和E 两点．
(1)求证：AB AC ＝PA
PC ；
(2)求AD·AE 的值．
解 (1)证明：∵PA 为圆O 的切线， ∴∠PAB＝∠ACP，
又∵∠P 为公共角，∴△PAB∽△PCA， ∴AB AC ＝PA PC
. (2)∵PA 为圆O 的切线，PC 是过点O 的割线， ∴PA 2
＝PB·PC，即102
＝5PC ， ∴PC＝20，∴BC＝15.
又∵∠CAB＝90°，∴AC 2
＋AB 2
＝BC 2
＝225. 又由(1)知AB AC ＝PA PC ＝1
2，∴AC ＝65，AB ＝35，
如图，
连接EC，则∠AEC＝∠ABC，
又∵∠CAE＝∠EAB，∴△ACE∽△ADB，
∴AE
AB
＝
AC
AD
，∴AD·AE＝AB·AC＝35×65＝90.。