2019版高考数学(浙江版)一轮配套讲义：§41三角函数的概念同角三角函数的关系式及诱.docx
高考数学一轮专项复习ppt课件-同角三角函数基本关系式及诱导公式(通用版)
故答案为 5.
【一题多解】因为 tan θ＝2，所以csoins θθ＝2，即 sin θ＝2cos θ，又 sin2θ＋cos2θ＝1，所
以
sin2θ＝45，cos2θ＝15，所以sin
1 2θ＋cos
2θ＝2sin
θcos
θ＋1cos2θ－sin2θ＝4cos2θ＋co1s2θ－sin2θ
＝5cos2θ1－sin2θ＝5×115－45＝5.
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高考一轮总复习•数学
(2)∵sinπ4－α＝35，且π4－α 为第二象限角， ∴cosπ4－α＝－45， ∴sinα－134π＋sinα＋214π ＝sinα＋34π＋sinα－34π ＝sinπ4－α－cosπ4－α ＝35－－45＝75.
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维度 2 齐次式的求值方法
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(2)原式＝tacnosαc3oπs＋αsαin[－－s2inπ＋3π＋α＋απ2]
tan ＝
－αccoossααsisninπ2α＋α＝ta－n αccoossααsicnosα
α
＝－tansiαncoαs
α＝－csoins
α cos α·sin
αα＝－1.
故答案为－1.
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题型 同角三角函数基本关系的多维研讨
维度 1 公式的直接应用 典例 2(1)(2024·广东惠州模拟)已知 tan α＝2，π<α<32π，则 cos α－sin α＝( ) 知一求二的计算，简捷的算法是以直角三角形为模型，可迅速求出三角函数值，符号
由角的范围确定．
5 A. 5
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(浙江专版)2019年高考数学一轮复习 专题4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数(讲)
第01节 任意角和弧度制及任意角的三角函数【考纲解读】【知识清单】1．象限角及终边相同的角 1．任意角、角的分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )． 2.弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值l r与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关． 3.弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． 2．三角函数的定义1.任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．2．三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦 3.三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M .由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos_α，sin_α)，即P (cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线.3. 扇形的弧长及面积公式弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2.【重点难点突破】考点1 象限角及终边相同的角 【1-1】已知角α＝45°，(1)在－720°～0°范围内找出所有与角α终边相同的角β； (2)设集合M=18045,,N=18045,24k k x x k x x k ⎧⎫⎧⎫=⨯+∈=⨯+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z Z ，判断两集合的关系． 【答案】（1）β＝－675°或β＝－315°.(2)M N ⊆.【1-2】终边在直线y ＝3x 上的角的集合为________． 【答案】{α|α＝k π＋π3，k ∈Z }【解析】终边在直线y ＝3x 上的角的集合为{α|α＝k π＋π3，k ∈Z }．【1-3】若角α是第二象限角，试确定α2，2α的终边所在位置．【答案】角α2的终边在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上,2α的终边在第一象限或第三象限.【解析】∵角α是第二象限角，∴ 22,2k k k Z ππαππ+<<+∈，（1）4242,k k k Z ππαππ+<<+∈，∴ 角α2的终边在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上． （2） ,422k k k Z παπππ+<<+∈，当2 ,k n n Z =∈时， ∴ 22 ,422n n n Z παπππ+<<+∈，∴2α的终边在第一象限．当2 1 ,k n n Z =+∈时， ∴5322 ,422n n n Z παπππ+<<+∈， ∴2α的终边在第三象限．综上所述，2α的终边在第一象限或第三象限．【领悟技法】1.对与角α终边相同的角的一般形式α＋k ·360°(k ∈Z )的理解;(1)k ∈Z;(2)α任意角;(3)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.2.利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角3.已知角α的终边位置，确定形如k α，π±α等形式的角终边的方法：先表示角α的范围，再写出k α、π±α等形式的角范围，然后就k 的可能取值讨论所求角的终边位置 【触类旁通】【变式一】【浙江省杭州第二中学三角函数】若α是第三象限的角, 则2απ-是 （ ）A. 第一或第二象限的角B. 第一或第三象限的角C. 第二或第三象限的角D.第二或第四象限的角 【答案】B【变式二】【浙江省东阳中学3月月考】已知且，则角的终边所在的象限是A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】依据题设及三角函数的定义可知角终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，所以终边在第二象限，应选答案B.考点2 三角函数的定义【2-1】【浙江省台州中学期中】已知角的终边过点,且，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：利用角的终边过点，结合，判断所在象限，利用三角函数的定义，求出的值即可.详解：由题意可知，，，是第三象限角，可得，即，解得，故选B.【2-2】【浙江省嘉兴市第一中学期中】已知角的终边与单位圆交于点，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据三角函数的定义求解即可．详解：由三角函数的定义可得．故选B．【2-3】【福建省福州市期末】如图，在直角坐标系中，射线交单位圆于点，若，则点的坐标是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：直接由三角函数的定义得到结果即可. 详解：根据三角函数的定义得到点的坐标为：.故答案为：A.【2-4】已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( )A.5π6B.2π3C.5π3D.11π6【答案】D【解析】由题意知点P 在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin 2π3＝32，故α＝2k π－π6(k ∈Z )，所以α的最小正值为11π6.【领悟技法】1.已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后利用三角函数的定义求解．2.已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值． 【触类旁通】【变式一】已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3)D ．[－2,3]【答案】A【解析】 ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3.故选A.【变式二】已知角的终边在射线上，则等于（ ）A. B. C. D.【答案】A点睛：（1）本题主要考查直线的斜率和同角的三角函数关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)在中，存在着“知一求二”的解题规律，即只要知道了其中一个，就可以求出另外两个.考点3 扇形的弧长及面积公式【3-1】【浙江省诸暨中学2017-2018学年第二阶段】已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是（ ）A. 1B. 4C. 1或4D. 2或4 【答案】C【解析】设扇形的半径为r ，弧长为 l ，则121282l r S lr +===，，∴解得28r l ==， 或44r l ==， 41lrα==或，故选C ．【3-2】【2018届黑龙江省齐齐哈尔八中8月月考】若扇形的圆心角120α=，弦长12AB cm =，则弧长l =__________ cm ．【解析】画出图形，如图所示.设扇形的半径为rcm ，由sin60°=6r，得cm ，∴l=n πr 180=2π3cm.【领悟技法】(1)弧度制下l ＝|α|·r ，S ＝12lr ，此时α为弧度．在角度制下，弧长l ＝n πr180，扇形面积S＝n πr 2360，此时n 为角度，它们之间有着必然的联系．(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形． 【触类旁通】【变式一】【浙江省杭州第二中学三角函数 单元测试题】若扇形的面积为38π,半径为1，则扇形的圆心角为 （ ） A.32π B. 34π C. 38π D. 316π 【答案】B【解析】设扇形的圆心角为α，则∵扇形的面积为3π8，半径为1， ∴2313824l ππαα=∴=故选B【变式二】【浙江省9+1高中联盟期中联考】如图，以正方形ABCD 中的点A 为圆心，边长AB 为半径作扇形EAB ，若图中两块阴影部分的面积相等，则EAD ∠的弧度数大小为_________.【答案】22π-；【解析】设正方形的边长为a ，由已知可得222112422a a a ππαα-=⇒=- . 【易错试题常警惕】易错典例：已知角α的终边过点(,2)m m ,0m ≠,求角α的的正弦值、余弦值. 易错分析：学生在做题时容易遗忘0m <的情况．正确解析：当0m <时，,sin r αα===当0m>时，,sinrαα===温馨提醒：本题主要考察了三角函数的定义以及分类讨论思想方法，这也是高考考查的一个重点.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。
2019年高考数学一轮复习讲练测(浙江版)：专题4.2 同角三角函数基本关系及诱导公式(讲)(原卷版)
2019年高考数学讲练测【浙江版】【讲】第四章 三角函数第02节 同角三角函数的基本关系及诱导公式【课前小测摸底细】1. 【课本典型习题，p115A 组2】已知1tan 3θ=-，求7sin 3cos 5sin 4cos θθθθ-+的值. 2. 【2019全国丙理5】若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ）. A.6425B. 4825C. 1D.16253. 【2019湖北武汉模拟】已知()sin cos 0,αααπ-=∈，则tan α=（ ）A ．-1B ．1C ．4.【基础经典试题】已知tan 2α=，则2212sin cos sin cos αααα+-的值是 （A ）13 （B ）3 （C ）13- （D ）3-5. 【改编2019年高考江西卷理科4)】 若tan θ+1tan θ=4,，04πθ<<.则cos2θ=（ ）A ．15 B. 14 C. 13 D. 【考点深度剖析】高考对同角三角函数基本关系式和诱导公式的考查主要是小题为主,试题难度不大．主要从两个方面考查：（1）同角的三个函数值中sin ,cos ,tan θθθ知一求二；（2）能灵活使用诱导公式实行三角函数的求值运算和沟通角度之间的联系．【经典例题精析】考点1同角三角函数的基本关系式【1-1】【2019浙江杭州模拟】已知cos ,,,2k k R πααπ⎛⎫=∈∈⎪⎝⎭，则()sin πα+=（ ）A ． C ． D ．k - 【1-2】【2019全国甲理9】若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）.A.725B.15 C.15- D.725- 【1-3】【2019年.浙江卷.理6】已知α∈R ，sin α＋2cos αtan 2α＝( )． A ．43 B ．34 C ．34- D ．43- 【1-4】【2007年.浙江卷.理12】已知1sin cos 5θθ+=，且324ππθ≤≤，则cos 2θ的值是_____________.【课本回眸】同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R )． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 【方法规律技巧】1.利用sin 2α＋cos 2α＝1能够实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α能够实现角α的弦切互化．2.注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.【新题变式探究】【变式】已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，则cos α＝________.考点2 利用诱导公式化简求值【2-1】若3sin()5πα+=，α是第三象限的角，则sincos22sin cos 22παπαπαπα++-=--- （ ） A ．12 B ．12- C ． 2 D ．2- 【2-2】已知sin()πθ+=cos(3)cos(2)3cos()[cos()1]cos sin()cos 2πθθπθπθθπθθ+-+----+【2-3】化简[][]sin()cos (1),sin (1)cos()k k k Z k k παπαπαπα---∈+++【课本回眸】六组诱导公式对于角“k π2±α”(k ∈Z )的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”【方法规律技巧】(1)利用诱导公式实行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负号—脱周期—化锐角．特别注意函数名称和符号的确定．(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (3)注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化．【新题变式探究】【变式】在△ABC 中，若s in(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos (π－B )，求△ABC 的三个内角．三、易错试题常警惕易错典例：cos(80)k -︒=,那么tan100︒=( )B. C.D.B.易错分析：(1)k 值的正负一撮；（2）tan100表达式符号易错温馨提醒：本题主要考察诱导公式、同角三角函数的基本关系式的知识，注意切弦互化这个转化 思想的应用四、注重通解通法，模型化解题【典例】已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝3－12，则tan θ的值为( ) A ．－3或－33B ．－33C ．－ 3D ．－32【反思】同角中的sin cos αα-，sin cos αα+，sin cos αα⋅知一可求二，将sin cos αα-与sin cos αα+联立可求tan α以及其二倍角三角函数值．。
浙江专用2019版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.3 三角函数的图象与性质课件
最小值为 答案 解析
π
π
A.6
B.4
π
π
C.3
D.2
高频小考点4 三角函数的性质
考点分析
纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为 简单，综合性的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完 全可以对此类题型及解法有效攻破，并在高考中拿全分.
典例 (1)(2015·课标全国Ⅰ)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示， 则f(x)的单调递减区间为 答案 解析 A.kπ－14，kπ＋34，k∈Z B.2kπ－14，2kπ＋34，k∈Z C.k－14，k＋43，k∈Z D.2k－41，2k＋34，k∈Z
A.xx≠kπ＋π4，k∈Z
C.xx≠kπ＋π8，k∈Z
解析
B.xx≠k2π＋π8，k∈Z
D.xx≠k2π＋π4，k∈Z
由 2x≠kπ＋π2，k∈Z，得 x≠k2π＋π4，k∈Z，
∴y＝tan 2x 的定义域为xx≠k2π＋π4，k∈Z
(3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.( × )
(4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( × )
(5)y＝sin |x|是偶函数.( √ )
(6)若
sin
x>
22，则
π x>4.(
×
)
考点自测
1.(教材改编)函数 f(x)＝3sin(2x－π6)在区间[0，π2]上的值域为 答案 解析
.
பைடு நூலகம்
3.(2016·绍兴期末)函数 f(x)＝2cos(4x＋π3)－1 的最小正周期为_π2___，f(π3)＝0_.
(浙江专版)2019年高考数学一轮复习专题4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式(练) (1)
1 第02节 同角三角函数的基本关系及诱导公式 A 基础巩固训练 1.【浙江省温州新力量联盟期中联考】（ ）
A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：首先要明确余弦函数的诱导公式，或者记住特殊角的三角函数值，注意其符号.
详解： ，故选A. 2.已知则（ ） A. B. C. D. 【答案】D
【解析】由题意可得：. 本题选择D选项.
3.【2017届浙江省台州市高三上期期末】已知，则( ) A. B. C. D. 【答案】C
【解析】因为，所以，应选答案C。 4.已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C
【解析】因为，所以， 2
所以．选C． 5.已知，则（ ）
A． B． C. D． 【答案】D 【解析】
＝，故选D． B能力提升训练 1. 已知为锐角，且，则的值是（ ）
A． B． C． D． 【答案】C
【解析】∵，∴，∵为锐角，∴． 2.已知，则（ ）
A．1 B．-1 C． D． 【答案】B．
【解析】由，得，即；，，则，即，则． 3. 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 3
【解析】由，可得，得，但由不一定能够得到“”，即“”是的充分不必要条件，故选A. 4. 2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个 相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面
积是1，小正方形的面积是，则的值等于（ ）
A.1 B. C. D. 【答案】D.
5.已知，则 ．
【答案】 【解析】
．
C思维扩展训练
1.【2018届重庆市第三次诊断性考试】设函数的导函数记为，若4
，则（ ） A. -1 B. C. 1 D. 3 【答案】D
2.向量，且，则= （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题根据向量平行可以得到,如何根据诱导公式计算即可.
高三数学一轮复习课件 第四章 4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式
A.{1，－1,2，－2}
B.{－1,1}
√C.{2，－2}
D.{1，－1,0,2，－2}
解析 当 k 为偶数时，A＝ssiinn αα＋ccooss αα＝2；
当 k 为奇数时，A＝－sisninαα－ccooss αα＝－2.
(2)(2018·太原质检)化简：tanπ＋αcos2π＋αsinα－32π＝ －1 . cos－α－3πsin－3π－α
A.－
2 6
B.
2 6
C.－23
√D.23
(2)已知 sin α＝25 5，则 tan(π＋α)＋csoins5522ππ＋－αα＝
52或－52
.
3 课时作业
PART THREE
基础保分练
1.已知 α 是第四象限角，tan α＝－152，则 sin α 等于
1 A.5
(2)商数关系：
sin cos
αα＝tan
αα≠π2＋kπ，k∈Z
.
2.三角函数的诱导公式
公式
一
角 2kπ＋α(k∈Z)
二 π＋α
三
四
－α π－α
正弦
sin α
－__s_i_n_α_ _－__s_in__α_ __s_in__α_
五 π2－α
_c_o_s__α_
六 π2＋α
__c_o_s_α__
α＝tan
－sin α α·cos α·tan
α＝－tan1
α＝2
1
6＝
6 12 .
1 2 3 4 5 67
2 题型分类 深度剖析
PART TWO
自主演练
题型一 同角三角函数基本关系式的应用
1.已知 α 是第四象限角，sin α＝－1123，则 tan α 等于
(浙江专版)2019版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形学案
第四章 三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：角α的弧度数公式 |α|＝lr(l 表示弧长)角度与弧度的换算①1°＝π180 rad ；②1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°弧长公式 l ＝|α|r 扇形面积公式S ＝12lr ＝12|α|r 23.三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么y 叫做α的正弦，记作sin αx 叫做α的余弦，记作cos αyx叫做α的正切，记作tan α各象限符号一＋ ＋ ＋ 二 ＋ － － 三 － － ＋ 四－＋－三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线[小题体验]1．若θ满足sin θ<0，cos θ>0，则θ的终边在第________象限．答案：四2．已知角α的终边经过点(－4，－3)，则cos α＝________.答案：－453．α为第一象限角，则sin α＋cos α________1.(填“>”“<”“＝”)答案：>1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．4．三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx.[小题纠偏]1．－1 000°是第________象限角，α＝3是第________象限角，72°＝________rad.答案：一二2π52．如图所示，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P 的坐标是____________．答案：(cos θ，sin θ)考点一 角的集合表示及象限角的判定基础送分型考点——自主练透[题组练透]1. 下列命题中，真命题是( ) A ．第一象限角是锐角 B ．直角不是任何象限角 C ．第二象限角比第一象限角大D ．三角形的内角一定是第一或第二象限角解析：选B 390°是第一象限角，但不是锐角，A 错；135°是第二象限角，390°>135°，C 错；直角不是任何象限角，D 错，B 对．2．若α是第二象限的角，则下列结论一定成立的是( ) A ．sin α2>0B ．cos α2>0C ．tan α2>0D ．sin α2cos α2<0解析：选C ∵π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ，∴π4＋k π<α2<π2＋k π. 当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角，即tan α2>0一定成立，故选C.3．设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝x ⎪⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ，那么M ________N ．(填“＝”“⊆”“⊇”)解析：法一：由于M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝x ⎪⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}， 显然有M ⊆N .法二：由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N .答案：⊆4．终边在直线y ＝3x 上的角的集合为__________________． 解析：在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴正半轴的夹角是π3，终边在直线y ＝3x 上的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝k π＋π3，k ∈Z .答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝k π＋π3，k ∈Z5．若角α是第二象限角，则α2是第________象限角． 解析：∵α是第二象限角，∴π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ，∴π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z.当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．答案：一或三[谨记通法]1．终边在某直线上角的求法4步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线； (2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合； (4)求并集化简集合．2．确定kα，αk(k ∈N *)的终边位置3步骤 (1)用终边相同角的形式表示出角α的范围； (2)再写出kα或αk的范围；(3)然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk的终边所在位置． 考点二 扇形的弧长及面积公式基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为( )A ．40π cm 2B ．80π cm 2C ．40 cm 2D ．80 cm 2解析：选B ∵72°＝2π5，∴S 扇形＝12|α|r 2＝12×2π5×202＝80π(cm 2)．2．若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB ＝12 cm ，则弧长l 等于( ) A.433π cm B. 833π cmC. 4 3 cmD ．8 3 cm解析：选B 设扇形的半径为r cm ，如图． 由sin 60°＝6r，得r ＝4 3 cm ，∴l ＝|α|·r ＝2π3×43＝833π cm.3．已知扇形周长为40，则当扇形面积最大时，圆心角等于________． 解析：设圆心角是θ，半径是r ，则2r ＋rθ＝40.又S ＝12θr 2＝12r (40－2r )＝r (20－r )＝－(r －10)2＋100≤100.当且仅当r ＝10时，S max ＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2. 所以当r ＝10，θ＝2时，扇形的面积最大． 答案：24．若扇形的圆心角α＝60°，半径R ＝10 cm ，求扇形的弧长l 及扇形的弧所在的弧形的面积．解：∵α＝60°＝π3，R ＝10 cm ，∴l ＝Rα＝10×π3＝10π3cm.设弧形的面积为S ，则S ＝12R 2α－12R 2sin π3＝12×102×π3－12×102×32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫50π3－253cm 2.[谨记通法]弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量，如“题组练透”第3题．考点三 三角函数的定义题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容．在高考中多以选择题、填空题的形式出现．常见的命题角度有： (1)三角函数定义的应用；(2)三角函数值的符号判定．[题点全练]角度一：三角函数定义的应用1．已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________.解析：∵角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，∴cos α＝－xx 2＋36＝－513，即x ＝52或x ＝－52(舍去)，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－6，∴sin α＝－1213，∴tan α＝sin αcos α＝125，则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23. 答案：－232．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝________.解析：设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t5|t |.当t >0时，cos θ＝55； 当t <0时，cos θ＝－55. 因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.答案：－35角度二：三角函数值的符号判定3．若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选C 由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号， 则α为第二或第三象限角． 由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号，则α为第三或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．4．已知点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则角θ是第________象限角． 解析：因为点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，所以sin θ·cos θ＜0,2cosθ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＞0，cos θ＜0，所以θ为第二象限角．答案：二[通法在握]定义法求三角函数的3种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．[演练冲关]1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α的值为( )A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：选D 因为点A 的纵坐标y A ＝45，且点A 在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.2．已知角α的终边经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，33，角β的终边经过点B ，且点B 与点A 关于y 轴对称，则cos ∠AOB ＝( )A.12B.－12C.32D ．－32解析：选A 角β的终边与角α的终边关于y 轴对称，而由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，33可得点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，33，所以cos β＝－12，sin β＝32，cos α＝12，sin α＝32，所以cos ∠AOB ＝cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝12.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知点P (tan α，sin α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D 因为点P 在第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧tan α<0，sin α<0，所以α的终边在第四象限，故选D.2．设角α终边上一点P (－4a,3a )(a <0)，则sin α的值为( ) A.35 B.－35C.45D ．－45解析：选B 设点P 与原点间的距离为r ， ∵P (－4a,3a )，a <0， ∴r ＝－4a2＋3a2＝|5a |＝－5a .∴sin α＝3a r ＝－35.3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为( )A.π3B.π2C. 3D ．2解析：选C 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝αr ， 所以α＝ 3.4．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)． 答案：(－1，3)5．角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，又P (m ，n )是角α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝________.解析：∵角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，∴角α的终边在第三象限．又P (m ，n )是角α终边上一点，故m <0，n <0.又|OP |＝10，∴⎩⎨⎧n ＝3m ，m 2＋n 2＝10，解得m ＝－1，n ＝－3，故m －n ＝2.答案：2二保高考，全练题型做到高考达标1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A.π3 B.π6 C ．－π3D ．－π6解析：选C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A 、B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16，即为－16×2π＝－π3.2．(2018·福州一模)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34D ．－43解析：选D 因为α是第二象限角，所以cos α＝15x ＜0，即x ＜0.又cos α＝15x ＝xx 2＋16.解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43.3．已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于( ) A ．sin 2 B.－sin 2 C ．cos 2D ．－cos 2 解析：选 D 因为r ＝2sin 22＋－2cos 22＝2，由任意三角函数的定义，得sin α＝yr＝－cos 2.4．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )A ．第一象限角 B.第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选B 由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角，∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2<0，综上知θ2为第二象限角．5．点A (sin 2 018°，cos 2 018°)在直角坐标平面上位于( ) A ．第一象限 B.第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C 由2 018°＝360°×5＋(180°＋38°)可知， 2 018°角的终边在第三象限，所以sin 2 018°＜0，cos 2 018°＜0， 即点A 位于第三象限．6．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是________．解析：∵cos α≤0，sin α＞0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，∴－2＜a ≤3.答案：(－2,3]7．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．解析：由α是第二象限的角可得90°＋k ·360°＜α＜180°＋k ·360°(k ∈Z)，则180°－(180°＋k ·360°)＜180°－α＜180°－(90°＋k ·360°)(k ∈Z)，即－k ·360°＜180°－α＜90°－k ·360°(k ∈Z)，所以180°－α是第一象限的角．答案：一8．(2017·北京高考)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则sin β＝________.解析：当角α的终边在第一象限时，取角α终边上一点P 1(22，1)，其关于y 轴的对称点(－22，1)在角β的终边上，此时sin β＝13；当角α的终边在第二象限时，取角α终边上一点P 2(－22，1)，其关于y 轴的对称点(22，1)在角β的终边上，此时sin β＝13. 综上可得sin β＝13.答案：139．已知角θ的终边上有一点(a ，a )，a ∈R 且a ≠0，则sin θ的值是________． 解析：由已知得r ＝a 2＋a 2＝2|a |，sin θ＝ar＝a2|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧22，a ＞0，－22，a ＜0.所以sin θ的值是22或－22. 答案：22或－2210．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α， (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr＝6.(2)法一：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝14l ·2r ≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫l ＋2r 22＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝4，当且仅当2r ＝l ，即α＝lr＝2时，扇形面积取得最大值4. ∴圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1. 法二：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，即α＝l r＝2时，扇形面积取得最大值4. ∴弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.11．角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a ＞0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin αcos α＋sin βcos β＋tan αtan β的值．解：由题意得，点P 的坐标为(a ，－2a )，点Q 的坐标为(2a ，a )． 所以sin α＝－2aa 2＋－2a 2＝－25，cos α＝aa 2＋－2a 2＝15，tan α＝－2aa＝－2， sin β＝a 2a 2＋a 2＝15， cos β＝2a 2a2＋a2＝25，tan β＝a 2a ＝12，故sin αcos α＋sin βcos β＋tan αtan β ＝－25×15＋15×25＋(－2)×12＝－1.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．若α是第三象限角，则y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2sinα2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2cosα2的值为( )A ．0 B.2 C ．－2D ．2或－2解析：选A 由于α是第三象限角， 所以α2是第二或第四象限角，当α2是第二象限角时，y ＝sin α2sin α2＋－cosα2cosα2＝1－1＝0； 当α2是第四象限角时，y ＝－sin α2sin α2＋cos α2cosα2＝－1＋1＝0. 2．已知sin α＜0，tan α＞0. (1)求角α的集合； (2)求α2终边所在的象限；(3)试判断 tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上； 由tan α＞0, 知α在第一、三象限，故角α在第三象限，其集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z. (2)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0, cos α2＜0， 所以tan α2 sin α2 cos α2取正号；当α2在第四象限时， tan α2＜0， sin α2＜0, cos α2＞0，所以 tan α2sin α2cosα2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号． 第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式_1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.2．诱导公式 组序 一 二 三 四 五 六 角 2k π＋α(k ∈Z)π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin αcos αcos_α余弦 cos α －cos α cos α－cos_α sin α －sin α正切 tan αtan α－tan α －tan_α口诀 函数名不变 符号看象限函数名改变 符号看象限记忆 规律 奇变偶不变，符号看象限[小题体验]1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin(π＋α)＝______.答案：－452．若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值为________．答案：23．化简sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)的结果为________． 解析：原式＝(－sin 1 071°)sin 99°＋sin 171°sin 261°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＝0.答案：01．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． 3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化． [小题纠偏]1．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝________.答案：－12132．(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π4＝________，(2)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－26π3＝________.答案：(1)22(2) 3考点一 三角函数的诱导公式基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2018·宁波模拟)sin 210°cos 120°的值为( ) A.14 B ．－34C ．－32D.34 解析：选A sin 210°cos 120°＝－sin 30°(－cos 60°)＝12×12＝14.2．已知A ＝sink π＋αsin α＋cos k π＋αcos α(k ∈Z)，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1,2，－2} B.{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}解析：选C 当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；当k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.3．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝________.解析：tan ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＋α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.答案：－334．(易错题)设f (α)＝2sin π＋αcos π－α－cos π＋α1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α≠－12，求f ⎝⎛⎭⎪⎫－23π6的值．解：∵f (α)＝－2sin α－cos α＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α ＝cos α1＋2sin αsin α1＋2sin α ＝1tan α， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π6＝1tan π6＝ 3. 5．已知π＜α＜2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π2的值．解：∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35.∴sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－7π2＝sin(π＋α)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α＝sin α·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α·cos αsin α＝cos α＝35.[谨记通法]1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．” 2．利用诱导公式化简三角函数的要求 (1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值，如“题组练透”第4题．考点二 同角三角函数的基本关系重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值为( )A ．－15B ．－25C.15D.25解析：选D 依题意得：tan α＋33－tan α＝5，∴tan α＝2.∴sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25. 2．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________.解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝sin αcos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，由此解得cos 2α＝15，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，因此cos α＝－55. 答案：－553．已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为________．解析：因为(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θ＝1＋2sin θcos θ＝169，所以2sin θcos θ＝79，则(sin θ－cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ－2sin θcos θ＝1－2sin θcos θ＝29.又因为θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin θ<cos θ，即sin θ－cos θ<0，所以sin θ－cos θ＝－23. 答案：－23[由题悟法]同角三角函数基本关系式的应用技巧[即时应用]1．若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125 B ．－125C.512D ．－512解析：选D 法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5132＝1213， 所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512.法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝y x ＝－512.故选D.2．已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.求tan α的值是( )A ．－35B.－45C ．－34D ．－43解析：选D 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15， ①sin 2α＋cos 2α＝1， ②由①得cos α＝15－sin α，将其代入②，整理得25sin 2α－5sin α－12＝0. ∵α是三角形的内角，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.3．已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32B.32 C ．－34 D.34解析：选B ∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且|cos α|＜|sin α|， ∴cos α－sin α＞0，又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32. 4．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜α＜π，则sin α－cos α＝________. 解析：由sin (π－α)－cos(π＋α)＝23，得sin α＋cos α＝23，① 将①两边平方得1＋2sin αcos α＝29，故2sin αcos α＝－79.∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－79＝169.又∵π2＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0.∴sin α－cos α＝43.答案：43一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，则cos(－α)＝( ) A ．－45B.45C.35D ．－35解析：选B 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，所以cos α＝45，即cos(－α)＝45. 2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B.－π3C.π6D.π3解析：选D ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， ∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3. ∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.3．已知tan α＝2，则sin 2α＋1＝( ) A ．0 B.95 C.43D.53解析：选B sin 2α＋1＝2sin 2α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α＋1tan 2α＋1＝95. 4.1－2sin π＋2cos π＋2＝( ) A ．sin 2－cos 2 B.cos 2－sin 2 C ．±(sin 2－cos 2) D ．sin 2＋cos 2解析：选A1－2sin π＋2cos π＋2＝1－2sin 2·cos 2＝sin 22－2sin 2·cos 2＋cos 22 ＝|sin 2－cos 2|.又∵π2＜2＜π，∴sin 2＞0，cos 2＜0.∴|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.5．如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－A 的值是________．解析：∵sin(π＋A )＝12，∴－sin A ＝12.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－A ＝－sin A ＝12.答案：12二保高考，全练题型做到高考达标1．已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( )A.45 B.－45C.35D ．－35解析：选B 因为tan(α－π)＝34，所以tan α＝34.又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，所以α为第三象限的角， sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝－45.2．已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4，若f (2 018)＝5，则f (2 019)的值是( )A ．2 B.3 C ．4D ．5解析：选B ∵f (2 018)＝5，∴a sin(2 018π＋α)＋b cos(2 018π＋β)＋4＝5， 即a sin α＋b cos β＝1.∴f (2 019)＝a sin(2 019π＋α)＋b cos(2 019π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝－1＋4＝3.3．(2018·宁波五校联考)已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则cos ()1 009π－2α的值为( )A ．－35B.35 C ．2D ．－12解析：选B 由题意可得tan α＝2，所以cos ()1 009π－2α＝－cos 2α＝－cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝－1－tan 2αtan 2α＋1＝35. 4．当θ为第二象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π2＝13时，1－sin θcos θ2－sinθ2的值是( )A ．1 B.－1 C ．±1D ．0解析：选B ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π2＝13，∴cos θ2＝13，∴θ2在第一象限，且cos θ2<sin θ2， ∴1－sin θcos θ2－sin θ2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ2－sin θ2cos θ2－sinθ2＝－1.5．若sin α是5x 2－7x －6＝0的根，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 22π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin π＋α＝( )A.35B.53C.45D.54解析：选B 由5x 2－7x －6＝0，得x ＝－35或x ＝2.则sin α＝－35.故原式＝cos α－cos α·tan 2αsin α·－sin α·－sin α＝1－sin α＝53.6．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( ) A ．1＋ 5B.1－ 5C ．1± 5D ．－1－ 5解析：选B 由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m4.∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m2，解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.7．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值是________．解析：由题意知，cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a .sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0.答案：08．sin 4π3·cos 5π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3的值是________． 解析：原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×(－3)＝－334. 答案：－3349．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°. 解：原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945° ＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225° ＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45° ＝32×32＋12×12＋1＝2. 10．已知sin(3π＋θ)＝13，求cos π＋θcos θ[cos π－θ－1]＋cos θ－2πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos θ－π－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ的值．解：∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，∴sin θ＝－13.∴原式＝－cos θcos θ－cos θ－1＋cos θcos θ·－cos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝18. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________.解析：sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＋sin 290°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 290°＝44＋12＋1＝912.答案：9122．已知f (x )＝cos2n π＋x ·sin 2n π－xcos 2[2n ＋1π－x ](n ∈Z)． (1)化简f (x )的表达式；(2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫504π1 009的值．解：(1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z)时， f (x )＝cos 22k π＋x ·sin 22k π－xcos 2[2×2k ＋1π－x ]＝cos 2x ·sin 2－x cos 2π－x ＝cos 2x ·－sin x 2－cos x 2＝sin 2x ；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z)时，f (x )＝cos 2[2k ＋1π＋x ]·sin 2[2k ＋1π－x ]cos 2{[2×2k ＋1＋1]π－x } ＝cos 2[2k π＋π＋x ]·sin 2[2k π＋π－x ]cos 2[2×2k ＋1π＋π－x ] ＝cos2π＋x ·sin2π－xcos 2π－x＝－cos x 2sin 2x －cos x 2＝sin 2x ，综上得f (x )＝sin 2x .(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫504π 1 009＝sin 2π2 018＋sin 21 008π2 018 ＝sin 2π2 018＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π2 018 ＝sin2π2 018＋cos 2π2 018＝1. 第三节三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z).函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象定义域RRxx ∈R ，且x⎭⎬⎫≠k π＋π2，k ∈Z值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数偶函数奇函数单调性⎣⎢⎡2k π－π2，2k π＋[2k π－π，2k π]为增；[2k π，2k π＋π]为减⎝⎛k π－π2，k π⎦⎥⎤π2为增； 2k π⎦⎥⎤＋π2，2k π＋3π2为减⎭⎪⎫＋π2 为增对称 中心 (k π，0)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0对称轴 x ＝k π＋π2x ＝k π[小题体验]1．①y ＝cos 2x ; ②y ＝sin 2x ; ③ y ＝tan 2x ; ④y ＝|sin x | 四个函数中，最小正周期为π的奇函数是________．答案：②2．(教材习题改编)函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋2的定义域为________________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π3，k ∈Z1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω>0时的情况． 3．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．[小题纠偏]1．函数y ＝4sin(－x )，x ∈[－π，π]的单调性是( ) A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减函数C ．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π和⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是减函数答案：D2．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为________．解析：由已知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最小值为－22. 答案：－22考点一 三角函数的定义域基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．函数y ＝2sin x －1的定义域为____________． 解析：由2sin x －1≥0，得sin x ≥12，所以2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6(k ∈Z)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z) 2．函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为______________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x >0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧k π<x <k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x <－π2或0<x <π2.∴函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2[谨记通法]三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解． 考点二 三角函数的值域或最值重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：选A ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－ 3.2．(2017·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65 B.1 C.35D.15解析：选A 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以f (x )＝65sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，于是f (x )的最大值为65.3．函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的值域为________________． 解析：设t ＝sin x －cos x ， 则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， 即sin x cos x ＝1－t 22，且－1≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－1时，y min ＝－1. ∴函数的值域为[－1,1]． 答案：[－1,1]4．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．解析：依题意，f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos x ∈[0,1]，因此当cos x ＝32时，f (x )max ＝1. 答案：1[由题悟法]三角函数最值或值域的3种求法(1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sin x 、cos x 、sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数．[即时应用]求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最大值与最小值．解：令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22. ∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54，∴当t ＝12时，y max ＝54，当t ＝－22时，y min ＝1－22. ∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22.考点三 三角函数的性质题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]三角函数的性质主要包括单调性、奇偶性、周期性、对称性，而三角函数的对称性多与奇偶性、周期性结合．常见的命题角度有：(1)三角函数的周期性；(2)三角函数的对称性；(3)三角函数的单调性．[题点全练]角度一：三角函数的周期性1．(2017·山东高考)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A.π2 B.2π3 C ．πD ．2π解析：选C ∵y ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴最小正周期T ＝2π2＝π.2．(2017·天津高考)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A ．ω＝23，φ＝π12B.ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24解析：选A ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，∴11π8－5π8＝T4(2m ＋1)，m ∈N ， ∴T ＝3π2m ＋1，m ∈N ，∵f (x )的最小正周期大于2π，∴T ＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ. 由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z.又|φ|＜π，∴取k ＝0，得φ＝π12.角度二：三角函数的对称性3．函数y ＝2sin(3x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________. 解析：由题意3×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，得φ＝k π＋π4(k ∈Z)．又|φ|＜π2，所以k ＝0，φ＝π4.答案：π44．函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形，则φ＝________. 解析：由题意，得y ＝cos(3x ＋φ)是奇函数， 故φ＝k π＋π2(k ∈Z)．答案：k π＋π2(k ∈Z)角度三：三角函数的单调性5．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|＜π)，若⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，5π8是f (x )的一个单调递增区间，则φ的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－9π10，－3π10B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π10，9π10C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π10，π4D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－π，π10∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π 解析：选C 令2k π＋π2≤2x ＋φ≤2k π＋3π2，(k ∈Z)，所以k π＋π4－φ2≤x ≤k π＋3π4－φ2(k ∈Z)，又因为⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，5π8是f (x )的一个单调递增区间，|φ|＜π，所以5π8≤k π＋3π4－φ2(k ∈Z)，解得φ≤π4，同理由π5≥k π＋π4－φ2，k ∈Z ，可得φ≥π10，所以π10≤φ≤π4. [通法在握]1．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．2．求三角函数单调区间的2种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．[演练冲关]1．最小正周期为π且图象关于直线x ＝π3对称的函数是( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 B.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 解析：选B 由函数的最小正周期为π，排除C ；由函数图象关于直线x ＝π3对称知，该直线过函数图象的最高点或最低点，对于B ，因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝sin π2＝1，所以选B.2．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋sin ωx (ω＞0)相邻两对称轴之间的距离为2，则ω＝________.解析：f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋sin ωx ＝12sin ωx ＋32cos ωx ＋sin ωx ＝32sin ωx ＋32cos ωx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，又因为f (x )相邻两条对称轴之间的距离为2，所以T ＝4，所以2πω＝4，即ω＝π2.答案：π23．函数y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3π2上的单调减区间为_______．解析：如图，观察图象可知，y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3π2上的单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0和⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0和⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．下列函数中，周期为π的奇函数为( ) A ．y ＝sin x cos x B ．y ＝sin 2xC ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin 2x ＋cos 2x解析：选A y ＝sin 2x 为偶函数；y ＝tan 2x 的周期为π2；y ＝sin 2x ＋cos 2x 为非奇非偶函数，故B 、C 、D 都不正确，选A.2．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6在x ＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为( ) A.π2 B.π3 C.π4D.π6解析：选D 由题意得，2ω＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z)，解得ω＝π6＋k π(k ∈Z)，∵ω>0，∴当k ＝0时，ωmin ＝π6，故选D.3．函数y ＝ cos x －32的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z) D ．R解析：选C ∵cos x －32≥0，得cos x ≥32， ∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z.4．(2018·浙江六校联考)函数y ＝3sin x ＋3cos xx ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2的单调递增区间是________．解析：化简可得y ＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得－2π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z)，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π35．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是________．解析：∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，∴当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝1.当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时，f (x )min ＝－32，∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1 二保高考，全练题型做到高考达标 1．y ＝|cos x |的一个单调增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2B.[0，π]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π解析：选D 将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的图象关于x 轴对称，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.2．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：选A 由题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ＝3cos 2π3＋φ＋2π＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值为( )A ．2或0 B.－2或2 C ．0D ．－2或0解析：选B 因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，所以该函数图象关于直线x ＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.4．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数。
(浙江专版)高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式教
第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.2．诱导公式组序一 二三四五六 角 2k π＋α(k ∈Z )π＋α －απ－απ2－απ2＋α 正弦 sin α－sinα－sinαsin α cosαcos_α余弦 cos α－cosαcos α －cos_α sinα －sin α正切 tan αtan α－tanα－tan_α口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变符号看象限记忆规律奇变偶不变，符号看象限1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( )(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍、偶数倍，变与不变指函数名称是否变化．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α等于( )A ．－513B ．－1213C.513D.1213B [∵sin α＝513，α是第二象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1213.]3．(2017·某某质检(二))若tan α＝12，则sin 4α－cos 4α的值为( )A ．－15B ．－35C.15D.35B [sin 4α－cos 4α＝(sin 2α－cos 2α)(sin 2α＋cos 2α)＝sin 2α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－1tan 2α＋1＝－35，故选B.]4．sin 750°＝________.12 [sin 750°＝sin(750°－360°×2)＝sin 30°＝12.] 5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin(π＋α)＝________.【导学号：51062098】－45 [因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＝1－cos 2α＝45，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－45.]同角三角函数基本关系式的应用(1)已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32B.32C ．－34D.34(2)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425B.4825 C ．1D.1625(1)B (2)A [(1)∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且cos α＞sin α， ∴cos α－sin α＞0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32. (2)∵tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan αtan 2α＋1＝1＋4×34⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋1＝6425，故选A.] [规律方法] 1.利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．2．应用公式时要注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.[变式训练1] 设θ为第二象限角，若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________. －105 [∵tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，∴1＋tan θ1－tan θ＝12，解得tan θ＝－13.∴(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θsin 2θ＋cos 2θ ＝tan 2θ＋2tan θ＋1tan 2θ＋1＝19－23＋119＋1＝25. ∵θ为第二象限角，tan θ＝－13，∴2k π＋3π4＜θ＜2k π＋π，∴sin θ＋cos θ＜0，∴sin θ＋cos θ＝－105.]诱导公式的应用(1)已知A ＝sin k π＋αsin α＋cos k π＋αcos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}(2)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝________.(1)C (2)－33 [(1)当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2； k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.(2)tan ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＋α ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.][规律方法] 1.利用诱导公式应注意已知角或函数名称与所求角或函数名称之间存在的关系，尤其是角之间的互余、互补关系，选择恰当的公式，向所求角和三角函数进行化归．2．诱导公式的应用原则：负化正、大化小、小化锐、锐求值．[变式训练2] 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6的值为________. 【导学号：51062099】－2＋33 [∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33，sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝23，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－33－23＝－2＋33.]同角关系式与诱导公式的综合应用(1)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________. (2)(2017·某某质检)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2，则sin3π－α＋cos α＋π5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α的值为________．(1)－43 (2)335 [(1)由题意知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＞0，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－4535＝－43.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2，∴－sin α＝－2cos α，则sin α＝2cos α， 代入sin 2α＋cos 2α＝1，得cos 2α＝15.sin3π－α＋cos α＋π5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫72π－α＝sin 3α－cos α5sin α－3cos α＝8cos 3α－cos α7cos α＝87cos 2α－17＝335.][规律方法] 利用同角三角函数基本关系式和诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求：(1)基本思路：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．[变式训练3] (2016·某某模拟训练卷(三))已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝23，则sin α＝________，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝________.－2319 [由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝23，得sin α＝－23；sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝cos 2α＝1－2sin 2α＝19.][思想与方法]三角函数求值与化简的常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α进行弦、切互化．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． (3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4等．(4)利用相关角的互补、互余等特殊关系可简化解题步骤． [易错与防X]1．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．应特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．课时分层训练(十六)同角三角函数的基本关系与诱导公式A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．若cos α＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan α等于( )A ．－24B.24C ．－22D ．2 2C [∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－232，∴tan α＝sin αcos α＝－2 2.]2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3D [∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.]3.cos 350°－2sin 160°sin －190°＝( )A ．－ 3B ．－32C.32D. 3D [原式＝cos360°－10°－2sin 180°－20°－sin 180°＋10°＝cos 10°－2sin 30°－10°－－sin 10°＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°＝ 3.]4．(2017·某某镇海中学二诊)已知sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π4，则sin θ－cos θ的值为( )A.23B ．－23C.13 D ．－13B [∵sin θ＋cos θ＝43，∴1＋2sin θcos θ＝169，∴2sin θcos θ＝79.又0＜θ＜π4，故sin θ－cos θ＝－sin θ－cos θ2＝－1－2sin θcos θ＝－23，故选B.] 5．(2017·某某某某五校联盟高三一诊)已知倾斜角为θ的直线与直线x －3y ＋1＝0垂直，则23sin 2θ－cos 2θ＝( ) A.103 B ．－103C.1013D ．－1013C [直线x －3y ＋1＝0的斜率为13，因此与此直线垂直的直线的斜率k ＝－3，∴tan θ＝－3，∴23sin 2θ－cos 2θ＝2sin 2θ＋cos 2θ3sin 2θ－cos 2θ＝2tan 2θ＋13tan 2θ－1，把tan θ＝－3代入得，原式＝2×[－32＋1]3×－32－1＝1013.故选C.]二、填空题6．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝________. 【导学号：51062100】 13 [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13.]7．已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15，则tan α＝________.－43[由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin 2α＋cos 2α＝1，消去cos α整理，得 25sin 2α－5sin α－12＝0，解得sin α＝45或sin α＝－35.因为α是三角形的内角， 所以sin α＝45.又由sin α＋cos α＝15，得cos α＝－35，所以tan α＝－43.]8．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α·1＋1tan 2α＝________. 【导学号：51062101】0 [原式＝cos α1＋sin 2αcos 2α＋sin α1＋cos 2αsin 2α＝cos α1cos 2α＋sin α1sin 2α＝cos α⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos α＋sin α1sin α＝0.] 三、解答题9．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°. [解] 原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945°4分＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225°8分 ＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45°12分 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋12×12＋1＝2.14分 10．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin 2α.[解] 由已知得sin α＝2cos α.2分 (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.7分(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.14分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，当0≤x ＜π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A.12B.32C ．0D ．－12A [由f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，得f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫236π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋56π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋sin 56π. 因为当0≤x ＜π时，f (x )＝0， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫236π＝0＋12＝12.] 2．(2016·某某高考冲刺卷(二))若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin 2θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，则sin 2θ＝________，tan θ＝________.－12 －2＋3 [由sin 2θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，得sin 2θ＝22(sin θ＋cos θ)，两边平方得sin 22θ＝12(1＋sin 2θ)，解得sin 2θ＝－12或sin 2θ＝1.又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴2θ∈(π，2π)，则sin 2θ<0，故sin 2θ＝－12，则有sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝sin 2θ＝－12.显然3π4<θ＋π4<5π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－32，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝33.word 11 / 11 ∴tan θ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π4＝33－11＋33＝－2＋ 3.]3．已知f (α)＝sin π－αcos 2π－αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin －π－α. (1)化简 f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值.【导学号：51062102】 [解] (1)f (α)＝sin α·cos α·ta n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2－2πtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·si n α＝sin α·cos α·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin α＝－cos α.7分(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15，∴sin α＝－15，10分又α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，故f (α)＝265.14分。
2019年高考数学(文)一轮复习第3章三角函数、解三角形第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式学案整理
[ 考纲传真 ] 1. 理解同角三角函数的基本关系式：
sin
2
2
sin
α ＋ cos α ＝ 1，cos
α α ＝ tan
α .2.
能利用单位圆中的三角函数线推导出
π 2 ±α ， π ± α 的正弦、余弦、正切的诱导公式．
( 对应学生用书第 41 页 )
[ 基础知识填充 ]
1 α cos α ＝ 得 2sin
2 α cos α＝－ ，
3
3
所以 (cos
α － sin
α ) 2＝ 1－2sin
5 α cos α ＝ ，
3
又 α 是第二象限角，所以 cos α － sin α ＜ 0，
15 所以 cos α － sin α ＝－ 3 ，
2
2
3
15
因此 cos 2 α ＝ cos α－ sin α ＝ (cos α ＋ sin α )(cos α － sin α ) ＝ 3 × － 3 ＝
cos_ α
余弦 cos α
－ cos α
cos α
－ cos_ α
sin α
－sin α
正切
tan α
tan α
－ tan α
－ tan_ α
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变符号看象限
[ 知识拓展 ]
同角三角函数的基本关系式的几种变形
(1)(sin α ±cos α ) 2＝1±2s in α cos α .
( 1) A
5
3
2
cos2α ＋ 4sin α cos α
(2) － 3 [(1) ∵ tan α ＝4，则 cos α ＋ 2sin 2α ＝ sin2 α ＋cos2 α ＝
§4.1 三角函数的概念 同角三角函数的关系式及诱导公式
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第四章 三角函数
§4.1 三角函数的概念、同角三角函数的关系式及诱导公式 考纲解读
考点 考纲内容 要求 浙江省五年高考统计 2013 2014 2015 2016 2017
三角函数的概念、同角三角函数的关系式和诱导公式 1.了解角的概念. 2.了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化. 3.理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 4.能利用单位圆中的三角函数线推导出𝜋2±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式. 5.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,𝑠𝑖𝑛x𝑐𝑜𝑠x=tan x. 了解、 理解 6,5分 3(文), 5分 18(文), 约2分 18(1), 7分 7,5分 16,约4分 8(文), 5分 16(文), 约4分 16(1) (文), 约3分
14,约3
分
分析解读 1.对角的计算技能的考查有一定的综合性,涉及的知识点较多,不过试题比较容易. 2.主要考查同角三角函数基本关系式、诱导公式在求三角函数值时的应用,考查利用三角公式进行恒等变换的技能及基本运算能力.
3.预计2019年高考中,同角三角函数基本关系式、诱导公式的应用仍然是考查的热点,复习时应引起重视. 五年高考
考点 三角函数的概念、同角三角函数的关系式和诱导公式
1.(2016课标全国Ⅲ,5,5分)若tan α=34,则cos2
α+2sin 2α=( )
A.6425 B.4825 C.1 D.1625
答案 A 2.(2014大纲全国,3,5分)设a=sin 33°,b=cos 55°,c=tan 35°,则( ) A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b 答案 C
3.(2014四川,13,5分)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46 m,则河流的宽度BC约等于 m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin 67°≈0.92,cos 67°≈0.39,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,√3≈1.73)
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第四章三角函数
§4.1-三角函数的概念、同角三角函数的关系式及诱导公式
考纲解读
考点考纲内容
要求浙江省五年高考统计
20142QZS20化2017 Z. 了解角的概念.
三角函数的概
念、同角三角
函数的
关系式
和诱2•了解弧度制的概念丿能进行弧度与角度的
互化.
3•理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定
义.
4.能^用单位圆中的三角函数线推导出
了解、
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文）’ S
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S.理解同角三角函数的基本关系式:弘
2X+CO0X",器丸处X.
约4分
分析解读九对角的计算技能的考查有一定的综合性涉及的知识点较多丿不过试题比较容易
2.主要考查同角三角函数基本关系式、诱导公式在求三角函数值时的应用，考查利用三角公式进行恒等变换的技能及基本运算能力.
氏预计2。
佔年高考中,同角三角函数基本关系式、诱导公式的应用仍然是考查的热点，复习时应弓I起重视.
五年咼考
考点三角函数的概念、同角三角函数的关系式和诱导公式
1.（20化课标全国IIISS分）若taia次弓则cos2o（+2弘
2tx=（）
C.1
答案A
2.（2024 大纲全国,65■分）设a二sb 33%二cos SSO’c二亡财A・a>b>cB・S>c>a
C.c>b>a D・c〉a〉b
答案C
5（2024四川二列S分）如图丿从气球A上测得正前方的河流的两岸BX?的俯角分别为此时气球的高是46叽则河
流的宽度BC约等于________ 皿（用四舍五入法将结果精确到个位参考数据:心GZOgCOS
hl°=O3、C0S 3 7°^O. 86>,V373）
4. (2014 广东必王2 分)已知函数 f(x)=As/k(x + (1) 求A 的值
(2) 若 f(0)+f(T)今处(0,$求 f(y-e).
解析（QF （誇）二Asin （曇 + £）=1，
・N ・ • A=V3.
-0）=+ 中）+V5sin （-0 + 扌）二扌丿
• V3 乎（sin0 + cos&） +y （-sin0 + cos 。
）=|>
•诉cos 0弓cos 0二为
z 4
又0丘（喝）「弘0二Jl ・cos20二竽
• =y/3si^\（rc -0）=V3S （n 0二字.
教师用书专用（S ）
S. （2017北京文凡S 分）在平面直角坐标系xOy 中丿角Q 与角0均以Ox 为始边'它们的终边关于9轴对称若弘 冷名
三年模拟
A 组 2020—2020年模拟•基础题组
考点三角函数的概念、同角三角函数的关系式和诱导公式
1. （2017浙江湖州期末调硏㈢已知 弘谆+ «）=总炸（扣）丿则 如 *（）
答案c
2. （2EE 浙江镇海中学测试（六）芒）已知Pg2）为角0（的终边上一点'且S 认0（=半则如 U 的值是（） A.V2 B.-V2
C.l P.-X
答案P
3 -4
8.
4
一
3 P
3. （20亦 浙江杭州地区重点中学第一学期期中'辽）已知角（X 始边在X 轴非负半轴上终边经过直线护与圆炉+护二丄的交
点丿则 cos tx-sin a 二 _______
sin2a+2sin 2a
l+tana
4.（2028浙江高考模拟训练冲刺卷一若弘X2cos -V10 JIJ tav\ x= _____________________
S ・（2O17浙江宁波十校S 月适应性考试m ）若心0=-$如 0>6则cos 9二 _____________ 应八20二 _________ 竺窒 —2亿4屈
曰条 3 ' 7
0.（2017浙江镇海中学模拟训练（一）二4已知&为第三象限角二-血&COS 。
七C0S2*O,则亡财0二 ________________ ；Ssb2” 3Sm 0COS0二 _____ •
答案2厝
7.（2017浙江镇海中学一轮阶段检测,18）
⑴已知ta^a +护务且号次9,求鵲霁的值；
（2）若rt<*岁化简一凹学=.一型罕=.
匸
Vl+cosa-/1-cosa Vl+cosa+ 1-cosa
解析⑴由ta^a +沪號兔得如g 吕
故遊兽竺二呼竺竺竺2二2宓航o （=-洋 cos （a^） Y （sina+cosa ） 5
Zzs \ / ,“3n n
.a .3n
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（2）•7T<0«y > • ?W ，• COS -<6>,S/n ->6>.
「疗式二（血卑'8$另 （$in*cos£） 彷gp|cos 牛血 |sin 界冏 cos #|+©|sin 号
_ （sin 号+cos 鋭 （sin ycos 号『
号号）
sin 专+cos 寻 sin 牛cos 寻 l a
二近 cos ?
13组2010—2OZ 8年模拟•提升题组
一、选择题
l ・（2O17浙江镇海中学模拟卷一Q 已知偸）》2严咤严竺为偶函数，则弘20的值为（） A.2-2屈
8.3A /3-6 C3 近-S P.i-V3
答案A 二填空题
2. （2018浙江名校协作体期初'第）已知弘（・}a ） • COS （¥ +a ）=算且O 〈0<兮'则弘0<=__,C0$> 0（-
答案
7 24
答案|4
3.(2018浙江“七彩阳光”联盟期中S)已知心WCOS 0(咼且炸(0卩则弘 g ________________________ ，益铲 _________ •
答案寺琴
4.(2017浙江高考模拟训练;中刺卷一")已知炸(号罟),珈(次-珈)=-|测0(-cos g _________ •
答案I
5.(2O17浙江镇海中学第一学期期中二。
)已知兮场咲二召如(—0)二总则仇m 0二 ________________ 场20皿八BeOS
答案3；|
0.(2010浙江名校(衢州二中)交流卷五S)已知S族0(-cos(X二》则背；亀二__ 昴恢+C0血二
答案喘
C组2O2Q—2。
亦年模拟•方法题组
任意角的三角函数的定义的解题策略
九已知角仪的顶点在原点’始边与X轴的正半轴重合'终边经过点PC-3.V3).
(2)求sin 2仪-也n咲的值；
(2)若函数F(x)二cos(x-geos 弘代求函数少何(>2x)-2f 2(x)在区间［o罟］上的取值范围.
解析⑴由三角函数的定义可得弘0(二扣os 0(= d二卑故弘2o(-ta^叹二-学
• •
(2)・f(x)二cos(x-<x)cos o(-sh(x-o()dn geos X/WR丿
• y=V5cos(号-2x)-2cos2x=V5s认2x_l_cos 2x=2dn(2x-号-<•
•二一—2TT•八” a — 4 IT
■OuxWp, • 0W2xW亍丿
JW2X」自
6、6，
•弓^心(2尢-£)W:1•八j2W2dn(2x・£)-ZW4
故函数沪刃您・2x)-2f 2(x)在区间［0,年］上的取值范围是卜2曲
方法2同角三角函数的关系式及诱导公式的解题策略
2.(2016浙江高考冲刺卷(二),Z2)若0丘(珈),且弘20二S族(0 +》贝U心20二 ____________ ,ta^ &- _________ 答案弓;-2+V5
3.已知Sb（兀F）-COS（TCP）=¥G ＜«＜讣求下列各式的值（X）SIK 0（-c os, a；
（2）5/认3（扌£）我0卢（号+ a）.
解析由弘（rt -a） -C0S（7t+o＜）二乎'
得 sin Xbcos o（=y①
将①两边平方丿得i+2si仇oc • cos
7
故2s/n 0( • cos 0(=又鬟
■
•0OO.C0S 0(<O.
(1)(弘oc-cos仅)2=i・2sin a • cos *<■(£=%
• • 4
•oc-cos <X=F
o
二(cos oc-sm CX)(COS2Q+COS(X • sm cx+sr^a)。