人教版高二下五月月考数学试题及答案解析(重点中学2021届高二)
2021-2022学年重庆市万州第二高级中学高二下学期5月质量检测数学试题(解析版)
2021-2022学年重庆市万州第二高级中学高二下学期5月质量检测数学试题一、单选题1．()413x -的展开式中含2x 项的系数为（ ） A ．－54 B ．54 C ．－27 D ．27【答案】B【分析】令二项式展开式的通项公式中x 的系数为2，即可求解.【详解】解：二项式展开式的通项公式为：()()144C 33C rrr r rr T x x +=-=-，令r ＝2，则含2x 的项的系数为()2243C 54-=.故选：B.2．若1x =是函数22()ln e x f x ax x -=-的极值点，则a 为（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】D【分析】函数的极值点即为导函数的零点，将函数求导代入1求解即可. 【详解】22()(ln 1)2e x f x a x -+-'=，1x =是函数的极值()f x 点， 所以22(1)(ln11)2e 20f a a -=+-=-='， 所以2a =. 故选：D.3．已知函数()f x 的导函数()y f x '=图象如图所示，则函数()y f x =图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】观察导函数的符号，确定原函数的单调性即可.【详解】由导函数的图象可知，原函数在y 的右侧有两个单调区间，先增后减，A 正确. 故选：A.4．某校开学“迎新”活动中要把2名男生，3名女生安排在5个岗位，每人安排一个岗位，每个岗位安排一人，其中甲岗位不能安排男生，则安排方法的种数为（ ） A ．72 B ．56 C ．48 D ．36【答案】A【分析】先安排甲岗位，剩下的全排即可求解．【详解】先安排甲岗位，剩下的全排，则安排方法共有1434C A 32472=⨯=种，故选：A.5．高二某班共有50名学生，其中女生有20名，“三好学生”人数是全班人数的15，且“三好学生”中女生占一半，现从该班学生中任选1人参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的学生是“三好学生”的概率为（ ） A ．118B ．110 C ．16D ．35【答案】C【分析】设事件A 表示“选上的学生是男生”，事件B 为“选上的学生是“三号学生”，即可得到()P A ，()P AB ，再根据条件概率的概率公式计算可得；【详解】解：依题意全班有“三好学生”150105⨯=（人），其中女三好学生有11052⨯=人，则男三好学生有1055-=人；设事件A 表示“选上的学生是男生”，事件B 为“选上的学生是“三号学生”，则()303505P A ==，()515010P AB ==，故()()()1110365P AB P B A P A ===， 故选：C.6．若()()10222101221121x x x a a x a x a x +-+=+++⋅⋅⋅+，则1220a a a ++⋅⋅⋅+的值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【分析】利用赋值方法令0,1x x ==得出201002,a a a a a ++⋅⋅⋅++，然后再求出含21x 项的系数，由此即可求解.【详解】令0x =，则()()10201201001a =+⨯-+=，令1x =，则()()100122021121113a a a a a +++⋅⋅⋅++=+-+=， 又含21x 的项为()1022122x x x ⋅=，所以212a =，所以122002133120a a a a a ++⋅⋅⋅+=--=--=， 故选:A.7．函数()()e 32xf x a x =---是R 上的单调增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．(],0-∞B ．(),0∞-C ．(],3-∞D ．(),3-∞【答案】C【分析】由函数为单调增函数可判断()0f x '≥，则可将问题转化为e 3x a ≤+在R 上恒成立问题，结合e x 的性质，即可求解.【详解】因为函数()()e 32xf x a x =---是R 上的单调增函数，所以()e 30xf x a '=-+≥在R 上恒成立，即e 3x a ≤+在R 上恒成立， 因为e 33x +>，所以3a ≤， 即a 的取值范围是(],3-∞. 故选：C8．若关于x 的不等式20x xe ax a -+<的非空解集中无整数解，则实数a 的取值范围是A ．221,53e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．13e ⎡⎢⎣⎭C ．1,3e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．e ⎤⎥⎣⎦【答案】B【详解】原不等式可化为2x ax a xe ->，设()()2,xf x ax ag x xe =-=，则直线()2f x ax a =-过定点1,02⎛⎫⎪⎝⎭，由题意得函数()x g x xe =的图象在直线()2f x ax a =-的下方．∵()x g x xe =，∴()()1xg x x e '=+．设直线()2f x ax a =-与曲线()x g x xe =相切于点(),m n ，则有()21{?2m m a m e me am a=+=-，消去a 整理得2210m m --=，解得12m =-或1m =（舍去），故切线的斜率为1122112122a e e --⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭a =式无整数解，结合图象可得当1x =-时，()()113,1f a g e --=--=-，由()()11f g -=-解得13a e =，当直线()2f x ax a =-绕着点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭旋转时可得13a e ≤<a 的取值范围是13e ⎡⎢⎣⎭．选B ． 二、多选题9．将甲，乙，丙，丁4个志愿者分别安排到学校的图书馆､食堂､实验室帮忙，要求每个地方至少安排一个志愿者帮忙，则下列选项正确的是（ ） A ．总共有12种分配方法 B ．总共有36种分配方法C ．若甲､乙安排在同一个地方帮忙，则有6种分配方法D ．若甲､乙均安排在图书馆帮忙，则有2种分配方法 【答案】BCD【分析】四人安排到三个地方，可以选其中2人捆绑为一人，4人变成3人全排列，甲､乙安排在同一个地方帮忙，就把甲乙捆绑为一人，如果没其他要求，就与其他2人全排列，如果有其他要求就先按其他要求处理，再排列．由此计算得到各选项中的方法数，确定结论．【详解】解：根据题意，依次分析选项：先将4人分为3组，再将三组安排到三个场馆，有234336C A =种安排方法，A 错误，B正确；若甲､乙安排在同一个地方帮忙，则甲乙捆绑作为一人，与其他两人一起全排列：33A ＝6种安排方法，C 正确；若甲､乙均安排在图书馆帮忙，将丙､丁安排在食堂､实验室帮忙即可，有222A =种安排方法，D 正确； 故选：BCD.10．甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球.1A 表示事件“从甲罐取出的球是红球”，2A 表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B 表示事件“从乙罐取出的球是红球”.则下列结论正确的是（ ）A ．1A ，2A 为对立事件B ．()1411P B A =C ．()722P B =D ．()()121P B A P B A +=【答案】ABC【分析】利用对立事件的定义判断选项A 正确；再利用概率计算得选项BC 正确，选项D 错误.【详解】解：对于A ，由于甲罐中只有红球和白球，故A 正确；对于B ，当1A 发生时，乙罐中有4个红球，7个白球，此时B 发生的概率为411，故B 正确；对于D ，当2A 发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时B 发生的概率为311，故()()12437111111P B A P B A +=+=，故D 错误； 对于C ，()1413721121122P B =⨯+⨯=，故C 正确.故选：ABC.11．已知函数()()()2f x a x a x b =--（a ≠0）的极大值点为x ＝a ，则（ ） A ．22b a <B ．2a ab <C ．若()()120f x f x ''==，则120x x +>D ．若()()120f x f x ''==，则120x x >【答案】BD【分析】由条件可得,a b 为函数()f x 的零点，讨论a ，结合三次函数图象可得,a b 关系及极值点的位置关系，由此判断正确选项.【详解】令f （x ）＝0，解得x ＝a 或x ＝b ，即x ＝a 及x ＝b 是f （x ）的两个零点， 当a ＞0时，由三次函数的性质可知，要使x ＝a 是f （x ）的极大值点，则函数f （x ）的大致图象如图1甲所示，则0＜a ＜b ；由()()120f x f x ''==可得12,x x 是函数()f x 的极值点，由图象可得12120,0x x x x +>>，当a ＜0时，由三次函数的性质可知，要使x ＝a 是f （x ）的极大值点，则函数f （x ）的大致图象如图乙所示，则b ＜a ＜0，由()()120f x f x ''==可得12,x x 是函数()f x 的极值点， 由图象可得12120,0x x x x +<>，综上，22b ab a >>，若()()120f x f x ''==，则120x x >，故选：BD.12．已如函数()3e xf x x =⋅，则以下结论正确的是（ ）A ．函数y ＝f （x ）存在极大值和极小值B ．()()()2e 1ln πf f f -<<C ．函数y ＝()f x 存在最小值D ．对于任意实数k ，方程()f x ＝kx 最多有3个实数解 【答案】BC【分析】利用导数证明函数在x ＝－3处取得极小值，也是最小值，没有极大值，A 错误，C 正确；利用函数的单调性证明B 正确；证明()f x ＝kx 有4个实数解，故D 错误.【详解】解：()()322e 3e e 3x x xf x x x x x '=⋅+=+，当x ＞－3时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，当x ＜－3时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，函数在x ＝－3处取得极小值，也是最小值，没有极大值，A 错误，C 正确；当x ＞－3时，函数()f x 单调递增，且23e 1ln π--<<<，所以()2e f -()1f <()ln πf <，B 正确：由()f x ＝kx 得3e x x kx ⋅=有一零点x ＝0，令()2e x h x x =⋅，则()()e 2xh x x x '=+，如图，当x ＞0或x ＜－2时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，当－2＜x ＜0时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，又()242e h -=，h （0）＝0，当240e k <<时，()h x 与y ＝k 有3个交点，此时()f x ＝kx 有4个实数解，故D 错误， 故选：BC.三、填空题13．已知随机变量X 的分布列如下表，则()D X ＝______.X 0 1 Pa3a【答案】316【分析】先利用分布列的性质求出14a =，再求()D X 得解. 【详解】解：由随机变量X 的分布列得01,031,31,a a a a ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+=⎩解得14a =，∴()13301444E X =⨯+⨯=，()223133301444416D X ⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：31614．已知函数()e e sin 21x xf x x -=-++，x ∈[0，π]，则f （x ）的最小值为______.【答案】1【分析】利用导数和基本不等式求出函数的单调性，即得解.【详解】解：函数()e e sin 21x xf x x -=-++，x ∈[0，π]，所以()e e 2cos 22e e 2cos 222cos 2x x x x f x x x x --'=++≥⋅=+， 当且仅当e e x x -=，即x ＝0时等号成立，又因为2＋2cos2x ≥2＋2(1)⨯-＝0，所以()0f x '≥， 所以()f x 在x ∈[0，π]时单调递增，其最小值为()000e e sin011f =-++=.故答案为：115．已知()f x 的定义域是()0,∞+，()f x '为()f x 的导函数，且满足()()f x f x '<，则不等式()()2223e2e 3xxf x x f --+>的解集是______.【答案】{3x x <-或}1x >【分析】整理不等式为()()223223ee xxf x x f ++>，观察发现，可构造()()x f x g x =e ()0x >，对()g x 求导，结合()()f x f x '<判断()g x 单调性，再利用()g x 单调性求解即可.【详解】设()()xf xg x =e ()0x >， 因为()()f x f x '<，所以()()()0e xf x f xg x '-'=>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，由()()2223e2e3xx f x x f --+>，则()()223223e e xxf x x f ++>，即()()223g x x g +>， 所以223x x +>，解得3x <-或1x >. 故答案为：{3x x <-或}1x >16．给图中A ，B ，C ，D ，E 五个区域填充颜色，每个区域只填充一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则共有_________种不同的方案．【答案】72【分析】分为B ，E 同色和B ，E 不同色两种情形，再按照分步乘法原理计算即可. 【详解】当B ，E 同色时，共有432248⨯⨯⨯=种不同的方案，当B ，E 不同色时，共有43224⨯⨯=种不同的方案，所以共有72种不同的方案． 故答案为：72. 四、解答题17．在二项式2nx ⎫⎪⎭的展开式中，______.给出下列条件：①若展开式前三项的二项式系数的和等于37；②若展开式中第3项与第2项的二项式系数之比为7∶2； ③所有偶数项的二项式系数的和为128.试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题： (1)求()1nx +展开式中二项式系数最大的项；(2)设n展开式中的常数项为p ，求p 的值.【答案】(1)4570T x =(2)70p =【分析】（1）根据条件①可得121C C 37n n ++=，解得8n =，故所求展开式中二项式系数最大的项为第5项，即可求解；根据条件②可得21C 7C 2nn =，解得8n =，故所求展开式中二项式系数最大的项为第5项，即可求解；根据条件③可得12128n -=，解得8n =，故所求展开式中二项式系数最大的项为第5项，即可求解；（2）由（1）可知8n =，则通项为84188C C rrr r r r T x --+==，令40-=r ，进而求解.【详解】(1)①若展开式前三项的二项式系数的和等于37，则121C C 37n n ++=，即()11372n n n -++=， 得22274n n n ++-=，即2720n n +-=，得8n =或9n =-（舍）； 所以()()811n x x +=+，所以展开式中二项式系数最大的项为44458C 70T x x ==.②若展开式中第3项与第2项的二项式系数之比为7:2，即21C 7C 2nn =，即212C 7C n n =， 得()1272n n n -⨯=，即17n -=，得8n =， 所以()()811nx x +=+，所以展开式中二项式系数最大的项为44458C 70T x x ==.③若所有偶数项的二项式系数的和为128，则12128n -=， 解得17n -=，得8n =， 所以()()811n x x +=+，所以展开式中二项式系数最大的项为44458C 70T x x ==.(2)由（1）可知，8n =，则8n=，其展开式的通项为84188C C rrrr r r T x --+==， 令40-=r ，得4r =，所以常数项48C 70p ==.18．某校从学生文艺部7名成员（4男3女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动.(1)求男生甲被选中的概率；(2)在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；(3)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率. 【答案】(1)27(2)16 (3)13【分析】（1）先找到从7名成员中挑选2名成员所包含的基本事件数，再找到“男生甲被选中”所包含的基本事件数，根据公式即可求解；（2）先求得“男生甲被选中，女生乙被选中”的概率，结合（1）的结果，根据条件概率公式()()()P AB P B A P A =求解即可；（3）先找到“挑选的2人一男一女”所包含的基本事件数，即可求得概率，再求得“挑选的2人一男一女，女生乙被选中”的概率，根据条件概率公式()()()P BC P B C P C =求解即可.【详解】(1)从7名成员中挑选2名成员，共有27C 21=种情况，记“男生甲被选中”为事件A ，事件A 所包含的基本事件数为16C 种，故()62217P A ==. (2)记“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，由（1），则()121P AB =， 且由（1）知()27P A =， 故()()()1121267P AB P B A P A ===. (3)记“挑选的2人一男一女”为事件C ，事件C 所包含的基本事件数为1143C C 12⨯=种，由（1），则()124217P C ==， “女生乙被选中”为事件B ，则()14C 42121P BC ==， 故()()()4121437P BC P B C P C ===.19．已知函数()()()1ln 0a f x x a x a x=-+->. (1)当3a =时，求()f x 的单调区间；(2)讨论()f x 的极值.【答案】(1)单调递增区间为()0,1，()3,+∞，单调递减区间为()1,3(2)答案见解析【分析】（1）求导，令导数大于0得增区间，导数小于0得减区间；（2）先求导函数，分类讨论函数的单调性，根据单调性得极值即可.【详解】(1)当3a =时，()34ln f x x x x=--， 则()()()22223143431x x x x f x x x x x ---+'=-+==. 由()0f x '>，得01x <<或3x >；由()0f x '<，得13x <<.所以()f x 的单调递增区间为()0,1，()3,+∞，单调递减区间为()1,3.(2)()()()21x a x f x x --'= 当01a <<时，()f x 的单调递增区间为()0,a ，()1,+∞，单调递减区间为(),1a ，故此时()f x 的极大值为()()11ln f a a a a =--+，极小值为()11f a =-；当1a =时，()0f x '≥，即()f x 在()0,∞+上单调递增.此时()f x 无极值；当1a >时，()f x 的单调递增区间为()0,1，(),a +∞，单调递减区间为()1,a ，故此时()f x 的极大值为()11f a =-，极小值为()()11ln f a a a a =--+.综上所述：当01a <<时， ()f x 的极大值为()()11ln f a a a a =--+，极小值为()11f a =-；当1a =时，，即()f x 在()0,∞+上单调递增.此时()f x 无极值；当1a >时， ()f x 的极大值为()11f a =-，极小值为()()11ln f a a a a =--+. ()()()21x a x f x x --'= 20．冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线MN 的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN 将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O 的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆O 中，得3分，冰壶的重心落在圆环A 中，得2分，冰壶的重心落在圆环B 中，得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为13，14；甲、乙得2分的概率分别为25，12；甲、乙得1分的概率分别为15，16．(1)求甲、乙两人所得分数相同的概率；(2)设甲、乙两人所得的分数之和为X ，求X 的分布列和期望．【答案】(1)2990(2)分布列见解析；期望为4712 【分析】（1）求出甲乙二人都得0分的概率，然后由两人同时得0分、1分、2分、3分计算概率并相加即可；（2）由题意X 可能取值为0，1，2，3，4，5，6，分别计算出概率得分布列，由期望公式计算期望．【详解】(1)由题意知甲得0分的概率为1211135515---=，乙得0分的概率为1111142612---=， 所以甲、乙两人所得分数相同的概率为1121111129345256151290⨯+⨯+⨯+⨯=． (2)X 可能取值为0，1，2，3，4，5，6，则()11101512180P X ==⨯=， ()11111115651236P X ==⨯+⨯=， ()111121121525651210P X ==⨯+⨯+⨯=， ()11112111193154525631290P X ==⨯+⨯+⨯+⨯=， ()11211111454523636P X ==⨯+⨯+⨯=， ()211145543215P X ==⨯+⨯=， ()11163412P X ==⨯=， 所以，随机变量X 的分布列为：所以()11119114147012345618036109036151212E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 21．已知函数()(ln ),f x x x a a R =-∈(1)求()f x 的单调区间；(2)当1a =-时，求证：()1e x f x x -≤在(0,)+∞上恒成立.【答案】(1)()f x 在()10,e a -上单调递减，在()1e ,a -+∞上单调递增 (2)证明见解析【分析】（1）由导数求解单调区间（2）不等式恒成立，化简后构造函数，由导数求最值后证明【详解】(1)()()ln ,0f x x x a x =->，()ln 1f x x a '=-+，令()0f x '>，解得：1e a x ->，令()0f x '<，解得：10e a x -<<，故()f x 在()10,e a -上单调递减，在()1e ,a -+∞上单调递增. (2)证明：当1a =-时，要证()1e x f x x -≤，即证1e ln 10x x ---≥在(0,)+∞上恒成立，令()1e ln 1x g x x -=--，则()11e x g x x-'=-， 故()g x '在(0,)+∞上单调递增，而()10g '=，故(0,1)x ∈时，()0g x '<，(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，故()g x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，故()()min 10g x g ==，故原结论成立.22．函数()()ln 11f x x x a x =-++．(1)若函数()f x 有2个零点，求实数a 的取值范围；(2)若函数()f x 在区间[]1,e 上最大值为m ，最小值为n ，求m n -的最小值．【答案】(1)0a > (2)1e 1e e e 1--- 【分析】（1）利用导数求出函数()f x 的单调性和最小值，结合函数图象，由最小值小于0即可解得结果；（2）分类讨论a ，求出,m n ，得到m n -，再构造函数求出最小值即可得解.【详解】(1)()f x 的定义域为(0,)+∞，1()ln (1)ln f x x x a x a x'=+⋅-+=-， 当0e a x <<时，()0f x '<，当e a x >时，()0f x '>，所以()f x 在(0,e )a 上为减函数，在(e ,)a +∞上为增函数，所以当e a x =时，()f x 取得最小值，为(e )e ln e (1)e 1a a a a f a =-++=1e a -， 因为当x 趋近于0时，()f x 趋近于1，当x 趋近于正无穷时，()f x 也趋近于正无穷， 所以要使函数()f x 有2个零点，则1e 0a -<，解得0a >.(2)()ln f x x a '=-，[1,e]x ∈，ln [0,1]x ∈，（i ）当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，函数()f x 在区间[1,e]上为增函数，所以(e)1e m f a ==-，(1)n f a ==-，所以(1e)1m n a -=-+，令()(1e)1p a a =-+，则函数()p a 在区间(,0]-∞上单调递减，所以()p a 的最小值为(0)1p =，即m n -的最小值为1.（ii ）当1a ≥时，()0f x '≤恒成立，函数()f x 在区间[1,e]上单调递减，所以(1)m f a ==-，(e)1e n f a ==-，所以(e 1)1m n a -=--，令()(e 1)1h a a =--，则函数()h a 在区间[1,)+∞上单调递增，所以()h a 的最小值为(1)e 2h =-，即m n -的最小值为e 2-.（iii ）当01a <<时，由()0f x '>，得e e a x <≤，由()0f x '<，得1e a x ≤<， 所以函数()f x 在区间[1,e )a 上单调递减，在区间(e ,e]a 上单调递增，所以(e )1e a a n f ==-，①当11e 1a ≤<-时，(1)(e)(e 1)10f f a -=--≥，此时(1)m f a ==-， 所以(1)(e )e 1a a m n f f a -=-=--，令()e 1a a a ϕ=--，则()e 10a a ϕ'=->，所以函数()a ϕ在区间1[,1)e 1-上单调递增， 所以函数()a ϕ的最小值为1()(1)e 2e 1ϕϕ<=--， 所以m n -的最小值为11e 1e 111e ()e 1e e 1e 1e 1ϕ--=--=----. ②当10e 1a <<-时，(1)(e)(e 1)10f f a -=--<，所以(1)1e m f a ==-， 所以(e)(e )e e a a m n f f a -=-=-，令()e e a q a a =-，则()e e 0a q a '=-<，所以函数()q a 在区间1(0,)e 1-上单调递减， 所以1e 11e ()()e e 1e 1q a q ->=---， 综上所述：m n -的最小值为1e 1e e e 1---. 【点睛】关键点点睛：（1）中，利用导数求出函数的最小值，利用最小值小于0求解是解题关键；（2）中，对a 分类讨论，利用导数求出,m n ，然后作差构造函数求最小值是解题关键.。
江苏省扬州中学20210-2021学年高二下学期5月月考 数学 试题(含答案)
A．在第 9 条斜线上，各数之和为 55 B．在第 ( ⩾5)条斜线上，各数自左往右先增大后减小
C．在第 n 条斜线上，共有 2n 1 (1)n 个数 4
D．在第 11 条斜线上，最大的数是 C37
12．已知函数
f
x
sin x ex
1
，则下列结论正确的是（
）
A．函数 f x 在 0, π 上单调递减
g x
0 ，即
f
x
在
4a
a2 4
8a
,
上单调递增，
综上所述，当 a 0 时， f x 在 1, 上单调递增；
当
a
0
时，
f
x
在 1,
4
a
a2 4
8a
上递减，在
4
a
a2 4
8a
,
上递增．
（2）由（1）可知，若 f x 存在极值，则 a 0 ，
x 1, ，不等式 f x 0 恒成立，等价于 ln x 1 x 1 1 恒成立，
3x 2
1 x
n
即
3x 2
1 x
12 的展开式的通项是：
Tk 1
C1k2
3x 2
12k
1 k x
C1k2
1 2
12k
12 4 k
x3
（k
0,1, 2,3,L
, 12 ），
12 4k
令
0 得： k
3，
3
∴常数项是 T4
C132
1 2
9
55 128
；
（2）由（1）知 n 12，
C．0,
D．
1 4
河南省高二下学期5月联考数学试题(解析版)
高二下学期5月联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知函数，则（） ()sin cos 3f x x π=+6f π⎛⎫'=⎪⎝⎭A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】求出，代值计算可得的值. ()f x '6f π⎛⎫' ⎪⎝⎭【详解】因为，则，故. ()sin cos 3f x x π=+()cos f x x '=cos 66f ππ⎛⎫'==⎪⎝⎭故选：B.2. 《长津湖》和《我和我的父辈》都是2021年国庆档的热门电影．某电影院的某放映厅在国庆节的白天可以放映6场，晚上可以放映4场电影．这两部影片只各放映一次，且两部电影不能连续放映（白天最后一场和晚上第一场视为不连续），也不能都在白天放映，则放映这两部电影不同的安排方式共有（） A. 30种 B. 54种 C. 60种 D. 64种【答案】B 【解析】【分析】分两种情况考虑，均在晚上播放，或者白天一场，晚上一场，求得结果. 【详解】若均在晚上播放，则不同的安排方式有种，若白天一场，晚上一场，则2236A =有种，故放映这两部电影不同的安排方式共有48+6=54种. 11264248C C A ⋅⋅=故选：B3. 曲线在处的切线的方程为（） ()ln f x x x =1x =A. B. 22y x =-1y x =-C. D.1y x =-+31y x =-【答案】B 【解析】【分析】由导数的几何意义即可求解.【详解】解：由，得，所以，，()ln f x x x =()ln 1f x x '=+(1)0f =(1)011f '=+=所以曲线在处的切线的方程为，即． ()f x 1x =01(1)y x -=⨯-1y x =-故选：B.4. 满足条件的自然数有（）23n n A C >n A. 7个 B. 6个 C. 5个 D. 4个【答案】C 【解析】【分析】根据排列数和组合数公式化简可得，再根据，且可得答案. 8n <3n ≥*n ∈N 【详解】由得，即，23n n A C >(1)(2)(1)321n n n n n --->⨯⨯8n <又，且，所以. 3n ≥*n ∈N 3,4,5,6,7n =故选：C【点睛】本题考查了排列数与组合数公式，属于基础题. 5已知函数，若，，，则（） ()ln x f x x =31log 5a f ⎛⎫ ⎪⎝-⎭=()0.33b f -=32c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A.B.C.D.b<c<a b a c <<a c b <<a b c <<【答案】B 【解析】【分析】分析导数的单调性，利用中间值法可得出，结合()f x 0.33303log 5e 2-<<<<函数在上的单调性可得出、、的大小关系. ()f x ()0,e a b c 【详解】因为，所以， ()ln x f x x =()21ln xf x x -'=所以当时，，函数单调递增； 0e x <<()0f x ¢>()f x 当时，，函数单调递减，e x>()0f x '<()f x又，，即，所以33515log log =-3331log 5log 2<<=0.33303log 5e 2-<<<<，b ac <<故选：B.6. 设，其中，且，那么（） ()~4,X B p 102p <<()8227P X ==()1P X ==A.B.C.D.88116818273281【答案】D 【解析】【分析】根据二项分布概率公式求得，再根据二项分布概率公式求解即可. 13p =【详解】解：根据题意得，即()()222482C 127P X p p ==-=()222212133p p ⎛⎫⎛⎫-=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得或（舍去）， 13p =23p =故. ()()314321181P X C p p ==-=故选：D7. 盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，第一次比赛时从中任取3个来使用，比赛后仍放回盒中.第二次比赛时再从中任取3个球，则第二次取出的球都是新球的概率为（） A.B.C.D.4413025441102551213411【答案】A 【解析】【分析】令表示第一次任取3个球使用时，取出i 个新球，分别求出其概i A ()0123i =,,,率，再由全概率公式求解即可.【详解】令表示第一次任取3个球使用时，取出i 个新球，B 表示“第二次i A ()0123i =,,,任取的3个球都是新球”，则有，，()330312C 1C 220P A ==()21391312C C 27C 220P A ==，，根据全概率公式，第二次取到的球都是新()12392312C C 108C 220P A ==()393312C 84C 220P A ==球的概率为()()()()()()()()()33398700112233333121212C C C 12710884220C 220C 220C 220P B P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A =+++=⨯+⨯+⨯+⨯. 36312C 441C 3025=故选：A.8. 若定义域为R 的函数的导函数为，并且满足，则下列正()f x ()f x '()()2f x f x '<-确的是（）A.()()()2022e 20212e 1f f -<-B. ()()()2022e 20212e 1f f ->-C. ()()()2022e 20212e 1f f ->+D. ()()()2022e 20212e 1f f -<+【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，结合各选项的信息构造函数，利用导数探讨函()()2exf xg x +=数单调性即可判断作答.【详解】令函数，求导得，因此函数()()2e xf xg x +=()()()20exf x f xg x '--=>'在R 上单调递增，()g x 于是得，即，整理得()()20222021g g >()()202220212022220212e ef f ++>，B 正确.()()()2022e 20212e 1f f ->-故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 的展开式中，下列结论正确的是（）62(x x+A. 展开式共6项B. 常数项为64C. 所有项的系数之和为729D. 所有项的二项式系数之和为64【答案】CD 【解析】【分析】利用二项展开式的特点判断A ；求出指定项判断B ；利用赋值法求出展开式系数和判断C ；利用二项式系数的性质判断D 作答.【详解】展开式的总项数是7，A 不正确；62(x x+展开式的常数项为，B 不正确； 62(x x +363362C ()160x x-=取得展开式的所有项的系数之和为，C 正确；1x =62(x x+63729=由二项式系数的性质得展开式的所有项的二项式系数之和为，D 正确.62()x x+6264=故选：CD10. 已知函数，其中，，则下列选项中的条件使得仅有3()f x x ax b =++a b R ∈()f x 一个零点的有（） A. 为奇函数 B. ,()a b f x <()2ln 1a b =+C. ， D. ，3a =-240b -…1a =-1b =【答案】BD 【解析】【分析】利用导数得出函数的极值点结合奇函数的性质，即可得出有三个零点，错()f x A 误；由，得出，从而得出函数单调递增，则B 正确；211b +≥0a ≥()f x 取，利用导数得出的极大值为，极小值为，从而得出2b =()f x ()14f -=(1)0f =()f x 有两个零点，错误；C 得出函数的极大值和极小值，并判断其正负，即可得出仅有一个零点，正确. ()f x ()f xD 【详解】由题知.2()3f x x a '=+对于，由是奇函数，知，因为，所以存在两个极值点，由A ()f x 0b =a<0()f x (0)0f =知，有三个零点，错误；()f x A 对于，因为，所以，，所以单调递增，则仅有一个零B 211b +≥0a ≥()0f x '≥()f x ()f x 点，正确；B 对于，若取，，则的极大值为，极小值为C 2b =2()33f x x '=-()f x ()14f -=，此时有两个零点，错误；(1)0f =()f x C 对于，，D 3()1f x x x =-+2()31x f x '=-易得的极大值为，极小值为. ()fx 10f ⎛= >⎝10f =+>可知仅有一个零点，正确. ()f x D 故选：BD【点睛】本题考查利用导数研究函数性质，属于中等题. 11. 已知m ，n 均为正数，随机变量X 的分布列如下表： X12P m n m则下列结论一定成立的是（） A. B. ()()11P X P X =<≠()1E X =C D.18mn ≤()11D X +<【答案】BCD 【解析】【分析】由分布列的性质得，，，21m n m m n ++=+=()1P X n ==()12P X m ≠=根据随机变量的期望、方差公式，以及基本不等式逐一判断可得选项. 【详解】解：由分布列的性质得，，21m n m m n ++=+=()1P X n ==，()12P X m ≠=当，时，，故选项A 错误； 14m =12n =()()11P X P X ==≠因为，故选项B 正确；()21E X n m =+=因为m ，n 均为正数，所以，即，当且仅当时，12n m =+≥18mn ≤122n m ==等号成立，故选项C 正确； 由，得.又，所以120n m =->102m <<()1E X =()()121D X D X m m m +==+=<，故选项D 正确. 故选：BCD. 12. 已知函数，下列关于f (x )的说法中正确的是（）2()l n (l n )f x ax x x =+A. 当且仅当a =0时，f (x )有唯一的零点 B. f (x )最多有两个极值点C. 若则f (x )仅有一个极值点 0,a ≥D. 若f (x )无极值点，则1,a e⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦∞【答案】BC 【解析】【分析】由可得或，利用导数由无解或解为可()0f x =1x =ln x a x -=ln xa x-=1x =求得的范围，即可判断A ；令可得，利用导数判断a ()0f x '=2ln ()(ln 1)xa g x x x -==+的解的情况即可判断BCD.()g x a =【详解】因为，()2ln ln ()ln ()0ln f x ax x x x ax x =++==所以或，所以或， ln 0x =ln 0ax x +=1x =ln xa x-=设，则， ()ln x h x x =()21ln xh x x -'=由可得，由可得， ()0h x '>0<<x e ()0h x '<>x e 则在单调递增，在单调递减，()h x ()0,e (),e +∞，()()max 1h x h e e∴==要使无解，则，即，又，此时，ln x a x -=1a e->1a e <-()10h =0a =即若有唯一的零点，则或，故A 错误；()f x 0a =1a e<-，易知， ()()()2ln ln 10x f x a x x x '=++>10f e ⎛⎫≠ ⎪⎭'⎝令可得（且），()0f x '=2ln ()(ln 1)x a g x x x -==+0x >1x e≠则，令可得， 222(ln )ln 1()2(ln 1)x x g x x x -=⋅+'+()0g x '=12ln x x ==所以在递增，在递减，在递减，在，()g x ()10,x 11,x e ⎛⎫ ⎪⎝⎭21,x e ⎛⎫⎪⎝⎭()2,x +∞又，所以最多有2个解，即最多有两个极值点，故B 正确； ()10g =()g x a =()f x 当时，只有一个解，即仅有一个极值点，故C 正确； 0a ≥()g x a =()f x 当时，有2个解，此时有2个极值点，故D 错误. a →-∞()g x a =()f x 故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数，则的最大值为________________________． ()f x lnx x =-()f x 【答案】 1-【解析】 【分析】利用导数得出单调性即可得出最值.【详解】 11()1,0x f x x x x-'=-=>()001,()01f x x f x x ''>⇒<<<⇒>则函数在上单调递增，在上单调递减()f x ()0,1()1,+¥即 max ()(1)ln111f x f ==-=-故答案为：1-14. 在射击训练中，某射击运动员一次射击命中的概率为，连续两次射击命中的概率为910. 已知他第一发子弹命中，则他第二发子弹命中的概率为________. 45【答案】89【解析】【分析】根据条件概率公式可以直接求解.【详解】设第一次命中为事件，第二次命中为事件，由，得A B ()()()P AB P B A P A =，()4859910P B A ==故答案为. 8915. 若随机变量，，且，则展开式中~(2X N 23)(1)()P X P X a =……()52x a ax ⎛+- ⎝3x项的系数是__________． 【答案】1620 【解析】【分析】根据正态分布的概率性质求出的值，再化a ；利用展开式的通项公式求出含()()5522693x a ax x x x ⎛⎛+=++⎝⎝53x ⎛⎝的系数，即可求出对应项的系数．2x 【详解】解：随机变量，，均值是2， ~(2X N 23)且， (1)()P X P X a =……；3a ∴=；()()()55522233693x a ax x x x x x ⎛⎛⎛∴+=+-=++- ⎝⎝⎝又展开式的通项公式为53x ⎛⎝， ()()35552155313rr rr r r rr T C x C x ---+⎛==- ⎝A A AA A 令，解得，不合题意，舍去；3512r -=83r =令，解得，对应的系数为； 3522r -=2r =2x ()23251·3·270C -=令，解得，不合题意，舍去； 3532r -=43r =展开式中项的系数是．∴3x 62701620⨯=故答案为：1620．【点睛】本题考查了正态分布曲线的特点及其几何意义，也考查二项式系数的性质与应用问题，属于中档题；16. 已知函数.()22,1ln ,1x ax x f x a x x x⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩①当时，若函数有且只有一个极值点，则实数的取值范围是______； 1x <()f x a ②若函数的最大值为1，则______. ()f x =a 【答案】 ①. ②.(,1)-∞1-【解析】【分析】①首先求出当时的极值点，根据题意即可得到的取值范围. 1x <()f x a ②分别讨论当，和时，求出函数的最大值，比较即可求出的值. 0a =a<00a >()f x a 【详解】①当时，.1x <2()2f x x ax =-+，令，解得.()22f x x a '=-+()0f x '=x a =因为函数在有且只有一个极值点，所以.()f x (,1)-∞1a <②当时，，此时，舍去.0a =2,1()0,1x x f x x ⎧-<=⎨≥⎩max ()0f x =当时，a<0，. 1x ≥ln ()0a xf x x=<，..1x <222()2()f x x ax x a a =-+=--+2max ()()f x f a a ==所以，因为，所以. 21a =a<01a =-当时，0a >，.，1x ≥ln ()a x f x x=2(1ln )()a x f x x -'=令，解得.()0f x '=a e =，，为增函数， [1,)x e ∈()0f x '>()f x ，，为减函数.(,)x e ∈+∞()0f x '<()f x . max ()()af x f e e==当时，，所以， 1x <222()2()f x x ax x a a =-+=--+（1）当时，； 01a <<2max ()()f x f a a ==当时，即，，解得（舍去）. 2a a e ≥1a e ≥2max ()1f x a ==1a =当时，即，，解得（舍去）； 2a a e <10a e <<max ()1af x e==a e =(2)当时，，只有且，这样的不存在． 1a ≥()21f x a <-max ()1af x e ==21a a e≥-a 综上所述：.1a =-故答案为：①；②．(,1)-∞1-【点睛】本题主要考查利用导数求含参函数的极值点和最值，分类讨论是解题的关键，属于难题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.17. 记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC A ．()sin sin sin a A b a B c C +-=（1）求角C ； （2）求的取值范围． a bc+【答案】（1）3C π=（2） (]1,2【解析】【分析】（1）由正弦定理角化边以及余弦定理即可求解. (2) 由正弦定理边化角，再由三角函数求最值. 【小问1详解】由已知及正弦定理得， 222a b ab c +-=即，由余弦定理得222a b c ab +-=，可得．2221cos 22a b c C ab +-==3C π=【小问2详解】 根据正弦定理得)sin sin sin sin sin a b A B A B c C ++==+， 2sin sin 33A A π⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3sin 2A A ⎫=⎪⎪⎭2sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又，则 203A π<<5666A πππ<+<故，则的取值范围是． 12sin 26A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭a bc+(]1,218. 给出条件：①，；②，，且.若请32nn S m =+()m ∈R 112n n S a m +=+()m ∈R 11a =在这两个条件中选一个填入下面的横线上并解答.（注：在解答过程中注明选择条件①或条件②，若选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分）已知等比数列的前项{}n a n 和为，若______，n S （1）求的值及数列的通项公式； m {}n a （2）设，求数列的前项和.()()111nn n n a b a a +=++{}n b n n T 【答案】（1）选择见解析，，；12m =-13n na -=（2）. 1142(31)n n T =-+【解析】【分析】（1）选①，利用已知结合求出通项，再由求出m1(2)n n n a S S n -=-≥2132a a a =即可；选②，利用已知结合求出公比，通项，进而求出m 作答.1(2)n n n a S S n -=-≥（2）利用（1）的结论，再利用裂项相消法求解作答. 【小问1详解】选①，等比数列的前项和，{}n a n 32n n S m =+当时，，于是得，2n ≥1132n n S m --=+113n n n n a S S --=-=当时，，由得：，解得：，满1n =1132a S m ==+2132a a a =239()32m +=12m =-11a =足，13n na -=所以，.12m =-13n na -=选②，等比数列的前项和，且， {}n a n 112n n S a m +=+11a =当时，，于是得，整理得，2n ≥112n n S a m -=+111122n n n n n a S S a a -+=-=-13n n a a +=因此等比数列公比为3，则，有，{}n a 2133a a ==13n n a -=而当时，，即，解得：，1n =11212a S a m ==+312m +=12m =-所以，.12m =-13n na -=【小问2详解】 由（1）知，，则， 13n n a -=1113111((31)(31)23131n n n n n n b ---==-++++因此211111111111[(()()]()2231313131312231n n n n T -=-+-++-=-++++++ . 1142(31)n=-+19. “绿水青山，就是金山银山”2020年9月22日，国家主席习近平在第七十五届联合国大会一般性辩论上发表重要讲话，指出要加快形成绿色发展方式和生活方式，建设生态文明和美丽地球，中国将提高贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和，某企业为了响应中央号召，准备在企业周边区域内通过植树造林实现减碳，从某育苗基地随机采购了120株银杏树树苗进行栽种，测量树苗的高度，得到如下频率分布直方图，已知不同高度区间内树苗的售价区间如下表.树苗高度() cm[)120,140[)140,160[)160,180树苗售价(元/株)468（1）现从120株树苗中，按售价分层抽样抽取8株，再从中任选三株，求售价之和不低于20元的概率；（2）以样本中树苗高度的频率作为育苗基地中树苗高度的概率.若从该育苗基地银杏树树苗中任选4株，记树苗高度超过140的株数为，求随机变量的分布列和期望. cm X X 【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：. 9283【解析】【分析】（1）首先根据分层抽样确定各层的数量，然后结合组合以及求古典概型的概率的公式即可；（2）求出的所有可能取值，然后求出对应概率，进而列出分布列，再根据二项分布求X 期望的公式即可求解.【详解】（1）高度在内的占比为， [)120,140()0.0050.02100.25+⨯=高度在内的占比为， [)140,160()0.030.02100.5+⨯=高度在内的占比为，[]160,180()0.0150.01100.25+⨯=从这120株树苗中，按售价分层抽取8株，其中2株4元，4株6元，2株8元， 再从中任选三株，售价之和不低于20元，可以为､､，()6,6,8()4,8,8()6,8,8故所求概率为. 21121242224238928C C C C C C P C ++==(2若从该育苗基地银杏树树苗中任选4株，高度超过140cm 的概率为34由题意可知，则；34,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭()4041104256P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；；()31413314464P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2224137244128P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；. ()334132734464P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭()44438144256P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭所以，随机变量分布列如下表所示：XX 0 1 2 3 4P 1256 364 27128 2764 81256随机变量的数学期望为. X ()3434E X =⨯=20. 已知三棱锥中，，，为M ABC -MA MB MC AC ====2AB BC ==O 中点，点在棱上，且. AC N BC 23BN BC =（1）证明：平面； BO ⊥AMC （2）求二面角的余弦值. N AM C --【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】 【分析】(1)三角形ABC 是等腰直角三角形，可证BO 垂直于AC ，在三角形BMO 中，可证MO 垂直于BO ，由线面垂直的判断定理可证明；（2）由（1）知因为，，两两垂直，建立空间直角坐标系，利用空间OB OC OM O xyz -向量在立体几何中的应用即可解得二面角的大小. 【详解】（1）证明：连接，，OM OB在三角形中：，，ABC 2AB BC ==AC =90ABC ∠= BO =.OB AC ⊥在中：，为的中点，则，且MAC △MA MC AC ===OAC OM AC ⊥.OM =在中：，，满足：MOB △BO =OM =MB =222BO OM MB +=根据勾股定理逆定理得到，OB OM ⊥故平面；OB ⊥AMC（2）因为，，两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示.OB OC OM O xyz -因为，MA MB MC AC ====2AB BC ==则，，，，由所以，()0,A )B()C (M 23BN BC =N ⎫⎪⎪⎭设平面的法向量为，则 MAN (),,m x y z = 0AN n AM n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩()((),,0,,0x y z x y z ⎧⎫⋅=⎪⎪⎪⎭⎨⎪⋅=⎪⎩0,0x y +=⎪+=⎩令.y=(1)m =--因为平面，所以为平面的法向量，所以BO⊥AMC )OB =AMC 与所成角的余弦为. ()1m =-- )OB =cos ,m OB ==所以二面角的余弦值为. cos θ=【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理以及利用空间向量求解二面角的大小，属于中档题目，解题中尤其是平面法向量的求解运算比较繁杂，因此对运算能力的要求较高.21. 设椭圆经过点2222:1(0)x y E a b a b +=>>12M ⎫⎪⎭（1）求椭圆的标准方程；E （2）设椭圆的左，右顶点分别为，，过定点的直线与椭圆交于，E A B ()1,0N -E C D 两点（与，不重合），证明：直线，的交点的横坐标为定值．A B AC BD 【答案】（1）；（2）证明见解析．2214x y +=【解析】【分析】（1）把点代入椭圆方程，然后结合离心率公式即可求出椭圆的标准方程； （2）设出直线方程，与椭圆方程联立消元写韦达，然后表示出直线，1x my =-AC BD 的方程，并把方程联立求交点的横坐标，从而证明交点的横坐标为定值.【详解】（1）由题意知，，解得，222223114a b c e a a b c⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆的标准方程为．E 2214x y +=（2）设过点的直线方程为， ()1,0N -1x my =-代入椭圆的方程，整理得， E ()224230m y my +--=因为， ()()22241241630m m m ∆=++=+>设，，， ()11,C x y ()22,D x y ()12,2x x ≠±则，①， 12224my y m +=+12234y y m =-+由（1）得，， ()2,0A -()2,0B 则直线的方程为，直线的方程为， AC 11(2)2y y x x =++BD 22(2)2y y x x =--联立两直线方程，消去，整理得，②y ()()()()2112122122222x y x y x x y x y -++=⨯+--将，代入②，111x my =-221x my =-整理得③，()()121211212422my y y y y x y y y ++-=⨯++把①式代入③，整理得，121244424224m y m x m y m --+=⨯=-++所以直线，的交点的横坐标为定值． AC BD 4-22. 已知函数． 2()2ln f x x ax x =-+（1）求函数的单调区间；()f x （2）设函数有两个极值点（），若恒成立，求实数的取()f x 12,x x 12x x ＜()12f x mx >m 值范围．【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）． (],3-∞-【解析】【分析】（1）求出导函数，令，利用判别式讨()222()0x ax f x x x -+'=>()222p x x ax =-+论的取值范围，结合导数与函数单调性的关系即可求解.a （2）根据题意可得是方程的两个不等正实根，由（1）知，利12,x x 2220x ax -+=4a >用韦达定理得，且，然后分离参数只需恒成立，121=x x 1201x x <<<()12f x m x >，从而令，利用导数2231111111121()222ln 22ln 1f x x x x x x x x x x --+==--+3()22ln h t t t t t =--+求出的最小值即可求解.()h t 【详解】（1）因为，2()2ln f x x ax x =-+所以．()222()0x ax f x x x-+'=>令，，()222p x x ax =-+216a ∆=-当即时，，即， 0∆≤44a -≤≤()0p x ≥()0f x '≥所以函数单调递增区间为．()f x ()0,∞+当即或时，0∆>4a <-4a >12x x ==若，则，所以，即， 4a <-120x x ＜＜()0p x >()0f x '>所以函数单调递增区间为．()f x ()0,∞+若，则，由，即得或； 4a >210x x >>()0f x '>()0p x ＞10,x x <<2x x >由，即得．()0f x '<()0p x ＜12x x x <<所以函数的单调递增区间为；单调递减区间为． ()f x ()()120,,,x x +∞()12,x x 综上，当时，函数单调递增区间为；4a ≤()f x ()0,∞+当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．4a >()f x ()()120,,,x x +∞()12,x x （2）由（1）得，()222()0x ax f x x x-+'=>若有两个极值点，则是方程的两个不等正实根， ()f x 12,x x 12,x x 2220x ax -+=由（1）知．则，故， 4a >12122,12ax x x x +=>=1201x x <<<要使恒成立，只需恒成立．()12f x mx >()12f x m x >因为 222311111111111221()2ln 222ln 22ln 1f x x ax x x x x x x x x x x x -+--+===--+，令，则，3()22ln h t t t t t =--+2()32ln h t t t '=-+当时，，为减函数，所以． 01t <<()0h t '＜()h t ()(1)3h t h >=-由题意，要使恒成立，只需满足．()12f x mx >3m ≤-所以实数的取值范围．m (],3-∞-【点睛】本题考查函数和导数及其应用、不等式等基础知识；考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力与创新意识；考查函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想等思想；考查数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现综合性、应用性、创新性．．。
2021学年天津高二下学期人教A版高中数学月考试卷【含解析】
2021学年天津高二下学期人教A版高中数学月考试卷【含解析】姓名：__________ 班级：__________学号：__________题号一二三四五六总分评分一、选择题（共15题）1、直线与曲线相切也与曲线相切，则称直线为曲线和曲线的公切线，已知函数，其中，若曲线和曲线的公切线有两条，则的取值范围为（）A. B. C. D.2、若函数在区间上有最小值，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.3、函数上不单调的一个充分不必要条件是A. B. C. D.4、若函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.5、若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.6、已知函数，若有三个极值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.7、设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且，则当时有（）A. B.C. D.8、函数的导数是（）A. B. C. D.9、在曲线上切线倾斜角为的点是（）A. B. C. D.10、设，则等于（）A. B. C. D.11、若函数有唯一一个极值点，则实数a的取值范围是（）A. B. 或C. D. 或12、对任意的，函数存在极值点的充要条件是（）A. B. 或C. 或D. 或13、函数的图像如图所示，则函数的图像可能是A. B.C. D.14、下列导数运算正确的是（）A. B. C. D.15、已知a为函数的极小值点，则a=（）A. 3B. －2C. 4D. 2二、填空题（共10题）1、设过曲线（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总有过曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围为___________.2、已知函数在区间[1，2]上是单调函数，则实数的取值范围是_________3、已知函数，则不等式的解集为_________.4、已知,若存在,, 使得成立,则实数的取值范围是_____.5、函数的单调递减区间是_______．6、设函数的导数为，且，则=______.7、函数，若对于区间[－2,2]上的任意，，都有，则实数的最小值是_______.8、函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则函数在内有极小值点的个数为________．9、已知函数，则过点可以作出________条图象的切线.10、已知曲线的一条切线的斜率为1，则切点的横坐标为_______三、解答题（共2题）1、已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，函数在上的最小值为，若不等式有解，求实数的取值范围．2、已知函数为自然对数的底数．（1）若曲线在点处的切线与轴平行，求的值；（2）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围.============参考答案============一、选择题1、 C【解析】设切点求出两个函数的切线方程，根据这个两个方程表示同一直线，可得方程组，化简方程组，可以得到变量关于其中一个切点横坐标的函数形式，求导，求出函数的单调性，结合该函数的正负性，画出图象图形，最后利用数形结合求出的取值范围.【详解】设曲线的切点为：，，所以过该切点的切线斜率为，因此过该切点的切线方程为：；设曲线的切点为：，，所以过该切点的切线斜率为，因此过该切点的切线方程为：，则两曲线的公切线应该满足：，构造函数,当时，单调递减，当时，单调递增，所以函数有最大值为：，当时，，当，，函数的图象大致如下图所示：要想有若曲线和曲线的公切线有两条，则的取值范围为.故选：C【点睛】本题考查了两个曲线的公切线的条数求参数问题，考查了导数的应用，考查了数学运算能力和数形结合思想.2、 A【解析】对函数进行求导，求出函数的单调区间，结合已知条件进行求解即可.【详解】，当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，因此函数的极小值为：或要想函数区间上有最小值，则有：.故选：A【点睛】本题考查了函数在区间有最小值求参数取值范围，考查了导数的应用，考查了数学运算能力.3、 A【解析】先求出函数的导函数，再根据函数f（x）在（1，3）上不单调，得g（1）·g（3）＜0且△≥0，从而可求a的取值范围．【详解】所以令因为函数上不单调即在上由实数根a=0时，显然不成立，a≠0时，只需，解得或即a∈它的充分不必要条件即为一个子集所以选A【点睛】本题考查了导数的应用，函数的单调性与充分必要条件的综合，属于中档题．4、 B【解析】，再分类讨论和两种情况，再对满足条件的取并集即可．【详解】当时，恒成立，即在R上单调递增，满足条件．当时，解得，又在区间内是增函数，即．综上所述故选: B【点睛】此题考查定区间单调求参数取值范围题型，用到的方法为分类讨论，属于一般性题目．5、 D【解析】把方程进行常变量分离，构造新函数，求导，判断出函数单调性，再根据函数的正负性，画出函数图象，利用数形结合进行求解即可.【详解】，当时，无实数解，不符合题意，故. 于是有，令，显然当时，；当时，.，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，因此当时，，函数的图象一致如下图所示：因此要想有实数根，只需方程组：有交点，如上图，则有实数的取值范围是.故选：D【点睛】本题考查了方程有根求参数取值范围问题，考查了导数的应用，考查了数学运算能力和数形结合能力.6、 A【解析】对函数进行求导，然后让导函数等于零，根据题意该方程有三个不等正实根，这样通过构造函数，利用单调性进行求解即可.【详解】函数的定义域为：.，显然方程必有一个根为，由题意可知：方程必有两个不等于1的正实根，，令，当时，单调递增，当时，单调递减，故，因此有.故选：A【点睛】本题考查了已知函数的极值点的个数求参数取值范围，考查了导数的应用，考查了常变量分离法，考查了数学运算能力.7、 D【解析】根据选项中不等式的结构特征，结合已知的不等式特征，构造新函数，求导，最后利用新构造函数的单调性进行求解即可.【详解】构造函数：，，所以函数定义在R上减函数，当时，有，f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的函数，所以有.故选：D【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性，考查了利用函数单调性判断函数值之间的大小关系，考查了构造法，属于中档题.8、 A【解析】故选A9、 C【解析】设出曲线上的点，对函数进行求导，利用导数的几何意义，结合直线斜率与倾斜角之间的关系求解即可.【详解】设曲线上一点的坐标为：，由.由题意可知：，所以点的坐标为：.故选：C【点睛】本题考查导数的几何意义，考查了直线倾斜角与斜率之间的关系，考查了数学运算能力.10、 D【解析】根据导数的定义，结合导数的运算法则进行求解即可.【详解】因为，所以.故选：D【点睛】本题考查了导数的定义，考查导数的运算法则，属于基础题.11、 C【解析】函数有唯一一个极值点，则导函数有唯一大于0的变号零点，画出的图像，使得两个函数图像有唯一一个交点，并且交点的横坐标大于0，故，可求解.【详解】函数有唯一一个极值点，则导函数有唯一的大于0的变号零点，，变形为画出的图像使得两个函数图像有唯一一个交点，并且交点的横坐标大于0，故，化简为故答案为C.【点睛】这个题目考查了函数极值点的概念，以及已知函数零点个数求参数范围的问题，已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题．12、 C【解析】对函数进行求导，让导函数等于零，方程一定有两个不等实根即可.【详解】有两个不等实根，因此有或.故选：C【点睛】本题考查了函数有极值的充要条件的判断，属于基础题.13、 D【解析】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D．【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间．14、 C【解析】根据导数的运算法则和常见函数的导数进行判断即可.【详解】A：，故本选项运算不正确；B：，故本选项运算不正确；C：，故本选项运算正确；D：，故本选项运算不正确.故选：C【点睛】本题考查了导数的运算法则和常见函数的导数，属于基础题.15、 A【解析】对函数进行求导，让导函数等于零，解方程，然后利用极小值点的定义进行验证即可.【详解】.当时，，因此函数单调递增，当时，，因此函数单调递减，当时，，因此函数单调递增，所以是函数的极小值点，故.故选：A【点睛】本题考查了求函数的极小值点，属于基础题.二、填空题1、【解析】求出的导函数的取值范围，然后根据题意，结合互相垂直的两直线的斜率关系，利用集合之间的关系，求出实数的取值范围.【详解】，设切线的斜率为，则有，因此由，，设切线的斜率为，则有，因为，所以，因为曲线上任意一点处的切线为，总有过曲线上一点处的切线，使得，所以有：.故答案为：【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线的斜率问题，考查了存在性的理解，考查了两直线互相垂直斜率之间的关系，考查了数学运算能力.2、【解析】对函数进行求导，导函数在区间[1，2]上恒非正或恒非负进行求解即可.【详解】，由题意可知：或在区间[1，2]上恒成立.当在区间[1，2]上恒成立时，，当时，，因此有；当在区间[1，2]上恒成立时，，当时，，因此有，综上所述：实数的取值范围是.故答案为：【点睛】本题考查了已知函数在区间上的单调性求参数取值范围，考查了导数的应用，考查了数学运算能力.3、【解析】先判断函数奇偶性，再利用导数判断函数在（0，+∞）上的单调性，再利用函数的奇偶性和单调性解不等式.【详解】由题得f(-x)=,所以函数f(x)是奇函数.设x＞0，则，所以上恒成立，所以函数f(x)在（0，+∞）上单调递增，因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以函数f(x)是R上的增函数，所以,所以.故答案为【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判定，考查函数的单调性的判定，考查函数的奇偶性和单调性的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4、【解析】分两步求解，要使得成立，则有，利用导数研究其单调性求得最小值；要满足使得成立，应有，根据二次函数知识求出最大值，从而得到关于的不等式，求得其范围.试题解析：，当时，函数递增；当时，函数递减，所以当时，取得极小值即最小值. 函数的最大值为,若，使得成立,则有的最大值大于或等于的最小值,即.考点：存在性量词与不等式的有解问题．【方法点睛】本题主要考查了存在性量词与不等式的有解问题，属于中档题.含有存在性量词的命题通常转化为有解问题，进一步转化为函数的最值来解答.本题解答的难点是含有两个量词，解答时，先把其中一个函数看成参数，研究另一个的最值，再来解决另一个的最值，从而得到要求参数的不等式，求得其范围.5、【解析】函数的定义域为，且：，求解不等式可得函数的单调递减区间是 .6、【解析】对求导，可得，将代入上式即可求得：，即可求得，将代入即可得解【详解】因为，所以.所以，则，所以则，故.【点睛】本题主要考查了导数的运算及赋值法，考查方程思想及计算能力，属于中档题．7、 4【解析】对函数进行求导，求出函数的单调性，求出函数在区间[－2,2]上的最值，结合绝对值的性质求出的最大值，最后求出实数的最小值.【详解】，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增，因此函数的极小值为：，函数的极大值为，，所以函数在区间[－2,2]上的值域为：，因此对于区间[－2,2]上的任意，，，因此实数的最小值是4.故答案为：4【点睛】本题考查了不等式恒成立求参数取值范围问题，考查了利用导数求闭区间上函数的最值，考查了绝对值的性质，考查了对任意性的理解，考查了数学运算能力.8、 1【解析】因为函数的极小值两侧导函数值需左负右正；而由图得：满足导函数值左负右正的自变量只有一个；故原函数的极小值点只有一个．考点：利用导数研究函数的极值9、二【解析】设出曲线的切点坐标，对函数求导，利用导数的几何意义，求出切线方程，把点坐标代入切线方程中，求出方程的根进行判断即可.【详解】设切点的坐标为：，，因此切线方程为：，把的坐标代入切线方程中，化简得：或，所以过点可以作出二条的切线.故答案为：二【点睛】本题考查了曲线切线的条数问题，考查了导数的几何意义，考查了数学运算能力.10、 1【解析】设出切点的横坐标，求函数的导数，根据导数的几何意义进行求解即可.【详解】设出切点的横坐标为，由.故答案为：1【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了导数的运算法则，考查了数学运算能力.三、解答题1、（1）答案见解析；（2）【解析】（1）求出导函数，然后根据的符号进行分类讨论，并借助解不等式组的方法得到单调区间；（2）根据（1）中的结论求出当时，函数在上的最小值，因此问题转化为有解，即有解，构造函数，求出函数的最小值即可得到所求．【详解】（1）由，得，①当时，令，得，所以，或，即或，解得或．令，得，所以或，即或，解得或．所以函数的单调递增区间为，；单调递减区间为．②当时，令，得，由①可知；令，得，由①可知或．所以函数的单调递增区间为；单调递减区间为，．综上可得，当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为．当时，的单调递增区间为；单调递减区间为，．（2）由（1）可知若，则当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以不等式有解等价于有解，即有解，设，则，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以的极小值也是最小值，且最小值为，从而，所以实数的取值范围为．【点睛】（1）求函数的单调区间时，若函数解析式中含有字母、并且字母对结果产生影响时，需要对字母进行分类讨论，讨论时要选择合适的标准，同时分类时要做到不重不漏．（2）解答不等式有解的问题时，常用的方法是分离参数后转化为求函数的最值的问题，解题时要用到以下结论：在上有解；在上有解．若函数的最值不存在，则可利用函数值域的端点值来代替．2、 (1) (2)【解析】（Ⅰ），由题设知，求得的值；（Ⅱ）若函数在内存在两个极值点，则方程在内由两个不等实根,可列不等式组,即可求a的范围【详解】解：（Ⅰ），由题设知，故（Ⅱ）由题知，在内由两个不等实根，.【点睛】本题考查了函数在一点处导数的几何意义，导数在极值中的应用,利用极值求参数的范围.。
高二数学5月月考试题理试题 2(共14页)
定远县西片区2021-2021学年(xuénián)下学期5月考试高二理科数学考生注意：1、本卷满分是150分，考试时间是是120分钟；2、在答题之前请在答题卷上填写上好自己的、姓名、班级、考号等信息；3、请将答案正确填写上在答题卷指定的位置，在非答题区位置答题无效。
一、选择题〔本大题一一共12小题，满分是60分〕1.复数，， , 是虚数单位，假设是实数，那么〔〕A. B. C. D.2.假设，那么函数的导函数等于〔〕A. B. C. D.3.假设函数在区间上为单调递增函数，那么实数的取值范围是( )A. B. C. D.4.两个半径不等的圆盘叠放在一起〔有一轴穿过它们的圆心〕，两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为x1， x2， x3， x4，大圆盘上所写的实数分别记为y1， y2， y3， y4，如下图．将小圆盘逆时针旋转i〔i=1，2，3，4〕次，每次转动90°，记T i〔i=1，2，3，4〕为转动i次后各区域内两数乘积之和，例如T1=x1y2+x2y3+x3y4+x4y1．假设x1+x2+x3+x4＜0，y1+y2+y3+y4＜0，那么以下结论正确的选项是〔〕1， T2， T3， T41， T2， T3， T41， T2， T3， T41， T2， T3， T4中至多有一个(yī ɡè)为负数6.的展开式中 B.16 C.487.假设随机变量X的概率分布如下表所示，那么表中的a的值是 ( )X 1 2 3 4P 16aA. 1B. 12C. D.168.随机变量ξ服从正态分布N〔μ，σ2〕，假设P〔ξ＜2〕=P〔ξ＞6〕=0.15，那么P 〔2≤ξ＜4〕等于〔〕B. C9.对具有线性相关关系的变量，有一组观测数据〔〕，其回归直线方程是，且，那么实数的值是〔〕A. B. C. 13D.1210.利用HY性检验来考虑两个分类变量X与Y是否有关系时，通过查阅下表来确定“X和Y 有关系〞的可信度．假如k，那么就有把握认为“X和Y有关系〞的百分比为( )P(K2>k0)k0A. 25%B. 95%C. 5%D. 97.5%11.曲线(qūxiàn)与直线与直线所围成的封闭图形的面积为〔〕A. B. C. D.12.设曲线在点处的切线的斜率为，那么函数的局部图象可以为( )A. B. C. D.二、填空题〔本大题一一共4小题，满分是20分〕13._______.14.如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P1、P2、P3、P4以及四个标记为“▲〞的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P1， P2， P3， P4}，点P∈Ω，过P作直线l P，使得不在l P上的“▲〞的点分布在l P的两侧．用D1〔l P〕和D2〔l P〕分别表示l P一侧和另一侧的“▲〞的点到l P的间隔之和．假设过P的直线l P中有且只有一条满足D1〔l P〕=D2〔l P〕，那么Ω中所有这样的P为．15.假设(jiǎshè) 的二项展开式中的所有二项式系数之和等于，那么该展开式中常数项的值是.16.随机变量服从正态分布，且方程有实数解得概率为12，假设，那么__________．三、解答题〔本大题一一共6小题，满分是70分〕17.个人排成一排，在以下情况下，各有多少种不同排法？〔1〕甲不排头，也不排尾，〔2〕甲、乙、丙三人必须在一起〔3〕甲、乙之间有且只有两人，18.二项式10的展开式中，(1)求展开式中含x4项的系数；(2)假如第3r项和第r＋2项的二项式系数相等，试求r的值．19.第一届“一带一路〞国际顶峰论坛于2017年5月14日至15日在举行,这是2021年我国重要的主场外交活动,对推动国际和地区具有重要意义.某高中政数处为了调查学生对“一带一络"的关注情况,在全校组织了“一带一路知多少〞的知识问卷测试,并从中随机抽取了12份问卷,得到其测试成绩(百分制),如茎叶图所示.〔1〕写出该样本的众数、中位数,假设该校一共有3000名学生,试估计该校测试成绩在70分以上的人数；〔2〕从所轴取的70分以上的学生中再随机选取4人.①记表示选取4人的成绩的平均数,求；②记表示测试成绩在80分以上的人数,求的分布列和数学期望.20.2017年3月27日，一那么“清华大学要求从2021级学生开场，游泳到达一定HY才能毕业〞的消息在体育界和教育界引起了宏大反响(fǎnxiǎng)．游泳作为一项重要的求生技能和运动工程受到很多人的喜欢．其实，已有不少高校将游泳列为必修内容．某中学为理解2021届高三学生的性别和喜欢游泳是否有关，对100名高三学生进展了问卷调查，得到如以下联表：喜欢游泳不喜欢游泳合计男生10女生20合计在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为．〔Ⅰ〕请将上述列联表补充完好；〔Ⅱ〕判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？附：p〔K2≥k0〕k0．〔1〕求的单调(dāndiào)区间；F x在上的最值．〔2〕求函数()22.函数．f x的单调区间；〔Ⅰ〕当时,求()〔Ⅱ〕假设的图象与的图象有3个不同的交点,务实数的取值范围．定远县西片区2021-2021学年下学期5月考试高二理科(lǐkē)数学参考答案解析1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12A D C A C A DBCD D A【解析】复数，，.假设是实数，那么，解得 .故答案为：A.【解析】根据题意,f(x)=xcosx，其导数，即f′(x)=cosx−xsinx，此题选择D选项.【解析】,函数f(x)的增区间，所以，，选C.【解析】由题意可知：〔x1+x2+x3+x4〕〔y1+y2+y3+y4〕＞0，那么〔x1+x2+x3+x4〕〔y1+y2+y3+y4〕=x1y1+x1y2+x1y3+x1y4+x2y1+x2y2+x2y3+x2y4+x3y1+x3y2+x3y3+x4y4+x4y1+x4y2+x4y3+x4y4，=T1+T2+T3+T4＞0∴T1，T2，T3，T4中至少有一个(yī ɡè)为正数，应选A．【解析】先从4人中选出2人作为1个整体有种选法，减去在同一组还有5种选法，再选3门课程有种选法，利用分步计数原理有种不同选法. 故答案为C.【解析】∵ 展开式的通项公式为，∴的展开式中项的系数为，故答案为：A.【解析】7.，选D.【解析】由题意可得，故B符合题意。
2021年高二下学期5月月考数学(文)试题 答案不全
2021年高二下学期5月月考数学（文）试题答案不全一、选择题（每小题5分，共60分）1、已知集合，，则（）A. B. C. D.2、若集合，，则=（）A. B.C. D.3、函数的图象大致是（）A B C D4、函数的定义域是（）A. B. C. D.5、计算式子的值为()A. 2 B．－ 2 C.22D．－226、命题“若是奇函数，则是奇函数”的否命题是（）A.若是偶函数，则是偶函数B.若不是奇函数，则不是奇函数C.若是奇函数，则是奇函数D.若不是奇函数，则不是奇函数7、已知函数，则（）A.4B.C.-4 D-8、函数的零点所在的一个区间是（）A.（-2,-1）B.（-1,0）C.（0,1）D.（1,2）9、给定函数①，②，③，④，其中在区间上单调递减的函数序号有（）A.①②B.②③C.③④D.①④10、“”是“复数为纯虚数”的（）A．充分不必要条件 B 必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11、函数的图像关于直线对称的充要条件是（）A. B. C. D.12、设为定义在上的奇函数，当时，(b 为常数)，则（ ） A.3 B.1 C.-1 D .-3二、填空题（每小题4分，共16分）13、已知集合，，,则 .14、已知映射,集合中的元素与集合中的元素对应，则中元素9的原象为 。
15、已知函数， ．16、方程在实数范围内的解的个数是______________．跃华学校xx 学年第二学期月考考试高二数学试题（文科）：贺同光 陈祥和 考试时间：xx 、5(考试时间120分钟 总分150分)（第Ⅱ卷）一、选择题（共60分）二、填空题（16分）13、 。
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三、解答题(共74分)17（12分）已知5,{|42},{|13},{|0}2U R A x x B x x P x x x ==-≤≤=-<≤=≤≥或，元,已知总收益满足函数. 其中是仪器的月产量(单位:台).（1）将利润表示为月产量的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（利润＝总收益总-成本）19（12分）设函数的两个零点分别是和2；(1)、求；(2)、当函数的定义域是时，求函数的值域．（12分）若二次函数满足且。
高二数学5月月考试题 理含解析 试题
广西HY 中学2021-2021学年高二数学5月月考试题 理〔含解析〕一、选择题：每一小题5分，12题一共60分，在每个小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的． 1.设1i2i 1iz -=++，那么||z =A. 0B.12C. 1【答案】C 【解析】分析：利用复数的除法运算法那么：分子、分母同乘以分母的一共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模. 详解：()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=，那么1z =，应选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考察复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、一共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考察除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2.函数2()ln sin 1f x x x x =+++的导函数是〔〕A. 12cos 1x x x +++ B. 12cos x x x -+ C. 12cos x x x+-D. 12cos x x x++【答案】D 【解析】【分析】根据导数的公式即可得到结论．【详解】解：由2()ln sin 1f x x x x =+++，得1()2cos f x x x x'=++ 应选D ．【点睛】此题考察了导数的根本运算，属根底题．3. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，那么不同的选法一共有 A. 60种 B. 70种C. 75种D. 150种【答案】C 【解析】 试题分析：因,故应选C ．考点：排列数组合数公式及运用． 4.定积分1(2)xx e dx +⎰的值是( )A. 2e +B. 1e +C. eD. 1e -【答案】C 【解析】试题分析：121220100(2)()|()|()|x x x x x x e x dx e x e x e x ==+=+=+-+⎰=(1)1e e +-=.应选C.考点：1.微积分根本定理；2.定积分的计算.5.()5221x x --的展开式中2x 的系数为〔 〕 A. 400B. 120C. 80D. 0【答案】D 【解析】 【分析】 变形为()525521(1)(21)x x x x --=-+，分别写出两个二项式展开式的通项55(1)r rr C x--，55C (2)k k x -，可知()525521(1)(21)x x x x --=-+的通项为510()55(1)2r k r k k r C C x --+-，即可求解.【详解】∵()525521(1)(21)x x x x --=-+，二项展开式5(1)x -的通项为55(1)r rr C x--，二项展开式5(21)x +的通项式为5555C (2)(1)(21)k kx x x --+，的通项为510()55(1)2r k r k k r C C x --+-，所以8k r +=，所以展开式中2x 的系数为5253444355555553(1)2(1)2(1)0C C C C C C -+-+-=.【点睛】此题主要考察了二项展开式的通项，利用通项求二项式的特定项，属于难题. 6.在用数学归纳法证明等式2*12322 ()n n n n N ++++=+∈的第(ii)步中，假设n k =时原等式成立，那么在1n k =+时，需要证明的等式为〔 〕A. ()()()22123221221 1k k k k k k ++++++=+++++ B. ()()()2123 221211k k k k ++++++=+++C. ()()()()22123221212211k k k k k k k ++++++++=+++++ D. ()()()()2123221 21211k k k k k ++++++++=+++【答案】D 【解析】 【分析】根据数学归纳法的一般步骤，结合题中条件，即可得出结果. 【详解】因为要证2*12322 ()n n n n N ++++=+∈，因此，当1n k =+时，需要证明()2*1232(21)212(1))((1) ++++++++=+++∈k k k k k n N .应选：D【点睛】此题主要考察数学归纳法，熟记数学归纳法的一般步骤即可，属于常考题型. 7.曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，那么〔 〕 A. ,1a e b ==-B. ,1a e b ==C. 1,1a e b -==D.1,1a e b -==-【答案】D 【解析】 【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a ，将点的坐标代入直线方程，求得b ． 【详解】详解：ln 1,xy ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，应选D ．【点睛】此题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系． 8.假设函数()2123ln 2f x x x x =--，那么函数()f x 的单调递减区间为〔 〕 A. (,1)(3,)-∞-+∞B. ()1,3-C. (0，3)D.()3,+∞【答案】C 【解析】 【分析】先求函数()f x 的定义域，再求导数()f x '，最后令()0f x '<，解之即可得到结果.【详解】函数()2123ln 2f x x x x =--的定义域为：{|0}x x >， 因为2323(3)(1)()2x x x x f x x x x x '---+=--==， 令(3)(1)0x x x-+<并且0x >，得：03x <<，所以函数()2123ln 2f x x x x =--的单调递减区间为(0，3).故此题正确答案为C.【点睛】此题主要考察利用导数研究函数的单调性，掌握常见函数的导数是关键，属根底题. 9. 六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或者乙，最右端不能排甲，那么不同的排法一共有〔 〕 A. 192种 B. 216种 C. 240种 D. 288种【答案】B 【解析】分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论． 解：最左端排甲，一共有55A =120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有1444C A =96种，根据加法原理可得，一共有120+96=216种．应选B ．10.函数()ln x f x x=在(20,e ⎤⎦上的最大值是〔 〕 A.12eB. 22eC. 0D.1e【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可，结合函数的单调性求出()f x 的最大值即可． 【详解】函数()lnx f x x =的导数()21lnxf'x x -=． 令()f'0.x >可得0e x <<，可得()f x 在()0,e 上单调递增，在()2e,e单调递减，∴函数()lnx f x x =在(20,e ⎤⎦上的最大值是()1f e e=． 应选D ．【点睛】此题考察了函数的单调性、最值问题，是一道中档题．11.假设()()25270127121...x x a a x a x a x +-=++++，那么246a a a ++= A. 32 B. 16 C. 15 D. 0【答案】C 【解析】 【分析】本道题目分别令x=1,x=-1,x=0,代入该二项式，相加后即可．【详解】令1x =-，得()()2501234567121132,a a a a a a a a -+=-+-+-+-= 令1,x =得()()250123456712110a a a a a a a a +-=+++++++= 两式子相加得：024616a a a a +++= 令0x =，得到01a =， 所以24615a a a ++=，应选C ．【点睛】本道题目考察的是二项式系数，解决此类题可以考虑代入特殊值法，然后消去不需要的，即可得出答案． 12.设函数'()f x 是奇函数()f x 〔x ∈R 〕的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，那么使得()0f x >成立的x 的取值范围是〔 〕A. (,1)(0,1)-∞-B. (1,0)(1,)C. (,1)(1,0)-∞--D. (0,1)(1,)⋃+∞【答案】A 【解析】【详解】构造新函数()()f xg x x =,()()()2 'xf x f x g x x-='，当0x >时()'0g x <. 所以在()0,∞+上()()f xg x x=单减，又()10f =，即()10g =. 所以()()0f x g x x=>可得01x <<,此时()0f x >， 又()f x 为奇函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为：()(),10,1-∞-⋃. 应选A.点睛：此题主要考察利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如()()xf x f x '-，想到构造()()f x g x x=.一般：〔1〕条件含有()()f x f x '+，就构造()()xg x e f x =,〔2〕假设()()f x f x -'，就构造()()xf xg x e=，〔3〕()()2f x f x +'，就构造()()2xg x e f x =，〔4〕()()2f x f x -'就构造()()2xf xg x e=，等便于给出导数时联想构造函数. 二、填空题： 本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．13.计算：4275C A -的值是______.【答案】15 【解析】 【分析】根据组合数和排列数的计算公式求解得到结果.【详解】437776535321C C ⨯⨯===⨯⨯，255420A =⨯=那么4275352015C A -=-=此题正确结果：15【点睛】此题考察排列数和组合数的计算，属于根底题. 14.曲线2y x 与直线2y x =所围成的封闭图形的面积为_______________.【答案】43【解析】由2 2y x y x⎧=⎨=⎩，解得0 0x y =⎧⎨=⎩或者2 4x y =⎧⎨=⎩，∴曲线2y x =及直线2y x =的交点为()0,0O 和()2,4A 因此，曲线2y x =及直线2y x =所围成的封闭图形的面积是()222320014233S x x dx x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰，故答案为43.点睛：此题考察了曲线围成的图形的面积，着重考察了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识，属于根底题；用定积分求平面图形的面积的步骤：〔1〕根据条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰中选取计算公式；〔2〕解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；〔3〕详细计算定积分，求出图形的面积． 15.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过三个城时，甲说：我去过的城比乙多，但没去过城；乙说：我没去过城.丙说：我们三个去过同一城. 由此可判断乙去过的城为__________ 【答案】A 【解析】试题分析：由乙说：我没去过C 城，那么乙可能去过A 城或者B 城，但甲说：我去过的城比乙多，但没去过B 城，那么乙只能是去过A ，B 中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城，那么由此可判断乙去过的城为A 考点：进展简单的合情推理16.函数()2xe xf x a =-．假设()f x 在()0,∞+只有一个零点，那么a 的值是__________【答案】24e【解析】 【分析】设()21xh x ax e -=-，由题意得()h x 在()0,∞+只有一个零点，由题意可知0a >，求导得()()'2x h x ax x e -=-，从而可求得()h x 在()0,2单调递减，在()2,+∞单调递增，那么()()2421ah x h e ≥=-，分类讨论即可求出答案． 【详解】解：设()21xh x ax e -=-，∴()f x 在()0,∞+只有一个零点当且仅当()h x 在()0,∞+只有一个零点， 〔1〕当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点； 〔2〕当0a >时，()()'2xh x ax x e -=-，当()0,2x ∈时，()'0h x <；当()2,x ∈+∞时，()'0h x >； ∴()h x 在()0,2单调递减，在()2,+∞单调递增， 故()2421ah e =-是()h x 在[)0,+∞的最小值， ①假设()20h >，即24e a <，()h x 在()0,∞+没有零点；②假设()20h =，即24e a =，()h x 在()0,∞+只有一个零点；③假设()20h <，即24e a >，由()01h =，()h x 在()0,2有一个零点，易得当0x >时，2x e x >，那么()()()333244216161614111102a a a a a h a e a a e =-=->-=->， 故()h x 在()2,4a 有一个零点，因此()h x 在()0,∞+有两个零点，综上，()f x 在()0,∞+只有一个零点时，24e a =，故答案为：24e ．【点睛】此题主要考察利用导数研究函数的零点问题，考察利用导数研究函数的单调性与最值，考察计算才能与推理才能，考察转化与化归思想，考察分类讨论思想，属于难题． 三、解答题：本大题一一共6小题，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤． 17.复数()22656z m m m m i =--+++，〔m R ∈，i 为虚数单位〕 〔1〕假设复数z 为纯虚数，务实数m 的值；〔2〕假设复数z 对应的点在复平面内的第二象限，务实数m 的取值范围. 【答案】〔1〕3m =；〔2〕23m -<< 【解析】 【分析】〔1〕令实部为零，虚部不为零，即可求得结果； 〔2〕令实部小于零，虚部大于零，即可求得结果.【详解】〔1〕因为z 为纯虚数，所以2260560m m m m ⎧--=⎨++≠⎩，解得3m =.〔2〕因为复数z 对应的点在复平面内的第二象限，所以2260560m m m m ⎧--<⎨++>⎩，由260m m --<，解得()2,3m ∈-由2560m m ++>，解得2m >-或者3m <-， 所以23m -<<.【点睛】此题考察由复数的类型求参数值，以及由复数所在点的象限求参数范围，属综合根底题.18.2nx⎛+ ⎝展开式前三项的二项式系数和为22．〔1〕求n 的值；〔2〕求展开式中的常数项；〔3〕求展开式中二项式系数最大的项． 【答案】〔1〕6；〔2〕60；〔3〕. 【解析】 【分析】(1)利用公式展开得前三项，二项式系数和为22，即可求出n ． (2)利用通项公式求解展开式中的常数项即可． (3)利用通项公式求展开式中二项式系数最大的项．【详解】解：由题意，(2nx+展开式前三项的二项式系数和为22． (1)二项式定理展开：前三项二项式系数为：()01211222n n n n n C C C n -++=++=，解得：6n =或者7(n =-舍去)． 即n 的值是6．(2)由通项公式36662166(2)2k k kk k kk T C x C x ---+==， 令3602k-=， 可得：4k =．∴展开式中的常数项为1264642416260TC x--+==；()3n 是偶数，展开式一共有7项.那么第四项最大∴展开式中二项式系数最大的项为936363223162160TC xx --+==．【点睛】此题主要考察二项式定理的应用，通项公式的有关计算，属于根底题． 19.用适当的方法证明以下不等式：〔1〕假设0x >，0y >，证明：22x y xyx y+≥+； 〔2〕设a ，b 是两个不相等的正数，且111a b+=，证明：4a b +>． 【答案】〔1〕详见解析；〔2〕详见解析． 【解析】 【分析】〔1〕采用分析法证明，当0x >，0y >时，欲证22x y xy x y+≥+，只需证2()4x y xy +≥，再根据重要不等式即可证明；〔2〕采用综合法证明，由题意得()11a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭11b a a b =+++，再根据根本不等式即可证明．【详解】证明：〔1〕当0x >，0y >时，欲证22x y xyx y+≥+， 那么只需证：2()4x y xy +≥， 即证：2()40x y xy +-≥， 即证：2220x xy y -+≥，∵,x y R ∀∈，2222()0x xy y x y -+=-≥恒成立，∴22x y xyx y+≥+成立； 〔2〕∵0a >，0b >，111a b+=且a b ，∴()11a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭11b a a b =+++24≥+=，∵ab ，∴不能取等号，即4a b +>．【点睛】此题主要考察不等式的证明方法，考察分析法与综合法证明不等式，考察根本不等式的应用，属于中档题．20.学生会由8名同学组成，其中一年级有2人，二年级有3人，三年级有3人，现从这8人中任意选取2人参加一项活动．〔1〕设事件A 为选取的这2个人来自不同的年级，求事件A 的概率()P A ；〔2〕设X 表示选到三年级学生的人数，分别求出选到三年级学生的人数为0个人的概率(0)P X =，1个人的概率(1)P X =，2个人的概率(2)P X =【答案】〔1〕34；〔2〕()5014P X ==，()15128P X ==，()3228P X ==．【解析】 【分析】〔1〕设事件A 表示“这2人来自同一年级〞，由古典概型的概率计算公式及组合数公式求出()P A ，那么这2人来自两个不同年级的概率为()1P A -；〔2〕X 服从超几何分布，根据超几何分布的概率计算公式求解即可．【详解】解：〔1〕设事件A 表示“这2人来自同一年级〞，()2222332814C C C P A C ++==， 这2人来自两个不同年级的概率为()131144P A -=-=； 〔2〕()25285014C P X C ===，()11532815128C C P X C ===，()23283228C P X C ===．【点睛】此题主要考察古典概型的概率计算公式，考察超几何分布的应用，考察超几何分布的概率计算公式，属于根底题． 21.设定函数32()(0)3a f x x bx cx d a =+++，且方程()90f x x -='的两个根分别为1，4．〔Ⅰ〕当a=3且曲线()y f x =过原点时，求()f x 的解析式； 〔Ⅱ〕假设()f x 在(,)-∞+∞无极值点，求a 的取值范围． 【答案】〔Ⅰ〕32()312f x x x x =-+〔Ⅱ〕[]1,9【解析】试题分析：〔1〕先求出函数的导数()22f x ax bx c =++'，根据方程的两个根分别为1,4得到关于,,a b c 的方程组，再根据3a =且曲线()y f x =过原点，分别求出a b c d ,,,的值，从而求得函数()f x 的解析式；〔2〕函数()f x 在(),-∞+∞内无极值点，再根据0a >可知()220f x ax bx c =++≥'在(),-∞+∞内恒成立，可以得到0{a ∆≤>，解出a 的取值范围即可；试题解析：由()()3203a f x x bx cx d a =+++>，得()22f x ax bx c =++'． 由于()()29290f x x ax b x c -=+-+='的两个根分别为1,4，29=0{168360a b c a b c ++-∴++-=〔*〕〔1〕当3a =时，由〔*〕式得26=0{8120b c b c +-+-=解得3{12b c =-=，又因为曲线()y f x =过原点，所以0d =，故()32312f x x x x =-+．〔2〕由于0a >，()323a f x x bx cx d =+++在(),-∞+∞内无极值点， ()220f x ax bx c ∴=++≥'在(),-∞+∞内恒成立．由〔*〕式得295,4b a c a =-=， 又()()()2=24919b ac a a ∆-=--．解()()=9190{0a a a ∆--≤>得[]1,9a ∈，即a 的取值范围为[]1,9． 考点：导数的应用；2()(2)(1)x f x x e a x =-+-.〔Ⅰ〕讨论()f x 的单调性；〔Ⅱ〕假设()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】〔Ⅰ〕见解析；〔Ⅱ〕()0,+∞. 【解析】试题分析：〔Ⅰ〕先求得()()()'12.xf x x e a =-+再根据1,0,2a 的大小进展分类确定()f x 的单调性；〔Ⅱ〕借助第〔Ⅰ〕问的结论,通过分类讨论函数的单调性,确定零点个数,从而可得a 的取值范围为()0,+∞.试题解析：〔Ⅰ〕()()()()()'12112.xxf x x e a x x e a =-+-=-+〔Ⅰ〕设0a ≥，那么当(),1x ∈-∞时，()'0f x <；当()1,x ∈+∞时，()'0f x >. 所以f 〔x 〕在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增. 〔Ⅱ〕设0a <，由()'0f x =得x=1或者x=ln 〔-2a 〕. ①假设2e a =-，那么()()()'1xf x x e e =--，所以()f x 在(),-∞+∞单调递增.②假设2ea >-，那么ln 〔-2a 〕＜1,故当()()(),ln 21,x a ∈-∞-⋃+∞时，()'0f x >； 当()()ln 2,1x a ∈-时，()'0f x <，所以()f x 在()()(),ln 2,1,a -∞-+∞单调递增，在()()ln 2,1a -单调递减.③假设2ea <-，那么()21ln a ->，故当()()(),1ln 2,x a ∈-∞⋃-+∞时，()'0f x >，当()()1,ln 2x a ∈-时，()'0f x <，所以()f x 在()()(),1,ln 2,a -∞-+∞单调递增，在()()1,ln 2a -单调递减.〔Ⅱ〕〔Ⅰ〕设0a >，那么由〔Ⅰ〕知，()f x 在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增. 又()()12f e f a =-=，，取b 满足b ＜0且ln 2ab <， 那么()()()22321022a f b b a b a b b ⎛⎫>-+-=->⎪⎝⎭，所以()f x 有两个零点. 〔Ⅱ〕设a=0，那么()()2xf x x e =-，所以()f x 只有一个零点〔iii 〕设a ＜0，假设2ea ≥-，那么由〔Ⅰ〕知，()f x 在()1,+∞单调递增. 又当1x ≤时，()f x ＜0，故()f x 不存在两个零点；假设2ea <-，那么由〔Ⅰ〕知，()f x 在()()1,ln 2a -单调递减，在()()ln 2,a -+∞1x ≤时()f x ＜0，故()f x 不存在两个零点. 综上，a 的取值范围为()0,+∞. 【考点】函数单调性，导数应用【名师点睛】此题第〔Ⅰ〕问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性确实定,通常要根据参数进展分类讨论,要注意分类讨论的原那么：互斥、无漏、最简；第〔Ⅱ〕问是求参数取值范围,由于这类问题常涉及导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或者极值破解.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
2021年高二下学期月测(一)考试数学(理)试题 含答案
2021年高二下学期月测（一）考试数学（理）试题 含答案一、 选择题 1.若，则=（ ）A ．B ．C ．D ． 2．函数有（ ）A ．极大值，极小值B ．极大值，极小值C ．极大值，无极小值D ．极小值，无极大值3．函数的单调递增区间是（ ）A ．B ．C ．D ． 4．在区间上的最大值是（ ）(A)－2 (B)0 (C)2 (D)45. 函数y ＝2x3－x2的极大值( )A ．0B ．－9C ．2716 D.27166.抛物线在点M 处的切线倾斜角是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7. 设f′(x)是函数f(x)的导数，y ＝f′(x)的图像如图所示，则y ＝f(x)的图像最有可能是( )B8. 已知函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，则a、b的值为( ) A．a＝－4，b＝11 B．a＝－4，b＝1或a＝－4，b＝11C．a＝－1，b＝5 D．以上都不正确二、填空题9. 计算定积分sinxdx＝10．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是11. 由曲线y=x2+2与y=3x,x=0,x=2所围成的平面图形的面积为12. 曲线y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线方程13.已知直线与抛物线相切，则14. 已知，当时，．三、解答题15．已知函数（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）求在区间上的最值．16．计算由曲线，直线x+y=3以及两坐标轴所围成的图形的面积S.17.已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x.(1)若f(x)在x∈[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)在x∈[1，a]上的最大值和最小值．18.已知函数f(x)=x-alnx(a∈R).(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程.(2)求函数f(x)的极值.19.已知函数f(x)=lnx-ax2-2x,(1)若函数f(x)在x=2处取得极值,求实数a的值.(2)若函数f(x)在定义域内单调递增,求实数a的取值范围.(3)当a=-时,关于x的方程f(x)=-x+b在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围.20．已知函数，设曲线在与轴交点处的切线为，为的导函数，满足．（1）求；（2）设，，求函数在上的最大值；（3）设，若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围．新兴一中xx 学年高二月考1 理科数学答案一、选择题 DCCCD BBA 二、填空题9. 2 10. 11．(2，＋∞) 12. x-y+2=013. 1/4 14.±2π／3 三、解答题 15．16．132312301011110(1)(3)()|(3)|323S x x x x x x x x =++-=++-=⎰⎰d d 17.解：(1)令f ′ (x )＝3x 2－2ax ＋3＞0，∴a ＜⎣⎢⎡⎦⎥⎤32(x ＋1x )min ＝3(当x ＝1时取最小值)．∵x ≥1，∴a ＜3，a ＝3时亦符合题意，∴a ≤3. (2)f ′(3)＝0，即27－6a ＋3＝0，∴a ＝5，f (x )＝x 3－5x 2＋3x ，f ′(x )＝3x 2－10x ＋3.令f ′(x )＝0，得x 1＝3，x 2＝13(舍去)．当1＜x ＜3时，f ′(x )＜0，当3＜x ＜5时，f ′(x )＞0， 即当x ＝3时，f (x )的极小值f (3)＝－9.又f (1)＝－1，f (5)＝15，∴f (x )在[1,5]上的最小值是f (3)＝－9，最大值是f (5)＝15.18.【解析】函数f(x)的定义域为(0,+∞),f ′(x)=1-.(1)当a=2时,f(x)=x-2lnx,f ′(x)=1-(x>0),所以f(1)=1,f ′(1)= -1, 所以y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0. (2)由f ′(x)=1-=,x>0可知:①当a ≤0时,f ′(x)>0,函数f (x)为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值; ②当a>0时,由f ′(x)=0,解得x=a;因为x ∈(0, a)时,f ′(x)<0,x ∈(a,+∞)时,f ′(x)>0,所以f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-alna,无极大值.综上:当a≤0时,函数f(x)无极值,当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-alna,无极大值.19.【解析】(1)由题意,得f′(x)=-(x>0),因为x=2时,函数f(x)取得极值,所以f′(2)=0,解得a=-,经检验,符合题意. (2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),依题意,f′(x)≥0在x>0时恒成立,即ax2+2x-1≤0在x>0时恒成立,则a≤=-1在x>0时恒成立,即a≤(x>0),当x=1时,-1取最小值-1,所以a的取值范围是(-∞,-1].(3)当a=-时,f(x)=-x+b,即x2-x+lnx-b=0.设g(x)=x2-x+lnx-b(x>0),则g′(x)=,当x变化时,g′(x),g(x)的变化情况如下表所以g(x)极小值=g(2)=ln2-b-2,g(x)极大值=g(1)=-b-,又g(4)=2ln2-b-2,因为方程g(x)=0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,则解得ln2-2<b≤-,所以实数b的取值范围是(ln2-2,-).20．解：（1）， ………………………………1分 ，函数的图像关于直线对称，则．……2分 直线与轴的交点为，，且， 即，且， 解得，． ………………………………………4分 则． ……………………………………5分 （2），222,1,()(1)1, 1.x x x g x x x x x x x x ⎧-≥⎪=-=-=⎨-<⎪⎩ …………………………………7分 其图像如图所示．当时，，根据图像得：（ⅰ）当时，最大值为； （ⅱ）当时，最大值为；（ⅲ）当时，最大值为． ……………………………10分 （3）方法一：， ，， 当时，，不等式恒成立等价于且恒成立， 由恒成立，得恒成立， 当时，，，， ………………………………………12分 又当时，由恒成立，得，因此，实数的取值范围是． ……………………………14分 方法二：（数形结合法）作出函数的图像，其图像为线段（如图）， 的图像过点时，或， 要使不等式对恒成立，必须， …………………………………12分又当函数有意义时，，当时，由恒成立，得，因此，实数的取值范围是． ……………………………14分方法三：， 的定义域是，要使恒有意义，必须恒成立，O x y 1211-233442-A B，，即或．………………①……………12分由得，即对恒成立，令，的对称轴为，则有或或解得．………………②综合①、②，实数的取值范围是．……………………………14分26603 67EB 柫38658 9702 霂32854 8056 聖c0E21860 5564 啤29282 7262 牢J21245 52FD 勽26687 683F 栿-。
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2021届高二下五月月考数学试卷班级:姓名:1. A.、单选题 已知复数z 满足(1 2i)z 4 3i ,则z 的共轲复数是 2.A. 3.B. z 的实部为 复数 zC. 1 2iD. 1 2iB. 有6名男医生、 A. 60 种 4. A. (1 x)7 42 5. 函数y A. 6.曲线 A. 2x 7. 函数 A. 1,1 8. 若函数A. 9. ,下列说法正确的是 i _W 2 C. D. z 在第一象限5名女医生，从中选出 B. 70 种 的展开式中x 2的系数是 B. 35 ln x 4.. ——的图象大致是xfr0 1 -x 2 f(x )2名男医生、 C. B.x 在点1,0处的切线方程为 B. 2x y 2 0 In x 的单调递减区间为B. 3x B. 用数学归纳法证明不等式 左边增加的项数是A. 10. A. 2k 若不等式 (,0) 0.1m 的极小值为 -121名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有D. 150 种75种 C. C. 2x y C. 1,-1,则函数 1C.一3 1n 2 1 D. 2xD. 0,f (x)的极大值为D. n n 是正整数，n n k 到n k 1变化时, B. 2k 2xlnx x 2B.( 1 ax 对 ,1]C. 2kD. 2k 1 [1, )恒成立，则实数 C. (0,) a 的取值范围是 D. [1,) 11 .汉代数学家赵爽在注解 《周髀算经》时给出的 赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝 如右下图所示的弦图中, 由四个全等的直角三角形和一个正方形构成. 颜色，则不同的涂色方案有 现有五种不同的颜色可供涂色, 要求相邻的区域不能用同一种 A. 180 C. 420 D. 480 X1 0 1 Pa b cB. 192 12.已知随机变量 X 的分布列如下表: 其中a, b, c 0.若X 的方差D1一对所有30.1都成立，则C.D. b二、填空题13.已知复数z=9i" (aC R)的实部为B贝U a=.|z|=.i14.从0、2中选一个数字.从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数.其中无重复的个数为15.函数f x xlnx的极小值为.2 116.已知函数f(x) ax xln x在［-,)上单倜递增，则实数a的取值氾围是. e, 一1117.在二项式x 1 的展开式中，系数最大的项是 ,系数最小的项的系数是.18.已知多项式(x 2)m(x 1)n a o ax a2x2L a m n x m n满足a0 4, a1 16,则m n, a o a1 a2 L a m n .19.已知函数f(x) In x m,若函数的极小值不小于0,则实数m的取值范围为. x三、解答题20.由数字0, 1, 2, 3, 4组成一个五位数^(1)若的各数位上数字不重复，求是偶数的概率；(2)若的各数位上数字可以重复，记随机变量X表示各数位上数字是0的个数，求X的分布列及数学期望21.有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上写上0, 1, 2,现从中任意抽取一张，将其上数字记作x,然后放回，再抽取一张，其上数字记作y,令x y.求：(1) 所取各值的分布列；(2)随机变量的数学期望与方差.* 22.在各项均为正数的数列a n中，数列的前n项和为S n ,满足S n 1 na n n N(1)求a i, 32, a3的值并猜想数列的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的猜想.，，、，a 1 ，23.已知函数f(x) lnx—— 1, a R. x(1)当a 2时，求函数f(x)在点2, f (2)处的切线方程;(2)若当x 0, f(x) 3,求a的取值范围.24.已知函数f x ln x ax.(1)讨论f x的单调性；-a -，、 1 …―(2)若f(x) a —恒成立，求a的取值范围.e2021届高二下五月月考数学试题答案解析、单选题1,已知复数z满足(1 2i)z 4 3i , 则z的共轲复数是A. 2 iB.C. 1 2iD. 1 2i2i z 口2 i, 12i 所以z2.在复平面内, 复数2—i ,下列说法正确的是B. D. z在第一象限【解析】Qz 1 3i 2z位于第四象限，z的实部为1 3iA、C、D错误;3 210---------- 52 2B正确,3 .有6名男医生、5名女医生, 从中选出2名男医生、名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有A. 60 种B. 70 种C. 75 种D. 150 种4. (1A. 42因二15x5=75，故应选x)7的展开式中xB.2 2x2的系数为C75.函数lnx4y 也工的图象大致是的系数是35C.C. 28D. 21故选D.B. D.【解析】 因为函数lnx 4 . ................. 一，,y ——为奇函数，排除 B, C;又函数ylnx 4—的零点为x1和1 ,故选:A.6.曲线 x 在点1,0处的切线方程为 A. 2x B . 2x y 2 0 C . 2x y 2 0 D. 2x y 2即2x 由已知,' 2 .................... y 3x 1,故切线的斜率为 y 2 0.故选：D. 7.函数y ln x 的单调递减区间为A. 1,1 B . 0,1C. x 218.若函数f (x) 3x m 的极小值为 A. 3 B . -1 【解析】f'(x)3x 23(x 1)(x 1) •. 1是极大值点，1 是极小值点，于是有 从而f( 1) 1 3 1 3,即极大值为 ............. - 1 9.用数学归纳法证明不等式 1 - 2 左边增加的项数是 A. 2k B. 2k 1 1时, k 时，不等式左边为:1,0, -1,则函数 C. 显然当f(1)3.不等式左边为：1x1 2,所以切线方程为 y2(x 1),D. 0,且定义域满足xf (x)的极大值为D.1 2nC. 2k 12k 1.故选:1 时，f'(x)n n 是正整数, D. 2kx 1时, f'(x) 0,1变化时,左边增加的项数为：2k12k2k.1k2k 1 11 2k 1 11 2k2 110 .若不等式2xlnx …x 2ax 对x [1,)恒成立，则实数a 的取值范围是A. ( ,0)B. ( ,1]C. (0, )D. [1,)【答案】B【解析】由2xlnx (x)2ax, x [1,),可知a, 2ln x x .2设h(x) 2ln x x,x [1,)，则h(x) — 1 0 ,所以函数h(x)在[1,)上单调递增, x所以h(x)min h(1) 1.所以a, h(x)min 1 .故a 的取值范围是(，1] .故选：B时给出的 赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中， 由 现有五种不同的颜色可供涂色， 要求相邻的区域不能用同一种颜【解析】相邻的区域不能用同一种颜色，则涂 5块区域至少需要 3种颜色.3若5块区域只用3种颜色涂色，则颜色的选法有 C 5 ,相对的两个直角三角形必同色，此时共有不同的涂色方案数为C 53A 3360 (种)4若5块区域只用4种颜色涂色，则颜色的选法有 C 5 ,相对的两个直角三角形必同色，余下两个直角三角形不同色，此时共有不同的涂色方案数为C 54C 2A 4 240 (种)若5块区域只用5种颜色涂色，则每块区域涂色均不同，此时共有不同的涂色方案数为 综上，共有不同的涂色方案数为 420 (种).故选：C.12.已知随机变量 X 的分布列如下表：【答案】C192C. 420D. 48011.汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》四个全等的直角三角形和一个正方形构成.5A 120 （种）又a b c 1,所以X 的方差D X22a 1 b 1 b21 b4 a1 b ,21 b因为a 0,1 b ，所以当且仅当a」b 时，D X 取最大值1 b , 2p1 12 又DX一对所有a 0,1 b 成立，所以1 b一,解得b 一,故选:D.333二、填空题13 .已知复数z=La_ (aC R)的实部为 曲,贝U a=.|z|=i1 ai (1 ai)( i)—［解析】- z=——=- ------ 母一〃二a T 的实部为 J3,，a二百，则即|百i l=J (出)2 ( 1)22.故答案为：73; 214 .从0、2中选一个数字.从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数.其中无重复的个数为【答案】30.【解析】若从0、2中选一个数字是0,则组成三位数有 C 2A 2 12个；若从0、2中选一个数字是2,则组成三位数有 C ；A ； 18个，故一共有30个. 故答案为：30.15 .函数f x xlnx 的极小值为 .-1 【答案】1其中a, b, c 0.若X 的方差D X「1「2A. b —B. b —3 31一对所有a0,1 b 都成立，则3「1u2 C. b —D. b —【解析】由X 的分布列可得X 的期望为E X a c ,e1 【解析】依题意，得f (x) lnx 1, x (0,).令f (x) 0,解得x -.e一， 1 ，，、- 1 ，，、… 所以当 x 0,—时，f (x) 0；当 x -, 时，f (x) 0. e e ~…，,1 1 1 所以当x —时，函数f(x)有极小值—.故答案为：—eee21f (x) ax xln x 在[一, e................ …… 一 . 1 1 单调递减，g(x)的最大值为g(1)=1, 2a 1,a —,故填a -.2 2. 一1117.在二项式 x 1 的展开式中，系数最大的项是 ,系数最小的项的系数是【答案】462x 5462【解析】x 1 11的展开式的通项为：T r 1 C 1r 1x 11r 1当r 6时，系数最大，项为462x 5;当r =5时，系数最小为 462. 故答案为：462x 5; 462., a 0 a 1 a 2 La m n .【答案】5 72【解析】; 多项式 x 2 m x 1 na 0 a [x a ?*2 L a m n x m n满足 a 0 4, a 1 16，令 x 0,得 2m1n a 0 4 ,则 m 2该多项式的一次项系数为 4C n 1n4C ： 11n1 1616.已知函数 )上单调递增，则实数a 的取值范围是In x 2ax In x 1 0,解得 In x 12aIn x 1 1 ------ 在一x e上恒成立，构造函数——,g xx1Inx 八,解得x=1, g x 在一，1上单倜递增在1,0 e18.已知多项式(x 2)m (x 1)n2a 0 a 1x a 2xa m n x m n满足 a 。