2021-2022学年河北省保定市唐县一中高一(下)月考数学试卷(6月份)(含答案解析)

2021-2022学年河北省保定市唐县一中高一（下）月考数学试卷（6月份）1. 已知复数z 满足(z −1)(1+2i)=−2+i ，则|z|=( ) A. √2B. 2√2C. 2D. 12. 为调整学校路段的车流量问题，对该学校路段1∼15时的车流量进行了统计，折线图如图，则下列结论错误的是( )A. 9时前车流量在逐渐上升B. 车流量的高峰期在9时左右C. 车流量的第二高峰期为12时D. 9时开始车流量逐渐下降 3. 在△ABC 中，若b =2，A =120∘，三角形的面积S =√3，则三角形外接圆的半径为( ) A. √3B. 2C. 2√3D. 44. 设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A. 若m//α，n//β，且α//β，则m//n B. 若α⊥β，m ⊥α，则m//β C. 若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ⊥n D. 若m//α，n ⊥β，且α⊥β，则m//n5. 如图，圆锥的轴截面ABC 为等边三角形，D 为弧AB ⏜的中点，E 为母线BC 的中点，则异面直线AC 和DE 所成角的余弦值为( )A. √33 B. √63 C. √22 D. √246. 在△ABC 中，∠B =900，BC =6，AB =4，点D 为边BC 上靠近点B 的三等分点，点E为边AC 的中点，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 7B. −7C. 2D. −27. 已知sinα+2sinβ=1，cosα+2cosβ=√3，则cos2(α−β)=( )A. 12B. −12C. −78D. 788. 已知三棱锥P−ABC中，PA=√23，AB=3，AC=4，AB⊥AC，PA⊥面ABC，则此三棱锥的外接球的内接正方体的体积为( )A. 16B. 28C. 64D. 969. 已知a⃗，b⃗ ，c⃗是三个平面向量，则下列叙述错误的是( )A. 若|a⃗|=|b⃗ |，则a⃗=±b⃗B. 若a⃗⋅b⃗ =a⃗⋅c⃗，且a⃗≠0，则b⃗ =c⃗C. 若a⃗//b⃗ ，b⃗ //c⃗，则a⃗//c⃗D. 若a⃗⊥b⃗ ，则|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |10. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的有( )A. 若A>B，则sinA>sinBB. 若acosA=bcosB，则△ABC一定为等腰三角形C. 若acosB−bcosA=c，则△ABC一定为直角三角形D. 若a 2+b 2>c 2，则△ABC 一定为锐角三角形11. 在对某中学高一年级学生身高(单位：cm)的调查中，随机抽取了男生23人、女生27人，23名男生的平均数和方差分别为170和10.84，27名女生的平均数和方差分别为160和28.84，则( )A. 总样本中女生的身高数据比男生的离散程度小B. 总样本的平均数大于164C. 总样本的方差大于45D. 总样本的标准差大于712. 已知函数f(x)=sin(2x +π3)，将f(x)图象上每一点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则( )A. g(x)的图象向左平移π24个单位后对应的函数是偶函数 B. g(x)在[π12,π3]上单调递减 C. 当x =7π24时，g(x)取最大值 D. 直线y =12与g(x)(0<x <3π2)图象的所有交点的横坐标之和为19π413. 如图所示为一个平面图形的直观图，则它的原图形四边形ABCD 的面积为______.14. 已知sin(π6+α)=13，则cos(2π3−2α)=______.15. 已知非零向量a⃗，b⃗ ，c⃗满足a⃗⋅b⃗ =a⃗⋅c⃗，a⃗与c⃗的夹角为2π，|c⃗|=2，则向量b⃗ 在向量a⃗上3的投影向量的模为______.16. 已知三棱柱ABC−A1B1C1，侧棱AA1⊥底面ABC，E，F分别是AB，AA1的中点，且AC= BC=2，AC⊥BC，AA1=4，过点E作一个截面与平面BFC1平行，则截面的周长为__________.17. 已知向量a⃗=(2,1)，b⃗ =(x,3)，c⃗=(y,2)，且a⃗//b⃗ ，a⃗⊥c⃗ .(1)求b⃗ 与c⃗；(2)若m⃗⃗⃗ =2a⃗−b⃗ ，n⃗=a⃗+c⃗，求向量m⃗⃗⃗ 与n⃗的夹角的大小．18. 已知函数f(x)=(√3sinωx−cosωx)⋅cosωx+1(其中ω>0)，若f(x)的一条对称轴离2.最近的对称中心的距离为π4(1)求y=f(x)解析式；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足(2b−a)cosC=ccosA，且f(B)恰是f(x)的最大值，试判断△ABC的形状．19. 某校100名学生期中考试化学成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].(1)求图中a的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生化学成绩的平均分及中位数；(3)若这100名学生化学成绩某些分数段的人数x与数学成绩相应分数段的人数y之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数．分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)x：y1：12：13：24：520. 西昌市邛泸旅游风景区在邛海举行搜救演练，如图，A，B是邛海水面上位于东西方向相距3+√3公里的两个观测点，现位于A点北偏东60∘、B点西北方向的D点有一艘渔船发出求救信号，位于B点南偏西75∘且与B点相距3√6公里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30公里/小时．求：(1)观测点B与D点处的渔船间的距离；(2)C点的救援船到达D点需要多长时间？21. 如图，四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，BF//CE，BF⊥BC，BF<CE，BF=2，AB=1，AD=√5(Ⅰ)求证：BC⊥AF(Ⅰ)求证：AF//平面DCE(Ⅰ)若二面角E−BC−A的大小为120∘，求直线DF与平面ABCD所成的角．22. 已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是菱形，∠BAD=60∘，又PD⊥平面ABCD，点E是棱AD的中点，F在棱PC上，(1)证明：平面BEF⊥平面PAD；(2)试探究F在棱PC何处时使得PA//平面BEF.答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵复数z满足(z−1)(1+2i)=−2+i，∴z=(−2+i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)+1=1+i，∴|z|=√12+12=√2.故选：A.根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．本题考查了复数代数形式的乘法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：由折线图知，9时前车流量在逐渐增加，选项A正确；车流量的高峰期在9时左右，选项B正确；12时是车流量的第二高峰期，选项C正确；12时左右车流量又有些回升，所以9时开始车流量逐渐下降错误，选项D错误．故选：D.根据题意由折线图，对应分析题目中的命题是否正确即可．本题考查了折线图的应用问题，也考查了数据分析和处理能力的数学核心素养．3.【答案】B【解析】【分析】由条件求得c=2=b，可得B的值，再由正弦定理求得三角形外接圆的半径R的值．本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．【解答】解：△ABC中，∵b=2，A=120∘，三角形的面积S=√3=12bc⋅sinA=c⋅√32，∴c=2=b，∴△ABC是等腰三角形，故B=12(180∘−A)=30∘，再由正弦定理可得bsinB =2R=2sin30∘=4，∴三角形外接圆的半径R=2，故选：B.4.【答案】C【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．在A中，m与n平行或异面；在B中，m//β或m⊂β；在C中，由线面垂直、面面垂直的性质定理得m⊥n；在D中，m与n相交、平行或异面．【解答】解：在A中，若m//α，n//β，且α//β，则m与n平行或异面，故A错误；在B中，若α⊥β，m⊥α，则m//β或m⊂β，故B错误；在C中，若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则由线面垂直、面面垂直的性质定理得m⊥n，故C正确；在D中，若m//α，n⊥β，且α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故D错误．故选：C.5.【答案】C【解析】【分析】本题考查异面直线所成角，圆锥的性质，属于基础题．底面圆的圆心为O，由OE//AC得异面直线AC和DE所成角等于直线OE与直线DE所成角．【解答】解：设底面圆的圆心为O，半径为R.连接EO，DO.因为O，E分别为BA，BC的中点，所以OE//AC，OE=R.因为D为弧AB中点，所以DO⊥AB，又平面ABC⊥平面ABD，所以DO⊥平面ABC.所以DO⊥OE，又OD=R，所以△ODE为等腰直角三角形，所以∠OED=45∘..因为OE//AC，所以异面直线AC和DE所成角为∠OED，故余弦值为√22故选：C.6.【答案】D【解析】解：如图建立平面直角坐标系：所以B(0,0)，A(0,4)，C(6,0)， 所以D(2,0)，E(3,2)，所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−4)⋅(3,2)=2×3+(−4)×2=−2， 故选：D.对Rt △ABC 建立平面直角坐标系，得出点的坐标，再计算AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可得出答案． 本题考查向量的数量积，解题中需要理清思路，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：将sinα+2sinβ=1两边平方，得sin 2α+4sinαsinβ+4sin 2β=1①； 将cosα+2cosβ=√3两边平方，得cos 2α+4cosαcosβ+4cos 2β=3②； ①+②得1+4cos(α−β)+4=4，所以cos(α−β)=−14. 所以cos2(α−β)=2cos 2(α−β)−1=2×(−14)2−1=−78. 故选：C.将条件中的两个等式两边平方，相加得cos(α−β)的值，再利用二倍角公式求cos2(α−β)的值． 本题三角恒等变换中的平方和关系、和差角公式、二倍角公式，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：∵三棱锥P −ABC 中，PA =√23，AB =3，AC =4，AB ⊥AC ，PA ⊥面ABC ， ∴以AB ，AC ，AP 为棱构造长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P −ABC 的外接球， ∴三棱锥P −ABC 的外接球的半径R =√23+9+162=2√3，设此三棱锥的外接球的内接正方体的半径为a ， 则R =√3a2=2√3，解得a =4，∴此三棱锥的外接球的内接正方体的体积V =a 3=43=64. 故选：C.以AB ，AC ，AP 为棱构造长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P −ABC 的外接球，三棱锥P −ABC 的外接球的半径R =2√3，设此三棱锥的外接球的内接正方体的半径为a ，则R =√3a2=2√3，解得a=4，由此能求出此三棱锥的外接球的内接正方体的体积．本题考查三棱锥的外接球的内接正方体的体积的求法，考查三棱锥及外接球、球的内接正方体等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查平面向量数量积的运算性质，涉及向量平行、向量垂直、向量模的运算性质，属于中档题．对A：举反例即可进行判断；对B：当a⃗与b⃗ ，a⃗与c⃗垂直时，满足条件，但结论不一定成立；对C：取b⃗ =0⃗，即可进行判断；对D：利用向量垂直性质，结合模的运算即可进行判断．【解答】解：对A：当a⃗=(1,0)，b⃗ =(0,1)时，满足|a⃗|=|b⃗ |，但a⃗≠±b⃗ ，故A错误；对B：当a⃗与b⃗ ，a⃗与c⃗垂直且a⃗≠0⃗时，满足a⃗⋅b⃗ =a⃗⋅c⃗=0，但结论不一定成立，故B错误；对C：取b⃗ =0⃗，则a⃗//b⃗ ，b⃗ //c⃗，但a⃗与c⃗不一定平行，故C错误；对D：当a⃗⊥b⃗ 时，即a⃗⋅b⃗ =0，则|a⃗+b⃗ |²=|a⃗|²+|b⃗ |²+2a⃗⋅b⃗ =|a⃗|²+|b⃗ |²，|a⃗−b⃗ |²=|a⃗|²+|b⃗ |²−2a⃗⋅b⃗ =|a⃗|²+|b⃗ |²，即a⃗⊥b⃗ 时，|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，故D正确；故选：ABC.10.【答案】AC【解析】解：选项A中，由A>B，可得a>b，根据正弦定理得sinA>sinB，即选项A正确；选项B中，结合正弦定理及acosA=bcosB，知sinAcosA=sinBcosB，所以sin2A=sin2B，所以2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=π2，所以△ABC为等腰或直角三角形，即选项B错误；选项C中，由余弦定理及acosB−bcosA=c，知a⋅a 2+c2−b22ac−b⋅b2+c2−a22bc=c，化简得a2=b2+c2，即选项C正确；选项D中，由余弦定理知，cosC=a 2+b2−c22ab>0，所以角C为锐角，但角A，B不确定，所以选项D错误．故选：AC.选项A中，结合“大角对大边”与正弦定理，可判断；选项B 中，利用正弦定理化边为角，再结合二倍角公式，可判断； 选项C 中，利用余弦定理化角为边，再结合勾股定理，可判断； 选项D 中，由余弦定理可得角C 为锐角，但角A ，B 不确定．本题主要考查三角形形状的判断，熟练掌握正弦定理，余弦定理，二倍角公式是解题的关键，考查转化思想，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．11.【答案】BC【解析】解：因为方差越小，数据的离散程度越小，所以总体样本中女生的身高数据比男生的离散程度大，A 错误； 由已知可得样本的平均数为23×170+27×16050=164.6，B 正确；设23名男生的身高分别为a 1，a 2，…，a 23，27名女生的身高分别为b 1，b 2…b 27， 则a 1+a 2+…+a 23=23×170，123[(170−a 1)2+…+(170−a 23)2]=10.84， b 1+b 2+…+b 27=27×160，127[(160−b 1)2+…+(160−b 27)2]=28.84，∴23×1702−2×170×23×170+(a 12+⋯+a 232)=23×10.84， ∴a 12+⋯+a 232=23×10.84+23×1702， 同理b 12+b 22+⋯+b 272=27×28.84+27×1602，故总体方差150[(164.6−a 1)2+⋯+(164.6−a 23)2+((164.6−b 1)2+…+(164.6−b 27)2]，=150[50×164.62−2×164.6×50×164.6+(a 12+⋯+a 232)+(b 12+b 22+⋯+b 272)]，=150×[50×164.62−2×164.6×50×164.6+23×10.84+23×1702+27×28.84+27×1602]， =45.4，C 正确；由C 可知标准差约为6.7，D 错误． 故选：BC.对于A ，利用方差的性质即可判断； 对于B ，利用平均数的计算公式即可判断； 对于C ，利用方差计算公式即可判断； 对于D ，利用标准差公式即可判断．本题主要考查了方差及平均数的计算，属于基础试题．12.【答案】AD【解析】解：由已知：函数f(x)=sin(2x +π3)图象上每一点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，可得g(x)=sin(4x +π3)，对于A ：函数g(x)向左平移π24个单位，得到g(x +π24)=sin(4x +π6+π3)=cos4x ，显然g(−x)=g(x)，故g(x)为偶函数，A 正确；对于B ：因为x ∈[π12,π3]，故2π3≤4x +π3≤5π3，显然y =sinx 在[2π3,5π3]上不单调，亦即函数g(x)=sin(4x +π3)在[π12,π3]上不单调，B 错误； 对于C ：当x =7π24时，g(7π24)=sin(7π6+26π)=sin(3π2)=−1是最小值，C 错误；对于D ：令g(x)=12，即sin(4x +π3)=12，(0<x <3π2)， 令4x +π3=2kπ+π6(k ∈Z)或4x +π3=2kπ+5π6(k ∈Z)， 解得x =kπ2−π24或x =kπ2+π8(k ∈Z)， 当k =0时，x =π8， 当k =1时，x =11π24或5π8， 当k =2时，x =23π24或9π8， 当k =3时，x =35π24， 故所有的交点的横标之和为：π8+11π24+5π8+23π24+9π8+35π24=19π4，故选项D 正确． 故选：AD.首先利用三角函数的平移变换求出函数的解析式，根据三角函数的性质可判断A ；求出 4x +π3整体的范围，即可判断B ；将x =7π24代入解析式中求值，即可判断C ；令g(x)=12，求出0<x <3π2内的所有的根，即可判断D.本题考查三角函数的据图求式问题，同时考查了三角函数的图象与性质间的联系，属于中档题．13.【答案】4【解析】解：根据题意，由直观图知，四边形A′B′C′D′是平行四边形，且边A′B′、A′D′分别在x′轴、y′轴上，∠B′A′D′=45∘，故四边形ABCD 是平行四边形，AB =A′B′=2，AD =2A′D′=2，∠BAD =90∘，则ABCD 是边长为2的正方形， 所以四边形ABCD 面积为4. 故答案为：4.根据题意，分析原图的性质，进而计算可得答案．本题考查斜二测画法的应用，涉及平面图形的直观图，属于基础题．14.【答案】−79【解析】 【分析】本题主要考查诱导公式和余弦的二倍角公式，属于中档题． 因为cos(π3−α)=sin(π6+α)=13，利用二倍角公式求得cos(2π3−2α)的值． 【解答】解：因为 cos(π3−α)=sin(π6+α)=13，∴cos(2π3−2α) =2cos 2(π3−α)−1=2×19−1=−79， 故答案为−79.15.【答案】1【解析】 【分析】本题考查向量的数量积，解题中需要理清思路，属于基础题． 由向量的数量积的可得向量b ⃗ 在向量a ⃗ 上的投影为a⃗ ⋅b ⃗ |a⃗ |=a⃗ ⋅c ⃗ |a⃗ |=|c ⃗ |cos <a ⃗ ，c ⃗ >，即可得出答案．【解答】解：向量b ⃗ 在向量a ⃗ 上的投影为a ⃗ ⋅b ⃗|a ⃗ |=a ⃗ ⋅c ⃗ |a ⃗ |=|c ⃗ |cos <a ⃗ ，c ⃗ >=2×cos 2π3=−1，所以向量b ⃗ 在向量a ⃗ 上的投影向量的模为1， 故答案为：1.16.【答案】√3+2√2+2√5【解析】 【分析】本题考查面面平行的判定定理等基础知识，考查直观想象、数学运算、逻辑推理等数学核心素养，是中档题．取AF 的中点G ，分别在CC 1，BC 上取点H ，M ，使HC 1=14CC 1，BM =14BC ，连接EG ，GH ，HM ，EM.推导出GH//平面BFC 1，MH//平面BFC 1，从而可得平面EGHM//平面BFC 1.依次求出四条边的长度，由此能求出所求的截面周长． 【解答】解：如图，取AF的中点G，分别在CC1，BC上取点H，M，使HC1=14CC1，BM=14BC，连接EG，GH，HM，EM.又F，G分别是AA1，AF的中点，∴FG=14AA1.又AA1//CC1，AA1=CC1，∴FG//HC1，FG=HC1，∴四边形FGHC1为平行四边形，∴GH//FC1，GH=FC1，GH⊄平面BFC1,FC1⊂平面BFC1,∴GH//平面BFC1.∵HC1=14CC1，BM=14BC，∴MH//BC1，MH=34BC1，MH⊄平面BFC1,BC1⊂平面BFC1,∴MH//平面BFC1.又MH∩GH=H，MH，GH⊂平面EGHM，∴平面EGHM//平面BFC1.又AA1⊥平面ABC，AC=BC=2，E，F分别是AB，AA1的中点，AC⊥BC，AA1=4，∴AB=2√2，AF=A1F=2，∴EG=12BF=12√AF2+AB2=√3，GH=FC1=√A1F2+A1C12=2√2，HM=34BC1=34√BB12+B1C12=32√5.在△BEM中，BM=14BC=12，BE=√2，∠EBM=45∘，∴EM2=BM2+BE2−2BM⋅BEcos45∘=14+2−2×12×√2×√22=54，∴EM=√52，∴平面EGHM的周长为EG+GH+HM+EM=√3+2√2+32√5+√52=√3+2√2+2√5，即所求的截面周长为√3+2√2+2√5.故答案为：√3+2√2+2√5.17.【答案】解：(1)由a⃗//b⃗ 得，2×3−1×x=0，所以x=6，即b⃗ =(6,3)，由a⃗⊥c⃗得，2×y+1×2=0，所以y=−1，即c⃗=(−1,2).(2)由(1)得m⃗⃗⃗ =2a⃗−b⃗ =2(2,1)−(6,3)=(−2,−1)，n⃗=a⃗+c⃗=(2,1)+(−1,2)=(1,3)，所以m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=(−2)×1+(−1)×3=−5，|m⃗⃗⃗ |=√(−2)2+(−1)2=√5，|n|⃗⃗⃗⃗⃗ =√12+32=√10，所以cos⟨m⃗⃗⃗ ,n⃗ ⟩=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗|m⃗⃗⃗ ||n⃗|=√5×√10=−√22，所以向量m⃗⃗⃗ ，n⃗的夹角为3π4.【解析】(1)利用向量共线的坐标运算，求出x，然后利用向量垂直，数量积为0，求解y，即可得到结果．(2)求出向量m⃗⃗⃗ 与n⃗，然后求解向量m⃗⃗⃗ 与n⃗的夹角即可．本题考查向量共线以及向量垂直条件的应用，向量的数量积的求法，夹角的求法，是中档题．18.【答案】解：(1)由于函数f(x)=√3sinωx⋅cosωx−cos2ωx+12=√32sin2ωx−12(2cos2ωx−1)=√32sin2ωx−122cos2ωx=sin(2ωx−π6)，∵f(x)的对称轴离最近的对称中心的距离为π4，∴T=π，∴2π2ω=π，故ω=1，∴f(x)=sin(2x−π6)；(2)由于(2b−a)cosC=ccosA，由正弦定理得(2sinB−sinA)cosC=sinC⋅cosA，∴2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)，∵sin(A+C)=sin(π−B)=sinB>0，2sinBcosC=sinB，∴sinB(2cosC−1)=0，∴cosC=12，∵0<C<π，∴C=π3；∴0<B<2π3，∴−π6<2B−π6<7π6，根据正弦函数的性质可知，f(B)是f(x)的最大值1，此时2B−π6=π2，即B=π3，∴A=π3，∴△ABC为等边三角形．【解析】(1)利用三角恒等变换化简函数，根据正弦型函数的性质求周期即可得解；(2)利用正弦定理及三角恒等变换可得C=π3，再由正弦型函数的性质及题意知f(B)=1求出B，即可判断三角形的形状．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理的应用，三角形形状的判定，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)依题意，10×(2a+0.02+0.03+0.04)=1，解得a=0.005，(2)这100名学生化学成绩的平均分为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05= 73(分)，化学成绩在区间[50,70)内的频率为0.45，在区间[50,80)内的频率为0.75，则化学成绩的中位数x0∈(70,80)，则有(x0−70)×0.03=0.05，解得x0≈71.67，所以这100名学生化学成绩的中位数为71.67.(3)由频率分布直方图知，化学成绩在[50,60),[60,70),[70,80),[80,90)的人数分别为：5人，40人，30人，20人，由数表知，数学成绩在[50,60),[60,70),[70,80),[80,90)的人数分别为：5人，20人，20人，25人，所以数学成绩在[50,90)之外的人数为：100−5−20−20−25=30(人).【解析】(1)利用给定的频率分布直方图的各小矩形面积和为1，计算作答．(2)利用频率分布直方图计算平均数、中位数的方法求解作答．(3)求出化学成绩在各分组区间内的人数，再按给定人数比的关系即可计算作答．本题考查了频率分布直方图，学生的数学运算能力，属于基础题．20.【答案】解：(1)在△ABD中，∠BAD=30∘，∠ABD=45∘，则∠ADB=105∘，∴sin∠ADB=sin105∘=sin(60∘+45∘)=sin60∘cos45∘+cos60∘sin45∘=√6+√24，由正弦定理BDsin∠BAD =ABsin∠ADB，∴BD=ABsin30∘sin105∘=√6(公理).(2)在△BCD中，BC=3√6，BD=√6，∠CBD=15∘+45∘=60∘，由余弦定理得CD=√BC2+BD2−2BC⋅BDcos60∘=√42，∴救援船所需时间为t=√4230(小时).【解析】(1)求出△ABD的三个内角，利用正弦定理可求出BD的长；(2)利用余弦定理求出CD，结合救援船行驶的速度可求得所需的时间．本题考查有关三角形知识的运算，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC，又∵BF⊥BC，AB，BF⊂平面ABF，AB∩BF=B，∴BC⊥平面ABF.∵AF⊂平面ABF，∴BC⊥AF.(2)∵BF//CE，BF⊄平面CDE，CE⊂平面CDE，∴BF//平面CDE.∵四边形ABCD是矩形，∴AB//CD，又AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AB//平面CDE，又AB，BF⊂平面ABF，AB∩BF=B，∴平面ABF//平面CDE，∵AF⊂平面ABF，∴AF//平面DCE.(3)如图过F作FN与AB的延长线垂直，N是垂足，连结DN.∵BC⊥AB，BC⊥BF，∴∠ABF就是二面角E−BC−A的平面角，∴∠ABF=120∘，∠FBN=60∘.∴BN=1BF=1，FN=√3，2∵AB=1，AD=√5，∠BAD=90∘，∴DN=√AD2+AN2=3.∵BC⊥平面ABF，BC⊂平面ABCD，∴平面ABF⊥平面ABCD，又平面ABF∩平面ABCD=AB，FN⊥AB，∴FN⊥平面ABCD，∴∠FDN是直线DF与平面ABCD所成的角，∴tan∠FDN=FNDN =√33，∴∠FDN=30∘.∴直线DF与平面ABCD所成的角为30∘.【解析】本题考查了线面垂直，线面平行的判定，线面角的计算，属于中档题．(1)由BC⊥BF，BC⊥AB得出BC⊥平面ABF，故BC⊥AF；(2)由AB//CD，BF//CE得平面ABF//平面CDE，于是AF//平面CDE；(3)过F作FN与AB的延长线垂直，N是垂足，连结DN.则可证明FN⊥平面ABCD，于是∠FDN为所求角，利用勾股定理求出FN，DN计算tan∠FDN即可得出∠FDN的大小．22.【答案】(1)证明：∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60∘，∴△ABD是等边三角形，∵E是AD的中点，∴BE⊥AD.∵PD⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，∴PD⊥BE.又AD∩PD=D，AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴BE⊥平面PAD，又BE⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面PAD.(2)解：连结AC交BE于M，连结FM.∵PA//平面BEF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面BEF=FM，∴PA//FM.∴PFFC=AMCMPFFC=AMMC,又△AME∽△CMB，∴AMCM=AEBC=12AMCM=AEBC=12,∴PFFC=12PFFC=12.∴F在棱PC靠近P的三等分点时，PA//平面BEF.【解析】本题考查了面面垂直的判定，线面平行的性质，属于中档题．(1)根据BE⊥AD，BE⊥PD可得BE⊥平面PAD，故而平面BEF⊥平面PAD；(2)连结AC交BE于M，连结FM，根据线面平行可得PA//FM，于是PFFC PFFC=AMMC=AEBC=12.。