信息论与编码第六章课后习题答案(曹雪虹)(word文档良心出品)
信息论课后习题答案
第六章 有噪信道编码6.1 R 为信息传输率，根据香农第二定理，当码长n->无穷大时，满足什么关系式，可使错误概率Pe->0。
答：Pe<exp{-nE(R)}->0，其中E(R)为可靠性函数，且在9<R<C 的范围为正。
信道容量C 是保证无差错传输时，信息传输率R 的权限值。
6.2 写出费诺不等式，其中哪一项表示是否判对的疑义度，log(k-1)又表示什么？答：H(X|Y)<=H2(Pe)+Pelog(k-1) ，H2(pe)是否判对的疑义度。
表示如果判决出错，错在k-1个符号中的一个，疑义度不会超过log(k-1)。
6.3 根据香农定理说明，（信息容量）是保证无差错传输时信息传输率R 的上限值，（平均错误概率）是信源可压缩信息的最低极限。
6.4 最大后验概率译码准则就是最小错误译码准则，对吗？错误。
()∑≠-==≠=k i k i k k e y x y xy x x y p )|(1)|()|(φφφ 这个公式可知最大后验概率与最小错误译码准则所得的最终结果是相等的。
但并非概念定义一致。
6.5 在信源等该分布时，则极大似然函数译码准则就是最小错误译码准则，对吗？ Proof: if ())|(|k k x y p x y p > m=1,2,……,MThen 信道等概率输入时，有),()(m k x q x q = 代入上式得)()|()()|(m m k k x q x y p x q x y p >So,it comes to )()(y x p y x p m k >所以说明全概率最大，对应最大联合概率译码准则。
1/2 1/6 1/36.6 离散无记忆信道DMC ，转移概率矩阵为 P= 1/3 1/2 1/61/6 1/3 1/2(1 )q(x1)=1/2 q(x2)=1/4 q(x3)=1/4. 求最佳判决译码及错误概率。
（2）若信源等概分布，求最佳判决译码及错误概率。
信息论与编码(第二版)曹雪虹(全面版本)问题详解
《信息论与编码（第二版）》曹雪虹答案第二章2.1一个马尔可夫信源有3个符号{}1,23,u u u ，转移概率为：()11|1/2p u u =，()21|1/2p u u =，()31|0p u u =，()12|1/3p u u =，()22|0p u u =，()32|2/3p u u =，()13|1/3p u u =，()23|2/3p u u =，()33|0p u u =，画出状态图并求出各符号稳态概率。
解：状态图如下状态转移矩阵为：1/21/201/302/31/32/30p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭设状态u 1，u 2，u 3稳定后的概率分别为W 1，W 2、W 3由1231WP W W W W =⎧⎨++=⎩得1231132231231112331223231W W W W W W W W W W W W ⎧++=⎪⎪⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪++=⎩计算可得1231025925625W W W ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ 2.2 由符号集{0，1}组成的二阶马尔可夫链，其转移概率为：(0|00)p =0.8，(0|11)p =0.2，(1|00)p =0.2，(1|11)p =0.8，(0|01)p =0.5，(0|10)p =0.5，(1|01)p =0.5，(1|10)p =0.5。
画出状态图，并计算各状态的稳态概率。
解：(0|00)(00|00)0.8p p == (0|01)(10|01)0.5p p ==(0|11)(10|11)0.2p p == (0|10)(00|10)0.5p p == (1|00)(01|00)0.2p p == (1|01)(11|01)0.5p p ==u 1u 2u 31/21/21/32/32/31/3(1|11)(11|11)0.8p p == (1|10)(01|10)0.5p p == 于是可以列出转移概率矩阵：0.80.200000.50.50.50.500000.20.8p ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭状态图为：000110110.80.20.50.50.50.50.20.8设各状态00，01，10，11的稳态分布概率为W 1,W 2,W 3,W 4 有411i i WP W W ==⎧⎪⎨=⎪⎩∑ 得 13113224324412340.80.50.20.50.50.20.50.81W W W W W W W W W W W W W W W W +=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪+=⎪+++=⎪⎩ 计算得到12345141717514W W W W ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩2.3 同时掷出两个正常的骰子，也就是各面呈现的概率都为1/6，求： (1) “3和5同时出现”这事件的自信息； (2) “两个1同时出现”这事件的自信息；(3) 两个点数的各种组合（无序）对的熵和平均信息量； (4) 两个点数之和（即2, 3, … , 12构成的子集）的熵； (5) 两个点数中至少有一个是1的自信息量。
信息论与编码习题参考答案
1.6为了使电视图象获得良好的清晰度和规定的对比度，需要用5×105个像素和10个不同的亮度电平，并设每秒要传送30帧图象，所有的像素是独立的，且所有亮度电平等概出现。
求传输此图象所需要的信息率（bit/s ）。
解：bit/s 104.98310661.130)/)(()/(R bit/frame10661.1322.3105)(H 105)(H bit/pels322.310log )(log )()(H 7665051010⨯=⨯⨯=⨯=∴⨯=⨯⨯=⨯⨯====∑=frame bit X H s frame r x X a p a p x i i i 所需信息速率为：每帧图像的熵是：每个像素的熵是：，由熵的极值性：由于亮度电平等概出现1.7设某彩电系统，除了满足对于黑白电视系统的上述要求外，还必须有30个不同的色彩度。
试证明传输这种彩电系统的信息率要比黑白系统的信息率大2.5倍左右。
证:.5.2,,5.25.2477.210log 300log )(H )(H pels/bit 300log )(log )()(H bit 3001030,10,,300130011倍左右比黑白电视系统高彩色电视系统信息率要图形所以传输相同的倍作用大信息量比黑白电视系统彩色电视系统每个像素每个像素的熵是：量化所以每个像素需要用个亮度每个色彩度需要求下在满足黑白电视系统要个不同色彩度增加∴≈====∴=⨯∑=x x b p b p x i i i1.8每帧电视图像可以认为是由3×105个像素组成，所以像素均是独立变化，且每像素又取128个不同的亮度电平，并设亮度电平是等概出现。
问每帧图像含有多少信息量？若现在有一个广播员，在约10000个汉字中选1000个字来口述这一电视图像，试问若要恰当地描述此图像，广播员在口述中至少需要多少汉字？ 解:个汉字最少需要数描述一帧图像需要汉字每个汉字所包含信息量每个汉字所出现概率每帧图象所含信息量55665510322.6/10322.61.0log 101.2)()()()(,log H(c):1.0100001000symble /bit 101.2128log 103)(103)(:⨯∴⨯=-⨯=≥≤-=∴==⨯=⨯⨯=⨯⨯=frame c H X H n c nH X H n p p x H X H1.9给定一个概率分布),...,,(21n p p p 和一个整数m ，nm ≤≤0。
信息论与编码答案
《信息论与编码》-曹雪虹-课后习题答案第二章2.1一个马尔可夫信源有3个符号{}1,23,u u u ，转移概率为：()11|1/2p u u =，()21|1/2p u u =，()31|0p u u =，()12|1/3p u u =，()22|0p u u =，()32|2/3p u u =，()13|1/3p u u =，()23|2/3p u u =，()33|0p u u =，画出状态图并求出各符号稳态概率。
解：状态图如下状态转移矩阵为：1/21/201/302/31/32/30p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭设状态u 1，u 2，u 3稳定后的概率分别为W 1，W 2、W 3由1231WP W W W W =⎧⎨++=⎩得1231132231231112331223231W W W W W W W W W W W W ⎧++=⎪⎪⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪++=⎩计算可得1231025925625W W W ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩2.2 由符号集{0，1}组成的二阶马尔可夫链，其转移概率为：(0|00)p =0.8，(0|11)p =0.2，(1|00)p =0.2，(1|11)p =0.8，(0|01)p =0.5，(0|10)p =0.5，(1|01)p =0.5，(1|10)p =0.5。
画出状态图，并计算各状态的稳态概率。
解：(0|00)(00|00)0.8p p == (0|01)(10|01)0.5p p ==(0|11)(10|11)0.2p p == (0|10)(00|10)0.5p p == (1|00)(01|00)0.2p p == (1|01)(11|01)0.5p p == (1|11)(11|11)0.8p p == (1|10)(01|10)0.5p p ==于是可以列出转移概率矩阵：0.80.200000.50.50.50.500000.20.8p ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭状态图为：设各状态00，01，10，11的稳态分布概率为W 1,W 2,W 3,W 4 有411i i WP W W ==⎧⎪⎨=⎪⎩∑ 得 13113224324412340.80.50.20.50.50.20.50.81W W W W W W W W W W W W W W W W +=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪+=⎪+++=⎪⎩ 计算得到12345141717514W W W W ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩2.3 同时掷出两个正常的骰子，也就是各面呈现的概率都为1/6，求：(1) “3和5同时出现”这事件的自信息； (2) “两个1同时出现”这事件的自信息；(3) 两个点数的各种组合（无序）对的熵和平均信息量； (4) 两个点数之和（即2, 3, … , 12构成的子集）的熵； (5) 两个点数中至少有一个是1的自信息量。
《信息论与编码》曹雪虹 张宗橙清华大学出版社部分课后答案
案 网
11111110
0
后
第 一 次 分 组
第 二 次 分 组 0
第 三 次 分 组
第 四 次 分 组
第 五 次 分 组
第 六 次 分 组
第 七 次 分 组
二元码
答
0
课
10
0
110
0
1110
1
1
0
11110
1
1
0
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1
1
0
1111110
1
11111110
累加概率为 Pi=
课后答案网
H(X)=
=0.198bit/ms=198bit/s 3-3 3-5 (1) 与上题相同
H(U)=
1 2
w.
111 1 1 1 1 1 4 1 8
课
(2) 信源熵为
2 4 8 16 32 64 128 128 1 32 1 64 1 128 1 128
ww
Log( 2) +
Log( 4) +
后
1
平均信息传递速率为
（2）信源的信息量为
平均码长为：
码字的平均信息传输率为 R＝ bit/码
（3）编码效率
R＝ 3-10 （1）H(X)＝
（2） 信源符号 xi
w.
符号概率 pi
x1 x2 x3
0.37 0.25 0.10
0.18 0.07 0.03
ww
x4
x5 x6
kh da w. co m
100％
课
后
答
案 网
编码过程
课
1
后
答
1
⎟ = 4.17 ⎝ 2⎠ ⎟ = 2.585 ⎝ 6⎠
信息论与编码(第二版)曹雪虹答案
0<p<2/3时
2/3<p<1时
所以当p=2/3时 存在极大值,且 符号
所以
2-33
(1)
解方程组:
得p(0)=p(1)=p(2)=
(2)
(3)
当p=0或p=1时信源熵为0
练习题：有一离散无记忆信源，其输出为 ，相应的概率为 ，设计两个独立的实验去观察它，其结果分别为 ，已知条件概率:
(3)I(X;Y), I(X;Z), I(Y;Z), I(X;Y/Z), I(Y;Z/X)和I(X;Z/Y)。
解：
(1)
Z = XY的概率分布如下：
(2)
(3)
2-14
(1)
P(ij)= P(i/j)=
(2)方法1: =
方法2:
2-15
P(j/i)=
2.16黑白传真机的消息元只有黑色和白色两种，即X={黑，白}，一般气象图上，黑色的出现概率p(黑)＝0.3，白色出现的概率p(白)＝0.7。
X
0
1
0
1/4
0
1
1/4
0
2
0
1/2
P(y1=0)=p(y1=1)=1/2 p(y2=1)=p(y2=1)=1/2
=0.5bit/符号
符号>
所以第二个实验比第一个实验好
P(y1y2x)
00
01
10
11
0
1/4
0
0
0
1
0
0
1/4
0
2
0
1/4
0
1/4
（2）因为Y1和Y2相互独立，所以
P(y1y2|x)
00
（1）如果仅对颜色感兴趣，则计算平均不确定度
信息论与编码 课后习题答案
信息论与编码课后习题答案信息论与编码课后习题答案[信息论与编码]课后习题答案1、在认识论层次上研究信息的时候，必须同时考虑到形式、含义和效用三个方面的因素。
2、1948年，美国数学家香农发表了题为“通信的数学理论”的长篇论文，从而创立了信息论。
3、按照信息的性质，可以把信息分为语法信息、语义信息和语用信息。
4、按照信息的地位，可以把信息分成客观信息和主观信息。
5、人们研究信息论的目的就是为了高效率、可信、安全地互换和利用各种各样的信息。
6、信息的是建立信息论的基础。
8、就是香农信息论最基本最重要的概念。
9、事物的不确定度是用时间统计发生概率的对数来描述的。
10、单符号线性信源通常用随机变量叙述，而多符号线性信源通常用随机矢量叙述。
11、一个随机事件发生某一结果后所带来的信息量称为自信息量，定义为其发生概率对数的负值。
12、自信息量的单位通常存有比特、奈特和哈特。
13、必然事件的自信息是。
14、不可能将事件的自信息量就是15、两个相互独立的随机变量的联合自信息量等于两个自信息量之和。
16、数据处理定理：当消息经过多级处置后，随着处理器数目的激增，输出消息与输入消息之间的平均值互信息量趋向变大。
17、离散平稳无记忆信源x的n次扩展信源的熵等于离散信源x的熵的。
limh(xn/x1x2xn1)h n18、线性稳定存有记忆信源的音速熵，。
19、对于n元m阶马尔可夫信源，其状态空间共有m个不同的状态。
20、一维已连续随即变量x在[a，b]。
1log22ep21、平均功率为p的高斯分布的已连续信源，其信源熵，hc（x）=2。
22、对于限峰值功率的n维连续信源，当概率密度均匀分布时连续信源熵具有最大值。
23、对于减半平均功率的一维已连续信源，当概率密度24、对于均值为0，平均功率受限的连续信源，信源的冗余度决定于平均功率的限定值p和信源的熵功率p25、若一线性并无记忆信源的信源熵h（x）等同于2.5，对信源展开相切的并无杂讯二进制编码，则编码长度至少为。
信息论与编码-曹雪虹-课后习题答案
《信息论与编码》-曹雪虹-课后习题答案 第二章2.1一个马尔可夫信源有3个符号{}1,23,u u u ，转移概率为：()11|1/2p u u =，()21|1/2p uu =，()31|0p u u =，()12|1/3p u u =，()22|0p u u =，()32|2/3p u u =，()13|1/3p u u =，()23|2/3p u u =，()33|0p u u =，画出状态图并求出各符号稳态概率。
解：状态图如下状态转移矩阵为：1/21/201/302/31/32/30p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭设状态u 1，u 2，u 3稳定后的概率分别为W 1，W 2、W 3由1231WP W W W W =⎧⎨++=⎩得1231132231231112331223231W W W W W W W W W W W W ⎧++=⎪⎪⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪++=⎩计算可得1231025925625W W W ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩2.2 由符号集{0，1}组成的二阶马尔可夫链，其转移概率为：(0|00)p =0.8，(0|11)p =0.2，(1|00)p =0.2，(1|11)p =0.8，(0|01)p =0.5，(0|10)p =0.5，(1|01)p =0.5，(1|10)p =0.5。
画出状态图，并计算各状态的稳态概率。
解：(0|00)(00|00)0.8p p == (0|01)(10|01)0.5p p ==(0|11)(10|11)0.2p p == (0|10)(00|10)0.5p p == (1|00)(01|00)0.2p p == (1|01)(11|01)0.5p p == (1|11)(11|11)0.8p p == (1|10)(01|10)0.5p p ==于是可以列出转移概率矩阵：0.80.200000.50.50.50.500000.20.8p ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭状态图为：设各状态00，01，10，11的稳态分布概率为W 1,W 2,W 3,W 4 有411i i WP W W ==⎧⎪⎨=⎪⎩∑ 得 13113224324412340.80.50.20.50.50.20.50.81W W W W W W W W W W W W W W W W +=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪+=⎪+++=⎪⎩ 计算得到12345141717514W W W W ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩2.3 同时掷出两个正常的骰子，也就是各面呈现的概率都为1/6，求：(1) “3和5同时出现”这事件的自信息； (2) “两个1同时出现”这事件的自信息； (3) 两个点数的各种组合（无序）对的熵和平均信息量；(4) 两个点数之和（即2, 3, … , 12构成的子集）的熵；(5) 两个点数中至少有一个是1的自信息量。
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第六章：信道编码(本章复习大纲我重新修改了一下，尤其要关注红色内容)1、基本概念：差错符号、差错比特；差错图样：随机差错、突发差错；纠错码分类：检错和纠错码、分组码和卷积码、线性码与非线性码、纠随机差错码和纠突发差错码；矢量空间、码空间及其对偶空间； 有扰离散信道的编码定理：-()NE R e P e （掌握信道编码定理的内容及减小差错概率的方法）；线形分组码的扩展与缩短（掌握奇偶校验码及缩短码的校验矩阵、生成矩阵与原线形分组码的关系）。
2、线性分组码(封闭性)：生成矩阵及校验矩阵、系统形式的G 和H 、伴随式与标准阵列译码表、码距与纠错能力、完备码(汉明码)、循环码的生成多项式及校验多项式、系统形式的循环码。
作业：6-1、6-3、6-4、6-5和6-6选一、6-7 6-8和6-9选一 6-1 二元域上4维4重失量空间的元素个数总共有24=16个，它们分别是(0,0,0,0),(0,0,0,1)…(1,1,1,1)，它的一个自然基底是(0,0,0,1),(0,0,1,0),(0,1,0,0)和(1,0,0,0)；其中一个二维子空间含有的元素个数为22个，选取其中一个自然基底为(0,0,0,1)和(0,0,1,0)，则其二维子空间中所包含的全部矢量为(0,0,0,0,),(0,0,0,1),(0,0,1,0)和(0,0,1,1)(注选择不唯一)；上述子空间对应的对偶子空间可以有三种不同的选择：(0,0,0,0) ,(0,1,0,0),(1,0,0,0)，(1,1,0,0)或(0,0,0,0) ,(0,1,0,0)或(0,0,0,0) (1,0,0,0)。
(注意本题中所包含的关于矢量空间的一些基本概念)6-3 由题设可以写出该系统(8,4)码的线形方程组如下：736251403320231012100321v u v u v u v u v u u u v u u u v u u u v u u u=⎧⎪=⎪⎪=⎪=⎪⎨=++⎪⎪=++⎪=++⎪⎪=++⎩(注：系统码高四位与信息位保持一致，u i 为信息位) 把上述方程组写成矩阵形式，可以表示为 V =U G ，其中V 为码字构成的矢量，即V =(v 7,v 6,v 5,v 4,v 3,v 2,v 1,v 0)，U 为信息位构成的矢量，即U =( u 3,u 2,u 1,u 0)，观察方程组可得系统生成矩阵为：[]44*41000110101001011G I |P 0010011100011110⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦由系统生成矩阵和校验矩阵的关系可得：4*441101100010110100H P |I 0111001011100001T ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦由校验矩阵可以看出，矩阵H 的任意三列都是线性无关的(任意三列之和不为0)，但存在四列线性相关的情况(如第1、5、6、8列，这四列之和为0)，即校验矩阵H 中最小的线性相关的列数为4，从而得该线性分组码的最小码距为4。
(注意：书上定理6.3的结论是错误的，正确的结论是线性分组码的最小码距为校验矩阵中最小的线性相关的列数)。
该编码器的硬件逻辑连接图略(用WORD 画图比较麻烦，希望同学们自己把硬件电路图画一下，主要考查数字电路一些知识点，其他画硬件逻辑电路图题目也要自己画)。
6-4 在例6-4中，该(7,4)汉明码对应的校验矩阵为：00101111110100H 0101011011101010011011101001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−−−−−−−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦转化为系统形式(不唯一)由(7,4)码进行第一次缩减可得(6,3)码，该(6,3)校验矩阵为(校验矩阵H 删除第一列)：1110100H 111010101001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦；对缩减后的(6,3)码再进行一次缩减可得(5,2)码，(5,2)码的校验矩阵(H 1删除第一列)：210100H 1101001001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦(系统形式)，其系统形式的生成矩阵为：210110G 01011⎡⎤=⎢⎥⎣⎦。
6-6(1)'00111011001101G 0100111G 010011110011100011110⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−−−−−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦第一列和第三列交换(系统形式的生成矩阵);(2) 由系统形式的生成矩阵和校验矩阵的关系可得，校验矩阵为10110001110100H 01100101100001⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦(系统形式)； (3) 由标准阵列译码表的构造可知，该码表应该有2(n -k )=16行(伴随式的个数)和2k =8列(发送码字的个数)，由C=mG 可以得出发送的码字为(0,0,0,0,0,0,0)、(0,0,1,1,1,1,0)、(0,1,0,0,1,1,1)、(0,1,1,1,0,0,1)、(1,0,0,1,1,0,1)、(1,0,1,0,0,1,1)、(1,1,0, 1,0,1,0)和(1,1,1,0,1,0,0)。
该(7,3)码的伴随式为(0,0,0,0)、(0,0,0,1)、(0,0,1,0)…(1,1,1,1)(16个)。
由伴随式和差错图案的对应关系S=EH T可得：当差错图案为E0=(0,0,0,0,0,0,0)(全零)时，伴随式为S0=(0,0,0,0)；当差错图案中有一位发生错误时(共有17c=种可能)，差错图案与伴随式的对应关系n为：E1=(0,0,0,0,0,0,1)→S1=(0,0,0,1)E2=(0,0,0,0,0,1,0)→S2=(0,0,1,0)E3=(0,0,0,0,1,0,0)→S3=(0,1,0,0)E4=(0,0,0,1,0,0,0)→S4=(1,0,0,0)E5=(0,0,1,0,0,0,0)→S5=(1,1,1,0)E6=(0,1,0,0,0,0,0)→S6=(0,1,1,1)E7=(1,0,0,0,0,0,0)→S7=(1,1,0,1);当差错图案中有两位发生错误时(共有221c=种可能，只需列出其中n的16-8=8种可能即可)，这时差错图案与伴随式(必须与已求出的伴随式不同)的对应关系为：E8=(0,0,0,0,0,1,1)→S8=(0,0,1,1) E9=(0,0,0,0,1,1,0)→S9=(0,1,1,0)E10=(0,0,0,1,1,0,0)→S10=(1,1,0,0)E11=(0,1,1,0,0,0,0)→S11=(1,0,0,1)E12=(1,1,0,0,0,0,0)→S12=(1,0,1,0)E13=(1,0,0,1,0,0,0)→S13=(0,1,0,1)E14=(1,0,1,0,0,0,0)→S14=(1,0,1,1)E15=(1,0,0,0,0,1,0)→S15=(1,1,1,1)按照标准阵列译码表的构造，列出该(7,3)码的结构为：表格中的元素(第一列除外)为所有可能接收到的码序列，共有2n =128种可能，其中接收码序列i j R E C =+(表格空白地方需同学们自己计算)。
表格第一行为发送码字，第一列和第二列为伴随式及其最小汉明距离对应的差错图案。
表中每一行称为一个陪集，陪集头为对应的差错图案；每一列为一个子集，子集首为对应的发送码字。
(4) 由校验矩阵10110001110100H 01100101100001⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦可以看出该校验矩阵的任意3列线性无关，存在4列(如第1、4、5、7)线性相关，即矩阵H 的最小的线性相关的列数为4，故最小码距d min 为4。
(5) 由系统形式的生成矩阵'1001101G 01001110011110⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦和C=mG ’可得，当信息序列m=(101)时，对应的码字为C=(1010011)，这时CH T =(0000)，故码字与校验矩阵H 正交。
(标准阵列译码表是重点，请务必掌握这种题型！) 6-7 (1)设计系统(15,11)汉明码：对于(15,11)汉明码，其校验矩阵H 为4行15列矩阵，即H 每一列有4个元素，在二元域内，4个元素共有24=16种组合，除去全0(即0000)组合外，所有不为零组合共有15种可能。
所以校验矩阵每一列可全部排列4个元素中所有不为零组合，所以校验矩阵为：00000011111111000111100001111H 011001100110011101010101010101⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，通过列置换转换为系统形式可得'000011111111000011100011110100H 101101100110010110110101010001⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，再由线性分组码系统形式的生成矩阵[]*G I |P k k n k -=和校验矩阵T*(-)H P |I k n k n k -⎡⎤=⎣⎦的关系，可得该汉明码的系统生成矩阵为：100000000000011010000000000101001000000000110000100000000111000010000001001G 000001000001010000000100001011000000010001100000000001001101000000000101110000000000011111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎢⎣⎦⎥⎥⎥(2)设计(15,11)循环汉明码由题设知(15,11)循环码的生成多项式为: g(x)=x4+x+1(a) 将信息多项式m(x)乘上x n-k(这里n=15, k=11), 不妨选取m=(10000000000), 即m(x)= x10，这时m(x)x n-k=x14；(b) 将m(x)x n-k除以g(x)得余式r(x)：r(x)=x3+1；(c) 信息序列m=(10000000000)对应的码多项式为：C(x)= m(x)x n-k+r(x)= x14+x3+1，对应码矢量为(100000000001001)。
按照同样的方法，可以求出由信息位组成的10种其他自然基底及它们对应的码字，从而得到该循环码的11个线性无关的基底。
(这样选择信息位有什么好处？)信息位和基底的对应关系如下：信息位系统码字(10000000000)→(100000000001001)(010********)→(010000000001101)(00100000000)→(001000000001111)(00010000000)→(000100000001110)(00001000000)→(000010000000111)(00000100000)→(000001000001010)(00000010000)→(000000100000101)(00000001000)→(000000010001011)(00000000100)→(000000001001100)(00000000010)→(000000000100110)(00000000001)→(000000000010011)把上述11个码字(线性无关的)作为基底构成循环码的生成矩阵(系统的)，即：'1100111101111111111010111G 110101010111011111001011010011⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(未填元素为0)，由生成矩阵G ’即可生成系统形式的循环汉明码，可以验证由G ’生成的汉明码既是系统的，码字又具备循环特性；而由G 生成的汉明码尽管也是系统的，但码字不具备循环特性。