《线性代数》相似矩阵

(1)n1(a11 a22 ann )
a11 a12
a1n
又 E - A a21 a22
an1 an2
a2n
ann
取主对 角线的 n-1个元
展开式中 的n及n-1次只能在主对
角线上各元乘积中出现。其余各项
考虑第n个元怎么取？
至多包含n-2个主对角线元(关于
的次数至多是n-2)。
E A n (a11 a22 ann ) n1 (1)n A
E-A n (1 2 n ) n1 (1)n 12 n
推论：设A为n阶方阵，则|A|=0的充要条件是数 0是A的特征值。
由定理1的结论(2) 12 n A .
定义：n阶方阵A=(aij)的主对角线上元之和称为 A的迹，记作tr(A)=a11+a22+…+ann.
组合仍是属于这个特征值的特征向量．
３. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的, 一个特征值具有的特征向量不唯一.
4. 一个特征向量不可能属于不同的特征值.
假设同时是A的属于特征值1,2(1 2 )的 特征向量,即有 0, A 1 , A 2
1 2 1 2 0,
由于1 2 0, 则 0, 与 0矛盾 .
式,当各i不相等时,该行列式不等于0,从而该矩阵
可逆.于是有 x1 p1, x2 p2 ,, xm pm 0,0,,0,
即 x j pj 0 j 1,2,,m. 但 pj 0, 故 x j 0 j 1,2,,m.
所以向量组 p1, p2 ,, pm 线性无关.
注: １. 属于不同特征值的特征向量是线性无关的． ２. 属于同一特征值的特征向量的非零线性
定理3 设1,2,,m是方阵A的m个特征值, p1, p2, , pm依次是与之对应的特征向量.如果1,2,,m
各不相等,则 p1, p2,, pm 线性无关.
证明 设有常数 x1, x2 ,, xm 使 x1 p1 x2 p2 xm pm 0.
则 Ax1 p1 x2 p2 xm pm 0, 即
5.1方阵的特征值与特征向量 5.2 相似矩阵 5.3 二次型及标准型 5.4正定二次型的判断
第五章 相似矩阵
第一节 方阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的概念
定义1 设A是n阶矩阵,如果数和n维非零列向量x
使关系式
Ax x 成 立,那 末, 这样的数称为方阵A的特征值, 非 零 向 量x称为A的对应于特征值的特征向量.
3. 对于特征值 i , 求齐次方程组 i E Ax 0
的非零解 , 就是对应于 i的特征向量 .
例1 求A 3 1的特征值和特征向量. 1 3
解 A的特征多项式为
3
1
1
3
( 3)2 1
8 6 2 (4 )(2 )
所以A的特征值为1 2, 2 4.
当 2时, 对应的特征向量应满足 1
定理2
设 是矩阵A的一个特征值，对应的特 征向量为 x ，且 f (x) 是一个关于x 的 多项式,则 f () 是 f ( A) 的一个特征值，
对应的特征向量还是 x .
例4 设三阶方阵A的特征值为1,－2，3，求行列式 |A2＋A－E|.
解： 由定理2知 A2＋A－E的全部特征值为1，1，11. 又由定理1知： |A2＋A－E|＝1×1×11＝11.
称以为未知数的一元 n次方程 E A 0
为A的特征方程 .
记 f E A ,它是的n次多项式, 称其
为方阵A的 特征多项式 .
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求矩阵特征值与特征向量的步骤：
1. 计算A的特征多项式 f () | E A|; 2. 求特征方程| E A| 0的全部根1, 2 ,, n,
就是A的全部特征值;
得基础解系
1 0 0
0
0
0
0
p1 0,
1
p 所以k (k 0)是对应于 2的全部特征向量.
1
1
当 1时,解方程(E A)x 0.由
2
3
~ 2 1 0
EA 4 2 0
1 0 1 0 1 2,
1 0 1 0 0 0
得基础解系
1 p2 2, 1
p 所以k (k 0)是对应于 1的全部特征向量.
定理4 矩阵A的m个互不相同的特征值所对应的 m组各自线性无关的特征向量并在一起仍 是线性无关的。
2
1
3
2
1
3
x1 x2
00,
即
x1 x2 0,
x1
x2
0.
解得 x1 x2 ,
所以对应的特征向量为p1
k 1 (k 1
0).
当 4时,由 2
4
1
3
4
1
3
x1 x2
0 0
,即11
11
x1 x2
0 0
,
解得x1 x2 ,所以对应的特征向量为
p2
k
1(k 1
0).
例２
求矩阵A
1 x1 p1 2 x2 p2 m xm pm 0,
类推之，有 1k x1 p1 k2 x2 p2 km xm pm 0.
k 1,2,,m 1
把上列各式合写成矩阵形式，得
1 1 1m1
x1
p1
,
x2
p2
,,
xm
pm
1 1
2
m
m2 1
mm1
0,0,,0
上式等号左端第二个矩阵的行列式为范德蒙行列
1 4
1 3
00 的特征值和特征向量.
1 0 2
解
A的特征多项式为
1 1 0
E A 4 3 0 (2 )(1)2,
1 0 2
所以A的特征值为1 2, 2 3 1.
当 2时,解方程(2E A)x 0.由 1
~ 3 1 0
2E A 4 1 0
1 0 0 0 1 0,
2
2
3
定理1 设 n阶方阵 A (aij ) 的特征值为 1, 2 ,, n ,则有
(1) 1 2 n a11 a22 ann; (2) 12 n A .
R, f ( ) | A E | (1 )(2 )(n )
f (0) | A | 12 n 考察f ( )中n1的系数知: (1)n1(1 2 n )
说明 1. 特征向量x 0, 特征值问题是对方阵而言的.
2. n阶方阵A的特征值,就是使齐次线性方程组
E Ax 0 有非零解的 值 , 即满足方程E A
0的都是矩阵A的特征值.
3. E A A E 0
a11 a12
a21
a22
a1n
a2n
0
an1
an2 ann