2008下试卷(北京交通大学期末考试题)数值计算方法

北 京 交 通 大 学

2008―2009学年第一学期期末考试试题（B 卷）

课程名称： 计算方法 出题教师： 韩 臻

专业: 软件 班级: 07级 姓名:_____________ 学号:______________

一、 填空和简答(5个小题，每小题8分，共40分)

1． 在计算 2

2y x r +=

时，如果x 和y 有误差且它们的绝对误差限都

是ε，则近似值r 的绝对误差限是 。 2． 方程)cos(x x =在区间)3

,

0(π

上有唯一实根，取初值)3

,

0(0π

∈x ，

请问迭代过程),2,1,0(,)c o s (1 ==+k x

x k k 是否收敛？

答 ； 为什么？ 。 3． 在实际使用高斯消元法求解线性代数方程组时，通常会采用列主元消元法。为什么？ _ 。 4． 用最小二乘法求一条直线bx a y +=，使它与下列数据相拟合：

拟合直线为 。

5． 试给出求积分

⎰

1

)(dx x f 近似值的一个代数精度为2的数值积分

公式： 。

二、 Matlab 部分 (1个小题，每小题20分，共20分)

1. 设方程 0)cos(=-x x ，用牛顿迭代法求该方程在区间)2

,

0(π

上的根，

要求误差不超过6

10- ，输出根及迭代次数，最后画出区间)2

,

0(π

上函数

)cos()(x x x f -=的曲线并标注近似根的位置。试给出整个过程相应的Matlab 命令。

三、 综合题(2个小题，每题20分,共40分)

1． 对于给定的插值条件：

以及边界条件：2)5.0(")1.0("==S S 。使求出满足上述条件的三次样条插值多项式在25.0=x 上的值)25.0(S 。

2． 已知函数)(x f 在下列离散结点上的值（见下表所列），请选择一种合适的数值积分方法求出其积分

dx x f ⎰

6

.10

)(的近似值，要求误差小于

3

10

-。

参考答案：

一、

1、ε2，或ε2，（给出推导公式但没估计最后值得6分；给出其它ε2>的值得

4分）

2、收敛（得4分）。 因为迭代函数

1

2

3|sin ||)('|13/0cos )(<≤

==x x g x x g ，即）上的绝对值严格小于

，的一阶导数在（

π （得4分）

3、 避免约化主元0)

(=k kk a 或其绝对值过小产生的数值不稳定而丢失精度（若指出计算量增加不多，加2分） 4、 1.06667x 0.15833315

16

120

19+=+=

x y 。（若公式大致对得2分）

5、 )32(43)0(41f f +，或)1(4

1

)31(43f f +, 或其它满足要求的公式。（若给出任何

代数精度>=2的公式得6分，其他代数精度<2的数值积分公式得4分）。

二、（算法正确得10分；程序结构完整得5分；命令正确无误得5分） 1、

.m 文件Newt_6.m 例子：

function [it,x]=Newt_6(f_name,x0) %clf,hold off del_x=0.0001;

tolerance=1e-6;it_limit=30; it=0;

x=x0;xb=x+999;

while abs(x-xb)>tolerance

if it>it_limit fprintf('迭代次数超界:it=%3.0f\n',it);break; end y=feval(f_name,x);

y_driv=(feval(f_name,x+del_x)-y)/del_x; xb=x;

x=xb-y/y_driv; it=it+1; end

xx=0:0.01:pi/2;

yy=feval(f_name,xx); plot(xx,yy,x,0,'ro')

命令窗口调用例子： >> f=inline('x-cos(x)'); >> [it,x]=Newt_6(f,0)

用命令行程序也对。 三、

1、（求样条函数系数代数方程正确得10分； 系数计算正确得5分； f(0.25)正确得5分）

系数方程：⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛=10125

.005.025

.005.0232

1

M M M A 系数：2,7

4,7

2,7

4

,200010=-

==

-==M M M M M ，

函数值：4

107857.15600

1

)25.0(-⨯≈=

f

2、（积分公式及值正确得15分；精度控制正确得5分）

837

.0)55.0)93.099.084.06.035.016.004.0(20(2

2.081

.0)55.0)99.06.016.0(20(24.084=++++++++=

=++++=T T

因为：3

4

810

009.0|3

|

->=-T T ，精度不够，故应采用辛普森方法试试：

846

.0)55.0)99.06.016.0(2)93.084.035.004.0(40(6

4.08467

.03

54.2)55.0)60.0(2)99.016.0(40(68.042=++++++++=

≈=

++++=S S

因为：324100007.0||-<≈-S S ，达到精度，所以积分近似值是： S 4=0.846