讲连续型随机变量分布及随机变量的函数的分布
3-2连续型随机变量的联合分布和边际分布
fY y
1
y2 2
e 2
2 2
2 2
y
因此，对任意的 y，fY y 0，
f X Y
xy
f x， y fY y
2
1
2 1
1r2
exp
2
2 1
1 1
r2
x
1
r
1 2
y
2
2
x
结论：二维正态分布的条件分布是一维正态分布,即
N
1
r
1 2
y 2
.
XY
fY ( y)
同理，
fY X y x
f x， y fX x
称为随机变量Y 在 X x的条件下的 条件密度函数.
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例 4 设随机变量 ( X ,Y )的概率密度为
f
(
x,
y)
1, 0,
| y | x, 0 x 1, 其它.
试求（ ：1）f X ( x), fY ( y) ; (2) f X|Y ( x | y), fY|X ( y | x) ;
，
2 1
1r2
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五、两种常用的分布
1.均匀分布
定义 设G 是平面上的有界区域,其面积为 S,若二 维随机变量 ( X , Y ) 具有概率密度
连续型随机变量的分布与例题讲解
(3) f(x) = F ¢ x) = (
1 (- ? p (1 + x 2 )
x< +
ì
- 3x
)
, x > 0, x £ 0,
例2
ï ke 设随机变量 X 的概率密度为 f (x) = ï í ï 0, ï î
试确定常数
k，并求其分布函数 F(x)和 P{X>0.1}. 解：由
+?
ò
+
f (x)dx = 1 得
X ~ W (m, , ).
Weibull 分布的分布函数为
F ( x)
x
m
(t )
m 1
( t )m
e
dt 1 e
( x )m
(x )
——位置参数
——尺度参数
m ——形状参数
Weibull 分布概括了许多典型的分布。
本次课小结：
即是说该大学的实录线约为 512 分。 （三） 对数正态分布 定义：若随机变量 X 的概率密度函数为
1 (ln x )2 2 f ( x) 2 x e 2 0
4
基
本 内
容
备 注
其中， ， 0 为常数，则称 X 服从参数为 和 的对数正态分布，记作
（四）Weibull 分布 定义：若随机变量 X 的概率密度函数为
( x ) m ( x )m1 e x f ( x) x 0
m
其中， m, , 0 为常数，则称 X 服从参数为 m, , 的 Weibull 分布，记作
故知，X~N( 450 ,1002 ) 又设该大学实录线为 a，由题设知：
第十一讲二元随机变量函数的分布
定理： 设(X,Y)是二元连续型随机变量，X与Y独
立的充分必要条件是
f (x, y) fX (x) fY ( y)
要求： （1）会由二元连续型随机变量的
联合密度求边际密度并能进行简单的 相关概率计算。
(2) 两个随机变量相互独立时， 联合分布与边际分布的关系。
第十一讲 二元随机变量函数的分布 在第二章中，我们讨论了一元随机变量函数 的分布，现在我们进一步讨论: 当随机变量X1, X2, …,Xn的联合分布已知时， 如何求出它们的函数
则则PP{{(cX, YX)dW}等}等于于区区间域[c,Wd 包 ]包含含在在[区a,域b]内G内的的
那那部部分分的的面长积占[占a,Gb]的总长面的积比的例比. 例.
定义(P57) 若 二元连续型随机变量( X，Y )的联合概率密度为：
f (x, y)
1
1 2(1 2
)
x 1 1
2
2
定义(P56) 设G为平面上的有界区域,其面积为S,
若 二元随机变量( X，Y )的联合概率密度为
1
f
(x,
y)
S
0
(x, y) G 则称( X，Y )服从G上的均匀分布。 others
记为: (X ,Y ) ~ UG
若若随随机机变变量(XX服,Y从)服区间从[区a,b域]上G的上均的匀均分匀布分, 布,
求 解Z：1Z X2所有Y和可Z2能取XY值的为分：布 3,2,1,0，1，2，3,4,6
P(Z2 3) P(X 3,Y 1) 0.05 P(Z2 2) P(X 2,Y 1) 0.05
P(Z2 1) P(X 1,Y 1) 0.05
P(Z2 0) P(X 1,Y 0) P(X 2,Y 0) P(X 3,Y 0) 0.35
连续型随机变量函数分布的探讨
连续型随机变量函数分布的探讨随机变量的分布函数在现实生活中有着非常多的运用，与其分布相关的研究同样是大部分教材重要的组成内容。
往往计算机变量函数分布能够采取公式法又或是分布函数法，正常状况下，公式法所需具备的条件非常的严格。
本文对连续型随机变量函数分布进行较为深入的研究。
标签：连续型随机变量；分布函数；应用1 连续型随机变量中的“连续”界定连续型随机变量与离散型随机变量是完全不同的，经过其所存在的取值点集特点来概括，运用全新的工具分布F（x）函数来对其进行界定，也就是如果X 的分布函数都可以写为某一非负函数f（x）的变上限积分模式，便将它叫做连续型随机变量。
（1）性质1 针对连续型随机变量X存在：a.b.。
根据以上所阐述的特性能够发现，连续型随机变量大都是探讨相互持续的点集中的取值概率，比如：区间[c，d]等，它的某个固定点位置处的概率是0。
换而言之，连续型随机变量所分析的是各式各样的有限区间、数轴以及半数轴等。
但是，若果取值点集是半数轴、有限区间、数轴以及并集的随机变量，其并非一定是连续型，比如：。
其同样是没有办法采取连续型随机变量全部的能够进行取值的点集的特点来实施概括。
（2）性质2 对于连续型随机变量X，如果f（x），F（x）所代表的是密度函数以及分布函数，那么便存在：a.f（x）≥0；b.；c.f（x）=F′（x），在f（x）的连续点便成立。
较为显著的是，f（x）在XOY坐标平面中所对应的的图像，处在X轴以及它上方的一个曲线，同时此曲线和X轴间区域的面积是1。
然而f（x）并不能确定为（-∞，+∞）区间内的连续函数，同时其所有不连续点均是单独存在的、数量有限的点集，然而从其主体层面依然是分段式的连续函数，同时在f（x）的连续点处的F（x）可导。
此处补充说明的是，性质2中所列出的a、b均是f（x）能够成为连续型随机变量函数的充要条件。
（3）根据高等数学相关理论能够得知，变上限积分函数F（x）一定是（-∞，+∞）区间内的连续函数。
第二章随机变量及其概率分布(概率论)
当 x ≥ 1 时,F ( x) = P( X ≤ x) =P( X = 0) + P( X = 1) =1 ⎧0 x < 0
所以 F ( x) = ⎪⎨0.3 0 ≤ x < 1. ⎪⎩1 1 ≤ x
⎧0 x < 0 分布函数为 F ( x) = ⎪⎨0.3 0 ≤ x < 1
⎪⎩1 1 ≤ x
分布函数图形如下
F(x) 1 0.3
x 01
3
例 设X的概率分布律如下,求X的分布函数. X012 P 0.4 0.35 0.25
解
⎧0
x<0
F
(
x)
=
⎪⎪ ⎨
⎪
0.4 0.75
0≤ x<1 1≤ x<2
⎪⎩ 1
x≥2
由此可见
(1)离散型随机变量的分布函数是分段函数,分 段区间是由X的取值点划分成的左闭右开区间; (2)函数值从0到1逐段递增,图形上表现为阶梯 形跳跃递增; (3)函数值跳跃高度是X取值区间中新增加点的 对应概率值.
z 泊松在数学方面贡献很多。最突出的是1837 年在提出泊松分布。
z 除泊松分布外，还有许多数学名词是以他的 名字命名的，如泊松积分、泊松求和公式、 泊松方程、泊松定理。
当一个随机事件,以固定的平均瞬时速率 λ随机独立地出现时,那么这个事件在单 位时间(面积或体积)内出现的次数或个数 就近似地服从泊松分布。
解: 依题意, X可取值 0, 1, 2, 3.
设 Ai ={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3
路口3
路口2
P(X=0)= P(A1)=1/2,
路口1
X=该汽车首次停下时通过的路口的个数. 设 Ai={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3
2023考研概率统计全考点精讲-第二讲 随机变量及其分布
第二讲 随机变量及其分布【考试要求】1.理解随机变量的概念，理解分布函数(){}()F x P X x x =≤−∞<<+∞的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率.2.理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0-1分布、二项分布(,)B n p 、几何分布、超几何分布、泊松(Poisson)分布()P λ及其应用.3.（数一了解，数三掌握）泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布.4.理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布(,)U a b 、正态分布2(,)N μσ、指数分布及其应用，其中参数为λ的指数分布()λE 的概率密度为()e ,00,0x x f x x λλ−⎧>=⎨≤⎩.5.会求随机变量函数的分布.考点：随机变量与分布函数1.随机变量：设试验E 的样本空间为Ω，如果对于每一个样本点Ω∈ω，都有一个实数)(ωX 与之对应，则称定义在Ω上的单值实值函数)(ωX 为随机变量，简记为X . 通常用,,X Y Z 等表示随机变量.【注】随机变量的等式和不等式可表示随机事件. 2.分布函数（1）定义：设X 是一个随机变量，x 是任意实数，称(){}()F x P X x x =≤−∞<<+∞为X 的分布函数.（2）基本性质①单调不减，即若12x x <，则12()()F x F x ≤；②lim ()0x F x →−∞=，lim ()1x F x →+∞=； ③()F x 是右连续，即(0)()F x F x +=.【注】这三条性质是一个函数作为某随机变量的分布函数的充分必要条件. （3）其他性质（用分布函数()F x 求概率）①)()(}{a F b F b X a P −=≤<； ②)0(}{−=<a F a X P ；③)0()(}{−−==a F a F a X P ；④)0()0(}{−−−=<≤a F b F b X a P ； ⑤)()0(}{a F b F b X a P −−=<<； ⑥{}()(0)P a X b F b F a ≤≤=−−. 【注】分布函数在处连续.【例1】 下述函数中，可以作为某个随机变量的分布函数的是（ ） （A ） ()211F x x =+ （B ）()x x F sin = （C ） ()11arctan π2F x x =+ （D ） ()1e ,020,0xx F x x −⎧−>⎪=⎨⎪≤⎩【例2】 设随机变量X 的分布函数为()00πsin 02π12,x F x A x,x ,x ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，则A _____=，6P X ______π⎧⎫<=⎨⎬⎩⎭.【例3】 已知随机变量X 的分布函数为()0,11,18,111,1x x F x ax b x x <−⎧⎪⎪=−⎪=⎨⎪+−<<⎪≥⎪⎩，且()F x a {}0P X a ⇔=={}114P X ==，则_____,_____a b ==. 【例4】 设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥−<≤<=−1,110,210,0)(x e x x x F x，则{}1P X ==（ ）（A ）0 （B ）21（C ）121−−e （D ）11e −−考点：离散型随机变量及其分布1.离散型随机变量定义：若随机变量X 所有可能取值是有限或可列无限个，则称X 为离散型随机变量.2.分布律（1）定义：设离散型随机变量X 的所有可能取值为()12i x i ,,=，且X 取ix 的概率为i p ，则称{}()12i i P X x p i ,,===为离散型随机变量X 的分布律.X（2）基本性质：①0,1,2,i p i ≥=；②11ii p∞==∑.【注】这两条性质也是一个数列可以作为某随机变量分布律的充分必要条件. 3.离散型随机变量的分布函数若离散型随机变量X 的分布律为{}()12i i P X x p i ,,===，则X 的分布函数为(){}{}()i i i i x xx xF x P X x P X x p x ≤≤=≤===−∞<<+∞∑∑.若123x x x <<<，则()111212230,,,x x p x x x F x p p x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨+≤<⎪⎪⎩. 【注】若已知X 的分布函数()F x （阶梯函数），则X 的分布律为{}()()0i i i P X x F x F x ==−−，12i ,,=.【例1】 （1）做n 次伯努利实验，已知每次成功的概率均为()10<<p p ，令X 表示n 次试验中成功的次数，求X 的分布律.（2）做伯努利试验，已知每次成功的概率均为()10<<p p ，令X 表示直到第一次成功为止所进行的实验次数，求X 的分布律.【例2】 设袋中有5个球，其中3个新球，2个旧球，从中任取3个球，用X 表示3个球中新球个数，求X 的分布律与分布函数.考点：连续型随机变量及其分布1.连续型随机变量及其概率密度（1）定义：设随机变量X 的分布函数为()F x ，若存在非负可积函数()f x ，使得对于任意实数x ，有()()xF x f t dt −∞=⎰，则称X 为连续型随机变量，()f x 称为X 的概率密度函数，简称概率密度（简写为.f .d .p ）.【注】①只有存在概率密度的随机变量才能称为连续型随机变量，分布函数连续的随机变量不一定是连续型随机变量.②存在既非连续型又非离散型的随机变量.③(),()()0()F x x F x f x x F x '⎧=⎨⎩为的可导点，为的不可导点. （2）概率密度的基本性质：①()0f x ≥；②()1f x dx +∞−∞=⎰.【注】这两条性质是一个函数可以作为概率密度函数的充分必要条件.（3）连续型随机变量的其他性质： ①)(x F 处处连续.②对()+∞∞−∈∀,a ，有{}.0==a X P ③若()f x 在x 处连续，则有()()F x f x '=. ④对于任意的实数()1212x ,x x x ≤，有{}()()211221()x x P x X x F x F x f x dx <≤=−=⎰.【例1】 设随机变量X 的概率密度为()x f ，则下列函数中必为某随机变量的概率密度的是（ ）（A ）()x f 2 （B ）()x f 2 （C ）()x f −1 （D ）()x f −1【例2】 设随机变量X 的概率密度为()cos ,||20,||2A x x f x x ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，求（1）常数A ； （2）X 的分布函数为()x F . 【例3】 设随机变量X 的概率密度为()1||,||10,x x f x else −<⎧=⎨⎩，则______412=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<−X P .考点：常见分布1.常见的离散型随机变量 （1） 0-1分布若随机变量X 的分布律为{}()()110101kk P X k p p ,k ,p −==−=<<，则称X 服从0-1分布，记为),1(~p B X .（2） 二项分布若随机变量的分布律为{}C (1),0,1,2,k k n kn P X k p p k n −==−=，其中01p <<，则称X 服从二项分布，记为~(,)X B n p .（3） 几何分布若随机变量X 的分布律为{}1(1)k P X k p p −==−⋅，1,2,3k =，其中01p <<，则称X 服从参数为p 的几何分布，记为()~X G p .（4） 超几何分布（从未考过）若随机变量X 的分布律为{}C C C k n kM N MnNP X k −−==，其中N k ∈，且{}{}n M k N n M ,min ,0max ≤≤−+，则称X 服从超几何分布.【注】：此公式的数学模型为：设N 件产品中含M 件次品，现从中任取n 件产品，则所取的n 件产品恰有k 件次品的概率.（5） 泊松分布 ①定义若随机变量X 的分布律为{}e !kP X k k λλ−==，0,1,2,k =，其中0λ>，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为~()X P λ.X②泊松定理（数一了解；数三掌握）设0λ>是一个常数，n 是任意正整数，若lim n n np λ→∞=，则对于任意的非负整数k ，有()e lim 1.!nk n kkknn n C p p k λλ−−→∞−=【例1】 设随机变量X 服从参数为()2,p 的二项分布，随机变量Y 服从参数为()3,p 的二项分布，若{}519P X ≥=，则{}1_______P Y ≥=. 【例2】 设某时间段内通过一路口的汽车流量服从泊松分布，已知该时段内没有汽车通过的概率为1e，则这段时间内至少有两辆汽车通过的概率为___________. 2.常见的连续型随机变量 （1） 均匀分布若X 的概率密度为1,()0,a xb f x b a⎧<<⎪=−⎨⎪⎩其它，则称X 在()a,b 上服从均匀分布，记为()~,X U a b ，其分布函数为0,(),1,x a x aF x a x b b a x b<⎧⎪−⎪=≤<⎨−⎪⎪≥⎩. （2） 指数分布若X 的概率密度为e ,0()0,0x x f x x λλ−⎧>=⎨≤⎩，其中0λ>，则称X 服从参数为λ的指数分布，记为()XE λ，其分布函数为1e ,0()0,0x x F x x λ−⎧−≥=⎨<⎩.（3） 正态分布若随机变量X的概率密度为22()2()()x f x x μσ−−=−∞<<+∞，其中0σ>,μ与σ均为常数，则称X 服从参数为,μσ的正态分布，记为2~(,)X N μσ，其分布函数为22()2()d ()t xF x t x μσ−−=−∞<<+∞⎰.特别地，当0,1μσ==，即~(0,1)X N ，称X 服从标准正态分布，其概率密度为22(),x x x ϕ−=−∞<<+∞，分布函数22()d t xx t −Φ=⎰，x −∞<<+∞.【注】（1）指数分布的无记忆性：若()~X E λ，则对任意的0,0s t >>，有{}{}|.P X s t X s P X t >+>=>【例3】 设随机变量()6,1~U X ，则方程012=++Xy y 有实根的概率为____.【例4】 设随机变量()~2,5X U ，现对X 进行三次独立重复观测，求至少有两次观测值大于3的概率.【例5】 设随机变量Y 服从参数为12λ=的指数分布，求关于未知量x 的方程2230x Yx Y ++−=没有实根的概率.【例6】 设随机变量的概率密度函数为()221e ()x x f x k x −+−=−∞<<+∞X则常数=_______k .【例7】 设随机变量()22,X N σ且{}240.3P X <<=，则{}0_______P X <=.【例8】 设随机变量()2,X N μσ，则概率{}P X μσ−<的值随着σ的增大而（ ）（A ）增大 （B ）减小 （C ）保持不变 （D ）无法确定考点：随机变量函数的分布1.离散型随机变量函数的分布设X 为离散型随机变量，其概率分布为{},1,2,i i P X x p i ===，函数()g x 连续，则随机变量()Y g X =的分布律为{}(),1,2,i k k i g x y P Y y p k ====∑.做法：找到Y 全部可能的取值，算出相应值的概率.【例1】 设随机变量X 在()1,2−上服从均匀分布，1,01,0X Y X −<⎧=⎨≥⎩，求Y 的分布律.【例2】（课后作业）设随机变量X 的概率分布为，求常数和的概率分布. 2.连续型随机变量函数的分布情形一：Y 为离散型. 做法：找到Y 全部可能的取值，算出相应值的概率. 情形二：Y 为连续型.（1）分布函数法（代数法和几何法）先求出()Y g X =的分布函数()Y F y ，即()(){}()()Y g x y F y P g X y f x dx ≤=≤=⎰，再对()YF y 求导得到Y 的概率密度()Y f y .（2）公式法 若()y g x =在X 的取值区间内有连续导数()g x '，且()0g x '>或者()0g x '<，则()Y g X =是连续型随机变量，且其概率密度为{}(1,2,)3k c P X k k ===c sin()2Y X π=()()()',0,X Y f h y h y y f y αβ⎧<<⎡⎤⎪⎣⎦=⎨⎪⎩其他其中(),αβ为()y g x =的值域，()h y 是()g x 的反函数.情形三：Y 既非连续型又非离散型 做法：分布函数法求其分布函数.【例3】 设随机变量X 服从()0,2上的均匀分布，则随机变量2Y X =在()0,4内的概率密度()Y f y _______=.【例4】 设随机变量X 的概率密度为()22,00,x x f x ππ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它，求sin Y X =的概率密度()Y f y .。
《概率论与数理统计》课件 概率学与数理统计 第二章
作为某一个离散型随机变量的分布律。
为了直观地表达分布律,我们还可以作类似图2-1的分布律图。
图2-1
图2-1中 xi 处垂直于 x 轴的线段高度为 pi，它表示 X 取 xi 的概 率值。
例2.1 一盒中装有编号为1，2，3，4，5的五个球,现从中任意取三 个球，求所抽出三个球的中间号码 X 的概率分布。
Pa X b PX b PX a Fb 0 Fa
Pa X b PX a Pa<X b
Fa Fa 0 Fb Fa
Fb Fa 0
随机变量的分类:
1. 离散型随机变量：随机变量只取数轴上的有限个或可列个点。 2. 连续型随机变量：随机变量的可能取值充满数轴上的一个或 若干区间。 3. 奇异型随机变量：既不是离散型随机变量，也不是连续型随 机变量。在理论上很有价值，而实际问题中很少有应用。
解 以 p 表示每盏灯禁止汽车通过的概率，显然 X 的可能取值
为0，1，2，3，4，易知 X 的分布律为
表2-3
或写成
P X k 1 pk p，k 0，1，2，3 P X 4 1 p4
将 p 0.4， p 0.6 代入上式，所得结果如表2-4所示。
表2-4
二、常用离散型随机变量的分布
1
PX 2 1 PX 2 1 PX k k 0
1 0.9995000 50.9994999
≈1 50 e5 5e5 0! 1!
查表可得 P X 2 1 0.00674 0.03369 0.95957
例2.6 某人进行射击，设每次射击的命中率为，独立射击400次， 试求至少击中两次的概率。
记作 X 0 -1 分布。写成分布律表形式见表2-5。
表2-5
对于一个随机试验，若它的样本空间只包含两个元素，
连续型随机变量的分布函数一定是连续函数
连续型随机变量的分布函数一定是连续函数首先，什么是连续型随机变量？其次，什么是分布函数？分布函数是指随机变量X的函数F(x)，表示该变量小于等于其中一特定值x的概率。
即：F(x)=P(X<=x)。
分布函数的性质包括：非递减性、右连续性、有界性。
接下来，我们来探讨连续型随机变量的分布函数是否一定是连续函数。
根据定义，分布函数 F(x) 的右连续性是任何分布函数都必须满足的条件。
即对于任意一个实数 x，有 lim F(t) = F(x+)，其中 t(x+)表示x 的右邻点。
这个性质保证了分布函数在每个点上都是右连续的。
对于连续型随机变量来说，取到任意一个特定的值的概率为0，因此F(x)在任意一个分布点上都为右连续。
这是因为对于任意一个实数x，P(X=x)=0。
所以对于连续型随机变量来说，分布函数在每个点上都是右连续的。
此外，根据分布函数的性质，分布函数是非递减的。
这意味着对于任意的实数a<b，有F(a)<=F(b)。
这个性质同样适用于连续型随机变量的分布函数。
综上所述，对于连续型随机变量来说，其分布函数是满足右连续性和非递减性的。
因此，一般而言，连续型随机变量的分布函数是连续函数。
然而，需要注意的是，并非所有连续型随机变量的分布函数都是连续函数。
如下面两种情况：1.分布函数存在间断点：有些连续型随机变量的分布函数在一些点上存在间断点。
例如，离散型随机变量的分布函数是一个阶梯函数，其在每个值上都有跳跃。
尽管该随机变量取值范围是连续的，但其分布函数并不是连续函数。
2.分布函数存在导数的不连续点：有些连续型随机变量的分布函数在一些点上存在导数的不连续点。
例如，一些混合型分布的分布函数在一些点上具有不连续的导数。
尽管该随机变量取值范围是连续的，但其分布函数在这些点上并不是连续函数。
因此，在一般情况下，连续型随机变量的分布函数是连续函数。
但需要注意的是，也存在特殊情况下连续型随机变量的分布函数不是连续函数的情况。
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整理为word格式 第七讲 连续型随机变量（续）及 随机变量的函数的分布 3. 三种重要的连续型随机变量 （1）均匀分布 设连续型随机变量X具有概率密度
)5.4(,,0,,1)(其它bxaabxf 则称X在区间(a,b)上服从均匀分布, 记为X~U(a,b).
X的分布函数为 )6.4(.,1,,,,0)(bxbxaabaxaxxF （2）指数分布 设连续型随机变量X的概率密度为
)7.4(,,0,0,e1)(/其它xxfx
其中>0为常数, 则称X服从参数为的指数分布. 容易得到X的分布函数为
)8.4(.,0,0,1)(/其它xexFx 如X服从指数分布, 则任给s,t>0, 有
第二章 随机变量及其分布 §4 连续型随机变量 及其概率密度
Oxf(x)123123=1/3
=1=2 整理为word格式
P{X>s+t | X > s}=P{X > t} (4.9) 事实上 整理为word格式 }.{eee)(1)(1}{}{}{)}(){(}|{//)(tXPsFtsFsXPtsXPsXPsXtsXPsXtsXPtsts
性质(4.9)称为无记忆性. 指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用. （3）正态分布 设连续型随机变量X的概率密度为
)10.4(,,e21)(222)(xxfx
其中,(>0)为常数, 则称X服从参数为,的正态分布或高斯(Gauss)分布, 记为X~N(,2). 显然f(x)0, 下面来证明 1d)(xxf
令tx/)(, 得到
dxedxetx22)(2222121
.1d21d21)11.4(π2dde,,dd,de22)(200222/)(22/2222222xexerrIuteItItxrutt于是得转换为极坐标则有记
f(x)具有的性质: （1）.曲线关于x=对称. 这表明对于任意
f(x)的图形:Oxf(x)=5=5
0.2660.3990.798xO
f(x)1.510.5 整理为word格式
h>0有 P{-h（2）.当x=时取到最大值
.π21)(f x离越远, f(x)的值越小. 这表明对于同样长度的区间, 当区间离越远, X落在这个区间上的概率越小。在x=处曲线有拐点。曲线以Ox轴为渐近线。
X的分布函数为 )12.4(,deπ21)(222)(xttxF
特别:当=0, = 1时称X服从标准正态分布. 其概率密度和分布函数分别用(x)和(x)表示, 即有
)14.4(.deπ21)()13.4(,21)(2/2/22xtxtxex
易知 (-x)=1-(x) (4.15) 人们已经编制了(x)的函数表, 可供查用(见附表2).
引理 若X~N(,2), 则)1,0(~NXZ
1F(x)0.5xO 整理为word格式
证明：的分布函数为XZ 整理为word格式 得令,,deπ21}{}{222)(uttxXPxXPxZPxt
),(deπ21}{2/2xuxZPxu
由此知Z~N(0,1).
若X~N(,2), 则它的分布函数F(x)可写成:
)()16.4(}{}{)(xxXP
xXPxF
则对于任意区间(x1,x2], 有 )17.4(.}{122121xxxXxPxXxP
例如, 设X~N(1,4), 查表得
.3094.06915.016179.0)]5.0(1[6179.0)5.0()3.0(210216.1}6.10{
XP
设X~N(,2), 由(x)的函数表还能得到: P{322368.26%
95.44%99.74% 整理为word格式
=2(1)-1=68.26% P{ 整理为word格式 2}=(2)-(-2)
=95.44% P{3=99.74% 我们看到, 尽管正态变量的取值范围是(,), 但它的值落在(3,3)内几乎是肯定的事. 这就是人们所谈的"3"法则.
例１ 将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内. 调节器整定在d°C, 液体的温度X(以°C计)是一个随机变量, 且X~N(d, 0.52). (1) 若d=90, 求X小于89的概率. (2) 若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99, 问d至少为多少? 解 (1)所求概率为
.0228.09772.01)2(1)2(5.090895.090}89{XPXP
(2) 按题意需求d满足
.1635.81.327.25.080),327.2()327.2(199.015.0805.08015.0805.015.0805.0}80{99.0ddddddXPddXPXP故需亦即 设X~N(0,1), 若za满足条件 P{X>za}=a, 0整理为word格式
则称点za为标准正态分布的上a分位点.由(x)的对称性知z1-a=-z
a
z 常用的几个za值：
1.2821.6451.9602.3272.5763.090z0.100.050.0250.010.0050.001
（课间休息） 随机变量的函数的分布 例１ 设随机变量X具有以下的分布律, 试求Y=(X-1)2的分布律.
0.40.10.30.2pk
2101X
解 Y所有可能值为0,1,4, 由P{Y=0}=P{(X-1)2=0}=P{X=1}=0.1, P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.7, P{Y=4}=P{X=-1}=0.2,
0.20.70.1pk
410Y
例２ 设随机变量X具有概率密度
.,0,40,8)(其它xx
xfX
求变量Y=2X+8的概率密度. 解：分别记X,Y的分布函数为FX(x),FY(y). 下面先来求FY(y).
.2828}82{}{)(yFyXPyXPyYPyF
XY
将FY(y)关于y求导数, 得Y=2X+8的概
§5 随机变量的函数的分布 在实际中经常对某些随机变量的函数更感兴趣. 例如, 在一些试验中, 所关心的随机变量往往不能由直接测量得到, 而它却是某个能直接测量的随机变量的函数. 比如我们能测量圆轴的直径d, 而关系的却是截面积A=pd2/4. 这里, 随机变量A是随机变量d的函数. 下面讨论如何由已知的随机变量X的概率分布去求得它的函数Y=g(X)(g(•)是已知的连续函数)的概率分布. 整理为word格式
率密度为