2008年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学理

2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数 学（理工农医类）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设a =(1，－2)，b =(－3，4)，c =(3，2),则(a +2b )·c =（ ）

A ．(－15，12)

B ．0

C ．－3

D ．－11

2．若非空集合A ，B ，C 满足A ∪B=C ，且B 不是A 的子集，则（ ）

A ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的充分条件但不是必要条件

B ．“x ∈

C ”是“x ∈A ”的必要条件但不是充分条件 C ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的充要条件

D ．“x ∈C ”既不是“x ∈A ”的充分条件也不是“x ∈A ”的必要条件

3．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（ ）

A ．38π

B ．3

28π

C ．π28

D ．332π

4．函数1

()f x n x

=

的定义域为（ ） A ．(－∞，－4)∪[2，+∞] B ．(－4，0)∪(0，1) C ．[－4，0]∪(0，1) D ．[－4，0]∪(0，1)

5．将函数y=3sin （x －θ）的图象F 按向量（3π，3）平移得到图象F ′，若F ′的一条对称轴是直线x=4

π，则θ的一个可能取值是（ ）

A ．

π125 B ．π125- C ．π1211 D ．－π12

11

6．将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为（ ）

A ．540

B ．300

C ．180

D ．150

7．若f(x)=2

1()ln(2)2

f x x b x =-

++在(1,)-+∞上是减函数，则b 的取值范围是（ ） A ．[－1，+∞) B ．（－1，+∞） C ．（－∞，－1] D ．（－∞，－1）

8．已知m ∈N *，a ，b ∈R ，若0(1)lim

m x x a

b x

→++=，则a ·b =（ ） A ．－m B ．m C ．－1 D ．1

9．过点A （11，2）作圆2

2

241640x y x y ++--=的弦，其中弦长为整数的共有（ ）

A ．16条

B ．17条

C ．32条

D ．34条

10．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：

①a 1+c 1=a 2+c 2；②a 1－c 1=a 2－c 2；③c 1a 2＞a 1c 2；④

11a c ＜22

c a 。 其中正确式子的序号是（ ）

A ．①③

B ．②③

C ．①④

D ．②④

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置上.

11．设z 1是复数，z 2=z 1－i 211i z z z =- (其中1z 表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是－1，则z 2的虚部为 。 12．在△ABC 中，三个角A ，B ，C 的对边边长分别为a =3，b =4，c =6，则bc cosA+ca cosB+ab cosC 的值为 。

13．已知函数f(x)=x 2+2x+a ，f(bx)=9x 2－6x +2，其中x ∈R ，a ，b 为常数，则方程f (ax+b )=0的解集为 。 14．已知函数f (x )=2x ，等差数列{a x }的公差为2，若 f (a 2+a 4+a 6+a 8+a 10)=4，则log 2[f (a 1)·f (a 2)·f (a 3)·…·f (a 10)]= ___________。

15．观察下列等式：

211122

n

i i n n ==

+∑， 2321

111326n

i i n n n ==++∑， 3

432

1111424

n

i i

n n n ==

++∑， 4

5431

111152330n

i i n n n n ==++-∑， 565421

1151621212n

i i n n n n ==++-∑， 676531

11111722642n i i n n n n n ==++--∑， ……

212112101

n

k

k k k k k k k k i i

a n a n a n a n a n a +--+--==++++⋅⋅⋅++∑，

可以推测，当k ≥2（k ∈N*）时，111k a k +=

+，1

2

k a =，1k a -= ，a k －2= 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）

已知函数f (t )=()f t =

()cos (sin )sin (cos )g x x f x x f x =⋅+⋅，17(,]12x ππ∈。 （Ⅰ）将函数()g x 化简成sin()(0,0,[0,2)A x B A ωϕωϕπ++>>∈的形式； （Ⅱ）求函数()g x 的值域。

17．（本小题满分12分）

袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个（n =1，2，3，4）。现从袋中任取一球。ξ表示所取球的标号。

（Ⅰ）求ξ的分布列，期望和方差；

（Ⅱ）若η=a ξ－b ，E η=1，D η=11，试求a ，b 的值。 18．（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面A 1BC ⊥侧面A 1ABB 1。

（Ⅰ）求证：AB ⊥BC ；

（Ⅱ）若直线AC 与平面A 1BC 所成的角为θ，二面角A 1－BC －A 的大小为ϕ，试判断θ与ϕ的大小关系，并予以证明。 19．（本小题满分13分）

如图，在以点O 为圆心，|AB |=4为直径的半圆ADB 中，OD ⊥AB ，P 是半圆弧上一点，∠POB =30°，曲线C 是满足||MA |－|MB ||为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P 。

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；

（Ⅱ）设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E 、F 。若△OEF 的面积不小于l 斜率的取值范围。