备战2018年数学一轮复习(热点难点)专题28平面向量的基本定理的应用

1
专题28 平面向量的基本定理的应用
考纲要求:
1．了解平面向量的基本定理及其意义．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；
2．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．

基础知识回顾:
1.向量的数乘运算：求实数λ与向量a的积的运算，
运算法则：(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa的与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
运算律：λ(μa)＝(λμ) a；(λ＋μ) a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
2.共线向量定理向量a (a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa
2．平面向量基本定理及坐标表示
(1)平面向量基本定理：如果12,ee是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，
有且只有一对实数λ1，λ2，使2211eea.其中，不共线的向量12,ee叫做表示这一平面内所有向量
的一组基底.
(2)平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
(3)平面向量的坐标表示：
①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个
向量a，有且只有一对实数x，y，使axiyj，把有序数对),(yx叫做向量a的坐标，记作a＝
),(yx
，其中x叫a在x轴上的坐标，y叫a在y轴上的坐标．

②设OAxiyj，则向量OA的坐标),(yx就是终点A的坐标，即若(,)OAxy，则A点坐标为
),(yx
，反之亦成立．(O是坐标原点)

应用举例:
类型一、共线向量定理的应用
【例1】【2017山东省枣庄八中高三月考】 设两个非零向量a与b不共线，
(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb同向．
【答案】见解析；k＝1.
2

【例2】【宁夏银川一中2018届高三上学期第二次月考】在平行四边形ABCD中，点E为CD中点，点F满足
2,AFFDEFxACyAB
,则xy ( )

A. 12 B. 13 C. 14 D
. 25

【答案】A
【解析】因为11,22EFEDDFABAD


xACyABxACyABxABADyABxyABxAD

所以12xy，选A.
类型二、平面向量基本定理的应用
【例3】【2017湖南衡阳八中月考】如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能
作为平面内所有向量的一组基底的是( )
A．e1与e1＋e2 B．e1－2e2与e1＋2e
2

C．e1＋e2与e1－e2 D．e1＋3e2与6e2＋2e
1

【答案】D

【解析】选项A中，设e1＋e2＝λe1，则 1＝λ，1＝0无解；选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则

 λ＝1，－2＝2λ无解；选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则




λ＝1，
1＝－λ
无解；选项D中，e1＋3e2＝12(6e2＋

2e1)，所以两向量是共线向量．
【例4】【山东省德州市2018届高三上学期期中考试】设D为ABC所在平面内一点， 3BDCD，则（ ）
A. 1322ADABAC B
. 1322ADABAC
3

C. 3122ADABAC D
. 3122ADABAC

【答案】B

【解析】
结合图形可得33132222ADABBDABBCABACABABAC。选B。
【例5】【湖北省襄阳市四校2018届高三上学期期中联考】如图，在正六边形ABCDEF中，有下列四个命
题： （ ）

①2ACAFBC； ②22ADABAF ；
③·•ACADADAE ④····ADAFEFADAFEF
其中真命题的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D
. 4

【答案】D

4

方法、规律归纳:
1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运
算．
2.用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形
式，再通过向量的运算来解决．
3.解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．

实战演练:
1．【2017江西吉安一中高三月考】如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且AB＝a，AD＝b，
则BE＝( )

A．b－12a B．b＋12a C．a＋12b D．a－12b
【答案】A
【解析】BE＝BA＋AD＋DE＝－a＋b＋12a＝b－12a.

2．【2017浙江省温州市高三月考试题】已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若2AC＋CB＝0，则
向量OC等于( )
A.23 OA－13OB B
．－13OA＋23OB

C．2OA－OB D
．－OA＋2OB

【答案】C

3．【山东省滨州市2018届高三上学期期中考试】设P是ABC所在平面内一点，且2BPPC，则
AP
（ ）
A. 1322ABAC B. 3122ABAC C. 1233ABAC D
. 2133ABAC

【答案】C
【解析】由向量的运算法则可得： BPAPAB， PCACAP，∵2BPPC，∴
5

2APABACAP（），整理可得32APABAC
，即1233ABAC，故选C.

4．在ABC中，若,2,3,,ABACABACABACEF分别为BC边上的三等分点，则
AEAF
（ ）
A. 269 B. 83 C. 2 D
. 109

【答案】A

5．【江西省莲塘一中2018届高三9月质量检测】已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且
2ECAE
，则向量EM＝（ ）

A. 1123ACAB B. 1126ACAB C. 1162ACAB D
. 1362ACAB

【答案】C
【解析】223ECAEECAC

212111
323262
EMECCMACCBACABACACAB
,选C.

6．如图,△ABC中,如果O为BC边上中线AD上的点,且0OAOBOC,那么（ ）

A. AOOD B. 2AOOD C. 3AOOD D
. 2ODAO
6

【答案】B
【解析】由O为BC边上中线AD上的点,可知2ODOBOCOAAO，
故选：B.
7．【江苏省淮安市盱眙中学2018届高三第一次学情调研】如图，两块直角三角板拼在一起，已知
45ABC， 60BCD
．

（1）若记,ABaACb，试用,ab表示向量,ADCD；
（2）若2AB，求AECD．
【答案】（1）31ab；（2）823.
7
8．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，设AB＝a， AD＝b.
（Ⅰ）用a和b表示向量AE,AF；
（Ⅱ）若AC＝λAE＋μAF，其中λ、μ∈R，求λ＋μ的值.
【答案】（1）AE＝12 a＋b， AF＝a＋12 b，（2）43
8

9．已知D为△AOB所在平面内一点， OD＝2DB，点C为B关于A的对称点，DC和OA交于点E，设
OA
＝a， OB＝b.
（Ⅰ）用a和b表示向量OC、DC；
（Ⅱ）若OE＝λOA，求实数λ的值．
【答案】(1) OC=2a－b， DC=2a－53b;(2) 45.
【解析】试题分析：(1) 点C为B关于A的对称点即A是BC的中点，又OD＝23 OB，结合平行四边形
法则，即可用a和b表示向量OC、DC;(2)由//ECDC可得对应系数成比例，解得实数λ的值.
试题解析:
(1)由题意，A是BC的中点，且OD＝23 OB，

由平行四边形法则， OB＋OC＝2OA.
∴OC＝2OA－OB＝2a－b， DC＝OC－OD＝(2a－b)－23b＝2a－53b.
(2) //ECDC
9

又∵EC＝OC－OE＝(2a－b)－λa＝(2－λ) a－b， DC＝2a－53b，
∴22＝153，∴λ＝45.

10．如图，在平行四边形中，，是上一点，且.
（1）求实数的值；
（2）记，，试用表示向量，，.

【答案】(1)；(2) ， ， .