浙教版一元二次方程知识点及习题

一元二次方程知识点及习题（一）
1、认识一元二次方程：
概念：只含有一个未知数，并且可以化为20axbxc (,,abc为常数，
0a
)的整式方程叫一元二次方程。

构成一元二次方程的三个重要条件：
①、方程必须是整式方程(分母不含未知数的方程)。

如：2230xx是分式方程，所以2230xx不是一元二次方程。
②、只含有一个未知数。
③、未知数的最高次数是2次。

2、一元二次方程的一般形式：

一般形式：20axbxc (0a)，系数,,abc中，a一定不能为0，b、
c则可以为0， 其中，2ax叫做二次项，a
叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫

做一次项系数；c叫做常数项。任何一个一元二次方程经过整理(去括号、移项、
合并同类项…)都可以化为一般形式。

例题：将方程2(3)(31)xxx化成一元二次方程的一般形式.
解： 2(3)(31)xxx
去括号，得： 22383xxx
移项、合并同类项，得： 22830xx (一般形式的等号右边一定等于
0)
3、一元二次方程的解法：
(1)、直接开方法：（利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解） 形
式：2()xab

(2)、配方法：（理论依据：根据完全平方公式：2222()aabbab，将原
方程配成2()xab的形式，再用直接开方法求解.）

(3)、公式法：（求根公式：242bbacxa）
(4)、分解因式法：（理论依据：0ab•，则0a或0b；利用提公因式、
运用
公式、十字相乘等分解因式方法将原方程化成两个因式相乘等于0的形式。）
一：一元二次方程的定义
例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A 12132xx B 02112xx

C 02cbxax D 1222xxx
2、若方程013)2(||mxxmm是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．2m B．m=2 C．2m D．2m
3、关于x的一元二次方程（a－1）x2＋x+a2－l=0的一个根是0。则a的值为
( )

A、 1 B、－l C、 1 或－1 D、 12

4、若方程112•xmxm是关于x的一元二次方程，则m的取值范围
是 。
5、关于的方程是一元二次方程的条件是（ ）
A、≠1 B、≠－2 C、≠1且≠－2 D、≠1或≠
－2

二：一元二次方程的解

1、关于x的一元二次方程04222axxa的一个根为0，则a的值
为 。
2、已知方程0102kxx的一根是2，则k为 ，另一根是 。

3、已知a是0132xx的根，则aa622 。
4、若方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，a,b,c满足a+b+c=0和a-b+c=0,则方程的根是
_______。
5、方程02acxcbxba的一个根为（ ）
A 1 B 1 C cb D a
课堂练习：
1、已知一元二次方程x2+3x+m=0的一个根为-1，则另一个根为
2、已知x=1是一元二次方程x2+bx+5=0的一个解，求b的值及方程的
另一个根．

3、已知322yy的值为2，则1242yy的值为 。

x
0)2(22baxxaa
aaaaaa
4、已知关于x的一元二次方程002acbxax的系数满足bca，则此
方程必有一根为 。
三：一元二次方程的求解方法

一、直接开平方法 ;0912x
二、配方法
．

练习
1、如果二次三项式16)122xmx（是一个完全平方式，那么m的值是
_______________
2、试用配方法说明322xx的值恒大于0。

3、已知，x、yyxyx0136422为实数，求yx的值。
4、已知x、y为实数，求代数式74222yxyx的最小值。
三、公式法
1、
082

2xx 2、01522

xx

四、因式分解法
1、
xx2

2 2、0)32()1(22xx 3、0862

xx
五、整体法
例：2222222,06b则ababa 。
变式1：若032yxyx，则x+y的值为 。
变式2：若142yxyx，282xxyy，则x+y的值为 。
变式3：已知5)3)(1(2222yxyx，则22yx的值等于 。
四：一元二次方程中的代换思想（降次）
典例分析：

1、已知0232xx，求代数式11123xxx的值。

2、如果012xx，那么代数式7223xx的值。
3、已知,是方程012xx的两个根，那么34 .
4、已知a是一元二次方程0132xx的一根，求
1152223a

aaa
的值。

五：根的判别式
1、若关于x的方程0122xkx有两个不相等的实数根，则k的取值范围
是 。
2、关于X的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A、＞9 B、＜9且≠0 C、＜9 D、≤9且≠
0

3、关于x的一元二次方程0212mmxxm有实数根，则m的取值范围是
( )
A.10且mm B.0m C.1m D.1m

4、对于任意实数m，关于x的方程一定（ ）
A. 有两个正的实数根 B. 有两个负的实数根
C. 有一个正实数根、一个负实数根 D. 没有实数根

0162xkx
k
kkkkkk
课堂练习：
1、已知关于x的方程02)12(22mxmx有两个不等实根，试判断直线

xmy)32(
74m
能否通过A（－2，4），并说明理由。

2、若关于x的方程0342xkx有实数根，则k的非负整数值是 。
3、已知关于x的方程06)2(2kxkx有两个相等的正实数根，则k
的值是（ ）
A. B. C. 2或 D.
4、已知a、b、c为ABC的三边，且关于x的一元二次方程

04322caxcaxbc
有两个相等的实数根，那么这个三角形

是 。
5、如果关于x的方程05222mxmmx没有实数根，那么关于x的方程


02252mxmxm
的实根个数是 。

6、已知关于x的方程0222kxkx
(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；
(2)若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的
周长。

7.用简便方法计算．
（1）－645×（－448）；

（2）（－64）×（－81）；
（3）1452－242；

（4）3c2ab5c2÷325b2a

8.已知25x＝1
1
5
，求x的值．
9.已知
11
,,322322AB



求1111AB的值。

10. 已知
1110aa，求221
aa
的值。

11.已知2310xx，求2212xx的值。
12.已知11039322yxxxyx，求的值。
13.已知关于x的方程222(1)740xaxaa的两根为1x、2x，且满足
1212
3320xxxx
.求242(1)4aaa的值。