高考数学一轮复习 第十五章 第1讲 几何证明选讲配套限时规范训练 理 苏教版
2020届高考数学一轮复习测评卷第十五章第一讲课件学生练与悟苏教版
2020届高考数学一轮复习测评卷第十五章第一讲课件学生练与悟苏教版一、选择题1．以下讲法正确的选项是( ) A．任一事件的概率总在(0,1)内B．不可能事件的概率不一定为0C．必定事件的概率一定为1D．以上均不对[解析] 任一事件的概率总在[0,1]内，不可能事件的概率为0，必定事件的概率为1.应选C.[答案] C2．从12个同类产品(其中有10个正品，2个次品)中，任意抽取3个的必定事件是( ) A．3个差不多上正品B．至少有1个是次品C．3个差不多上次品D．至少有1个是正品[解析] ∵次品只有2个，任意抽取3个，必至少有一个是正品，∴选D.[答案] D3．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A．至少有1个白球，差不多上白球B．至少有1个白球，至少有一个红球C．恰有1个白球，恰有2个白球D．至少有1个白球，差不多上白球[解析] 由定义知选C.[答案] C4．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，假设生产中显现乙级品的概率为0.03、丙级品的概率为0.01，那么对成品抽查一件，抽得正品的概率为( )A．0.09 B．0.98 C．0.97 D．0.96[解析] 设〝抽得正品〞为事件A，〝抽得乙级品〞为事件B，〝抽得丙级品〞为事件C，由题意，事件B与事件C是互斥事件，而事件A与并事件(B∪C)是对立事件；因此P(A)＝1－P(B∪C)＝1－[P(B)＋P(C)]＝1－0.03－0.01＝0.96.[答案] D5．在第3、6、16路公共汽车的一个停靠站(假定那个车站只能停靠一辆公共汽车)，有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，3路车、6路车在5分钟之内到此车站的概率分不为0.20和0.60，那么该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为( ) A．0.20 B．0.60 C．0.80 D．0.12[解析] 令〝能上车〞记为事件A，那么3路或6路车有一辆路过即事件发生，故P(A)＝0.20＋0.60＝0.80.[答案] C6．甲、乙两人独立地解同一咨询题，甲解决那个咨询题的概率是P1，乙解决那个咨询题的概率是P2，那么恰好有1人解决那个咨询题的概率是( ) A．P1P2B．P1(1－P2)＋P2(1－P1)C．1－P1P2D．1－(1－P1)(1－P2)[解析] 恰好有1人解决那个咨询题包括甲解决且乙没有解决和乙解决且甲没有解决两种情形．∴选B.[答案] B二、填空题7．(人教版必修3第116页第1题改编)假设A，B为互斥事件，那么P(A)＋P(B)________1.[解析] 当A、B为对立事件时，P(A)＋P(B)＝1；当A、B不对立时，P(A)＋P(B)<1故P(A)＋P(B)≤1.[答案] ≤8．(2007·惠州二模)某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应概率如下：[解析] 记〝在窗口等候的人数〞为事件A i ＋1，i ＝0,1,2…，它们彼此互斥，那么至多两人排队等候的概率为P (A 1∪A 2∪A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.[答案] 0.569．(2018·湖北卷)改日上午李明要参加奥运理想者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，那么两个闹钟至少有一准时响的概率是________．[解析] 1－0.2×0.1＝0.98. [答案] 0.9810．(2018·浙江高考题)有20张卡片，每张卡片上分不标有两个连续的自然数k ，k ＋1，其中k ＝0,1,2，…，19.从这20张卡片中任取一张，记事件〝该卡片上两个数的各位数字之和(例如：假设取到标有9,10的卡片，那么卡片上两个数的各位数字之和为9＋1＋0＝10)不小于14”为A ，那么P (A )＝________.[解析] 关于大于14的点数的情形通过列举可得有5种情形，即7,8；8,9；16,17；17,18；18,19，而差不多事件有20种，因此P (A )＝14.[答案] 14三、解答题11．(2018·韶关一模)现从3道选择题和2道填空题中任选2题． (1)求选出的2题差不多上选择题的概率； (2)求选出的两题中至少1题是选择题的概率．[解] (1)记〝选出两道差不多上选择题〞为A,5题任选2题，共有10种，其中，差不多上选择题有3种．∴P (A )＝310.(2)记〝选出1道选择题，1道填空题〞为B ，∴P (B )＝2×310＝610，因此，至少有1道选择题的概率P ＝P (A )＋P (B )＝310＋610＝910.12．(2018·广州一模)某校高三级要从3名男生a 、b 、c 和2名女生d 、e 中任选3名代表参加学校的演讲竞赛．(1)求男生a 被选中的概率；(2)求男生a 和女生d 至少有一人被选中的概率．[解] 从3名男生a 、b 、c 和2名女生d 、e 中任选3名代表的可能选法是：a ，b ，c ；a ，b ，d ；a ，b ，e ；a ，c ，d ；a ，c ，e ；a ，d ，e ；b ，c ，e ；b ，c ，d ；b ，d ，e ；c ，d ，e 共10种．(1)男生a被选中的情形共有6种，因此男生a被选中的概率为610＝35.(2)男生a和女生d至少有一人被选中的情形共有9种，故男生a和女生d至少有一人被选中的概率为910.友爱的同学请你写上学习心得________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________。
高考数学总复习 第15单元 推理与证明单元课件(理)苏教版
纳整理成一张图表，便于记忆运用.
举一反三
2. 类比圆的下列特征，找出球的相关特征.
（1）平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆;
（2）平面内不共线的3个点确定一个圆； （3）圆的周长和面积可求; （4）在平面直角坐标系中,以点（x0,y0）为圆心，r为半径的 圆的方程为（x-x0）2+(y-y0)2=r2. 解析:（1）在空间中与定点距离等于定长的点的集合是球;
（4）在实数加法中，任意实数与0相加都不改变大小，即a+0=a.
在向量加法中，任意向量与零向量相加，既不改变该向量的大 小，也不改变该向量的方向,即a+0=a. 学后反思 (1)类比推理是个别到个别的推理，或是由一般到一
般的推理.
(2)类比是对知识进行理线串点的好方法.在平时的学习与复习 中，常常以一到两个对象为中心，把它与有类似关系的对象归
2an ,n∈N*,试猜想这个数列 2 an
4 解析: 2 a 2a1 2 , a 2a2 3 1 2 3 2 a1 1 , 2 a2 2 2 2 4 2 a 3 2 1 3 2a3 1 2 a4 2 1 2 a3 2 5 an , , … ，猜想： . n 1 2
质点到达（4,4）处，走过的长度单位是20=2+4+6+8,方向向上； ……
猜想：质点到达(n,n)处，走过的长度单位是2+4+6+…+2n=n(n+1),
且n为偶数时运动方向与y轴相同,n为奇数时运动方向与x轴相同. 所以2 000秒后是指质点到达（44,44）后，继续前进了20个单位，
由图中规律可得向.
且每秒移动一个单位长度，那么2 000秒后，这个质点所处位置
苏教版高中数学选修高考一轮理归纳法一轮复习限时提分训练基础到提升含精细解析Word含答案
数学归纳法分层训练A 级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n ＋y n能被x ＋y 整除”，在进行第二步证明时，给出四种证法．①假设n ＝k (k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立； ②假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋1命题成立； ③假设n ＝2k ＋1(k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立； ④假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋2命题成立． 正确证法的序号是________．解析 ①②③中，k ＋1不一定表示奇数，只有④中k 为奇数，k ＋2为奇数． 答案 ④2．用数学归纳证明：对任意的n ∈N *,34n ＋2＋52n ＋1能被14整除的过程中，当n ＝k ＋1时，34(k ＋1)＋2＋52(k ＋1)＋1可变形为________． 答案 34(34k ＋2＋52k ＋1)－52k ＋1×563．(2010·寿光一中模拟)若存在正整数m ，使得f (n )＝(2n －7)3n＋9(n ∈N *)能被m 整除，则m ＝________.解析 f (1)＝－6，f (2)＝－18，f (3)＝－18，猜想：m ＝－6. 答案 64．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开的式子是________．解析 假设当n ＝k 时，原式能被9整除，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除． 当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可． 答案 (k ＋3)35．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上________．解析 ∵当n ＝k 时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2， 当n ＝k ＋1时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2，∴当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2.答案 (k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)26．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________． 解析 ∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2，∴f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2； ∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2. 答案 f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2二、解答题(每小题15分，共30分)7．(2012·苏中三市调研)已知数列{a n }满足：a 1＝12，a n ＋1＝2a n a n ＋1(n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值；(2)证明：不等式0<a n <a n ＋1对于任意的n ∈N *都成立． (1)解 由题意，得a 2＝23，a 3＝45.(2)证明 ①当n ＝1时，由(1)，知0<a 1<a 2，即不等式成立． ②设当n ＝k (k ∈N *)时，0<a k <a k ＋1成立， 则当n ＝k ＋1时，由归纳假设，知a k ＋1>0. 而a k ＋2－a k ＋1＝2a k ＋1a k ＋1＋1－2a k a k ＋1＝2a k ＋1a k ＋1－2a k a k ＋1＋1a k ＋1＋1a k ＋1＝2a k ＋1－a ka k ＋1＋1a k ＋1>0，∴0<a k ＋1<a k ＋2，即当n ＝k ＋1时，不等式成立． 由①②，得不等式0<a n <a n ＋1对于任意n ∈N *成立．8．(2011·盐城调研)已知数列{a n }满足a n ＋1＝－a 2n ＋pa n (p ∈R )，且a 1∈(0,2)，试猜想p 的最小值，使得a n ∈(0,2)对n ∈N *恒成立，并给出证明． 证明 当n ＝1时，a 2＝－a 21＋pa 1＝a 1(－a 1＋p )． 因为a 1∈(0,2)，所以欲使a 2∈(0,2)恒成立，则要⎩⎪⎨⎪⎧p ＞a 1，p ＜a 1＋2a 1恒成立，解得2≤p ≤22，由此猜想p 的最小值为2. 因为p ≥2，所以要证该猜想成立，只要证：当p ＝2时，a n ∈(0,2)对n ∈N *恒成立． 现用数学归纳法证明： ①当n ＝1时结论显然成立；②假设当n ＝k 时结论成立，即a k ∈(0,2)， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝－a 2k ＋2a k ＝a k (2－a k )， 一方面，a k ＋1＝a k (2－a k )＞0成立，另一方面，a k ＋1＝a k (2－a k )＝－(a k －1)2＋1≤1＜2， 所以a k ＋1∈(0,2)，即当n ＝k ＋1时结论也成立． 由①②可知，猜想成立，即p 的最小值为2.分层训练B 级 创新能力提升1．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764 (n ∈N *)成立，其初始值至少应取________．解析 右边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.答案 82．用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋12n ，则当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上________．解析 ∵当n ＝k 时，左侧＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k 当n ＝k ＋1时，左侧＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2.答案12k ＋1－12k ＋23．在数列{a n }中，a 1＝13且S n ＝n (2n －1)a n ，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式是________．解析 当n ＝2时，a 1＋a 2＝6a 2，即a 2＝15a 1＝115；当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝15a 3， 即a 3＝114(a 1＋a 2)＝135；当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝28a 4， 即a 4＝127(a 1＋a 2＋a 3)＝163.∴a 1＝13＝11×3，a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，a 4＝17×9，故猜想a n ＝12n －12n ＋1.答案 a n ＝12n －12n ＋14．已知S n ＝12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2，当n 分别取1,2,3,4时的值依次为________，所以猜想原式＝________.解析 当n ＝1时，S 1＝12＝1＝(－1)1－1·1×1＋12 当n ＝2时，S 2＝12－22＝－3＝(－1)2－1·2×2＋12 当n ＝3时，S 3＝12－22＋32＝6＝(－1)3－1·3×3＋12当n ＝4时，S 4＝12－22＋32－42＝－10＝(－1)4－1·4×4＋12∴猜想S n ＝(－1)n －1·n n ＋12.答案 1，－3,6，－10 (－1)n －1·n n ＋125．(2010·全国卷)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝c －1a n.(1)设c ＝52，b n ＝1a n －2，求数列{b n }的通项公式；(2)求使不等式a n ＜a n ＋1＜3成立的c 的取值范围． 解 (1)a n ＋1－2＝52－1a n －2＝a n －22a n，1a n ＋1－2＝2a n a n －2＝4a n －2＋2，即b n ＋1＝4b n ＋2.b n ＋1＋23＝4⎝⎛⎭⎪⎫b n ＋23，又a 1＝1，故b 1＝1a 1－2＝－1， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n ＋23是首项为－13，公比为4的等比数列，b n ＋23＝－13×4n －1，b n ＝－4n －13－23.(2)a 1＝1，a 2＝c －1，由a 2＞a 1，得c ＞2. 用数学归纳法证明：当c ＞2时，a n ＜a n ＋1. ①当n ＝1时， a 2＝c －1a 1＞a 1，命题成立；②设当n ＝k 时，a k ＜a k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＝c －1a k ＋1＞c －1a k＝a k ＋1.故由①②知当c ＞2时，a n ＜a n ＋1. 当c ＞2时，因为c ＝a n ＋1＋1a n ＞a n ＋1a n，所以a 2n －ca n ＋1＜0有解， 所以c －c 2－42＜a n ＜c ＋c 2－42，令α＝c ＋c 2－42，当2＜c ≤103时，a n ＜α≤3.当c ＞103时，α＞3，且1≤a n ＜α，于是α－a n ＋1＝1a n α(α－a n )＜13(α－a n )＜132(α－a n －1)＜…＜13n (α－1)．所以α－a n ＋1＜13n (α－1)，当n ＞log 3α－1α－3时，α－a n ＋1＜α－3，a n ＋1＞3，与已知矛盾． 因此c ＞103不符合要求．所以c 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤2，103.6．(2012·扬州中学最后冲刺)已知在正项数列{a n }中，对于一切的n ∈N *均有a 2n ≤a n －a n ＋1成立．(1)证明：数列{a n }中的任意一项都小于1； (2)探究a n 与1n的大小，并证明你的结论．(1)证明 由a 2n ≤a n －a n ＋1，得a n ＋1≤a n －a 2n . 因为在数列{a n }中，a n ＞0，所以a n ＋1＞0.所以a n －a 2n ＞0.所以0＜a n ＜1. 故数列{a n }中的任意一项都小于1. (2)解 由(1)知0＜a n ＜1＝11，那么a 2≤a 1－a 21＝－⎝⎛⎭⎪⎫a 1－122＋14≤14＜12，由此猜想：a n ＜1n(n ≥2)，下面用数学归纳法证明：①当n ＝2时，显然成立；②当n ＝k 时(k ≥2，k ∈N )时，假设猜想正确，即a k ＜1k ≤12，那么a k ＋1≤a k －a 2k ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a k －122＋14＜－⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －122＋14＝1k －1k 2＝k －1k 2＜k －1k 2－1＝1k ＋1，故当n ＝k ＋1时，猜想也正确． 综上所述，对于一切n ∈N *，都有a n ＜1n.。
2020届一轮复习苏教版几何证明选讲学案
选修4－1几何证明选讲A第1讲相似三角形的判定及有关性质[最新考纲]了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理．知识梳理1．平行截割定理(1)平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．(2)平行线分线段成比例定理①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．2．相似三角形的判定与性质(1)相似三角形的判定定理①两角对应相等的两个三角形相似．②两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似．③三边对应成比例的两个三角形相似．(2)相似三角形的性质定理①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．②相似三角形周长的比等于相似比．③相似三角形面积的比等于相似比的平方．3．直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的高，则有CD2＝AD·BD，AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.诊断自测1. 如图，已知a∥b∥c，直线m，n分别与a，b，c交于点A，B，C和A′，B′，C′，如果AB＝BC＝1，A′B′＝32，则B′C′＝________.解析由平行线等分线段定理可直接得到答案．答案3 22.如图，△ABC∽△AFE，EF＝8，且△ABC与△AFE的相似比是3∶2，则BC 等于________．解析∵△ABC∽△AFE，∴BC EF ＝3 2.又EF＝8，∴BC＝12.答案123. (2018·揭阳模拟)如图，BD⊥AE，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则EC ＝________.解析 在Rt △ADB 中， DB ＝AB 2－AD 2＝7，依题意得，△ADB ∽△ACE ，∴DB EC ＝AD AC ，可得EC ＝DB ·ACAD ＝27. 答案 274.如图，∠C ＝90°，∠A ＝30°，E 是AB 中点，DE ⊥AB 于E ，则△ADE 与△ABC 的相似比是________．解析 ∵E 为AB 中点，∴AE AB ＝12，即AE ＝12AB ，在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝32AB ，又∵Rt △AED ∽Rt △ACB ，∴相似比为AE AC ＝13.故△ADE 与△ABC 的相似比为1∶ 3.答案 1∶ 35. (2018·湛江模拟)如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 交于BC 于F ，则BFFC ＝________.解析 如图，过点D 作DG ∥AF ，交BC 于点G ，易得FG ＝GC ，又在△BDG 中，BE ＝DE ，即EF 为△BDG 的中位线，故BF ＝FG ，因此BFFC ＝12.答案 12考点一 平行截割定理的应用【例1】 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，若BC＝3，DE ＝2，DF ＝1，则AB 的长为________．解析由⎩⎪⎨⎪⎧DE ∥BC ，EF ∥CD ，BC ＝3，DE ＝2⇒AE AC ＝AF AD ＝DE BC ＝23，又DF ＝1，故可解得AF ＝2，∴AD ＝3， 又AD AB ＝23，∴AB ＝92.答案 92规律方法 利用平行截割定理解决问题，特别注意被平行线所截的直线，找准成比例的线段，得到相应的比例式，有时需要进行适当的变形，从而得到最终的结果．【训练1】 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2.E ，F 分别为AD ，BC 上的点，且EF ＝3，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为________．解析 如图，延长AD ，BC 交于一点O ，作OH ⊥AB 于点H . ∴x x ＋h 1＝23，得x ＝2h 1，x ＋h 1x ＋h 1＋h 2＝34，得h 1＝h 2. ∴S 梯形ABFE ＝12×(3＋4)×h 2＝72h 2， S 梯形EFCD ＝12×(2＋3)×h 1＝52h 1， ∴S 梯形ABFE ∶S 梯形EFCD ＝7∶5. 答案 7∶5考点二 相似三角形的判定及性质【例2】 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，E 为AC 的中点， ED 、CB 延长线交于一点F . 求证：FD 2＝FB ·FC .证明 ∵E 是Rt △ACD 斜边中点， ∴ED ＝EA ，∴∠A ＝∠1， ∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠A ，∵∠FDC ＝∠CDB ＋∠2＝90°＋∠2，∠FBD ＝∠ACB ＋∠A ＝90°＋∠A ，∴∠FBD ＝∠FDC ，∵∠F 是公共角，∴△FBD ∽△FDC ， ∴FB FD ＝FDFC ，∴FD 2＝FB ·FC .规律方法 判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题．(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等． 【训练2】 (2018·陕西卷)如图，AB 与CD 相交于点E ，过E 作BC 的平行线与AD的延长线交于点P，已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，则PE＝________.解析∵PE∥BC，∴∠C＝∠PED，又∠C＝∠A，则有∠A＝∠PED，又∠为公共角，所以△PDE∽△PEA，PD PE＝PEP A，即PE2＝PD·P A＝2×3＝6，故PE＝ 6.答案 6考点三直角三角形射影定理及其应用【例3】如图所示，AD、BE是△ABC的两条高，DF⊥AB，垂足为F，直线FD 交BE于点G，交AC的延长线于H，求证：DF2＝GF·HF.证明∵∠H＋∠BAC＝90°，∠GBF＋∠BAC＝90°，∴∠H＝∠GBF.∵∠AFH＝∠GFB＝90°，∴△AFH∽△GFB.∴HFBF＝AFGF，∴AF·BF＝GF·HF.因为在Rt△ABD中，FD⊥AB，∴DF2＝AF·BF，所以DF2＝GF·HF.规律方法(1)在使用直角三角形射影定理时，要注意将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．(2)证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解决直角三角形问题时常用的方法．【训练3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AD＝4，sin∠ACD＝45，则CD＝______，BC＝______.解析 在Rt △ADC 中，AD ＝4，sin ∠ACD ＝AD AC ＝45，得AC ＝5，CD ＝AC 2－AD 2＝3，又由射影定理AC 2＝AD ·AB ，得AB ＝AC 2AD ＝254.∴BD ＝AB －AD ＝254－4＝94，由射影定理BC 2＝BD ·AB ＝94×254，∴BC ＝154.答案 3 154三角形相似与圆的交汇问题【典例】 如图所示，⊙O 和⊙O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连接DB 并延长交⊙O 于点E ，证明：(1)AC ·BD ＝AD ·AB ； (2)AC ＝AE .[审题视点] (1)根据待证等式可将各边回归到△ACB ，△DAB 中，再证两三角形相似；(2)本问可先证明△EAD ∽△ABD ，再结合第(1)问结论得证． 证明 (1)由AC 与⊙O ′相切于A ，得∠CAB ＝∠ADB ， 同理∠ACB ＝∠DAB ，所以△ACB ∽△DAB . 从而AC AD ＝AB BD ，即AC ·BD ＝AD ·AB .(2)由AD 与⊙O 相切于A ，得∠AED ＝∠BAD .又∠ADE ＝∠BDA ，得△EAD ∽△ABD . 从而AE AB ＝ADBD ，即AE ·BD ＝AD ·AB . 综合(1)的结论知，AC ＝AE .[反思感悟] 1.易失分点：(1)证明本题第(2)问时，想不到证明△EAD ∽△ABD ，从而无法解答．(2)证明本题第(2)问时，没有应用第(1)问的结论从而无法证明结论成立． 2．防范措施：(1)证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似，若不相似，则进行线段替换或等比替换．(2)在有多个结论的题目中，如果结论带有普遍性，已经证明的结论，可作为证明下一个结论成立的条件使用． 【自主体验】(2018·江苏卷)如图，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，AC 经过圆心O ，且BC ＝2OC .求证：AC ＝2AD证明 连接OD ，因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ， 所以∠ADO ＝∠ACB ＝90°.又因为∠A ＝∠A ，所以Rt △ADO ∽Rt △ACB . 所以AD AC ＝OD BC . 又BC ＝2OC ＝2OD ， 故AC ＝2AD .第2讲直线与圆[最新考纲]1．理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论．2．掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理.知识梳理1．圆周角定理与圆心角定理(1)圆周角定理及其推论①定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．②推论：(i)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．(ii)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．2．弦切角的性质弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．3．圆的切线的性质及判定定理(1)定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．(2)推论：①推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．②推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．4．与圆有关的比例线段基本图形条件结论应用P AB、PCD是⊙O的割线(1)P A·PB＝PC·PD(2)△P AC∽△PDB(1)求线段P A、PB、PC(2)应用相似求AC、BDP A切⊙O于A，PBC是⊙O的割线(1)P A2＝PB·PC(2)△P AB∽△PCA(1)已知P A、PB、PC知一(2)求解AB、ACP A、PB是⊙O的切线(1)P A＝PB(2)∠OP A＝∠OPB(1)证线段相等，已知P(2)求角(1)圆内接四边形的性质定理①定理1：圆内接四边形的对角互补．②定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．(2)圆内接四边形的判定定理及推论①判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．②推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．诊断自测1.如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC为直径的圆与斜边交于点P，则BP长为________．解析连接CP.由推论2知∠CP A＝90°，即CP⊥AB，由射影定理知，AC2＝AP·AB.∴AP＝3.6，∴BP＝AB－AP＝6.4.答案 6.42.如图，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C ，D 是优弧上的点，已知∠BAC ＝80°， 那么∠BDC ＝______.解析 连接OB 、OC ，则OB ⊥AB ，OC ⊥AC ，∴∠BOC ＝180°－∠BAC ＝100°， ∴∠BDC ＝12∠BOC ＝50°. 答案 50°3.如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交 于点P .若PB ＝1，PD ＝3，则BCAD 的值为________．解析 ∵ABCD 为圆内接四边形，∴∠PBC ＝∠ADP ，又∠P ＝∠P ，∴△BCP ∽△DAP ，∴BC AD ＝PB PD ＝13. 答案 134. (2018·广州调研)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 与⊙O 相切，切点为A ，∠MAB ＝35°，则∠D ＝________.解析 连接BD ，由题意知，∠ADB ＝∠MAB ＝35°，∠BDC ＝90°，故∠ADC ＝∠ADB ＋∠BDC ＝125°. 答案 125°5．如图所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若P A＝1，AB＝2，PO ＝3，则⊙O的半径r＝________.解析设⊙O的半径为r(r＞0)，∵P A＝1，AB＝2，∴PB＝P A＋AB＝3.延长PO交⊙O于点C，则PC＝PO＋r＝3＋r.设PO交⊙O于点D，则PD＝3－r.由圆的割线定理知，P A·PB＝PD·PC，∴1×3＝(3－r)(3＋r)，则r＝ 6.答案 6考点一圆周角、弦切角及圆的切线问题【例1】如图所示，⊙O的直径为6，AB为⊙O的直径，C为圆周上一点，BC ＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于D、E.(1)求∠DAC的度数；(2)求线段AE的长．解(1)由已知△ADC是直角三角形，易知∠CAB＝30°，由于直线l与⊙O相切，由弦切角定理知∠BCF＝30°，由∠DCA＋∠ACB＋∠BCF＝180°，又∠ACB＝90°，知∠DCA＝60°，故在Rt△ADC中，∠DAC＝30°.(1)(2)法一连接BE，如图(1)所示，∠EAB＝60°＝∠CBA，则Rt△ABE≌Rt△BAC，所以AE＝BC＝3.法二连接EC，OC，如图(2)所示，则由弦切角定理知，∠DCE＝∠CAE＝30°，又∠DCA＝60°，故∠ECA＝30°，(2)又因为∠CAB＝30°，故∠ECA＝∠CAB，从而EC∥AO，由OC⊥l，AD⊥l，可得OC∥AE，故四边形AOCE是平行四边形，又因为OA＝OC，故四边形AOCE是菱形，故AE＝AO＝3.规律方法(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．【训练1】如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.(1)证明：△ABE∽△ADC；(2)若△ABC的面积S＝12AD·AE，求∠BAC的大小．(1)证明由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD. 因为∠AEB与∠ACD是同弧所对的圆周角．所以∠AEB ＝∠ACD .故△ABE ∽△ADC .(2)解 因为△ABE ∽△ADC ，所以AB AD ＝AEAC ，即AB ·AC ＝AD ·AE 又S ＝12AB ·AC sin ∠BAC ，且S ＝12AD ·AE ， 故AB ·AC sin ∠BAC ＝AD ·AE ，则sin ∠BAC ＝1.又∠BAC 为△ABC 的内角， 所以∠BAC ＝90°.考点二 与圆有关的比例线段【例2】 如图，P A 切⊙O 于点A ，割线PBC 交⊙O 于点B ，C ，∠APC 的角平分线分别与AB 、AC 相交于点D 、E ，求证：(1)AD ＝AE ； (2)AD 2＝DB ·EC .证明 (1)∠AED ＝∠EPC ＋∠C ， ∠ADE ＝∠APD ＋∠P AB .因PE 是∠APC 的角平分线，故∠EPC ＝∠APD . 又P A 是⊙O 的切线，故∠C ＝∠P AB . 所以∠AED ＝∠ADE .故AD ＝AE .(2)⎭⎬⎫∠PCE ＝∠P AD ∠CPE ＝∠APD ⇒△PCE ∽△P AD ⇒EC AD ＝PCP A ；⎭⎬⎫∠PEA ＝∠PDB ∠APE ＝∠BPD ⇒△P AE ∽△PBD ⇒AE DB ＝P APB .又P A 是切线，PBC 是割线⇒P A 2＝PB ·PC ⇒P A PB ＝PCP A . 故EC AD ＝AEDB ，又AD ＝AE ，故AD 2＝DB ·EC .规律方法涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似，在相似三角形中寻找比例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理．【训练2】(2018·天津卷)如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F.若AB ＝AC，AE＝6，BD＝5，则线段CF的长为________．解析由切割线定理得AE2＝EB·ED，解得EB＝4.因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB＝∠ADB.由弦切角定理得∠EAB＝∠EDA，所以∠EAB＝∠ABC，则AE∥BC，因为AC∥BD，所以四边形AEBC是平行四边形．所以AE＝BC＝6，AC＝EB＝4，又由题意可得△CAF∽△CBA，所以CACB＝CF CA，CF＝CA2CB＝83.答案83考点三圆内接四边形的判定及应用【例3】(2018·银川一中月考)如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠P AC的内部，点M是BC的中点．(1)证明：A、P、O、M四点共圆；(2)求∠OAM＋∠APM的大小．(1)证明连接OP，OM，因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP.因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC，于是∠OP A＋∠OMA＝180°.由圆心O在∠P AC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A、P、O、M四点共圆．(2)解由(1)得A、P、O、M四点共圆，所以∠OAM＝∠OPM，由(1)得OP⊥AP，因为圆心O在∠P AC的内部，所以∠OPM＋∠APM＝90°，所以∠OAM＋∠APM＝90°.规律方法(1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆；(2)如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．【训练3】如图，已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于点H，∠ABC＝60°，F在AC上，且AE＝AF.求证：(1)B、D、H、E四点共圆；(2)CE平分∠DEF.证明(1)在△ABC中，∵∠ABC＝60°，∴∠BAC＋∠BCA＝120°.∵AD，CE分别是△ABC的角平分线，∴∠HAC＋∠HCA＝60°，∴∠AHC＝120°.∴∠EHD＝∠AHC＝120°.∴∠EBD＋∠EHD＝180°.∴B，D，H，E四点共圆．(2)连接BH，则BH为∠ABC的平分线，∴∠EBH＝∠HBD＝30°.由(1)知B，D，H，E四点共圆，∴∠CED＝∠HBD＝30°，∠HDE＝∠EBH＝30°.∴∠HED＝∠HDE＝30°.∵AE＝AF，AD平分∠BAC，∴EF⊥AD.又∠EHA＝∠HDE＋∠CED＝60°，∴∠CEF＝30°.∴CE平分∠DEF.关于圆的综合应用【典例】如图所示，已知⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1，⊙O2于点D，E，DE与AC 相交于点P.(1)求证：AD∥EC；(2)若AD是⊙O2的切线，且P A＝6，PC＝2，BD＝9，求AD的长．[审题视点](1)连接AB，在⊙O1中使用弦切角定理，在⊙O2中使用圆周角定理，即可证明∠D＝∠E；(2)根据切割线定理，只要求出BE的长度即可，在⊙O2中根据相交弦定理可得BP·PE，根据(1)中△ADP∽△CEP，又可得BP，PE的一个方程，解方程组求出BP ，PE 的长度即可． (1)证明 连接AB ，如图所示．∵AC 是⊙O 1的切线，∴∠BAC ＝∠D . 又∵∠BAC ＝∠E .∴∠D ＝∠E .∴AD ∥EC . (2)解 设BP ＝x ，PE ＝y ， ∵P A ＝6，PC ＝2，∴xy ＝12.① ∵根据(1)，可得△ADP ∽△CEP ， ∴DP EP ＝APCP ，即9＋x y ＝62，②由①②，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝－1.(负值舍去)∴DE ＝9＋x ＋y ＝16.∵AD 是⊙O 2的切线，∴AD 2＝DB ·DE ＝9×16. ∴AD ＝12.[反思感悟] 在平面几何的有关计算中往往要使用比例线段，产生比例线段的一个主要根据是两三角形相似，本题中使用三角形的相似把⊙O 2中两条待求的线段联系起来，发挥了相似三角形的桥梁作用．在涉及两圆的公共弦时，通常是作出两圆的公共弦，如果有过公共点的切线就可以使用弦切角定理，在两个圆内实现角的等量代换，这是解决两个圆相交且在交点处有圆的切线问题的基本思考方向．【自主体验】如图，梯形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，过B 引⊙O 的切线分别交DA 、CA 的延长线于E 、F .(1)求证：AB 2＝AE ·BC ；(2)已知BC ＝8，CD ＝5，AF ＝6，求EF 的长． (1)证明 ∵BE 切⊙O 于B ， ∴∠ABE ＝∠ACB .又AD ∥BC ，∴∠EAB ＝∠ABC ， ∴△EAB ∽△ABC ， ∴AE AB ＝AB BC . ∴AB 2＝AE ·BC .(2)解 由(1)△EAB ∽△ABC ，∴BE AC ＝AB BC . 又AE ∥BC ，∴EF AF ＝BE AC ，∴AB BC ＝EF AF. 又AD ∥BC ，∴，∴AB ＝CD ，∴CD BC ＝EF AF ，∴58＝EF6， ∴EF ＝308＝154.。
高考数学一轮总复习 15.1 几何证明选讲课件 理 苏教版
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• 知识梳理
• 1．平行截割定理
平• 行线 (1)平行线等分线段定理
相等(xiāngděng
• 如果一组
在一条直线(zhíxiàn)上截
得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线
比例(bǐlì)
相交的)直线(zhíxiàn)上截得的线段也
．
第二页，共36页。
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• (2)法一 连接(liánjiē)BE，如图(1)所示， ∠EAB＝60°＝∠CBA，
• 则Rt△ABE≌Rt△BAC，所以AE＝BC＝3.
(1)
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•法二 连接EC，OC，如图(2)所示，则由弦切 角定理(dìnglǐ)知，∠DCE＝∠CAE＝30°，又 ∠DCA＝60°，故∠ECA＝30°，又因为 ∠CAB＝30°，故∠ECA＝∠CAB，从而 EC∥AO，
过A作两圆的切线分别交两 第三十一页，共36页。
证明 (1)由 AC 与⊙O′相切于 A， 得∠CAB＝∠ADB，同理∠ACB＝∠DAB， 所以△ACB∽△DAB. 从而AADC＝BADB， 即 AC·BD＝AD·AB.
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(2)由 AD 与⊙O 相切于 A， 得∠AED＝∠BAD， 又∠ADE＝∠BDA， 得△EAD∽△ABD. 从而AABE＝ABDD， 即 AE·BD＝AD·AB. 结合(1)的结论，AC＝AE
• 3．直角三角形射影定理(dìnglǐ)
该直角(zhíjiǎo)边在斜边上的射
• 与斜直边角的乘三积角(ch形éng一jī) 条直角边的平方两等条直于角边在斜边
上的射影的乘积
•
，斜边上的高的平方等于
高考数学一轮复习讲练测(江苏版)：专题11.5 几何证明(讲)答案解析
【最新考纲解读】内容要求备注A B C几何证明选讲相似三角形的判定与性质定理√对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A、B、C表示）.了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.射影定理√圆的切线的判定与性质定理√圆周角定理，弦切角定理√相交弦定理、割线定理、切割线定理√圆内接四边形的判定与性质定理√【考点深度剖析】1. 江苏近几年的高考，几何证明选讲主要考查相似三角形的判定与性质定理、圆的切线的判定与性质定理、圆周角定理、弦切角定理、切割线定理和圆的内接四边形问题等..2. 平行截割定理是平行线等分线段定理的一般情形，是研究相似形最重要和最基本的理论，其证明体现了化归的思想，把它应用在三角形上就得到了定理的一个重要推论，这个推论是判定三角形相似的理论基础。
本讲的内容在初中已经通过观察、实验和操作的方法初步了解，这里不仅是对初中知识的深化，更侧重于逻辑推理与抽象思维.【经典例题精析】考点1:相似三角形【1-1】【徐州2015质量检测】如图，F为▱ABCD的边AD延长线上的一点，DF＝AD，BF分别交DC ，AC 于G ，E 两点，EF ＝16，GF ＝12，则BE 的长为________．【答案】8【解析】由DF ＝AD ，AB ∥CD 知BG ＝GF ＝12，又EF ＝16知EG ＝4，故BE ＝8. 【1-2】【2015届高考模拟考试（二）】在△ABC 中，点D 在线段BC 上，∠BAC ＝∠ADC ，AC ＝8，BC ＝16，则CD 的长为________． 【答案】4【1-3】【2015·扬州调研考试】如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC 且ADDB＝2，那么△ADE 与四边形DBCE 的面积比是________．【答案】45【解析】∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴S △ADE S △ABC ＝AD 2AB 2.∵AD DB ＝2，∴AD AB ＝23，∴S △ADE S △ABC ＝49，∴S △ADES 四边形DBCE ＝45.【1-4】【苏州2015联考】如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D 点，BC 2＝BD ·AB ，则∠ACB ＝______.【答案】90°【解析】在△ABC 与△CBD 中，由BC 2＝BD ·AB ， 得BC BD ＝ABBC，且∠B ＝∠B ， 所以△ABC ∽△CBD .则∠ACB ＝∠CDB ＝90°.【1-5】如图，在▱ABCD 中，E 是BC 上一点，BE ∶EC ＝2∶3，AE 交BD 于F ，则BF ∶FD 等于________．【答案】25【基础知识】1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等． 推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边． 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． 2．平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例． 3．相似三角形的判定与性质 (1)判定定理：(2)【思想方法】.1．判定两个三角形相似的常规思路(1)先找两对对应角相等；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”． 2．借助图形判断三角形相似的方法(1)有平行线的可围绕平行线找相似；(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例； (3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边． 【温馨提醒】1．判定两个三角形相似要注意结合图形特征灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．2．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；也可间接证明线段相等． 考点2：直线与圆【2-1】【2014苏州模拟】如图所示，在四边形ABCP 中，线段AP 与BC 的延长线交于点D ，已知AB ＝AC 且A ，B ，C ，P 四点共圆．(1)求证：PC AC ＝PDBD；(2)若AC ＝4，求AP ·AD 的值． 【答案】（1）详见解析（2）16(2)因为AB ＝AC ，所以∠ACB ＝∠ABC ，又∠ACD ＋∠ACB ＝180°，所以∠ACD ＋∠ABC ＝180°.由于∠ABC ＋∠APC ＝180°，所以∠ACD ＝∠APC ，又∠CAP ＝∠DAC ，所以△APC ∽△ACD ，所以AP AC ＝ACAD，所以AP ·AD ＝AC 2＝16.【2-2】(如皋2015模拟考试) 如图，EB ，EC 是⊙O 的两条切线，B ，C 是切点，A ，D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝46°，∠DCF ＝32°，则∠BAD 等于________．【答案】99°【2-3】【2015无锡模拟】如图，P A 是⊙O 的切线，切点为A ，过P A 的中点M 作割线交⊙O 于点B 和C ，若∠BMP ＝110°，∠BPC ＝30°，则∠MPB ＝________.【答案】20°【解析】由切割线定理得，MA 2＝MB ·MC ，又MA ＝MP ，故MP 2＝MB ·MC ，即MB MP ＝MP MC ，又∠BMP ＝∠PMC .故△BMP ∽△PMC ，所以∠MPB ＝∠MCP ，所以30°＋∠MPB ＋∠MCP ＝∠AMB ＝180°－110°＝70°，所以∠MPB ＝20°.【2-4】如图，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于点A ，点B ，且PB ＝7，C 是圆上一点，使得BC ＝5，∠BAC ＝∠APB ，则AB ＝________.【答案】35【解析】由P A 为圆O 的切线可得，∠P AB ＝∠ACB ，又∠BAC ＝∠APB ，于是△APB ∽△CAB ，所以PB AB ＝ABBC，而PB ＝7，BC ＝5，故AB 2＝PB ·BC ＝7×5＝35，即AB ＝35.【2-5】如图， △ABC 为圆的内接三角形， BD 为圆的弦， 且BD ∥AC . 过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F .若AB ＝AC ，AE ＝6，BD ＝ 5，则线段CF 的长为________．【答案】83【基础知识】1．圆周角定理 (1)圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (2)圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．2．圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质定理1：圆内接四边形的对角互补．定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．(2)判定判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．3．圆的切线性质及判定定理(1)性质：性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．(2)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(3)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．4．与圆有关的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．【思想方法】1．与圆有关的辅助线的五种作法(1)有弦，作弦心距．(2)有直径，作直径所对的圆周角．(3)有切点，作过切点的半径．(4)两圆相交，作公共弦．(5)两圆相切，作公切线．2．证明四点共圆的常用方法(1)利用圆内接四边形的判定定理，证明四点组成的四边形的对角互补；(2)证明它的一个外角等于它的内对角；(3)证明四点到同一点的距离相等．当证明四点共圆以后，圆的各种性质都可以得到应用．3．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比，由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用．【温馨提醒】1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角.。
2015届高考苏教版数学大一轮复习配套课件：第15章 第1节 坐标系
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第六页，编辑于星期五：十点 三十三分。
第一节 坐 标 系 结束
[试一试] 1．点 P 的极坐标为2，－π3，则点 P 的直角坐标为________．
解析：∵ρ＝2，θ＝－π3.
∴x＝ρcos θ＝2cos－π3＝1，
y＝ρsin θ＝2sin－π3＝－ 3. 答案：(1，－ 3)
点M
互化
公式
直角坐标(x，y) x＝ ρcos θ y＝ ρsin θ
极坐标(ρ，θ) ρta2n＝θ＝x2＋xyyx2≠0
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4.常见曲线的极坐标方程
曲线
图形
圆心在极点，半
径为r的圆
圆心为(r,0)，半
径为r的圆
圆心为，半径为
r的圆
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x′9 2－y1′62＝1， 即x92－1y62 ＝1 为曲线 C′的方程，可见仍是双曲线，则焦点
F1(－5,0)，F2(5,0)为所求．答案：(－5,0)或(5,0)
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第一节 坐 标 系 结束
[类题通法] 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩 变换xy′′＝＝μλ··xy，，λμ>>00 下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变 成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也 可以变成圆．
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(江苏专版)2019届高考数学一轮复习 23.1几何证明选讲 理.doc
（江苏专版）2019届高考数学一轮复习 23.1几何证明选讲理14.(2015江苏,21A,10分)[选修4—1:几何证明选讲]如图,在△ABC中,AB=AC,△ABC的外接圆☉O的弦AE交BC于点D.求证:△ABD∽△AEB.证明因为AB=AC,所以∠ABD=∠C.又因为∠C=∠E,所以∠ABD=∠E,又∠BAE为公共角,可知△ABD∽△AEB.15.(2015课标Ⅰ,22,10分)(选修4—1:几何证明选讲)如图,AB是☉O的直径,AC是☉O的切线,BC交☉O于点E.(1)若D为AC的中点,证明:DE是☉O的切线;(2)若OA=CE,求∠ACB的大小.解析(1)连结AE,由已知得,AE⊥BC,AC⊥AB.在Rt△AEC中,由已知得,DE=DC,故∠DEC=∠DCE.连结OE,则∠OBE=∠OEB.又∠ACB+∠ABC=90°,所以∠DEC+∠OEB=90°,故∠OED=90°,DE是☉O的切线.(5分) (2)设CE=1,AE=x,由已知得AB=2,BE=.由射影定理可得,AE2=CE·BE,所以x2=,即x4+x2-12=0.可得x=,所以∠ACB=60°.(10分)16.(2015课标Ⅱ,22,10分)(选修4—1:几何证明选讲)如图,O为等腰三角形ABC内一点,☉O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高AD交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.(1)证明:EF∥BC;(2)若AG等于☉O的半径,且AE=MN=2,求四边形EBCF的面积.解析(1)由于△ABC是等腰三角形,AD⊥BC,所以AD是∠CAB的平分线.又因为☉O分别与AB,AC相切于点E,F,所以AE=AF,故AD⊥EF.从而EF∥BC.(2)由(1)知,AE=AF,AD⊥EF,故AD是EF的垂直平分线.又EF为☉O的弦,所以O在AD上. 连结OE,OM,则OE⊥AE.由AG等于☉O的半径得AO=2OE,所以∠OAE=30°.因此△ABC和△AEF都是等边三角形.因为AE=2,所以AO=4,OE=2.因为OM=OE=2,DM=MN=,所以OD=1.于是AD=5,AB=.所以四边形EBCF的面积为××-×(2)2×=.1.(2015重庆,14,5分)如图,圆O的弦AB,CD相交于点E,过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P,若PA=6,AE=9,PC=3,CE∶ED=2∶1,则BE= .答案 22.(2015天津改编,5,5分)如图,在圆O中,M,N是弦AB的三等分点,弦CD,CE分别经过点M,N.若CM=2,MD=4,CN=3,则线段NE的长为.答案3.(2015湖北,15,5分)(选修4—1:几何证明选讲)如图,PA是圆的切线,A为切点,PBC是圆的割线,且BC=3PB,则= .答案4.(2015广东,15,5分)(几何证明选讲选做题)如图,已知AB是圆O的直径,AB=4,EC是圆O 的切线,切点为C,BC=1.过圆心O作BC的平行线,分别交EC和AC于点D和点P,则OD= .答案817.(2015陕西,22,10分)选修4—1:几何证明选讲如图,AB切☉O于点B,直线AO交☉O于D,E两点,BC⊥DE,垂足为C.(1)证明:∠CBD=∠DBA;(2)若AD=3DC,BC=,求☉O的直径.解析(1)证明:因为DE为☉O直径,则∠BED+∠EDB=90°,又BC⊥DE,所以∠CBD+∠EDB=90°,从而∠CBD=∠BED.又AB切☉O于点B,得∠DBA=∠BED,所以∠CBD=∠DBA.(2)由(1)知BD平分∠CBA,则==3,又BC=,从而AB=3.所以AC==4,所以AD=3.由切割线定理得AB2=AD·AE,即AE==6,故DE=AE-AD=3,即☉O直径为3.18.(2015湖南,16(1),6分)选修4—1:几何证明选讲如图,在☉O中,相交于点E的两弦AB,CD的中点分别是M,N,直线MO与直线CD相交于点F.证明:(1)∠MEN+∠NOM=180°;(2)FE·FN=FM·FO.解析证明:(1)如图所示.因为M,N分别是弦AB,CD的中点,所以OM⊥AB,ON⊥CD,即∠OME=90°,∠ENO=90°,因此∠OME+∠ENO=180°.又四边形的内角和等于360°,故∠MEN+∠NOM=180°.(2)由(1)知,O,M,E,N四点共圆,故由割线定理即得FE·FN=FM·FO.。
版高考数学一轮复习 第15章 几何证明选讲配套文档 理 苏教版
第十五章系列4选考部分第1讲几何证明选讲对应学生用书P219考点梳理1．平行截割定理(1)平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等．(2)平行线分线段成比例定理两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例．2．相似三角形的判定与性质(1)相似三角形的判定定理①两角对应相等的两个三角形相似．②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三边对应成比例的两个三角形相似；(2)相似三角形的性质定理①相似三角形的对应线段的比等于相似比．②相似三角形周长的比等于相似比．③相似三角形面积的比等于相似比的平方．3．直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上的射影的乘积．4．圆中有关的定理(1)圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧的度数的一半．(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．(3)切线的判定与性质定理①切线的判定定理过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线．②切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径．(4)切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等．(5)弦切角定理：弦切角的度数等于其所夹弧的度数的一半．(6)相交弦定理：圆的两条相交弦，每条弦被交点分成的两条线段长的积相等．(7)切割线定理从圆外一点引圆的一条割线与一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段长的等比中项．(8)圆内接四边形的性质与判定定理①圆内接四边形判定定理a．如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆；b．如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．②圆内接四边形性质定理a．圆内接四边形的对角互补；b．圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．【助学·微博】复习时仍以圆与三角形的综合为主，难度中等．(1)要掌握好基础知识，如相似三角形的判定与性质定理、圆周角与弦切角定理、圆的内接四边形的判定与性质定理、与圆有关的比例线段，这些定理是进行几何证明的依据．(2)高考试题多以圆为载体，和三角形、四边形相结合来命题，这类试题往往要综合运用多个定理或添设一定的辅助线才能解决，在解题时要注意总结一些添设辅助线的方法技巧．考点自测1.(2009·江苏卷)如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.求证：AB∥CD.证明由△ABC≌△BAD，得∠ACB＝∠BDA，故A、B、C、D四点共圆，从而∠CAB＝∠CDB.再由△ABC≌△BAD，得∠CAB＝∠DBA.因此∠DBA＝∠CDB，∴AB∥CD.2.(2012·镇江市期末考试)已知梯形ABCD 为圆内接四边形，AD ∥BC ，过点C 作该圆的切线，交AD 的延长线于点E ，求证：△ABC ∽△EDC . 证明 因为CE 为圆的切线，所以∠DCE ＝∠DAC . 因为AD ∥BC ，所以∠DAC ＝∠BCA ，所以∠DCE ＝∠BCA .因为梯形ABCD 为圆内接四边形，所以∠EDC ＝∠ABC .所以△ABC ∽△EDC . 3.(2013·镇江调研)如图，圆O 的直径AB ＝4，C 为圆周上的一点，BC ＝2，过点C 作圆O 的切线l ，过点A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆O 交于点D 、E ，求∠DAC 的度数与线段AE 的长．证明 在Rt △ABC 中，AB ＝2BC ，因此∠ABC ＝60°. 由于直线l 为过点C 的切线，∠DCA ＝∠CBA ， 所以∠DCA ＝60°.由AD ⊥DC ，得∠DAC ＝30°. 则在△AOE 中，∠EAO ＝∠DAC ＋∠CAB ＝60°，OE ＝OA . 于是AE ＝AO ＝12AB ＝2.对应学生用书P220考向一 相似三角形的判定及性质【例1】如图，BD 、CE 是△ABC 对应边上的高． 求证：△ADE ∽△ABC .证明 ∵BD 、CE 是△ABC 的高， ∴∠AEC ＝∠ADB ＝90°.又∵∠A ＝∠A ，∴△AEC ∽△ADB ，∴AD AE ＝AB AC. 又∵∠A ＝∠A ，∴△ADE ∽△ABC .[方法总结] (1)判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等． 【训练1】如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，EF 与BD 相交于点M .若DB ＝9，求BM 的长． 解 ∵E 是AB 的中点，∴AB ＝2EB . ∵AB ＝2CD ，∴CD ＝EB .又AB ∥CD ，∴四边形CBED 是平行四边形．∴CB ∥DE ，∴⎩⎪⎨⎪⎧∠DEM ＝∠BFM ，∠EDM ＝∠FBM ，∴△EDM ∽△FBM .∴DM BM ＝DE BF. ∵F 是BC 的中点，∴DE ＝2BF . ∴DM ＝2BM ，∴BM ＝13DB ＝3.考向二 与圆有关的相似三角形的判定【例2】(2012·新课标全国卷)如图，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交△ABC 的外接圆于F ，G 两点．若CF ∥AB ，证明：(1)CD ＝BC ； (2)△BCD ∽△GBD . 证明(1)如图，因为D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以DE ∥BC .又已知CF ∥AB ，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF ＝BD ＝AD .而CF ∥AD ，连结AF ，所以四边形ADCF 是平行四边形，故CD ＝AF .因为CF ∥AB ，所以BC ＝AF ，故CD ＝BC . (2)因为FG ∥BC ，故GB ＝CF . 由(1)可知BD ＝CF ，所以GB ＝BD .∴∠BGD ＝∠BDG ，由BC ＝CD 知，∠CBD ＝∠CDB . 又因为∠DGB ＝∠EFC ＝∠DBC ，故△BCD ∽△GBD .[方法总结] 在证明角或线段相等时，要注意等量代换．在证明线段的乘积相等时，通常用三角形相似或圆的切割线定理． 【训练2】(2012·南京调研)如图，已知圆上的弧AC ︵＝BD ︵，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：(1)∠ACE ＝∠BCD ； (2)BC 2＝BE ·CD .证明 (1)因为AC ︵＝BD ︵，所以∠ABC ＝∠BCD . 又因为EC 与圆相切于点C ，故∠ACE ＝∠ABC ， 所以∠ACE ＝∠BCD .(2)因为∠ECB ＝∠CDB ，∠EBC ＝∠BCD ， 所以△BDC ∽△ECB ，故BC BE ＝CD BC，即BC 2＝BE ·CD .考向三 相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理的应用 【例3】 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，F 为⊙O 上的点，AC 是∠BAF 的平分线，过点C 作CD ⊥AF 交AF 的延长线于D 点，CM ⊥AB ，垂足为点M . 证明：(1)DC 是⊙O 的切线； (2)AM ·MB ＝DF ·DA .证明(1)如图，连接OC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC.又∵AC是∠BAF的平分线，∴∠DAC＝∠OAC.∴∠DAC＝∠OCA.∴AD∥OC.又CD⊥AD，∴OC⊥CD，即DC是⊙O的切线．(2)∵AC是∠BAF的平分线，∠CDA＝∠CMA＝90°，∴CD＝CM.由(1)知DC2＝DF·DA，又CM2＝AM·MB，∴AM·MB＝DF·DA.[方法总结] 已知圆的切线时，第一要考虑过切点和圆心的连线得直角；第二应考虑弦切角定理；第三涉及线段成比例或线段的积时要考虑切割线定理．【训练3】如图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D.求证：ED2＝EC·EB.证明因为AE是圆的切线，所以∠ABC＝∠CAE.又因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD＝∠CAD.从而∠ABC＋∠BAD＝∠CAE＋∠CAD.因为∠ADE＝∠ABC＋∠BAD，∠DAE＝∠CAE＋∠CAD，所以∠ADE＝∠DAE，故EA＝ED.因为EA是圆的切线，所以由切割线定理知，EA2＝EC·EB.而EA＝ED，所以ED2＝EC·EB.考向四四点共圆的判定【例4】如图，已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF. 证明：(1)B、D、H、E四点共圆；(2)EC平分∠DEF.证明(1)在△ABC中，因为∠B＝60°，所以∠BAC＋∠BCA＝120°.因为AD、CE是角平分线，所以∠HAC＋∠HCA＝60°，故∠AHC＝120°.于是∠EHD＝∠AHC＝120°.因为∠EBD＋∠EHD＝180°，所以B、D、H、E四点共圆．(2)连接BH，则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD＝30°.由(1)知B、D、H、E四点共圆，所以∠CED＝∠HBD＝30°.又∠AHE＝∠EBD＝60°，由已知可得EF⊥AD，可得∠CEF＝30°.所以EC平分∠DEF.[方法总结] (1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆；(2)如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．【训练4】如图所示，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．(1)证明：A，P，O，M四点共圆；(2)求∠OAM＋∠APM的大小．(1)证明连接OP、OM，∵AP与⊙O相切于P，∴OP⊥AP，又∵M是⊙O的弦BC的中点，∴OM⊥BC，于是∠OMA＋∠OPA＝180°，由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，∴A，P，O，M四点共圆．(2)解由(1)得A，P，O，M四点共圆，可知∠OAM＝∠OPM，又∵OP⊥AP，由圆心在∠PAC的内部，可知∠OPM＋∠APM＝90°，∴∠OAM＋∠APM＝90°.对应学生用书P221规范解答27 化解与转化法在几何证明中的应用以近几年的高考来看，几何证明的高考命题集中在以圆为载体和三角形、四边形相结合的综合性题目上，这类试题往往要综合运用多个定理和添加一定的辅助线才能解决．【示例】(2012·辽宁卷)如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB延长交⊙O于点E.证明：(1)AC·BD＝AD·AB；(2)AC＝AE.[审题路线图] (1)证明AC·BD＝AD·AB，转化成比例，利用三角形相似得出；(2)证明线段相等可以利用相似、等量代换等转化．[解答示范] 证明：(1)由AC与⊙O′相切于A，得∠CAB＝∠ADB，同理∠ACB ＝∠DAB ， 所以△ACB ∽△DAB . 从而AC AD ＝ABBD，即AC ·BD ＝AD ·AB .(4分)(2)由AD 与⊙O 相切于A ，得∠AED ＝∠BAD ， 又∠ADE ＝∠BDA ，得△EAD ∽△ABD .从而AE AB ＝ADBD， 即AE ·BD ＝AD ·AB .(8分) 结合(1)的结论，AC ＝AE .(10分)[点评] 本题考查平面几何中的相似三角形知识及弦切角知识，关键是要把握相似三角形的判定定理，分清各种情况的符合条件，看两个三角形已经具备哪些条件，还差哪个条件，再去考虑．高考经典题组训练1.(2012·江苏卷)如图，AB 是圆O 的直径，D ，E 为圆O 上位于AB 异侧的两点，连结BD 并延长至点C ，使BD ＝DC ，连结AC ，AE ，DE . 求证：∠E ＝∠C . 证明如图，连接OD ，因为BD ＝DC ，O 为AB 的中点，所以OD ∥AC ， 于是∠ODB ＝∠C .因为OB ＝OD ，所以∠ODB ＝∠B . 于是∠B ＝∠C .因为点A ，E ，B ，D 都在圆O 上，且D ，E 为圆O 上位于AB 异侧的两点，所以∠E 和∠B为同弧所对的圆周角，故∠E ＝∠B .所以∠E ＝∠C . 2.(2010·江苏卷)AB 是⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，过点D 作⊙O 的切线交AB 延长线于C ，若DA ＝DC ，求证：AB ＝2BC . 证明 如图，连接OD 、BD .∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，AB ＝2OB . ∵DC 是⊙O 的切线， ∴∠CDO ＝90°.又∵DA ＝DC ，∴∠A ＝∠C ，于是△ADB ≌△CDO ，从而AB ＝CO ， 即2OB ＝OB ＋BC ，得OB ＝BC .故AB ＝2BC . 3.(2008·海南、宁夏卷)如图，过圆O 外一点M 作它的一条切线，切点为A ，过A 作直线AP 垂直直线OM ，垂足为P . (1)证明：OM ·OP ＝OA 2；(2)N 为线段AP 上一点，直线NB 垂直直线ON ，且交圆O 于B 点．过B 点的切线交直线ON 于K .证明：∠OKM ＝90°.证明 (1)∵MA 是圆O 的切线，∴OA ⊥AM . 又∵AP ⊥OM ，在Rt △OAM 中，由射影定理知，OA 2＝OM ·OP .(2)∵BK 是圆O 的切线，BN ⊥OK ， 同(1)，有OB 2＝ON ·OK .∵OB ＝OA ，∴OP ·OM ＝ON ·OK ，即ON OP ＝OMOK. 又∠NOP ＝∠MOK ，∴△NOP ∽△MOK ，故∠OKM ＝∠OPN ＝90°.4.(2011·辽宁卷)如图，A 、B 、C 、D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC ＝ED . (1)证明：CD ∥AB ；(2)延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF ＝EG ，证明：A ，B ，G ，F 四点共圆． 证明 (1)∵EC ＝ED ，∴∠EDC ＝∠ECD .∵A 、B 、C 、D 四点在同一圆上，∴∠EDC ＝∠EBA . ∵∠ECD ＝∠EBA .∴CD ∥AB . (2)如图，连接AF 、BG ，∵CD ∥AB ，EC ＝ED ， ∴AE ＝BE ，∠EDC ＝∠ECD . ∵EF ＝FG ，∴∠EFD ＝∠EGC ， ∴∠FED ＝∠GEC . 在△EFA 和△EGB 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧EF ＝EG ，∠FEA ＝∠GEB ，AE ＝BE ，∴△EFA ≌△EGB ，∴∠FAE ＝∠GBE . ∵CD ∥AB ，∠EDC ＝∠ECD ， ∴∠EAB ＝∠EBA ，∴∠FAB ＝∠GBA . 又CD ∥AB ，∴∠AFG ＋∠FAB ＝180°，∴∠AFG ＋∠GBA ＝180°.故A 、B 、G 、F 四点共圆．对应学生用书P389分层训练A 级 基础达标演练(时间：30分钟 满分：60分)1.(2012·镇江调研)如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E .(1)证明：△ABE ∽△ADC ； (2)若△ABC 的面积S ＝12AD ·AE ，求∠BAC 的大小．(1)证明 由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD . 因为∠AEB 与∠ACB 是同弧所对的圆周角， 所以∠AEB ＝∠ACD .故△ABE ∽△ADC . (2)解 因为△ABE ∽△ADC ，所以AB AE ＝ADAC， 即AB ·AC ＝AD ·AE .又S ＝12AB ·AC sin ∠BAC ，且S ＝12AD ·AE ，故AB ·AC sin ∠BAC ＝AD ·AE ，则sin ∠BAC ＝1. 又∠BAC 为△ABC 的内角，所以∠BAC ＝90°.2.(2011·江苏卷)如图，圆O 1与O 2内切于点A ，其半径分别为r 1与r 2(r 1>r 2)．圆O 1的弦AB 交圆O 2于点C (O 1不在AB 上)．求证：AB ∶AC 为定值．证明 如图，连接AO 1，并延长分别交两圆于点E 和点D ，连接BD 、CE .∵圆O 1与圆O 2内切于点A ，∴点O 2在AD 上，故AD 、AE 分别为圆O 1，圆O 2的直径． 从而∠ABD ＝∠ACE ＝90°. ∴BD ∥CE ，于是AB AC ＝AD AE ＝2r 12r 2＝r 1r 2，∴AB ∶AC 为定值．3.如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，E是AC 的中点，ED 的延长线与CB 的延长线交于点F . 求证：FD 2＝FB ·FC .证明 ∵E 是Rt △ACD 斜边AC 的中点， ∴DE ＝EA ，∴∠A ＝∠2. 又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠A . ∵∠FDC ＝∠CDB ＋∠1＝90°＋∠1，∠FBD ＝∠ACB ＋∠A ＝90°＋∠A ，∴∠FDC ＝∠FBD .又∵∠F 是公共角，∴△FBD ∽△FDC ，∴FB FD ＝FD FC， ∴FD 2＝FB ·FC .4.(2012·苏州市调研(一))如图，在△ABC 中，CM 是∠ACB 的平分线，△AMC 的外接圆O 交BC 于点N .若AC ＝12AB ，求证：BN ＝2AM .证明 连结MN .因为CM 是∠ACB 的平分线， 所以∠ACM ＝∠NCM ，所以AM ＝MN . 因为∠B ＝∠B ，∠BMN ＝∠A ， 所以△BMN ∽△BCA ，所以BN MN ＝ABAC＝2， 即BN ＝2MN ＝2AM .5.如图，梯形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，过点C 作⊙O 的切线，交BD的延长线于点P ，交AD 的延长线于点E . (1)求证：AB 2＝DE ·BC ；(2)若BD ＝9，AB ＝6，BC ＝9，求切线PC 的长． (1)证明 ∵AD ∥BC ，∴AB ︵＝CD ︵.∴AB ＝CD ， ∠EDC ＝∠BCD .又PC 与⊙O 相切，∴∠ECD ＝∠DBC . ∴△CDE ∽△BCD .∴DC BC ＝DE DC. ∴CD 2＝DE ·BC ，即AB 2＝DE ·BC .(2)解 由(1)知，DE ＝AB 2BC ＝629＝4，∵AD ∥BC ，∴△PDE ∽△PBC ， ∴PD PB ＝DE BC ＝49.又∵PB －PD ＝9，∴PD ＝365，PB ＝815. ∴PC 2＝PD ·PB ＝365·815＝54252.∴PC ＝545.6.如图所示，已知⊙O 1和⊙O 2相交于A ，B 两点，过A 点作⊙O 1的切线交⊙O 2于点C ，过点B 作两圆的割线，分别交⊙O 1，⊙O 2于点D ，E ，DE 与AC 相交于点P . (1)求证：AD ∥EC ；(2)若AD 是⊙O 2的切线，且PA ＝6，PC ＝2，BD ＝9，求AD 的长．(1)证明 连接AB ，如图所示∵AC 是⊙O 1的切线， ∴∠BAC ＝∠D . 又∵∠BAC ＝∠E ， ∴∠D ＝∠E .∴AD ∥EC .(2)解 设BP ＝x ，PE ＝y ，∵PA ＝6，PC ＝2， ∴xy ＝12.①∵根据(1)，可得△ADP ∽△CEP ， ∴DP EP ＝AP CP ，即9＋x y ＝62，② 由①②，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝－1(负值舍去)，∴DE ＝9＋x ＋y ＝16.∵AD 是⊙O 2的切线， ∴AD 2＝DB ·DE ＝9×16.∴AD ＝12.分层训练B 级 创新能力提升1.(2012·常州市期末考试)如图，圆O 是△ABC 的外接圆，延长BC边上的高AD 交圆O 于点E ，H 为△ABC 的垂心．求证：DH ＝DE . 证明 连结CE ，CH .因为H 为△ABC 的垂心，所以∠ECD ＝∠BAD ＝90°－∠ABC ，∠HCD ＝90°－∠ABC ，所以∠ECD ＝∠HCD . 又因为CD ⊥HE ，CD 为公共边， 所以△HDC ≌△EDC ，所以DH ＝DE .2.(2012·泰州调研一)已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC 的外接圆于点F ，连接FB 、FC . (1)求证：FB ＝FC ；(2)若AB 是△ABC 外接圆的直径，∠EAC ＝120°，BC ＝33，求AD 的长． (1)证明 ∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD ＝∠DAC . ∵四边形AFBC 内接于圆，∴∠DAC ＝∠FBC . ∵∠EAD ＝∠FAB ＝∠FCB ， ∴∠FBC ＝∠FCB ，∴FB ＝FC .(2)解 ∵AB 是圆的直径，∴∠ACD ＝90°.∵∠EAC ＝120°，∠DAC ＝12∠EAC ＝60°，∠D ＝30°.在Rt△ACB中，∵BC＝33，∠BAC＝60°，∴AC＝3，又在Rt△ACD中，∠D＝30°，AC＝3，∴AD＝6.3.(2013·宿迁联考)如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过点N的切线交CA的延长线于P.(1)求证：PM2＝PA·PC；(2)若⊙O的半径为23，OA＝3OM，求MN的长．(1)证明连结ON.因为PN切⊙O于N，所以∠ONP＝90°.所以∠ONB＋∠BNP＝90°.因为OB＝ON，所以∠OBN＝∠ONB.因为BO⊥AC于O，所以∠OBN＋∠BMO＝90°.所以∠BNP＝∠BMO＝∠PMN.所以PM＝PN.所以PM2＝PN2＝PA·PC.(2)解OM＝2，BO＝23，BM＝4.因为BM·MN＝CM·MA＝(23＋2)(23－2)＝8，所以MN＝2.4.如图，已知C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G.(1)求证：点F是BD的中点；(2)求证：CG是⊙O的切线；(3)若FB＝FE＝2，求⊙O的半径．(1)证明∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF.∴EHBF＝AEAF＝CEFD.∵HE＝EC，∴BF＝FD.即点F是BD的中点．(2)证明连接CB、OC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°.∵F是BD的中点，∴∠CBF＝∠FCB.∵∠CBF＝∠BAC，∠BAC＝∠ACO，∴∠FCB＝∠ACO. ∵∠ACO＋∠OCB＝90°，∴∠BCF＋∠OCB＝90°.∴∠OCF＝90°.∴CG是⊙O的切线．(3)解由FC＝FB＝FE，得∠FCE＝∠FEC.∵∠G＋∠GCH＝90°，∠FAG＋∠FEC＝90°，∴∠FAG＝∠G.∴FA＝FG，∵FB⊥AG，∴AB＝BG.由切割线定理，得(2＋FG)2＝BG·AG＝2BG2.①在Rt△BGF中，由勾股定理，得BG2＝FG2－BF2.②由①②，得FG2－4FG－12＝0.解得FG＝6或FG＝－2(舍去)．∴AB＝BG＝4 2.∴⊙O的半径为2 2.5.(2013·南京模拟)如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，点P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C、D，且PC＝PD，求证：(1)l是⊙O的切线；(2)PB平分∠ABD.证明如图(1)连结OP，因为AC⊥l，BD⊥l，所以AC∥BD.又OA＝OB，PC＝PD，所以OP∥BD.从而OP⊥l.因为点P在⊙O上，所以l是⊙O的切线．(2)连结AP，因为l是⊙O的切线，所以∠BPD＝∠BAP.又∠BPD＋∠PBD＝90°，∠BAP＋∠PBA＝90°，所以∠PBA＝∠PBD，即PB平分∠ABD.6.(2012·常州一中期中)如图，从圆O外一点P作圆O的两条切线，切点分别为A、B，AB与OP交于点M，设CD为过点M且不过圆心O的一条弦，求证：O、C、P、D四点共圆．证明∵PA、PB为圆O的两条切线，∴OP垂直平分弦AB，∴AM＝BM.在Rt△OAP中，OM·MP＝AM2，在圆O中，AM·BM＝CM·DM，∴OM·MP＝CM·DM，又弦CD不过圆心O，∴O、C、P、D四点共圆.第2讲 矩阵与变换对应学生用书P222考点梳理1．乘法规则(1)行矩阵[a 11 a 12]与列矩阵⎣⎡⎦⎤b 11b 21的乘法规则：[a 11 a 12]⎣⎡⎦⎤b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21]．(2)二阶矩阵⎣⎡⎦⎤a 11a 21 a 12a 22与列向量⎣⎡⎦⎤x 0y 0的乘法规则：⎣⎡⎦⎤a 11a 21 a 12a 22⎣⎡⎦⎤x 0y 0＝⎣⎡⎦⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0.设A 是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ、λ1、λ2是任意三个实数，则①A (λα)＝λA α；②A (α＋β)＝A α＋A β； ③A (λ1α＋λ2β)＝λ1A α＋λ2A β.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：⎣⎡⎦⎤a 11a 21 a 12a 22⎣⎡⎦⎤b 11b 21 b 12b 22＝ ⎣⎡⎦⎤a 11×b 11＋a 12×b 21a 21×b 11＋a 22×b 21 a 11×b 12＋a 12×b 22a 21×b 12＋a 22×b 22 性质：①一般情况下，AB ≠BA ，即矩阵的乘法不满足交换律；②矩阵的乘法满足结合律，即(AB )C ＝A (BC )；③矩阵的乘法不满足消去律． 2．矩阵的逆矩阵(1)逆矩阵的有关概念：对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵．若二阶矩阵A 存在逆矩阵B ，则逆矩阵是唯一的，通常记A 的逆矩阵为A －1，A －1＝B .(2)逆矩阵的求法：一般地，对于二阶可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd (det A ＝ad －bc ≠0)，它的逆矩阵为A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dad －bc－bad －bc－c ad －bc a ad －bc . (3)逆矩阵与二元一次方程组：如果关于变量x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n 的系数矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 可逆，那么该方程组有唯一解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ， 其中A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －bad －bc －c ad －bc a ad －bc .3．二阶矩阵的特征值和特征向量 (1)特征值与特征向量的概念设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得A α＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的一个属于特征值λ的一个特征向量． (2)特征多项式与特征方程设λ是二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 的一个特征值，它的一个特征向量为ξ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 满足二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝λx ，cx ＋dy ＝λy ，故⎩⎪⎨⎪⎧λ－a x －by ＝0－cx ＋λ－d y ＝0⇔⎣⎢⎡⎦⎥⎤λ－a －b －c λ－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00(*) 则(*)式有非零解的充要条件是它的系数矩阵的行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0.记f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d 为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的特征多项式；方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0，即f (λ)＝0称为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 的特征方程．(3)特征值与特征向量的计算如果λ是二阶矩阵A 的特征值，则λ是特征方程f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc ＝0的一个根．解这个关于λ的二元一次方程，得λ＝λ1、λ2，将λ＝λ1、λ2分别代入方程组(*)，分别求出它们的一个非零解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝y 1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2，y ＝y 2，记ξ1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，ξ2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2.则A ξ1＝λ1ξ1、A ξ2＝λ2ξ2，因此λ1、λ2是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d 的特征值，ξ1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，ξ2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2为矩阵A 的分别属于特征值λ1、λ2的一个特征向量． 【助学·微博】 常见考查角度(1)矩阵的概念和常见变换的识别与简单应用，重点是变换前后的方程表达式； (2)矩阵的乘法和运算性质及矩阵与逆矩阵； (3)考查求二阶矩阵的特征值与特征向量； (4)二阶矩阵的特征值与特征向量简单应用．考点自测1．(2012·徐州调研)曲线C 1：x 2＋2y 2＝1在矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤10 21的作用下变换为曲线C 2，求C 2的方程．解 设P (x ，y )为曲线C 2上任意一点，P ′(x ′，y ′)为曲线x 2＋2y 2＝1上与P 对应的点，则⎣⎡⎦⎤10 21⎣⎡⎦⎤x ′y ′＝⎣⎡⎦⎤xy ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋2y ′，y ＝y ′⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ，y ′＝y .因为P ′是曲线C 1上的点， 所以C 2的方程为(x －2y )2＋y 2＝1.2．(2012·如皋中学质量检测)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－4 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －1－3 1，求满足AX ＝B 的二阶矩阵X .解 由题意，得A －1＝错误!，∵AX ＝B ，∴X ＝A －1B ＝错误!错误!＝错误!.3．(2013·扬州调研)已知矩阵A 将点(1,0)变换为(2,3)，且属于特征值3的一个特征向量是⎣⎡⎦⎤11，求矩阵A .解 设A ＝⎣⎡⎦⎤a c b d ，由⎣⎡⎦⎤a c b d ⎣⎡⎦⎤10＝⎣⎡⎦⎤23，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3.由⎣⎡⎦⎤a c b d ⎣⎡⎦⎤11＝3⎣⎡⎦⎤11＝⎣⎡⎦⎤33，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝3.所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，d ＝0.所以A ＝⎣⎡⎦⎤23 10.对应学生用书P223考向一 矩阵与变换【例1】 (2012·苏州市自主学习调查)已知a ，b 是实数，如果矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a b1所对应的变换将直线x －y ＝1变换成x ＋2y ＝1，求a ，b 的值．解 设点(x ，y )是直线x －y ＝1上任意一点，在矩阵M 的作用下变成点(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ＋ay ，y ′＝bx ＋y .因为点(x ′，y ′)，在直线x ＋2y ＝1上，所以(2＋2b )x ＋(a ＋2)y ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2＋2b ＝1，a ＋2＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－12.[方法总结] 理解变换的意义，掌握矩阵的乘法运算法则是求解的关键，利用待定系数法，构建方程是解决此类题的关键．【训练1】 (2013·南京金陵中学月考)求曲线2x 2－2xy ＋1＝0在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线方程，其中M ＝⎣⎡⎦⎤10 02，N ＝⎣⎡⎦⎤ 1－1 01.解 MN ＝⎣⎡⎦⎤10 02⎣⎡⎦⎤ 1－1 01＝⎣⎡⎦⎤ 1－2 02.设P (x ′，y ′)是曲线2x 2－2xy ＋1＝0上任意一点，点P 在矩阵MN 对应的变换下变为点P ′(x ，y )，则⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤ 1－2 02⎣⎡⎦⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x ′－2x ′＋2y ′. 于是x ′＝x ，y ′＝x ＋y2，代入2x ′2－2x ′y ′＋1＝0，得xy ＝1.所以曲线2x 2－2xy ＋1＝0在MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为xy ＝1.考向二 考查二阶逆矩阵与二元一次方程组【例2】 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －31 －1所对应的线性变换把点A (x ，y )变成点A ′(13,5)，试求M 的逆矩阵及点A 的坐标．解 依题意得由M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －31 －1，得|M |＝1，故M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13－12.从而由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －31 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤135得⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤－1－1 32⎣⎡⎦⎤135＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1×13＋3×5－1×13＋2×5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－3，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，∴A (2，－3)为所求．[方法总结] 求逆矩阵时，可用定义法解方程处理，也可以用公式法直接代入求解．在求逆矩阵时要重视(AB )－1＝B －1A －1性质的应用． 【训练2】 已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤21 32，(1)求矩阵A 的逆矩阵；(2)利用逆矩阵知识解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x ＋2y －3＝0，解 (1)法一 设逆矩阵为A －1＝⎣⎡⎦⎤a c bd ，则由⎣⎡⎦⎤2132⎣⎡⎦⎤a c b d ＝⎣⎡⎦⎤10 01，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋3c ＝1，2b ＋3d ＝0，a ＋2c ＝0，b ＋2d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，c ＝－1，d ＝2，A －1＝⎣⎡⎦⎤2－1 －32.法二 由公式知若A ＝⎣⎡⎦⎤a c b d ＝⎣⎡⎦⎤21 32，则A －1＝错误!＝错误!.(2)已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x ＋2y －3＝0，可转化为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝1，x ＋2y ＝3，即AX ＝B ，其中A ＝⎣⎡⎦⎤21 32，X ＝⎣⎡⎦⎤x y ，B ＝⎣⎡⎦⎤13，且由(1)，得A －1＝⎣⎡⎦⎤2－1 －32.因此，由AX ＝B ，同时左乘A －1，有 A －1AX ＝A －1B ＝⎣⎡⎦⎤2－1 －32⎣⎡⎦⎤13＝⎣⎡⎦⎤－75.即原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－7，y ＝5.考向三 求矩阵的特征值与特征向量【例3】 (2012·常州市期末考试)求矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤214－1的特征值及对应的特征向量． 解 由题意知，矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝(λ－2)(λ＋1)－4＝λ2－λ－6＝(λ－3)(λ＋2)．令f (λ)＝0，得到矩阵M 的特征值为λ1＝3，λ2＝－2.当λ1＝3时，由⎩⎪⎨⎪⎧－x －4y ＝0，－x ＋＋y ＝0，可得矩阵M 的一个特征向量为α1＝⎣⎡⎦⎤41；当λ2＝－2时，由⎩⎪⎨⎪⎧－2－x －4y ＝0，－x ＋－2＋y ＝0，可得矩阵M 的一个特征向量为α2＝⎣⎡⎦⎤1－1.[方法总结] 已知A ＝⎣⎡⎦⎤a c bd ，求特征值和特征向量，其步骤为：①令f (λ)＝⎪⎪⎪⎪λ－a －c－b λ－d ＝(λ－a )(λ－d )－bc ＝0，求出特征值λ；②列方程组⎩⎪⎨⎪⎧λ－a x －by ＝0，－cx ＋λ－d y ＝0；③赋值法求特征向量，一般取x ＝1或者y ＝1，写出相应的向量．【训练3】 已知a ∈R ，矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤1a 21对应的线性变换把点P (1,1)变成点P ′(3,3)，求矩阵A 的特征值以及每个特征值的一个特征向量． 解 由题意⎣⎡⎦⎤1a 21⎣⎡⎦⎤11＝⎣⎡⎦⎤3a ＋1＝⎣⎡⎦⎤33，得a ＋1＝3，即a ＝2，矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪λ－1－2－2λ－1＝(λ－1)2－4＝(λ＋1)(λ－3)， 令f (λ)＝0，所以矩阵A 的特征值为λ1＝－1，λ2＝3.①对于特征值λ1＝－1，解相应的线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，2x ＋2y ＝0得一个非零解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.因此，α＝⎣⎡⎦⎤1－1是矩阵A 的属于特征值λ1＝－1的一个特征向量；②对于特征值λ2＝3，解相应的线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＝0，－2x ＋2y ＝0得一个非零解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.因此，β＝⎣⎡⎦⎤11是矩阵A 的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．对应学生用书P225规范解答28 程序化解决矩阵问题矩阵与变换题运算要细心，变换的复合、二阶矩阵的乘法、二阶矩阵的逆矩阵的求解，二阶矩阵的特征值与特征向量的求解等计算量都比较大，计算时要细心．【示例】 (2011·福建卷)设矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤a 0 0b (其中a >0，b >0)．(1)若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2)若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a ，b 的值．[审题路线图] (1)利用MM －1＝E 求解，或利用求逆矩阵公式求解． (2)先设出变换前后的坐标分别为(x ，y )，(x ′，y ′)． 利用矩阵乘法列出方程组，代入变换后方程求解． [解答示范] (1)设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣⎡⎦⎤x 1x 2 y 1y 2，则MM －1＝⎣⎡⎦⎤10 01.又M ＝⎣⎡⎦⎤20 03，所以⎣⎡⎦⎤20 03⎣⎡⎦⎤x 1x 2 y 1y 2＝⎣⎡⎦⎤10 01，所以2x 1＝1,2y 1＝0,3x 2＝0,3y 2＝1，即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13，故所求的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤120 0 13.(3分) (2)设曲线C 上任意一点P (x ，y )，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎡⎦⎤a 0 0b ⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x ′，by ＝y ′.又点P ′(x ′，y ′)在曲线C ′上，所以x ′24＋y ′2＝1，则a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.又a >0，b >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.(7分)[点评] 解决本题的关键是准确把握变换前后点的坐标之间的关系，并且熟练掌握求逆矩阵的操作方法与步骤．高考经典题组训练1．(2011·江苏卷)已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤12 11，向量β＝⎣⎡⎦⎤12.求向量α，使得A 2α＝β.解 A 2＝⎣⎡⎦⎤12 11⎣⎡⎦⎤12 11＝⎣⎡⎦⎤34 23，设α＝⎣⎡⎦⎤x y ，由A 2α＝β，得⎣⎡⎦⎤34 23⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤12，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.∴α＝⎣⎡⎦⎤－12，即α＝(－1,2)．2．(2012·福建卷)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤a b 01(a >0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1. (1)求实数a ，b 的值； (2)求A 2的逆矩阵．解 ①设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任意点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的像是P ′(x ′，y ′)．由⎣⎡⎦⎤x ′y ′＝⎣⎡⎦⎤a b 01⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤ax bx ＋y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝bx ＋y .又点P ′(x ′，y ′)在x 2＋y 2＝1上，所以x ′2＋y ′2＝1， 即a 2x 2＋(bx ＋y )2＝1，整理得(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝2，2b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.因为a >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.②由①知，A ＝⎣⎡⎦⎤11 01，A 2＝⎣⎡⎦⎤11 01⎣⎡⎦⎤11 01＝⎣⎡⎦⎤12 01.所以|A 2|＝1，(A 2)－1＝⎣⎡⎦⎤1－2 01.3．(2012·江苏卷)已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝错误!，求矩阵A 的特征值． 解 因为AA －1＝E ，所以A ＝(A －1)－1. 因为A －1＝错误!，所以A ＝(A －1)－1＝错误!， 于是矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪λ－2－2 －3λ－1＝λ2－3λ－4. 令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4.4．(2010·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，A (0,0)，B (－2,0)，C (－2,1)，设k ≠0，k ∈R ，M ＝⎣⎡⎦⎤k 0 01，N ＝⎣⎡⎦⎤01 10，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求实数k 的值． 解 由题设MN ＝⎣⎡⎦⎤k 0 01⎣⎡⎦⎤01 10＝⎣⎡⎦⎤01 k0.由⎣⎡⎦⎤01 k 0⎣⎡⎦⎤00＝⎣⎡⎦⎤00，⎣⎡⎦⎤01 k 0⎣⎡⎦⎤－20＝⎣⎡⎦⎤0－2， ⎣⎡⎦⎤01 k 0⎣⎡⎦⎤－21＝⎣⎡⎦⎤k －2， 可知A 1(0,0)，B 1(0，－2)，C 1(k ，－2)．计算得△ABC 的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是|k |，则由题设知|k |＝2×1＝2.∴k 的值为－2或2.对应学生用书P391分层训练A 级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：60分)1．(2009·江苏卷)求矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤32 21的逆矩阵．解 设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎡⎦⎤x z yw ，则⎣⎡⎦⎤32 21⎣⎡⎦⎤x z y w ＝⎣⎡⎦⎤10 01， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋2z 3y ＋2w 2x ＋z 2y ＋w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001.故⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2z ＝1，2x ＋z ＝0，3y ＋2w ＝0，2y ＋w ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，z ＝2，w ＝－3.从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎡⎦⎤－12 2－3.2．(2008·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆4x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤20 01对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程．解 设P (x 0，y 0)是椭圆上任意一点，点P (x 0，y 0)在矩阵A 对应的变换下变为点P ′(x ′0，y ′0)则有⎣⎡⎦⎤x ′0y ′0＝⎣⎡⎦⎤20 01⎣⎡⎦⎤x 0y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′0＝2x 0y ′0＝y 0∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ′02，y 0＝y ′0.又∵点P 在椭圆上，故4x 20＋y 20＝1，从而x ′20＋y ′20＝1. ∴曲线F 的方程是x 2＋y 2＝1.3．已知矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤1b a 1，N ＝⎣⎡⎦⎤c 0 2d ，且MN ＝⎣⎡⎦⎤2－2 00.(1)求实数a 、b 、c 、d 的值；(2)求直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程．解 (1)由题设得：⎩⎪⎨⎪⎧c ＋0＝2，2＋ad ＝0，bc ＋0＝－2，2b ＋d ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1，c ＝2，d ＝2.(2)∵矩阵M 对应的线性变换将直线变成直线(或点)， ∴可取直线y ＝3x 上的两点(0,0)，(1,3)， 由⎣⎡⎦⎤1－1 －11⎣⎡⎦⎤00＝⎣⎡⎦⎤00，⎣⎡⎦⎤1－1 －11⎣⎡⎦⎤13＝⎣⎡⎦⎤－22， 得点(0,0)，(1,3)在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像是点(0,0)，(－2,2)．从而，直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程为y ＝－x .4．(2012·苏北四市调研一)若点A (2,2)在矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤cos αsin α －sin αcos α对应变换的作用下得到的点为B (－2,2)，求矩阵M 的逆矩阵． 解 由题意，知M ⎣⎡⎦⎤22＝⎣⎡⎦⎤－22，即⎣⎡⎦⎤2cos α－2sin α2sin α＋2cos α＝⎣⎡⎦⎤－22， ∴⎩⎪⎨⎪⎧cos α－sin α＝－1，sin α＋cos α＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝0，sin α＝1.∴M ＝⎣⎡⎦⎤01－10.由M －1M ＝⎣⎡⎦⎤10 01，解得M －1＝⎣⎡⎦⎤0－1 10. 5．(2013·南通调研)已知二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为a 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为a 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，求矩阵A . 解 由特征值、特征向量定义可知，Aa 1＝λ1a 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝1.同理可得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝12，3c ＋2d ＝8.解得a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝1.因此矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1. 6．(2012·扬州调研)已知矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤3－1 －13，求M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量．解 由矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪λ－31 1λ－3＝(λ－3)2－1＝0，解得λ1＝2，λ2＝4，即为矩阵M 的特征值．设矩阵M 的特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，当λ1＝2时，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，可得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，x －y ＝0.可令x ＝1，得y ＝1，∴α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是M 的属于λ1＝2的特征向量．当λ2＝4时，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x ＋y ＝0，取x ＝1，得y ＝－1，∴α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是M 的属于λ2＝4的特征向量．分层训练B 级 创新能力提升1．(2013·南京模拟)求曲线C ：xy ＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 11－11 对应的变换作用下得到的曲线C 1的方程． 解 设P (x 0，y 0)为曲线C ：xy ＝1上的任意一点， 它在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－11对应的变换作用下得到点Q (x ，y )由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－11⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋y 0＝x ，－x 0＋y 0＝y .解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x －y2，y 0＝x ＋y2.因为P (x 0，y 0)在曲线C ：xy ＝1上，所以x 0y 0＝1. 所以x －y 2×x ＋y2＝1，即x 2－y 2＝4.所以所求曲线C 1的方程为x 2－y 2＝4.2．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，求(AB )－1. 解 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0. 设(AB )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则由(AB )·(AB )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－c －d 2a 2b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，所以⎩⎪⎨⎪⎧－c ＝1，－d ＝0，2a ＝0，2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝12，c ＝－1，d ＝0.故(AB )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 12－1 0. 3．(2011·福建卷)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b (其中a >0，b >0)． (1)若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2)若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a 、b 的值．解 (1)设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2， 则MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001. 又M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 3.∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 003⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001.∴2x 1＝1,2y 1＝0,3x 2＝0,3y 2＝1， 即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13，故所求的逆矩阵M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 13. (2)设曲线C 上任意一点P (x ，y )，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a00b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x ′，by ＝y ′，又点P ′(x ′，y ′)在曲线C ′上，∴x ′24＋y ′2＝1.则a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.又a >0，b >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.4．(2012·南通调研)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 21，其中a ∈R ，若点P (1，－2)在矩阵M 的变换下得到点P ′(－4,0)，求：(1)实数a 的值；(2)矩阵M 的特征值及其对应的特征向量． 解 (1)由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 a 21⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 0， 所以2－2a ＝－4.所以a ＝3. (2)由(1)知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 321，则矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －3－2 λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4.令f (λ)＝0，得矩阵M 的特征值为－1与4.当λ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧λ－x －3y ＝0，－2x ＋λ－y ＝0⇒x ＋y ＝0.所以矩阵M 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.当λ＝4时，⎩⎪⎨⎪⎧λ－x －3y ＝0，－2x ＋λ－y ＝0⇒2x －3y ＝0.所以矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.5．已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)． (1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的另一个特征值，及对应的一个特征向量e 2的坐标之间的关系； (3)求直线l ：x －y ＋1＝0在矩阵M 的作用下的直线l ′的方程．解 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤88， 故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8.因⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 4，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4.联立以上两方程组解得a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244.(2)由(1)知，矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16，故其另一个特征值为λ＝2.设矩阵M 的另一个特征向量是e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则Me 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6x ＋2y 4x ＋4y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，解得2x ＋y ＝0.(3)设点(x ，y )是直线l 上的任一点，其在矩阵M 的变换下对应的点的坐标为(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 244⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， 即x ＝14x ′－18y ′，y ＝－14x ′＋38y ′，代入直线l 的方程后并化简得x ′－y ′＋2＝0，即x －y ＋2＝0. 6．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a －1b ，A 的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21. (1)求矩阵A ；(2)若向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，计算A 5β的值．解 (1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－14. (2)矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2 1 λ－4＝λ2－5λ＋6＝0，得λ1＝2，λ2＝3，当λ1＝2时，α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，当λ2＝3时，得α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.由β＝m α1＋n α2，得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝7，m ＋n ＝4，解得m ＝3，n ＝1.∴A 5β＝A 5(3α1＋α2)＝3(A 5α1)＋A 5α2＝3(λ51α1)＋λ52α2＝3×25⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤435339.第3讲 坐标系与曲线的极坐标方程对应学生用书P226考点梳理。
高考数学一轮总复习 几何证明选讲同步课件 理
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8．如图，M 是平行四边形 ABCD 的边 AB 的中点， 直线 l 过点 M 分别交 AD、AC 于点 E、F.若 AD＝3AE， 则 AF∶FC＝___1_:_4____．
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5．如图，AB 是半圆的直径，点 C，D 在 AB 上，且
AD 平分∠CAB，已知 AB＝10，AC＝6，则 AD＝( B )
A．8
B．4 5
C．10
D．2 10
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【解析】∵AB 是半圆的直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°， ∵AC＝6，AB＝10， ∴cos∠CAB＝AACB＝35. ∵AD 平分∠CAB，∴∠CAB＝2∠DAB， ∴cos 2∠DAB＝2cos2∠DAB－1＝35，
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9．如图，AB 是⊙O 的直径，P 是 AB 延长线上的 一点，过 P 作⊙O 的切线，切点为 C，PC＝2 3，若∠CAP ＝30°，则⊙O 的直径 AB＝___4___．
【解析】连接 BC，∠PCB＝∠CAP＝30°，在 Rt △ABC 中，∠ABC＝60°，∴∠CPB＝30°＝∠PCB，∴PB
交圆于点 E，在直角三角形 APD 中可以求得 PD＝4，DA＝2， 故 CD＝3，DB＝8，记圆的半径为 R，由于 ED·DA＝CD·DB 因此(2R－2)·2＝3·8，解得 R＝7.
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三、解答题(本大题共 3 小题，共 50 分．解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤．)
11．(16 分)如图，AB 是圆 O 的直径，D，E 为圆 O 上位于 AB 异侧的两点，连结 BD 并延长至点 C，使 BD＝DC，连结 AC，AE，DE.
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第十五章系列4选考部分第1讲 几何证明选讲分层训练A 级 基础达标演练(时间：30分钟 满分：60分)1.(2012·镇江调研)如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E .(1)证明：△ABE ∽△ADC ；(2)若△ABC 的面积S ＝12AD ·AE ， 求∠BAC 的大小．(1)证明 由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD .因为∠AEB 与∠ACB 是同弧所对的圆周角，所以∠AEB ＝∠ACD .故△ABE ∽△ADC .(2)解 因为△ABE ∽△ADC ，所以AB AE ＝AD AC，即AB ·AC ＝AD ·AE .又S ＝12AB ·AC sin ∠BAC ，且S ＝12AD ·AE ， 故AB ·AC sin ∠BAC ＝AD ·AE ，则sin ∠BAC ＝1.又∠BAC 为△ABC 的内角，所以∠BAC ＝90°.2.(2011·江苏卷)如图，圆O 1与O 2内切于点A ，其半径分别为r 1与r 2(r 1>r 2)．圆O 1的弦AB 交圆O 2于点C (O 1不在AB 上)．求证：AB ∶AC 为定值．证明 如图，连接AO 1，并延长分别交两圆于点E 和点D ，连接BD 、CE .∵圆O 1与圆O 2内切于点A ，∴点O 2在AD 上，故AD 、AE 分别为圆O 1，圆O 2的直径．从而∠ABD ＝∠ACE ＝90°.∴BD ∥CE ，于是AB AC ＝AD AE ＝2r 12r 2＝r 1r 2，∴AB ∶AC 为定值． 3.如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，E是AC 的中点，ED 的延长线与CB 的延长线交于点F .求证：FD 2＝FB ·FC .证明 ∵E 是Rt △ACD 斜边AC 的中点，∴DE ＝EA ，∴∠A ＝∠2.又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠A .∵∠FDC ＝∠CDB ＋∠1＝90°＋∠1，∠FBD ＝∠ACB ＋∠A ＝90°＋∠A ，∴∠FDC ＝∠FBD .又∵∠F 是公共角，∴△FBD ∽△FDC ，∴FB FD ＝FD FC ，∴FD 2＝FB ·FC .4.(2012·苏州市调研(一))如图，在△ABC 中，CM 是∠ACB 的平分线，△AMC 的外接圆O 交BC 于点N .若AC ＝12AB ，求证：BN ＝2AM .证明 连结MN .因为CM 是∠ACB 的平分线，所以∠ACM ＝∠NCM ，所以AM ＝MN .因为∠B ＝∠B ，∠BMN ＝∠A ，所以△BMN ∽△BCA ，所以BN MN ＝AB AC ＝2， 即BN ＝2MN ＝2AM .5.如图，梯形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，过点C 作⊙O 的切线，交BD的延长线于点P ，交AD 的延长线于点E .(1)求证：AB 2＝DE ·BC ；(2)若BD ＝9，AB ＝6，BC ＝9，求切线PC 的长．(1)证明 ∵AD ∥BC ，∴AB ︵＝CD ︵.∴AB ＝CD ，∠EDC ＝∠BCD .又PC 与⊙O 相切，∴∠ECD ＝∠DBC .∴△CDE ∽△BCD .∴DC BC ＝DE DC.∴CD 2＝DE ·BC ，即AB 2＝DE ·BC .(2)解 由(1)知，DE ＝AB 2BC ＝629＝4， ∵AD ∥BC ，∴△PDE ∽△PBC ，∴PD PB ＝DE BC ＝49.又∵PB －PD ＝9，∴PD ＝365，PB ＝815. ∴PC 2＝PD ·PB ＝365·815＝54252.∴PC ＝545. 6.如图所示，已知⊙O 1和⊙O 2相交于A ，B 两点，过A 点作⊙O 1的切线交⊙O 2于点C ，过点B 作两圆的割线，分别交⊙O 1，⊙O 2于点D ，E ，DE 与AC 相交于点P .(1)求证：AD ∥EC ；(2)若AD 是⊙O 2的切线，且PA ＝6，PC ＝2，BD ＝9，求AD 的长．(1)证明 连接AB ，如图所示∵AC 是⊙O 1的切线，∴∠BAC ＝∠D .又∵∠BAC ＝∠E ，∴∠D ＝∠E .∴AD ∥EC .(2)解 设BP ＝x ，PE ＝y ，∵PA ＝6，PC ＝2，∴xy ＝12. ① ∵根据(1)，可得△ADP ∽△CEP ，∴DP EP ＝AP CP ，即9＋x y ＝62， ② 由①②，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－12，y ＝－1(负值舍去)，∴DE ＝9＋x ＋y ＝16.∵AD 是⊙O 2的切线，∴AD 2＝DB ·DE ＝9×16.∴AD ＝12.分层训练B 级 创新能力提升1.(2012·常州市期末考试)如图，圆O 是△ABC 的外接圆，延长BC边上的高AD 交圆O 于点E ，H 为△ABC 的垂心．求证：DH ＝DE .证明 连结CE ，CH .因为H 为△ABC 的垂心，所以∠ECD ＝∠BAD＝90°－∠ABC ，∠HCD ＝90°－∠ABC ，所以∠ECD ＝∠HCD .又因为CD ⊥HE ，CD 为公共边，所以△HDC ≌△EDC ，所以DH ＝DE .2.(2012·泰州调研一)已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC 的外接圆于点F ，连接FB 、FC .(1)求证：FB ＝FC ；(2)若AB 是△ABC 外接圆的直径，∠EAC ＝120°，BC ＝33，求AD 的长．(1)证明 ∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD ＝∠DAC .∵四边形AFBC 内接于圆，∴∠DAC ＝∠FBC .∵∠EAD ＝∠FAB ＝∠FCB ，∴∠FBC ＝∠FCB ，∴FB ＝FC .(2)解 ∵AB 是圆的直径，∴∠ACD ＝90°.∵∠EAC ＝120°，∠DAC ＝12∠EAC ＝60°，∠D ＝30°. 在Rt △ACB 中，∵BC ＝33，∠BAC ＝60°，∴AC ＝3，又在Rt △ACD 中，∠D ＝30°，AC ＝3，∴AD ＝6.3.(2013·宿迁联考)如图，⊙O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO上一点，BM 的延长线交⊙O 于N ，过点N 的切线交CA 的延长线于P .(1)求证：PM 2＝PA ·PC ；(2)若⊙O 的半径为23，OA ＝3OM ，求MN 的长．(1)证明 连结ON .因为PN 切⊙O 于N ，所以∠ONP ＝90°.所以∠ONB ＋∠BNP ＝90°.因为OB ＝ON ，所以∠OBN ＝∠ONB .因为BO ⊥AC 于O ，所以∠OBN ＋∠BMO ＝90°.所以∠BNP ＝∠BMO ＝∠PMN .所以PM ＝PN .所以PM 2＝PN 2＝PA ·PC .(2)解 OM ＝2，BO ＝23，BM ＝4.因为BM ·MN ＝CM ·MA ＝(23＋2)(23－2)＝8，所以MN ＝2.4. 如图，已知C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，CH⊥AB 于点H ，直线AC 与过B 点的切线相交于点D ，E 为CH 的中点，连接AE 并延长交BD 于点F ，直线CF 交直线AB 于点G .(1)求证：点F 是BD 的中点；(2)求证：CG 是⊙O 的切线；(3)若FB ＝FE ＝2，求⊙O 的半径．(1)证明 ∵CH ⊥AB ，DB ⊥AB ，∴△AEH ∽△AFB ，△ACE ∽△ADF .∴EH BF ＝AE AF ＝CE FD.∵HE ＝EC ，∴BF ＝FD . 即点F 是BD 的中点．(2)证明 连接CB 、OC ，∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°.∵F 是BD 的中点，∴∠CBF ＝∠FCB .∵∠CBF ＝∠BAC ，∠BAC ＝∠ACO ，∴∠FCB ＝∠ACO .∵∠ACO ＋∠OCB ＝90°，∴∠BCF ＋∠OCB ＝90°.∴∠OCF ＝90°.∴CG 是⊙O 的切线．(3)解 由FC ＝FB ＝FE ，得∠FCE ＝∠FEC .∵∠G ＋∠GCH ＝90°，∠FAG ＋∠FEC ＝90°，∴∠FAG ＝∠G .∴FA ＝FG ，∵FB ⊥AG ，∴AB ＝BG .由切割线定理，得(2＋FG )2＝BG ·AG ＝2BG 2.①在Rt △BGF 中，由勾股定理，得 BG 2＝FG 2－BF 2.②由①②，得FG 2－4FG －12＝0.解得FG ＝6或FG ＝－2(舍去)．∴AB ＝BG ＝4 2.∴⊙O 的半径为2 2.5.(2013·南京模拟)如图，设AB 为⊙O 的任一条不与直线l垂直的直径，点P 是⊙O 与l 的公共点，AC ⊥l ，BD ⊥l ，垂足分别为C 、D ，且PC ＝PD ，求证：(1)l 是⊙O 的切线；(2)PB 平分∠ABD .证明如图(1)连结OP，因为AC⊥l，BD⊥l，所以AC∥BD.又OA＝OB，PC＝PD，所以OP∥BD.从而OP⊥l.因为点P在⊙O上，所以l是⊙O的切线．(2)连结AP，因为l是⊙O的切线，所以∠BPD＝∠BAP.又∠BPD＋∠PBD＝90°，∠BAP＋∠PBA＝90°，所以∠PBA＝∠PBD，即PB平分∠ABD.6.(2012·常州一中期中)如图，从圆O外一点P作圆O的两条切线，切点分别为A、B，AB与OP交于点M，设CD为过点M且不过圆心O的一条弦，求证：O、C、P、D四点共圆．证明∵PA、PB为圆O的两条切线，∴OP垂直平分弦AB，∴AM＝BM.在Rt△OAP中，OM·MP＝AM2，在圆O中，AM·BM＝CM·DM，∴OM·MP＝CM·DM，又弦CD不过圆心O，∴O、C、P、D四点共圆.。