最新高考数学立体几何试题分析及备考建议

高考数学立体几何试题分析及备考建议

一、高考命题分析

立体几何是高中数学领域的重要模块，是高考考查考生的空间感、图

形感、语言转化能力、几何直观能力、逻辑推理能力的主要载体。主要包

括柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，三视图，点、直线、平面

的位置关系等。通过研究近年高考试卷，不难发现有关立体几何的命题较

稳定，难易适中，基本体现出“两小一大”或“一小一大”的特点.即1--2道小题，1道大题，占17--22分，小题灵活多变且有一定的难度，其中常有组

合体三视图问题和开放型试题，大多考查概念辨析，位置关系探究，空间

几何量的简单计算求解等，考查画图、识图、用图的能力；而解答题大多

属中档题, 一般设计成几个小问题，此类考题往往以简单几何体为载体，

考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，综合考查空间想

象能力、推理论证能力和运算求解能力，也关注对条件和结论不完备情形

下开放性问题的探究。其解题思路也主要是“作——证——求”，强调作图、证明和计算相结合。命题既注意“知识的重新组合”，又采用“小题目综合化，大题分步设问”的命题思路，朝着“重基础、直观感、空间感、探究与创新”的方向发展。

二、高考命题规律

（一）客观题方面

1．以三视图为载体考查空间想象能力

空间几何体的结构与三视图主要培养观察能力、归纳能力和空间想象

能力，识别三视图所表示的空间几何体，柱、锥、台、球体及其简单组合

体的结构特征与新增内容三视图的综合会重点考查，从新课标地区的高考

题来看，三视图是出题的热点，题型多以选择题、填空题为主，属中等偏

易题。随着新课标的推广和深入，难度逐渐有所增加。主要考查以下两个

方面：①几何体的三视图与直观图的认识；②通过三视图和几何体的结合，考查几何体的表面积和体积。

例1 (新课标2)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以

zOx平面为投影面，

则得到正视图可以为

A B C

D

注意：必修2中的空间直角坐标系容易被文科忽视。

例2 （新课标2）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为

A．6 B．9 C．12 D．18

注意：简单组合体的表面积和体积的问题为常考题目。

例3 （四川理）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以

是一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直视图可以是

A ．

B ．

C ．

D ．

注意：由空间几何体可以画出它的三视图，同样由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间可以相互转化．

2．点、线、面位置关系的问题点、线、面的位置关系是研究立体几何的核心，以直线与平面的位置关系为主。主要考查对相关定义、定理的深刻理解，以及对符号语言、图形语言、文字语言三者之间进行转换的能力，在选择题、填空题中出现，多为判断命题真假、判断充要关系、探求动点轨迹等。

例1 （新课标2）已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面

，n ⊥平面. 直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，，则,l

l A ．

∥且l ∥B ．⊥且l ⊥C ．与相交，且交线垂直于l D ．与

相交，且交线平行于l 注意：对定理、定义熟练掌握，简单的逆向思维。

例2 （2009福建）设是平面

内两条不同的直线，是平面内的两,m n 12,l l 条相交直线，则

的一个充分而不必要条件是//A ．且B ．且C ．且D ．且//m 1//l 1//m l 2//n l //m //n //m 2

//n l 3．空间角与距离的计算

这一类问题在新课标全国2卷的填选中出现的比较少，因为在解答题

主视图侧视图

俯视图

中基本都会出现。但其他省市的考题中有出现此类问题。

例1 （上海春）在正方体

1111ABCD A B C D 中,异面直线1A B 与1B C 所成角的大小为_______

例2 （山东理）已知三棱柱

的侧棱与底面垂直,体积为,底面111ABC A B C 94是边长为

的正三角形.若为底面的中心,则与平面所成角3P 111A B C PA ABC 的大小为A ．B ．C ．D ．512346

注意：此类问题考查空间想象能力，计算能力，及数形结合思想

4. 与球有关的组合体问题

球与简单多面体的组合体问题，较好地体现了对空间感的考查，在客观题中一直是考查的热点。而且从年开始，球的面积和体积公式就不再在试卷中给出，需要学生记忆，这一点也是特别要注意的。虽然年高考新课标全国2卷理科试题中没有涉及球的问题，但这并不能弱化与球有关的组合体的地位。在此类问题中，可以涵盖立体几何中的很多问

题：包括几何体的表面积、体积、距离、角的问题等等。

例1 （新课标1理）如图,有一个水平放置的透明无盖的正

方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为

A ．3500

3cm B ．3866

3cm C ．31372

3cm D ．3

2048

3cm

注意：主要考查球的几何性质及体积公式。

例2 （2011新课标理）已知矩形的顶点都在半径为

4的球的球面ABCD O 上，且,则棱锥的体积为

。6,23AB BC O ABCD 例3（新课标理）已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球O 的求面上，ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC ；则此棱锥的体积为

A ．2

6B ．3

6C ．2

3D ．2

2

（二）解答题方面

1．以多面体或旋转体为载体, 证明线、面的位置关系或计算空间角和距离

证明线、面之间的位置关系常需经过多次转换才能获得解决。求空间角和距离也常需要转化求解，或应用空间向量这一工具建系去解决。近年来新课标地区的理科试题多倾向于用空间向量的方法去解决问题。这类试题以判断、证明、计算为主要形式来着重考查空间想象能力、逻辑思维能力和计算能力。

例1 (新课标全国2理)如图，三棱柱中，

111ABC A B C D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1=AC=CB=AB.22

（1）证明：BC 1//平面A 1CD 1

（2）求二面角D-A 1C-E 的正弦值。注意：第(2)问除了空间向量，还可以考虑传统的几何方法去解决。

B C

A

A 1

B 1

C 1

D E

利用等体积求点D 到平面A 1EC 的距离，再在

中求点D 到直线A 1C 1

ACD 的距离，就可以求二面角的正弦，从而求余弦。再如下例，第(2)问即可直接做角求解，第(3)问也可逆向思维，找到点D 的位置。

例2 （北京理）如图,在三棱柱中, 111ABC A B C 11AAC C

是边长为4的正方形,平面平面,

ABC

11AAC C .3,5AB BC (1)求证: ⊥平面；

1AA ABC (2)求二面角的余弦值；

111A BC B (3)证明:在线段存在点,使得,并求1

BD BC 的值.1BC D 1AD

A B 2．空间位置关系及其逆向问题或探索性问题逆向问题往往是在条件中已知线面的一些位置关系或已知空间量的大小，要证明或探索另外一些线面的位置关系是否成立或求相应的参数的值的问题。这类给考生留有较大探索余地的试题，

近年来已成为高考试题的一个新亮点。虽然其

在这几年的新课标全国卷中没有出现，但在其

他省高考试题中有出现过，而且它从难度上来

讲要高于正向求解的问题。在教学中，我们也会带领学生对这类问题加以研究，难度上依然是对各层次分别进行要求。

例1 （辽宁）如图，直三棱柱-'''ABC A B C ，=90BAC ，=='AB AC AA ，点

,

M N分别为'AB和''

B C的中点.

（1）证明：//''

平面；

MN AACC

（2）若二面角'--

A MN C为直二面角，求的值.

例2 （天津理）如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, 侧棱A1A⊥底面ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E为棱AA1的中点.

(1) 证明B1C1⊥CE；

(2) 求二面角B1-CE-C1的正弦值；

(3) 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为

2

, 求线段AM的长.

6

注意：第(3)问不仅体现逆向思维能力，还体现了函数与方程的思想的应用。

3．与函数相关的问题

与函数结合是立体几何考查的一个新亮点，它更注重对综合能力的考

查，我们也要密切关注。

例1 (江西)如右图，已知正四棱锥S ABCD所有棱

长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于

SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记

(01),SE x x 截面下面部分的体积为(),V x 则函数()y V x 的图像大致为例2（福建）如图,在四棱柱1111ABCD A B C D 中,侧

棱1AA ABCD 底面,//AB DC ,11AA ,3AB k ,4AD k ,

5BC k ,6DC k (0)k .

(1)求证:11;

CD ADD A 平面(2)若直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值为6

7,求k 的值;

(3)现将与四棱柱1111ABCD A B C D 形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成

一个新的棱柱,规定:若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同,则视为同一种拼接方案.问:共有几种不同的方案?在这些拼接成的新四棱柱中,记其中最小的表面积为()f k ,写出()f k 的表达式(直接写出答案,不必要说明理由)注意：立体几何除了与函数结合，还可以与三角函数，不等式等知识结合，对待这种问题，要注意转化思想的应用，全面多角度考虑问题

三、发现问题、解决问题

学生在立体几何的学习及备考中经常会出现各种各样的问题，主要表现为以下几个方面：1．没有建立立体感和空间概念；2．基础知识不牢固，概念定理不清；3．逻辑表述混乱；4．传统方法与空间向量不能有效结合。针对这几个方面的问题，我们制定了解决问题的方案： 1. 多用图表示概念和定理，多在头脑中“证明”定理和构造定理的“图”，指导学生做一些

模型，帮助学生建立空间观念。 2. 加强对概念定理的理解要求。将定理

转化成数学语言，再配合图形记忆。 3. 平时就要求学生参考、研究课本上例题的解题过程，训练时要做到逐句理顺逻辑关系，提高表达能力。 4. 空间向量方法与传统几何方法的博弈：在新课标考题日益倾向于用空间向量

去解决问题的同时，我们怎么去看待传统方法？我们的做法是：分层次教

学，即对待不同层次的学生采取不同的要求：对待能力较弱的同学，一方

面要逐渐培养其空间想像能力，一方面要加强对空间向量这一工具的使用；

能力较强的同学多渗透几何方法，甚至晚一些讲空间向量，“逼着”他们用传统的方法去解决问题。我们认为这对于高水平学生的思维训练是非常

有好处的。虽然我们的教育在面向高考，但我们不能仅仅为了高考而教学，

更要注重培养数学思维以及提高数学素养。

四、备考策略

(一)依据考纲,挖教材,抓基础

在备考过程中，首先要针对高考要求，结合实际，夯实基础。准确理

解和把握空间几何体的结构特征，把握它们的内涵和外延，明确定理的内

容、作用等，把知识网络化、系统化。对于重点内容要熟练掌握：如直线

与直线，直线与平面，平面与平面的平行、垂直的判定与性质定理，并擅

于对它们之间位置关系的判定进行相互转化，各种空间角及距离的求解，

空间向量的应用等。

(二)注意方法、总结规律

方法上主要表现为两个方面：1．几何法（1）求角的问题时，注意紧扣定义，将空间角转化为平面上两相交直线所成的角来处理，并可以归

纳为：求角先找角，三角形中去解决(要注意角的范围)；（2）线面平行与垂直相关的问题，注意转化的思想方法：面面平行(垂直)转化为线面平行(垂直)，再转化为线线平行(垂直)；（3）对于距离可归纳为：距离多是垂

线段，放到三角形中去计算，若是垂直难作出，等积等高来转化；（4）在计算体积时，要从多方位、多角度看问题，要注意用“换底法”来求其体积，并注意“割补法”的运用，而“等体积法”则是求解立体几何问题的特殊方法，用它可求点到平面的距离，异面直线间的距离，多面体的内切球的

半径等。2．向量法把证明与计算问题都在一定条件下转化为空间向量的

计算问题，使复杂问题程序化、公式化。利用空间向量坐标解决立体几何

问题的关键是找准位置建立适当的空间直角坐标系或基底，难点是在坐标

系中表示已知点（或向量）的坐标，通过向量的坐标运算，实现几何问题

代数化。向量法和坐标法解决立体几何问题，为立体几何问题的解决建立

了新的角度，是新课标的倡导重点。

(三)加强数学思想、方法的训练

贯穿于立体几何中的化归思想、分类讨论思想、数形结合思想以及立

体几何特有的平移法、模型法、反证法、翻折法、割补法和等积变换法等

都极大地丰富了中学数学的思想和方法。

由于高考数学加强了对能力的考查，所以在立体几何的备考过程中，应重视空间想象能力、逻辑思维能力、化归转化能力的培养，坚持培养识图、用图的能力，做题时应多画、多看、多想。