最新高考数学立体几何试题分析及备考建议

题以判断、证明、计算为主要形式来着重考查空间想象能力、逻辑思维能
力和计算能力。
A1
例 1 (新课标全国 2 理 )如图，三棱柱 ABC A1B1C1 中，
D，E 分别是
AB，BB1 的中点， AA1=AC=CB=
2 AB.
2
（ 1）证明： BC1//平面 A1CD1
（2）求二面角 D-A1C-E 的正弦值。
是一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直视图可以是
主视图
侧视图
A．
B．
C．
D．
俯视图
注意：由空间几何体可以画出它的三视图，同样由三视图可以想象出空间
几何体的形状，两者之间可以相互转化．
2．点、线、面位置关系的问题
点、线、面的位置关系是研究立体几何的核心，以直线与平面的位置
关系为主。主要考查对相关定义、定理的深刻理解，以及对符号语言、图
2．空间位置关系及其逆向问题或探索性问题
A1B ,并求 BD 的值 .
BC1
逆向问题往往是在条件中已知线面的一些位置关系或已知空间量的大
小，要证明或探索另外一些线面的位置关系是否成立或求相应的参数的值
的问题。这类给考生留有较大探索余地的试题，
近年来已成为高考试题的一个新亮点。虽然其
在这几年的新课标全国卷中没有出现，但在其
A． 2
6
B． 3
6
（二）解答题方面
C． 2
3
D． 2
2
1．以多面体或旋转体为载体 , 证明线、面的位置关系或计算空间角和距离
证明线、面之间的位置关系常需经过多次转换才能获得解决。求空间
角和距离也常需要转化求解，或应用空间向量这一工具建系去解决。近年
来新课标地区的理科试题多倾向于用空间向量的方法去解决问题。这类试
形语言、文字语言三者之间进行转换的能力，在选择题、填空题中出现，
多为判断命题真假、判断充要关系、探求动点轨迹等。
例 1 （ 新课标 2）已知 m，n 为异面直线， m⊥平面 ，n⊥平面 . 直线
l 满足 l ⊥m，l⊥n， l , l ，则
A． ∥ 且 l∥
B． ⊥ 且 l⊥
C． 与 相交，且交线垂直于 l
例 2 （北京理）如图 ,在三棱柱 ABC A1B1C1 中 , AA1C 1C
是 边 长 为 4 的 正 方 形 ,平 面 ABC 平 面 AA1C1C ,
AB 3, BC 5 .
(1)求证 : AA1 ⊥平面 ABC ；
(2)求二面角 A1 BC1 B1 的余弦值； (3)证明 :在线段 BC1 存在点 D ,使得 AD
D ． 与 相交，且交线平行于 l
注意：对定理、定义熟练掌握，简单的逆向思维。
例 2 （2009 福建）设 m,n 是平面 内两条不同的直线， l1,l 2 是平面 内的两 条相交直线，则 / / 的一个充分而不必要条件是
A ． m / / 且 l1 / / B． m / / l1且 n / /l 2
A
D
注意：第 (2)问除了空间向量，还可以考虑传统的几何方法去解决。
C1 B1
E C
B
利用等体积求点 D 到平面 A1EC 的距离，再在 A1CD 中求点 D 到直线 A1C 的距离，就可以求二面角的正弦，从而求余弦。
再如下例，第 (2)问即可直接做角求解，第 (3)问也可逆向思维，找到点 D
的位置。
方面：①几何体的三视图与直观图的认识；②通过三视图和几何体的结合，
考查几何体的表面积和体积。 例 1 (新课标 2)一个四面体的顶点在空间直角坐标系
O-xyz 中的坐标分别
是（ 1，0， 1），（ 1，1，0），（ 0， 1，1），（0， 0， 0），画该四面体三视图
中的正视图时，以
zOx 平面为投影面，
高考数学 立体几何试题分析及备考建议
一、高考命题分析 立体几何是高中数学领域的重要模块，是高考考查考生的空间感、图 形感、语言转化能力、几何直观能力、逻辑推理能力的主要载体。主要包 括柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，三视图，点、直线、平面 的位置关系等。通过研究近年高考试卷，不难发现有关立体几何的命题较 稳定，难易适中，基本体现出 “两小一大 ”或“一小一大 ”的特点 .即 1--2 道小 题， 1 道大题，占 17--22 分，小题灵活多变且有一定的难度，其中常有组 合体三视图问题和开放型试题，大多考查概念辨析，位置关系探究，空间 几何量的简单计算求解等，考查画图、识图、用图的能力；而解答题大多 属中档题 , 一般设计成几个小问题，此类考题往往以简单几何体为载体， 考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，综合考查空间想 象能力、推理论证能力和运算求解能力，也关注对条件和结论不完备情形 下开放性问题的探究。其解题思路也主要是 “作—— 证—— 求”，强调作图、 证明和计算相结合。命题既注意 “知识的重新组合 ”，又采用 “小题目综合化， 大题分步设问 ”的命题思路，朝着 “重基础、直观感、空间感、探究与创新 ” 的方向发展。 二、高考命题规律 （一）客观题方面
例 2 （天津理）如图 , 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, 侧棱 A1A⊥底面 ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E 为棱 AA1 的中点 . (1) 证明 B1C1⊥ CE； (2) 求二面角 B1-CE-C1 的正弦值； (3) 设点 M 在线段 C1E 上 , 且直线 AM 与平面 ADD1A1 所成角的正弦值为
2 , 求线段 AM 的长 .
6
注意：第 (3)问不仅体现逆向思维能力，还体现了函数与方程的思想的应用。
3．与函数相关的问题
与函数结合是立体几何考查的一个新亮点，它更注重对综合能力的考 查，我们也要密切关注。 例 1 (江西 )如右图，已知正四棱锥 S ABCD 所有棱 长都为 1，点 E 是侧棱 SC 上一动点，过点 E 垂直于 SC 的 截 面 将 正 四 棱 锥 分 成 上 、 下 两 部 分 ， 记
四、备考策略
( 一 ) 依据考纲 , 挖教材 , 抓基础 在备考过程中，首先要针对高考要求，结合实际，夯实基础。准确理 解和把握空间几何体的结构特征，把握它们的内涵和外延，明确定理的内 容、作用等，把知识网络化、系统化。对于重点内容要熟练掌握：如直线 与直线，直线与平面，平面与平面的平行、垂直的判定与性质定理，并擅 于对它们之间位置关系的判定进行相互转化，各种空间角及距离的求解， 空间向量的应用等。 ( 二 ) 注意方法、总结规律
方法上主要表现为两个方面： 1．几何法 （1）求角的问题时，注意
紧扣定义，将空间角转化为平面上两相交直线所成的角来处理，并可以归
小为 _______
例 2 （山东理）已知三棱柱
ABC
A1B1C1 的侧棱与底面垂直
,体积为 9 ,底面
4
是边长为 3 的正三角形 .若 P 为底面 A1B1C1 的中心 ,则 PA 与平面 ABC 所成角
的大小为
A． 5
12
B．
3
C．
4
D．
6
注意 ：此类问题考查空间想象能力，计算能力，及数形结合思想
C． 1372 cm3
3
D． 2048 cm3
3
注意：主要考查球的几何性质及体积公式。
例 2 （2011 新课标理）已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面
上，且 AB 6, BC 2 3 已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的求面上， ABC 是边长为 1的正三角形， SC为球 O 的直径，且 SC 2；则此棱锥的体积为
则得到正视图可以为
A
B
C
D
注意：必修 2 中的空间直角坐标系容易被文科忽视。
例 2 （新课标 2）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某
几何体的三视图，则此几何体的体积为
A．6
B．9
C．12
D． 18
注意：简单组合体的表面积和体积的问题为常考题目。
例 3 （四川理）一个几何体的三视图如图所示 ,则该几何体的直观图可以
他省高考试题中有出现过，而且它从难度上来
讲要高于正向求解的问题。在教学中，我们也会带领学生对这类问题加以
研究，难度上依然是对各层次分别进行要求。
例 1 （辽宁）如图，直三棱柱 ABC -A'B'C' ， BAC =90 ， AB=AC = AA' ，点
M ,N 分别为 A'B 和 B'C' 的中点 . （ 1）证明： MN //平面 A'ACC' ； （ 2）若二面角 A'-MN -C 为直二面角，求 的值 .
题：包括几何体的表面积、体积、距离、角的问题等等。
例 1 （新课标 1 理）如图 ,有一个水平放置的透明无盖的正
方体容器 ,容器高 8cm,将一个球放在容器口 ,再向容器内注水 ,当球面恰好接
触水面时测得水深为 6cm,如果不计容器的厚度 ,则球的体积为
A ． 500 cm3
3
B． 866 cm3
3
1．以三视图为载体考查空间想象能力
空间几何体的结构与三视图主要培养观察能力、归纳能力和空间想象
能力，识别三视图所表示的空间几何体，柱、锥、台、球体及其简单组合
体的结构特征与新增内容三视图的综合会重点考查，从新课标地区的高考
题来看，三视图是出题的热点，题型多以选择题、填空题为主，属中等偏
易题。随着新课标的推广和深入，难度逐渐有所增加。主要考查以下两个
三、发现问题、解决问题 学生在立体几何的学习及备考中经常会出现各种各样的问题，主要表现 为以下几个方面： 1．没有建立立体感和空间概念； 2．基础知识不牢固， 概念定理不清； 3．逻辑表述混乱； 4．传统方法与空间向量不能有效结合。 针对这几个方面的问题，我们制定了解决问题的方案： 1. 多用图表示概 念和定理，多在头脑中 “证明 ”定理和构造定理的 “图 ”，指导学生做一些