柯西积分公式
柯西分公式
柯西分公式近代数学发展的历史中，柯西(Augustin-Louis Cauchy)分公式也被认为是极为重要的一步。
柯西分公式（Cauchy’s integral formula）是一个关于复数函数的椭圆分积分的公式，也称作Cauchy-Goursat积分，其具体表达式为：$$ oint_C f(z)dz=2pi i sum_{k=1}^n res(f, z_k),$$ 其中$f$为某复数函数，$z_k$为$f$在曲线$C$上的内部点，而$res(f, z_k)$为$f$在$z_k$处的残留。
柯西分公式的发现给当时数学领域带来了巨大的革新，它定义了椭圆积分的形式，它开放了更多元的数学推断和研究，使数学得以更加自由的发展。
柯西分公式的发现在很大程度上是由柯西的积分定理所引发的，他就是发现有关曲线的积分问题的研究者。
他发现，在一个有界的曲线的闭包上，一个可连续的函数的曲线积分为零。
关于曲线积分的更近一步研究归功于柯西，他首先提出了关于曲线积分的柯西积分定理。
定理最初是用于认识椭圆积分，但很快就可以推广到各类曲线积分，从而发展出了更多的数学模型来进行研究。
此外，柯西的椭圆积分公式还有着重要的实际应用。
它可以用来推导其他不定积分的形式，用来研究微分方程，以及用来研究复变函数。
因此，柯西分公式不仅在理论数学方面有重要价值，它也在实际问题中有实质性应用。
柯西分公式的重要性在于它发展出了一种更加广泛的方式来研究复数函数。
这不仅有助于对复数进行研究，而且还可以应用于其他很多数学问题的分析和研究，使得数学发展得更加广泛，为科学的发展贡献了不可磨灭的功劳。
柯西分公式的极大发展是由于它对数学的重要贡献。
它推动了现代数学的发展，使得数学更加的广泛，为科学研究提供了坚实的基础。
因此，被称为“推动数学发展的重要公式”也不做过分之说。
柯西积分公式及其推论
(3.19)
这是一个用解析函数f ( z )的边界值表示其各阶导函数内 部值的积分公式.
注：
(1)
如果被积函数含有多个奇 点，就不能直接用公式 和 公式(3.19)可以改写成： (3.19)和(3.19)’
f (ξ ) 2πi ( n ) ∫C (ξ − z ) n+1 dξ = n! f ( z )
3. 柯西不等式与刘维尔定理 柯西不等式 : 含于D, 则有 设函数f ( z )在区域D内解析, a为D内 内一点,以a为圆心作圆周γ :| ξ − a |= R, 只要γ及其内部K均
柯西不等式是对解析函数各 阶导数模的估计式,说明解析 n! M ( R) (n) | f (a函数在解析点a的各阶导数 ) |≤ Rn 的估计与它的解析区域的大 其中M ( R ) = max | f ( z ) |, n = 1,2,L. 小密切相关. | z − a| = R
( z ∈ D, n = 1,2, L) (3.19)'
此公式可以计算一些周线积分。
cos z 例3.12 计算积分 ∫ dz, 其中C是绕i一周的周线. C ( z − i)3
应用上述定理得到： 应用上述定理得到：解析函数的无穷可微性
定理3.14 设函数f ( z )在z平面上的区域D内解析, 则 f ( z )在D内具有各阶导数, 并且它们在D内也解析.
(4) 由(3.15)得
f (ξ ) ∫C ξ − z dz = 2πif ( z ).
(5) 柯西积分公式的主要用途：用(4)计算某些周线 柯西积分公式的主要用途： 计算某些周线 积分。 积分。
1 f (ξ ) f ( z) = ∫C ξ − z dξ 2πi
( z ∈ D).
柯西积分公式与高阶导数公式
dz
(n 1,2,3, ),
高阶导数公式
C z0
D
说明: 1) 解析函数具有任意阶导数；
2) f (n)(z0 ) 可用函数 f(z)在边界上的值通过积分唯一 确定。
说明:
3)
高阶导数公式的应用: 可求积分
C
f (z) (z z0 )n1 d z
要注意: a) f(z)在简单闭曲线C及其内部解析,
进行, f (z0
则
)f2(1πzi 0C
)f (z)
z z0
1
dz.
2
i
C
f (z) (z z0 )2
dz,
(1) 解析函数是否存 在各阶导数?
f (z0 )
21
2 i C
f (z) (z z0 )3 dz,
(2) 导数运算可否在 积分号下进行?
f
(n)(z0 )
C
(
z
f
(z0z))nC1是d定Dz内,理分2.6段设光函滑数(或f可(z)求在长单)
z
z3 1 2 (z 1)4
dz
2i [z3 3!
1]
z1
C的2内i部. 区域,
则f (z)在z0处
f(n)(z0 )n!2 i
f (z) C (z z0 )n1
二、高阶导数公式
由 Cauchy积分公式 , 解析函数的积分表达式为
z0
是定D内理的2.5一个设点f (,z)C是是单任连意f通一(区z条域0含)D上z0 的在2解内1析部i函区C数域,zf(
z) z0
dz.
的分段光如滑(或果可求各长阶) Jor导dan数曲线存, 则在, 并且导数运算可在积分号下
柯西积分公式
17
至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解 析函数. 依次类推, 利用数学归纳法可证 n! f (z) ( n) f ( z0 ) dz . n 1 2i C ( z z0 )
[证毕]
z
1
ez 2 (z i) 2 dz (z i)
i
C1
y
i
2i e (1 i )e , 2 ( 2 1)! ( z i ) 2
z i
C
x
o
C2
i
22
同理可得 于是
C
2
e (1 i )e i , 2 2 dz ( z 1) 2
则 0, ( ) 0,
C
z0
D
2
当 z z0 时,
f ( z ) f ( z0 ) .
设以 z0 为中心, 半径为 R ( R ) 的正向圆周K : z z0 R全在 D内,
1 f (z) 则 | dz f ( z0 ) | C 2i z z0 1 f (z) 1 f ( z0 ) | dz dz | K K 2i z z0 2i z z0 1 f ( z ) f ( z0 ) | K dz | 2 z z0
C
z0 R
K
D
3
f ( z ) f ( z0 ) 1 ds K 2 z z0
2πR
K ds .
所以:
1 f (z) | dz f ( z0 ) | 0 C 2i z z0
[证毕]
1 f (z) f ( z0 ) dz 柯西积分公式 C 2i z z0
复变函数柯西积分公式
复变函数柯西积分公式
柯西积分，即Cauchy Integral Formula，包括复变函数的一种重要的积分公式，是复变函数理论的基础。
柯西积分的出现极大地拓展了复变函数数学研究的视野，把它带入一个完整的复变函数空间，使科学家们能够有效地描述物理和复杂体系的运作。
柯西积分可以表示为：在复平面上的无界区域Ω中，若C为边界，a则是内部点，f（z）为一个连续的复变函数，则：
$$\oint_{C} f\left(z\right)dz=2 \pi i
\sum\left(f\left(a_{k}\right)\right)$$
其中，a_{k}为区域Ω内的根，且取出其中局部极小值。
因此，柯西积分也可以表述为，当根的改变对应的复变函数的值的积分之和。
此外，当区域Ω趋近于无界时，柯西积分也可以表示为简单的复变函数积分表达式。
柯西积分是复变函数研究中的基础，它被广泛用于使函数能够有效地描述物理和复杂体系的运作，以及用于解决合理的分析表示中的无限级数的和等问题。
由于柯西积分的出现，复变函数数学研究更加深入并常常被用于数学研究以及工程中，如信号处理、电磁学、电动学和更多其他领域。
3.3柯西积分公式
Γ
f ( z0 ) dz , z z0 f (z) Γ z z0 dz ,
f (z) 1 C z z0 dz 2πi
| f ( z ) f ( z0 ) | | 右边 左边 | 1 ds , 2π Γ | z z0 |
一、柯西积分公式
定理 如果函数 f ( z ) 在区域 D 内解析，
d
证明 (略) 理解 如图，函数 f ( z ) 在解析区域 D 内任意一点 z0 的函数值是 以该点为圆心的圆周上所有
D
z0 G
d
z0
G
d
z0 G
点的函数值的平均值， 因此， | f ( z0 ) | 不可能达到最大，
除非 f ( z ) 为常数。
三、最大模原理
推论 1 在区域 D 内解析的函数，如果其模在 D 内达到最大值，
a T (t ) dt .
(返回)
b
C2
cos z dz z
cos z (函数 在 | z 2 | 1 上解析) z
0.
(柯西积分定理)
例 计算 I
C
2z 1 dz , 其中 C 如图所示。 2 z z
C
C1 0 1 C2 2
2z 1 2z 1 解 令 f (z) 2 , , 则 f (z) z( z 1) z z
T (tk ) .
T (t )
1 t ba , 记 t , 即 n ba n
1 ~ 平均气温 T lim n n
k 0
T (tk )
1 T (tk ) t b a k 0
n
n
a t0
t k t k 1
tn
b
-柯西积分公式
一、 柯西积分公式
定理 若 f (z) 在区域 D内处处解析, 在 C D 连续, C 为正向简单闭曲线, 对z0 D, 则有
1 f (z)
f (z0 ) 2i
dz C z z0
称之为柯西积分公式。
说明: (1) 通过柯西积分公式, 可以把函数在C 内部任 一点z 的值用它在边界C 上的值通过积分来表示;
2
例 设 C 是不通过z0 的简单正向闭曲线,
求 g(z0 )
z4 z2 C (z z0 )3 dz
的值。
解:
当
z0
在C
的 外 部 时,
z4 z2 (z z0 )3
在 C 内解析
由柯西积分定理, 有 g(z0 ) 0
当 z0 在 C 的内部时, 设 f (z) z4 z2 ,由高阶导数
二、 高阶求导公式
定理 设 f (z) 在 D内解析, 在 C D 连续, C 为简单 正向闭曲线, 则 f (n)(z) 在 D内仍解析, 且f(n)(z0 )
n!
2i
f (z) C (z z0 )n1 dz,
z0 D,
n 1,2,...
说明 : (1 ) C 可以是含于 D 内任何包含 z0 的简单正向闭曲线;
2i
2 0
f
(z0 re i re i
)
re i
id
1
2
2 0
f (z0 re i )d
------ 一个解析函数在圆心处的值等于 它在圆周上的平均值.
例 计算下列积分( 沿圆周正向 ) 值 :
1 cos z
3z 1
(1)
柯西中值定理的公式
柯西中值定理的公式柯西中值定理（Cauchy's Mean Value Theorem）是微积分中的重要定理之一，它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西在19世纪提出的。
柯西中值定理是微积分中的一个基本定理，它建立了函数微分和函数积分之间的关系，被广泛应用于实际问题的求解中。
柯西中值定理的公式可以用如下形式表示：设函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，且在开区间(a, b)内可导，且g'(x)≠0，那么存在一个数c∈(a, b)，使得\[\frac{{f'(c)}}{{g'(c)}}=\frac{{f(b)-f(a)}}{{g(b)-g(a)}}\]其中，f'(c)表示函数f(x)在c点的导数，g'(c)表示函数g(x)在c点的导数。
这个定理的直观意义是：在函数f(x)和g(x)的导数存在且不为零的情况下，它们的导数之比在某个点c上等于函数值之差的比值。
柯西中值定理的证明依赖于罗尔定理（Rolle's theorem）的思想。
罗尔定理是柯西中值定理的特殊情况，当函数在两个端点的函数值相等时，柯西中值定理成为罗尔定理。
柯西中值定理的应用非常广泛。
它可以用于证明函数的连续性、判断函数的增减性、证明函数的极值点以及计算定积分等。
在微分方程的求解过程中，柯西中值定理也经常被用到。
举个例子来说明柯西中值定理的应用。
假设我们要证明函数f(x) = sin(x)在区间[0, π/2]上的导数存在。
根据柯西中值定理，我们可以选择函数g(x) = x，因为g'(x) = 1≠0。
然后，我们计算f'(x) = cos(x)和g'(x) = 1，并利用柯西中值定理的公式得到：\[\frac{{f'(c)}}{{g'(c)}}=\frac{{f(π/2)-f(0)}}{{g(π/2)-g(0)}}=\frac{{1-0}}{{π/2-0}}=\frac{{2}}{{π}}\]因此，根据柯西中值定理，存在某个c∈(0, π/2)，使得f'(c) = 2/π。
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可以借助于公式（ ② 可以借助于公式 （ 3.3.3 ） 计算某些围线的复 积分. 积分. 求下列积分值（围线取正向） 例1、求下列积分值（围线取正向）
(1) cos π z ∫ z = 2 (z 1)5dz
(2)
∫z
ez
=2
(z + 1)
2
2
dz
解： (1) 函数f(z ) = cos π z在整个复平面内解析， 由式（3.3.4） 由式（3.3.4）有
1 f (z 0 ) = 2π
∫
2π
0
f(z0 + Reiθ ) θ d
(3.3.3)
即f (z )在圆心z0的值等于它在圆周上的值的
算术平均值，常称为解析函数的平均值定理。 算术平均值，常称为解析函数的平均值定理。
2、解析函数的无穷可微性： 解析函数的无穷可微性： 在实变函数中，一阶导数的存在， 在实变函数中，一阶导数的存在，并不能 提供高阶导数是否存在的结论， 提供高阶导数是否存在的结论，但在复变函数 中则不然，有下面的定理。 中则不然，有下面的定理。
f(z + z ) f(z ) f ′(z0 ) = lim z → 0 z
1 f (z ) f(z ) = lim [∫ dz ∫ dz ] C z z z C z z z → 0 2i πz 0 0
1 = lim z → 0 2π i
f(z ) ∫C (z z )2dz + 0
cos π z 2π i ∫ z = 2 (z 1)5dz = 4 ! cos π z i π 5 ＝ z =1 12
(2) 函数
e
2
z
2
(z + 1)
在 z = 2内的不解析点z = ±i ,
所以在C内以i为中心，作
1 半径为 的圆周C1， 4
1 以 i为中心，作半径为 4
的圆周C 2(图3.3.2) ，那么函数
定理4 刘维尔定理） 定理4（刘维尔定理） 若f (z )在整个复平面
上解析（此时称f(z ) 为整函数）且有界，则
f (z )必为常数
的 证： 设a为复平面上任意一点，由f(z )
有界性，则存在M > 0，使对一且复数z有
f(z ) ≤ M，由柯西不等式(取n = 1)有
M (R ) M ≤ → 0 (R → ∞) f ′(a ) ≤ R R
π
4
)
3、解析函数的性质： 解析函数的性质： 应用解析函数有任意阶导数公式， 应用解析函数有任意阶导数公式，进一步 得到下面有关解析函数一些重要结论。 得到下面有关解析函数一些重要结论。
定理3 柯西不等式） 定理3 （柯西不等式） 设f (z )在区域D内
解析，a为D内一点，以a为圆心作圆周
cR : z a = R，只要cR 及其内部G均含于D，
F(z ) =
∫z
z
0
f(z ) 是关于z的单值函数，其中 dz
z0 ∈ D是一定点，z ∈ D是任意点，据上节
定理5有F ′ z ) = f(z ) ( ，故F(z ) D内解析，再由 在 定理2知f(z )仍为D内的解析函数。
注： 莫勒拉定理是柯西定理的逆定理， 莫勒拉定理是柯西定理的逆定理，综合这两 个定理得到函数 f (z ) 在区域D内解析的充要条件是沿D内任意一 在区域D内解析的充要条件是沿D 条围线有
注： 公式（ 也常写成（ 形式， 公式 （ 3.3.1 ） 也常写成 （ 3.3.2 ） 形式 ， 借此 公式给我们提供了计算某些围线积分得简便方 法。
例1 、
(1)
(2)
∫z
sin z
=4
z
dz
1 2z ∫ z = 4 (z + 1 + z 3 )dz
由公式（ 解： 由公式（3.3.2）
(1)
z f (z ) ∫C (z z )(z z z )dz 2 2π i 0 0 1
考察积分
z f (z ) I = ∫C (z z )(z z z )dz 2 2π i 0 0 1
1 I ≤ 2π
∫C
z f (z )
z z0 z z0 z
2
ds
令 d = max z z0 ，取 z ≤
=
∫C
r
f (z ) dz z z0
∫C
r
f (z 0 ) dz z z0
∫C
r
f (z ) f(z0 ) dz z z0
由f (z ) 的连续性，对于任意ε > 0，只要r充分小
就有
f (z ) f (z0 ) < ε
(z ∈ C r )
利用积分的性质得
∫C
≤
r
f (z ) f (z 0 ) dz z z0
图3 . 3 . 2 ez
2 2
(z + 1) z = 2及C1和C2围成的区域中是解析的，
在以
据推广了的柯西积分定理有
∫z
ez
=
∫C
ez
1
(z + 1)
2
2
dz +
∫C
ez
2
(z + 1)
2
2
dz
由 （ 3 . 3 . 4） 有
ez
(z + i )2 dz ∫C1 (z 2 + 1)2dz = ∫C1 (z i )2
因此f ′(a ) = 0，由a的任意性，可知f(z ) 为常数
定理5（代数学基本定理） 在复平面上n次 定理5 代数学基本定理）
多项式
Pn(z ) = a0 + a1z + an z
n
(an ≠ 0) ，则
至少有一个z 0，使Pn(z 0 ) = 0，即Pn(z 0 ) = 0
至少有一个根。 至少有一个根。
n! f (z0 ) 2π i
(n )
f(z ) ∫C (z z )n +1dz 0
公式 (3.3.4) 可看作由柯西积分公式右端关于z0
逐次求导而得。 逐次求导而得。 ①由定理2可知， 在区域D 注： 由定理2可知，由函数 f(z ) 在区域D内 解析性，不仅推出其导数的连续性， 解析性，不仅推出其导数的连续性，而且也推出 其各阶导数在D内存在且连续。 其各阶导数在 D 内存在且连续 。 这是解析函数与 一元实变量可微函数本质区别。 一元实变量可微函数本质区别。
z ∈C
d
2
，则
z z0 z ≥
d
2
，又由于f(z )在D内解析，
故在C上连续，因此f (z )在C上有界，
故存在M > 0，使对一切z ∈ C ,有 f(z ) ≤ M
M L 从而， ≤ z → 0 I 3 πd
(z → 0)
其中L表示围线C的长度， 其中L表示围线C的长度，因此得
一般用数学归纳法得到
3.3 柯西积分公式
1、柯西积分公式： 柯西积分公式： 我们可用柯西积分定理（ 复围线形式） 我们可用柯西积分定理 （ 复围线形式 ） 导出一 个用边界值表示解析函数的内部值的积分公式， 个用边界值表示解析函数的内部值的积分公式 ， 即：柯西积分公式。 柯西积分公式。 定理1 设区域D的边界是围线（或复围线） 定理1： 设区域D的边界是围线（或复围线）
∫C
r
f(z ) f(z0 ) dS ≤ z z0
∫C
r
ε dS = 2πε r
因此
lim
r →0
∫C
r
f(z ) dz = 2π if(z0 ) z z0
所以
∫C
即得： 即得：
f (z ) dz = 2π if(z0 ) z z0
1 2π i
(3.3.2)
f (z0 ) =
∫C
f (z ) dz z z0
∫C f(z )dz
= 0
C 取正向，f (z )在D内解析，在D = D + C
连续， 连续，则有
1 f ( z) f ( z0 ) = ∫C z z0 dz, ( z0 ∈ D) (3.3.1) 2π i
（3.3.1）称为柯西积分公式。 称为柯西积分公式。 证： 任取点z 0 ∈ D，
f(z ) 函数F (z ) = z z0
∫z
sin z
=4
z
dz = 2π i sin z
z =0
= 0
(2)
1 2z ∫ z = 4 (z + 1 + z 3 )dz =
∫z
=4
1 dz + z +1
z =3
∫z
=4
2z dz = 2π 1 + 2π 2z z 3
= 14π i
定理1 如果C 注： 定理1中，如果C是圆周 z = z0 + Reiθ 则（3.3.1）成为
2π i = 1! ez 2 (z + i ) (1 i ) i e = π 2
ez
z =i
同理可得
(1 + i ) i e π ∫C 2 (z 2 + 1)2dz = 2
ez
所以
∫z
ez
=2
(z + 1)
2
2
dz =
π
2
(1 i )(e ie ) = π i 2 sin(1
i
i
证： 用反证法
设方程Pn(z ) = 0无根，即Pn(z ) ≠ 0，
1 1 于是函数 为整函数，又由于 lim z →∞ P (z ) Pn(z ) n
1 = lim
z →∞
zn a0 1 1 + a1 n 1 + + an 1 + an n z z z