2021年新课标高中数学人教A版必修1全册导学案及答案
高中数学人教A版必修第一册全册测试卷(含答案)
……○…………学校:_________装…………○…………订绝密★启用前2021-2022学年度XXX 学校测试卷高中数学试卷考试范围：必修第一册；考试时间：120分钟；命题人：xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}1,3A =，则UA =（ ）A ．∅B ．{}1,3C ．{}2,4,5D ．{}1,2,3,4,52．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，则函数()3y f x x =-的零点个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则（ ） A ．a <b <c B ．a <c <b C ．c <a <bD ．c <b <a4．设全集U =R ，{}220A x x x =-<，{}10B x x =->，则如图阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}1x x ≥B ．{}1x x ≤C ．{}01x x <≤D ．{}12x x ≤<5．直线y a =与函数()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象的相邻两个交点的距离为2π，若()f x 在()(),0m m m ->上是增函数，则m 的取值范围是（ ） A ．(0,]4πB ．(0,]2πC ．3(0,]4π D ．3(0,]2π6．设全集U =R ，(2){|ln(2)},{|21}x x A x N y x B x -=∈=-=≤，A B =（ ） A ．{|1}x x ≥B ．{|12}x x ≤<C ．{}1D ．{}0,17．已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（ ）A ．1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,(0,22)2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．(,0)(0,22)-∞D ．(,0)(22,)-∞+∞8．定义区间[]()1212,x x x x <的长度为21x x -，已知函数||2x y =的定义域为[,]a b ，值域为[1,2]，则区间[,]a b 的长度的最大值与最小值的差为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．12二、多选题9．已知0<a <b <1<c ，则下列不等式不成立的是（ ） A ．ac <bc B ．cb <ca C ．log log a b c c >D ．sin a >sin b10．已知0a >，0b >，且222a b +=，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．1≥ab B ．2a b +≤ C ．lg lg 0a b +≤D ．112a b+≤11．已知(0,)θπ∈，1sin cos 5θθ+=，则下列结论正确的是（ ） A ．,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．3cos 5θ=-C ．3tan 4θ=-D ．7sin cos 5θθ-=12．将函数3tan 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移3π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，下列结论正确的是（ ）A ．函数()y g x =的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．函数()y g x =的图象最小正周期为πC ．函数()y g x =的图象在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增…………外……………内…………○…………装D ．函数()y g x =的图象关于直线512x π=对称 第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 三、填空题13．22(lg 2)(lg5)lg 4lg5++⋅=________.14．已知命题0:p x ∃∈R ，2000x ax a ++<是假命题，则实数a 的取值范围是________.(用区间表示)15．关于函数()12log 1f x x =-，有以下四个命题：①函数()f x 在区间(),1-∞上是单调增函数；①函数()f x 的图象关于直线1x =对称；①函数()f x 的定义域为()1,+∞；①函数()f x 的值域为R .其中所有正确命题的序号是________.16．设区间[]()1221,x x x x >的长度为21x x -，当函数2x y =的定义域为[,]a b 时，值域为[1,2]，则区间[,]a b 的长度的最大值与最小值的和为____________．四、解答题17．（1）计算：2310227-⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋23log 2－34log 9－525log 9； （2）已知角α的终边经过点M (1，－2)，求()5sin()cos()22cos ππααπα+-+的值． 18．已知函数2()2sin cos (0)f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()f x 的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值． 19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，角θ的终边与单位圆交于点P .（1）若点P 的横坐标为35，求cos2sin cos θθθ-⋅的值.（2）若将OP 绕点O 逆时针旋转4π，得到角α(即4παθ=+)，若1tan 2α=，求tan θ的值.20．（1）求关于x 的一元二次不等式260x x --<的解集；（2）若一元二次不等式20x bx c ++≥的解集为{}21x x x ≥≤-或，求不等式210cx bx ++≥的解集．21．设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<.已知()06f π=.（①）求ω；（①）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值.22．已知函数()1ln 1kx f x x -=+为奇函数． （1）求实数k 的值；（2）判断并证明函数()f x 的单调性；（3）若存在(),1,αβ∈+∞，使得函数()f x 在区间[],αβ上的值域为ln ,ln 22m m m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，求实数m 的取值范围．参考答案：1．C 【解析】 【分析】根据补集的定义可得结果. 【详解】因为全集{}1,2,3,4,5U =，{}1,3A =，所以根据补集的定义得{}2,4,5UA =，故选C.【点睛】若集合的元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解． 2．B 【解析】 【分析】根据题意把函数()3y f x x =-的零点问题即()30y f x x =-=的解，转化为函数()y f x =和3y x =的图像交点问题，由题可得()f x 关于1x =对称，由()()[]2()(2)(2)f x f x f x f x f x +=-=-=---=-，可得()f x 的周期为4，根据函数图像，即可得解. 【详解】由()()2f x f x +=-可得()f x 关于1x =对称， 由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()[]2()(2)(2)f x f x f x f x f x +=-=-=---=-， 所以()f x 的周期为4，把函数()3y f x x =-的零点问题即()30y f x x =-=的解，即函数()y f x =和3y x =的图像交点问题，根据()f x 的性质可得如图所得图形，结合3y x =的图像，○…………线…………○…___○…………内…………○…………装…………○由图像可得共有3个交点，故共有3个零点， 故选：B. 3．C 【解析】 【分析】根据函数是偶函数求得参数m ，再结合对数运算求得,,a b c ，即可比较大小. 【详解】①函数f (x )为偶函数，则()()2121x mx mf x f x ---=-=-=-，故m ＝0，①f (x )＝2|x |－1.①a ＝f (log 0.53)＝f (－log 23)＝2log 32－1＝2， b ＝f (log 25)＝2log 52－1＝4， c ＝f (0)＝20－1＝0. ①c <a <b . 故选：C ． 【点睛】本题考查利用函数奇偶性求参数值，涉及对数运算，属基础题. 4．D 【解析】解出集合A 、B ，然后利用图中阴影部分所表示的集合的含义得出结果. 【详解】{}{}22002A x x x x x =-<=<<，{}{}101B x x x x =->=<.图中阴影部分所表示的集合为{x x A ∈且}{}12x B x x ∉=≤<. 故选：D. 【点睛】本题考查韦恩图表示的集合的求解，同时也考查了一元二次不等式的解法，解题的关键就是弄清楚阴影部分所表示的集合的含义，考查运算求解能力，属于基础题. 5．B 【解析】先由已知求得函数的周期，得到ω，再整体代入正切函数的单调区间，求得函数()f x 的单调区间，可得选项. 【详解】因为直线y a =与函数()f x 的图象的相邻两个交点的距离为一个周期，所以12Tπω==，()1tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由12242k x k πππππ-<+<+，得322()22k x k k ππππ-<<+∈Z ，所以()f x 在3,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，由3(,),22m m ππ⎛⎫-⊆-⎪⎝⎭，得02m π<≤. 故选：B. 【点睛】本题考查正切函数的周期性，单调性，属于基础题. 6．D 【解析】 【分析】由题分别算出集合,A B 包含的范围,再取交集即可. 【详解】由{|ln(2)}A x N y x =∈=-得20,2x x -><,又x ∈N 所以0,1x =. 又(2){|21}x x B x -=≤,其中(2)0212(2)0x x x x -≤=⇒-≤ 所以02x ≤≤,故{}{0,1},|02A B x x ==≤≤ ,所以{}0,1A B =. 故选D. 【点睛】本题主要考查集合的基本运算,注意看清集合是自变量还是因变量的范围. 7．D 【解析】 【分析】由(0)0g =，结合已知，将问题转化为|2|y kx =-与()()||f x h x x =有3个不同交点，分0,0,0k k k =<>三种情况，数形结合讨论即可得到答案. 【详解】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根 即可， 令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩， 当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有1个不同交点，不满足题意； 当0k <时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意； 当0k >时，如图3，当2y kx =-与2yx 相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =，所以k > 综上，k 的取值范围为(,0)(22,)-∞+∞. 故选：D.…装…………○…………订…………○…………线…………○…___姓名：___________班级：___________考号：___________订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题. 8．A 【解析】根据函数||2x y =的图像，可知,a b 的长度最小时，此时函数单调，区间长度是1，区间长度最大时，1,1a b =-=，区间长度是2,从而得出答案. 【详解】若函数2xy =单调，则,a b 的长度最小，若函数单调递增，0,1a b ==，此时区间长度是1，若函数单调递减，……○…………线…_________……○…………内…………○…则1,0a b =-=，此时区间长度是1，所以区间,a b 的长度的最小值是1， 若函数在区间,a b 不单调，值域又是[]1,2，则区间的最大值1,1a b =-=， 此时区间长度是()112--=，则区间,a b 的长度的最大值和最小值的差是211-=.故选：A. 【点睛】本题考查的知识点是区间的概念，函数的定义域和值域，对数函数的单调性，属于基础题型. 9．BD 【解析】 【分析】利用函数的单调性判断即可. 【详解】 对于A ，c y x =在0,1上是增函数，01a b <<<，cc a b ，故不等式成立，故A 不符合题意； 对于B ，1c >，x y c 在0,1上是增函数，01a b <<<，a b c c ，故不等式不成立，故B 符合题意；对于C ，01a b <<<，根据对数函数的性质在同一坐标系下画出log a y x =和log b y x =的图象，可以根据图象判断，当1c >时，log log a b c c >，故不等式成立，故C 不符合题意；………○…………线…………○…：___________…………○…………内…………○…………装…………○对于D ，sin y x =在0,1上是增函数，∴当01a b <<<时，sin sin a b <，故不等式不成立，故D 符合题意. 故选：BD. 【点睛】本题考查指数式、对数式、正弦值的大小判断，利用函数的单调性判断是解决问题的关键，属于基础题. 10．BC 【解析】 【分析】对于AD ，举例判断，对于BC ，利用基本不等式判断 【详解】解：对于A ，令2a b ==222a b +=，则12ab ==<，所以A 错误，对于B ，因为22222()22224a b a b ab ab a b +=++=+≤++=，所以2a b +≤，当且仅当1a b ==时取等号，所以B 正确，对于C ，因为22lg lg lg lg lg102a b a b ab ++=≤==，当且仅当1a b ==时取等号，所以C 正确，对于D ，令a b ==222a b +=，则11 1.4140.81652a b +=≈+>，所以D 错误， 故选：BC 11．ABD 【解析】 【分析】 对1sin cos 5θθ+=两边平方，利用同角关系化简可得2sin cos θθ，在根据θ范围，确定sin 0θ>，cos 0θ<；根据()2sin cos 12sin cos θθθθ-=-，求出sin cos θθ-的值，将其与1sin cos 5θθ+=联立，求出sin ,cos θθ，再根据三角函数同角的基本关系，结合各选项，即可得到结果． 【详解】1sin cos 5θθ+=①，()221sin cos 5θθ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，即221sin 2sin cos cos 25θθθθ++=，242sin cos 25θθ∴=-， (0,)θπ∈，sin 0θ∴>，cos 0θ<，,2πθπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，故A 正确；()249sin cos 12sin cos 25θθθθ∴-=-=， 7sin cos 5θθ∴-=①，故D 正确；①加①得4sin 5θ=，①减①得3cos 5θ=-，故B 正确；4sin 45tan 3cos 35θθθ∴===--，故C 错误.故选：ABD ． 【点睛】关键点睛：本题主要考查了三角函数同角的基本关系的应用，解题的关键是正确利用平方关系进行化简． 12．AC先根据函数图像的变换求得()g x 的解析式，再求其函数性质即可. 【详解】由题可知，()3tan 23tan 2333g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为06g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故A 正确；因为()g x 的周期为2T π=，故B 错误；因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故可得2,,33622x πππππ⎡⎤⎛⎫-∈-⊆- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，故C 正确；因为正切函数不是轴对称函数，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查函数图像的变换以及正切型函数的性质，属综合基础题. 13．1； 【解析】根据对数的运算法则计算可得. 【详解】解：22(lg 2)(lg5)lg 4lg5++⋅ 222(lg 2)(lg 5)lg 2lg 5=++⋅ 22(lg 2)(lg 5)2lg 2lg 5=++⋅()2lg 2lg5=+ ()2lg 25=⨯⎡⎤⎣⎦21=1=故答案为：1 【点睛】本题考查对数的运算，属于基础题. 14．[0,4]先得到命题x ∀∈R ，20x ax a ++≥是真命题，根据一元二次不等式恒成立，列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】因为命题0:p x ∃∈R ，2000x ax a ++<是假命题， 所以命题x ∀∈R ，20x ax a ++≥是真命题， 即不等式20x ax a ++≥对任意x ∈R 恒成立， 所以只需240a a ∆=-≤，解得04a ≤≤， 即实数a 的取值范围是[0,4]. 故答案为：[0,4]. 15．①①① 【解析】 【分析】利用函数的单调性判断①的正误；利用函数的对称性判断①的正误；求出函数的定义域判断①的正误；由函数的值域判断①的正误. 【详解】函数()12log 1f x x =-在区间(1,)+∞上单调递减，在区间(,1)-∞上单调递增，所以①正确；函数()12log 1f x x =-，函数的图象关于直线1x =对称，所以①正确；函数()12log 1f x x =-的定义域是{}|1x x ≠，所以①不正确；函数()12log 1f x x =-，函数的值域是实数集，所以①正确.故答案为：①①①. 【点睛】本题考查对数型函数的定义域、值域与最值和单调区间，考查对基础知识、基本技能的理解和掌握，属于常考题. 16．2 【解析】 【分析】根据函数2x y =的单调性，可求出其值域，再结合其值域为[1,2]，可确定,a b ，从而可求出区间[,]a b 的长度的最大值与最小值. 【详解】因为函数2x y =的定义域为[,]a b ，而函数2x y =在[,]a b 上是单调增函数； 所以函数2x y =的值域为[2,2]a b ，由已知函数2x y =的值域为[1,2]，所以2122a b ⎧=⎨=⎩，解得01a b =⎧⎨=⎩，所以函数()f x 的定义域为[0,1]，所以区间[0,1]的长度的最大值和最小值均为1， 所以区间[0,1]的长度的最大值与最小值的和为2. 故答案为：2 【点睛】方法点睛：破解新型定义题的方法是：紧扣新定义的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利解决. 17．（1）－716；（2．【解析】 【分析】（1）直接利用分数指数幂的运算和对数的运算求解即可；（2）由三角函数的定义可求得sin α，再对()5sin()cos()22cos ππααπα+-+利用诱导公式化简可得结果 【详解】（1）原式＝6427⎛⎫ ⎪⎝⎭－23＋2log 32－2log 323－55log 3＝34⎛⎫ ⎪⎝⎭2＋2－3＝－716．（2）①角α的终边经过点M (1，－2)， ①sin α，①()5sin()cos()22cos ππααπα+-+ ＝cos sin cos ααα-＝－sin α【点睛】此题考查对数的运算，考查了三角函数的定义，考查了诱导公式的应用，考查计算能力，属于基础题18．（1）5,,Z 1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）5912π. 【解析】 【分析】（1）先利用三角函数恒等变换公式将函数化简得()2sin 23f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再由最小正周期为π，可求得1ω=，从而可得函数的解析式，然后由222,232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈可求出函数的增区间；（2）由三角函数图像变换求出()y g x =的解析式，令()0g x =，求出其零点712x k ππ=+或11(Z)12x k k ππ=+∈，再由()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，可求出b 的最小值【详解】解：（1）)2()2sin cos 2sin 1f x x x x ωωω=-sin 222sin 23x x x πωωω⎛⎫==- ⎪⎝⎭.由最小正周期为π，得1ω=，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由222,232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，整理得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递增区间是5,,Z 1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（2）将函数()f x 的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，可得到2sin 21y x =+的图像，所以()2sin 21g x x =+．令()0g x =，得712x k ππ=+或11(Z)12x k k ππ=+∈， 所以在[0,]π上恰好有两个零点，若()y g x =在[]0,b 上至少有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可， 所以b 的最小值为115941212πππ+=. 19．（1）15（2）13-【解析】 【分析】（1）由三角函数的定义知，3cos 5θ=-，4sin 5θ=，又2cos22cos 1θθ=-，代入即可得到答案；（2）利用公式()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+⋅计算即可.【详解】（1）P 在单位圆上，且点P 的横坐标为35，则3cos 5θ=-，4sin 5θ=，2cos 2sin cos 2cos 1sin cos θθθθθθ∴-⋅=--⋅93412125555⎛⎫=⨯---⨯= ⎪⎝⎭.（2）由题知4παθ=+，则4πθα=-则1tan tan1142tan tan 1431tan tan 142παπθαπα--⎛⎫=-===- ⎪⎝⎭+⋅+. 【点睛】本题考查二倍角公式以及两角差的正切公式的应用，涉及到三角函数的定义，是一道容易题.20．（1）{}23x x -<<；（2）112x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.【解析】 【分析】（1）直接解不含参数的一元二次不等式即可；（2）由题意可知2和1-是方程20x bx c ++=的两个实数根，结合韦达定理求出,b c 的值，进而解不含参数的一元二次不等式即可. 【详解】解：（1）因为260x x --<，则(3)(2)0x x -+<，即23x -<<， 故260x x --<的解集为{}23x x -<<；（2）不等式的解集为20x bx c ++≥的解集{}21x x x ≥≤-或,∴2和1-是方程20x bx c ++=的两个实数根,即1212bc -+=-⎧⎨-⨯=⎩，解得，1b =-，2c =-,则不等式210cx bx ++≥等价于2210x x --+≥， 即2210x x +-≤，因此()()2110x x -+≤，解得112x ≤≤-, 故所求不等式的解集为112x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．21．(①) 2ω=. (①) 32-.【解析】 【详解】试题分析：（①）利用两角和与差的三角函数化简得到()y f x =)3x πω=-由题设知(06f π=及03ω<<可得.（①）由（①）得())3f x x π-从而()))4312g x x x πππ=+-=-. 根据3[,44x ππ∈-得到2[,]1233x πππ-∈-，进一步求最小值.试题解析：（①）因为()sin()sin(62f x x x ππωω=-+-，所以1()cos cos 2f x x x x ωωω=-- 3cos 2x x ωω- 1sin )2x x ωω)3x πω-由题设知(06f π=，所以63k ωπππ-=，k Z ∈.故62k ω=+，k Z ∈，又03ω<<， 所以2ω=.（①）由（①）得())3f x x π-所以()))4312g x x x πππ=+-=-.因为3[,44x ππ∈-， 所以2[,]1233x πππ-∈-，当123x ππ-=-，即4x π=-时，()g x 取得最小值32-. 【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.22．（1）1；（2）增函数，证明见解析；（3）209m << 【解析】（1）根据函数奇函数的定义和条件()()0f x f x +-=，求出k 的值之后再验证是否满足函数的定义域关于原点对称即可；（2）根据函数的单调性和对数函数的单调性即可证明；（3）假设存在,αβ，使得函数()f x 在区间[],αβ上的值域为,22m m ln m ln m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由()f x 在()1,+∞上递增，程211022m m mx x ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭在()1,+∞上有两个不等实根，可得m的不等式组，解不等式即可得到实数m 的取值范围，即可得到判断存在性. 【详解】（1）因为函数()1ln1kx f x x -=+为奇函数，所以()()0f x f x +-=， 即()()()()22211111ln ln ln ln 011111kx kx kx kx k x x x x x x -------+===+-++-+-对定义域内任意x 恒成立，所以21k =，即1k =±，显然1k ≠-，又当1k =时，1()ln 1x f x x -=+的定义域关于原点对称． 所以1k =为满足题意的值．（2）结论：()f x 在(),1-∞，()1,+∞上均为增函数． 证明：由（1）知()1ln1x f x x -=+，其定义域为()(),11,-∞-+∞，任取12,(1,)x x ∈+∞，不妨设12x x <，则 ()()()()()()11212222111111ln 111ln 1lnx x x x f x f x x x x x --+=+--=++--， 因为()()()()()121212111120x x x x x x -+-+-=-<，又()()12110x x +->， 所以()()()()1212110111x x x x -+<<+-，所以()()()()()()12121211ln 011x x f x f x x x -+-=<+-， 即()()12f x f x <，所以()f x 在()1,+∞上为增函数． 同理，()f x 在(),1-∞上为增函数． （3）由（2）知()f x 在()1,+∞上为增函数，又因为函数()f x 在[],αβ上的值域为11ln ,ln 22m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以0m >，且1ln ln ,121ln ln 12m m m m αααβββ⎧-⎛⎫=- ⎪⎪+⎝⎭⎪⎨-⎛⎫⎪=- ⎪⎪+⎝⎭⎩，所以1,12112m m m m αααβββ-⎧=-⎪+⎪⎨-⎪=-+⎪⎩，即,αβ是方程112x mmx x -=-+的两实根， 问题等价于方程211022m m mx x ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭在()1,+∞上有两个不等实根，令()21122m m h x mx x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭，对称轴1124x m =- 则()201112414102210m m m m m h m >⎧⎪⎪->⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪∆=---> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪=>⎩， 即0205229m m m m >⎧⎪⎪<<⎨⎪⎪><⎩或，解得209m <<． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用以及函数和方程的转化以及一元二次方程在给定答案第17页，共17页 区间上解的问题，根据函数奇偶性和单调性的定义函数性质是解决本题的关键，考查学生分析问题与解决问题的能力，是难题.。
【新教材精创】8.4.1 平面 导学案(2)-人教A版高中数学必修第二册
【新教材】8.4.1 平面（人教A版）1.正确理解平面的概念;2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系;3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实,理解三个基本事实和三个推论的地位与作用.1.数学抽象:平面概念的理解;2.逻辑推理:点线共面、多点共线,多线共点问题;3.直观想象:点、直线、平面之间的位置关系.重点:1、平面的概念及表示;2、平面的三个基本事实和推论,注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.难点:平面的三个基本事实的掌握与运用.一、预习导入阅读课本124-127页,填写。
1、平面(1)平面的概念几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是__________________的.(2)平面的画法①水平放置的平面通常画成一个平行四边形,用平行四边形表示平面,平行四边形的锐角通常画成_______,且横边长等于其邻边长的_______.如图(1).②如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分用_______画出来或者不画.如图(2).(3)平面的表示平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC、平面ABCD等.2、点、直线、平面之间的位置关系及语言表达点A在直线l上,则_______, 点A在直线l外,则_______;点A在平面α内,则_______, 点A在平面α外,则_______;直线l在平面α内,则_______, 直线l在平面α外,则_______;平面α与平面β相交直线l,则______________.3、平面的基本事实基本事实1的三个推论推论1:经过____________________________,有且只有一个平面. 推论2:经过_____________________,有且只有一个平面.推论3:经过_____________________,有且只有一个平面.1.下列说法:①书桌面是平面;②8个平面重叠后,要比6个平面重叠后厚;③有一个平面的长是100 m,宽是90 m;④平面是绝对平滑,无厚度,无限延展的抽象概念.其中正确的个数为()(A)0 (B)1(C)2 (D)32. 三条直线两两相交,可以确定平面的个数是()(A)1个(B)1个或2个(C)1个或3个(D)3个3.若A∈平面α,B∈平面α,C∈直线AB,则()(A)C∈α(B)C∉α(C)AB⊄α(D)AB∩α=C4.如图,已知D,E是△ABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E两点,若直线AB与平面α的交点是P,则点P 与直线DE的位置关系是____________________________.题型一文字语言、图形语言、符号语言的转换例1根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应图形:(1)A∈α,B∉α;(2)l⊂α,m∩α=A,A∉l;(3)P∈l, P∉α,Q∈l,Q∈α．跟踪训练一1、A,B,C表示不同的点,n,l表示不同的直线,α,β表示不同的平面,下列推理表述不正确的是()(A)A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂α(B)A∈α,A∈β,B∈β,B∈α⇒α∩β=直线AB(C)A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线⇒α与β重合(D)l∈α,n∈α,l∩n=A⇒l与n确定唯一平面2、如图,用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.题型二 点线共面例2 如图,l 1∩l 2=A,l 2∩l 3=B,l 1∩l 3=C,求证直线l 1,l 2,l 3在同一平面内.跟踪训练二1、空间两两相交且共点的三条直线,可以确定的平面数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)1或3题型三 多点共线、多线共点问题例3如图所示,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 为AB 的中点,F 为AA 1的中点.求证:CE,D 1F,DA 三线交于一点.跟踪训练三1．如图所示,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,O 是B 1D 1的中点,直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M,则下列结论正确的是( )(A)A,M,O 三点共线(B)A,M,O,A 1不共面(C)A,M,C,O 不共面(D)B,B 1,O,M 共面1.文字语言叙述:“平面内有一条直线,则这条直线上的点必在这个平面内”改成符号语言是()(A)a∈α,A⊂a⇒A⊂α(B)a⊂α,A∈a⇒A∈α(C)a∈α,A∈a⇒A⊂α(D)a∈α,A∈a⇒A∈α2.下列图形中不一定是平面图形的是()(A)三角形(B)平行四边形(C)梯形(D)四边相等的四边形3.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图是()4.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E,F,G分别为棱BC,C1C,B1C1的中点,O1,O2分别为四边形ADD1A1,A1B1C1D1的中心,则下列各组中的四个点在同一个平面上的是.①A,C,O1,D1;②D,E,G,F;③A,E,F,D1;④G,E,O1,O2.5.如图,已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为8 cm,M,N,P分别是AB, A1D1,BB1的中点.(1)画出过M,N,P三点的平面与平面A1B1C1D1的交线以及与平面BB1C1C的交线;(2)设过M,N,P三点的平面与B1C1交于点Q,求PQ的长.答案小试牛刀1. B2．C3．A4. 点P在直线DE上自主探究例1【答案】见详细解析.【详细解析】(1)点A在平面α内,点B不在平面α内.(2)直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点A,且点A不在直线l上.(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.图形分别如图(1),(2),(3)所示.跟踪训练一【答案】1、D.2、①中,α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.②中,α∩β=l,a⊂α, b⊂β,a∩l=P,b∩l=P.【详细解析】1.选D,D选项的表述有问题.2. 在①中,α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.在②中,α∩β=l,a⊂α, b⊂β,a∩l=P,b∩l=P.例2【答案】见详细解析．【详细解析】因为l1∩l2=A,所以l1,l2确定一个平面α.因为l2∩l3=B,所以l2,l3确定一个平面β.因为A∈l2,l2⊂α,所以A∈α.因为A∈l2,l2⊂β,所以A∈β.同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.所以不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内.所以平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.跟踪训练二1、【答案】D．【详细解析】两两相交且共点的三条直线若在一个平面内,可确定一个平面,若不在一平面内,每两条直线可确定一个平面,共可确定3个平面,故选D．例3 【答案】见详细解析．【详细解析】连接EF,D1C,A1B,因为E为AB的中点,F为AA1的中点,所以EF12A1B.又因为A1B D1C,所以EF12D1C,所以E,F,D1,C四点共面,可设D1F∩CE=P.又D1F⊂平面A1D1DA,CE⊂平面ABCD,所以点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点.又因为平面A1D1DA∩平面ABCD=DA,所以据公理3可得P∈DA,即CE,D1F,DA三线交于一点.跟踪训练三1．【答案】A.【详细解析】连接A1C1,AC,则A1C1∥AC.所以A1,C1,C,A四点共面.所以A1C⊂平面ACC1A1.因为M ∈A 1C,所以M ∈平面ACC 1A 1,又M ∈平面AB 1D 1,所以M 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上,同理O 也在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上,所以A,M,O 三点共线.故选A. 当堂检测1-3. BDD 4. ①③④.5．【答案】（ 1）见详细解析（ 2）43√10.【详细解析】 (1)如图,设M,N,P 三点确定的平面为α,则α与平面ABB 1A 1交于MP. 设MP∩A 1B 1=R,则RN 是α与平面A 1B 1C 1D 1的交线. 设RN∩B 1C 1=Q,则PQ 是α与平面BB 1C 1C 的交线.(2)因为正方体的棱长为8 cm,M,P 分别为AB,BB 1的中点, 所以B 1R=BM=4 cm. 在△RA 1N 中,=,所以B 1Q=412×4=43(cm). 在Rt △PB 1Q 中, PB 1=4 cm,B 1Q= 43cm,所以PQ=√42+（ 43）2=43√10(cm).。
新课标高中数学人教A版选修2-1全册配套完整教学课件
数学理论：否命题与逆否命题的知识
即在两个命题中，一个命题的条件和结 论分别是另一个命题的条件的否定和结 论的否定，这样的两个命题就叫做互否 命题，若把其中一个命题叫做原命题， 则另一个就叫做原命题的否命题.
否命题⑶同位角不相等，两直线不平行；
逆否命题 ⑷两直线不平行，同位角不相等.
数学理论：原命题与逆否命题的知识
问题1:下面的语句的表述形式有什么 特点？你能判断它们的真假吗？ (1)若xy＝1，则x、y互为倒数 ; (2)相似三角形的周长相等； (3)2+4=5 ; (4)如果b≤－1，那么x2-2bx+b2+b=0方程有实根；
(5)若A∪B=B，则 A B (６)３不能被２整除 .
我们把用语言、符号或式子表达的， 可以判断真假的陈述句称为命题．
(4)两个内角等于 45 的三角形是等腰直角三
角形.
3.设原命题：当c>0时，若a>b，则ac>bc；
写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分 别判断它们的真假.
小结.
本节重点研究了四种命题的概念与表示形式， 即如果原命题为：若p则q，则它的逆命题为： 若q则p，即交换原命题的条件和结论即得其逆 命题；否命题为：若p则q，即同时否定原命题 的条件和结论，即得其否命题；逆否命题为： 若q则p，即交换原命题的条件和结论，并且同 时否定，即得其逆否题；
两个互为逆否的命题同真或同假
四种命题
一.四种命题的概念
1.知识回顾
（1）同位角相等 ， 两直线平行。 （2）两直线平行 ， 同位角相等。 （3）同位角不相等，两直线不平行 （4）两直线不平行，同位角不相等
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
请观察上面命题中条件和结论与命题（1）中的 条件和结论有什么区别？
人教A版高中数学必修二全册全册导学案
人教A版高中数学必修二全册精品导学案高中数学必修导学案§1.1 空间几何体的结构【使用说明及学法指导】1.结合问题导学自已复习课本必修2的P2页至P4页，用红色笔勾画出疑惑点；独立完成探究题，并总结规律方法。
2.针对问题导学及小试牛刀找出的疑惑点，课上讨论交流，答疑解惑。
3. 感受空间实物及模型，增强学生直观感知；能根据几何结构特征对空间物体进行分类；4.理解多面体的有关概念；会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征.5. 在科学上没有平坦的道路，只有不畏劳苦，敢于沿着陡峭山路攀登的人才有希望达到光辉的顶点。
【重点难点】重点是棱柱、棱锥、棱台结构特征.难点是棱柱、棱锥、棱台的结构特征一【问题导学】探索新知探究1：几何体的相关概念（1）预习课本第2页的观察部分，试着将所给出的16幅图片进行分类，并说明分类依据。
（2）空间几何体的概念：（3探究2新知1：（1）多面体：（2）多面体的面：（3）多面体的棱：（4 指出右侧几何体的面、棱、顶点探究2：旋转体的相关概念新知2：旋转体旋转体的轴 探究31、 棱柱：2、棱柱的分类：（1）按侧棱及底面垂直及否，分为：（2）按底面多边形的边数，分为：注：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。
3、棱柱的表示：4、补充：平行六面体——底面是平行四边形的四棱柱探究41、棱锥：2、棱锥的分类：注：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥是正棱锥.3、棱锥的表示：探究5：（三）棱台1、棱台：2、棱台的分类：3、棱台的表示：二【小试牛刀】1. 一个多边形沿不平行于矩形所在平面的方向平移一段距离可以形成（）.A．棱锥 B．棱柱 C．平面 D．长方体2. 棱台不具有的性质是（）.A.两底面相似B.侧面都是梯形C.侧棱都相等D.侧棱延长后都交于一点三【合作、探究、展示】例1、根据右边模型，回答下列问题：(1)观察长方体模型，有多少对平行平面？能作为棱柱底面的有多少对？(2) 如右图，长方体''''中被截去一部ABCD A B C D分，其中''EH A D。
2019-2020学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.2.2 导数的运算法则导学案 新人教A版选修1-1.doc
2019-2020学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.2.2 导数的运算法则导学案 新人教A 版选修1-1能利用给出的基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 重点：导数的四则运算法则及其运用． 难点：导数的四则运算法则的理解运用． 方 法：合作探究 一新知导学 思维导航我们已经会求幂函数、指数函数、对数函数及y ＝sinx ，y ＝cosx 的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？ 1．设函数f (x )、g (x )是可导函数，则：(f (x )±g (x ))′＝________________； (f (x )·g (x ))′＝______________________．2．设函数f (x )、g (x )是可导函数，且g (x )≠0，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫f (x )g (x )′＝____________________________.牛刀小试1．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a 的值为( ) A ．1 B ． 2 C ．－1 D ．0 2．函数y ＝x4＋sinx 的导数为( ) A ．y ′＝4x3 B ．y ′＝cosx C ．y ′＝4x3＋sinxD ．y ′＝4x3＋cosx3．下列运算中正确的是( )A ．(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2′(x 2)′ B ．(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋bx ′ C ．(sin x x 2)′＝(sin x )′－(x 2)′x2D ．(cos x ·sin x )′＝(sin x )′cos x ＋(cos x )′cos x 4．求下列函数的导数(1)y ＝2x2－3x ＋1，y ′＝__________. (2)y ＝(x ＋2)2，y ′＝__________.课堂随笔:(3)y ＝sinx ＋cosx ，y ′＝__________. (4)y ＝tanx ，y ′＝__________.(5)y ＝(x ＋2)(3x －1)，y ′＝__________. 二．例题分析例1函数的下列导数求： (1)y ＝(x ＋1)2(x －1)； (2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝1x ＋2x 2＋3x3；(4)y ＝x tan x －2cos x .（5）y ＝sin2x练习：求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)； (2)y ＝x －sin x 2·cos x2.例2偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx ＋e 的图象过点P(0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求y ＝f(x)的解析式．练习：已知抛物线y ＝ax2＋bx －7经过点(1,1)，过点(1,1)的切线方程为4x －y －3＝0，求a 、b 的值．例3已知直线l1为曲线y ＝x2＋x －2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2. (1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1，l2和x 轴所围成的三角形的面积．练习：已知函数f(x)＝2x3＋ax 与g(x)＝bx2＋c 的图象都过点P(2,0)，且在点P 处有公共切线，求f(x)，g(x)的表达式． 三．作业 基础题一、选择题1．曲线y ＝－x 2＋3x 在点(1,2)处的切线方程为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x ＋3 C ．y ＝x ＋3 D ．y ＝2x 2．函数y ＝x ·ln x 的导数是( )A ．y ′＝xB ．y ′＝1xC ．y ′＝ln x ＋1D ．y ′＝ln x ＋x3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( ) A ．193 B ．163 C ．133 D ．1034．曲线运动方程为s ＝1－t t2＋2t 2，则t ＝2时的速度为( )A ．4B ．8C ．10D ．12 5．函数y ＝cos xx的导数是( )A ．y ′＝－sin xx2B ．y ′＝－sin xC ．y ′＝－x sin x ＋cos xx 2D ．y ′＝－x cos x ＋cos xx 26．若函数f (x )＝f ′(1)x 3－2x 2＋3，则f ′(1)的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．2 二、填空题7．函数f (x )＝x ＋1x，则f ′(x )＝________.8．若函数f (x )＝1－sin xx，则f ′(π)＝________________.9．(2015·天津文)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．三、解答题10．函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋1的图象上有两点A (0,1)和B (1,0)，在区间(0,1)内求实数a ，使得函数f (x )的图象在x ＝a 处的切线平行于直线AB ．提高题一、选择题1．(2015·长安一中质检)设a ∈R ，函数f (x )＝e x＋a ·e －x的导函数是f ′(x )，且f ′(x )是奇函数．若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为( )A ．ln2B ．－ln2C ．ln22D ．－ln222．若函数f (x )＝e xsin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( )A ．π2 B ．0 C ．钝角 D ．锐角3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －24．(2015·山西六校联考)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e )＋ln x ，则f ′(e )( )A ．e －1B ．－1C ．－e －1D ．－e 二、填空题后记与感悟:5．直线y ＝4x ＋b 是曲线y ＝13x 3＋2x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________.6．设a ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数是f ′(x )，若f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为________. 三、解答题7．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0，求函数f (x )的解析式． 8.已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标；(3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．答案基础题acdbcd 7.1－1x28.π－1π2 9.310.[解析] 直线AB 的斜率k AB ＝－1，f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(a )＝－1 (0<a <1)， 即3a 2－2a －1＝－1， 解得a ＝23.提高题acac 5.－4236.y ＝－3x7.[解析] 由f (x )的图象经过点P (0,2)，知d ＝2，所以f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2.f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .因为在M (－1，f (－1))处的切线方程是6x －y ＋7＝0，可知－6－f (－1)＋7＝0， 即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2b ＋c ＝6，－1＋b －c ＋2＝1.即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3，b －c ＝0，解得b ＝c ＝－3.故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2. 8.[解析] (1)∵f ′(x )＝3x 2＋1，∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为13x －y －32＝0. (2)解法一：设切点为(x 0，y 0)， 则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16， 又∵直线l 过原点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2，∴y 0＝－26，k ＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． 解法二：设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0，又∵k ＝f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴x 30＋x 0－16x 0＝3x 20＋1，解之得，x 0＝－2，∴y 0＝－26，k ＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)∵切线与直线y ＝－x4＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4.设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1y 0＝－14，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1y 0＝－18.∴切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y ＝4x －18或y ＝4x －14.。
3.1.1 函数的概念第一课时-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册导学案
§3．1．1 函数的概念导学目标：1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。
2．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．（预习教材P59~ P66，回答下列问题）回忆：初中学习的函数概念是什么？设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，则称x是自变量，y是x的函数；其中自变量x的取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y的值叫做函数的值域。
情景：请同学们考虑以下两个问题：①1y=是函数吗？②y x=和2xyx=是同一个函数吗？为了得到函数更准确的定义，我们一起看下面几个函数，回答相应的问题：问题一：某“复兴号”高速列车加速到350km后保持匀速运行半小时，这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t(单位：h）的关系可以表示为350S t=．①思考1：有人说：“根据对应关系350S t=，这趟列车加速到50/km t后，运行1h就前进了350km．”你认为这个说法正确吗?本题中，t和S是两个变量，而且对于t的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，所以S是t的函数．第二章 一元二次函数、方程和不等式- 2 -问题二：某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资。
显然，工人一周的工资w （元）和他一周工作天数d （天）的关系可表示为350w d ．②思考2：问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么?问题三：下图是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图．如何根据该图确定这一天内任一时刻t 的空气质量指数的值I ？思考3：本题中变量I 是变量t 的函数吗？问题四：国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。
人教A版(2019)高中数学必修第一册 3 函数的表示法(二)导学案(无答案)
§3.1.2 函数的表示法（二）【探究学习】分段函数的表示例1画出函数y=|x|的图象定义：像y=|x|这样的，对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的对应关系的函数通常称为_________ 【知识应用】变式1画出函数y=|x-2|的图象变式2画出函数y=|x2-1|的图象变式3画出函数y=|x-1|（x+1）的图象例2给定函数f(x)=x+1,g(x)=(x+1)2,x∈R（1）在同一直角坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象（2）x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为M(x)=max{f(x)，g(x)},例如，当x=2时，M(2)=max{f(2),g(2)}=max{3,9}=9 请分别用图像法和解析法表示函数M(x) 练习1.给定函数f(x)=-x+1,g(x)=(x-1)2,x∈R（1）在同一直角坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象（2）x∈R，用m(x)表示f(x)，g(x)中的较小者，记为m(x)=min{f(x)，g(x)},请分别用图像法和解析法表示函数m(x)例3设函数()22,1,122,2x xf x x xx x+≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，（1）求()32,2f f f⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值；（2）若f(x)=3，求x的值.练习2.已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2，－1≤x≤1，1，x>1或x<－1.(1)画出f(x)的图象；(2)若f(x)≥14，求x的取值范围；(3)求f(x)的值域．例4.某市招手即停公共汽车的票价按下列规则制定(1)5km以内(含5km)，票价2元；(2)5km以上，每增加5km，票价增加1元(不足5km 按5km算)如果某条线路的总里程为20km，请写出票价与里程之间的函数解析式，并画出图像.【小结】【作业】作业本3837-P。
1.5全称量词与存在量词-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册导学案
1.5全称量词与存在量词【学习目标】1．能够记住全称量词和存在量词的概念．2．学会用符号语言表达全称量词命题和存在量词命题，并判断真假．3．理解全称量词命题、存在量词命题与其否定的关系，能正确对含有一个量词的命题进行否定．【学习重点】1、用符号语言表达全称量词命题和存在量词命题2、能正确对全称量词命题和存在量词命题进行否定【学习过程】一全称量词与存在量词概念1：全称量词下列语句是命题吗？比较（１）和（３），（２）和（４），它们之间有什么关系？（１）x＞３；（２）２x＋１是整数；（３）对所有的x∈R，x＞３；（４）对任意一个x∈Z，２x＋１是整数．短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称量词命题形式：“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可简记为“∀x∈M，p(x)”练习1 下列命题中全称量词命题的个数是()①任意一个自然数都是正整数；②所有的素数都是奇数；③有的正方形不是菱形；④三角形的内角和是180°.练习2 判断下列全称量词命题的真假：（１）所有的素数都是奇数；（２）∀x∈R，｜x｜＋１≥１；（３）对任意一个无理数x，x２也是无理数．概念2存在量词下列语句是命题吗？比较（１）和（３），（２）和（４），它们之间有什么关系？（１）２x＋１＝３；（２）x能被２和３整除；（３）存在一个x∈R，使２x＋１＝３；（４）至少有一个x∈Z，x能被２和３整除短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做存在量词命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”，可用符号记为“∃x∈M，p(x)”练习3下列命题中存在量词命题的个数是()①至少有一个偶数是质数；②∃x∈R，x2≤0；③有的奇数能被2整除．探究一判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假．(1)对任意x∈R，x2>0；(2)有些无理数的平方也是无理数；(3)对顶角相等；(4)存在x＝1，使方程x2＋x－2＝0；(5)对任意x∈{x|x>－1}，使3x＋4>0；(6)存在a＝1且b＝2，使a＋b＝3成立．（7）有一个实数狓，使x２＋２x＋３＝０；(8）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；（9）有些平行四边形是菱形变式1．用全称量词或存在量词表示下列语句(1)不等式x 2＋x ＋1>0恒成立；(2)当x 为有理数时，13x2＋12x ＋1也是有理数； (3)方程3x －2y ＝10有整数解；(4)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直概念3思考：写出下列命题的否定：（１）所有的矩形都是平行四边形；（２）每一个素数都是奇数；（３）∀x ∈R ，x ＋｜x ｜≥０．它们与原命题在形式上有什么变化？从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题．一般来说，对含有一个量词的全称量词命题进行否定，我们只需把 “所有的”“任意 一个”等全称量词，变成 “并非所有的”“并非任意一个”等短语即可．也就是说，假定 全称量词命题为 “∀x∈M ，p(x)”，则它的否定为 “并非∀x∈M ，p(x)”，也就是 “∃x∈M ，使p(x )不成立”．通常用符号 “﹁p(x )”表示 “p(x )不成立”全称量词命题：∀x∈M ，p(x)， 它的否定：∃x∈M ，﹁p(x)练习4写出下列全称量词命题的否定：（１）所有能被３整除的整数都是奇数；（２）每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；（３）对任意x∈Z ，x ２的个位数字不等于３．概念4思考：写出下列命题的否定：（１）存在一个实数的绝对值是正数；（２）有些平行四边形是菱形；（３）∃x∈R，x２－２x＋3＝０．它们与原命题在形式上有什么变化？从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题一般来说，对含有一个量词的存在量词命题进行否定，我们只需把“存在一个”“至少有一个” “有些”等存在量词，变成“不存在一个” “没有一个”等短语即可．也就是说，假定存在量词命题为“∃x∈M，p(x)”，则它的否定为“不存在x∈M，使p(x)成立”，也就是“∀x∈M，p(x)不成立”．存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，﹁p(x)探究二写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)所有的方程都有实数解；(2)∀x∈R，4x2－4x＋1≥0；(3)∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；(4)某些平行四边形是菱形．(5）任意两个等边三角形都相似；(6)∃x∈R，x2－x＋1＝0.(7)正方形都是菱形；(8)∃x∈R，使4x－3>x；(9)∀x∈R，有x＋1＝2x；探究三已知命题“∀1≤x≤2，x2－m≥0”为真命题，求实数m的取值范围．变式3是否存在实数m，使不等式m＋x2－2x＋5>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由【当堂检测】1．下列命题中，不是全称量词命题的是()A．任何一个实数乘0都等于0B．自然数都是正整数C．对于任意x∈Z,2x＋1是奇数D．一定存在没有最大值的二次函数2．下列命题中，存在量词命题的个数是()①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④任意x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.A．0B．1C．2D．33．下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表述方法的是()A．有一个x∈R，使得x2>3B．对有些x∈R，使得x2>3C．任选一个x∈R，使得x2>3D．至少有一个x∈R，使得x2>34．对任意x>8，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．5．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题？并判断其真假．(1)∃x∈R，|x|＋2≤0；(2)存在一个实数，使等式x2＋x＋8＝0成立；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点．答案解析一全称量词与存在量词概念1：全称量词练习1 下列命题中全称量词命题的个数是(3)①任意一个自然数都是正整数；②所有的素数都是奇数；③有的正方形不是菱形；④三角形的内角和是180°.练习2 判断下列全称量词命题的真假：（１）所有的素数都是奇数；假（２）∀x∈R，｜x｜＋１≥１；真（３）对任意一个无理数x，x２也是无理数．假概念2存在量词练习3下列命题中存在量词命题的个数是(3)①至少有一个偶数是质数；②∃x∈R，x2≤0；③有的奇数能被2整除．探究一(1) 全称量词命题，假；(2)；存在量词命题，真；(3)全称量词命题，假；(4)存在量词命题，真；(5)全称量词命题，真；(6)存在量词命题，真；(7)存在量词命题，假；(8）存在量词命题，假；（9）有些平行四边形是菱形存在量词命题，真；概念3 思考：写出下列命题的否定：（１）有的矩形不是平行四边形（２）有的素数不是奇数（３）∃x∈R，x＋｜x｜<0练习4写出下列全称量词命题的否定：（１）有的能被3整除的数不是奇数（２）有些四边形的四个顶点不在同一个圆上（３）存在x∈Z，x２的个位数字等于３概念4 思考：写出下列命题的否定：（１）所有实数的绝对值不是正数（２）所有平行四边形不是菱形（３）∀x∈R，x２－２x＋3≠０探究二写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)有的方程没有实数解，真(2）∃x∈R，4x2－4x＋10<0，假(3)∀x∈R，x2＋2x＋2>0；真(4)所有平行四边形不是菱形，假(5）有些等边三角形不相似，假(6)∀.x∈R，x２－x＋1≠0，真(7)有的正方形不是菱形，假(8)；∀x∈R，4x－3<x，假(9)∃x∈R，使x＋1≠2x，真探究三m≤1变式3 m>-4【当堂检测】1．D2．B3．C4．a≤85．(1)存在量词命题，假(2)存在量词命题，假(3)．全称量词命题，真。
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§1.1.1集合的含义及其表示欧阳光明（2021.03.07）[自学目标]1．认识并理解集合的含义，知道常用数集及其记法;2．了解属于关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义;3．初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合.[知识要点]1． 集合和元素(1)如果a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A,记作a A ∈;(2)如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于集合A,记作a A ∉.2.集合中元素的特性:确定性;无序性;互异性.3.集合的表示方法:列举法;描述法;Venn 图.4.集合的分类:有限集;无限集;空集.5.常用数集及其记法:自然数集记作N ,正整数集记作*N 或N +,整数集记作Z ,有理数集记作Q ,实数集记作R .[预习自测]例 1.下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它.（1）小于5的自然数;（2）某班所有高个子的同学;（3）不等式217x +>的整数解;（4）所有大于0的负数;（5）平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点.分析：判断某些对象能否构成集合,主要是根据集合的含义,检查是否满足集合元素的确定性.例 2.已知集合{},,M a b c =中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形一定是 ( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形例 3.设()()(){}22,,2,,5,a N b N a b A x y x a y a b ∈∈+==-+-=若()3,2A ∈,求,a b 的值.分析: 某元素属于集合A,必具有集合A 中元素的性质p ,反过来,只要元素具有集合A 中元素的性质p ,就一定属于集合A.例4.已知{}2,,M a b =,{}22,2,N a b =,且M N =,求实数,a b 的值.[课内练习]1．下列说法正确的是（）（A ）所有著名的作家可以形成一个集合（B ）0与{}0的意义相同（C ）集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==+N n n x x A ,1是有限集（D ）方程0122=++x x 的解集只有一个元素2．下列四个集合中，是空集的是（）A ．}33|{=+x xB ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C ．}0|{2≤x xD ．}01|{2=+-x x x3．方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是（）A ．)}1,1{(B ．}1,1{C ．（1，1）D ．}1{.4．已知}1,0,1,2{--=A ，}|{A x x y y B ∈==，则B ＝5．若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x x B ∈==，用列举法表示B=.[归纳反思]1．本课时的重点内容是集合的含义及其表示方法，难点是元素与集合间的关系以及集合元素的三个重要特性的正确使用；2．根据元素的特征进行分析，运用集合中元素的三个特性解决问题，叫做元素分析法。
这是解决有关集合问题的一种重要方法；3．确定的对象才能构成集合.可依据对象的特点或个数的多少来表示集合,如个数较少的有限集合可采用列举法,而其它的一般采用描述法.4.要特别注意数学语言、符号的规范使用.[巩固提高]1．已知下列条件：①小于60的全体有理数；②某校高一年级的所有学生；③与2相差很小的数；④方程2x =4的所有解。
其中不可以表示集合的有--------------------（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．下列关系中表述正确的是-----------------------------------------（）A ．{}200x ∈= B ．(){}00,0∈ C ．0∈∅ D ．0N ∈3．下列表述中正确的是----------------------------------------------（） A ．{}0=∅ B ．{}{}1,22,1= C ．{}∅=∅ D ．0N ∉4．已知集合A={}23,21,1a a a ---，若3-是集合A 的一个元素，则a 的取值是（）A ．0B ．-1C ．1D ．2 5．方程组3254x y x y =+⎧⎨+=⎩的解的集合是---------------------------------------（）A ．(){}1,1-B ．(){}1,1-C ．()(){},1,1x y -D ．{}1,1- 6．用列举法表示不等式组240121x x x +>⎧⎨+≥-⎩的整数解集合为： 7．设215022x x ax ⎧⎫∈--=⎨⎬⎩⎭，则集合21902x x x a ⎧⎫--=⎨⎬⎩⎭中所有元素的和为：8、用列举法表示下列集合：⑴(){},3,,x y x y x N y N +=∈∈⑵{}3,,y x y x N y N +=∈∈9．已知A ={1，2，x 2－5x ＋9}，B ={3，x 2＋ax ＋a }，如果A ={1，2，3}，2 ∈B ，求实数a 的值.10.设集合{},3A n n Z n =∈≤，集合{}21,B y y x x A ==-∈，集合，试用列举法分别写出集合A 、B 、C.1.1.2子集、全集、补集[自学目标]1.了解集合之间包含关系的意义.2.理解子集、真子集的概念.3.了解全集的意义,理解补集的概念.[知识要点]1.子集的概念：如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素（若a A ∈,则a B ∈），那么称集合A 为集合B 的子集（subset ），记作B A ⊆或A B ⊇,.B A ⊆还可以用Venn 图表示.我们规定:A ∅⊆.即空集是任何集合的子集.根据子集的定义,容易得到:⑴任何一个集合是它本身的子集,即A A ⊆.⑵子集具有传递性,即若B A ⊆且B C ⊆,则A C ⊆.2.真子集：如果B A ⊆且A B ≠,这时集合A 称为集合B 的真子集（proper subset ）.记作：A B⑴规定：空集是任何非空集合的真子集.⑵如果A B, B C ,那么A C3.两个集合相等：如果B A ⊆与B A ⊆同时成立,那么,A B 中的元素是一样的,即A B =.4．全集：如果集合S 包含有我们所要研究的各个集合，这时S 可A B (){}2,1,C x y y x x A ==-∈以看作一个全集（Universal set ），全集通常记作U.5．补集：设A S ⊆,由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集（complementary set ）, 记作：S A （读作A 在S 中的补集）,即 补集的Venn 图表示:[预习自测]例1．判断以下关系是否正确：⑴{}{}a a ⊆；⑵{}{}1,2,33,2,1=；⑶{}0∅⊆；⑷{}00∈；⑸{}0∅∈；⑹{}0∅=；例2.设{}13,A x x x Z =-<<∈,写出A 的所有子集.例 3.已知集合{},,2M a a d a d =++,{}2,,N a aq aq =,其中0a ≠且M N =,求q 和d 的值(用a 表示).例4.设全集{}22,3,23U a a =+-,{}21,2A a =-,{}5U C A =,求实数a 的值. 例5.已知{}3A x x =<,{}B x x a =<.⑴若B A ⊆,求a 的取值范围;⑵若A B ⊆,求a 的取值范围;⑶若R C A R C B ,求a 的取值范围.[课内练习]1． 下列关系中正确的个数为（）①0∈{0}，②Φ{0}，③{0，1}⊆{（0，1）}，④{（a ，b ）}＝{（b ，a ）}A ）1（B ）2 （C ）3（D ）42．集合{}8,6,4,2的真子集的个数是（）（A ）16 (B)15 (C)14 (D) 133．集合{}正方形=A ，{}矩形=B ，{}平行四边形=C ,{}梯形=D ,则下面包含关系中不正确的是（）（A ）B A ⊆ (B) C B ⊆ (C) D C ⊆ (D) C A ⊆4．若集合 ，则_____=b ．5．已知M={x| 2≤x ≤5}, N={x| a+1≤x ≤2a 1}.（Ⅰ）若M ⊆N ，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若M ⊇N ，求实数a 的取值范围.[归纳反思]1. 这节课我们学习了集合之间包含关系及补集的概念,重点理解子集、真子集,补集的概念,注意空集与全集的相关知识,学会数轴表示数集.2.深刻理解用集合语言叙述的数学命题，并能准确地把它翻译成相关的代数语言或几何语言，抓住集合语言向文字语言或图形语言转化是打开解题大门的钥匙，解决集合问题时要注意充分运用数轴和韦恩图，发挥数形结合的思想方法的巨大威力。
[巩固提高]1．四个关系式：①∅}0{⊂；②0}0{∈；③}0{∈∅；④}0{=∅.其中表述正确的是[ ]A ．①，②B ．①，③C ．①，④D ．②，④2．若U={x ∣x 是三角形}，P={ x ∣x 是直角三角形}，则=P C U ----------------------[ ]A ．{x ∣x 是直角三角形}B ．{x ∣x 是锐角三角形}C ．{x ∣x 是钝角三角形}D ．{x ∣x 是锐角三角形或钝角三角形}3．下列四个命题：①{}0∅=；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个子集；④空集是任何一个集合的子集．其中正确的有---------------------------------------------------[ ]Ａ．０个 Ｂ．１个 Ｃ．２个 Ｄ．３个 ４．满足关系{}1,2A ⊆{}1,2,3,4,5的集合Ａ的个数是--------------------------[ ]Ａ．５ Ｂ．６ Ｃ．７ Ｄ．８ ５．若,x y R ∈，(){},A x y y x ==，(),1y B x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，则,A B 的关系是---[ ]Ａ．A BＢ．A B Ｃ．A =B Ｄ．A ⊆B６．设A={}5,x x x N ≤∈,B={x ∣1< x <6,x }N ∈,则=B C A７．U={x ∣},01582R x x x ∈=+-，则U 的所有子集是８．已知集合}5|{<<=x a x A ，x x B |{=≥}2，且满足B A ⊆，求实数a 的取值范围.９．已知集合P={x ∣},062R x x x ∈=-+，S={x ∣},01R x ax ∈=+， 若S ⊆P ，求实数a 的取值集合.１０．已知M={x ∣x ,0>R x ∈}，N={x ∣x ,a >R x ∈}（1）若M N ⊆，求a 得取值范围；（2）若M N ⊇，求a 得取值范围；（3）若M C R N C R ，求a 得取值范围.交集、并集[自学目标]1．理解交集、并集的概念和意义2．掌握了解区间的概念和表示方法3．掌握有关集合的术语和符号[知识要点]1．交集定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}运算性质：(1)A∩B A，A∩B B(2) A∩A=A，A∩φ=φ(3) A∩B= B∩A(4) A B A∩B=A2．并集定义：A∪B={x| x∈A或x∈B }运算性质：(1) A （A∪B），B （A∪B）(2) A∪A=A，A ∪φ=A(3) A∪B= B∪A (4) A B A∪B=B[预习自测]1．设A={x|x＞—2}，B={x|x＜3}，求 A∩B和A∪B2．已知全集U={x|x取不大于30的质数}，A、B是U的两个子集，且A∩C U B={5，13，23}，C U A∩B={11，19，29}，C U A∩C U B={3，7}，求A，B.3．设集合A={|a+1|，3，5}，集合B={2a+1，a2+2a，a2+2a—1}当A∩B={2，3}时，求A∪B[课内练习]1．设A=(]3,1-，B=[)4,2，求A∩B2．设A=(]1,0，B={0}，求A∪B3．在平面内，设A、B、O为定点，P为动点，则下列集合表示什么图形（1）{P|PA=PB} （2） {P|PO=1}4．设A={（x,y）|y=—4x+b},B={（x,y）|y=5x—3 }，求A∩B 5．设A={x|x=2k+1，k∈Z}，B={x|x=2k—1，k∈Z}，C= {x|x=2k，k∈Z}，求A∩B，A∪C，A∪B[归纳反思]1．集合的交、并、补运算，可以借助数轴，还可以借助文氏图，它们都是数形结合思想的体现2．分类讨论是一种重要的数学思想法，明确分类讨论思想，掌握分类讨论思想方法。