高中数学(人教a版) 等比数列

等比数列
1.等比数列的概念 (1)文字语言：
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示(q ≠0)．
(2)符号语言：
a n ＋1
a n
＝q (q 为常数，q ≠0，n ∈N *
)． 2．等比中项
(1)前提：三个数a ，G ，b 成等比数列． (2)结论：G 叫做a ，b 的等比中项． (3)满足的关系式：G 2＝ab .
3．等比数列的通项公式
一般地，对于等比数列{a n }的第n 项a n ，有公式a n ＝a 1q n －1.这就是等比数列{a n }的通项公式，其中a 1为首项，q 为公比．
4．等比数列与指数函数的关系
等比数列的通项公式可整理为a n ＝a 1q ·q n ，而y ＝a 1q ·q x
(q ≠1)是一个不为0的常数a 1q 与指数函数q x 的乘积，从图象上看，表示数列a 1q ·q n 中的各项的点是函数y ＝a 1q ·q x 的图象上的孤立点．
例题讲解
1．在等比数列{a n }中，a 1＝4，公比q ＝3，则通项公式a n ＝________.
2．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝1
4，则公比q ＝________.
3．在等比数列{a n }中，已知a 2＝3，a 5＝24，则a 8＝__________________.
等比数列的判断与证明
1．(1)下列数列是等比数列的是( ) A ．2,2，－2，－2,2,2，－2，－2，… B ．－1,1，－1,1，－1，… C ．0,2,4,6,8,10，… D ．a 1，a 2，a 3，a 4，…
(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2－a n ，求证：数列{a n }是等比数列.
判断一个数列{a n }是等比数列的方法：
(1)定义法：若数列{a n }满足a n ＋1a n ＝q (q 为常数且不为零)或a n
a n －1＝q (n ≥2，q 为
常数且不为零)，则数列{a n }是等比数列．
(2)等比中项法：对于数列{a n }，若a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2且a n ≠0，则数列{a n }是等比数列．
(3)通项公式法：若数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1(a 1≠0，q ≠0)，则数列{a n }是等比数列．
2．已知数列{a n }是首项为2，公差为－1的等差数列，令b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
12a n ，求证数
列{b n }是等比数列，并求其通项公式．
等比中项
例2. (1)等比数列{a n }中，a 1＝18
，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项是( )
A ．±4
B ．4
C ．±14 D.
1
4
(2)已知b 是a ，c 的等比中项，求证：ab ＋bc 是a 2＋b 2与b 2＋c 2的等比中项．
等比中项应用的三点注意：
(1)由等比中项的定义可知G
a＝
b
G⇒G
2＝ab⇒G＝±ab，所以只有a，b同号
时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．
(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项．
(3)a，G，b成等比数列等价于G2＝ab(ab>0)．
3．设等差数列{a n}的公差d不为0，a1＝9d，若a k是a1与a2k的等比中项，则k等于()
A．2 B．4 C．6 D．8
等比数列的通项公式
探究1类比归纳等差数列通项公式的方法，你能归纳出首项为a1，公比为q的等比数列{a n}的通项公式吗？
探究2由等比数列的定义式a n＋1
a n＝q(q≠0)你能用累乘法求出用首项a1，公
比q表示的通项公式吗？能用等比数列中任意一项a m及公比q表示a n吗？
等比数列的性质
等比数列的性质
1．“子数列”性质
对于无穷等比数列{a n}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为a k
＋1
，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为a k，公比为q k.
2．等比数列项的运算性质
在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q . ①特别地，当m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N *)时，a m ·a n ＝a 2k .
②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a 1·a n ＝a 2·a n －1＝…＝a k ·a n －k ＋1＝….
3．两等比数列合成数列的性质
若数列{a n }，{b n }均为等比数列，c 为不等于0的常数，则数列{ca n }，
{a 2n }{a n ·b n
}，⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a n b
n 也为等比数列．
等比数列性质的应用 1． 已知{a n }为等比数列，
(1)等比数列{a n }满足a 2a 4＝1
2，求a 1a 23a 5； (2)若a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，求a 3＋a 5；
(3)若a n >0，a 5a 6＝9，求log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值．
2．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，求a 1＋a 10.
灵活设元求等比数列
例1．有.四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数
成等差数列，且它们之和为12，求这四个数．
巧设等差数列、等比数列的方法：
(1)若三数成等差数列，常设成a－d，a，a＋d.若三数成等比数列，常设成a q，
a，aq或a，aq，aq2.
(2)若四个数成等比数列，可设为a
q，a，aq，aq
2.若四个正数成等比数列，可
设为a
q3，a
q，aq，aq
3.
2．三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数．
由递推公式转化为等比数列求通项
探究1如果数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝2a n＋1，(n∈N*)，你能判断出{a n}是等差数列，还是等比数列吗？
探究2在探究1中，若将a n
＋1
＝2a n＋1两边都加1，再观察等式的特点，你能构造出一个等比数列吗？
探究3在探究1中，若将a n
＋1
＝2a n＋1改为a n＋1＝3a n＋5，又应如何构造出一个等比数列？你能求出a n吗？
1.已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}中，b1＝a1，b n＝a n－a n－1(n≥2)，且a n＋S n＝n.
(1)设c n＝a n－1，求证：{c n}是等比数列；
(2)求数列{b n}的通项公式．
2．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝52－1a n ，b n ＝1
a n －2，求数列{
b n }的通项公
式.
课后练习
1．将公比为q 的等比数列{a n }依次取相邻两项的乘积组成新的数列a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4，….此数列是( )
A ．公比为q 的等比数列
B ．公比为q 2的等比数列
C ．公比为q 3的等比数列
D ．不一定是等比数列 2．若1，a 1，a 2,4成等差数列；1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1－a 2
b 2的值
等于( )
A ．－12 B.12 C ．±
12 D.14
3．在等比数列{a n }中，a 888＝3，a 891＝81，则公比q ＝________.
4．在等比数列{a n }中，各项都是正数，a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝4，则a 4＋a 8＝________.
5．已知数列{a n }为等比数列，
(1)若a 1＋a 2＋a 3＝21，a 1a 2a 3＝216，求a n ； (2)若a 3a 5＝18，a 4a 8＝72，求公比q .
65．(1)若等比数列{a n }的首项a 1＝98，末项a n ＝13，公比q ＝2
3，求项数n ； (2)若等比数列{a n }中，a n ＋4＝a 4，求公比q .。