线性代数练习题(1-2章)答案
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线性代数练习题（行列式·矩阵部分）
一、填空题
1．n 阶行列式
10
000
10000100
001
=n D （主对角线元素为1，其余元
素均为零）的值为 1 。
2．设行列式D =121
122
5
1
41201---x
，元素x 的代数余子式的值是 －14 。
3．设矩阵⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-=1312A ，132)(2+-=x x x f ，则=)(A f 91312-⎛⎫ ⎪-⎝⎭
４．设矩阵⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=100110002A ，则逆矩阵=-1A 1002011001⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
5．5阶行列式
D=a a
a a
a a a a a ---------110
11000
1100011
0001=54321a a a a a -+-+-+
6．设A 为n 阶可逆阵，且
E A A ||2=，则*A = A 7. N (n12…(n-1))= n-1 。
8. 设D 为一个三阶行列式 ，第三列元素分别为-2，3，1，其余子式分
别为9，6，24，则D= －12 。
9. 关于n 元线性方程组的克莱姆法则成立的条件是 1）线性方程组中未知数的个数和方程的个数相同，2）系数行列式D 不等于零 ，结论是
(1,2,)j j D x j n D
=
= 。
10. n 阶矩阵A 可逆的充要条件是0A ≠，设A *
为A 的伴随矩阵，则
A -1=
*
1A A
。 11. 若n 阶矩阵满足A 2
-2A-4E=0,则A -1
=
1
(2)4
A E - 。 12.
()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43
214321=()30， ()43214321⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛123
4246836912481216⎛⎫ ⎪
⎪
= ⎪
⎪
⎪⎝
⎭
13. 设A 为三阶矩阵，若
A
=3，则
1
-A =13
,*
A = 9 。 14．
=
++++x
x x x 22
2
2
2222
222222223(8)x x +
15．设A 是m 阶方阵，B 是n 阶方阵，且|A |=a ，|B |=b ，令
⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛=0B A 0C ，则|C |=ab mn
(-1)
二、选择题
1. 设n 阶行列式D =
n ij
a ，
j
i A 是D 中元素
j
i a 的代数余子式，则下列
各式中正确的是（ C ）。
(A)
1
=∑=n
i ij ij
A a
；
(B)
1=∑=n
j ij ij
A a
；
(C)
D
A a
n
j ij ij
=∑=1
；
(D)
D
A a
n
i i i =∑=1
21
2．设n 阶方阵A,B,C 满足关系式ABC=E ，其中E 是n 阶单位矩阵，则必有( D )
(A) ACB=E ； (B) CBA=E ； (C) BAC=E ； (D) BCA=E
3．
12
2
1
--k k 0≠的充要条件是（ C ）。
（a ） k 1≠（b ） k 3≠（c ） k 3,1≠-≠k 且（d ）k 3,1≠-≠k 或 4. A,B,C 为n 阶方阵，则下列各式正确的是（ D ） (A) AB=BA (B) AB=0,则A=0或B=0 (C) （A+B ）（A-B ）=A 2
-B
2
D) AC=BC 且C 可逆,则A=B
5. 设A 为n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（D ）
(A) A ,
0≠ (B) 1-A 0≠ (C) r(A)=n (D) A 的行向量组线性相关
6．设A 是n 阶方阵，且A T
A=E ，则A 是( D )
（A ）对称矩阵 （B ）奇异矩阵 （C ）正定矩阵 （D ）正交矩阵
7．设A 为n 阶方阵，|A |=a ≠0，A *
为A 的伴随矩阵，则| A *
|=( D )
（A ）a （B ）a 1
（C ）n a （D ）1
-n a
三、解答题
1．计算行列式
6
7
4
1
212060311512-----=
D
（答案 27）
2．设
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111111111A ，⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=120421321
B ，求A B T （答案002226028⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭
）
3．设A 是3阶矩阵，
10=A ，求*
121
)31(A A -- （答案
－4/5）
4. 试求行列式
A ,
B 的值, 其中A ,B 为n 阶方阵
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛+++=x x x
A 111111111
，⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭⎫
⎝⎛=n B 00020001
（答案1
(),!n A n x x B n -=+=）
5．设4阶方阵C B A ，，满足方程 11)2(--=-C A B C E T ，试求矩阵A ，
其中
1
2321
20101230120,0012001200010001B C --⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪
- ⎪ ⎪==
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ （