第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A组(小学中

第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛

决赛试题A 组（小学中年级组）

（时间：2015年4月11日10:00~11：30）

一、填空题(每小题 10 分, 共 80 分)

1. 计算: 3752÷(39×2)+5030÷ (39×10)=________.

【答案】61

【解析】3752(392)5030(3910)187********(1876503)3923793961÷⨯+÷⨯=÷+÷=+÷=÷=.

2. 下图中，A B C D E F G ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠等于 度.

【答案】360

【解析】连接CD ，根据三角形内角和相等可知G F FDC DCG ∠+∠=∠+∠，再由四边形的内角和是360°，因此360A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=°.

3. 商店以每张 2 角 1 分的价格进了一批贺年卡, 共卖1

4.57元.若每张的售价相同, 且不超过

买入价格的两倍, 则商店赚了________元.

【答案】4.7

【解析】由已知得进价为21分，则售价不超过42分，总的销售收入为1457分.由于1457在21到42的约数只有31，可得售价为31分，共有14573147÷=（个）贺年卡，商店共赚了47(3121)470⨯-=（分），即4.7元.

4.两个班植树, 一班每人植3棵, 二班每人植5棵, 共植树115棵. 两班人数之和最多为________.

【答案】37

【解析】设一班有x 人，二班有y 人，列方程35115x y +=，要使()x y +最大，应使x 尽量大，经尝试352x y ==、时两班人数的和最多，即为35237+=（人）.

5.某商店第一天卖出一些笔, 第二天每支笔降价 1 元后多卖出 100 支, 第三天每支笔比前一天涨价 3 元后比前一天少卖出 200 支.如果这三天每天卖得的钱相同, 那么第一天每支笔售价是________元.

【答案】4

【解析】方法一：设第一天卖出笔的数量为x 支，单价为y 元，由已知可得

(100)(1)(100)(1)(100)(2)xy x y x y x y =+-⎧⎨+-=-+⎩ 即1001003200100y x x y -=⎧⎨-=⎩ 解得3004x y =⎧⎨=⎩

则第一天每支笔售价为4元.

方法二：设第一天卖出笔的数量为x 支，单价为y 元，根据题意画出左下图，可知①号面积=②号面积，所以

(1)100y x -⨯=，所以100100x y =-；同理根据第一天和第三天的关系画出右下图，2(100)100x y -=⋅即2100200x y =+，解得300x =，4y =.则第一天每支笔售价为4元.

6.一条河上有A, B两个码头, A在上游, B在下游.甲、乙两人分别从A, B同时出发, 划船相向而行, 4小时后相遇.如果甲、乙两人分别从A, B同时出发, 划船同向而行, 乙16小时后追上甲.已知甲在静水中划船的速度为每小时6千米, 则乙在静水中划船每小时行驶________千米.

【答案】10

【解析】设乙在静水中速度为每小时x千米，水速为每小时y千米，可得

++-=--+，

y x y x y y

4(6)16(6)

x=，即乙在静水中划船每小时行驶10千米.

解得10

7.某个两位数是2的倍数, 加1是3的倍数, 加2是4的倍数, 加3是5的倍数, 那么这个两位数是________.

【答案】62

【解析】由已知该两位数除以3、4、5均余2，满足条件的两位数只有62，且该数为2的倍数，因此这个两位数是62.

8. 在三个词语“尽心尽力”、“力可拔山”和“山穷水尽”中, 每个汉字代表1至8之间的数字, 相同的汉字代表相同的数字, 不同的汉字代表不同的数字.如果每个词语的汉字所代表的

数字之和都是 19, 且“尽”>“山”>“力”, 则“水”最大等于________.

【答案】7

【解析】因为2尽＋心＋力=19、力+可+拔+山=19、山+穷+水+尽=19，

所以力+可+拔+2山+穷+水+尽=38、力+可+拔+山+穷+水+尽+心=36，那么山－心=2，所以山3≥；

而2尽+心+力=2尽+山-2+力=19，因此2尽+山+力=21，有尽>山>力，所以山1-≥力、尽2-≥力，

那么4尽321-≥，尽6≥.

若水=8、尽=6、心=3、力=4、山=5、穷=0，矛盾；

若水=8、尽=7、山=3、穷=1、新=1，矛盾；

若水=7、尽=6、山=5、力=4、心=3、穷=1、可=2或8、拔=8或2，成立，所以水最大为7.

二、简答题（每小题15分，共60分，要求写出简要过程）

9. 有一批作业, 王老师原计划每小时批改6本. 批改了2小时后, 他决定每小时批改 8 本, 结果提前 3 小时批改完.那么这批作业有多少本？

【答案】84

【解析】前2小时批改了6212⨯=（本），因为提前了3小时，那么这3小时按照原计划需要

批改3618⨯=（本）.根据差倍问题：18(86)9÷-=（小时），因此作业一共有981284⨯+=（本）.

10. 用五种不同的颜色涂正方体的六个面. 如果相邻的两个面不能涂同种颜色, 则共有多少种不同的涂色方法？(将正方体任意翻转后仍然不同的涂色方法才被认为是不同的)

【答案】30种（官网）,15种(学而思)

【解析】从5种颜色选出一种,另外四种颜色排列有1454430C A ⨯÷=（种）(官网);

从5种颜色选出一种,另外四种颜色排列有14

54430

C A

⨯÷=（种）,考虑到翻转的情况，最后应该只有30215

÷=（种）.(学而思提供, 仅供参考)

11. 如右图所示, 有一个圆圈填了数字1.请在空白圆圈内填上2, 3, 4, 5, 6中的一个数字, 要求无重复数字, 且相邻圆圈内的数字的差至少为2.问共有几种不同的填法？

【答案】3种

【解析】如下图，把字母标在空白的圆圈里，那么2不能为A、B、C，只能为D或E，下面分情况讨论：

①当D=2时，A、C、E不能为3，所以B=3，由于A和E的差不能为1，所以C=5，

A=4，E=6或C=5，A=6，E=4，此时共有2种填法；

②当E=2时，A、D不能为3.当B=3时，A、C、D需要取4、5、6，而D与A和C的差均至少为2，故此时无解；当C=3时，A和D的差至少为2，所以B=5，A=4，D=6，此时共有1中填法.

综上，共有3种不同的填法.

12．边长分别为8cm和6cm的两个正方形ABCD与BEFG如右图并排放在一起.连接DE交BG于P, 则图中阴影部分APEG的面积是多少?