2019年高考试题分类汇编(坐标系与参数方程)
(2017-2019)高考文数真题分类汇编专题18 坐标系与参数方程(学生版)
专题18 坐标系与参数方程1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系Oy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos sin 110ρθθ++=2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ． （1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】如图，在极坐标系O 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧»AB ，»BC ，»CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧»AB ，曲线2M 是弧»BC ，曲线3M 是弧»CD． （1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标．4．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离．5．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=．（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程．6．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4sin y θ⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩，（t 为参数）．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．7．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为sin y θ⎨=⎩（θ为参数），过点(0，且倾斜角为的直线l 与O ⊙交于A B ，两点． （1）求的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．8．【2018年高考江苏卷数学】在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为ρ=4cos θ，求直线l 被曲线C 截得的弦长．9．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系Oy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）．（1）若1-=a ，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l a ．10．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】在直角坐标系Oy 中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值．11．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】在直角坐标系Oy中，直线l1的参数方程为2+,,x ty kt=⎧⎨=⎩（t为参数），直线l2的参数方程为2,,x mmmyk=-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）．设l1与l2的交点为P，当变化时，P的轨迹为曲线C．（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin0lρθθ+=，M为l3与C的交点，求M的极径．12．【2017年高考江苏卷数学】在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参考方程为82x t t y =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线C的参数方程为22x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（为参数）．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．。
2019届全国通用版高考数学总复习专题八选考内容8
= + 4,
(θ 为参数),直线 l 的参数方程为
(t 为参数).
= 1-,
= sin,
(1)若 a=-1,求 C 与 l 的交点坐标;
(2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17,求 a.
-11-
解(1)曲线 C
2 2
的普通方程为 9 +y =1.
当 cos α≠0 时,l 的直角坐标方程为 y=tan α·x+2-tan α,
当 cos α=0 时,l 的直角坐标方程为 x=1.
(2)将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程,整理得关于 t 的方程
(1+3cos2α)t2+4(2cos α+sin α)t-8=0,
①
因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点(1,2)在 C 内,所以①有两个
当 a=-1 时,直线 l 的普通方程为 x+4y-3=0.
21
+ 4-3 = 0,
=
,
=
3,
25
由 2
解得
或
2
24
=
0
+
=
1,
=
.
9
从而 C 与 l 的交点坐标为(3,0),
25
21 24
- 25 , 25 .
(2)直线 l 的普通方程为 x+4y-a-4=0,
故
当
当
|3cos+4sin--4|
= cos,
将
代入 x2+y2-8x-10y+16=0 得
= sin
ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0,
理科数学高考十年真题分类精编-专题15 坐标系与参数方程
第四十一讲 坐标系与参数方程
2019 年
1..（2019 全国 I 理 22）[选修 4—4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
x
1 1
t t
2 2
，
（t
为参数）．以坐标原点
O
为极
y
4t 1 t2
点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为
两点，则 | AB | ____．
5．（2015 广东）已知直线 l 的极坐标方程为 2 sin( ) 2 ，点 Α 的极坐标为 4
2 2, 7 ) ，则点 Α 到直线 l 的距离为
．
4
6．（2015 安徽）在极坐标系中，圆 8sin 上的点到直线 ( R) 距离的最大值 3
是
7．(2018 全国卷Ⅰ) [选修 4–4：坐标系与参数方程]（10 分）
4.（2019
天津理
12）设
a
R
，直线
ax
y
2
0
和圆
x y
2 2 cos 1 2sin
,
（
为参数）相
切，则 a 的值为
.
2010-2018 年
1．(2018 北京)在极坐标系中，直线 cos sin a(a 0) 与圆 =2 cos 相切，则
a =___． 2．（2017 北京）在极坐标系中，点 A 在圆 2 2 cos 4 sin 4 0 上，点 P 的坐
x 2 cos θ,
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
y
4
sin
θ,
专题22 坐标系与参数方程-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅲ专版)(解析版)
【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M上，且||OP =P 的极坐标．【答案】（1）2cos ([0,])4ρθθπ=∈，32sin ([,])44ρθθππ=∈，32cos ([,])4ρθθπ=-∈π， （2）)6π，)3π，2)3π，5)6π． 【解析】（1）由题设可得，弧,,AB BC CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-．所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭． （2）设(,)P ρθ，由题设及（1）知 若π04θ≤≤，则2cos θ=，解得π6θ=；专题22 坐标系与参数方程若π3π44θ≤≤，则2sin θ=π3θ=或2π3θ=； 若3ππ4θ≤≤，则2cos θ-=5π6θ=． 综上，P的极坐标为π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭．【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题． 【母题原题2】【2018年高考全国Ⅲ卷理数】在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(0，且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点． （1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．【答案】（1）(,)44π3π；（2）2,2222x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(α为参数，44απ3π<<)． 【解析】（1）O 的直角坐标方程为221x y +=．当2απ=时，l 与O 交于两点． 当2απ≠时，记tan k α=，则l的方程为y kx =-l 与O交于两点当且仅当|1<，解得1k <-或1k >，即(,)42αππ∈或(,)24απ3π∈． 综上，α的取值范围是(,)44π3π．（2）l的参数方程为cos ,(sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数，44απ3π<<)． 设A ，B ，P 对应的参数分别为A t ，B t ，P t ，则2A BP t t t +=，且A t ，B t满足2sin 10t α-+=．于是A B t t α+=，P t α=．又点P 的坐标(,)x y满足cos ,sin .P P x t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩所以点P的轨迹的参数方程是2,cos 222x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(α为参数，44απ3π<<)． 【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的参数方程，考查求点的轨迹方程，属于中档题． 【母题原题3】【2017年高考全国Ⅲ卷理数】在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．（1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 0l ρθθ+=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．【答案】（1）()2240x y y -=≠；（2【解析】（1）消去参数t 得1l 的普通方程()1:2l y k x =-；消去参数m 得l 2的普通方程()21:2l y x k=+． 设(),P x y ，由题设得()()212y k x y x k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，消去k 得()2240x y y -=≠． 所以C 的普通方程为()2240x y y -=≠．（2）C 的极坐标方程为()()222cos sin 402π,πρθθθθ-=<<≠．联立()()222cos sin 4,cos sin 0ρθθρθθ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩得()cos sin 2cos sin θθθθ-=+．故1tan 3θ=-，从而2291cos ,sin 1010θθ==． 代入()222cos sin 4ρθθ-=得25ρ=，所以交点M【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力．遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解．要结合题目本身特点，确定选择何种方程．【命题意图】能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．主要考查考生的数学运算能力和转化与化归思想的应用．【命题规律】主要考查极坐标（方程）与直角坐标（方程）的互化，参数方程与普通方程的互化，根据极坐标方程或参数方程求弦长、面积、最值等，其中利用直线参数方程中参数的几何意义求值，利用椭圆或圆的参数方程或点到直线的距离求最值是考查的重点，以解答题的形式出现，分值10分，难度中等．【知识总结】1．极坐标和直角坐标的互化（1）互化的前提：①直角坐标系的原点与极点重合；②x轴的正半轴与极轴重合；③在两种坐标系中取相同的长度单位．（2）互化公式：设M是平面内任一点，它的直角坐标是（x，y），极坐标是（ρ，θ），则极坐标与直角坐标的互化公式为cossinxyρθρθ=⎧⎨=⎩，，可得222tan0x yyxxρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩，（）．注意：把直角坐标化为极坐标时，一定要明确点所在的象限（即极角的终边的位置）和极角的范围，以便正确求出极角，否则点的极坐标将不唯一．2．简单曲线的极坐标方程3．参数方程和普通方程的互化（1）曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，将参数方程化为普通方程需消去参数． （2）如果知道变量x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如，x=f （t ），把它代入普通方程，求出另一个变量与参数t 的关系y=g （t ），那么x f t y gt =⎧⎨=⎩（），（）就是曲线的参数方程．注意：（1）在参数方程与普通方程的互化中，一定要注意变量的范围以及转化的等价性．（2）普通方程化为参数方程，参数方程的形式不唯一，即如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同．4．直线和圆锥曲线的参数方程和普通方程【方法总结】1．极坐标与直角坐标互化的方法（1）将点的直角坐标（x ，y ）化为极坐标（ρ，θ）时，运用公式，tan θ=yx（x ≠0）即可．在[0，2π]范围内，由tan θ=yx（x ≠0）求θ时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限．如果允许θ∈R ，再根据终边相同的角的意义，表示为θ+2k π（k ∈Z ）即可．（2）将点的极坐标（ρ，θ）化为直角坐标（x ，y ）时，运用公式x=ρcos θ，y=ρsin θ即可． 2．极坐标方程与直角坐标方程互化的方法 直角坐标方程极坐标方程．3．求解与极坐标有关问题的主要方法（1）直接法：直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用；（2）间接法：转化为直角坐标系，用直角坐标求解．若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．4．将参数方程化为普通方程的方法（1）将参数方程化为普通方程时，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数基本关系式消参，如sin 2θ+cos 2θ=1等；（2）将参数方程化为普通方程时，要注意参数的取值范围对普通方程中点的坐标的影响，注意两种方程的等价性，避免产生增解的情况． 5．将普通方程化为参数方程的方法只要适当选取参数t ，确定x=f （t ），再代入普通方程，求得y=g （t ），即可化为参数方程x f t y gt =⎧⎨=⎩（），（）．注意参数t 的意义和取值范围．选取参数的原则：（1）曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且相对简单；（2）当参数取某一个值时，可以唯一确定x ，y 的值．一般地，与时间有关的问题，常取时间作为参数；与旋转有关的问题，常取旋转角作为参数．此外也常常用线段的长度，直线的倾斜角、斜率、截距等作为参数．6．直线方程中参数t 的几何意义的应用经过点P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩，（t 为参数）．若A ，B 为直线l 上的两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：（1）t 0=122t t +； （2）|PM|=|t 0|=|122t t+|；（3）|AB|=|t 2–t 1|； （4）|PA|·|PB|=|t 1·t 2|．注意：在直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义，其几何意义为：|t|是直线上任一点M （x ，y ）到M 0（x 0，y 0）的距离，即|M 0M|=|t|．1．【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学】在平面直角坐标系中，已知曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）过点()1,2P 倾斜角为135︒的直线l 与曲线C 交于M N 、两点，求22PM PN +的值． 【答案】（1）4sin ρθ=；（2）8．【解析】（1）依题意，曲线C 的普通方程为()2224x y +-=，即2240x y y +-=，故224x y y +=，故4sin ρθ=，故所求极坐标方程为4sin ρθ=；（2）由题意，可设直线l的参数方程为122x y t =-=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）， 将此参数方程代入2240x y y +-=中，化简可得230t -=，显然0∆>．设,M N 所对应的参数分别为1t ，2t，则12123t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=-⎪⎩．∴()2222212121228PM PN t t t t t t +=+=+-=．【名师点睛】本题主要考查参数方程、普通方程和极坐标方程的互化，考查直线参数方程t 的几何意义解答，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．2．【广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】已知曲线l 的参数方程为325415x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4ρθπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设1(2)P ，．直线l 与曲线C 交于点A B ，．求·PA PB 的值． 【答案】（1）22(2)(2)8x y -+-=；（2）7．【解析】（1）由4ρθπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭得4cos 4sin ρθθ=+，∴24cos 4sin ρρθρθ=+，又cos sin x y ρθρθ==，，∴2244x y x y +=+即曲线C 的直角坐标方程为22(2)(2)8x y -+-=．（2）将325415x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩代入C 的直角坐标方程，得229418255t t ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，∴28705t t +-＝， 设A ，B 两点对应的参数分别为12t t ，，∴127t t =-．则12·7PA PB t t ==． 【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标的互化，以及参数方程的应用，熟记公式即可求解，属于常考题型．3．【广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 1sin x r y r ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()106ρθπ++=．若直线l 与曲线C 相切． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在曲线C 上任取两点M ，N ，该两点与原点O 构成MON △，且满足6MON π∠=，求M O N △面积的最大值．【答案】（1）4sin()3ρθπ=+；（2）2．【解析】（1）由题意可知，直线l20y -+=．曲线C是圆心为)，半径为r 的圆，由直线l 与曲线C相切可得2r ==．可知曲线C的直角坐标方程为(()2214x y +-=．所以曲线C的极坐标方程为2cos 2sin 0ρθρθ--=，即4sin 3ρθπ⎛⎫=+⎪⎝⎭． （2）由（1）不妨设()1,M ρθ，2,6N ρθπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（10ρ>，20ρ>，233θππ-<<）． 1211sin 264MON S OM ON ρρπ==△24sin sin 2sin cos 32θθθθθππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin2θθ=++2sin 23θπ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭当12θπ=时，MON △面积的最大值为2． 【名师点睛】本题主要考查了直角坐标与极坐标的互化，考查了极坐标系下三角形的面积公式，考查了三角函数的最值问题，属于中档题．4．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为12cos x y αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），将曲线1C 上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标缩短2C ，在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为4sin()103ρθπ++=． （1）求曲线2C 的极坐标方程及直线l 的直角坐标方程；（2）设点P 为曲线3C ：2213y x +=上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值．【答案】（1）2C ：23cos 04ρρθ--=，l：210y ++=；（2）14+． 【解析】（1）曲线1C的参数方程为12cos x y αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），根据图象变换可得曲线2C 的参数方程为1cos 2sin x y αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩（α为参数）， 消去方程中的α可得普通方程为22304x y x +--=， 将222,cos x y x ρρθ+==代入上式得23cos 04ρρθ--=．所以曲线2C 的极坐标方程23cos 04ρρθ--=．直线l的极坐标方程为14sin 102ρθθ⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭，即2sin cos 10ρθθ++=，将sin ,cos y x ρθρθ==代入上式，得210y ++=， 所以直线l的直角坐标方程为210y ++=． （2）设()cos P αα为曲线3C 上任一点，则点P 到直线l的距离d ==， ∴当sin 14απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，d∴点P 到直线l． 【名师点睛】本题考查各种方程间的相互转化，在进行极坐标和直角坐标间的转化时，要注意转化公式在解题中的灵活应用．参数方程的建立便于点的坐标的选取，利用参数方程求点到直线的距离等提供了新的解题思路．5．【广西柳州市2019届高三毕业班1月模拟考试高三数学】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为322522x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线2C 的极坐标方程为ρ=（1）求曲线1C 的普通方程，曲线2C 的参数方程；（2）若P Q ，分别为曲线1C ，2C 上的动点，求PQ 的最小值，并求PQ 取得最小值时，Q 点的直角坐标．【答案】（1）40x y +-=，2C的参数方程为sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）．（2）31,22Q ⎛⎫⎪⎝⎭ 【解析】（1）由曲线1C 的参数方程为322522x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），消去t ，得40x y +-=，由ρ=，()2212sin 3ρθ∴+=即2222sin 3ρρθ+=，22223x y y ∴++=，即2213x y +=，2C ∴的参数方程为sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）．（2）设曲线2C 上动点为Q),sin ϕϕ，则点Q 到直线1C 的距离：d=， ∴当sin 13ϕπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，即6ϕπ=时，d，即PQ，3621sin 62x y π⎧==⎪⎪∴⎨π⎪==⎪⎩，31,22Q ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭．【名师点睛】本题考查了直角坐标方程，参数方程，及极坐标方程间的转化，考查了点到直线的距离公式的应用，考查了利用三角函数求最值，属于基础题．6．【云南省昆明市2019届高三高考模拟（第四次统测）数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩，（α为参数），将曲线C 按伸缩变换公式'1'2x xy y =⎧⎪⎨=⎪⎩，变换得到曲线E ．（1）求E 的普通方程；（2）直线l 过点(0,2)M -，倾斜角为4π，若直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，N 为AB 的中点，求OMN △的面积．【答案】（1）2214x y +=；（2）85． 【解析】（1）依题意，E 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），所以E 的普通方程为2214x y +=．（2）因为直线l 过点()0,2M -，倾斜角为4π， 所以l的参数方程为222x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），设A 、B 对应的参数分别为1t ，2t ，则N 对应的参数为122t t +，联立22,22,21,4x t y t x y ⎧=⎪⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪+=⎪⎪⎩，化简得25240t -+=，(245240∆=-⨯⨯>，所以122t t +=MN =，所以118sin 2242525OMN S MN MO π=⋅⋅=⨯⨯=△． 【名师点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、曲线的伸缩变换，以及利用直线参数方程参数的意义求弦长问题．7．【四川省峨眉山市2019届高三高考适应性考试数学】已知曲线C 的参数方程为12cos 12sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线l 的极坐标方程为3()4θρπ=∈R ，直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）记线段MN 的中点为P ，求OP 的值． 【答案】（1）2cos 24ρθπ⎛⎫++= ⎪⎝⎭；（2）OP = 【解析】（1）∵曲线C 的参数方程为12cos 12sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），∴所求方程为222(1)(1)2x y ++-=，∵cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，∴22cos 2sin 2ρρθρθ+-=， ∴曲线C的极坐标方程为2cos 24ρθπ⎛⎫++= ⎪⎝⎭．（2）联立34θπ=和22cos 2sin 20ρρθρθ+--=，得220ρ--=， 设()1,M ρα，()2,N ρα，则12ρρ+=，由12||2OP ρρ+=，得OP =【名师点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，普通方程与及坐标方程的互化，利用极径的几何意义求弦长，属于中档题．8．【四川省名校联盟2019届高考模拟信息卷（一）数学】在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的方程为()222cos 4sin 4ρθθ+=，过点()2,1P 的直线l的参数方程为2212x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求AB 的值，并求定点P 到A ，B 两点的距离之积．【答案】（1）直线l 的普通方程10x y --=，曲线C 的直角坐标方程为22440x y +-=；（2）85．【解析】（1）由2212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），消去参数t ，得直线l 的普通方程10x y --=． 由()222cos 4sin 4ρθθ+=，得曲线C 的直角坐标方程为22440xy +-=．（2）将直线l的参数方程为2212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）， 代入22440x y +-=，得2580t ++=．则125t t +=-，1285t t =．∴12AB t t =-=5==， 1285PA PB t t ⋅==．所以AB的值为5，定点P 到A ，B 两点的距离之积为85．【名师点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，参数方程转化为普通方程，直线的参数方程． 9．【四川省双流中学2019届高三第一次模拟考试数学】在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，其中a 为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程；（2）B 为圆C 上一点，且B 点的极坐标为()000,,,26ρθθππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，射线OB 绕O 点逆时针旋转π3，得射线OA ，其中A 也在圆C 上，求OA OB +的最大值． 【答案】（1）2cos ρθ=；（2）【解析】（1）1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩2222(1)120x y x y x ⇒-+=⇒+-=， 由222,cos ,x y x ρρα=+=可得圆C 的极坐标方程2cos ρθ=．（2）由题意可知：10(,)6A ρθπ+，所以0002cos 2cos 36OA OB θθθππ⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,26θππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以0()(,)633θπππ+∈-01cos()(,1]62θπ⇒+∈，从而OA OB +最大值为【名师点睛】本题考查了把圆的参数方程化成普通方程再化为极坐标方程问题．考查了在极坐标下，利用三角恒等变换求两极径之和最大值问题，考查了运算能力．10．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为32cos (2sin x y ααα=+=⎧⎪⎨⎪⎩为参数）． （1）写出C 的普通方程，求C 的极坐标方程；（2）若过原点的直线l 与C 相交于,A B 两点，AB 中点D 的极坐标为03ρπ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，求D 的直角坐标．【答案】（1）226170x y x +--+=，26cos sin 170ρρθθ--+=；（2）94⎛ ⎝⎭． 【解析】（1）C 的普通方程()(2234x y -+-=，∴226170x y x +--+=，C的极坐标方程26cos sin 170ρρθθ--+=；（2）由已知得直线l 的极坐标方程为π3θ=，代入26cos sin 170ρρθθ--+=，得29170ρρ-+=，∴294170∆=-⨯>，设12ππ33A B ρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，则129ρρ+=， ∵D 是AB 中点， ∴120922ρρρ+==，∴9π99πcos sin 234234D D x y ====，， ∴D的直角坐标为94⎛ ⎝⎭． 【名师点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程间的转化和应用，属中档题．11．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，已知点M 的直角坐标为()1,0，直线l的参数方程为12x y ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）直线l 和曲线C 交于A 、B 两点，求11MA MB+的值． 【答案】（1）10x y --=和24y x =．（2）1【解析】（1）将12x y ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩中的参数t 消去，得：10x y --=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入2sin 4cos ρθθ=，得24y x =． ∴直线l 和曲线C 的直角坐标方程分别为：10x y --=和24y x =．（2）将直线l 的参数方程代入曲线C的普通方程，得280t -=，设A 、B 两点对应的参数为1t 、2t ，则1MA t =，2MB t =，且12t t +=128t t =-． ∴12128t t t t +=-==，∴121111MA MB t t +=+121212121t t t t t t t t +-===． 【名师点睛】本题考查的知识要点：参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．12．【四川省攀枝花市2019届高三下学期第三次统考数学】在平面直角坐标xOy 中，直线l 的参数方程为12x a y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数，a 为常数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos sin θρθ=． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A B 、两点，若16AB =，求a 的值．【答案】（10x y -=，24y x =；（2）1a =．【解析】（1）∵直线l的参数方程为12x a y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数，a 为常数）， 消去参数t 得l的普通方程为：)y x a =-0x y --=．∵24cos sin θρθ=，∴2sin 4cos ρθθ=即22sin 4cos ρθρθ=，即24y x =． 故曲线C 的直角坐标方程为24y x =．（2）法一：将直线l的参数方程代入曲线中得2160t a --=，∴121264(3)0316a a t t t t a ∆=+>⇒>-⎧⎪+=⎨⎪=-⎩， ∴12||16AB t t =-===，解得1a =．法二：将)y x a =-代入曲线24y x =， 化简得：222(6)0x a x a -++=，∴1221264(3)032(6)a a x x a x x a ∆=+>⇒>-⎧⎪+=+⎨⎪=⎩∴||163AB ====，解得1a =． 【名师点睛】直线的参数方程有很多种，如果直线的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（其中t 为参数），注意t 表示直线上的点(),P x y 到()00,P x y 的距离，我们常利用这个几何意义计算直线上线段的长度和、差、积等．13．【四川省雅安市2019届高三第三次诊断考试数学】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 1ρθρθ+=．（1）求椭圆C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若点P 的极坐标为(1,)2π，直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求PA PB +的值．【答案】（1）22132x y +=，1x y +=；（2． 【解析】（1）椭圆C 的普通方程为22132x y +=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入整理得：2222sin 60ρρθ+-=， ∴椭圆C 的极坐标方程为2222sin 60ρρθ+-=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得直线l 的直角坐标方程为：1x y +=； （2）设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，点1,2P π⎛⎫ ⎪⎝⎭的直角坐标为()0,1P ，它在直线l 上． 设直线l的参数方程为212x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）， 代入22132x y+=，得222316⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得2560t +-=，所以125t t +=-，1265t t ⋅=-，由直线参数方程的几何意义可得：1212PA PB t t t t +=+=-==． 【名师点睛】本题主要考查了直角坐标方程与极坐标方程互化，还考查了直线参数方程及参数的几何意义应用，考查了韦达定理及计算能力，属于中档题．14．【四川省成都市外国语学校2019届高三一诊模拟考试数学】在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线C 与曲线D 关于极点对称．（1）以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，求曲线D 的直角坐标方程； （2）设P 为曲线D 上一动点，记P 到直线sin 3ρθ=-与直线cos 2ρθ=的距离分别为1d ，2d ，求12d d +的最小值．【答案】（1）22(2)4x y ++=；（2）7-．【解析】（1）∵曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，∴24cos ρρθ=， ∴曲线C 的直角坐标方程224x y x +=，即()2224x y -+=．∴曲线D 的直角坐标方程为()2224x y ++=． （2）由（1）设sin 3ρθ=-，[)0,2α∈π，直线sin 3ρθ=-与直线cos 2ρθ=的直角坐标方程分别为3y =-，2x =， ∴12sin 3d α=+，()2222cos 42cos d αα=--+=-，∴122sin 342cos 74d d αααπ⎛⎫+=++-=+- ⎪⎝⎭，∴12d d +的最小值为7-．【名师点睛】本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查点到两直线的距离和的最小值的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．15．【贵州省2019年普通高等学校招生适应性考试数学】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩，（t 为参数，0t ≥），在以O 为原点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ，3C 的极坐标方程为242cos 05ρρθ--=，()7cos sin 5ρθθ+=． （1）判断2C ，3C 的位置关系，并说明理由； （2）若()3tan 04αα=≤≤π，1C 分别与2C ，3C 交于M ，N 两点，求MN ． 【答案】（1）圆2C 与直线3C 相交；（2）1． 【解析】（1）由224:2cos 05C ρρθ--=，可得224205x y x +--=，即2C 是圆心为()10，的圆； 又()37:cos sin 5C ρθθ+=可得705x y +-=，即3C 是一条直线， 圆心()10，到直线3C的距离d ==<，即d r <， 所以圆2C 与直线3C 相交．（2）由()3tan 04αα=≤<π，有3sin 5α=，4cos 5α=， 由()2042cos 05θαρρρθ⎧=≥⎪⎨--=⎪⎩，，得284055ρρ--=，解得12ρ=，225ρ=-（舍去）， 由()()07cos sin 5θαρρθθ⎧=≥⎪⎨+=⎪⎩，，，得347555ρ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得31ρ=，故131MN ρρ=-=． 【名师点睛】本题考查曲线的极坐标方程与普通直角坐标方程的互化，考查了极径的应用，属于中档题．。
专题22 坐标系与参数方程-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅱ专版)(解析版)
专题22坐标系与参数方程【母题来源一】【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ．（1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．【答案】（1）0ρ=l 的极坐标方程为cos()23ρθπ-=；（2）4cos ,[,]42ρθθππ=∈． 【解析】（1）因为000(,)(0)M ρθρ>在C 上，当03θπ=时，04sin 3ρπ== 由已知得||||cos 23OP OA π==．设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点．在Rt OPQ △中，cos()||23OP ρθπ-==， 经检验，点(2,)3P π在曲线cos()23ρθπ-=上． 所以，l 的极坐标方程为cos()23ρθπ-=． （2）设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ==即 4cos ρθ=． 因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是[,]42ππ． 所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,[,]42ρθθππ=∈．【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型． 【母题来源二】【2018年高考全国Ⅱ卷理数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=，l 的直角坐标方程为1x =；（2）l 的斜率为2-． 【解析】（1）曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=．当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =． （2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．① 因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内， 所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=． 又由①得1224(2cos sin )13cos t t ααα++=-+，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-．【母题来源三】【2017年高考全国Ⅱ卷理数】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值．【答案】（1）22(2)4(0)x y x -+=≠；（2）2．【解析】（1）设P 的极坐标为(,)ρθ(0)ρ>，M 的极坐标为1(,)ρθ1(0)ρ>， 由题设知14||,||cos OP OM ρρθ===． 由||||16OM OP ⋅=得2C 的极坐标方程cos ρθ=4(0)ρ>． 因此2C 的直角坐标方程为22(2)4(0)x y x -+=≠．（2）设点B 的极坐标为(,)(0)B B ραρ>， 由题设知||2,4cos B OA ρα==，于是OAB △的面积S =1sin 4cos |sin()|2|sin(2)2233B OA AOB ραααππ⋅⋅∠=⋅-=--≤+当12απ=-时，S 取得最大值2+，所以OAB △面积的最大值为2+．【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用。
(新课标全国I卷)2010_2019学年高考数学真题分类汇编专题17坐标系与参数方程文(含解析)
专题17 坐标系与参数方程坐标系与参数方程大题：10年10考，而且是作为2个选做题之一出现的，主要考查两个方面：一是极坐标方程与普通方程的转化，二是极坐标方程与参数方程的简单应用，难度较小．1．（2019年）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2221141txttyt⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ+11＝0．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．【解析】（1）由2221141txttyt⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t为参数），得22211221txty tt⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，两式平方相加，得2214yx+=（x≠﹣1），∴C的直角坐标方程为2214yx+=（x≠﹣1），由，得2110x++=，即直线l的直角坐标方程为得2110x+=．（2）法一、设C上的点P（cosθ，2sinθ）（θ≠π），则P到直线2110x+=的距离为：d∴当sin（θ+φ）＝﹣1时，d．法二、设与直线211x++=平行的直线方程为20x m++=，联立222014x m y x ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，得16x 2+4mx +m 2﹣12＝0． 由△＝16m 2﹣64（m 2﹣12）＝0，得m ＝±4．∴当m ＝4时，直线240x ++=与曲线C 的切点到直线2110x ++=的距离最小，为=2．（2018年）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |+2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3＝0． （1）求C 2的直角坐标方程；（2）若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程． 【解析】（1）曲线C 2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3＝0． 转换为直角坐标方程为：x 2+y 2+2x ﹣3＝0， 转换为标准式为：（x +1）2+y 2＝4．（2）由于曲线C 1的方程为y ＝k |x |+2，则：该射线关于y 轴对称，且恒过定点（0，2）． 由于该射线与曲线C 2的极坐标有且仅有三个公共点． 所以必有一直线相切，一直线相交． 则圆心到直线y ＝kx +2的距离等于半径2．2=2=，解得：k ＝43-或0， 当k ＝0时，不符合条件，故舍去，同理解得：k ＝43或0， 经检验，直线423y x =+与曲线C 2没有公共点．故C 1的方程为423y x =-+．3．（2017年）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为41x a ty t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）． （1）若a ＝﹣1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l，求a ．【解析】（1）曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），化为标准方程是29x +y 2＝1；a ＝﹣1时，直线l 的参数方程化为一般方程是：x +4y ﹣3＝0；联立方程2219430x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以椭圆C 和直线l 的交点为（3，0）和（2125-，2425）． （2）l 的参数方程41x a ty t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）化为一般方程是x +4y ﹣a ﹣4＝0，椭圆C 上的任一点P 可以表示成P （3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）， 所以点P 到直线l 的距离d满足tanφ＝34，且d ．①当﹣a ﹣4≤0时，即a ≥﹣4时，|5sin （θ+φ）﹣a ﹣4|≤|﹣5﹣a ﹣4|＝|5+a +4|＝17， 解得a ＝8和﹣26，a ＝8符合题意．②当﹣a ﹣4＞0时，即a ＜﹣4时，|5sin （θ+φ）﹣a ﹣4|≤|5﹣a ﹣4|＝|5﹣a ﹣4|＝17， 解得a ＝﹣16和18，a ＝﹣16符合题意．4．（2016年）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t =⎧⎨=+⎩（t 为参数，a ＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cosθ． （1）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（2）直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a ． 【解析】（1）由cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩，得cos 1sin x a t y a t=⎧⎨-=⎩，两式平方相加得，x 2+（y ﹣1）2＝a 2．∴C 1为以（0，1）为圆心，以a 为半径的圆． 化为一般式：x 2+y 2﹣2y +1﹣a 2＝0．①由x 2+y 2＝ρ2，y ＝ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a 2＝0； （2）C 2：ρ＝4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2＝4ρcosθ， ∴x 2+y 2＝4x ，② 即（x ﹣2）2+y 2＝4．由C 3：θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，得y ＝2x ， ∵曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，∴y ＝2x 为圆C 1与C 2的公共弦所在直线方程， ①﹣②得：4x ﹣2y +1﹣a 2＝0，即为C 3 ， ∴1﹣a 2＝0， ∴a ＝1（a ＞0）．5．（2015年）在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝﹣2，圆C 2：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C 1，C 2的极坐标方程； （2）若直线C 3的极坐标方程为θ＝4π（ρ∈R ），设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积． 【解析】（1）由于x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，∴C 1：x ＝﹣2 的极坐标方程为 ρcosθ＝﹣2， 故C 2：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝1的极坐标方程为：（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2＝1， 化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4＝0． （2）把直线C 3的极坐标方程θ＝4π（ρ∈R ）代入圆C 2：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝1， 可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4＝0，求得ρ1＝2，∴|MN |＝|ρ1﹣ρ2|，由于圆C 2的半径为1，∴C 2M ⊥C 2N ， △C 2MN 的面积为221C C 2M N ＝1112⨯⨯＝12．6．（2014年）已知曲线C ：2249x y +＝1，直线l ：222x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）． （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．【解析】（1）对于曲线C ：2249x y +＝1，可令x ＝2cosθ、y ＝3sinθ， 故曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．对于直线l ：222x t y t =+⎧⎨=-⎩① ② ，由①得：t ＝x ﹣2，代入②并整理得：2x +y ﹣6＝0； （2）设曲线C 上任意一点P （2cosθ，3sinθ）．P 到直线l 的距离为53sin 65d θθ=+-． 则()256sin 305d θαPA ==+-o ，其中α为锐角．当sin （θ+α）＝﹣1时，|PA |取得最大值，最大值为55． 当sin （θ+α）＝1时，|PA |257．（2013年）已知曲线C 1的参数方程为45cos 55sin x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sinθ． （1）把C 1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）． 【解析】（1）将45cos 55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩，消去参数t ，化为普通方程（x ﹣4）2+（y ﹣5）2＝25，即C 1：x 2+y 2﹣8x ﹣10y +16＝0，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入x 2+y 2﹣8x ﹣10y +16＝0， 得ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16＝0．∴C 1的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16＝0． （2）∵曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sinθ． ∴曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2﹣2y ＝0，联立222281016020x y x y x y y ⎧+--+=⎪⎨+-=⎪⎩， 解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩，∴C 1与C 2，4π）和（2，2π）． 8．（2012年）已知曲线C 1的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（φ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 2的坐标系方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为（2，3π）． （1）求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；（2）设P 为C 1上任意一点，求|PA |2+|PB |2+|PC |2+|PD |2的取值范围． 【解析】（1）点A ，B ，C ，D 的极坐标为（2，3π），（2，56π），（2，43π），（2，116π），点A ，B ，C ，D 的直角坐标为（1，（1），（1-，，，1-）．（2）设P （x 0，y 0），则002cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），t ＝|PA |2+|PB |2+|PC |2+|PD |2＝4x 2+4y 2+16＝32+20sin 2φ，∵sin 2φ∈[0，1]， ∴t ∈[32，52]．9．（2011年）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）M 是C 1上的动点，P 点满足2OP =OM u u u r u u u u r，P 点的轨迹为曲线C 2．（1）求C 2的方程；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝3π与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |．【解析】（1）设P （x ，y ），则由条件知M （2x ，2y ）．由于M 点在C 1上， 所以2cos 222sin 2xy αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩，从而C 2的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）（2）曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sinθ．射线θ＝3π与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin 3π， 射线θ＝3π与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin 3π．所以|AB |＝|ρ2﹣ρ1|＝10．（2010年）已知直线C 1：1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），C 2：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．（1）当α＝3π时，求C 1与C 2的交点坐标； （2）过坐标原点O 做C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【解析】（1）当α＝3π时，C 1的普通方程为)1y x =-，C 2的普通方程为x 2+y 2＝1．联立方程组)2211y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩， 解得C 1与C 2的交点为（1，0），（12，2-）．（2）C 1的普通方程为x sinα﹣y cosα﹣sinα＝0①． 则OA 的方程为x cosα+y sinα＝0②， 联立①②可得x ＝sin 2α，y ＝﹣cosαsinα；A 点坐标为（sin 2α，﹣cosαsinα），故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为21sin 21sin cos 2x y ααα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （α为参数），P 点轨迹的普通方程为2211416x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．故P 点轨迹是圆心为（14，0），半径为14的圆．。
2019年高考数学高考题和高考模拟题分项版汇编专题13坐标系与参数方程文(含解析)
专题13 坐标系与参数方程1．【2019年高考北京卷文数】已知直线l 的参数方程为13,24x t y t =+=+⎧⎨⎩（t 为参数），则点（1，0）到直线l的距离是 A ．15B ．25C ．45D ．65【答案】D【解析】由题意，可将直线l 化为普通方程：1234x y --=，即()()41320x y ---=，即4320x y -+=，所以点（1，0）到直线l的距离65d ==，故选D ． 【名师点睛】本题考查直线参数方程与普通方程的转化，点到直线的距离，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查．2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．【答案】（1）221(1)4y x x +=≠-；l的直角坐标方程为2110x +=；（2．【解析】（1）因为221111t t --<≤+，且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+，所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-．l的直角坐标方程为2110x ++=．（2）由（1）可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππα-<<）．2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos sin 110ρθθ++=C 上的点到lπ4cos 11α⎛⎫-+ ⎪=．当2π3α=-时，π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7，故C 上的点到l．【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题．求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题．3．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ． （1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 【答案】（1）0ρ=l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭； （2）4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．【解析】（1）因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=时，04sin 3ρπ== 由已知得||||cos23OP OA π==． 设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点．在Rt OPQ △中，cos ||23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 经检验，点(2,)3P π在曲线cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上． 所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （2）设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ==即 4cos ρθ=． 因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型．4．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标．【答案】（1）1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭．（2）π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭．【解析】（1）由题设可得，弧,,AB BC CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-．所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭． （2）设(,)P ρθ，由题设及（1）知若π04θ≤≤，则2cos θ=，解得π6θ=；若π3π44θ≤≤，则2sin θ=π3θ=或2π3θ=；若3ππ4θ≤≤，则2cos θ-=5π6θ=． 综上，P的极坐标为π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭． 【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题． 5．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离． 【答案】（12）2．【解析】（1）设极点为O ．在△OAB 中，A （3，4π），B，2π）， 由余弦定理，得AB= （2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l过点)2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l的距离为3sin()242ππ⨯-=． 【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．6．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为5()x y ϕϕϕ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）求曲线1C 与曲线2C 两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程为sin()4ρθπ+=，直线l 与y 轴的交点为M ，与曲线1C 相交于,A B两点，求MA MB +的值． 【答案】（1）5cos 2ρθ=；（2） 【解析】（1）曲线1C 的普通方程为：22(5)10x y -+=， 曲线2C 的普通方程为：224x y x +=，即22(2)4x y -+=，由两圆心的距离32)d =∈，所以两圆相交， 所以两方程相减可得交线为6215x -+=，即52x =． 所以直线的极坐标方程为5cos 2ρθ=． （2）直线l 的直角坐标方程：4x y +=，则与y 轴的交点为(0,4)M ，直线l的参数方程为242x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，带入曲线1C 22(5)10x y -+=得2310t ++=．设,A B 两点的参数为1t ，2t ，所以12t t +=-1231t t =，所以1t ，2t 同号．所以1212MA MB t t t t +=+=+=【点睛】本题考查了极坐标，参数方程和普通方程的互化和用参数方程计算长度，是常见考题． 7．【山东省郓城一中等学校2019届高三第三次模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l的极坐标方程为sin 04ρθπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．（1）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）若N 是曲线C 上的动点，P 为线段MN 的中点，求点P 到直线l 的距离的最大值．【答案】（1）40x y --=，2213x y +=；（2）2． 【解析】（1）因为直线l的极坐标方程为πsin 04ρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即ρsin θ－ρcos θ＋4＝0．由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 可得直线l 的直角坐标方程为x －y －4＝0．将曲线C的参数方程sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，消去参数a ，得曲线C 的普通方程为2213x y +=．（2）设Nα，sin α），α∈[0，2π）． 点M的极坐标（3π4），化为直角坐标为（－2，2）．则1cos 1,sin 122P αα⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭． 所以点P 到直线l的距离2d ==≤， 所以当5π6α=时，点M 到直线l的距离的最大值为2． 【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查三角函数的图像和性质，考查点到直线的距离的最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．8．【河南省周口市2018–2019学年度高三年级（上）期末调研考试数学】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为4,32x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为223sin 12ρθ+=（）． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交于A B ，两点，且设定点21P （，），求PB PA PAPB+的值．【答案】（1）l 普通方程为10x y --=，C 直角坐标方程为22143x y +=；（2）867． 【解析】（1）由直线l 的参数方程消去t ，得普通方程为10x y --=．223sin 12ρθ+=（）等价于2223sin 12ρρθ+=，将222sin x y y ρρθ=+=，代入上式，得曲线C 的直角坐标方程为222312x y y ++=（）， 即22143x y +=． （2）点21P （，）在直线10x y --=上，所以直线l的参数方程可以写为2 12x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，（为参数）， 将上式代入22143x y +=，得2780t ++=． 设A B ，对应的参数分别为12t t ，，则1212877t t t t +=-=， 所以22||PA PB PB PAPA PB PA PB ++=22PA PB PA PB PA PB+-=（）21212122t t t t t t +-=（）2121212||2t t t t t t +-⋅==⋅2828677877--⨯=（． 【点睛】本题考查了直线的参数方程，考查了简单曲线的极坐标方程，解答此题的关键是熟练掌握直线参数方程中参数的几何意义．9．【河南省郑州市第一中学2019届高三上学期入学摸底测试数学】以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴．已知点P 的直角坐标为15-（，），点M 的极坐标为π42（，）．若直线l 过点P ，且倾斜角为π3，圆C 以M 为圆心、4为半径．（1）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； （2）试判定直线l 和圆C 的位置关系．【答案】（1）11252x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），8sin ρθ=；（2）直线l 与圆C 相离．【解析】（1）直线l的参数方程1π11cos 23 π5sin 532x t x t y t y ⎧⎧=+=+⋅⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-+⋅=-+⎪⎪⎩⎩（t 为参数）， M 点的直角坐标为（0，4），圆C 的半径为4，∴圆C 的方程为22416x y +-=（），将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入，得圆C 的极坐标方程为222cos (sin 4)16ρθρθ+-=，即8sin ρθ=； （2）直线l50y ---=，圆心M 到l的距离为942d +==>， ∴直线l 与圆C 相离．【点睛】主要是考查了极坐标与直角坐标的互化，以及运用，属于基础题．10．【全国I 卷2019届高三五省优创名校联考数学】在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2x m y t ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为2222cos 3sin 48ρθρθ+=，其左焦点F 在直线l 上． （1）若直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，求FA FB +的值； （2）求椭圆C 的内接矩形面积的最大值． 【答案】（1）2）【解析】（1）将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝48，得x 2＋3y 2＝48，即2214816x y +=， 因为c 2＝48－16＝32，所以F的坐标为（-，0），又因为F 在直线l上，所以m =-把直线l的参数方程2x y =-=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩代入x 2＋3y 2＝48，化简得t 2－4t －8＝0，所以t 1＋t 2＝4，t 1t 2＝－8，所以12FA FB t t +=-===（2）由椭圆C 的方程2214816x y +=，可设椭圆C 上在第一象限内的任意一点M的坐标为（θ，4sin θ）（π02θ<<），所以内接矩形的面积8sin 2S θθθ=⋅=， 当π4θ=时，面积S取得最大值 【点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式222tan x y yx ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，后者也可以把极坐标方程变形，尽量产生2cos ρρθ，，sin ρθ以便转化．另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用一个参数θ来表示动点坐标，从而利用一元函数求与动点有关的最值问题．11．【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学】在直角坐标系中，直线l 的参数方程为1cos ,1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0πα<<），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+． （1）当π6a =时，写出直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （2）已知点()11P -，，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试确定PA PB ⋅的取值范围．【答案】（1）2210142x y x ++=+=，；（2）112⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 【解析】（1）当π6a =时，直线l的参数方程为π1cos ,16π11sin 162x t x y t y t⎧⎧=-+=-⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+=+⎪⎪⎩⎩，． 消去参数t得10x -++=． 由曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+，得()22sin 4ρρθ+=， 将222x y ρ+=，及sin y ρθ=代入得2224x y +=，即22142x y +=； （2）由直线l 的参数方程为1cos ,1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0πα<<），可知直线l 是过点P （–1，1）且倾斜角为α的直线，又由（1）知曲线C 为椭圆22142x y +=，所以易知点P （–1，1）在椭圆C 内， 将1cos , 1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩代入22142x y +=中，整理得 ()()221sin 22sin c s 10to t ααα++--=，设A ，B 两点对应的参数分别为12t t ，， 则12211sin t t α⋅=-+， 所以12211sin PA PB t t α⋅==+，因为0πα<<，所以(]2sin 01α∈，，所以1221111sin 2PA PB t t α⎡⎫⋅==∈⎪⎢+⎣⎭，，所以PA PB ⋅的取值范围为112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，． 【点睛】利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题．经过点P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为12t t ，，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为0t ，则以下结论在解题中经常用到：（1）1202t t t +=；（2）1202t t PM t +==；（3）21AB t t ＝－；（4）12··PA PB t t ＝． 12．【河南省信阳高级中学2018–2019学年高二上学期期中考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos 0a a ρθθ=+>（）；直线l的参数方程为22x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．直线l 与曲线C 分别交于M N ，两点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若点P 的极坐标为()2πPM PN +=，，a 的值．【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为：()()22211x a y a -+-=+，直线l 的普通方程为2y x =+．（2）2a =．【解析】（1）由()2sin 2cos 0a a ρθθ=+>，得()22sin 2cos 0a a ρρθρθ=+>， 所以曲线C 的直角坐标方程为2222x y y ax +=+，即()()22211x a y a -+-=+，直线l 的普通方程为2y x =+． （2）将直线l的参数方程2,22x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2222x y y ax +=+并化简、整理，得()2440t t a -++=．因为直线l 与曲线C 交于M N ，两点．所以()()2Δ4440a =-+>，解得1a ≠．由根与系数的关系，得121244t t t t a +==+，．因为点P 的直角坐标为()20-，，在直线l上．所以12PM PN t t +=+== 解得2a =，此时满足0a >．且1a ≠，故2a =．【点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cos sin 1αα+=等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式222tan cos ,sin x y x y xy ρρθρθθ=⎧+==⎧⎪⎨⎨=⎩⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．13．【河南省豫南九校（中原名校）2017届高三下学期质量考评八数学】己知直线l 的参数方程为132x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 16cos 0ρθθ-=，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点13P （，）． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求11PA PB+的值． 【答案】（1）21y x =+，216y x =；（2）35． 【解析】（1）直线l 的参数方程为132x t y t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），消去参数，可得直线l 的普通方程21y x =+，曲线C 的极坐标方程为2sin 16cos 0ρθθ-=，即22sin 16cos 0ρθρθ-=，曲线C 的直角坐标方程为216y x =， （2）直线的参数方程改写为1535x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入221212435167054y x t t t t t =-=+==-，，，121211t t PA PB t t -+==． 【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ⎧=⎪=⎨⎪+=⎩，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化．14．【河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试数学】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是1x t y t ==+⎧⎨⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程是22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）已知射线1OP θα=：（其中π02α<<）与曲线C 交于O P ，两点，射线2π2OQ θα=+：与直线l 交于Q 点，若OPQ ∆的面积为1，求α的值和弦长OP ．【答案】（1）cos sin 10ρθρθ-+=，4cos ρθ=；（2）π4OP α==， 【解析】（1）直线l 的普通方程为10x y -+=，极坐标方程为cos sin 10ρθρθ-+=，曲线C 的普通方程为2224x y -+=（），极坐标方程为4cos ρθ=． （2）依题意，∵π02α∈（，），∴4cos OP α=， 1ππsin cos 22OQ αα=+-+（）（）1sin cos αα=+， 12cos 12cos sin OPQ S OP OQ ααα===+△， ∴πtan 102αα=∈，（，），∴π4OP α==， 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．15．【四川省成都市第七中学2019届高三一诊模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数标方程为e e e et t t t x y --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（其中t 为参数），在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）中，直线l的极坐标方程为πsin 3ρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭ （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）求直线l 与曲线C 的公共点P 的极坐标．【答案】（1）2ππcos2444ρθθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭（2）π6⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】（1）消去参数t ，得曲线C 的直角坐标方程()2242x y x -=≥． 将cos sin x y ρθρθ==，代入224x y -=，得()222cos sin 4ρθθ-=．所以曲线C 的极坐标方程为2ππcos2444ρθθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭． （2）将l 与C 的极坐标方程联立，消去ρ得2π4sin 2cos23θθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．展开得()22223cos cos sin 2cos sin θθθθθθ-+=-．因为cos 0θ≠，所以23tan 10θθ-+=．于是方程的解为tan θ=，即π6θ=．代入πsin 3ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ρ=P 的极坐标为π6⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 【点睛】本题考查曲线的极坐标方程与普通方程的互化，直线的极坐标方程与曲线极坐标方程联立求交点的问题，考查计算能力．16．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷）数学】在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为22x t y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2cos 8sin ρθθ=．（1）求曲线C 的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线；（2）若直线l 与曲线C 的交点分别为M ，N ，求MN ．【答案】（1）曲线C 方程为28x y =，表示焦点坐标为()0,2，对称轴为y 轴的抛物线；（2）10． 【解析】（1）因为2cos 8sin ρθθ=，所以22cos 8sin ρθρθ=，即28x y =， 所以曲线C 表示焦点坐标为()0,2，对称轴为y 轴的抛物线．（2）设点()11,M x y ，点()22,N x y直线l 过抛物线的焦点()0,2，则直线参数方程为22x t y t =⎧⎨=+⎩化为一般方程为122y x =+，代入曲线C 的直角坐标方程，得24160x x --=，所以12124,16x x x x +==- 所以MN ===10==．【点睛】本题考查极坐标方程化直角坐标方程，直线的参数方程化一般方程，弦长公式等，属于简单题．17．【河北省石家庄市2018届高中毕业班模拟考试（二）数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为224x y +=，直线l的参数方程2x t y =--⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），若将曲线1C 上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的32倍，得曲线2C ． （1）写出曲线2C的参数方程；（2）设点2P -（，直线l 与曲线2C 的两个交点分别为A B ，，求11PA PB+的值． 【答案】（1）2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）；（2）12 【解析】（1）若将曲线1C 上的点的纵坐标变为原来的32， 则曲线2C 的直角坐标方程为22243x y +=（），整理得22149x y +=， ∴曲线2C 的参数方程2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）． （2）将直线的参数方程化为标准形式为1223332x t y t ''⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t '为参数），将参数方程带入22149x y +=得221(2))22149t --'+=' 整理得27183604t t ''++=（）． 12127214477PA PB t t PA PB t t ''''+=+===，， 72111714427PA PB PA PB PA PB++===． 【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的互化，及直线的参数方程的应用，重点考查了转化与化归能力．遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用直线参数的几何意义求解．要结合题目本身特点，确定选择何种方程．。
2019年坐标系与参数方程真题汇编(文数)
2019年坐标系与参数方程真题汇编（文数）1．【2019年高考北京卷文数】已知直线l 的参数方程为13,24x t y t =+=+⎧⎨⎩（t 为参数），则点（1，0）到直线l的距离是 A ．15B ．25C ．45D ．65【答案】D 【解析】由题意，可将直线l 化为普通方程：1234x y --=，即()()41320x y ---=，即4320x y -+=，所以点（1，0）到直线l的距离65d ==，故选D ． 2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．【解析】（1）因为221111t t --<≤+，且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+，所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-．l的直角坐标方程为2110x ++=．（2）由（1）可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππα-<<）．C 上的点到lπ4cos 11α⎛⎫-+ ⎪=当2π3α=-时，π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7，故C 上的点到l．3．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos sin 110ρθθ++=直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ． （1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．【解析】（1）因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=时，04sin 3ρπ== 由已知得||||cos23OP OA π==． 设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点．在Rt OPQ △中，cos ||23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 经检验，点(2,)3P π在曲线cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上． 所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （2）设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ== 即 4cos ρθ=． 因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．4．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标．【解析】（1）由题设可得，弧,,AB BC CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-．所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭． （2）设(,)P ρθ，由题设及（1）知若π04θ≤≤，则2cos θ=，解得π6θ=；若π3π44θ≤≤，则2sin θ=π3θ=或2π3θ=；若3ππ4θ≤≤，则2cos θ-=5π6θ=．综上，P 的极坐标为π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭．5．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为s i n 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离．【解析】（1）设极点为O ．在△OAB 中，A （3，4π），B ，2π），由余弦定理，得AB =． （2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点)2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin()242ππ⨯-=． 模拟汇编6．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为5()x y ϕϕϕ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）求曲线1C 与曲线2C 两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程为sin()4ρθπ+=，直线l 与y 轴的交点为M ，与曲线1C 相交于,A B 两点，求MA MB +的值．【解析】（1）曲线1C 的普通方程为：22(5)10x y -+=，曲线2C 的普通方程为：224x y x +=，即22(2)4x y -+=，由两圆心的距离32)d =∈，所以两圆相交， 所以两方程相减可得交线为6215x -+=，即52x =． 所以直线的极坐标方程为5cos 2ρθ=． （2）直线l 的直角坐标方程：4x y +=，则与y 轴的交点为(0,4)M ，直线l的参数方程为242x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，带入曲线1C 22(5)10x y -+=得2310t ++=．设,A B 两点的参数为1t ，2t ，所以12t t +=-1231t t =，所以1t ，2t 同号．所以1212MA MB t t t t +=+=+=7．【山东省郓城一中等学校2019届高三第三次模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l的极坐标方程为sin 04ρθπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．（1）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）若N 是曲线C 上的动点，P 为线段MN 的中点，求点P 到直线l 的距离的最大值． 【解析】（1）因为直线l的极坐标方程为πsin 04ρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 即ρsin θ－ρcos θ＋4＝0．由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 可得直线l 的直角坐标方程为x －y －4＝0．将曲线C的参数方程sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，消去参数a ，得曲线C 的普通方程为2213x y +=．（2）设Nα，sin α），α∈[0，2π）． 点M的极坐标（，3π4），化为直角坐标为（－2，2）．则11,sin 12P αα⎫-+⎪⎪⎝⎭． 所以点P 到直线l的距离2d ==≤， 所以当5π6α=时，点M 到直线l的距离的最大值为2． 8．【河南省周口市2018–2019学年度高三年级（上）期末调研考试数学】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为4,232x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为223sin 12ρθ+=（）． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交于A B ，两点，且设定点21P （，），求PB PA PAPB+的值．【解析】（1）由直线l 的参数方程消去t ，得普通方程为10x y --=．223sin 12ρθ+=（）等价于2223sin 12ρρθ+=，将222sin x y y ρρθ=+=，代入上式，得曲线C 的直角坐标方程为222312x y y ++=（）， 即22143x y +=． （2）点21P （，）在直线10x y --=上，所以直线l的参数方程可以写为2 1x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，（为参数）， 将上式代入22143x y +=，得2780t ++=． 设A B ，对应的参数分别为12t t ，，则1212877t t t t +=-=， 所以22||PA PB PB PAPA PB PA PB ++=22PA PB PA PB PA PB+-=（）21212122t t t t t t +-=（）2121212||2t t t t t t +-⋅==⋅2828677877--⨯=（． 9．【河南省郑州市第一中学2019届高三上学期入学摸底测试数学】以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴．已知点P 的直角坐标为15-（，），点M 的极坐标为π42（，）．若直线l 过点P ，且倾斜角为π3，圆C 以M 为圆心、4为半径． （1）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； （2）试判定直线l 和圆C 的位置关系．【解析】（1）直线l的参数方程1π11cos 23 π5sin 53x t x t y t y ⎧⎧=+=+⋅⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-+⋅=-⎪⎪⎩⎩（t 为参数）， M 点的直角坐标为（0，4），圆C 的半径为4，∴圆C 的方程为22416x y +-=（），将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入，得圆C 的极坐标方程为222cos (sin 4)16ρθρθ+-=，即8sin ρθ=；（2）直线l50y ---=，圆心M 到l的距离为942d ==>， ∴直线l 与圆C 相离．【点睛】主要是考查了极坐标与直角坐标的互化，以及运用，属于基础题．10．【全国I 卷2019届高三五省优创名校联考数学】在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2x m y t ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为2222cos 3sin 48ρθρθ+=，其左焦点F 在直线l 上．（1）若直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，求FA FB +的值； （2）求椭圆C 的内接矩形面积的最大值． 【解析】（1）将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝48，得x 2＋3y 2＝48，即2214816x y +=， 因为c 2＝48－16＝32，所以F的坐标为（-，0）， 又因为F 在直线l上，所以m =-把直线l的参数方程22x y =-=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩代入x 2＋3y 2＝48，化简得t 2－4t －8＝0，所以t 1＋t 2＝4，t 1t 2＝－8，所以12FA FB t t +=-===（2）由椭圆C 的方程2214816x y +=，可设椭圆C 上在第一象限内的任意一点M 的坐标为（θ，4sin θ）（π02θ<<），所以内接矩形的面积8sin 2S θθθ=⋅=， 当π4θ=时，面积S取得最大值 11．【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学】在直角坐标系中，直线l 的参数方程为1cos ,1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0πα<<），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+．（1）当π6a =时，写出直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （2）已知点()11P -，，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试确定PA PB ⋅的取值范围． 【解析】（1）当π6a =时，直线l的参数方程为π1cos ,16π11sin 162x t x y t y t ⎧⎧=-+=-⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+=+⎪⎪⎩⎩，． 消去参数t得10x ++=． 由曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+，得()22sin 4ρρθ+=， 将222x y ρ+=，及sin y ρθ=代入得2224x y +=，即22142x y +=； （2）由直线l 的参数方程为1cos ,1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0πα<<），可知直线l 是过点P （–1，1）且倾斜角为α的直线，又由（1）知曲线C 为椭圆22142x y +=，所以易知点P （–1，1）在椭圆C 内， 将1cos , 1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩代入22142x y +=中，整理得 ()()221sin 22sin c s 10to t ααα++--=，设A ，B 两点对应的参数分别为12t t ，，则12211sin t t α⋅=-+， 所以12211sin PA PB t t α⋅==+，因为0πα<<，所以(]2sin 01α∈，，所以1221111sin 2PA PB t t α⎡⎫⋅==∈⎪⎢+⎣⎭，，所以PA PB ⋅的取值范围为112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，．12．【河南省信阳高级中学2018–2019学年高二上学期期中考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos 0a a ρθθ=+>（）；直线l的参数方程为222x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．直线l 与曲线C 分别交于M N ，两点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若点P 的极坐标为()2πPM PN +=，，a 的值．【解析】（1）由()2sin 2cos 0a a ρθθ=+>，得()22sin 2cos 0a a ρρθρθ=+>，所以曲线C 的直角坐标方程为2222x y y ax +=+，即()()22211x a y a -+-=+，直线l 的普通方程为2y x =+．（2）将直线l的参数方程2,2x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2222x y y ax +=+并化简、整理，得()2440t t a -++=．因为直线l 与曲线C 交于M N ，两点．所以()()2Δ4440a =-+>，解得1a ≠．由根与系数的关系，得121244t t t t a +==+，．因为点P 的直角坐标为()20-，，在直线l上．所以12PM PN t t +=+== 解得2a =，此时满足0a >．且1a ≠，故2a =．13．【河南省豫南九校（中原名校）2017届高三下学期质量考评八数学】己知直线l 的参数方程为132x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 16cos 0ρθθ-=，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点13P （，）． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求11PA PB+的值． 【解析】（1）直线l 的参数方程为132x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），消去参数，可得直线l 的普通方程21y x =+，曲线C 的极坐标方程为2sin 16cos 0ρθθ-=，即22sin 16cos 0ρθρθ-=， 曲线C 的直角坐标方程为216y x =，（2）直线的参数方程改写为1535x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入2212124351670554y x t t t t t =--=+==-，，，121211t t PA PB t t -+==． 14．【河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试数学】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是1x t y t ==+⎧⎨⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程是22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程； （2）已知射线1OP θα=：（其中π02α<<）与曲线C 交于O P ，两点，射线2π2OQ θα=+：与直线l 交于Q 点，若OPQ ∆的面积为1，求α的值和弦长OP ．【解析】（1）直线l 的普通方程为10x y -+=，极坐标方程为cos sin 10ρθρθ-+=，曲线C 的普通方程为2224x y -+=（），极坐标方程为4cos ρθ=． （2）依题意，∵π02α∈（，），∴4cos OP α=， 1ππsin cos 22OQ αα=+-+（）（）1sin cos αα=+， 12cos 12cos sin OPQ S OP OQ ααα===+△， ∴πtan 102αα=∈，（，），∴π4OP α==， 15．【四川省成都市第七中学2019届高三一诊模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数标方程为e e e et t t t x y --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（其中t 为参数），在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）中，直线l的极坐标方程为πsin 3ρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）求直线l 与曲线C 的公共点P 的极坐标． 【解析】（1）消去参数t ，得曲线C 的直角坐标方程()2242x y x -=≥． 将cos sin x y ρθρθ==，代入224x y -=，得()222cos sin 4ρθθ-=．所以曲线C 的极坐标方程为2ππcos2444ρθθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭． （2）将l 与C 的极坐标方程联立，消去ρ得2π4sin 2cos23θθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．展开得()22223cos cos sin 2cos sin θθθθθθ-+=-．因为cos 0θ≠，所以23tan 10θθ-+=．于是方程的解为tan 3θ=，即π6θ=．代入πsin 3ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ρ=P 的极坐标为π6⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 16．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷）数学】在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为22x t y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2cos 8sin ρθθ=． （1）求曲线C 的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线；（2）若直线l 与曲线C 的交点分别为M ，N ，求MN ．【解析】（1）因为2cos 8sin ρθθ=，所以22cos 8sin ρθρθ=，即28x y =，所以曲线C 表示焦点坐标为()0,2，对称轴为y 轴的抛物线．（2）设点()11,M x y ，点()22,N x y直线l 过抛物线的焦点()0,2，则直线参数方程为22x t y t =⎧⎨=+⎩化为一般方程为122y x =+，代入曲线C 的直角坐标方程，得24160x x --=，所以12124,16x x x x +==- 所以MN ===10==．17．【河北省石家庄市2018届高中毕业班模拟考试（二）数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为224x y +=，直线l的参数方程2x t y =--⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），若将曲线1C 上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的32倍，得曲线2C ． （1）写出曲线2C的参数方程；（2）设点2P -（，直线l 与曲线2C 的两个交点分别为A B ，，求11PA PB +的值． 【解析】（1）若将曲线1C 上的点的纵坐标变为原来的32，则曲线2C 的直角坐标方程为22243x y +=（），整理得22149x y +=， ∴曲线2C 的参数方程2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）． （2）将直线的参数方程化为标准形式为122333x t y t ''⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t '为参数），将参数方程带入22149x y +=得221(2))22149t --'+=' 整理得27183604t t ''++=（）． 12127214477PA PB t t PA PB t t ''''+=+===，， 72111714427PA PB PA PB PA PB++===．。
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2019年高考试题分类汇编（坐标系与参数方程） 第 1 页 共 1 页
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1.（2019·北京卷·理科）已知直线l 的参数方程为1324x t y t
=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），则
点(1,0)到直线l 的距离是 A.15 B.25 C.45 D.65
2.（2019·天津卷·理科）设a R ∈，直线20ax y -+=和圆22cos ,12sin x y θθ
=+⎧⎨=+⎩（θ为
参数）相切，则a 的值为 .
3.（2019·全国卷Ⅰ·文理科）在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为：2
221141t x t t
y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos ρθ
+sin 110ρ+=
（Ⅰ）求C 和l 的直角坐标方程；
（Ⅱ）求C 上的点到直线l 距离的最小值.
4.（2019·全国卷Ⅱ·文理科）在极坐标系中，O 为极点，点00(,)M ρθ（00ρ>）在曲线C ：4sin ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P . （Ⅰ）当03π
θ=时，求0ρ及直线l 的方程；
（Ⅱ）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程.
5.（2019·全国卷Ⅲ·文理科）如图，在极坐标系ox 中，(2,0)A
，)4
B π
，)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)
π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧（Ⅰ）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；
（Ⅱ）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标.
o。