2015中山大学602高等数学(B)考研真题
2015中山大学602高等数学(B)考研真题
一、填空题(每小题5分，共60分;答案写在答题纸上并注明题号
.)
1、函数极限yxyyx)sin(lim)0,3(),(=______________________
2、函数25xy，则函数y的微分dy=___________
3、当x→0时，tan 3 (ax)与32xe是等价无穷小，则常数a=____________，β=___________
4、曲线exy一2x—y=3在x=0处的切线方程是____________.
5、定义于[0,2π]上的函数y = e x sin( x)在点__________处有最小值__________
6、dxxx)ln(3______________________
7、设函数F(x)=2021xdtt,则dxxdF)(= ______________________
8.、积分401dxxx=______________________
9、2015)201511(limxxx=______________________
10.袋中有8个红球和2个黑球，现从中任取两个球，则两球颜色相同的概率是__________.
11.设随机变量X满足EX=0，EX2 =1，EX3=0，EX4=3，又设Y=1一X+X2，则X
的方差
DX=__________，Y的方差DY=__________，X与Y的相关系数__________.
12.某批产品(批量很大)的次品率为p=0..1.从这批产品中随机抽取100件.
利用中心极限定理，
求抽到的次品数少于14.5件的概率为________________.(答案用标准正态分布的分布函数
(x)表示)
二、(本题满分12分)证明方程sin( x) + x + 1=0只有一个根
.
三、(本题满分12分)试求由一条曲线xy2 和两条直线x=0, y=2所围成的图形的面积以
及该图形绕x轴形成的旋转体体积
.
四、(本题满分14分)试将函数 2)1(2)(xxf 在点x=0处展开成幂级数
.
五、(本题满分12分)设曲线的极坐标方程是 20,4e ，试求该曲线的长度
.
六、(本题满分15分)求方程 222015232016xxydxdyx 的通解及其当x=1时y=2的
特解
.
七、(本题满分10分)根据对以往数据的分析，结果表明:当机器调整良好时，产品的合格品
率为90%;而当机器未调整良好时，合格品率仅为15%.通常，每天早上机器开动时，机器处
于调整良好状态的概率为80%.请详细解答以下两个问题
:
a)某天早上机器生产的第一件产品是合格品的概率是多少?
b)
若某天早上机器生产的第一件产品是合格品，则这天机器处于调整良好状态的概率是多
少
?
八、(本题满分15分)设 nXXX,....,21 为来自总体X的一个简单随机样本，
总体X的密度为
0,00,2);(2x
xxe
xf
x
a)求EX2，据此求兄的一个矩估计;
b)求的最大试然估计.
文章摘自：中山大学考研专业课：2008-2015年考研专业课真题下载的15年真题卷
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)答案
y
z
2 sin cos ,
,
从
2
到
2
I ( y z)dx (z 2 x 2 y)dy (x 2 y 2)dz L
2
(
2 sin cos )sin
2 sin
2 cos (cos 2 2sin 2 ) sin d
2
2
2
2
sin 2
1 2
sin
2
sin
sin3
W
W
02
0
4
13、【答案】 2n1 2
【考点】行列式的计算 【难易度】★★★ 【详解】按第一行展开得
2n1 2 14、【答案】 1
2
【考点】 【难易度】★★
【详解】(X ,Y ) ~ N(1, 0,1,1, 0) ， X ~ N (1,1),Y ~ N (0,1), 且 X ,Y 独立
X 1 ~ N(0,1) ， PXY Y 0 P(X 1)Y 0
1 0
0 1 2k
k
1 k
k
0 ，得 k
0 ，并解得
x
c
0 1
,
c
为任意常数。
从而 c1 c3, c 为任意常数。
21、【考点】相似矩阵，相似对角化
【难易度】★★★
0 2 3
1 2 0
【详解】由
A
1 1
3 2
3 a
相似于
B
0 0
b 3
0 1
0 3 a 1 b 1
0 2 3 1 2
P(AB) P(A) P(B) 故选（C） 2
8、【答案】(D) 【考点】 【难易度】★★★ 【详解】
E X X Y 2 E X 2 XY 2X E X 2 E XY 2E X
2015【考研数一】真题及解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。
因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）. (2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则 ( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212x e 、13x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ）(3) 若级数1∞=∑nn a条件收敛，则 =x 3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑n n n na x 的 ( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质. 【解析】因为1nn a∞=∑条件收敛，即2x =为幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑的条件收敛点，所以1(1)nn n a x ∞=-∑的收敛半径为1，收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛区间还是(0,2).因而x =3x =依次为幂级数1(1)n n n na x ∞=-∑的收敛点，发散点.故选（B ）.(4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，y =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()34cos ,sin d f r r rdr ππθθθ⎰(C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰(D)()34cos ,sin d f r r dr ππθθθ⎰【答案】（B ）【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【解析】先画出D 的图形，所以(,)Df x y dxdy =⎰⎰34(cos ,sin )d f r r rdr ππθθθ⎰，故选（B ）(5) 设矩阵21111214A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】D【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =。
考研数二真题答案2015
考研数二真题答案2015考研数学是考生们在备战考试过程中必不可少的一项重要内容。
为了帮助考生们更好地备考，以下是对2015年考研数学二真题的详细答案解析。
第一大题1. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且只有一个极大值点和一个极小值点，其中b的最大值为6.5。
已知f(2) = 1, f(3) = 6.5, f(5) = 7. 根据题目要求，我们需要找到函数在区间[a, b]上的所有极值点。
由题意可知，f(x)在区间[2, 6.5]上有且仅有一个极大值点和一个极小值点。
答案：区间[a, b]上的所有极值点是2和6.5。
2. 设函数f(x) = x^2 + ax + b.已知函数在区间[0,2]上达到最大值，并且作图时，该函数的图像与y轴相切于点(0, 3)。
根据题目信息可知，函数的图像在区间[0, 2]上达到最大值，并且与y轴相切于点(0, 3)。
解题过程如下：由题意可得：f(0) = b = 3;又因为f(x)在[0, 2]上达到最大值，所以f(1) = f(2) = 4 + a + b = 4 + a + 3 = 7;综上所述，a = 0。
答案：a = 0，b = 3。
第二大题1. 设A为一个可逆矩阵。
证明(At)^-1 = (A^-1)t。
我们需要证明等式(At)^-1 = (A^-1)t成立。
解题过程如下：因为A为可逆矩阵，所以存在逆矩阵A^-1，满足AA^-1 = I；对等式两边同时取转置，得(A^-1)t(At)t = It；根据转置的性质可得(A^-1)t(A^t)t = It；因为A为可逆矩阵，所以A^t也是可逆矩阵，即存在逆矩阵(A^t)^-1，满足A^t(A^t)^-1 = I；所以(A^-1)t(A^t)t = I，即(A^-1)t = (A^t)^-1。
综上所述，等式(At)^-1 = (A^-1)t成立。
证毕。
2. 若行列式|A| = 2，则行列式|2A^-1 + A^t|的值等于多少？根据题意可得：|2A^-1 + A^t| = 2n|A^-1 + (A^t)/2|由于行列式的性质，将A^t中的每个元素除以2时，行列式的值变为原来的1/2^n倍；所以|2A^-1 + A^t| = 2n|A^-1 + (A^t)/2| = 2n × 2^-n |A^-1 + (A^t)/2|= 2n - n |A^-1 + (A^t)/2|= 2.答案：行列式|2A^-1 + A^t|的值为2。
2015考研天津大学602数学分析考研大纲考研真题解析参考书
1/9【育明教育】中国考研考博专业课辅导第一品牌官方网站： 1育明教育天津分校2015年天津地区15所高校考研辅导必备天津分校地址南京路新天地大厦2007专注考研专业课辅导8年天津地区专业课辅导第一品牌天津分校王老师与大家分享资料育明教育，创始于2006年，由北京大学、中国人民大学、中央财经大学、北京外国语大学的教授投资创办，并有北京大学、武汉大学、中国人民大学、北京师范大学复旦大学、中央财经大学、等知名高校的博士和硕士加盟，是一个最具权威的全国范围内的考研考博辅导机构。
更多详情可联系育明教育天津分校王老师2015考研天津大学602数学分析考研大纲考研真题解析参考书602数学分析一、考试的总体要求主要考察学生掌握《数学分析》的基本知识，基本理论和基本技能的情况及其用分析的理论与方法分析问题和解决问题的能力。
二、考试的内容及比例极限（包括上、下极限、二重极限和累次极限）概念、性质与计算；函数的连续性和一致连续性及有界闭区域上连续函数的性质；函数的导数、微分、偏导数和全微分；微分中值定理及导数的应用（包括偏导数在几何上的应用）；二元函数的极值与条件极值；不定积分、定积分的概念、性质及计算；定积分存在的条件；重积分、曲线积分、曲面积分的概念、性质与计算及各种积分之间的关系；各种积分在几何上与物理上的应用；数项级数敛散性判别法（包括条件收敛和绝对收敛）；函数列、函数项级数的一致收敛性及其判别法；一致收敛的函数项级数的性质；求幂级数的收敛域及其和函数；函数的幂级数与富里埃级数展2/9【育明教育】中国考研考博专业课辅导第一品牌官方网站：2开；含参变量积分的概念、性质；含参变量广义积分一致收敛的概念及其判别法；一致收敛的含参变量广义积分的性质及其应用。
极限论占15%，单变量微积分学占40%，级数论占25%，多变量微积分学占20%。
三、考试的题型及比例选择题、填空题、简答题和计算题约占70%，证明题约占30%。
考研_2015考研数学二真题及答案
2021 考研数学二真题及答案一、选择题:18小题,每题4分,共32分.以下每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 以下反常积分收敛的是 ( )(A)2+∞⎰(B)2ln x dx x+∞⎰(C)21ln dx x x +∞⎰ (D)2x x dx e +∞⎰【答案】(D) 【解析】(1)x x xdx x e e-=-+⎰，那么 2222(1)3lim (1)3x x x x xdx x e e x e e e+∞+∞----→+∞=-+=-+=⎰.(2) 函数()2sin lim(1)x tt t f x x →=+ 在(,)-∞+∞内 ( )(A) 连续 (B) 有可去连续点(C) 有跳跃连续点 (D) 有无穷连续点 【答案】(B)【解析】220sin lim 0sin ()lim(1)t x t x x t x tt t f x e e x→→=+==，0x ≠，故()f x 有可去连续点0x =.(3)设函数()1cos ,00,0x x x f x x αβ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(0,0)αβ>>,假设()'f x 在0x =处连续那么:( )(A)0αβ-> (B)01αβ<-≤(C)2αβ-> (D)02αβ<-≤ 【答案】(A)【解析】0x <时，()0f x '=()00f -'=()1001cos10lim lim cosx x x x f x x x αβαβ++-+→→-'== 0x >时，()()()11111cos1sin f x x x x x x ααβββαβ-+'=+-- 1111cossin x x x x ααβββαβ---=+()f x '在0x =处连续那么：()()10100lim cos 0x f f x x αβ+--+→''===得10α->()()++1100110lim =lim cos sin =0x x f f x x x x x ααβββαβ---→→⎛⎫''=+ ⎪⎝⎭得：10αβ-->，答案选择A(4)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如下图，那么曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】(C)【解析】根据图像观察存在两点，二阶导数变号.那么拐点个数为2个。
2015年考研数学真题答案(数一-)
3、若级数 an 条件收敛，则 x 3 与 x 3 依次为幂级数 nan x 1n 的：
n1
n1
（A）收敛点，收敛点 （C）发散点，收敛点 【答案】(B) 【考点】级数的敛散性 【难易度】★★★
（B）收敛点，发散点 （D）发散点，发散点
【 详 解 】 因 为 an 条 件 收 敛 ， 故 x 2 为 幂 级 数 an x 1n 的 条 件 收 敛 点 ， 进 而 得
x) 2x y y) 2y x
0 0 可得 (1,1), (1,1)
, (2,2), (1,2)
F x 2 y 2 xy 3 0
其中 z(1,1) 4, z(1,1) 0, z(2,1) 9 z(1,2)
求 a ， b ， k 值。
【考点】等价无穷小量，极限的计算 【难易度】★★★
【详解】 f (x) x a ln(1 x) bx sin x
x
a
x
x2 2
x3 3
x3
bx
x
x3 3!
x3
1
a
x
a 2
b
x2
a 3
x3
x3
f (x)与g(x) kx3 是等价无穷小
D X E2 X E X E Y 2E X 5
二、填空题：9～14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.
9、 lim x0
ln cos x2
x
【答案】 1 2
【考点】极限的计算
4
【难易度】★★
2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学一
【详解】 lim ln cos x
n1
n1
an x 1n 的收敛半径为 1，收敛区间为 0, 2 ，又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间，故
2015年考研数学(二)真题
x arctan t y 3t t
3
则
d2y dx 2
t 1
(10) 函数 f ( x) x 2 在 x 0 处的 n 阶导数 f (0) _________
2 x n
(11) 设 f x 连续， x
x2
0
x f t dt ，若 1 1, 1 5 ，则 f 1
解的充分必要条件为 ( (A) a , d (C) a , d ) (B) a , d (D) a , d
2 2 2 (8) 设二次型 f x1 , x2 , x3 在正交变换 x Py 下的标准形为 2 y1 ，其中 y2 y3
P (e1, e2 , e3 ) ，若 Q (e1, e3 , e2 ) 则 f ( x1, x2 , x3 ) 在正交变换 x Qy 下的标准形
y
与
f v
u 1 v 1
依次是 (
)
1 ,0 2
(B) 0,
1 2
(C) Βιβλιοθήκη 1 ,0 2(D) 0,
1 2
(6)设 D 是第一象限由曲线 2 xy 1 ， 4 xy 1 与直线 y x ， y 数 f x, y 在 D 上连续，则
3x 围成的平面区域，函
f x, y dxdy
.
(14) 若 3 阶矩阵 A 的特征值为 2, 2,1 ， B A2 A E ，其中 E 为 3 阶单位阵，则行列 式B .
三、解答题：15～23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸 指定位置上.解答应写出文字说明、 ．．． 证明过程或演算步骤. (15) (本题满分 10 分）
2015中山大学902经济学(含微观和宏观经济学)考研真题
2015中山大学902 经济学（含微观和宏观经济学）考研真题微观经济学(75分)一、名词解释((4题，每题5分，共20分)1、交换替代率2、分离均衡3、激励相容4、福利经济学第二定理二、选择题((5题，每题2分，共10分)1、以下效用函数属于好行为偏好的是（）A. x1+x2B. x1+2x2C. min{x1,x2}D. ln x1 + ln x22、对于完全替代型的偏好作希克斯(Hicks)分解()A.既有替代效应，也有收入效应C.只有收入效应，没有替代效应B.只有替代效应，没有收入效应D.根据具体效用函数而定3、如果厂商知道市场上有几类需求函数，并且能够阻止产品在消费者之间进行买卖，那么这种定价行为属于()A.一级价格歧视C.三级价格歧视B.二级价格歧视D.无法判断4、在一个寡头市场，两家厂商同时决策，同时决定自己的商品供给量，属于()A.斯塔克伯格模型C.卡特尔模型B.古诺模型D.伯川德模型5、在两个消费者和两种商品的纯交换经济里，假设消费者A的效用函数是完全替代型，消费者B的效用函数是完全互补型，那么契约曲线为()A.艾奇沃斯盒的对角线C.艾奇沃斯盒的方框B.艾奇沃斯盒的底边D.整个艾奇沃斯盒，包括方框及框内所有的点三、作图、计算题((3题，共45分)1、(12分)消费者剩余和生产者剩余分别是刻画消费者和生产者在市场交易当中获得的好处，请回答:(1) (6分)消费者剩余，等价变化与补偿变化三者有何种关系，请举例说明。
(2) (6分)画图描述衡量生产者剩余的三种等价方法。
2、(18分)某航空公司只有一条航线，同时售票给休闲旅客和商务旅客。
休闲旅客的周需求函数为Q T =6000-10P ,商务旅客的周需求函数为Q B =1000-P。
如果每张票的边际成本为200美元，(1) (5分)该航空公司如何设定休闲票和商务票的价格?(2) (8分)如果政府强制要求所有票价必须一致，则该航空公司如何定价?两类消费者在该价格上的需求弹性是多少?(3) (5分)假设该航空公司每周最多只能售出1300张票，则分别应当给两类消费者售出多少张票，定价多少?3, (15分)考虑以下博弈，参与者A和参与者B正在进行下图的单阶段博弈，A有3个可行选择(上，中，下)，B也有3个可行选择(左，中，右)。
2015年全国考研数学真题答案(数一).doc
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、设函数()f x 在∞∞（-,+）连续，其2阶导函数()f x ''的图形如下图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】(C)【考点】拐点的定义 【难易度】★★【详解】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导数异号，因此，由()f x ''的图形可知，曲线()y f x =存在两个拐点，故选(C).2、设21123x x y e x e ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce "+'+=的一个特解，则（）（A ）3,1, 1.a b c =-=-=- （B ）3,2, 1.a b c ===- （C ）3,2, 1.a b c =-== （D ）3,2, 1.a b c === 【答案】(A)【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法 【难易度】★★ 【详解】211,23x xe e -为齐次方程的解，所以2、1为特征方程2+0a b λλ+=的根，从而()123,122,a b =-+=-=⨯=再将特解x y xe =代入方程32x y y y ce "-'+=得： 1.c =-3、若级数1nn a∞=∑条件收敛，则x =3x =依次为幂级数()11nn n na x ∞=-∑的：（A ）收敛点，收敛点 （B ）收敛点，发散点 （C ）发散点，收敛点 （D ）发散点，发散点 【答案】(B)【考点】级数的敛散性 【难易度】★★★ 【详解】因为1n n a ∞=∑条件收敛，故2x =为幂级数()11nn n a x ∞=-∑的条件收敛点，进而得()11nn n a x ∞=-∑的收敛半径为1，收敛区间为()0,2，又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间，故()11nnn na x ∞=-∑的收敛区间仍为()0,2，因而x =3x =依次为幂级数()11nn n na x ∞=-∑的收敛点、发散点.4、设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,y x y ==围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰（A ）12sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰（B ）24(cos ,sin )d f r r rdr ππθθθ⎰（C ）13sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰（D ）34(cos ,sin )d f r r dr ππθθθ⎰【答案】(D)【考点】二重积分的极坐标变换 【难易度】★★★【详解】由y x =得，4πθ=；由y =得，3πθ=由21xy =得，22cos sin 1,r r θθ==由41xy =得，24cos sin 1,r r θθ==所以34(,)(cos ,sin )Df x y dxdy d f r r rdr ππθθθ=⎰⎰⎰5、设矩阵21111214A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若集合{1,2}Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多个解的充分必要条件为（A ）,a d ∉Ω∉Ω （B ）,a d ∉Ω∈Ω （C ）,a d ∈Ω∉Ω （D ）,a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)【考点】非齐次线性方程组的解法 【难易度】★★【详解】[]()()()()2211111111,12011114001212A b a d a d a d a a d d ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦Ax b =有无穷多解()(,)3R A R A b ⇔=< 1a ⇔=或2a =且1d =或2d =6、设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232y y y +-，其中123(,,)P e e e =，若132(,,)Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在正交变换x Qy =下的标准形为（A ）2221232y y y -+ （B ）2221232y y y +- （C ）2221232y y y -- （D ）2221232y y y ++ 【答案】(A) 【考点】二次型 【难易度】★★【详解】由x Py =，故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-且：200010001TP AP ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦100200001,()010010001T T T Q P PC Q AQ C P AP C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥====-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦所以222123()2T T T f x Ax y Q AA y y y y ===-+，故选(A)7、若,A B 为任意两个随机事件，则（A ）()()()P AB P A P B ≤ （B ）()()()P AB P A P B ≥（C ）()()()2P A P B P AB +≤（D ）()()()2P A P B P AB +≥【答案】(C)【考点】【难易度】★★【详解】)()(),()(AB P B P AB P A P ≥≥)(2)()(AB P B P A P ≥+∴ ()()()2P A P B P AB +∴≤故选（C ）8、设随机变量X,Y 不相关，且2,1,3,EX EY DX ===则()2E X X Y +-=⎡⎤⎣⎦ （A ）-3 （B ）3 （C ）-5 （D ）5 【答案】(D) 【考点】【难易度】★★★ 【详解】()()()()()()()()()22222225E X X Y E X XY X E X E XY E X D X EX E X E Y E X ⎡⎤+-=+-=+-⎡⎤⎣⎦⎣⎦=++-=二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 9、20ln cos limx xx →=【答案】12-【考点】极限的计算【难易度】★★【详解】2222200001ln cos ln(1cos 1)cos 112lim lim lim lim 2x x x x x x x x x x x x →→→→-+--====- 10、2-2sin ()1cos xx dx xππ+=+⎰【答案】24π【考点】积分的计算 【难易度】★★【详解】2220-2sin ()21cos 4x x dx xdx x ππππ+==+⎰⎰ 11、若函数(,)z z x y =由方程+cos 2ze xyz x x ++=确定，则(0,1)dz =.【答案】【考点】隐函数求导 【难易度】★★【详解】令(,,)cos 2zF x y z e xyz x x =+++-，则1sin x F yz x '=+-，y F xz '=，z F xy '=，又当0,1x y ==时，0z =，所以(0,1)1x z F z x F '∂=-=-'∂，(0,1)0y z F zy F '∂=-='∂，因而(0,1)dz dx =-12、设Ω是由平面1x y z ++=与三个坐标平面所围成的空间区域，则(23)x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰=【答案】14【考点】三重积分的计算 【难易度】★★★【详解】由轮换对称性，得x +2y +3z ()dx dydz Wòòò=6zdx dydz Wòòò=6zdz 01òdx dy D zòò其中D z 为平面z =z 截空间区域W 所得的截面，其面积为121-z ()2.所以 x +2y +3z ()dx dydz Wòòò=6z dx dydz Wòòò=6z ×121-z ()2dz =01ò3z 3-2z 2+z ()dz =01ò1413、n 阶行列式2002-1202002200-12=【答案】122n +- 【考点】行列式的计算 【难易度】★★★【详解】按第一行展开得=2n +1-214、设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布(1,0,1,1,0)N ，则(0)P XY Y -<=.【答案】12【考点】【难易度】★★ 【详解】(,)~(1,0,1,1,0)X Y N ，~(1,1),~(0,1),X N Y N ∴且,X Y 独立1~(0,1)X N ∴-，}{}{0(1)0P XY Y P X Y -<=-<}{}{10,0100P X Y P X Y =-<>+-><，1111122222=⨯+⨯=三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）设函数()ln(1)sin f x x a x bx x =+++⋅，3()g x kx =，若()f x 与()g x 在0x →是等价无穷小，求a ，b ，k 值。
中山大学高数期末考试真题及答案
y′′
=
y′2/y2
− 2y′ex ex + 1
− yex .
y
得y′
=
yex −
ex +
1
.再把y′代入即得y′′.
y
四.（20分∫, 每小题5分）计算下列不定积∫分.
品
（1）
x dx;
（2） √ 1
dx;
诚 1 + x4 ∫
(1 + x2)3
解： (1) 原式= 1
1 dx2 = 1 arctan x2 + C.
解：有一阶线性微分方程:
y′
+
1 y
=
x4
+ 1.
x
解相应的齐次方程有y = C .
x
用常数变异法有通解y
=
1 x5
+
1 x
+
C .
6 2x
策 又由初值条件y(1)
=
1得C
=
1 .
3
所以y
=
1 x5
+
1 x
+
1 .
6 2 3x
学
4
2π √
∫
1 + cos θ dθ = 4
2π
θ cos
dθ = 16.
0
0
0
2
八.（5分）求微分方程(2 + x2)y′ + y + 1 = 0的通解.
解：分离变量得 y
1 +
dy 1
=
− 2
1 +
x2
dx.
积分得通解ln |y + 1| = −√1 arctan √x + C.