第四讲数据分析方法

第四讲 数据分析方法

第一节、数据拟合

问题：给定一批数据点（输入变量与输出变量的数据），需确定满足特定要求的曲线或 曲面。如果输入变量和输出变量都只有一个，则属于一元函数的拟合和插值；而若输入变量 有多个，则为多元函数的拟合和插值（有点回归分析的意思）

解决方案： （1） 若要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，就是插值问题；

（2） 若不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反映对象整体的变化趋势，这就

是数据拟合，又称曲线拟合或曲面拟合。 注意：插值和拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同， 二者的数学方法上是完全不同的。而面对一个实际问题，究竟应该用插值还是拟合，有时 容易确定，有时则并不明显。

例 1：下面数据是某次实验所得，希望得到 X 和 f 之间的关系？ x f

1 2 4 7 9 12 13 15 17 1.5

3.9

6.6

11.7

15.6

18.8

19.6

20.6

21.1

曲线拟合问题最常用的解法——最小二乘法的基本思路

第一步：确定拟合的函数类型 y f (x ;a 1,a 2,",a m )，其中a 1,a 2,",a m 为待定系数。 （函数类型的确定可以根据内在的规律确定，如果无现成的规则，则可以通过散点图，联系 曲线的形状进行分析）

第二步：确定a 1,a 2,",a m 的最小二乘准则：要求n 个已知点(x i , y i )与曲线 y f (x ) n

的距离d i 的平方和 (y i f x 2 最小 。

( )) i i 1 用 MATLAB 作拟合

1．多项式拟合。作多项式 y a 0x

m

a 1x m 1 "a m 拟合，可利用

a=polyfit(x,y,m)—其中 x,y 为给出的数据，m 为多项式的次数。

多项式在 x 处的值 y 可用以下命令计算： y=polyval （a,x ）

2．用 MATLAB 作非线性最小二乘拟合

Matlab 的提供了两个求非线性最小二乘拟合的函数：lsqcurvefit 和 lsqnonlin 。两个命令 都要先建立 M-文件 fun.m ，在其中定义函数 f(x)。 （1）x = lsqcurvefit (‘fun’,x0,x‚ata,y‚ata);

（2）x =lsqcurvefit (‘fun’,x0,x‚ata,y‚ata,options);

（3）x = ls qcurvefit (‘fun’,x0,x‚ata,y‚ata,options,’‛ra‚’); （4）“x, options” = lsqcurvefit (‘fun’,x0,x‚ata,y‚ata,…);

（5）“x, options,funval” = lsqcurvefit (‘fun’,x0,x‚ata,y‚ata,…);

（6）“x, options,funval, ‟acob” = lsqcurvefit (‘fun’,x0,x‚ata,y‚ata,…);

（7）x=lsqnonlin（‘fun’，x0）；

（8）x= lsqnonlin （‘fun’，x0，options）；

（9）x= lsqnonlin （‘fun’，x0，options，‘‛ra‚’）；

（10）[x，options]= lsqnonlin （‘fun’，x0，…）；

（11）[x，options，funval]= lsqnonlin （‘fun’，x0，…）；

在使用lsqcurvefit与lsqnonlin命令时，共同的问题是要先知道函数的类型，而拟合其实是决定函数中的待定系数。

第二节插值

插值的基本问题：给出n个数对，(P i, f (P i)),i 1,2,",n，求点P处对应的函数值f (P)。

一、一维插值

已知n 1个节点(x i, y i ),i 0,1,",n，求任意点*处的函数值*。常用的插值方法

x y

有拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插值、Hermite插值和三次样条插值。

分段线性插值：将各数据点用折线连接起来

多项式插值：求一个多项式通过所有数据点，可以假设出多项式的系数，最后通过

求解方程得到每个系数（拉格朗日插值，用n次多项式描述n 1个点）

样条插值：分段多项式的光滑连接（三次样条插值）

牛顿插值：利用节点之间的各阶差商和差分构造多项式

Hermite插值：对插值函数，不仅要求它在节点处与函数同值，而且要求它与函数有相同的一阶、二阶甚至更高阶的导数值

（1）MATLAB命令：y=interp1(x0,y0,x,'method')

method指定插值的方法，默认为线性插值。其值可为：

'nearest' 最近项插值

'linear' 'spline' 'cubic' 线性插值

立方样条插值立方插值。

所有的插值方法要求x0是单调的。

当x0为等距时可以用快速插值法，使用快速插值法的格式为'*nearest'、'*linear'、'*spline'、'*cubic'。

（2）三次样条插值在Matlab中的实现

在Matlab中数据点称之为断点。如果三次样条插值没有边界条件，最常用的方法，就

是采用非扭结（not-a-knot）条件。这个条件强迫第1个和第2个三次多项式的三阶导数相

等。对最后一个和倒数第2个三次多项式也做同样地处理。

Matlab中三次样条插值也有现成的函数：

y=interp1(x0,y0,x,'spline')；

y=spline(x0,y0,x)；

pp=csape(x0,y0,conds),

pp=csape(x0,y0,conds,valconds)，y=ppval(pp,x)。

其中x0,y0是已知数据点，x是插值点，y是插值点的函数值。

对于三次样条插值，我们提倡使用函数csape，csape的返回值是pp形式，要求插值点