2016届绵阳一诊数学试题及答案

绵阳市高2013级第一次诊断性考试

数学(文史类)参考解答及评分标准

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

CBCBD BACCC

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．[)∞+，10 12．3 13．a ≥2 14．7 15．②③

三、解答题：本大题共6小题，共75分．

16．解 ：（1）∵ m ⊥n ，

∴ m ·n =(cos α，1-sin α)·(-cos α，sin α)=0，

即-cos 2α+sin α-sin 2α=0． ……………………………………………………3分

由sin 2α+cos 2α=1，解得sin α=1，

∴ 2

2ππα+=k ，k ∈Z .…………………………………………………………6分 （2） ∵ m -n =(2cos α，1-2sin α)，

∴ |m -n |=22)sin 21()cos 2(αα-+

αααsin 41)sin (cos 422-++=

αsin 45-=， ………………………………………………………9分

∴ 5-4sin α=3，即得2

1sin =α， ∴ 2

1sin 212cos 2=-=αα． ……………………………………………………12分 17．解：（1）由已知a n +1=2a n +1，可得a n +1+1=2(a n +1)．

∴ 21

11=+++n n a a （常数）．………………………………………………………3分 此时，数列}1{+n a 是以211=+a 为首项，2为公比的等比数列，

∴ n n n a 22211=⋅=+-，于是a n =2n

-1． ………………………………………6分 （2）∵n

n n b 2=

.…………………………………………………………………7分 ∴ n n n S 2

232221321++++= ， 两边同乘以21，得,2

232221211432+++++=n n n S 两式相减得 122

21212121+-+++=n n n n S 122

11)211(21+---=n n n 12

211+--=n n n ， ∴n n n n S 2

2121--=-．…………………………………………………………12分 18．解：（1）设第n 年的受捐贫困生的人数为a n ，捐资总额为b n ．

则a n =80+(n -1)a ，b n =50+(n -1)×10=40+10n . ……………………………2分

∴ 当a =10时，a n =10n +70，

∴ 8.01040+n b n ，

解得：n >8． ……………………………………………………………………5分

即从第9年起每年的受捐大学生人均获得的奖学金才能超过0.8万元． …6分

（2）由题意：n

n n n a b a b >++11(n >1)， 即

a

n n na n )1(80104080)1(1040-++>+++，………………………………………………8分 整理得 (5+n )[80+(n -1)a ]-(4+n )(80+na )>0，

即400+5na -5a +80n +n 2a -na -320-4na -80n -n 2a >0，

化简得80-5a >0，

解得a <16，……………………………………………………………………11分

∴ 要使人均奖学金年年有增加，资助的大学生每年净增人数不超过15人．

……………………………………………12分

19．解：（1）在Rt △ABC 中，AC =AB cos60º=3216=⨯，23

1==AB AD . ∵ AD CA CD +=， ∴ CA AD CA CA AD CA CA CD ⋅+=⋅+=⋅2

)( ><⋅⋅+=CA AD CA AD CA ，cos ||||||2

=9+2×3×cos120º

=6. …………………………………………………………………4分

（2）在△ACD 中，∠ADC =180º-∠A -∠DCA=120º-θ， 由正弦定理可得ADC

AC A CD ∠=sin sin ，即)120sin(233)120sin(23

3θθ-︒=-︒⨯

=CD . ………………………………………5分

在△AEC 中，∠ACE =θ+30º，∠AEC =180º-60º-(θ+30º)=90º-θ， 由正弦定理可得：AEC AC A CE ∠=sin sin ，即θθcos 233)90sin(23

3=-︒⨯

=CE ， ……6分 ∴ θ

θcos 233)120sin(2334130sin 21⋅-︒⋅=︒⋅⋅=∆CE CD S DCE θ

θcos )120sin(11627⋅-︒⋅=

，………………………7分 令f (θ)=sin(120º-θ)cos θ，0º≤θ≤60º，

∵ f (θ)=(sin120ºcos θ-cos120ºsin θ)cos θ θθθcos sin 2

1cos 232+= θθ2sin 2

12122cos 123+++⨯= )2sin 212cos 23(2143θθ++= )602sin(2

143︒++=θ，………………………………………………10分 由0º≤θ≤60º，知60º≤2θ+60º≤180º，

∴ 0≤sin(2θ+60º)≤1，