一个奇异值不等式的推广
矩阵范数三角不等式证明
矩阵范数三角不等式证明摘要：一、矩阵范数的概念和意义二、矩阵三角不等式的表述三、证明方法及步骤1.利用矩阵的奇异值分解2.利用Cauchy-Schwarz不等式3.利用矩阵的性质和向量范数的性质正文：【提纲】一、矩阵范数的概念和意义矩阵范数是矩阵的一种度量方式，它反映了矩阵元素的分布情况和矩阵的稀疏程度。
常见的矩阵范数有谱范数、行范数、列范数等。
在这些范数中，谱范数是最常用的一种，它等于矩阵所有奇异值的和。
【提纲】二、矩阵三角不等式的表述矩阵三角不等式是一个基本的矩阵性质，它表示为：对于任意矩阵A和B，有||A+B||≤||A||+||B||，其中||A||和||B||分别表示矩阵A和B的范数。
【提纲】三、证明方法及步骤证明矩阵三角不等式有多种方法，下面我们介绍三种常见的方法。
1.利用矩阵的奇异值分解：假设矩阵A可以表示为A=U*S*V^T，其中U和V是正交矩阵，S是奇异值矩阵。
那么，矩阵A的范数可以表示为||A||=||U*S*V^T||=||U||*||S||*||V||。
同样，矩阵B可以表示为B=W*T*X，其中W、T、X具有相同的结构。
那么，||A+B||=||U*(S+T)*V^T||=||U||*||S+T||*||V||。
根据奇异值分解的性质，我们知道||S+T||≤||S||+||T||，所以||A+B||≤||A||+||B||，证明了矩阵三角不等式。
2.利用Cauchy-Schwarz不等式：对于任意矩阵A和B，我们有：||A*B||=||(a11*b11+a12*b21+...+an1*bn1)+(a13*b12+a23*b22+...+an3*b n2)||≤||a11*b11+a12*b21+...+an1*bn1||+||a13*b12+a23*b22+...+an3*bn2||≤||a11||*||b11||+||a12||*||b21||+...+||an1||*||bn1||+||a13||*||b12||+||a23||*||b 22||+...+||an3||*||bn2||≤(||a11||+||a12||+...+||an1||)*(||b11||+||b21||+...+||bn1||)+(||a13||+||a23||+... +||an3||)*(||b12||+||b22||+...+||bn2||)≤(||a11||+||a12||+...+||an1||+||a13||+...+||an3||)*(||b11||+||b12||+...+||bn1||+||b21||+...+||bn2||)≤(||a11+a12+...+an1||+||a13+a23+...+an3||)*(||b11+b12+...+bn1||+||b21 +b22+...+bn2||)≤(||A||+||B||)*(||I||+||O||)其中，I是单位矩阵，O是零矩阵。
鲁棒控制理论与设计 第三章 矩阵分析和线性矩阵不等式
k<r
则 A 与秩为 k 的任一矩阵 B 之差的 L1 和 L2 范数分别为
min A − B =
rank (B )=k
1
A − Ak
1 = σ k +1
和
(3.1.30)
3－5
第三章 矩阵分析和线性矩阵不等式
min A − B 2 =rank (B )=k2A − Ak
2 2
=
σ
2 k +1
+
L
∂A ∂θ
= [ ∂A ∂θ1
,
∂A ∂θ 2
,L ,
∂A ∂θ n
]
(3.1.12)
4） 标量对矩阵求导仍为矩阵。设 J 为标量， M 为矩阵，则 ∂J 是以 ∂J 为第 ij 元素的矩阵，
∂M
∂mij
其中 mij 表示 M 矩阵的第 ij 元素。
在上述约定下，有如下一些结果：
1） ∂ (aT x) = aT ； ∂x
−
A21
A -1 11
A12
]
(3.1.5) (3.1.6)
证明：因为
所以有
⎡ A11
⎢ ⎣
A21
A12 ⎤ ⎡ I
A22
⎥ ⎦
⎢⎣−
A−1 22
A21
0⎤
A−1 22
⎥ ⎦
=
⎡ ⎢
A11
⎣
−
A12 0
A−1 22
A21
A12
A−1 22
I
⎤ ⎥ ⎦
det
A ⋅ det
A −1 22
=
det[ A11
3.1.2 矢量与矩阵的微分运算
在鲁棒控制理论和系统建模中，矢量与矩阵的微分运算是非常重要的。本节我们不加证明地给出 一些常用到得运算定理和公式。为了叙述方便，采用下列约定。
张跃辉矩阵理论与应用 第五章参考答案
|((a − b)x, y)| + |(b − a)(x, y)| ≤ 2|a − b|||x||2||y||2. 由于对任意给定的 ε > 0, 总存在 b ∈ Q 使
得 |a − b| < ε, 因此上式意味着 |(ax, y) − a(x, y)| 可以任意小, 故它们必相等.
(4) 仅有 l2 范数.
.
另 一 方 面 ， 易 知 ||Aei||1 恰 好 是 A 的 第 i 列 的 绝 对 值 的 和, 因
此
|||A|||1
≤
max
x=0
||Ax||1 ||x||1
.
√
(2) |A|||2 = A 的最大奇异值 σmax,
λ∈σ(A∗A)
见 16 题):
显然有 ||Ax||22 = x∗A∗Ax. 但 A∗A 的最大特征值恰好是函数 x∗A∗Ax 在单位球面上的极
大值，因此
||
Ax ||x||
||22
=
x∗A∗Ax ||x||22
≤
|||A|||22.
反之，设
α
是属于
A∗A
的最大特征值
σmax
的特征向
量，则有
α∗A∗Aα
=
σmaxα∗α,
解：均为 a. 矩阵的 F- 范数在 U 变换下不变.
13. 证明矩阵的 1- 范数, 2- 范数和 ∞- 范数分别是向量的 1- 范数, 2- 范数和 ∞- 范数的诱 导范数 (因此与之相容).
证明：设 A = (aij), x = (x1, · · · , xn)T = 0, ei 是第 i 个标准单位向量. (1) 1- 范数:
证明：(1), (2) 与 (3) 参见第 13 题；
Schur补的性质及其相关应用
Schur补的性质及其相关应用学院：信息工程学院专业: 通信与信息系统姓名: 罗桃建学号: 6120140152摘要矩阵Ｓｃｈｕｒ补是矩阵理论中一个重要的知识点，在矩阵理论、统计分析、数值计算、线性方程组求解、区域分解方法、线性系统、控制论等问题的研究。
中都有着广泛的应用．本文主要研究矩阵Ｓｃｈｕｒ补理论在矩阵理论中的问题．利用矩阵的一些基本性质和数学研究中的一些基本方法讨论Schur补、schur多项式、schur不等式、schur积、广义schur补、矩阵schur补、实方阵schur稳定、schur凸函数的相关应用．关键词：Schur补；广义Schur补；schur多项式ABSTRACTMatrix Schur complement is one of the most important kens both in theory and applications,and it has wide applications in the study of Schur complement, Schur polynomial, Schur inequality, Schur product,generalized Schur complement, matrix Schur complement, nuclear Schur, Schur real square matrix a stable, Schur convex function.Key word: Schur complement, matrix Schur complement, Schur polynomial目录第一章绪论 (4)1.1基本概念及要研究的问题 (4)1.2 Schur不等式 (5)第二章Schur补性质和广义Schur补的性质 (6)2.1相关符号简介 (6)2.2矩阵Schur补的性质 (6)2.3 相关符号与引理简介 (7)第三章矩阵乘积之Schur补的奇异值估计 (9)3.1 相关符号与引理简介 (9)3.2本章小结 (10)第四章矩阵Schur补和实方阵Schur稳定、Schur凸函数的相关应用 (10)4.1 矩阵Schur补应用 (10)4.2 schur稳定 (11)4.3 schur凸函数 (11)参考文献 (13)附：对邹老师的看法： (14)第一章 绪 论1.1基本概念及要研究的问题矩阵Schur 补的概念是1917年L.Schur 在他的一篇文章中提出的，它在矩阵理论,统计分析，数值计算，线性方程组求解，区域分解方法，线性控制等领域都有着重大作用。
H_inf介绍
w u
P(s)
z y
K(s)
图2. 标准H控制问题
zRm：被控输出，yRq：测量输出 wRr： 外部输入，uRp：控制输入
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1.4 标准H控制问题(续)
图中P(s)是包含被控制对象和加权函数的 广义对象，可表示为：
z w P11 ( s) P12 ( s) w y P( s ) u P ( s ) P ( s ) u 21 22
i ( A* A) i ( AA*) 0, i 1,2,, r
其中，i(A)表示A由大到小排列的特征值。
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1.1 奇异值(续)
A*A[A*xi]=i A* xi 上式表明，A*xi是A*A对应i的特征向量。 于是， AA*的所有特征值都是A*A的特征值， 反之， A*A的特征值都是AA*的特征值。 又设x1,…, xp是AA*对应特征值0的线性 无关的特征向量，显然A*xi是A*A对应 0 的特征向量，若它们线性相关，则有
12
1.2上确界与下确界
集合的上(下)界：设AR，若MR， s.t. xA，都有xM(xM)，则称M为 集合A的一个上(下)界。 如果A既有上界，又有下界，则称A为有界 集，不是有界集的集合称为无界集。 上(下)确界：数集A的最小上界限(最大下 界)，称为A的上(下)确界，记为sup A (inf A)。
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1.2上确界与下确界(续)
上确界sup A 的两层含义： xA，有xsup A，即保证它是上界； >0，总 x0A，s.t. supA <x0， 即保证它是最小的上界。 [确界存在定理] 若非空集合有上(下)界， 则一定存在唯一的上(下)确界。
柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式各种形式的证明及其应用
1.柯西不等式的证明：
柯西不等式的最常见的证明是基于构造内积的思路。
假设有两个n维
向量a=(a1,a2,…,an)和b=(b1,b2,…,bn)，我们可以定义它们的内积为a·b=a1b1+a2b2+…+anbn。
柯西不等式就是说，对于任意两个向量a和b，有，a·b，≤，a，b。
这个不等式可以通过构造内积的平方来进行证明。
具体的证明过程可以参考高等数学相关教材或参考资料。
2.柯西不等式的应用：
-线性代数：柯西不等式可以用来证明向量范数的性质，如欧几里得
范数和曼哈顿范数的非负性、三角不等式等。
-概率论：柯西不等式可以用来证明概率论中的一些重要定理，比如
马尔可夫不等式、切比雪夫不等式等。
-信号处理：柯西不等式可以用来证明信号处理中的一些重要性质，
比如能量守恒定理、奇异值分解等。
-函数分析：柯西不等式可以用来证明函数分析中的一些重要定理，
比如巴拿赫空间的完备性定理等。
-矩阵论：柯西不等式可以用来证明矩阵论中的一些重要性质，比如
矩阵的条件数、病态度等。
总之，柯西不等式是一条十分重要的不等式，具有广泛的应用价值。
它不仅是高等数学中的重要工具，还可以应用于其他学科的研究中。
通过
了解柯西不等式的证明和应用，我们可以更好地理解和运用它，进一步深
化数学和相关学科的学习。
矩阵2范数证明
矩阵2范数证明要证明矩阵的2范数是最大奇异值，需要进行如下步骤：1. 首先说明2范数满足范数的定义。
2. 其次，证明2范数是矩阵的最大奇异值。
1. 2范数是矩阵的一个范数，满足以下定义：- 非负性：对于任意的矩阵A，2范数总是非负的，即||A||2 >= 0。
- 零范数：当且仅当A矩阵的所有元素都为零时，2范数为0，即||A||2 = 0当且仅当矩阵A是零矩阵。
- 绝对鲁棒性：对于任意的标量c，2范数满足绝对鲁棒性，即||cA||2 = |c| ||A||2。
- 三角不等式：对于任意的矩阵A和B，2范数满足三角不等式，即||A+B||2 <= ||A||2 + ||B||2。
2. 然后我们证明2范数是矩阵的最大奇异值。
假设A是一个m×n的矩阵，其奇异值分解为A = UΣV^T，其中U是一个m×m的正交矩阵，V是一个n×n的正交矩阵，Σ是一个m×n的对角矩阵，对角线上的元素是矩阵A的奇异值。
由于U和V是正交矩阵，所以有U^TU = I和VV^T = I，其中I是单位矩阵。
则矩阵A的2范数定义如下：||A||2 = sup ||Ax||2 / ||x||2= sup ||(UΣV^T)x||2 / ||x||2= sup ||ΣV^T x||2 / ||x||2 (由于U是正交矩阵，不改变向量的2范数)= sup ||Σ(V^T x)||2 / ||x||2 (向量的2范数和矩阵对列运算的2范数相同)= sup ||Σy||2 / ||V^T x||2 (令y = V^T x)= sup ||Σy||2 / ||y||2 (由于V是正交矩阵，不改变向量的2范数)= sup sqrt(y_1^2 + y_2^2 + ... + y_n^2) / sqrt(y_1^2 +y_2^2 + ... + y_m^2)= sup sqrt(σ_1^2y_1^2 + σ_2^2y_2^2 + ... +σ_min(m,n)^2y_min(m,n)^2) / sqrt(y_1^2 + y_2^2 + ... + y_m^2) = sqrt(σ_1^2 + σ_2^2 + ... + σ_min(m,n)^2) (取y为第i列向量)由此可见，矩阵A的2范数就是矩阵A的最大奇异值，即||A||2 = σ_max(A)。
关于求解行列式的几种特殊的方法
)* 递推法 通过降阶等途径， 建立所求 ’ 阶行列式 " # " 和比 它低阶的但是结构相同的行列式之间的关系， 并求得 # 的方法叫递推法* 例如课本上的范得蒙行列式的计算就是应用了递 推法* 例： 计算范得蒙行列式 & ,& +’ $ ,% & …
’ (& ,&
& ,% ,% % …
’ (& ,%
;, ］ ’ 4［ 2
’ ) ) 2
5 3 4 3 ］
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! ’2 ［ ’ 2/ 5 4. 2 5 3. 2 ］5 3 ［ ’ 2 . 3 5 4. 2 5 3. 2］’ 4 ［ 2. 4 5 43. ’ 4/ ］! 20 ’ 4. 2. ’ 3. 2. 5 30 ’ 2. 3. ’ 3. 4. 5 40 ’ 2. 4. ’ 3. 4. ! 20 5 30 5 40 ’ .2. 3. ’ .3. 4. ’ .2. 4. 虽然可以得出结果， 但是过程过于复杂。如果用 分离线性因子法把第 . 、 /、 0 列都加到第 ( 列上， 由多 项式整除的概念， 有 （ 2 5 3 5 4） & #， 如果第 ( 列加上 第 . 列再减去第 / 列和第 0 列 （ 2 5 4 ’ 2 ）& #， 同样 有， 如果第 ( 列加上第 / 列再减去第 . 列和第 0 列有 （ 2 5 3 ’ 4） & #， 若第 ( 列加上第 0 列减去第 . 列和第 / 列有 （ 2 5 3 ’ 4） & #， 因为以上这些整式互素所以有 （ 2 5 3 5 4） （ 3 5 4 ’ 2） （ 2 5 4 ’ 3） （ 2 5 3 ’ 4） & #， 因为这四个因子的乘积包括带有的系数为 ’ ( ， 而行列 式本身包含同一项的系数为 5 ( ， 所以得出 # ! ’ （2 （ 3 5 4 ’ 2） （ 2 5 4 ’ 3） （ 2 5 3 ’ 4 ）! 20 5 5 3 5 4） 30 5 40 ’ .2. 3. ’ .3. 4. ’ .2. 4. 1 /） 代数方程组法 当所求行列式是由几个元素组成的， 若用曾经求 解过的行列式作系数行列式， 构造一个 6 元线性方程 组， 所求行列式中可作为线性方程组解的组成部分1 ( 7( 例： 求 #6 ! 7. ( … 7