精品新版高中数学北师大版必修4习题：第一章三角函数1-8-1
高中数学 第一章 三角函数 1.8 函数的图像 引入辅助角变形及其应用素材 北师大版必修4(202
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引入辅助角变形及其应用令cos ϕ=sin ϕ=则sin cos )a x b x x ϕ+=+这一变形在三角问题中的应用很广，下面举例进行分类解析,供参考.一、恒等变形 1．求值例1．已知非零实数,a b 满足sincos855tan 15cos sin 55a b a b πππππ+=-,求b a 的值.解：⇒=-+158tan 5sin5cos 5cos5sinπππππb a b a 158tan5sin5cos5cos 5sin22222222πππππ=+-++++b a b b a a b a b b a a 引入辅助角ϕ，使22cos ba a +=ϕ，.sin 22ba b+=ϕ则.158tan )5cos()5sin(158tan 5sin sin 5cos cos 5cossin 5sincos ππϕπϕππϕπϕπϕπϕ=++⇒=-+ 即)158tan()5tan(πππϕ+=+k ,∴1585πππϕ+=+k ,即).(3Z k k ∈+=ππϕ故ϕtan =a b .33tan )3tan(==+=πππk 注：).(tan tan Z k k ∈+=⇒=βπαβα 2．化简例2．化简cos()sin()44cos()sin()44ππααππαα+-+-+-的结果为( ）（A ）tan α （B)tan α- （C)cos α （D ）cos α- 解：cos()sin()2[cos()]4444cos()sin()2[cos()4444ππππαααππππααα+-++-=-+--+sin tan cos ααα-==-,选（B).3．证明例3．证明：sin 50(13tan10) 1.⋅+=证明：左边1cos10)22sin 50cos10+=⋅2(sin10cos30cos10sin 30)2sin 50cos10+=⋅sin 402cos 40cos10=⋅2cos 40sin 40cos10=sin 801cos10===右边，故等式成立.4．求角例4．若),(),sin(32cos 3sin 3ππϕϕ-∈+=-x x x ，则ϕ的值等于（ )（A)3π-（B ）3π(C ）32π （D ）32π- 解：)cos 23sin 21(32cos 3sin 3x x x x -=-，令23sin ,21cos -==ϕϕ,则)cos 23sin 21(32cos 3sin 3x x x x -=-)sin cos cos (sin 32ϕϕx x += ).sin(32ϕ+=x 由23sin ,21cos -==ϕϕ，且),(ππϕ-∈，得.3πϕ-= 选（A ）。
(常考题)北师大版高中数学必修四第一章《三角函数》检测(含答案解析)(5)
一、选择题1．已知角α顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点()3,4P -，将α的终边逆时针旋转180︒，这时终边所对应的角是β，则cos β=（ ） A ．45-B ．35C ．35D ．452．已知函数()cos 2y x ϕ=+()πϕπ-≤<的图象向右平移2π个单位后，与函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象重合，则ϕ的值为（ ）A ．56πB ．56π-C ．6π D ．6π-3．已知0>ω，2πϕ≤，在函数()()sin f x x ωϕ=+，()()cos g x x ωϕ=+的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2π，当,64x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，函数()f x 的图象恒在x 轴的上方，则ϕ的取值范围是（ ） A ．,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．已知函数()cos2sin 2f x x x =-，将()y f x =的图象向左平移a （0a >）个单位长度可以得到一个奇函数的图象，将()y f x =的图象向右平移b （0b >）个单位长度可以得到一个偶函数的图象，则a b -的最小值等于（ ） A ．0B ．8π C ．4π D ．2π 5．设函数()cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（ ） A ．()f x 的一个对称中心为5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()f x 的图象关于直线116x π=对称 C ．()f x π+的一个零点为12x π=D ．()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 6．若函数()()sin 0f x x ωω=>在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=（）A．34B．14C．32D．127．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．假设在水流量稳定的情况下，简车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆O的半径为4米，盛水筒M从点0P处开始运动，OP与水平面的所成角为30，且每分钟恰好转动1圈，则盛水筒M距离水面的高度H（单位；m）与时间t（单位：s）之间的函数关系式的图象可能是（）A．B．C．D．8．对于函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭，有以下四种说法： ①函数的最小值是32-②图象的对称轴是直线()312k x k Z ππ=-∈ ③图象的对称中心为,0()312k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭④函数在区间7,123ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增． 其中正确的说法的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．已知()()sin 6f x x a b x ππ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，若()0f x ≤在[]1,1x ∈-上恒成立，则a b +=（ ） A ．56B ．23C ．1D ．210．已知函数()sin 0,2y x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（ ）A ．1ω=，6π=ϕ B ．1ω=，6πϕ=-C ．2ω=，6π=ϕ D ．2ω=，6πϕ=-11．函数3cos 2cos 2sin cos cos510y x x x ππ=-的递增区间是（ ） A ．2[,]105k k ππππ-+（k Z ∈） B ．2[,]510k k ππππ-+ （k Z ∈） C ．3[,]510k k ππππ-- （k Z ∈） D ．37[,]2020k k ππππ-+ （k Z ∈） 12．已知函数1,01()11sin ,14242x x f x x x π+≤≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩，若不等式2()()20f x af x -+<在[]0,4x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．3a >B ．23a <<C ．22a >D ．92a >二、填空题13．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >，0>ω，||2ϕπ<)的部分图象如图所示.则函数()y f x =的解析式为________.14．函数3()2sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，以下说法： （1）其中最小正周期为23π； （2）图象关于点(,0)4π对称；（3）由2sin3y x =的图象向右平移34π个单位长度可以得到图象C ； （4）直线4πx =-是其图象的其中一条对称轴． 其中正确命题的序号是__________．15．函数y ＝的定义域为________．16．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30，第一排和最后一排的距离为650秒，升旗手应以__________（米 /秒）的速度匀速升旗．17．若函数()cos()(0)4f x wx w π=+>在[]0,π的值域为21⎡-⎢⎣⎦，，则w 的取值范围是______18．给出下列4个命题：①函数2cos 32y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是奇函数；②函数y =sin (2x +3π)的图象关于点(12π，0)成中心对称； ③x =8π是函数y =sin (2x +54π)的一条对称轴方程；④存在实数α，使得3242πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭.把你认为正确命题的序号都填在横线上____. 19．已知将函数()sin()(06,)22f x x ππωθωθ=+<<-<<的图象向右平移3π个单位长度得到画()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则ωθ⋅=________.20．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()3f x f x +=-，且()12019f -=，则()2020f =______. 三、解答题21．已知函数()22sin cos 2cos ,x x R f x x x =+∈.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在[]0,π上的单调递减区间； （3）令()18g x f x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若()2g x a <-对于,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数a 的取值范围.22．已知函数π()3sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭． （1）用“五点法”画出函数()y f x =在一个周期内的简图；（2）说明函数()y f x =的图像可以通过sin y x =的图像经过怎样的变换得到？（3）若003()[2π3π]2f x x =∈，，，写出0x 的值.23．若,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，tan 23k x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值总不大于零，求实数k 的取值范围．24．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，,28M π⎛⎫ ⎪⎝⎭､5,28N π⎛⎫- ⎪⎝⎭分别为其图象上相邻的最高点､最低点. （1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调区间和值域. 25．已知某海滨浴场的海浪高度y （单位：米）与时间()024t t ≤≤（单位：时）的函数关系记作()y f t =，下表是某日各时的浪高数据：经长期观测，函数y f t =可近似地看成是函数cos y A t b ω=+.（1）根据以上数据，求出函数cos y A t b ω=+的最小正周期T 及函数表达式（其中0A >，0>ω）；（2）根据规定，当海浪高度不低于0.75米时，才对冲浪爱好者开放，请根据以上结论，判断一天内从上午7时至晚上19时之间，该浴场有多少时间可向冲浪爱好者开放？26．已知函数()()()f x g x h x =，其()g x x =，()h x =_____. （1）写出函数()f x 的一个周期（不用说明理由）；（2）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值. 从①cos 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭，②2sin 24x π⎛⎫- ⎪⎝⎭这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答， 注：如果选择多个条件分别解答.按第一个解答计分.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】先根据已知条件求解出cos α的值，然后根据,αβ之间的关系结合诱导公式求解出cos β的值.【详解】 因为3cos 5α==，且180βα=+︒， 所以()3cos cos 180cos 5βαα=+︒=-=-， 故选：B. 【点睛】结论点睛：三角函数定义有如下推广：设点(),P x y 为角α终边上任意一点且不与原点重合，r OP =，则()sin ,cos ,tan 0y x yx r r xααα===≠. 2．A解析：A 【分析】根据三角函数的平移变换得到cos(2)y x ϕπ=+-后，再根据诱导公式变为sin(2)2y x πϕ=+-，然后利用图象重合列式可得结果.【详解】函数()cos 2y x ϕ=+()πϕπ-≤<的图象向右平移2π个单位后,得到cos[2()]cos(2)2y x x πϕϕπ=-+=+-sin(2)2x πϕπ=+-+sin(2)2x πϕ=+-，依题意可得223k ππϕπ-=+()k ∈Z ，所以526k πϕπ=+()k ∈Z 因为πϕπ-≤≤，所以0k =，56πϕ=. 故选：A. 【点睛】关键点点睛；经过平移变换后，利用诱导公式化为同名函数是解题关键，属于中档题.3．D解析：D 【分析】由()()f x g x =得()()sin cos x x ωϕωϕ+=+，所以()tan 1x ωϕ+=，可求得()4k x k Z ππϕω+-=∈，再利用，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2π，可得2x ππω∆==，即可得2ω=，再利用正弦函数图象的特点，可得032πϕπϕπ⎧-+≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，即可求出ϕ的取值范围. 【详解】由()()f x g x =得()()sin cos x x ωϕωϕ+=+，所以()tan 1x ωϕ+=， 可得：()4x k k Z πωϕπ+=+∈，所以因为相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2x ππω∆==， 所以2ω=，所以()()sin 2f x x ϕ=+， 当,64x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，232x ππϕϕϕ-+<+<+，要满足函数()f x 的图象恒在x 轴的上方，需满足方程032πϕπϕπ⎧-+≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩ ，解得32ππϕ≤≤， 故选：D 【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题.4．A解析：A 【分析】先整理函数，再根据平移后函数的奇偶性得到a ,b 的值，即可得结果. 【详解】解：函数()cos 2sin 224f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，函数()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移a 个单位得到()224g x x a π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，又因为函数为奇函数，则242a k πππ+=+（k Z ∈），整理得28k a ππ=+（k Z ∈）； 函数()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移b 个单位得到()224h x x b π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由于得到的函数的图象为偶函数，2=4b k ππ-+-，=,()82k b k Z ππ+∈； 当0k =时，min 0a b -= 故选：A. 【点睛】本题考查了三角函数的平移变换和奇偶性，属于中档题.5．D解析：D 【分析】选项A 由()f x 的对称中心满足2,32x k k Z πππ+=+∈可判断；选项B ()f x 的对称轴满足：2,3x k k Z πππ+=+∈可判断；选项C 令12x π=，求得()cos02f x π==，可判断;选项D 由()f x 的增区间满足222,3k x k k Z ππππ-≤+≤∈可判断.【详解】由函数()cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 选项A. ()f x 的对称中心满足2,32x k k Z πππ+=+∈则1,212x k k Z ππ=+∈，当1k =-时，512x π=-，所以5,012π⎛⎫-⎪⎝⎭为()f x 的一个对称中心，故A 正确； 选项B ：()f x 的对称轴满足：2,3x k k Z πππ+=+∈即11,23x k k Z ππ=+∈，当3k =时，116x π=，故B 正确；选项C ： ()()cos 2cos 233x x x f ππππ⎡⎤⎛⎫=+++=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ 令12x π=，得ππcos 0122f π⎛⎫+== ⎪⎝⎭，故C 正确； 选项D ：由()f x 的增区间满足222,3k x k k Z ππππ-≤+≤∈2,36k x k k Z ππππ-≤≤-∈，当1k =时，536x ππ≤≤，所以()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，故D 错误， 故选：D . 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的单调性、对称性和零点问题，解答本题的关键是将23x π+看成一个整体，令2,32x k k Z πππ+=+∈；2,3x k k Z πππ+=+∈和222,3k x k k Z ππππ-≤+≤∈，得出答案，属于中档题.6．C解析：C 【分析】 由0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦计算出x ω的取值范围，可得出0,0,32πωπ⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，再由函数()f x 在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减可得出关于ω的等式，由此可解得实数ω的值. 【详解】0ω>，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0,3x πωω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由于函数()()sin 0f x x ωω=>在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则0,0,32πωπ⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以，032πωπ<≤，由于函数()f x 在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以，函数()f x 在3x π=处取得最大值，则()232k k N πωππ=+∈，又032πωπ<≤，所以，32πωπ=，解得32ω=. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题通过正弦型函数在区间上的单调性求参数值，解题的就是将函数在区间上的单调性转化为两个区间的包含关系，并且分析出函数()f x 的一个最大值点，进而列出关于ω的等式求解.7．D解析：D 【分析】先根据题意建立坐标系，写出盛水筒M 距离水面的高度H 与时间t 之间的函数关系式，再根据关系式即可判断.【详解】解：以O 为圆心，过点O 的水平直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系：0306xOP π∠==，OP ∴在()t s 内转过的角为：26030t t ππ=， ∴以x 轴正半轴为始边，以OP 为终边的角为：306t ππ-，P ∴点的纵坐标为：4sin 306t ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，H ∴与t 之间的函数关系式为：4sin 2306H t ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭， 当sin 1306t ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，max 426H =+=， 当sin 1306t ππ⎛⎫-=-⎪⎝⎭时，max 422H =-+=-， 对A ，B ，由图像易知max min H H =-，故A ，B 错误； 对C ，max min H H <-，故C 错误； 对D ，max min H H >-，故D 正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解题意，根据题意写出H 与t 之间的函数关系式.8．B解析：B 【分析】求出函数的最值，对称中心坐标，对称轴方程，以及函数的单调区间，即可判断正误． 【详解】函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭，当3=42x ππ+时，即=12x π，函数()f x 取得最小值为132122-⨯+=-，故①正确； 当342x k πππ+=+时，即=,123k x k Z ππ+∈，函数()f x 的图象的对称轴是直线=,123k x k Z ππ+∈，故②错误； 当34x k ππ+=时，即,123k x k Z ππ=-+∈，函数()f x 的图象的对称中心为1,,1232k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，故③错误； 当3232242k x k πππππ+≤+≤+，即252,123123k k x k Z ππππ+≤≤+∈，函数()f x 的递增区间为252,,123123k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， 当1k =-时，()f x 的递增区间为7,124ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故④正确. 故选：B 【点睛】关键点点睛：函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭的递增区间转化为sin 34y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的递减区间.9．A解析：A 【分析】根据题意分析可得当15,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，0x a b --≤，当151,,166x ⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，0x a b --≥，从而可得506106a b a b ⎧--=⎪⎪⎨⎪---=⎪⎩，解方程即可求解.【详解】当15,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，sin 06x ππ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭， 当151,,166x ⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦时，sin 06x ππ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，， 故当15,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，0x a b --≤时，当151,,166x ⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦时，0x a b --≥， 即506106a b a b ⎧--=⎪⎪⎨⎪---=⎪⎩，解得1312a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，所以56a b +=. 故选：A 【点睛】本题考查了三角函数的性质、不等式恒成立，考查了基本运算求解能力，属于中档题.10．D解析：D 【分析】根据函数的图象求出函数的周期，然后可以求出ω，通过函数经过的最大值点求出ϕ值，即可得到结果. 【详解】由函数的图象可知:74123T πππ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭，22T πω∴==.当3x π=，函数取得最大值1，所以sin 213πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，2232k k Z ππϕπ+=+∈，， ||,02k πϕ<∴=，6πϕ∴=-，故选：D. 【点睛】本题主要考查了由三角函数的图象求解析式，通过周期求ω的值，通过最值点求ϕ的值是解题的关键，属于基础题.11．C解析：C 【分析】利用三角恒等变换的公式，化简得由函数cos(2)5y x π=+，再根据余弦型函数的性质，即可求解函数的单调递增区间，得到答案. 【详解】由函数3cos 2cos2sin cos cos cos 2cos sin 2sin cos(2)510555y x x x x x x πππππ=-=-=+， 令222,5k x k k Z ππππ-+≤+≤∈，整理得3,510k x k k Z ππππ-+≤≤-+∈， 所以函数的单调递增区间为3[,],510k k k Z ππππ-+-+∈，故选C.【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的化简，以及三角函数的性质的应用，其中解答中根据三角恒等变换的公式，化简得到函数的解析式，再利用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.12．D解析：D 【分析】这是一个复合函数的问题，通过换元()t f x = ，可知新元的范围，然后分离参数，转为求函数的最大值问题，进而计算可得结果. 【详解】由题可知当[]0,1x ∈时，有[]()11,2f x x =+∈， 当4](1,x ∈时，0sin14xπ≤≤，即111()sin,12422x f x π⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦ 所以当[]0,4x ∈时，1,22()f x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，令()t f x =，则1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，从而问题转化为不等式220t at -+<在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，即222t a t t t+>=+在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，由2y t t =+ ，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设1212t t <<<()()()1212121212122220t t f t f t t t t t t t t t --=-+-=->， 所以2y t t =+在12t ⎡∈⎢⎣是单调递减函数，122t t <<<，()()()1212121212122220t t f t f t t t t t t t t t --=-+-=-<， 所以2y t t=+在2t ⎤∈⎦是单调递增函数， 在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上先减后增，而2t t +在12t =时有最大值为92，所以92a >. 【点睛】本题考查含参数的恒成立问题，运用到分离参数法求参数范围，还结合双勾函数的单调性求出最值， 同时考查学生的综合分析能力和数据处理能力.二、填空题13．【分析】由最值求得由周期求得由最高点的坐标求得【详解】由题意所以又所以所以故答案为：【点睛】方法点睛：由函数图象确定三角函数的解析式主要参考正弦函数图象中五点法由最大值和最小值确定由周期确定利用点的解析：2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．【分析】由最值求得A ，由周期求得ω，由最高点的坐标求得ϕ． 【详解】由题意2A =，4312T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，所以22πωπ==，2sin 2212πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，2,62k k Z ππϕπ+=+∈，又2πϕ<，所以3πϕ=．所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． 故答案为：2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 【点睛】方法点睛：由函数图象确定三角函数的解析式，主要参考正弦函数图象中“五点法”，由最大值和最小值确定A ，由周期确定ω，利用点的坐标确定ϕ，这样可得出表达式()sin()f x A x ωϕ=+．14．（1）（2）（4）【分析】根据正弦型函数周期公式正弦型函数对称中心坐标正弦型函数对称轴等知识逐项验证即可求得答案【详解】对于（1）根据正弦型函数周期公式：可得：函数最小正周期为：故（1）正确；对于（解析：（1）（2）（4） 【分析】根据正弦型函数周期公式，正弦型函数对称中心坐标，正弦型函数对称轴等知识，逐项验证，即可求得答案． 【详解】对于（1），根据正弦型函数周期公式：2T ωπ=可得：函数3()2sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭最小正周期为：2233T ππ==，故（1）正确； 对于（2），根据正弦函数sin ()y x x R =∈的图象的对称中心为(0),k π 正弦型函数3()2sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭∴令334,k Z x k ππ=∈-，解得4,3k k Z x ππ=+∈∴其对称中心坐标为(,0),34k k Z ππ+∈ 当0k =时，对称中心坐标为(,0)4π，故（2）正确；对于（3），将2sin3y x =的图象向右平移34π个单位长度 可得：392sin 32sin 344y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭92sin 322sin 344x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴将2sin3y x =的图象向右平移34π个单位长度不能得到图象C ，故（3）错误； 对于（4），根据正弦函数sin ()y x x R =∈的图象的对称轴方程为,2x k k Z ππ=+∈，正弦型函数3()2sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭∴令,2334Z x k k πππ=+∈-，解得51,32k k x Z ππ=+∈ 当2k =-时，512342x πππ=+=--， ∴3()2sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭一条对称轴4πx =-，故（4）正确；故答案为：（1）（2）（4）． 【点睛】本题解题关键是掌握整体法求正弦函数图象的对称中心和对称轴的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．15．(k ∈Z)【分析】解不等式2cosx －1≥0即得函数的定义域【详解】∵2cosx －1≥0∴cosx≥由三角函数线画出x 满足条件的终边的范围(如图阴影所示)∴x ∈(k ∈Z)故答案为(k ∈Z)【点睛】（解析： (k ∈Z)【分析】解不等式2cos x －1≥0即得函数的定义域. 【详解】∵2cos x －1≥0，∴cos x≥.由三角函数线画出x 满足条件的终边的范围(如图阴影所示)．∴x ∈ (k ∈Z)． 故答案为 (k ∈Z)【点睛】（1）本题主要考查三角函数线和解三角不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)三角函数线是解三角不等式较好的工具，要理解掌握并灵活运用.16．6【分析】根据题意可求得然后利用正弦定理求得最后在中利用求得答案【详解】在中由正弦定理得；在中（米）所以升旗速度（米/秒）故答案为06【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用此类问题的解决关键是建立解析：6 【分析】根据题意可求得，45BDC ∠=︒，30CBD ∠=︒，106CD =BC ，最后在Rt ABC 中利用sin60AB BC =︒求得答案． 【详解】在BCD 中，45BDC ∠=︒，30CBD ∠=︒，106CD = 由正弦定理，得sin 45203sin 30CD BC ︒==︒在Rt ABC 中，3sin?60330AB BC =︒==（米）． 所以升旗速度300.650t AB v ===（米/秒）． 故答案为0.6. 【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用．此类问题的解决关键是建立数学模型，把实际问题转化成数学问题，利用所学知识解决，属于中档题.17．【分析】先根据题意计算出的范围再根据函数的单调性结合值域列出不等式即可求得【详解】因为且故可得因为在区间单调递减在单调递增且故要满足题意只需解得故答案为：【点睛】本题考查由余弦型函数在区间上的值域求解析：3342⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【分析】先根据题意计算出4wx π+的范围，再根据函数的单调性，结合值域，列出不等式，即可求得. 【详解】因为[]0,x π∈，且0w >， 故可得1,444wx w πππ⎡⎤⎛⎫+∈+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 因为y cosx =在区间,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，在7,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，且7coscos44ππ==，1cos π=-， 故要满足题意，只需1744w πππ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭ 解得33,42w ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故答案为：3342⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.【点睛】本题考查由余弦型函数在区间上的值域，求参数范围的问题，属中档题.18．①③【分析】根据三角函数的奇偶性对称中心对称轴和最值对四个命题逐一分析由此确定正确命题的序号【详解】①为奇函数所以①正确②由于所以②错误③由于所以③正确④由于的最大值为所以④错误故答案为：①③【点睛解析：①③ 【分析】根据三角函数的奇偶性、对称中心、对称轴和最值对四个命题逐一分析，由此确定正确命题的序号. 【详解】①，22cos sin 323y x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭为奇函数，所以①正确.②，由于sin 2sin 11232πππ⎛⎫⨯+== ⎪⎝⎭，所以②错误. ③，由于53sin 2sin 1842πππ⎛⎫⨯+==- ⎪⎝⎭，所以③正确.④4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭32<，所以④错误. 故答案为：①③ 【点睛】本小题主要考查三角函数的奇偶性、对称性、最值以及诱导公式，属于中档题.19．【分析】和的图象都关于对称所以①②由①②结合即可得到答案【详解】由题意因为和的图象都关于对称所以①②由①②得又所以将代入①得注意到所以所以故答案为：【点睛】本题考查正弦型函数的性质涉及到函数图象的平解析：34π-【分析】()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，所以11,42k k Z ππωθπ+=+∈①，22,432k k Z πππωωθπ-+=+∈②，由①②结合06,22ππωθ<<-<<即可得到答案.【详解】由题意，()()sin()33g x f x x ππωωθ=-=-+，因为()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对 称，所以11,42k k Z ππωθπ+=+∈①，22,432k k Z πππωωθπ-+=+∈②，由①②，得12123(),,k k k k Z ω=-∈，又06ω<<，所以3ω=，将3ω=代入①，得11,4k k Z πθπ=-∈，注意到22ππθ-<<，所以4πθ=-，所以34ωθπ⋅=-.故答案为：34π- 【点睛】本题考查正弦型函数的性质，涉及到函数图象的平移、函数的对称性，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.20．【分析】根据题意分析可得有即函数是周期为6的周期函数进而可得结合函数的奇偶性分析可得答案【详解】根据题意函数满足则有则函数是周期为6的周期函数则又由为偶函数则故；故答案为：【点睛】本题主要考查函数的 解析：2019-【分析】根据题意，分析可得有()()()63f x f x f x +=-+=，即函数()f x 是周期为6的周期函数，进而可得()()()2020202222f f f =-=-，结合函数的奇偶性分析可得答案． 【详解】根据题意，函数()f x 满足()()3f x f x +=-， 则有()()()63f x f x f x +=-+=， 则函数()f x 是周期为6的周期函数， 则()()()2020202222f f f =-=-，又由()f x 为偶函数，则()()()2212019f f f -==--=-， 故()20202019f =-； 故答案为：2019-． 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与周期性的应用，注意分析函数的周期性，属于中档题．三、解答题21．（1）T π=；（2）5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）()2+∞. 【分析】（1）化简函数()214f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，结合三角函数的图象与性质，即可求解；（2）由正弦函数的单调性可得答案；（3）化简()2g x x =，根据,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求得()g x ，再根据题意，得到2a ->，即可求解．【详解】（1）由题意，函数()sin 2cos21214f x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，可得其最小正周期是22T ππ==. （2）由3222,242k x k k Z πππππ+≤+≤+∈得 5,88k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 又∵[]0,x π∈，∴5,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故单减区间为5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（3）由()122844g x f x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得22,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则1cos 2,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()2g x x ⎡=∈⎢⎣，若()2g x a <-对于,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，则()max 2a g x ->所以2a >+，即求实数a 的取值范围()2+∞. 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，以及三角函数的图象与性质综合应用，其中解答中利用三角恒等变换的公式，求得函数的解析式，结合三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．22．（1）答案见解析； （2）答案见解析；（3）72π3π ,3π，. 【分析】（1）令26x π+分别等于0，2π，π，32π，2π，求出对应的坐标，再描点作图即可作出函数sin()y A x ωϕ=+在一个周期上的简图．（2）将函数sin y x =的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，再将得到的图象向左平移6π得，然后将得到的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的12倍即可． （3）由03()2f x =，可得0,x k k Z π=∈或03,x k k Z ππ=+∈，结合0[2π3π]x ∈，即可得答案. 【详解】 （1）列表：（2）将函数sin y x =的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍得到3sin y x =，再将得到的图象向左平移6π得到3sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将得到的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的12倍得到，3sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； （3）因为03()2f x =，所以00313sin 2sin 26262x x ππ⎛⎫⎛⎫+=⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，022,66x k k Z πππ+=+∈或0522,66x k k Z πππ+=+∈， 即0,x k k Z π=∈或03,x k k Z ππ=+∈，又因为0[2π3π]x ∈，， 所以0x 的值为72π3π ,3π，. 【点睛】方法点睛：三角函数图象变换步骤：sin y x =先向左(0ϕ>)或向右(0ϕ<)平移ϕ个单位长度，得到函数sin()y x ϕ=+的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来A (横坐标不变)，这时的曲线就是()y Asin x ωϕ=+的图象．23．3k ≤【分析】先根据题意得tan 203k x π⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，进而得πtan 23k x ⎛⎫≤-- ⎪⎝⎭在ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，在求函数πtan 23y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭最小值即可得答案.【详解】解：根据题意得tan 203k x π⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭在ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，∴πtan 23k x ⎛⎫≤-- ⎪⎝⎭在ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立． ∵ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴ π20,33x π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，∴π0tan 23x ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭πtan 203x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，∴min πtan 23x k ⎡⎤⎛⎫--≥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴k ≤ 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)； ③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立.24．（1）()2sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）单调递增区间为0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递减区间为,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()f x值域为⎡⎤⎣⎦. 【分析】（1）利用最高点与最低点坐标可求出A 和周期T ，由2T πω=可求得ω的值，再将点,28M π⎛⎫⎪⎝⎭代入即可求得ϕ的值，进而可得函数()f x 的解析式； （2）解不等式222242k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，可得()f x 的单调的增区间，再与0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦求交集即可得()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调区间，利用单调性求出最值即得值域. 【详解】（1）因为()f x 图象上相邻两个最高点和最低点分别为,28π⎛⎫ ⎪⎝⎭，5,28π⎛⎫-⎪⎝⎭所以2A =，52882T πππ=-=，则T π=，又2||T πω=，0>ω，所以2ω=，()2sin(2)f x x ϕ=+， 又图象过点,28π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以22sin 28πϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，即sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以242k ππϕπ+=+，k Z ∈，即24k πϕπ=+，k Z ∈.又||2ϕπ<，所以4πϕ=，所以()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （2）由222242k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，得388k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈， 所以()f x 的单调递增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， 又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 的单调递增区间为0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 同理()f x 的单调递减区间为,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.又(0)2sin 4f π==28f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭所以当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 值域为⎡⎤⎣⎦. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由五点法作图的特点得出相邻两个最高点和最低点横坐标之差的绝对值为半个周期，纵坐标为振幅，利用峰点或谷点坐标求ϕ，利用整体代入法求()f x 的单调区间，利用单调性求最值. 25．（1）12T =，0.5cos 16y t π=+；（2）从上午7时至晚上19时之间，共8个小时向冲浪爱好者开放. 【分析】（1）根据表格中数据规律确定T ，由2Tπω=，y 的最大值和最小值可确定,A b ，由此可得函数表达式；（2）利用余弦函数值域可求得t 的范围，进而确定所要求的时间段内的结果. 【详解】（1）由表中数据可知：18612T =-=，26T ωππ∴==， 1.50.50.52A -==， 1.50.512b +==，0.5cos 16y t π∴=+.（2）由（1）可得：0.5cos 10.756t π+≥，cos0.56t π∴≥-，即()2222363k t k k Z πππππ-≤≤+∈，解得：()124124k t k k Z -≤≤+∈， ∴从上午7时至晚上19时之间，当[]8,16t ∈时，可对冲浪爱好者开放，即从上午7时至晚上19时之间，共8个小时向冲浪爱好者开放. 【点睛】方法点睛：根据余弦型函数()cos y A x ωϕ=+的值域求解定义域的问题，采用整体对应的方式，将x ωϕ+整体对应余弦函数中的x 的范围，解不等式求得所求的定义域.26．若选①（1）T π=；（2）最小值2-1；若选②（1）2T π=，（2，最小值1--. 【分析】（1）结合所选选项，然后结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合周期公式可求；（2）由已知角x 的范围，然后结合正弦函数的性质即可求解. 【详解】解：选①，（1）因为()()cos 2sin cos sin 4f x x x x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭， 22sin cos 2sin sin 2cos 21x x x x x =-=+-214x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，故函数的周期T π=； （2）因为,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦， 当244x ππ+=-即4πx =-时，函数取得最小值2-，当242x ππ+=即8x π=时，函数取得1，选②，（1）()2sin 24x f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭1cos 2x x π⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，)2sin sin x x =-，故函数的一个周期2T π=，（2）由,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦可得sin x ⎡∈⎢⎣⎦，1sin 2x =时即6x π=时，函数取得最大值4，当sin x =时即4πx =-时，函数取得最小值12--. 【点睛】此题考查二倍角公式及辅助角公式的应用，考查正弦函数性质的应用，考查计算能力，属于中档题。
北师大版高中数学必修4第一章《单位圆与诱导公式》课件
课堂练习
16
课堂小结
（1）利用单位圆的对称性推导诱导公式 ; （数形结合思想） （2）熟记诱导公式; （3）诱导公式的应用:
题型：求值、化简、证明; 要领：把任意角的正弦函数、余弦函数值转化锐角 的正弦函数、余弦函数值.
17
课后练习
18
0到π/2的角的三角函数
负化正，大化小，最终都要变锐角
10
例题讲授
11
例题讲授
12
例题讲授
13
例题讲授
14
例题点评
利用公式可把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，一 般可按下列步骤进行： “负化正，大化小，最终都要变锐角” 注意：这仅仅是一种转化模式或求解思路，不要死记这个步 骤，在实际解题中只要灵活地应用公式求解，先用哪个公式， 后用哪个公式是没有什么固定要求的，完全是可以变换公式 顺序来求解.
y
公式（2）
P(u,v)
o
x
P'(u,-v)
4
新知探究
2.角 与
的正弦函数、余弦函数关系
sin( π) v
y
cos( π) u
π
o
P'(-u,-v)
P(u,v)
x
公式（3）
5
新知探究
3.角 与 公式（4）
的正弦函数、余弦函数关系
y
P'(-u, v) π
o
P(u,v)
x
6
新知探究
4.角 与 公式（5）
的正弦函数、余弦函数关系
? P'
y
π
2
o
P(u,v) x
7
思考交流
8
抽象概括
高中数学必修四 第一章三角函数 1.4.2.1 周期函数
7 2
-4
, 即������
7 2
= ������
-
1 2
.
又当 x∈(-1,0)时,f(x)=2x+1,
∴������
7 2
= ������
-
1 2
=2×
-
1 2
+ 1 = 0.
题型一 题型二 题型三 题型四
反思1.解答此类题目的关键是利用化归的思想,借助周期函数的 定义把待求问题转化到已知区间上,代入求值即可.
π 6
+ 2π = 2(������ + π) − π6,
∴f(x+π)=sin
2(������
+
π)-
π 6
=sin
2������-
π 6
+
2π
= sin
2������-
π 6
= ������(������).
∴T=π.
本节结束，谢谢大家！
题型一 题型二 题型三 题型四
题型二 求三角函数的周期
【例 2】 求下列函数的周期:
(1)f(x)=sin
1 4
������
+
π 3
(������∈R);
(2)y=|sin x|(x∈R).
分析:对于(1),可结合周期函数的定义求解;对于(2),可通过画函
数图象求周期.
题型一 题型二 题型三 题型四
(2)函数 y=sin
������������
+
π 4
(������
>
0)的周期是
2π 3
,
则������
=
_____.
2021秋新版高中数学北师大版必修4习题：第一章三角函数 1.5.2 Word版含解析
5.2 正弦函数的性质课时过关·能力提升1.函数y=(sin x-3)2-2(x ∈R )的最大值和最小值分别是( ) 和-2和-2和2和0解析:当sin x=-1时,y 取最大值14;当sin x=1时,y 取最小值2. 答案:C2.直线y =12与函数y =sin x,x ∈[0,2π]的图像的交点坐标是( ) A .(π6,12)B.(π3,12)C .(π6,12),(5π6,12)D.(π3,12),(2π3,12) 解析:由sin x =12,x ∈[0,2π],得x =π6或x =5π6. 答案:C3.sin 1°,sin 1,sin π°的大小顺序是( ) A .sin 1°<sin 1<sin π° B .sin 1°<sin π°<sin 1 C .sin π°<sin 1°<sin 1 D .sin 1<sin 1°<sin π°答案:B4.设a>0,对于函数f (x )=sinx+asinx (0<x <π),下列结论正确的是( ) A .有最大值而无最小值 B .有最小值而无最大值 C .有最大值且有最小值D .既无最大值又无最小值解析:因为0<x<π,所以0<sin x ≤1,1sinx ≥1,所以函数f (x )=sinx+asinx =1+asinx 有最小值而无最大值,应选B . 答案:B5.函数f (x )=√sinx -1的奇偶性是( ) A .奇函数 B .偶函数C .既是奇函数又是偶函数D .既不是奇函数也不是偶函数解析:因为sin x-1≥0,所以sin x=1,解得x=2kπ+π2,k∈Z.函数的定义域不关于原点对称,故该函数既不是奇函数也不是偶函数.答案:D6.α,β∈(0,π2),且cos α>sin β,则α+β与π2的大小关系是()A.α+β>π2B.α+β<π2C.α+β≥π2D.α+β≤π2解析:由诱导公式得cos α=si n(π2-α).因为0<α<π2,所以0<π2−α<π2.又0<β<π2,cos α=si n(π2-α)>sin β,且正弦函数y=sin x在(0,π2)上是增加的,所以π2−α>β,即α+β<π2.答案:B7.f(x)=ax+b sin3x+1(a,b为常数),且f(5)=7,那么f(-5)=. 解析:令g(x)=ax+b sin3x,那么g(x)为奇函数.∴f(x)=g(x)+1.∵f(5)=g(5)+1=7,∴g(5)=6.∴f(-5)=g(-5)+1=-g(5)+1=-6+1=-5.答案:-58.对于函数f(x)=x sin x,给出以下三个命题:①f(x)是偶函数;②f(x)是周期函数;③f(x)在区间[0,π2]上的最大值为π2.其中正确的命题是(写出所有正确命题的序号).解析:∵f(x)的定义域为R,且f(-x)=-x sin(-x)=x sin x=f(x),∴f(x)是偶函数,故①正确;虽然函数y=sin x是周期函数,但f(x)=x·sin x不具有周期性,故②错误;∵f(x)在区间[0,π2]上是增加的,∴f(x)在π2处取得最大值,最大值为π2·si nπ2=π2,故③正确.答案:①③9.假设f(x)=x2+bx+c对任意的x∈R,都有f(1+x)=f(1-x),那么f(sin 1)与f(si n√2)的大小关系是.解析:由f(1+x)=f(1-x),可知f(x)=x2+bx+c的对称轴是直线x=1,那么函数f(x)在x∈(-∞,1]上是减少的.∵0<1<√2<π2,由正弦函数的性质,知y=sin x在[0,π2]上是增加的,即0<sin 1<sin√2<1,∴f (sin 1)>f (sin √2). 答案:f (sin 1)>f (sin √2)10.求函数y =√-sinx 的递减区间.解令u=-sin x ,∵y =√u 在[0,+∞)上是增加的,且u ≥0,∴sin x ≤0,即x ∈[2k π-π,2k π](k ∈Z ).故y =√-sinx 的递减区间为[2kπ-π2,2kπ](k ∈Z ). 11.函数f (x )=|sin x-a|,a ∈R . (1)试讨论函数f (x )的奇偶性;(2)求当f (x )取得最大值时,自变量x 的取值范围. 解(1)当a=0时,f (x )是偶函数;当a ≠0时,f (x )是非奇非偶函数.(2)当a>0,且sin x=-1时,f (x )取得最大值,这时x 的取值范围为{x |x =2kπ-π2,k ∈Z}; 当a<0,且sin x=1时,f (x )取得最大值,这时x 的取值范围为{x |x =2kπ+π2,k ∈Z}; 当a=0,且sin x=±1时,f (x )取得最大值,这时x 的取值范围为{x |x =kπ+π2,k ∈Z}. ★12.假设函数y=-sin 2x+a sin x −a2−12的最大值为1,求a 的值. 解令t=sin x ,那么-1≤t ≤1.∴y=−(t -a 2)2+a 24−12a −12,t ∈[-1,1].(1)当a2<−1,即a<-2,t=-1时,y max =−32a −32=1,得a=−53(不符合题意,舍去).(2)当-1≤a2≤1,即-2≤a ≤2,t =a2时,y max =a 24−a2−12=1,解得a=1−√7或a=1+√7(不符合题意,舍去). (3)当a2>1,即a>2,t=1时,y max =a2−32=1,解得a=5. 综上所述,a=1−√7或a=5.。
「精品」高中数学第一章三角函数1.3蝗制自主训练北师大版必修4
1.3 弧度制自主广场我夯基 我达标1．下列命题中，错误的是（ ）A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.一度的角是周角的3601，一弧度的角是周角的π21 C.根据弧度的定义，180°等于π弧度D.不论用角度制还是用弧度制度量角，它们与圆的半径长短有关 思路解析：由角和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与半径的长短无关，只与弧长与半径的比值有关. 答案：D2．α是第三象限的角，则π+α是（ ）A.第一象限的角B.第二象限的角C.第三象限的角D.第四象限的角思路解析：结合图形，π+α可以看成将α按顺时针旋转π得到的，则π+α是第一象限的角. 答案：A3.如果一扇形的圆心角为72°，半径等于20 cm ，则扇形的面积为（ ）A.40π cm 2B.80π cm 2C.40 cm 2D.80 cm 2思路解析：先把角度化为弧度，然后利用弧度制下的扇形面积公式即可解出.72°=52π,S=21|α|r 2=21×52π×202=80π cm 2. 答案：B4．若扇形的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，则扇形圆心角的弧度数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4思路解析：设扇形的半径为Ｒ，弧长为l ，由已知条件可知⎪⎩⎪⎨⎧=+=,42,121l R lR 解得⎩⎨⎧==.1,2R l 所以扇形的圆心角度数为r1=2. 答案：B5．若α、β满足-2π＜α＜β＜2π，则α-2β的取值范围是____________________. 思路解析：由题意,得-2π＜α＜2π，-π＜-2β＜π，∴-23π＜α-2β＜23π. 答案：(-23π,23π) 6.1弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长及扇形的面积.思路分析：解决此问题的关键是求圆的直径.图1-3-5解：如图所示，作OC⊥AB 于C ，则C 为AB 的中点，且AC=1，∠AOC=21，∴r=OA=AOCAC ∠sin =21sin 1.则弧长l=|α|·r=21sin 1，面积S=21lr=21sin 212.我综合 我发展7.在直径为10 cm 的轮子上有一长为6cm 的弦，P 为弦的中点，轮子以每秒５弧度的角速度旋转，求经过５秒钟后，点P 转过的弧长.思路分析：P 点在一新圆上，所以要求点P 转过的弧长，需先求新圆的半径.解：P 到圆心O 的距离PO=2235-=4（cm ），即点P 所在新圆的半径为4，又点P 转过的角的弧度数α=5×5=25，所以弧长为α·OP=25×4=100（cm ）.即点P 转过的弧长为100 cm. 8.如图1-3-6,动点P 、Q 从点(4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转3π弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转6π弧度，求P 、Q 第一次相遇时所用的时间，相遇点的坐标及P 、Q 点各自走过的弧长.图1-3-6思路分析：利用方程思想，结合题意，求出第一次相遇的时间；利用解直角三角形的知识，根据点所处位置，确定相遇点坐标；（3）利用弧长公式求弧长.解：设P 、Q 第一次相遇时所用的时间是t ，则t·3π+t·|-6π|=2π，所以t=4（秒），即第一次相遇的时间为4秒，设第一次相遇点为C ，则第一次相遇时已运动到终边在3π·4=34π的位置，则x C =-cos 3π·4=-2,y C =-sin 3π·4=-32，所以C 点的坐标为(-2,- 32)，P点走过的弧长为34π·4=316π；Q 点走过的弧长为32π·4=38π.9.将钟表上的时针作为角的始边，分针作为终边，那么当钟表上显示8点5分时，时针与分针构成的角度是_____________.思路解析：本题应从任意角的概念出发，研究时针与分针所构成的角α，其中有正角、负角，共有无穷多个角.要求这无穷多个角，可先求出在-360°—0°范围内的角∠AOB.∠AOB ＝-(121×360°×1211+90°+121×360°)=-147.5°,所以角α可表示为α＝k·360°-147.5°（k∈Z ）答案：k·360°-147.5°（k∈Z ）10.如图1-3-7，已知一长为3dm ，宽为1 dm 的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第四面时被一小木板挡住，且木块底面与桌面成角为6π，求点A 走过的路程及走过的弧所在扇形的总面积.图1-3-7思路分析：A 点首先以B 为圆心，以2为半径旋转2π达到A 1的位置；再以C 为圆心，以1为半径旋转2π到A 2的位置；然后以A 2为圆心旋转2π，最后以D 为圆心，以3为半径转过3π到达A 3，A 点走过的路程将包括三段弧，将这三段弧长及三个扇形面积分别相加即可.解：由题意得所对的圆的半径为2，圆心角为2π，则弧长l 1=2×2π=π，扇形面积S 1=21×2π×22=π.所对的圆半径是1，圆心角是2π，则弧长l 2=1×2π=2π，扇形面积S 2=21×2π×12=4π.所对的圆半径为3，圆心角为3π，则弧长l 3=3×3π=33π，扇形面积S 3=21×3π×(3)2=2π.则所走过路程是三段圆弧之和，即π+2π+33π=dm π6329+，三段弧所在扇形的总面积是π+4π+2π=47πdm 2. 11.一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2 km ，一列火车用每小时30 km 的速度通过，10 s 间转过几度？思路分析：利用速度和时间求出路程，即得圆弧的弧长，再由弧长公式可得圆心角的度数.因为火车前进的方向未知，所以将圆心角的大小加上绝对值. 解：因为圆弧半径为2 km=2 000 m ，v k =30 km/h=325m/s ，10 s 走过的弧长为3250m ， ∴|α|=r 1=24120003250=⨯rad≈2.39°,即10秒间转过约2.39°.。
陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《三角函数》8函数的图像(1)导学案 北师大版必修4
陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《三角函数》8函数的图像（1）导学案 北师大版必修4【学习目标】1. 了解)sin(ϕω+=x A y 的实际意义.2. 通过作函数)sin(ϕω+=x A y 的图像，理解参数ϕω,,A 对函数图像变化的影响.3. 会用“五点法”画函数)sin(ϕω+=x A y 的图像.【重点难点】重点：ϕω,,A 对函数)sin(ϕω+=x A y 图像的影响.难点：)sin(ϕω+=x A y 的图像与函数x y sin =的图像间的关系.【使用说明】通过数形结合和由特殊到一般的思想方法，理解参数ϕω,,A 对函数)sin(ϕω+=x A y 图像的影响，然后总结)sin(ϕω+=x A y 的图像与x y sin =的图像间的关系.【自主学习】1. 作函数x y sin 2=和x y sin 21=的简图，并说明它们与函数x y sin =的关系.思考：将x y sin =的图像作怎样的变换就可以得到函数x A y sin =)0(>A 的图像？2. 画出函数)4sin(π+=x y 和)6sin(π-=x y 的简图，并说明它们与函数x y sin =的关系.思考：将x y sin =的图像作怎样的变换就可以得到函数x y ωsin =)0(>ω的图像？4. 函数)sin(ϕω+=x A y ，R x A ∈>>,0,0ω的振幅为_______，周期=T _______， 频率=f __________，初相为________.【合作探究】1.阅读课本第49—51页，说明如何由x y sin =的图像变换得到1)62sin(3++=πx y的图像.思考：如何由x y sin =的图像变换到b x A y ++=)sin(ϕω)0,0(>>ωA 的图像？ 方法一： x y sin = x y ωsin = )sin(ϕω+=x y)sin(ϕω+=x A y b x A y ++=)sin(ϕω 方法二： x y sin = )sin(ϕ+=x y )sin(ϕω+=x y )sin(ϕω+=x A y b x A y ++=)sin(ϕω2. 利用“五点法”作出函数1)62sin(3++=πx y 在一个周期内的简图.【课堂检测】1.为了得到函数)321sin(π-=x y 的图像，只需将x y 21sin =的图像上每一点（ ） A.横坐标向左平移3π个单位长度 B.横坐标向右平移3π个单位长度 C.横坐标向左平移32π个单位长度 D.横坐标向右平移32π个单位长度 2.将函数)542cos(π+=x y 的图像上各点向右平行移动2π个单位长度，再把横坐标缩 短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图像的函数解析式为______________________.3. 已知函数)34sin(8)(π+=x x f ，求函数)(x f 的周期、振幅、相位与初相.【课堂小结】。
高中数学第一章三角函数1.8函数y=Asin(wx+φ)的图像与性质(1)课件2北师大版必修4
3.会对函数y＝sinx进行振幅变换、周期变换和相
位变换.(重点)
4.会利用振幅变换、周期变换和相位变换的方法作
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像(tú xiànɡ).(难
点)
第五页，共41页。
探究点1 A对三角函数图像(tú xiànɡ)的影响
例1 作函数
和
的简图，并
说明(shuōmíng)它们与函数y=sinx的关系.
（2）画图 (huà tú) 1 y
y sin(x ) 6
2
O
1
y sin(x π ) 4
比较这两个(liǎnɡ ɡè)函数与函数 y=sinx的图象的形状 和位置，你有什么发
现？
x
第十六页，共41页。
（3）确定 (quèdìng)周期
第十七页，共41页。
（4）讨论(tǎolùn)性质
第三十五页，共41页。
第三十六页，共41页。
第三十七页，共41页。
第三十八页，共41页。
【特别(tèbié)提醒】
第三十九页，共41页。
回顾(huígù)本节课 的收获
的图像
振幅A对函数 (hánshù)y=Asin ( x+ )图像的 影响
参数对函数
y=Asin(x+)图
像的影响
参数 对函数 (hánshù)y=Asi n( x+ )图像
解:（1）列表(liè
biǎo)x.
0
0
0
0
0
0
0
0
0
第六页，共41页。
（2）画图 (huày tú)
O
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
比较这两个函数 (hánshù)与函数 (hánshù)y=sinx的图 像的形状和位置，你 有什么发现？
【配套K12】新版高中数学北师大版必修4习题：第一章三角函数 1.7.1-1.7.2
§7正切函数7.1正切函数的定义7.2正切函数的图像与性质课时过关·能力提升1.已知角α终边上一点P(2,m),且tan α=则的值为A.3B.-3C.-6D.5解析:∵x=2,y=m,∴tan α答案:B2.已知cos θtan θ<0,则角θ是()A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角解析:∵cos θtan θ<0,∴cos θ,tan θ异号.故选C.答案:C则·f(-2)=()3.若f(x+2)-A.-1B.1C.2D.-2解析:故·f(-2)=2.答案:C4.在区间-内函数与函数的图像交点的个数为A.1B.2C.3D.4解析:在同一直角坐标系中,首先作出y=sin x与y=tan x在-内的图像,需明确x∈时,有sin x<tan x(利用单位圆中的正弦线、正切线即可证明),然后利用对称性作x∈-的两函数的图像,由图像可知它们共有3个交点,故选C.答案:C5.函数y的值域是A.{1,-1}B.{-1,0,1}C.{-1,3}D.{1,3}解析:根据角的终边所在的象限分四种情况进行分析:当角的终边在第一象限时,原式=3;当角的终边在第二象限时,原式=-1;当角的终边在第三象限时,原式=-1;当角的终边在第四象限时,原式=-1.故该函数的值域为{-1,3}.答案:C6.已知sin α则解析:∵tan α答案:7.函数y=tan x,x∈的值域是解析:作出y=tan x的图像(图略),结合图像求解.答案:(-∞,-1]∪[1,+∞)8.若1≤tan x则的取值范围是答案:∈Z)9.若x∈-求函数的最值及相应的的值解令t=tan x,∵x∈-∴t∈[∴当t=-1,即x=时,y min=1;当t=1,即x时,y max=5.10.作出y=|tan x|的图像,并指明其周期和单调区间.解y=|tan x|的图像即先把y=tan x的图像保留x轴和x轴上方的部分,再把图像在x轴下方的部分对称到x轴上方去(图像略).结合图像知,y=|tan x|的周期为π,递减区间是-∈Z),递增区间是∈Z).11.判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=tan -(2)f(x)=l-解(1)因为函数的定义域-不关于原点对称,所以该函数是非奇非偶函数.得tan x>1或tan x<-1.(2)由-故该函数的定义域为--∈Z).因为y=tan x是奇函数,所以tan x=-tan(-x),又f(-x)+f(x)=l----=l--=0,所以f(-x)=-f(x).所以f(x)为奇函数.★12.已知函数f(x)的定义域为[0,1],求f(1的定义域解∵f(x)的定义域为[0,1],∴0≤1x≤1 ∴0≤tan x≤∴kπ≤x≤kπ∈Z),即所求函数的定义域为∈Z).。
高中数学 第一章 三角函数综合检测 北师大版必修4
第一章 三角函数(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f (x )＝3sin(x 2－π4)，x ∈R 的最小正周期为( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π【解析】 T ＝2πω＝2π12＝4π.【答案】 D2．化简sin(9π－α)＋cos(－9π2－α)＝( )A ．2sin αB ．2cos αC ．sin α＋cos αD ．0【解析】 sin(9π－α)＋cos(－9π2－α)＝sin(π－α)＋cos(π2＋α)＝sin α－sin α＝0.【答案】 D3．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)图像的相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f (π4)的值是( )A ．0B ．1C ．－1D.π4 【解析】 由题意知截得线段长为一周期，∴T ＝π4，∴ω＝ππ4＝4，∴f (π4)＝tan (4×π4)＝0.【答案】 A4．已知角α的终边上一点的坐标为(sin 2π3，cos 2π3)，则角α的最小正值为( )A.5π6B.2π3C.5π3D.11π6【解析】 ∵sin 2π3>0，cos 2π3<0，∴点(sin 2π3，cos 2π3)在第四象限．又∵tan α＝cos2π3sin2π3＝－33，∴α的最小正值为2π－16π＝116π.【答案】 D5．要得到函数y ＝sin(4x －π3)的图像，只需把函数y ＝sin 4x 的图像( ) A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向右平移π12个单位长度【解析】 由于y ＝sin(4x －π3)＝sin[4(x －π12)]，所以只需把y ＝sin 4x 的图像向右平移π12个单位长度，故选D.【答案】 D6．设函数f (x )＝sin(2x ＋π3)，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )的图像关于直线x ＝π3对称 B ．f (x )的图像关于点(π4，0)对称C ．把f (x )的图像向左平移π12个单位长度，得到一个偶函数的图像D ．f (x )的最小正周期为π，且在[0，π6]上为增函数【解析】 f (π3)＝sin(2×π3＋π3)＝sin π＝0，故A 错；f (π4)＝sin(2×π4＋π3)＝sin(π2＋π3)＝cos π3＝12≠0，故B 错；把f (x )的图像向左平移π12个单位长度，得到y ＝cos 2x 的图像，故C 正确．【答案】 C7．(2012·福建高考)函数f (x )＝sin(x －π4)的图像的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2【解析】 法一 ∵正弦函数图像的对称轴过图像的最高点或最低点， 故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4，k ∈Z .取k ＝－1，则x ＝－π4.法二 x ＝π4时，y ＝sin(π4－π4)＝0，不合题意，排除A ；x ＝π2时，y ＝sin(π2－π4)＝22，不合题意，排除B ；x ＝－π4时，y ＝sin(－π4－π4)＝－1，符合题意，C 项正确；而x ＝－π2时，y ＝sin(－π2－π4)＝－22，不合题意，故D 项也不正确． 【答案】 C8．(2013·西安高一检测)下列函数中，以π为周期且在区间(0，π2)上为增函数的函数是( )A ．y ＝sin x2B ．y ＝sin xC ．y ＝－tan xD ．y ＝－cos 2x【解析】 C 、D 中周期为π，A 、B 不满足T ＝π. 又y ＝－tan x 在(0，π2)为减函数，C 错．y ＝－cos 2x 在(0，π2)为增函数．∴y ＝－cos 2x 满足条件． 【答案】 D9．已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9【解析】 T ＝6，则5T4≤t ，如图：∴t ≥152，∴t min ＝8.故选C. 【答案】 C10．(2012·天津高考)将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图像向右平移π4个单位长度，所得图像经过点(3π4，0)，则ω的最小值是( )A.13 B ．1 C.53D ．2【解析】 根据题意平移后函数的解析式为y ＝sin ω(x －π4)，将(3π4，0)代入得sinωπ2＝0，则ω＝2k ，k ∈Z ，且ω>0，故ω的最小值为2. 【答案】 D二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上) 11．已知圆的半径是6 cm ，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形的面积是________cm 2. 【解析】 15°＝π12，∴扇形的面积为S ＝12r 2·α＝12×62×π12＝3π2.【答案】3π212．sin(－120°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)sin(－1 050°)＝________. 【解析】 原式＝－sin(180°－60°)·cos(3·360°＋210°)＋cos(－1 080°＋60°)·sin(－3×360°＋30°)＝－sin 60°cos(180°＋30°)＋cos 60°·sin 30° ＝－32×(－32)＋12×12＝1. 【答案】 113．(2013·江苏高考)函数y ＝3sin(2x ＋π4)的最小正周期为________．【解析】 函数y ＝3sin(2x ＋π4)的最小正周期T ＝2π2＝π.【答案】 π图114．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图像如图所示，则ω＝________. 【解析】 由图像可知，T ＝4×(2π3－π3)＝4π3， ∴ω＝2πT ＝32.【答案】 3215．关于x 的函数f (x )＝sin(x ＋φ)有以下命题：①对于任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数；②不存在φ，使f (x )既是奇函数又是偶函数；③存在φ，使f (x )是奇函数；④对任意的φ，f (x )都不是偶函数．其中假命题的序号是________．【解析】 当φ＝2k π，k ∈Z 时，f (x )＝sin x 是奇函数； 当φ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，f (x )＝－sin x 仍是奇函数；当φ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，f (x )＝cos x 或φ＝2k π－π2，k ∈Z 时，f (x )＝－cos x都是偶函数．所以①和④是错误的，③是正确的．又因为φ无论取何值都不能使f (x )恒为零，故②正确．所以填①④. 【答案】 ①④三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)已知角x 的终边过点P (1，3)． (1)求：sin(π－x )－sin(π2＋x )的值；(2)写出角x 的集合S .【解】 ∵x 的终边过点P (1，3)， ∴r ＝|OP |＝12＋32＝2.∴sin x ＝32，cos x ＝12. (1)原式＝sin x －cos x ＝3－12. (2)由sin x ＝32，cos x ＝12. 若x ∈[0,2π]，则x ＝π3，由终边相同角定义，∴S ＝{x |x ＝2k π＋π3，k ∈Z }.17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋2(A ＞0，ω＞0)图像上的一个最高点的坐标为(π8，22)，则此点到相邻最低点间的曲线与直线y ＝2交于点(38π，2)，若φ∈(－π2，π2)．(1)试求这条曲线的函数表达式； (2)求函数的对称中心．【解】 (1)由题意得A ＝22－2＝ 2.由T 4＝3π8－π8＝π4， ∴周期为T ＝π. ∴ω＝2πT ＝2ππ＝2，此时解析式为y ＝2sin(2x ＋φ)＋ 2.以点(π8，22)为“五点法”作图的第二关键点，则有2×π8＋φ＝π2，∴φ＝π4，∴y ＝2sin(2x ＋π4)＋ 2.(2)由2x ＋π4＝k π(k ∈Z )得x ＝k π2－π8(k ∈Z )．∴函数的对称中心为(k π2－π8，2)(k ∈Z )．18．(本小题满分12分)(2012·陕西高考)函数f (x )＝A sin(ωx －π6)＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2. (1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈(0，π2)，f (α2)＝2，求α的值．【解】 (1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2. ∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2，∴函数f (x )的解析式为y ＝2sin(2x －π6)＋1.(2)∵f (α2)＝2sin(α－π6)＋1＝2，∴sin(α－π6)＝12.∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3，∴α－π6＝π6，∴α＝π3.19．(本小题满分13分)已知y ＝a －b cos 3x (b >0)的最大值为32，最小值为－12.(1)求函数y ＝－4a sin(3bx )的周期、最值，并求取得最值时的x 的值； (2)判断(1)问中函数的奇偶性． 【解】 (1)∵y ＝a －b cos 3x ，b >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ymax＝a ＋b ＝32，ymin ＝a －b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝1.∴函数y ＝－4a sin(3bx )＝－2sin 3x ， ∴此函数的周期T ＝2π3.当x ＝2k π3＋π6(k ∈Z )时，函数取得最小值－2；当x ＝2k π3－π6(k ∈Z )时，函数取得最大值2.(2)∵函数解析式为y ＝－2sin 3x ，x ∈R ， ∴－2sin(－3x )＝2sin 3x ，即f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．20．(本小题满分13分)函数f 1(x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图像过点(0,1)，如图所示．图2(1)求函数f 1(x )的表达式；(2)将函数y ＝f 1(x )的图像向右平移π4个单位，得函数y ＝f 2(x )的图像，求y ＝f 2(x )的最大值，并求出此时自变量x 的集合，并写出该函数的增区间．【解】 (1)由题意知T ＝π＝2πω，∴ω＝2.将y ＝A sin 2x 的图像向左平移π12，得y ＝A sin(2x ＋φ)的图像，于是φ＝2×π12＝π6.将(0,1)代入y ＝A sin(2x ＋π6)，得A ＝2. 故f 1(x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)依题意，f 2(x )＝2sin[2(x －π4)＋π6]＝－2cos(2x ＋π6)，∴y ＝f 2(x )的最大值为2. 当2x ＋π6＝2k π＋π(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )时，y max ＝2，x 的集合为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }． ∵y ＝cos x 的减区间为x ∈[2k π，2k π＋π]，k ∈Z ，∴f 2(x )＝－2cos (2x ＋π6)的增区间为{x |2k π≤2x ＋π6≤2k π＋π，k ∈Z }，解得{x |k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z }， ∴f 2(x )＝－2cos(2x ＋π6)的增区间为x ∈[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z .图321．(本小题满分13分)已知定义在区间[－π，2π3]上的函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝－π6对称，当x ∈[－π6，2π3]时，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π2<φ<π2)，其图像如图所示．(1)求函数y ＝f (x )在[－π，2π3]上的表达式；(2)求方程f (x )＝22的解． 【解】 (1)由图像可知，A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，∴T ＝2π.∴ω＝2πT ＝2π2π＝1.∵f (x )＝sin(x ＋φ)过点(2π3，0)，∴2π3＋φ＝π.11 ∴φ＝π3. ∴f (x )＝sin(x ＋π3)，x ∈[－π6，2π3]． ∵当－π≤x <－π6时，－π6≤－x －π3≤2π3， 又∵函数y ＝f (x )在区间[－π，2π3]上的图像关于直线x ＝－π6对称， ∴f (x )＝f (－x －π3)＝sin[(－x －π3)＋π3]＝sin(－x )＝－sin x ，x ∈[－π，－π6]． ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ＋π3，x ∈[－π6，2π3]，－sin x ，x ∈[－π，－π6.(2)当－π6≤x ≤2π3时，π6≤x ＋π3≤π. 由f (x )＝sin(x ＋π3)＝22，得x ＋π3＝π4或x ＋π3＝3π4， ∴x ＝－π12或x ＝5π12. 当－π≤x <－π6时，由f (x )＝－sin x ＝22，即sin x ＝－22得x ＝－π4或x ＝－3π4. ∴方程f (x )＝22的解为x ＝－π12或5π12或－π4或－3π4.。
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最新中小学试题试卷教案资料
§8 函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质
第1课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图像变换
课时过关·能力提升
1.将函数y=sin 2x的图像向左平移π4个单位长度,再向上平移1个单位长度,
所得图像的函数解析式是( )
A.y=cos 2x
B.y=2cos 2x
C.y=1+sin(2𝑥+
π
4
)
D.y=1+cos 2x
解析:将函数y=sin 2x的图像向左平移π4个单位长度,得到函数y=sin 2(𝑥+
π4),即y=sin(2𝑥+π
2
)
=
cos 2x的图像,再向上平移1个单位长度,所得图像的函数解析式为y=1+cos 2x.
答案:D
2.用五点法画y=2sin 2x的图像时,首先描出的五个点的横坐标是( )
A.0,
π2,π,3
2
π,2π
B.0,
π4,π2,3
4
π,π
C.0,π,2π,3π,4π
D.0,
π6,π3,π2,2
3
π
解析:∵五点法作图的五个点的横坐标是当2x=0,
π2,π,32π,2π时相应的x值,∴此时x=0,π4,π2,3π
4
,π.
答案:B
最新中小学试题试卷教案资料
3.要得到函数y=sin(4𝑥-
π
3
)
的图像,只需将函数𝑦=sin 4𝑥的图像( )
A.向左平移π12个单位长度
B.向右平移π12个单位长度
C.向左平移π3个单位长度
D.向右平移π3个单位长度
解析:∵y=sin(4𝑥-π3)=sin[4(𝑥-π12)],∴只需将函数y=sin 4x的图像向右平移π12个单位长度即可.
答案:B
4.将函数y=sin(2x+φ)的图像沿x轴向左平移π8个单位长度后,得到一个偶函数的图像,
则𝜑的一个可能取值为( )
A.3π4B.π4
C.0 D.−π4
答案:B
5.为了得到函数y=cos(𝑥2-π4)的图像,可以将函数𝑦=sin𝑥2的图像( )
A.向左平移π2个单位长度
B.向左平移π4个单位长度
C.向右平移π2个单位长度
D.向右平移π4个单位长度
解析:y=cos(𝑥2-π4)=sin[π2+(𝑥2-
π
4
)]
=sin
(
𝑥2+π
4
)
=sin[
12(𝑥+π
2
)],