高中数学解题技巧之三角不等式
高中数学讲义 解三角形中的不等问题
微专题32解三角形中的不等问题一、基础知识： 1、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，其中R 为ABC V 外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。
其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征。
如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行 例如：（1）222222sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +-=⇔+-= （2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=⇒+=（恒等式） （3）22sin sin sin bc B Ca A= 2、余弦定理：2222cos a b c bc A =+-变式：()()2221cos a b c bc A =+-+ 此公式在已知,a A 的情况下，配合均值不等式可得到b c +和bc 的最值3、三角形面积公式：（1）12S a h =⋅ （a 为三角形的底，h 为对应的高） （2）111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===（3）211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅=（其中R 为外接圆半径）4、三角形内角和：A B C π++=，从而可得到：（1）正余弦关系式：()()sin sin sin A B C B C π=-+=+⎡⎤⎣⎦ ()()cos cos cos A B C B C π=-+=-+⎡⎤⎣⎦ （2）在已知一角的情况下，可用另一个角表示第三个角，达到消元的目的 5、两角和差的正余弦公式：()sin sin cos sin cos A B A B B A ±=± ()cos cos cos sin sin A B A B A B ±=m6、辅助角公式：()22sin cos a A b B a b A ϕ+=++，其中tan b aϕ=7、三角形中的不等关系（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可。
高中数学-三角代换证明不等式和求最值
高中数学-三角代换证明不等式和求最值2(一)三角代换的应用-证明不等式1, c 2d 2 1,求证: |ac bd | 1证明：设 a=sin ,b=cos ,c=s in ,d=cos 则有：|sin sin cos cos | |cos( )| 1， 问题得证。
例2已知a,b R,且 a 2 2 2b 1，求证：|a +2ab-b 2| 、:2解：可设 a=ksin ,b=kcos ,其中|k| 1于是有2 2 |a +2ab-b |=k 2|s in2 —cos2 |=2k 2|sin(2 )| 、2k 2 .2 2 2a b 2例3 •已知0<x<1,求证： (a b)x 1 x分析：0<x<1 ， 0<1 — x<1 ,且x+(1-x)=1,联想到三角代换。
证明：因为 0<x<1 , 0<1 —x<1 设 x=sin 2 ，且 所以2 a ・ 2 sin 2 a 2 ab 2cos 2 b 2b 2 a 2 cot2ab a 2 b 21-x 例4已知 1 分析：因为 (1 cot 2 )b 2 (1 tan(a b 2 tanb)2(a b)2米用三角代换之。
2, n N 求证(1 x)n (1+ x)n 2n1考虑到右边有1-x 与1+x,故联想到利用2倍角余弦公式化简, 从而证明：因为 1 x 1，设x=cos2 ,(0所以 (1 x) nn n 2n n 2n n 2 2 n (1＋x) 2 sin 2 cos 2 (sin cos ) 2 故原不等式 (1 x)n (1＋x)n 2n 成立。
则 1-x=1-cos2 =1 (1 2si n 2 ) 2si n 22 1＋x 1 cos 2 2cos(二)三角代换的应用-求最值 例5设x, y R ,不等式 x . y a 厂丫恒成立，求a 的最小值。
析：原不等式等价于 a 平 厲恒成立，则a 必不小于右边代数式的最大值J x y即只需求岀—x H 的最大值即可。
高中数学新人教A版选修4-5 绝对值三角不等式
(1)利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝对 值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式． (2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的 关键．
3． 若 a， b∈R， 且|a|≤3， |b|≤2， 则|a＋b|的最大值是________， 最小值是________．
解析：∵|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|， ∴1＝3－2≤|a＋b|≤3＋2＝5.
解：∵a<|x＋1|－|x－2|对任意实数恒成立， ∴a<(|x＋1|－|x－2|)min. ∵||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3， ∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3. ∴(|x＋1|－|x－2|)min＝－3. ∴a<－3.即 a 的取值范围为(－∞，－3)．
“应用创新演练”见“课时跟踪检测（四）” (单击进入电子文档)
|A|＋|B| 2 1 2 2 ＝ (| A | ＋ | B | ＋2|A||B|) 4 2
|A|＋|B| 1 ≥ (2|A||B|＋2|A||B|)＝|A||B|，∴2lg ≥lg|A||B|. 4 2 |A|＋|B| 1 ∴lg ≥ (lg|A|＋lg|B|)，④正确． 2 2 答案：A
解析：∵|a＋b|＝|(b－a)＋2a|≤|b－a|＋2|a| ＝|a－b|＋2|a|，∴|a＋b|－2|a|≤|a－b|，①正确； ∵1>|a－b|≥|a|－|b|，∴|a|<|b|＋1，②正确； 1 1 |x| 2 ∵|y|>3，∴ < .又∵|x|<2，∴ < ，③正确； |y| 3 |y| 3
②若|a|<|b|， 左边>0，右边<0，∴原不等式显然成立． ③若|a|＝|b|，原不等式显然成立． 综上可知原不等式成立.
专题06 三角不等式-高中数学新教材变化解读
专题06 三角不等式------121212||－－＋≤≤Z Z Z Z Z Z[新教材的新增内容]背景分析：在旧教材中对于复数的几何意义涉及不多．而新教材将复数的学习安排在了向量及三角函数之后，使复数的学习与向量及三角函数进行了融合，提升了复数的应用价值．1．复数加法与减法的几何意义 z 1，z 2，z 3∈C ，设，分别与复数z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di (a ，b ，c ，d ∈R )相对应，且，不共线复数的和z 1＋z 2与向量＋＝的坐标对应复数的差z 1－z 2与向量－＝的坐标对应2．复数三角不等式若12,Z Z 是复数，则121212||－－＋≤≤Z Z Z Z Z Z ．注：当,a b 为实数或向量时，a b a b a b -≤±≤+结论也成立． 推论1：1212≤n n a a a a a a ++++++推论2：如果a b c 、、是实数，那么a c a b b c -≤-+-，当且仅当()()0≥a b b c --时，等号成立． [新增内容的考查分析]1．运用三角不等式求最值(由三角不等式，借助其几何意义及性质，可消减变量从而求出最值．)【考法示例1】若a ，b ∈R ，且|a |≤3，|b |≤2，则|a +b |的最大值是 ，最小值是 ． 5； 1因为|a |-|b |≤|a +b |≤|a |+|b |，所以1=3-2≤|a +b |≤3+2=5． 【考法示例2】函数的最小值及取得最小值时的值分别是（ ） A.1， B.3，0 C.3，D.2，C利用三角不等式，求得函数的最小值，并求得对应的值． 依题意，当且仅当，即12x -≤≤时等号成立，故选C ．2．应用三角不等式求参数（关键是能够运用三角不等式求得函数的最值，将问题转化为变量与函数最值之间的大小关系问题．） 【考法示例3】如果关于的不等式的解集不是空集，则的取值范围是______．利用三角不等式可求得，根据不等式解集不为空集可得根式不等式，根据根式不等式的求法可求得结果． 由三角不等式得：，即．原不等式解集不是空集，，即当时，不等式显然成立； 当时，，解得：； 综上所述：的取值范围为．【考法示例4】若存在(其中)使得不等式成立，则的取值范围是__________．先利用绝对值三角不等式求出的最大值为3，从而得，进而可求出的取值范围，当且仅当或时取等号，所以右式最大值为3， 从而，解得．故的取值范围为，或者[]1,2t ∈-．[新增内容的针对训练]1. 11a b a b -≤-+-取等号的条件是 A. ()()110a b --< B. ()()110a b --> C. ()()110a b --≤ D. ()()110a b --≥【答案】C 【解析】【详解】分析：利用绝对值不等式||||||a b a b +≥+（当且仅当0ab ≥时取等号）即可求得答案. 详解：()()111111a b a b a b a b -+-=-+-≥-+-=-：当且仅当()()110a b --≥：即()()110a b --≤时取等号. 故选：C.点睛：本题考查绝对值不等式，考查绝对值不等式取等号的条件，属于中档题. 2. 已知x∈R ，y∈R ，则|x|＜1，|y|＜1是|x ＋y|＋|x －y|＜2的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件【答案】D 【解析】【分析】根据绝对值三角不等式及充分条件和必要条件进行判断．【详解】若|x|：1：|y|：1，则当(x：y)(x：y)≥0时，|x：y|：|x：y|：|(x：y)：(x：y)|：2|x|：2；当(x：y)(x：y)：0时，|x：y|：|x：y|：|(x：y)：：(x：y)|：2|y|：2.若|x：y|：|x：y|：2，则2|x|：|(x：y)：(x：y)|：|x：y|：|x：y|：2，即|x|：1：2|y| ：|(x：y)：(x：y)|：|x：y|：|x：y|：2，即|y|：1.【点睛】本题考查绝对值不等式的性质的应用，属于基础题.3. 关于x 的不等式|||2|4x m x -++<的解集不为∅，则实数m 的取值范围是 A. ()2,6-B. (,2)(6,)-∞-⋃+∞C. (,6)(2,)-∞-⋃+∞D. (6,2)-【答案】D 【解析】 【分析】关于x 的不等式|x ﹣m |+|x +2|＜4的解集不为∅⇔（|x ﹣m |+|x +2|）min ＜4，再根据绝对值不等式的性质求出最小值，解不等式可得．【详解】关于x 的不等式|x ﹣m |+|x +2|＜4的解集不为∅⇔（|x ﹣m |+|x +2|）min ＜4， ∵|x ﹣m |+|x +2|≥|（x ﹣m ）﹣（x +2）|＝|m +2|， ∴|m +2|＜4，解得﹣6＜m ＜2， 故选D ．【点睛】本题考查了绝对值三角不等式的应用，考查了转化思想，属于基础题． 4. 若关于x 的不等式|1||1|2x ax x -+-≥对于任意0x >恒成立，则实数a 的取值范围是________． 【答案】1a ≤-或3a ≥ 【解析】【分析】将绝对值不等式等价转化，利用绝对值三角不等式即可求得关于a 的不等式即可.【详解】11|1||1|212|1|||2(0)x ax x a t t a t x x-+-≥⇔-+-≥⇔-+-≥>． 所以min (|1|||)(1)()1|2t t a t t a a -+-=|---|=|-≥， 解得1a ≤-或3a ≥． 故答案为：1a ≤-或3a ≥.【点睛】本题考查绝对值不等式恒成立求参数范围的问题，涉及绝对值三角不等式的利用，属中档题.5. 已知α，β是实数，给出三个论断： ：|α＋β|＝|α|＋|β|； ：|α＋β|>5；：|α|>|β|>以其中的两个论断为条件，另一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题是________. 【答案】：：：： 【解析】【分析】根据绝对值的性质判断或举反例说明．【详解】：，：成立时，则|α＋β|＝|α|＋|β>5， 若：：成立，如10,1αβ==，但：不成立， 若：：成立，如20,5αβ==-，但：不成立． 故答案为：：：：：．6. 若不等式2213111a a x x x x a+--+-+++≥对任意使式子有意义的实数a 恒成立,则实数x 的取值范围是__________ 【答案】(,2][1,)-∞-+∞ 【解析】 【分析】 首先求得131a a a+--的最大值max ，然后解不等式22|1||1|max x x x x +-+++≥．【详解】131a a a +--1111111313(1)(3)4a a a a a a =+--=+--≤+--=．当且仅当113a -≤≤时等号成立．：131a a a +--的最大值为4．下面解不等式22|1||1|4x x x x +-+++≥，：22111()244x x x +=+-≥-，：210x x ++>，：不等式22|1||1|4x x x x +-+++≥为不等式22|1|14x x x x +-+++≥， 即22|1|3x x x x +-≥--+，：2213x x x x +-≥--+或2213x x x x +-≤+-， 解得1≥x 或2x -≤或x ∈∅， ：x 的取值范围是(,2][1,)-∞-+∞． 故答案为：(,2][1,)-∞-+∞．【点睛】本题考查绝对值不等式，考查绝对值不等式的性质．首先不等式恒成立问题转化为求最值．其次解绝对值不等式时，绝对值性质x a >等价于x a >或x a <-中可以不讨论a 的正负，直接用来解不等式，即不等式()()f x g x >直接转化为()()f x g x >或()()f x g x <-，不需要按()0,()0g x g x ≥<分类，大家可以从集合的分析．7. 设函数()52f x x a x =-+--.（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围. 【答案】(1)[2,3]-；(2) ][(),62,-∞-⋃+∞. 【解析】【详解】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为|||2|4x a x ++-≥，再根据绝对值三角不等式得|||2|x a x ++-最小值，最后解不等式|2|4a +≥得a 的取值范围． 详解：：1）当1a =时，()24,1,2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤：：2：()1f x ≤等价于24x a x ++-≥：而22x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立：故()1f x ≤等价于24a +≥： 由24a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是][(),62,-∞-⋃+∞： 点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向． 8. 已知a 和b 是任意非零实数．：1）求|2||2|||a b a b a ++-的最小值．：2）若不等式22(22)a b a b a x x ++-≥++-恒成立，求实数x 的取值范围． 【答案】（1）4；（2）22x -≤≤ 【解析】【详解】试题分析：：1）利用绝对值不等式的性质可得 22224a b a b a b a b a ++-≥++-=,所以|2||2|||a b a b a ++-的最小值等于4；：2：由：1：转化为有x 的范围即为不等式|2+x|+|2-x|≤4的解集，解绝对值不等式求得实数x 的取值范围．试题解析：：1：：22224a b a b a b a b a ++-≥++-=对于任意非零实数a 和b 恒成立，当且仅当(2)(2)0a b a b +-≥时取等号，∴|2||2|||a b a b a ++-的最小值等于4.（2）∵2222a b a bx x a++-++-≤恒成立，故22x x ++-不大于|2||2|||a b a b a ++-的最小值由（1）可知|2||2|||a b a b a ++-的最小值等于4实数x 的取值范围即为不等式224x x ++-≤的解. 解不等式得22x -≤≤，[2,2]x ∈-.。
2020高中数学 第1章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.4 绝对值的三角不等式讲义 4-5
1.4 绝对值的三角不等式学习目标:1。
理解绝对值不等式的性质定理.2。
会用绝对值不等式的性质定理证明简单的含绝对值的不等式;会求简单绝对值不等式的最值．教材整理绝对值的三角不等式1．定理1若a，b为实数,则|a＋b|≤|a|＋｜b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．2．定理2设a,b，c为实数，则|a－c|≤|a－b|＋｜b－c|，等号成立⇔（a －b）（b－c）≥0，即b落在a,c之间．若｜a＋b|＝|a|＋|b|成立，a，b∈R，则有（)A．ab〈0 B．ab〉0C．ab≥0 D．以上都不对［解析] 由定理1易知答案选C。
［答案] C绝对值不等式的理解与应用【例1】已知｜a|≠｜b｜,m＝错误!，n＝错误!，则m，n之间的大小关系是________．［精彩点拨］利用绝对值三角不等式定理分别判定m，n与1的大小．[自主解答] 因为|a｜－|b|≤｜a－b|，所以错误!≤1，即m≤1.又因为|a＋b|≤｜a|＋|b｜，所以错误!≥1,即n≥1.所以m≤1≤n.[答案］m≤n1．本题求解的关键在于|a|－｜b|≤｜a－b|与|a＋b|≤|a｜＋｜b｜的理解和应用．2．在定理1中，以－b代b，得|a－b|≤|a|＋｜b|；以a－b 代替实数a，可得到|a|－｜b｜≤|a－b|.1．若将“本例的条件”改为“n＝错误!”，则n与1之间的大小关系是________．[解析］∵｜a＋b|≤|a|＋|b|，∴错误!≤1，∴n≤1.[答案］n≤1运用绝对值不等式求最值与范围【例2】对任意x∈R，求使不等式|x＋1|＋｜x＋2|≥m恒成立的m的取值范围．[精彩点拨] 令t＝｜x＋1｜＋|x＋2｜，只需m≤t min.［自主解答] 法一:对x∈R，｜x＋1｜＋｜x＋2|≥|(x＋1)－(x＋2）|＝1，当且仅当（x＋1)(x＋2）≤0时，即－2≤x≤－1时取等号．∴t＝｜x＋1|＋|x＋2|的最小值为1，故m≤1。
高中数学中的三角函数利用三角函数性质解决三角方程与三角不等式的技巧
高中数学中的三角函数利用三角函数性质解决三角方程与三角不等式的技巧三角函数在高中数学中是一个重要的概念，它涉及到三角方程和三角不等式的解决方法。
通过运用三角函数的性质，我们可以更加灵活地解决这些问题。
本文将介绍一些利用三角函数性质解决三角方程与三角不等式的技巧。
一、三角方程1. 利用函数周期当我们遇到含有三角函数的方程时，可以利用函数的周期性来简化问题。
例如，对于形如sin(x) = a的方程，可以将其转化为sin(x) =sin(b)的形式，其中b = arcsin(a)。
由于sin函数的周期为2π，所以除了sin(b) = a本身的解外，还有无数个解，可以表示为x = b + 2πn，其中n为整数。
2. 利用函数对称性三角函数有一些对称性质，例如sin函数是奇函数，cos函数是偶函数。
当我们面对形如cos(x) = a的方程时，可以利用cos函数的偶性质将其转化为cos(x) = cos(b)的形式，其中b = arccos(a)。
同样地，由于cos函数的周期为2π，所以除了cos(b) = a本身的解外，还有无数个解，可以表示为x = ±b + 2πn，其中n为整数。
3. 利用三角函数的平方性质对于一些特殊的三角方程，我们可以利用三角函数的平方性质来解决。
例如，对于形如sin^2(x) = a^2的方程，我们可以将其转化为sin(x) = ±a的形式。
同样地，对于形如cos^2(x) = a^2的方程，我们可以将其转化为cos(x) = ±a的形式。
这样一来，我们就可以采用之前介绍的方法来求解方程。
二、三角不等式1. 利用三角函数的单调性三角函数在特定区间上是单调递增或递减的，可以利用这一性质来解决三角不等式。
例如，对于形如sin(x) > a的不等式，我们可以找到sin函数的单调递增区间，并找到满足条件的解。
2. 利用三角函数的周期性类似于解三角方程时的处理方法，我们可以利用三角函数的周期性来解决三角不等式。
高中数学解题技巧之三角复数不等式
高中数学解题技巧之三角复数不等式三角复数不等式是高中数学中的一个重要考点，也是学生们容易忽视的一个难点。
本文将详细介绍三角复数不等式的解题技巧，并通过具体的例题进行说明，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和掌握这一知识点。
一、三角复数的定义和性质首先，我们来回顾一下三角复数的定义和性质。
三角复数是形如z = a + bi的复数，其中a和b分别是实数，i是虚数单位，满足i^2 = -1。
三角复数可以用向量的形式表示，即z = r(cosθ + isinθ)，其中r为模长，θ为辐角。
根据三角函数的性质，我们知道cosθ和sinθ的取值范围都在[-1, 1]之间，因此，三角复数的实部a和虚部b的取值范围也是有限的。
在解三角复数不等式时，我们需要利用这一性质。
二、三角复数不等式的解题技巧解三角复数不等式的关键是确定不等式的取等条件和范围。
下面我们通过几个例题来具体说明解题技巧。
例题1：求解不等式|z + 1| < 2，其中z为三角复数。
解析：首先，我们可以将不等式转化为等价形式：|z + 1|^2 < 2^2。
根据复数的模长定义，可以得到等式|z + 1|^2 = (z + 1)(\bar{z} + 1)，其中\bar{z}为z的共轭复数。
将不等式转化后，我们可以得到(z + 1)(\bar{z} + 1) < 4。
将z = a + bi代入不等式中，展开并整理后可得a^2 + b^2 + 2a + 2b < 2。
根据三角复数的定义和性质，我们知道a和b的取值范围都在[-1, 1]之间。
因此，不等式的解集为[-1, 1]。
例题2：求解不等式|z - 3| > |z + 2|，其中z为三角复数。
解析：首先，我们可以将不等式转化为等价形式：|z - 3|^2 > |z + 2|^2。
根据复数的模长定义，可以得到等式|z - 3|^2 = (z - 3)(\bar{z} - 3)，|z + 2|^2 = (z + 2)(\bar{z} + 2)。
部编版高中数学必修一第五章三角函数解题方法技巧
(名师选题)部编版高中数学必修一第五章三角函数解题方法技巧单选题1、已知sin (α−π3)+√3cosα=13，则sin (2α+π6)的值为（ ） A ．13B ．−13C ．79D ．−79答案：D解析：利用两角和与差的正弦公式，诱导公式化简已知等式可得cos(α−π6)=13，进而利用诱导公式，二倍角公式化简所求即可求解．因为sin (α−π3)+√3cosα=12sinα−√32cosα+√3cosα=12sinα+√32cosα =sin (α+π3)=sin (π2+α−π6)=cos (α−π6)=13，所以sin (2α+π6)=sin (π2+2α−π3)=cos (2α−π3)=2cos 2(α−π6)−1=2×(13)2−1=−79，故选：D2、筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为4m ，筒车转轮的中心O 到水面的距离为2m ，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈.规定：盛水筒M 对应的点P 从水中浮现（即P 0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O 为坐标原点，过点O 的水平直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy .设盛水筒M 从点P 0运动到点P 时所经过的时间为t （单位：s ），且此时点P 距离水面的高度为h （单位：m ），则点P 第一次到达最高点需要的时间为（ ）s .A ．2B ．3C ．5D ．10答案：C分析：设点P离水面的高度为ℎ(t)=Asin(ωt+φ)+2，根据题意求出A,ω,φ，再令ℎ(t)=6可求出结果. 设点P离水面的高度为ℎ(t)=Asin(ωt+φ)+2，依题意可得A=4，ω=8π60=2π15，φ=−π6，所以ℎ(t)=4sin(2π15t−π6)+2，令ℎ(t)=4sin(2π15t−π6)=6，得sin(2π15t−π6)=1，得2π15t−π6=2kπ+π2，k∈Z，得t=15k+5，k∈Z，因为点P第一次到达最高点，所以0<t<2π2π15=15，所以k=0,t=5s.故选：C3、已知某摩天轮的旋转半径为60米，最高点距地面135米，运行一周大约30分钟，某游客在最低点的位置坐上摩天轮，则第10分钟时他距地面大约为（）A．95米B．100米C．105米D．110米答案：C分析：设函数关系式为f(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,φ∈[0,2π))，根据题意求得各参数得解析式，然后计算f(10)可得．设该游客在摩天轮上离地面高度f(t)（米）与时间t（分钟）的函数关系为f(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,φ∈[0,2π))，由题意可知A=60，B=135−60=75，T=2πω=30，所以ω=π15，即f(t)=60sin(π15t+φ)+75．又f(0)=135−120=15，得sinφ=−1，故φ=3π2，所以f(t)=60sin(π15t+3π2)+75=−60cosπ15t+75，所以f(10)=−60×cos2π3+75=105．故选：C．4、若扇形周长为20，当其面积最大时，其内切圆的半径r为（）A ．5−1sin1B ．1sin1+32C ．5sin11+sin1D ．5+51+sin1答案：C分析：先根据扇形周长求解出面积取最大值时扇形的圆心角和半径，然后根据图形中的内切关系得到关于内切圆半径r 的等式，由此求解出r 的值.设扇形的半径为R ，圆心角为α，面积为S ，因为2R +αR =20， 所以S =12αR 2=(10−R )R ≤(10−R+R 2)2=25，取等号时10−R =R ，即R =5，所以面积取最大值时R =5,α=2， 如下图所示：设内切圆圆心为O ，扇形过点O 的半径为AP ，B 为圆与半径的切点， 因为AO +OP =R =5，所以r +rsin∠BPO =5，所以r +rsin1=5， 所以r =5sin11+sin1， 故选：C.5、若f (x )=cos (x −π3)在区间[−a,a ]上单调递增，则实数a 的最大值为（ ） A ．π3B ．π2C ．2π3D ．π 答案：A分析：先求出函数的增区间，进而建立不等式组解得答案即可.易知将函数y =cosx 的图象向右平移π3得到函数f (x )=cos (x −π3)的图象，则函数f (x )=cos (x −π3)的增区间为[−23π+2kπ,π3+2kπ](k ∈Z )，而函数又在[−a,a ]上单调递增，所以{−a ≥−23πa ≤π3⇒a ≤π3，于是0<a ≤π3，即a的最大值为π3. 故选：A.6、已知函数f(x)=2sin(ωx−π6)（ω>12，x∈R），若f(x)的图像的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间(3π,4π)，则ω的取值范围是（）A．(12,23]∪[89,76]B．(12,1724]∪[1718,2924]C．[59,23]∪[89,1112]D．[1118,1724]∪[1718,2324]答案：C分析：由已知得12×2πω≥4π−3π，kπ+π2≤3ωπ−π6，且kπ+π+π2≥4ωπ−π6，解之讨论k，可得选项.因为f(x)的图像的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间(3π,4π)，所以12×2πω≥4π−3π，所以12<ω≤1，故排除A，B；又kπ+π2≤3ωπ−π6，且kπ+π+π2≥4ωπ−π6，解得3k+29≤ω≤3k+512,k∈Z，当k=0时，29≤ω≤512,不满足12<ω≤1，当k=1时，59≤ω≤23,符合题意，当k=2时，89≤ω≤1112,符合题意，当k=3时，119≤ω≤149,不满足12<ω≤1，故C正确，D不正确，故选：C.小提示：关键点睛：本题考查根据正弦型函数的对称性求得参数的范围，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，解之讨论可得选项.7、《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间（如图）．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为π4m，肩宽约为π8m，“弓”所在圆的半径约为54m，则掷铁饼者双手之间的距离约为（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）（）A ．1.012mB ．1.768mC ．2.043mD ．2.945m 答案：B分析：由题意分析得到这段弓形所在的弧长，结合弧长公式求出其所对的圆心角，双手之间的距离，求得其弦长，即可求解.如图所示，由题意知“弓”所在的弧ACB⌢ 的长l =π4+π4+π8=5π8，其所对圆心角α=5π854=π2，则两手之间的距离|AB |=2|AD |=2×54×sin π4≈1.768(m )． 故选：B ．8、若角α的终边上一点的坐标为(1，−1)，则cosα=( ) A ．−1B ．−√22C ．√22D ．1 答案：C分析：根据任意角三角函数的定义即可求解.∵角α的终边上一点的坐标为(1，−1)，它与原点的距离r =√12+(−1)2=√2， ∴cosα=xr =√2=√22，多选题9、若sinα+√3cosα=12，则（ ） A ．cos (α+5π6)=14B ．3tan 2α+8√3tanα=−11C ．sin (α+4π3)=−14D ．3tan 2α+8√3tanα=−12 答案：BC分析：利用辅助角公式和诱导公式可求得sin (α+π3)=cos (α−π6)=14，结合诱导公式可判断出AC 正误；利用(sinα+√3cosα)2=14可得正余弦的齐次式，根据同角三角函数商数关系可求得BD 正误. 对于AC ，∵sinα+√3cosα=2sin (α+π3)=12，∴sin (α+π3)=14； ∵sin (α+π3)=cos (α−π6)=14，∴cos (α+5π6)=cos [(α−π6)+π]=−cos (α−π6)=−14，A 错误； sin (α+4π3)=−sin (α+π3)=−14，C 正确； 对于BD ，∵sinα+√3cosα=12，∴(sinα+√3cosα)2=14， 即4sin 2α+8√3sinαcosα+12cos 2α=1=sin 2α+cos 2α， ∴3sin 2α+8√3sinαcosα+11cos 2α=0， ∴3sin 2α+8√3sinαcosα+11cos 2αsin 2a+cos 2α=3tan 2α+8√3tanα+11tan 2α+1=0，∴3tan 2α+8√3tanα=−11，B 正确，D 错误. 故选：BC.10、给出下列四个选项中，其中正确的选项有（ ） A ．若角α的终边过点P(3,−m)且sinα=−2√1313，则m =2B ．若α是第二象限角，则α2为第二象限或第四象限角C ．若f(x)=log a (x 2+2ax +2a −1)在(−∞,−2)单调递减，则a ∈(1,2]D ．设角α为锐角（单位为弧度），则α>sinα分析：A由终边上的点可得√9+m2=−2√1313即可求m值；B由题设2kπ+π2<α<2kπ+π，进而求α2的范围即可知所在的象限；C利用对数复合函数的单调性，结合单调区间求参数范围；D利用单位圆确定α,sinα所代表的长度，即可比较大小.A：sinα=√9+m2=−2√1313，易知m>0且m2=4，则m=2，正确；B：2kπ+π2<α<2kπ+π，则kπ+π4<α2<kπ+π2，可知α2为第一象限或第三象限角，错误；C：由x2+2ax+2a−1=(x+1)(x+2a−1)>0，当0<a<1时，(−∞,−1)上递增，(1−2a,+∞)上递减；当a>1时，(−∞,1−2a)上递减，(−1,+∞)上递增；而f(x)在(−∞,−2)上递减，则a>1且−1≥1−2a≥−2，可得1<a≤32，故错误；D：如下图，单位圆中α=AC⌢,sinα=AB，显然α>sinα，正确；故选：AD11、中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为S1，其圆心角为θ，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为√5−12时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（参考数据：√5≈2.236）（）A．S1S2=θ2π−θB．若S1S2=12，扇形的半径R=3，则S1=2πC．若扇面为“美观扇面”，则θ≈138∘D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径R=20，则此时的扇形面积为200(3−√5)分析：首先确定S1,S2所在扇形的圆心角，结合扇形面积公式可确定A正确；由S1S2=θ2π−θ=12可求得θ，代入扇形面积公式可知B错误；由S1S2=θ2π−θ=√5−12即可求得θ，知C正确；由扇形面积公式可直接判断出D错误.对于A，∵S1与S2所在扇形的圆心角分别为θ，2π−θ，∴S1S2=12⋅θ⋅r212(2π−θ)⋅r2=θ2π−θ，A正确；对于B，∵S1S2=θ2π−θ=12，∴θ=2π3，∴S1=12⋅θ⋅R2=12×2π3×9=3π，B错误；对于C，∵S1S2=θ2π−θ=√5−12，∴θ=(3−√5)π，∴θ≈(3−2.236)×180∘≈138∘，C正确；对于D，S1=12⋅θ⋅R2=12×(3−√5)π×400=200(3−√5)π，D错误.故选：AC. 填空题12、已知cos(π6+α)=√33，则cos(5π6−α)=________.答案：−√33分析：本题可根据诱导公式得出结果.cos(5π6−α)=cos[π−(π6+α)]=−cos(π6+α)=−√33，所以答案是：−√3313、若函数f(x)=sin(x+φ)+cosx的最大值为2，则常数φ的一个取值为________．答案：π2（2kπ+π2,k∈Z均可）分析：根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得f(x)=√cos2φ+(sinφ+1)2sin(x+θ)，可得√cos2φ+(sinφ+1)2=2，即可解出.因为f(x)=cosφsinx+(sinφ+1)cosx=√cos2φ+(sinφ+1)2sin(x+θ)，所以√cos2φ+(sinφ+1)2=2，解得sinφ=1，故可取φ=π2.所以答案是：π2（2kπ+π2,k∈Z均可）.小提示：本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.。
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高中数学解题技巧之三角不等式
三角不等式是高中数学中一个重要的概念，它在解决不等式问题时起着关键作用。
本文将介绍三角不等式的概念和性质，并通过具体题目的解析，帮助读者掌握解题技巧。
一、三角不等式的概念和性质
三角不等式是指涉及三角函数和不等式的关系。
常见的三角不等式包括正弦不等式、余弦不等式和正切不等式。
这些不等式可以帮助我们确定三角函数的取值范围，从而解决不等式问题。
以正弦不等式为例，对于任意一个角度θ，有如下不等式成立：
-1 ≤ sinθ ≤ 1
这意味着正弦函数的取值范围在[-1, 1]之间。
类似地，余弦函数和正切函数也有相应的不等式。
三角不等式的性质包括：
1. 三角函数的取值范围是有界的，即存在上下界；
2. 不等式中的等号成立的条件可以帮助我们找到特殊解；
3. 不等式可以通过代数运算和几何图形的分析来解决。
二、正弦不等式的解题技巧
正弦不等式常用于解决角度范围的问题。
下面通过一个具体的例子来说明解题技巧。
例题：求解sinθ > 0的解集。
解析：首先，我们知道正弦函数在第一和第二象限为正，而在第三和第四象限
为负。
因此，sinθ > 0成立的条件是θ属于第一和第二象限。
接下来，我们可以通过几何图形的分析来确定解集。
将单位圆的正弦函数图像
绘制出来，我们可以看到正弦函数在[0, π]和[2π, 3π]区间内为正。
所以，解集可以
表示为θ∈[0, π]∪[2π, 3π]。
这个例子展示了如何通过对三角函数的性质和图像的分析，来解决三角不等式
问题。
在解题过程中，我们可以利用相关知识点，如角度的周期性和对称性，来简化计算和确定解集。
三、余弦不等式的解题技巧
余弦不等式常用于解决角度的范围和区间的问题。
下面通过一个具体的例子来
说明解题技巧。
例题：求解cosθ ≤ 1/2的解集。
解析：根据余弦函数的性质，我们知道余弦函数在第一和第四象限为正，而在
第二和第三象限为负。
因此，cosθ ≤ 1/2成立的条件是θ属于第一和第四象限。
接下来，我们可以通过几何图形的分析来确定解集。
将单位圆的余弦函数图像
绘制出来，我们可以看到余弦函数在[0, π/3]和[5π/3, 2π]区间内小于等于1/2。
所以，解集可以表示为θ∈[0, π/3]∪[5π/3, 2π]。
这个例子展示了如何通过对余弦函数的性质和图像的分析，来解决三角不等式
问题。
在解题过程中，我们可以利用相关知识点，如角度的周期性和对称性，来简化计算和确定解集。
四、正切不等式的解题技巧
正切不等式常用于解决角度的范围和区间的问题。
下面通过一个具体的例子来
说明解题技巧。
例题：求解tanθ > 1的解集。
解析：首先，我们知道正切函数在第一和第三象限为正，而在第二和第四象限为负。
因此，tanθ > 1成立的条件是θ属于第一和第三象限。
接下来，我们可以通过几何图形的分析来确定解集。
将单位圆的正切函数图像绘制出来，我们可以看到正切函数在(π/4, 3π/4)和(5π/4, 7π/4)区间内大于1。
所以，解集可以表示为θ∈(π/4, 3π/4)∪(5π/4, 7π/4)。
这个例子展示了如何通过对正切函数的性质和图像的分析，来解决三角不等式问题。
在解题过程中，我们可以利用相关知识点，如角度的周期性和对称性，来简化计算和确定解集。
总结：
本文介绍了三角不等式的概念和性质，并通过具体题目的解析，展示了解题的技巧。
通过对三角函数的性质和图像的分析，我们可以更好地理解和应用三角不等式，从而解决不等式问题。
希望本文对高中学生和他们的父母在学习和教学中有所帮助。