《§19.2.1正比例函数的图象与性质》核心素养教学设计 精华
19.2.1 正比例函数(第1课时)-公开课-优质课(人教版教学设计精品)
19.2.1正比例函数(第1课时)一、内容和内容解析1．内容正比例函数的概念．2．内容解析一次函数是最简单的函数模型之一．正比例函数是特殊的一次函数，其特殊性表现在，函数值是自变量的值与一个常数的积．小学中，学生学习过正比例关系，正比例函数是用函数观点研究成正比例关系的两个变量而得到的简单函数模型．正比例函数是根据函数解析式进行定义的，符合y＝k x(k是常数，k≠0)的函数叫正比例函数．概括函数解析式的共同特征，得到正比例函数的概念；通过图象研究其性质，并用这种函数模型描述和研究现实中的运动变化过程．这种研究具体函数模型的方法，在今后的函数学习中还会经常用到．基于以上分析，确定本课的教学重点：正比例函数的概念．二、目标和目标解析1．目标(1)理解正比例函数的概念．(2)经历用函数解析式表示函数关系的过程，进一步发展符号意识；经历从一类具体函数中抽象出正比例函数概念的过程，发展数学抽象概括能力．2．目标解析目标(1)要求知道正比例函数的解析式特征，知道正比例函数与正比例的关系，会判断一个函数是否为正比例函数．目标(2)要求能独立地写出运动变化过程中的函数解析式，通过归纳一类函数解析式的共同特征，得到正比例函数的概念．三、教学问题诊断分析1．正比例函数是在学习了函数的概念与函数的图象之后的第一种具体函数模型，对于学生知识水平来说，他们能够判断两个变量是否存在函数关系．在得出正比例函数概念时，需要观察函数解析式，归纳其共同特点，得到正比例函数的概念．学生在进行这种归纳推理时会遇到一定的困难．2．学生在小学学习过成正比例的两个量，通过列表探索过成正比例关系的两个量之间的关系，知道两个量成正比例的条件是它们的比始终是一个固定不变的量(常量)，而且也通过方格纸画过成正比例关系的两个量之间关系的图象．初中阶段，在学习了函数概念后，用函数的观点研究正比例关系，把成正比例的两个量纳入到函数概念体系，写出其函数解析式，画出图象，研究其性质，并应用于实际．这样系统、深入地研究成正比例的两个量，对学生来说有一定的难度．同时，正比例函数的研究步骤和方法，适用于一次函数、二次函数和反比例函数等后继学习的函数模型．从本内容学习中获得学习具体一类函数的经验，对学生来说有较大困难，需要教师的概括性指导，并在今后学习中一以贯之．基于以上分析，确定本课的教学难点：理解正比例函数概念，体会具体函数模型研究的一般方法．四、教学过程设计1．创设情境，引出课题问题1 2 011年开始运营的京沪高速铁路全长1 318 km．设列车的平均速度为300 km/h．考虑以下问题：(1)乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时(结果保留小数点后一位)？(2)如果从小学学习过的比例观点看，列车在运行过程中，行程y(单位：km)和运行时间t(单位：h)是什么关系？(3)如果用函数的观点看，京沪高铁列车的行程y(单位：km)是运行时间t(单位：h)的函数吗？能写出这个函数的解析式，并写出自变量的取值范围吗？(4)乘京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h后，是否已经过了距始发站1 100 km的南京南站？师生活动：学生个别回答，教师在黑板上板演．学生可能在第(3)问中忽视自变量的取值范围，教师应加以引导．设计意图：从现实背景问题中发现正比例关系，引导学生用函数观点看一对成正比例关系的量．追问：这个问题中得到的函数解析式有什么特点？函数值与对应的自变量的值的比有什么特点？问题2 下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式．(1)圆的周长l随半径r的变化而变化．(2)铁的密度为7.8 g/cm 3，铁块的质量m (单位：g)随它的体积V (单位：cm 3)的变化而变化．(3)每个练习本的厚度为0.5 cm ，练习本摞在一起的总厚度h (单位：cm )随练习本的本数n 变化而变化．(4)冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃，物体的温度T (单位：℃)随冷冻时间t (单位：min )的变化而变化．师生活动：学生独立写出函数解析式，教师课堂巡视，并进行个别指导．设计意图：为抽象正比例函数概念提供典型样例．2．观察概括，形成概念问题3 认真观察以上出现的四个函数解析式，说说这些函数有什么共同点．师生活动：学生先思考，与小组内同学交流意见；教师通过学生回答不断引导，直至得出“这些函数都是常数与自变量的积的形式”为止．教师给出正比例函数的概念：一般地，形如y ＝k x (k 是常数，k ≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数．追问：所有这些正比例函数，函数值与相应的自变量值的比有什么特点？设计意图：概括概念．3．辨别概念问题4 下列式子中，哪些表示y 是x 的正比例函数？(1)2y x ＝；(2)3x y ＝－； (3)2y x ＝； (4)2 1.5y x ＝； (5)y x ＝；(6)71y x ＝＋()． 追问：如果y 是x 的正比例函数，请你说出其中的比例系数．师生活动：判断两个变量是否是正比例函数关系，要回归到定义．这种学习方法是学生学习数学所必需掌握的．设计意图：及时的练习有利于学生巩固概念，反馈学习效果．4．学以致用问题5 列式表示下列问题中的y 与x 的函数关系，并指出哪些是正比例函数．(1)正方形的边长为x cm ，周长为y cm ；(2)某人一年内的月平均收入为x 元，他这一年(12个月)的总收入为y 元；(3)一个长方体的长为2 cm ，宽为1.5 cm ，高为x cm ，体积为y cm 3．师生活动：学生独立完成后，小组内交流成果．追问：在(2)中，此人若每月收入6 000元，则一年收入是多少？若一年收入是84 000元，则每月收入又是多少？设计意图：帮助学生进一步理解正比例函数解析式的特点，体会正比例函数解析式的特征与对应关系．5．回顾总结教师引导学生带着下列问题回顾总结课堂学习收获：(1)本节课我们学习了哪一种函数？这种函数的解析式有什么特点？(2)正比例函数的函数值与相应的自变量的比值有什么特点？正比例函数与正比例关系有什么相同点和不同点？(3)怎样判断一个函数是否是正比例函数？请举一个生活中正比例函数的实例．设计意图：通过学生小结，梳理本节课所学内容，促进形成结构化、简约化的记忆． 布置作业：教科书第87页练习第1题．五、目标检测设计1．下列式子中，哪些表示y 是x 的正比例函数？如果y 是x 的正比例函数，请指出比例系数．(1)0.1y x ＝－；(2)2x y ＝； (3)22y x ＝； (4)24y x ＝； (5)π1y x ＝－()．设计意图：考查正比例函数的概念．2．写出下列各题中两变量之间的函数关系式，并判断是否为正比例函数？(1)直角三角形中一个锐角的度数为α，另一个锐角的度数β随α的变化而变化；(2)某种报纸的单价为1元，x 表示购买这种报纸的份数，那么购买报纸的总价y (单位：元)随x 的变化而变化；(3)某打字店打印文稿的标准为每页4元，打印费y (单位：元)随文稿页数x (单位：页)的变化而变化；(4)地面气温是28℃，如果每升高1 km ，气温下降6℃，则气温y (单位：℃)随高度x (单位：km )的变化而变化；(5)圆的面积y (单位：cm 2)与半径x (单位：cm )的关系．设计意图：考查学生先求函数解析式，再判断是否正比例函数的能力．3．已知△ABC的底边BC＝8，移动顶点A，改变BC边上的高线的大小，△ABC的面积也随之变化．(1)写出△ABC的面积y与高x之间的函数解析式，并指明它是什么函数；(2)当x＝7时，求出y的值．设计意图：考查应用正比例函数解析式描述运动变化过程．4．已知y与x成正比例，当x＝2时，y＝8．(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)当x＝－2时，求函数值y；(3)当y＝12，求自变量x的值．设计意图：考查正比例函数的解析式特点和用待定系数法求正比例函数解析式．参考答案：1．(1)(2)(5)是正比例函数，(1)的比例系数为－0.1，(2)12，(5)的比例系数为y＝(π－1)．2．(1)β＝90－α，不是正比例函数；(2)y＝x，是正比例函数；(3)y＝4x，是正比例函数；(4)y＝28－6x，不是正比例函数；(5)y＝πx2，不是正比例函数．3．(1)y＝4x，(2)当x＝7时，y＝28．4．(1)y＝4x，(2)y＝－8x，(3)x＝3．。
人教版数学八年级下册19.2.1《正比例函数》说课稿
在教学过程中，可能遇到的问题是学生对正比例函数的理解不够深入，或者在实际问题中的应用能力不足。为应对这些问题，我会及时调整教学策略，通过更多的实例分析和小组讨论，帮助学生深化理解。课后，我将通过学生的作业、提问和测试来评估教学效果。具体的反思和改进措施包括：针对学生的反馈调整教学进度和难度；针对学生的疑问提供个别辅导；根据学生的表现调整教学方法，如增加互动环节或实践操作。通过这些措施，不断提升教学质量，满足学生的学习需求。
（四）总结反馈
在总结反馈阶段，我将采取以下方式引导学生自我评价并提供有效的反馈和建议：
1.让学生回顾本节课所学内容，总结正比例函数的主要特点和性质。
2.鼓励学生分享自己在学习过程中的体会和收获，以及遇到的问题和解决方法。
3.教师根据学生的表现和作业完成情况，提供针对性的反馈和建议，指出他们的进步和需要改进的地方。
4.引导学生制定下一步的学习计划，明确学习目标和要求。
（五）作业布置
课后作业的布置情况如下：
1.设计一些与正比例函数相关的练习题，包括基础题和提高题，让学生在课后自主完成。
2.布置一道实际问题的研究作业，要求学生运用正比例函数解决，培养他们的实际问题解决能力。
3.作业的目的是巩固学生对正比例函数的理解，提高他们的数学思维能力，并能够将理论知识应用于实际情境中。通过作业，教师也能及时了解学生的学习情况，为下一节课的教学提供依据。
1.首先，通过实例引入正比例函数的定义，让学生理解正比例关系的含义。
2.接着，通过观察和分析正比例函数的图像，引导学生发现图像的特点。
3.然后，讲解正比例函数的性质，并通过实际例子说明这些性质在实际生活中的应用。
4.最后，通过小组讨论和问题解答，让学生在实践中深化对正比例函数的理解。
19.2.1正比例函数课件(共32张PPT) 2025年春人教版数学八年级下册
知识讲解
例题：
1.已知正比例函数 y = 2x 的图象上有两点（3，y1），（5，y2），
则 y1 <
y2 .
2.已知正比例函数 y = kx (k < 0) 的图象上有两点（-3，y1），
（1，y2），则 y1 > y2.
知识讲解
3.已知正比例函数 y = mx 的图象经过点（m，4），且 y 的值随着 x 值的增大而
2m+4＜0
（3）当 m = 0.5 时，函数图象经过点（2，10）.
4m+8=10
随堂练习
4.已知某种小汽车的耗油量是每 100 km 耗油 15 L.所使用的汽油为 5 元/ L.
(1)写出汽车行驶途中所耗油费 y (元) 与行程 x (km) 之间的函数关系式，
并指出 y 是 x 的什么函数；
（2）y = -1.5x，y = -4x.
解：（1）函数 y = 2x 中自变量 x 可为任意实数.
①列表如下：
描点法画函数图象的三个步骤是：列表、描点、连线.
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y
…
-4
-2
0
2
4
…
知识讲解
知识点三
②描点
正比例函数的图象
y = 2x
画出上面表格中各对数值所对应的点.
③连线
同样可以画出函数y= x
数关系式.
解：依题意，设 y - 3 与 x 之间的函数关系式为
y - 3 = kx，
∵ x = 4 时，y = 7，∴ 7 - 3 = 4k，解得 k = 1.
教学设计1：19.2.1正比例函数（2）
19.2.1正比例函数(2)设计理念函数是研究运动变化着的量与量之间的对应关系，具有较高的抽象性，用函数的图象来研究函数的性质是一种典型的数形结合的研究方法。
学生从学习常量数学到学习变量数学，是对数学学习在认识上的一次重大飞跃。
教学中应抓住函数的本质，即运动变化着的量与量之间的对应关系，遵循从特殊到一般，从具体到抽象，由浅入深，逐步理解函数的概念和研究方法，通过本节教学初步体验客观事物是互相联系又互相制约的，而且是有规律地运动、变化着的辨证唯物主义观点。
本节是在学习认识函数概念不久，初次接触函数的图象，通过数形结合的方法把抽象的函数解析式反映在平面直角坐标系上，从而获得较为形象具体的图象，进一步培养学生分析问题，思考问题，解决问题的能力，对学习能力从量的积累到质的飞跃做好必要的铺垫。
教学目标1、使学生理解正比例函数图象的概念2、掌握正比例函数的性质3、学会画正比例函数的图象及正比例函数的性质应用4、渗透数形结合的思想方法教学重点与难点正比例函数的图象和性质是重点，正比例函数的图象概念和增减性是难点教学准备软盘（几何画板），多媒体教室教学方法1、讲授法——对课题的引出，对满足正比例函数y=2x的有序实数对（x，y）与直线OP上的点的对应关系等抽象事物进行阐述要运用精练、准确无误的语言。
2、演示法——运用几何画板的优势，将抽象，枯燥的函数图象和性质演绎成动态的，形象的，容易接受的知识。
3、练习法——运用两点确定一条直线的方法，快速画出正比例函数的图象，并从图象上分析函数的性质。
教学过程1、引入新课师：正比例函数的解析式怎样表示？生：正比例函数的解析式是y=kx（k≠0）师：先看一例，正比例函数y=2x，其中x，y是变量，当x取不同的数值时，相对应的y的值会怎样呢？生：y有唯一确定的值与它对应（较难！教师启发回答）师：我们不妨取一些较简单的x的值，如：x=1，2，3，-1，-2，-3，0等，相对应的y的值等于多少？学生回答后，由教师演示一张表格。
19.2.1正比例函数教学设计
19.2.1正比例函数教学设计D四、教学准备教师准备：课前做好配套课件，熟悉本节教学环节，设计好板书，以及检查多媒体能付正常使用等等。
学生准备：准备好抄稿纸、笔、直尺、课本。
五、教学过程（一）、创设情境，引入新知2006 年7月12日，我国著名运动员刘翔在瑞士洛桑的田径110米栏的决赛中，以12.88秒的成绩打破了尘封13年的世界纪录，为我们中华民族争得了荣誉．（1）刘翔大约每秒钟跑多少米呢？刘翔大约每秒钟跑110÷12.88=8.54（米）．（2）刘翔奔跑的路程s（单位：米）与奔跑时间t（单位：秒）之间有什么关系？假设刘翔每秒奔跑的路程为8.54米，那么他奔跑的路程s（单位：米）就是其奔跑时间t （单位：秒）的函数，函数解析式为s= 8.54t (0≤t ≤12.88)．（3）在前5秒，刘翔跑了多少米？刘翔在前5秒奔跑的路程，大约是t=5时函数s= 8.54t 的值，即s=8.54×5=42.7（米）．教师活动：教师用多媒体呈现问题，学生活动：学生思考并解答.教师重点关注：学生能否顺利写出y与x的函数关系式. 注意自变量的取值范围．设计意图：通过“刘翔”这一实际情境引入，使学生认识到现实生活和数学密不可分，向学生渗透热爱运动、努力拼搏的精神。
同时发展学生从实际问题中提取有用的数学信息，建立数学模型的能力.（二）、观察思考、归纳概念问题1：下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示？请指出函数解析式中的常数、自变量和自变量的函数．（1）圆的周长 l 随半径r的大小变化而变化；（2）铁的密度为7.8g/ cm3 ，铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的大小变化而变化.（3）每个练习本的厚度为0.5 cm，一些练习本摞在一起的总厚度 h（单位：cm）随这些练习本的本数 n的变化而变化；（4）冷冻一个0 ℃物体，使它每分下降2 ℃，物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间t （单位：分）的变化而变化．教师活动：教师多媒体呈现上述四个实际问题.学生活动：学生独立解答，解答后小组交流，出代表进行反馈.教师要重点关注：（1）题中学生易将写成.（4）题中每分钟下降2℃应记为“-2℃”，避免学生将写为.关注学生能否准确找出中的常量.设计意图：通过指出常数、自变量、自变量的函数，对函数的概念进行回顾，从而为后续环节找正比例函数的共同点建立生长点.通过对实际问题讨论，使学生体验从具体到抽象的认识过程.问题2：教师活动：将上表中的前四个函数进行比较，思考：四个函数有什么共同特点？学生活动：观察、思考.小组交流，分析、归纳共同特点，出代表反馈.教师要根据学生的具体表现，通过引导、点拨，使学生比较、观察得出共同点.教师根据学生的表述板书： 共同点：常数×自变量．学生阅读教材正比例函数的概念，教师板书： 概念：一般地，形如y=kx （k 是常数，k ≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数． 教师追问：这里为什么强调k 是常数，k ≠0呢？正比例函数y=kx （k ≠0）的结构特征 ①k ≠0②x 的次数是1学生活动：学生交流、讨论，互相补充. 设计意图： 通过将前四个函数进行比较，是学生通过比较、观察、分析、概括出正比例函数的共同特点，使学生明白正比例函数的特征，从而归纳出正比例函数的概念.有效地克服了因没有对比直接观察使学生出现的不适性、盲目性.培养学生的观察、分析、归纳、概括等思维能力.（三）、练习运用，内化概念 判断下列函数是否为正比例函数？如果是，请指出比例系数. （1）y=8x ；x 3=y ）2（:5x =y ）3（;2r s 4（π=）； 1-2x =y ）5（；x 4y 62=）（ 教师活动：出示上题学生活动：独立解答，教师巡视. 教师根据学生反馈情况，引导学生根据“常数×自变量”归纳辨别正比例函数要注意的问题. 教师重点关注学生能否正确辨别以下函数：2r）、x4（π=4s（.）y62=设计意图：使学生结合实例深入理解概念的内涵，做到具体问题具体分析.（四）、针对训练，提升能力例1 （1）若y=5x3m-2是正比例函数，m= 。
教学设计5：19.2.1正比例函数（1）
19.2.1正比例函数（1）一、教学目标：1、知识与技能：使学生理解正比例函数的概念，会用描点法画正比例函数图象，掌握正比例函数的性质．2、过程与方法：在理解、掌握正比例函数概念的过程中感受阅读理解能力的重要性，在探索正比例函数性质的过程中培养学生的归纳总结能力。
3、情感态度与价值观：实例引入，激发学生学习数学的兴趣．二、教学重点：探索正比例函数的性质．三、教学难点：探索正比例函数的性质．四、教学模式：问题导引式五、学习方式：自学法，问题导学法、合作交流，讨论法六、教学程序：导入新课—合作探究—学生展示—总结要点—课堂反馈—小结－布置作业七、教学流程：（一）、导入新课问题情境1：汽车以60km/h的速度匀速前进，行驶里程为s km，行驶的时间为t h，先填写下面的表格，在试用含t的式子表示s.t/h12345s/km1、填表2、计算出表中每一组数据s/t的值，并指出t与s之间的关系。
3、写出问题情境1中路程s关于时间t的关系式。
问题情境2：下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示？（1）圆的周长l随半径r的大小变化而变化；（2）每个练习本的厚度为0.5 cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随这些练习本的本数n的变化而变化；（3）冷冻一个0 ℃物体，使它每分下降2 ℃，物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：分）的变化而变化．回答问题：1、写出上边三个问题的函数表达式。
2、这些函数有什么共同点？发现：它们都是常数与自变量的乘积的形式．这函数叫什么函数？合作探究一、看书回答问题：1、一般地，形如y＝kx(k是常数，k≠0) 的函数，叫做________。
其中k叫做____________．2、y＝kx(k≠0)的图象是一条经过_____的_______，我们称它为________函数。
3、当k_______时，直线y＝kx(k≠0)的图象经过第_____象限，且y随x的增大而______，直线呈________状态；当k_______时，直线y＝kx(k≠0)的图象经过第________象限，且y随x的增大而_______，直线呈__________状态。
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1 课题：§19.2.1正比例函数的图象与性质（第1课时） 【人教版八年级下学期】 一、内容分析 1. 课标要求 理解正比例函数的图象和性质. 2. 教材分析 知识技能：本节课是在学生已经掌握了平面直角坐标系、常量与变量以及正比例函数的概念等知识的基础上对正比例函数的图象和性质进一步研究.通过描点法将正比例函数的解析式与图象进行联系，在观察正比例函数图象的基础上概括函数的性质，这是学习函数图象和性质的通法，具有一般性和代表性，其方法结构都可以迁移到后续的一次函数，二次函数和反比例函数的学习，起到示范作用，为学习其它函数图象和性质奠定了基础.本节课具有承上启下的重要作用. 能力层面：函数的图象和性质对于学生而言是一个全新的领域，学生第一次尝试从变量的角度探究函数的性质，从函数图象（形的角度）抽象概括函数的性质，这是之前从未接触过的知识，可以作为培养学生创新意识的素材.从函数解析式到画出函数图象，从观察函数图象到函数性质的总结，让学生经历观察——试验——归纳概括——验证等方式得到函数图象的规律，这是创新的重要方法.从数--形--数—式多个角度感受函数的性质，不断地强化观察的方向，这是发现问题的前提，也是创新意识的基础.学生先根据自己画出的函数图象独立思考，进行大胆猜测和细心验证，然后在小组合作中争执、质疑、解疑的过程中不断完善对函数性质的理解，学会思考，这是创新意识的核心.经历用自己的语言，简洁语言和符号语言三个层次不断去归纳正比例函数的性质过程，让学生学会提出问题，积累思维经验和有效方法，培养创新意识. 思想层面：画函数图象的过程中蕴含着运动变化和联系对应的思想方法，用图象研究函数性质的过程中蕴含着分类讨论思想和“用形表示数，用数解释形”典型的数形结合的思想，这些都是中学数学的核心思想.把抽象的数量关系和直观的函数图象结合起来，从“数”“形”两个角度动态分析问题，更全面认识函数，对今后进一步研究其他类型的函数具有启示作用. 基于以上的分析，我选择将《正比例函数的图象与性质》作为函数教学的一个教学关键点,培养学生的创新意识. 3. 学情分析 2
学生在七年级下册和前面的几节课已经学习了直角坐标系，理解变量与常量，正比例函数的概念，对给出的任意的自变量都能求出相应的正比例函数的值,能将每一对的有序数对与直角坐标系上的点进行转化，已经初步具备画好正比例函数图象的先决条件.但学生在一个新的领域中如何通过观察——猜想——归纳去发现问题和提出问题的能力有待于进一步的加强.如：如何有序有向观察函数图象和根据正比例函数图象去归纳概括性质的方法问题还会存在较大的问题，这是本节课的难点，也是学生认识的生长点. 二、教学目标 1.会画正比例函数的图象，能从形状、位置、增减性、特殊点等角度理解函数的图象特征，能根据正比例函数的图象特征和表达式kxy（0k）特点，理解正比例函数kxy（0k）的性质;——知识技能 2.经历画正比例函数图象和借助函数图象归纳函数性质的过程，提高观察能力、分析能力和归纳概括能力，提高创新意识；——数学能力 3.在画正比例函数图象和归纳正比例函数性质的过程中，进一步感受运动变化与联系对应的思想，体会分类讨论和数形结合思想. ——数学思想 三、教学策略 1.有序性策略：以画正比例函数y=x的图象及归纳特征为例，引导学生有序有向地观察图象，归纳推理得到正比例函数的性质. 2.层次性策略：从“数——形——数——式”螺旋递进式地观察函数图象，从用自己的语言，简洁语言和符号语言三个层次去归纳正比例函数的性质，提高学生发现问题和提出问题的能力. 3.直观性策略：为了更直观理解正比例函数的图象与性质与常数k的关系，利用几何画板制作动画：（1）当常数k固定时，动态演示点的生成的过程，展示函数值是怎样随着自变量的增大而变化的;(2)当常数k的值变化时，是怎样影响函数的增减性，帮助学生理解比例系数k与函数图象特征和性质的关系. 4.小组合作策略：组内先独立挑选不同的k值画正比例函数图象，发现图象的规律，在小组合作交流中，随着研究对象集合的不断扩大，为观察归纳能力的培养提供更多的素材，学生也不断地调整和修改所发现的规律，使其适用于所有的研究对象，发现正比例函数图象特征的共性与差异，分类得到函数性质.这个过程丰富了学生的活动经验，为创新意识的培养奠定基础. 四、教学过程 3
（一）新知学习 问题1 我们已经学习了正比例函数的概念，什么是正比例函数？你能举出两个具体的正比例函数吗？
【师生活动】 （1）正比例函数是两个变量的比值（商）为常数：kxy，即kxy(0k，自变量x取任何实数)；（2）学生写出两个正比例函数解析式，教师关注
是否具有代表性（正数，负数，整数，分数）并进行板书，收集10多个函数解析式,如xy， xy，xy21，xy21，xy2，xy2等.
【设计意图】回顾正比例函数的概念，常数k和自变量x的取值范围为后面研究函数图象与性质做好铺垫.举例不仅让学生内化概念，也为后面小组分工合作研究函数性质提供素材. 问题2 我们知道函数三种表示方法，为了更直观地研究函数的性质，我们可以画出函数的图象，怎么画出函数图象？ 【师生活动】回忆函数的三种表示方法：解析式法，列表法和图像法，引导学生说出画函数图像的方法——描点法和基本步骤——列表，描点，连线. 【设计意图】引导学生回顾画函数图象的一般方法和各个步骤. 问题3 我们研究问题往往都是从特殊到一般，你认为我们应先研究哪个正比例函数？为什么？ 【设计意图】渗透研究问题的一般方向——从特殊到一般，为后续的一次函数、二次函数、反比例函数图象与性质的学习提供研究方向. （二）自主探究 问题4 怎么画正比例函数xy的图象？ 正比例函数 举例：当x= 时，y= ；当x= 时，y= ；…… x y
追问1 你能例举出满足正比例函数xy这个解析式的自变量与函数的对应数值吗？（通过举例的方法，将抽象的解析式具化，提供观察的载体.） 追问2 你将如何选取和整理这些对应数值？为什么？并填入表格.（渗透自变量x取值必须有向有序有代表性，这是观察的前提.总结自变量x取值方法：①代表性，有正有负；②有序性：从小到大；③无限性：可以取无数个值，用“……”表示；④特殊性：x=0等.） 4
【师生活动】（1）学生将表格中填写的有序数对转化为点坐标，通过点坐标将函数解析式和函数图象建立联系.通过增大取点的密度，初步感受正比例函数图象的形状和函数图象的连续性，连线，师生共同画出函数图象. （2）教师用几何画板动态演示点的生成，学生感受函数图象的连续、光滑和无限. 【设计意图】通过对自变量取值范围的分析，处理学生无序、混乱取值，强调取值注意事项，这是学生的生长点，也为后续画其他正比例、一次函数、二次函数等图象扫清障碍.通过增大取点的密度和几何画板的动态演示，一方面让学生初步感受函数图象的位置和变化规律，学生更直观感受正比例函数图象的连线方式与延伸问题，体会运动变化与联系对应，另一方面也为后续观察图象特征，归纳函数性质做好准备. 问题5 观察正比例函数xy的图象，结合解析式，你能描述这个函数图象的特征吗？ 【师生活动】（1）教师引导从函数图象的形状、位置和变化趋势等角度观察函数图象，引导学生归纳正比例函数xy的特征（①形状：是一条直线;②位置：一、三象限;③变化趋势：上升），并板书在相应的函数图象旁边. （2）教师利用几何画板展示点的正向运动和逆向运动，让学生体会上升的相对性（上升是针对y轴正方向而言，还应该考虑x轴的正方向），引导学生用更严密的语言描述:从左到右，从下到上（或从左到右呈现上升趋势）. （3）教师引导学生从“数——形——数——式”递进式地观察函数图象. 数 观察表格，初步感受变化与对应.
形 观察点的变化，感受函数图象的变化趋势.通过分解函数图象，感受从左往右，从下往上的变化规律.
数 由图象再看表格，横向观察表格，当x越来越大时，y也越来越大. 式 xxy1 当x越来越大，y（等于x）也会越来越来.
【设计意图】引导学生观察图象，初步感知正比例函数的形状、位置和变化情况，总结描述函数图象特征的角度，是学生认识的另一个生长点，为后续研究其他函数特征提供观察的角度. （三）合作提升 5
问题6 你能画出其他的正比例函数kxy(0k)的图象吗？能描述出该函数图象的特征吗？ 追问1 请你从黑板上的10多个函数解析式任意挑选2个解析式，你能画出它们的图象吗？请动手操作. 追问2 观察已经画出的3个正比例函数的图象，独立思考这3个函数图象有什么相同或不同的规律？ 追问3 请与小组的其他同伴合作进行讨论，想一想你所发现的规律是否适用于同伴所画的函数图象？是否适用于黑板上的所有函数解析式？如果不适用，如何调整会更好？ 追问4 小组统一认识，说一说你们小组所发现的正比例函数图象的规律，并全班展示. 【设计意图】问题6没有限制k的取值情况，先开放让学生自己挑选k的取值，独立思考，发现图象的规律.学生会出现k全部取正数，全部取负数，或正数负数都有的情况，相应地，学生所发现的规律也会有所不相同，为小组讨论积累了素材.通过小组交流合作，有大量函数图象的视觉冲击下，在质疑答疑中，不断去验证、校对、修改和完善他们所发现的规律，发现规律的局限性和适用性（函数图象的规律受到k的正负的影响），逐步达成共识——所发现的规律应适用于所有研究对象，水到渠成对k分成正负两类，总结每一类函数图象的特征.在这个过程中，学生先独立思考，在和同伴交流中学会思考，这是培养创新意识的核心. 通过大量不同的函数图象，感受从特殊到一般的研究过程，体验数形结合的思想，渗透分类讨论思想和类比对比的学习方法. （四）引导发展 问题7 你能归纳正比例函数kxy(0k)性质吗？ 追问1 你能尝试用自己的语言表述刚才所发现正比例函数图象的一般规律（即正比例函数的性质）吗？ 规律描述：正比例函数的图象是过原点（0,0）的直线. 当k＞0时，图象经过一、三象限，从左往右上升； 当k＜0时，图象经过二、四象限，从左往右下降； 追问2 你会用更简洁的文字语言进行归纳吗？ 文字语言：当k＞0时，函数图象经过一、三象限，y随x的增大而增大; 当k＜0时，函数图象经过二、四象限，y随x的增大而减小.