解不等式中的常见错误分析

不等式概念及性质错解档案

同学们由于初学不等式，受以前等式的迁移影响以及对不等式新知识的理解不透，可能会出现这样那样的错误，从而导致学习效率的降低.本文就不等式基础知识中常出现的问题归纳存档，希望帮助大家绕出谜区，走向成功.

档案1：错误理解不等式概念

例1. 下列四个式子中：①0④b y ≤是不等式的有（ ）

A. ①③

B. ②③④

C. ①②③④

D. ②④ 错解: 选A.

剖析:概念不清致错.要判断一个式子是否为不等式,关键是看这个式子是不是用不等号

连结.常见的不等号有:≠≥≤><、、、、

，所以①②③④都是不等式. 正解：选C.

档案2：忽略“=”的意义 例2.用不等式表示下列语句. （1）m 的2倍不大于n 的

10

1；（2）x 的

3

1与y 的和是非负数.

错解：（1）n m 10

12<；（2）03

1>+y x .

剖析：忽略“=”致错.“不大于”用不等号表示为“≤”，“非负数”表示为“≥”. 正解：（1）n m 10

12≤

；（2）

03

1≥+y x .

档案3：混淆不等式的解与解集

例 3.判断正误：（1）8=x 是16>-x 的解集；（2）3

612

1<-x 的解，所以这个不等式的解集是x ＜10.

错解：（1）√ （2）√ （3）√.

剖析：同一个不等式的解和解集是不同的，解是指适合不等式的一个数，而解集则是指适合不等式的解的全体.（1）中8=x 是16>-x 的一个解；（2）中3

正解：（1）× （2）× （3）×. 档案4：不明数轴表示的方向与极点

例4.不等式3253-≥-x x 的解集在数轴上表示正确的是( )

A. B.

D.

错解:解不等式,得2

≥

x,所以选B.

剖析:错解的原因是不明解集在数轴上表示的规则.在数轴上表示不等式的解集,应注意：①找准分界点；②方向：大于右拐,小于左拐；③极点：有等是实心点,无等是空心圈.

正解：解不等式，得2

≥

x,所以选D.

档案5：忽视“性质3”的特殊性

例5.解不等式

25

4

5

2

-

>

-x．

错解：不等式两边同除以

5

2

-，得

5

2

>

x．

剖析：不等式两边同除以

5

2

-，根据不等式性质3，不等号方向必须改变，而错解中未改变方向故出错．望大家从等式顺势影响中迅速脱离，铭记不等式性质3的“另类”特色.

正解：不等式两边同除以

5

2

-，得

5

2

<

x．

档案6：粗心大意、马虎了事

例6.请你求出符合解集5

3<

≤

-x的所有整数解的和.

错解：符合解集5

3<

≤

-x的所有整数解是－2，－1，1，2，3，4，5.

剖析：错误原因在于不仔细审题、严密思考，导致错误叠出：①漏掉－3、0，却多了5；

②题目要求是求出符合解集5

3<

≤

-x的所有整数解的和，而非求所有整数解.

正解：符合解集的整数解是－3，－2，－1，0，1，2，3，4. 所有整数解的和为4.

档案7：思维僵化、考虑不周

例7.解关于x的不等式1

)1

(-

>

-a

x

a.

错解：不等式两边同除以1

-

a，得1

>

x.

剖析：对于不等式中未知数的系数1

-

a可能取正数、负数，也可能取0，因此解不等式时，要分类讨论．这也告诫我们：遇有字母系数，务必引起高度重视.

正解：（1）当1

>

a，即0

1>

-

a时，1

>

x；（2）1

=

a，即0

1=

-

a时，不等式变为0

0>，显然不成立，故不等式无解（即空集）；（3）当1

<

a，即0

1<

-

a时，1

<

x.

解不等式中的常见错误分析

在批改同学们作业时，发现同学们常出现这样一些错误，现作分析，供参考．

一、性质理解有误．

我们知道，在不等式两边同乘上（约去）一个数或同一个整式，要考察其正负性或是0！它是正的，则不变不等号的方向，而负的要改变不等号的方向．

例1：若a＞b，c是不为0的数，则正确的是（）

A、ac＞bc

B、ac＜bc

C、ac2≥bc2

D、（c+1）a＞（c+1）b

误：选D．

析与答：c可能是正，亦可能是负，A、B均错．C不一定大于－1，则D亦错．由c2的非负性知C对．

例2：若(a+1)x>a+1的解集是x<1，则a的取值范围是_____________．

误：由题意得(a+1)＞0，得a＞－1．

析与答：这里要从解集反向推理．我们发现最终不等号改变方向，依据不等式的性质知，必有两边同约去一个负数！得a+1＜0，得a＜－1．

二：解法有误．

有的同学一元一次方程的解法不熟，从而在解不等式时，也出现错误．

例3：解不等式

44

+

x

<

61

-

x

+1

误：去分母，得3(x+4)<2(x－1)+1……

析与答：在去分母时，不等式中的每一项都要乘以公分母．得3(x+4)<2(x－1)+12得x ＜－2，

三：对解集的理解有误．

不等式的解集是一组解的集合，在多数情况下有无数个解．在特定的条件下可能是有限个．

例4：不等式2（x－2）≤x－2的非负整数解的个数是＿＿＿．

误解：2x－4≤x－2 2x－x≤－2+4 x≤2则有无数个解．

析与解：解法正确，但题目中要找非负整数解，而满足x≤2的非负整数解仅有0、1、2三个．

四：数形结合不强．

不等式的解集用数轴来表示时，一要注意曲线的“覆盖”方向，二要注意空心圆圈和实心圆圈的不同．