第五讲 无穷小与无穷大(专升本高数)
专升本高数知识点汇总
专升本高数知识点汇总高等数学在专升本考试中占据着重要的地位，对于许多考生来说，掌握好高数的知识点是成功升本的关键之一。
以下是为大家汇总的专升本高数知识点，希望能对大家的学习有所帮助。
一、函数与极限1、函数的概念函数是一种从一个集合（定义域）到另一个集合（值域）的对应关系。
对于定义域内的每一个输入值，都有唯一的输出值与之对应。
2、函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性和有界性。
奇函数满足 f(x) ＝ f(x)，偶函数满足 f(x) ＝ f(x)。
单调性是指函数在某个区间内是递增或递减的。
周期性函数是指存在一个非零常数 T，使得 f(x ＋ T) ＝ f(x)。
有界性则是指函数的值域在某个范围内。
3、极限的定义极限是指当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于的一个确定的值。
4、极限的计算包括利用极限的四则运算法则、两个重要极限（＼（＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin x}｛x} ＝ 1\），＼（＼lim_{x ＼to ＼infty} （1 ＋＼frac{1}｛x}）＾x ＝ e\））以及等价无穷小代换来计算极限。
5、无穷小与无穷大无穷小是以零为极限的变量，无穷大是绝对值无限增大的变量。
无穷小的性质在极限计算中经常用到。
二、导数与微分1、导数的定义函数在某一点的导数是函数在该点的切线斜率。
2、导数的几何意义导数表示函数在某一点处的变化率，反映了函数图像的斜率。
3、基本导数公式包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。
4、导数的四则运算法则加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则。
5、复合函数求导通过链式法则进行求导。
6、隐函数求导通过方程两边同时对自变量求导来求解。
7、微分的定义函数的微分等于函数的导数乘以自变量的微分。
8、微分的几何意义微分表示函数在某一点处切线的增量。
三、中值定理与导数的应用1、罗尔定理如果函数 f(x) 满足在闭区间 a,b 上连续，在开区间（a,b) 内可导，且 f(a) ＝ f(b)，那么在（a,b) 内至少存在一点ξ，使得 f'（ξ) ＝ 0 。
《高数教学课件》第二节之三3.无穷小无穷大
时, 有
性质1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .
证: 考虑两个无穷小的和 .
设
当
时 , 有
当
时 , 有
取
则当
因此
这说明当
时,
为无穷小量 .
类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 .
03
例如，
02
说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !
01
性质2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .
4
时为无穷小量，
6
时为无穷小.
3
成立，
则称函数
定义6. 若
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说明:
除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 !
因为
当
时,
显然 C 只能是 0 !
C
C
时 , 函数
(或 )
为
(或 )
则
时的无穷小 .
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第二节 极 限
CONTENTS
5
无穷小与无穷大
2
无穷大
1
第一章
4
无穷小
3
无穷小与无穷大的关系
函数
当
时为无穷小;
函数
时为无穷小;
函数
当
时为无穷小.
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（一） 无穷小
为无穷小 ;
1.无穷小与无穷大的定义
第五节 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
无穷小与函数极限的关系
Th7
无穷小与无穷大的关系
Th8
无穷小的性质
定理 7 ( 无穷小与函数极限的关系 )
2.6无穷小与无穷大
1 当x → 0时, x sin x
+ 2
1 当x → 0 时, x arctan x
当x → 0时, 4x
2
二、无穷大量
定义2:
时, 函数 (或x → ∞) 的绝对值无限增大, 则称函数 为 时的无穷大 . (或x → ∞)
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
x → x0 ( x→∞ )
lim f ( x ) = +∞ (或 lim f ( x ) = −∞ )
x2 x⋅ = lim 32 x →0 x 1 = . 2
注 意
相乘(除)的无穷小都可用各自的等价无穷小代换，但 是相加(减)的无穷小的项不能作等价代换，例如
tan x − sin x x− x lim ≠ lim 3 = 0. 3 x →0 x →0 x x
是完全错误的
练习1
解
( x + 1) sin x . 求 lim x → 0 arcsin x
例3
解
(e − 1) ⋅ sin x lim . x →0 1 − cos x
x
当x → 0时, e − 1 ~ x,
x
1 2 sin x ~ x,1 − cos x x 2
x⋅x 原式 = lim =2 x →0 1 2 x 2
例4
解
tan x − sin x 求 lim . 3 x →0 x
β (1) 如果 lim = 0， α 记作 β = o(α )；
β ( ) 如果 lim = ∞， ２ α
就说 β 是比 α 高阶的无穷小,
就说 β 是比 α 低阶的无穷小．
β (3) 如果 lim = C ≠ 0, α
就说 β 与 α 是同阶的无穷小;
第四节无穷小与无穷大
f (2nπ ) = 2 nπ → ∞ (当 n → ∞ )
但 所以
f ( π + nπ ) = 0 2
y
y = x cos x
x → ∞ 时 , f ( x) 不是无穷大 !
o
x
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1 例 . 证明 lim =∞ x →1 x − 1 1 1 证: 任给正数 M , 要使 > M , 即 x −1 < , M x −1 1 只要取 δ = , 则对满足 0 < x − 1 < δ 的一切 x , 有 M 1 y 1 >M y= x −1 x −1 1 = ∞. 所以 lim o 1 x x →1 x − 1
x → x0
f ( x) = A + α , 其中α 为 x → x0
时的无穷小量 .
∀ε > 0 , ∃δ > 0 , 当 0 < x − x0 < δ 时,有 f ( x) − A < ε
α = f ( x) − A
x → x0
lim α = 0
对自变量的其它变化过程类似可证 .
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( lim f ( x) = ∞ )
x →∞
若在定义中将 ①式改为 f ( x) > M ( f ( x) < − M ) , 则记作 lim f ( x) = +∞ ( lim f ( x) = − ∞)
x → x0 ( x →∞ ) x → x0 ( x →∞ )
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注意: 1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如, 函数 f ( x) = x cos x , x ∈ (−∞ , + ∞ )
高等数学专升本教材目录
高等数学专升本教材目录一、函数与极限1. 实数与数集2. 函数及其表示3. 函数的极限与连续性4. 极限运算与极限的存在准则5. 无穷小与无穷大6. 极限的运算法则二、微分学1. 导数的概念与运算法则2. 高阶导数与隐函数求导法3. 导数的几何应用4. 微分中值定理与导数的应用5. 微分学基本公式6. 泰勒公式与函数的展开三、积分学1. 不定积分与定积分的概念2. 定积分的性质与求法3. 反常积分的概念与判定4. 微积分基本公式与换元积分法5. 积分的几何应用6. 定积分的应用与物理应用四、级数与级数检查法1. 数项级数的概念2. 级数的收敛与发散3. 正项级数的比较判别法4. 正项级数的比值判别法5. 函数项级数的收敛性6. 幂级数与泰勒级数五、常微分方程1. 常微分方程的基本概念2. 可分离变量的常微分方程3. 齐次方程与一阶线性非齐次方程4. 高阶线性齐次方程5. 常系数非齐次线性微分方程6. 常微分方程的应用六、多元函数微分学1. 多元函数的概念与极限2. 偏导数及其几何应用3. 全微分与微分中值定理4. 多元函数的极值与最值5. 隐函数与参数方程的微分6. 多元函数的泰勒公式和极限运算法则七、重积分与曲线积分1. 二重积分的概念与性质2. 二重积分的计算方法3. 三重积分的概念与计算4. 重积分的应用5. 曲线积分的概念与计算6. 曲线积分的应用八、曲面积分与散度定理1. 曲面积分的概念与计算2. 散度的概念与计算3. 散度定理的应用4. Green公式与环流的计算5. 散度、旋度与调和函数6. Stokes公式与积分曲线无关性以上为《高等数学专升本教材》的目录，涵盖了高等数学的主要内容及其应用。
无论是函数与极限、微分学、积分学、级数与级数检查法、常微分方程、多元函数微分学，还是重积分与曲线积分、曲面积分与散度定理等章节都对数学专升本的学生提供了全面的知识体系和解题技巧。
这本教材将帮助学生深入理解高等数学的基本概念和原理，并能应用于实际问题的求解中。
专升本高等数学二笔记公式大全
第一章极限和连续第一节极限[复习考试要求] 1.了解极限的概念（对极限定义 3. 理解事件之间并（和）、交（积）、差运算的意义，掌握其运算规律。
4. 理解概率的古典型意义，掌握事件概率的基本性质及事件概率的计算。
1，0，1，0，… 有界：0， 12.数列极限的存在准则定理 1.3（两面夹准则）若数列{x n },{y n },{z n }满 等形式的描述不作要求）。
5.会求事件的条件概率；掌握概率的乘法公式及足以下条件：会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。
2. 了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。
3. 理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。
会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。
会运用等价无穷小量代换求极限。
4. 熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。
第二节函数的连续性[复习考试要求]1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。
2.会求函数的间断点。
3. 掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。
4. 理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。
第二章一元函数微分学第一节导数与微分 事件的独立性。
6. 了解随机变量的概念及其分布函数。
7. 理解离散性随机变量的意义及其概率分布掌握概率分布的计算方法。
8. 会求离散性随机变量的数学期望、方差和标准差。
第一章极限和连续第一节极限[复习考试要求]1.了解极限的概念（对极限定义（1） ，（2） ， 则定理 1.4 若数列{x n }单调有界，则它必有极限。
3.数列极限的四则运算定理。
定理 1.5（三）函数极限的概念 1. 当 x→x 0 时函数f （x ）的极限 （1）当 x→x 0 时f （x ）的极限 定义对于函数 y=f （x ），如果当 x 无限地趋于 x 0时，函数 f （x ）无限地趋于一个常数A ，则称当x→x 0 时，函数 f （x ）的极限是A ，记作或f （x ）→A（当 x→x 0 时） 例 y=f （x ）=2x+12. 当x→∞时，函数 f （x ）的极限 （1） 当x→∞时，函数 f （x ）的极限y=f(x)x→∞f(x)→?y=f(x)=1+x→∞f(x)=1+ →1定义对于函数y=f （x ），如果当 x→∞时，f （x ）无限地趋于一个常数A ，则称当x→∞时，函数 f （x ）的极限是A ，记作或 f （x ）→A（当x→∞时）（2） 当x→+∞时，函数 f （x ）的极限定义对于函数y=f （x ），如果当 x→+∞时，f （x ）无限地趋于一个常数A ，则称当 x→+∞时，函数f （x ）的极限是A ，记作这个定义与数列极限的定义基本上一样，数列极限的定义中n→+∞的 n 是正整数；而在这个定义[复习考试要求] 等形式的描述不作要求）。
《高职工科应用数学》教案6无穷小与无穷大
《高职工科应用数学》教案6无穷小与无穷大教学目标：1.了解无穷小与无穷大的概念；2.掌握无穷小与无穷大的性质和运算规律；3.掌握应用无穷小与无穷大解决实际问题。
教学重点：1.无穷小的定义和性质；2.无穷大的定义和性质；3.无穷小与无穷大的运算规律。
教学难点：1.复杂问题中的无穷小与无穷大的运算；2.如何应用无穷小与无穷大解决实际问题。
教学准备：教材、黑板、彩色粉笔、课件、习题集等。
教学过程：一、引入（5分钟）教师通过给出一组数列或函数，引出无穷小与无穷大的概念，并与学生共同总结无穷小与无穷大的定义和性质。
二、理论讲解（15分钟）1.无穷小的定义和性质：a.定义：当自变量趋于一些值时，如果函数值也趋于零，则称该函数为无穷小。
b.性质：i.无穷小的性质1：无穷小与有界量的积仍为无穷小；ii. 无穷小的性质2：无穷小与有穷数的和仍为无穷小；iii. 无穷小的性质3：无穷小的高阶无穷小，与低阶无穷小相比可以忽略不计。
2.无穷大的定义和性质：a.定义：当自变量趋于一些值时，如果函数值无限增大或无限减小，则称该函数为无穷大。
b.性质：i.无穷大的性质1：无穷大与有界量的积仍为无穷大；ii. 无穷大的性质2：无穷大与有穷数的和仍为无穷大；iii. 无穷大的性质3：无穷大的高阶无穷大，与低阶无穷大相比可以忽略不计。
三、运算规律（15分钟）1.无穷小与无穷小的运算：a.无穷小的加减运算：无穷小与无穷小相加或相减的结果仍为无穷小，且同阶无穷小相加或相减可以得到更高阶的无穷小；b.无穷小的乘除运算：无穷小与无穷小相乘或相除的结果需要根据具体问题来确定。
2.无穷大与无穷大的运算：a.无穷大的加减运算：无穷大与无穷大相加或相减的结果需要根据具体问题来确定；b.无穷大的乘除运算：无穷大与无穷大相乘或相除的结果需要根据具体问题来确定。
四、应用实例（25分钟）教师通过讲解一些实际问题的解题方法，来展示如何应用无穷小与无穷大来解决实际问题，比如极限的计算、函数的渐近线等。
无穷小与无穷大.doc
无穷小与无穷大.doc
思想中的“无穷小”和“无穷大”是多么的神秘与诱人！让我们从无穷小说起。
无穷小一般用于物理学、数学等领域，也可以称为“微小焦距”。
无穷小意味着在物
理实验中，可能无法观测到某种事物的最小单位，这个最小单位就可以当作“无穷小”。
换句话说，无穷小是物质细微到不能更细微，或者不能更小的程度。
从数学角度来看，无穷小也可以指的是一个数的趋近，如果一个变量的大小趋近于0
或趋近于无穷小，那么它就可以称作无穷小。
因此，无穷小常常用来建模真实生活中的极
细小物质，或者用来表示无穷多个物理对象中每一个对象的“无穷小”占比。
接下来，让我们看看无穷大是什么，它与无穷小无疑有着本质的不同，它被众多学科
所使用，最常用的是针对数学的应用。
无穷大在数学上表示为无限接近于正无穷（可称为
无限大）或者是负无穷（可称为无限小）的存在。
无穷大的物理量是永远不会抵达的。
无穷小和无穷大因为表征的是物理实验以及数学推理中的一种极端，它通常被当作一
种抽象，表示不可测量或不可计算，其中包括了一些极大或极小的概念、特性或值。
例如，当我们考虑某种微粒的量子性质时，就可以将其视作无穷小；而当我们考察某种容量的庞
大无限时，认为它趋近于无穷大也没有问题。
无穷小与无穷大所表示的极端性，一直在人类思想史中发挥重要作用，它们代表着科
学和认知的尽头，它们也是哲学家追问大学问的基础。
此外，无穷小与无穷大更为普通人
所参与认识，因此，它们被那些不具备物理与数学知识背景的人所同样理解和认知。