历年高考文科数学汇编平面向量
2021年高考数学分类汇编----平面向量
，解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设 ，
，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
4.（2021全国乙卷文科）已知向量 ，若 ，则 _________．
【答案】
【解析】
【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于 的方程，解方程即可求得实数 的值.
A.①成立，②成立B.①成立，②不成立
C.①不成立，②成立D.①不成立，②不成立
【答案】B
【解析】
分析】建立坐标系，设出坐标，利用坐标关系表示出即可判断.
【详解】不妨设 ， ， ， ， ，
① ， ，若 ，∴ ，
∴ ，满足条件 明显存在，∴①成立；
②F为AB中点， ， 与 交点即重心 ，
∵ 为 三等分点， 为 中点，∴ 与 不共线，即②不成立；
2021年高考数学分类汇编-----平面向量
1.（2021全国甲卷理科）已知向量 ．若 ，则 ________．
【答案】 .
【解析】
【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量 的坐标，利用向量的数量积为零求得 的值
【详解】 ,
，解得 ,
故答案为： .
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量 垂直的充分必要条件是其数量积 .
【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得： ，
解方程2021浙江）已知非零向量 ，则“ ”是“ ”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.
【详解】若 ，则 ，推不出 ；若 ，则 必成立，
高考数学试题分类汇编——平面向量
高考数学试题分类汇编平面向量一． 选择题：1.（全国一5）在ABC △中，AB c =，AC b =．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ A ）A ．2133b c +B ．5233c b -C ．2133b c -D ．1233b c + 2.（安徽卷2）若(2,4)AB =，(1,3)AC =, 则BC =（ B ）A ． （1，1）B ．（－1，－1）C ．（3，7）D ．（-3,-7）3.（安徽卷5）在三角形ABC 中，5,3,7AB AC BC ===,则BAC ∠的大小为（ A ）A ．23πB ．56πC ．34πD ．3π 4.（北京卷4）已知ABC △中，2a =3b =60B =，那么角A 等于（ C ）A ．135B ．90C ．45D ．305.（福建卷8)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2+c 2-b 3ac ,则角B 的值为A A.6π B.3π C.6π或56π D.3π或23π 6.（广东卷3）已知平面向量(1,2)a =，(2,)b m =-，且a //b ，则23a b +＝（ B ）A 、(5,10)--B 、(4,8)--C 、(3,6)--D 、(2,4)--7.（海南卷5）已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+与a 垂直，则λ是（ A ）A. －1B. 1C. －2D. 28.（海南卷9）平面向量a ，b 共线的充要条件是（ D ）A. a ，b 方向相同B. a ，b 两向量中至少有一个为零向量 C. R λ∃∈， b a λ= D. 存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+=9.（湖北卷设1）)2,1(-=a ,)4,3(-=b ,则=•+c b a )2( CA.(15,12)-B.0C.3-D.11-10.（湖南卷7）在ABC ∆中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ⋅= ( D )A ．23-B ．32-C ．32D ．23 11.（辽宁卷5）已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ，，(12)B --，，(31)C ，，且2BC AD =，则顶点D 的坐标为（ A ）A ．722⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．122⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．(32)，D ．(13)，12.（山东卷8）已知a b c ，，为ABC △的三个内角A B C ，，的对边，向量31)(cos sin )A A =-=，，，m n ．若⊥m n ，且cos cos sin a B b A c C +=，则角A B ，的大小分别为（ C ）A ．ππ63，B ．2ππ36，C ．ππ36，D ．ππ33， 13.（四川卷3）设平面向量()()3,5,2,1a b ==-，则2a b -=( A )（Ａ）()7,3 （Ｂ）()7,7 （Ｃ）()1,7 （Ｄ）()1,314.（四川卷7）ABC ∆的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ，若5,22a b A B ==，则cos B =( B ) 5 5 5 515.（重庆卷4)若点P 分有向线段AB 所成的比为-13，则点B 分有向线段PA 所成的比是A (A)-32 (B)-12 (C) 12(D)3 二． 填空题：1.（全国二13）设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ ．22.（北京卷11）已知向量a 与b 的夹角为120，且4==a b ，那么b a •的值为 ．8-3.（湖北卷12）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知3,3,30,a b c ===︒则A ＝ . 6π 4.（湖南卷11）已知向量)3,1(=a ，)0,2(-=b ，则b a +=_____________________.25.（江苏卷5）a ，b 的夹角为120︒，1a =，3b = 则5a b -= ．76.（江苏卷13）若2BC ，则ABC S ∆的最大值 ．227.（江西卷16）如图，正六边形ABCDEF 中，有下列四个命题：A ．2AC AF BC +=B ．22AD AB AF =+C ．AC AD AD AB ⋅=⋅D ．()()AD AF EF AD AF EF ⋅=⋅ 其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．A 、B 、D8.（陕西卷15）关于平面向量，，a b c ．有下列三个命题： ①若c a b a ⋅=⋅，则=b c ．②若(1)(26)k ==-，，，a b ，∥a b ，则3k =-． ③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ，则a 与+a b 的夹角为60．其中真命题的序号为 ② ．（写出所有真命题的序号）A B D E CF9.（上海卷5）若向量a ，b 满足12a b ==，且a 与b 的夹角为3π，则a b += ．710.（天津卷14）已知平面向量(24)=，a ，(12)=-，b ，若()=-c a a b b ，则=c ．211.（浙江卷14）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()C a A c b cos cos 3=-，则=A cos 312.（浙江卷16）已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足()0b a b -=，则||b 的取值范围是 。
高考文科数学：平面向量
2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编4：平面向量一、选择题1 ．（2013年高考辽宁卷（文））已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为 （ ）A ．3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，- B ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，2 ．（2013年高考湖北卷（文））已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ,则向量AB 在CD 方向上的投影为 （ ）A B C ．D ． 3 ．（2013年高考大纲卷（文））已知向量()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-若则（ ）A ．4-B ．3-C ．-2D ．-1 4 ．（2013年高考湖南（文））已知a,b 是单位向量,a·b=0.若向量c 满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为____C ．____ （ ）A 1- BC 1D 25 ．（2013年高考广东卷（文））设 a 是已知的平面向量且≠0 a ,关于向量a 的分解,有如下四个命题:①给定向量 b ,总存在向量 c ,使=+a b c ;②给定向量 b 和 c ,总存在实数λ和μ,使λμ=+a b c ;③给定单位向量 b 和正数μ,总存在单位向量 c 和实数λ,使λμ=+a b c ;④给定正数λ和μ,总存在单位向量 b 和单位向量 c ,使λμ=+a b c ;上述命题中的向量 b , c 和a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．46 ．（2013年高考陕西卷（文））已知向量 (1,),(,2)a m b m ==, 若a //b , 则实数m 等于（ ）A ．BC ．D ．07 ．（2013年高考福建卷（文））在四边形ABCD 中,)2,4(),2,1(-==BD AC ,则该四边形的面积为（ ）A ．5B ．52C ．5D ．10二、填空题9 ．（2013年高考四川卷（文））如图,在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,AB AD AO λ+=,则λ=_____________.10．（2013年高考天津卷（文））在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AC BE =, 则AB 的长为______.11．（2013年高考重庆卷（文））OA 为边,OB 为对角线的矩形中,(3,1)OA =-,(2,)OB k =- ,则实数k =____________.12．（2013年高考山东卷（文））在平面直角坐标系xOy 中,已知(1,)OA t =- ,(2,2)OB = ,若90o ABO ∠=,则实数t 的值为______13．（2013年高考安徽（文））若非零向量,a b 满足32a b a b ==+ ,则,a b 夹角的余弦值为_______.14．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的 中点,则AE BD ⋅= ________.17．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知两个单位向量a ,b 的夹角为60,(1)=+-c ta t b ,若0⋅=b c,则t =_____.。
2020高考数学分项汇编专项05平面向量(含解析)文
(备战2020)（北京版）高考数学分项汇编专项05 平面向量（含解析）文1. 【2018高考北京文第2题】向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ，如果//c d ，那么 A、1k 且c 与d 同向 B 、1k 且c 与d 反向 C 、1k 且c 与d 同向 D 、1k且c 与d 反向【答案】 D2. 【2018高考北京文第4题】假设a ，b 是非零向量，且a ⊥b ，|a |≠｜b |，那么函数f (x )＝(xa ＋b )·（xb－a )是( ) A 、一次函数且是奇函数 B 、一次函数但不是奇函数C 、二次函数且是偶函数D 、二次函数但不是偶函数【答案】 A 3. 【2019高考北京文第3题】向量2,4a ，1,1b ，那么2a b 〔〕 A.5,7 B.5,9 C.3,7 D.3,9【答案】 A考点：本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.4. 【2005高考北京文第4题】假设||1,||2,a b c a b ，且c a ，那么向量a 与b 的夹角为( )〔A 〕30°〔B 〕60° 〔C 〕120°〔D 〕150°5. 【2007高考北京文第11题】向量2411a b ，，，==．假设向量()ba b +，那么实数的值是．6. 【2006高考北京文第12题】向量a =(cos α,s in α),b =(cos β,sin β),且a ≠±b ,那么a +b 与a -b 的夹角的大小是 .7. 【2006高考北京文第9题】假设三点A (2,2),B (a,0),C (0,4)共线,那么a 的值等于 .【答案】48. 【2018高考北京文第11题】向量(3,1),(01),(,3)a b c k 。
假设2a b 与c ，共线，那么k =.【答案】19. 【2019高考北京文第13题】正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，那么DE CB 的值为________，DE DC 的最大值为________．【答案】 1 110．【2018高考北京文第11题】向量a 与b 的夹角为120，且4a b ，那么a b 的值为．【答案】811. 【2019高考北京，文6】设a ，b 是非零向量，〝a b a b 〞是〝//a b 〞的〔〕A 、充分而不必要条件 B 、必要而不充分条件C 、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件【答案】 A【解析】||||cos ,a b a b a b ，由得cos ,1a b ，即,0a b ，//a b .而当//a b 时，,a b还可能是，此时||||a b a b ，故〝a b a b 〞是〝//a b 〞的充分而不必要条件，应选A. 【考点定位】充分必要条件、向量共线.。
2013-2019高考文科数学分类汇编-第五章 平面向量
第五章 平面向量第1节 平面向量的概念、基本定理及坐标运算题型62 向量的概念及共线向量1. （2013辽宁文3）已知点()()1341A B -，，，，则与向量AB u u u r同方向的单位向量为（ ）. A. 3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，B. 4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，C. 3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D. 4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， 1.解析 (3,4),AB =-u u u r 则与其同方向的单位向量()1343,4,555AB AB ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭u u u ru u u r e .故选A.题型63 平面向量的线性运算1.（2013江苏10）设E D ，分别是ABC △的边BC AB ，上的点，AB AD 21=，BC BE 32=， 若12DE AB AC λλ=+u u u r u u u r u u u r（21λλ，为实数），则21λλ+的值为 .1.分析 利用平面向量的加、减法的运算法则将DE u u u r 用AB u u u r ，AC u u u r表示出，对照已知条件，求出1λ，2λ的值即可.解析 由题意DE BE BD =-=u u u r u u u r u u u r ()212323BC BA AC AB -=-+u u u r u u u r u u u r u u u r112263AB AB AC =-+u u u r u u ur u u u r ， 于是1212,63λλ=-=.故1212λλ+=. 2. （2013四川文12）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=u u u r u u u r u u u r，则λ= .2.分析 根据向量加法的平行四边形法则及向量数乘的几何意义求解.解析 由向量加法的平行四边法则，得AB AD AC +=u u u r u u u r u u u r.又O 是AC 的中点，所以2AC AO =，所以2AC AO =u u u r u u u r ，所以2AB AD AO +=u u u r u u u r u u u r .又AB AD AO λ+=u u u r u u u r u u u r ，所以2λ=. CBDAO3.（2014福建文10）设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则OA OB OC OD +++u u u r u u u r u u u r u u u r等于（ ）. A.OM u u u u r B.2OM u u u u r C.3OM u u u u r D. 4OM u u u u r4.（2014新课标Ⅰ文6）设F E D ,,分别为ABC △的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EB （ ）.A.ADB.AD 21 C. BC D. BC 21 5.（2014浙江文9）设θ为两个非零向量,a b 的夹角，已知对任意实数t ，t +b a 的最小值为（ ）.A ．若θ确定，则a 唯一确定B ．若θ确定，则b 唯一确定C ．若a 确定，则θ唯一确定D ．若b 确定，则θ唯一确定 6.（2017全国2文4）设非零向量a ，b 满足+=-a b a b ，则（ ）. A ⊥a b B. =a b C. //a b D. >a b6.解析 由||||+=-a b a b 平方得222222+⋅+=-⋅+a a b b a a b b ，即0⋅=a b ，则⊥a b .故选A.7.（2017天津文14）在ABC △中，60A ∠=o，3AB =，2AC =.若2BD DC =u u u r u u u r，()AE AC AB λλ=-∈R u u u r u u u r u u u r，且4AD AE ⋅=-u u u r u u u r ，则λ的值为 .7.解析 解法一：如图所示，以向量AB uuu r ，AC u u u r为平面向量的基底，则依题意可得1cos603232AB AC AB AC ⋅==⨯⨯=o u u u r u u u r u u u r u u u r .又因为2BD DC =u u u r u u u r，则()2233AD AB BD AB BC AB AC AB =+=+=+-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2133AC AB +u u ur u u u r . 又因为AE AC AB λ=-u u u r u u u r u u u r，则()2221243333AD AE AC AB AC AB λλ⎛⎫-=⋅=-+-⋅= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2221211233533333λλλ⎛⎫⨯-⨯+-=- ⎪⎝⎭，即得311λ=. 解法二：以点A 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图所示).依题意易DCA得()0,0A ，()3,0B，(C，则可得2533AD AB BD AB BC ⎛=+=+= ⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，()AE AC AB λλ=-=-u u u r u u u r u u u r ，于是有()511432533AD AE λλλ-=⋅=-+=-u u u r u u u r ，解得311λ=.2018年1.（2018全国Ⅰ文7）在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u rA ．3144AB AC -u u ur u u u r B ．1344AB AC -u u ur u u u r C ．3144AB AC +u u ur u u u r D ．1344AB AC +u u ur u u u r 解析 如图所示，1111131()()2242444EB BE BA BD AB BC AB AC AB AB AC =-=-+=-=--=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r .故选A.题型64 向量共线的应用1.（2015北京文6）设a ，b 是非零向量，“a b =a b ⋅”是“//a b ”的（ ）. A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件1.解析 由cos ,⋅=a b a b a b ，若⋅=a b a b ，则cos ,1=a b ，即,0=a b ， 因此//a b .反之，若//a b ，并不一定推出⋅=a b a b ，而是⋅=a b a b ，原因在于： 若//a b ，则,0=a b 或π.所以“⋅=a b a b ”是“//a b ”的充分而不必要条件.故选A.题型65 平面向量基本定理及应用1．（2013广东文10）设a 是已知的平面向量且a ≠0．关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数和，使λμ=+a b c ；③给定向量b 和正数，总存在单位向量c ，使λμ=+a b c . ④给定正数和，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c .上述命题中的向量b 、c 和a ，在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数 A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ．4 1.分析 利用向量的平行四边形法则或三角形法则、平面向量基本定理进行判断. 解析 对于①，若向量,a b 确定，因为-a b 是确定的，故总存在向量c ，满足=-c a b ， 即=+a b c ，故正确；对于②，因为c 和b 不共线，由平面向量基本定理知，总存在唯一的一对实数,λμ，满足λμ=+a b c ，故正确；对于③，如果λμ=+a b c ，则以,,λμa b c 为三边长可以构成一个三角形，如果b 和正数μ确定，则一定存在单位向量c 和实数λ满足λμ=+a b c ，故正确； 对于④，如果给定的正数λ和μ不能满足“,,λμa b c 为三边长可以构成一个三角形”这时单位向量b 和c 就不存在，故错误.故选C.2.（2016四川文9） 已知正ABC △的边长为，平面ABC 内的动点P ，M 满足1AP =uu u r，PM MC =uuu r uuu r ，则2BMuuu r 的最大值是（ ）.A.B. C.D.2. B 解析 正三角形的对称中心为，易得，.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示.则. 设，由已知，得.又，所以，所以. 3244344943637+433237+ABC O 120AOC AOB BOC ∠=∠=∠=oOA OB OC ==uu r uu u r uuu r O OA x ()((201A B C --，，，(,)P x y 1PA =uu r ()2221x y -+=PM MC =uuu r uuur 1,22x y M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭1,22x y BM ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭uuur因此.它表示圆上的点与点距离平方的， 所以.故选.3.(2018全国1文7)在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u rA ．3144AB AC -u u ur u u u rB ．1344AB AC -u u ur u u u rC ．3144AB AC +u u ur u u u rD ．1344AB AC +u u ur u u u r3.解析 如图所示，1111131()()2242444EB BE BA BD AB BC AB AC AB AB AC =-=-+=-=--=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r .故选A.题型66 向量的坐标运算1.（2014广东文3）已知向量()()1,2,3,1==a b ，则-=b a （ ）. A.()2,1- B.()2,1- C.()2,0 D. ()4,32.（2014北京文3）已知向量()2,4=a ，()1,1=-b ，则2-=a b （ ）.A.()5,7 B.()5,9 C.()3,7 D.()3,92. 解析 由()2,4=a 知()24,8=a ，所以()()()24,81,15,7-=-=a b .故选A.3.（2014湖南文10）在平面直角坐标系中，O 为原点，()1,0A -，(0B ，()30C ，，动点D 满足1CD =u u u r,则OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r 的取值范围是（ ）. A.[]46，B.⎤⎦()(222221124x y x BM ++++⎛⎫=+= ⎪⎝⎭⎝⎭uuu r 22(2)1x y -+=()x y，(1--，1422max 149144BM ⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎭uuu r BC.⎡⎣D.⎤⎦4.（2014陕西文18）（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，已知点()()()1,1,2,3,3,2A B C ，点(),P x y 在ABC △三边围成的区域（含边界）上，且()OP mAB nAC m n =+∈R u u u r u u u r u u u r，.（1）若23m n ==； （2）用y x ,表示n m -，并求n m -的最大值.5.（2015全国1文2） 已知点(0,1),(3,2)A B ，向量()4,3AC =--u u u r，则向量BC =u u u r （ ）.A. ()7,4--B. ()7,4C. ()1,4-D. ()1,45.解析 由题意可得()()03,123,1BA =--=--u u u r，()()34,137,4BC BA AC =+=----=--u u u r u u u r u u u r.故选A.6.（2015年湖南文9） 已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥.若点P的坐标为()2,0，则PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r的最大值为（ ）.A. 6B. 7C. 8D. 96.解析 解法一 由题意，AC 为直径，所以22PA PB PC PO PB PO PB ++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r…，当点B 为()1,0-时，4PB +u u u r取得最大值7.故选B.解法二 由题意得，AC 为圆的直径，故可设()()(),,,,,A m n C m n B x y --，所以()6,PA PB PC x y ++=-u u u r u u u r u u u r ，而()222261236371249x y x y x x -+=+-+=-…， 当且仅当“1x =-”时“=”，取所以PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r 的最大值为7.故选B.7.（2015年江苏6）已知向量()2,1=a ，()1,2=-b ，若m n +a b ()9,8=-(),m n ∈R ，则m n -的值为 ．7.解析 由题意m n +a b ()()2,11,2m n =+-()2,2m n m n =+-()9,8=-， 从而2928m n m n +=⎧⎨-=-⎩，解得25m n =⎧⎨=⎩，故3m n -=-．评注 也可以将m n -用2m n +与2m n -线性表示，如()()1322355m n m n m n -=++-=-． 题型67 向量平行（共线）的坐标表示1. (2013陕西文2）已知向量()()12m m ==，，，a b ，若∥a b ，则实数m 等于（ ）.A.B.C.D. 01.解析由2//12m m m ⇒=⨯⇒==a b 故选C.2.（2015四川文2）设向量()2,4=a 与向量(),6x b =共线，则实数x =（ ）. A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 2.解析 由向量平行的性质，得2:4:6x =，解得3x =.故选B.3.（2016全国甲文13）已知向量()=4m ，a ，向量()=32-，b ，且∥a b ，则m =_________. 3. 解析 因为，所以，解得. 4.（2017山东文11）已知向量()26=，a ，()1,λ=-b ，若//a b ，则λ= .4.解析 由//a b ，得62λ-=，解得3λ=-.2018年1.（2018全国Ⅲ文13）已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________．解析 ()()()22,42,24,2=+-=a +b .又()2∥c a +b ，则42λ=，得12λ=.第2节 平面向量的数量积题型68 平面向量的数量积1.（2013湖北文7）已知点(1,1)A -，(1,2)B ，(2,1)C --，(3,4)D ，则向量AB u u u r在CD uuu r方向上的投影为（ ）.A．2 B．2 C．2- D．2- 1.分析 首先求出,AB CD u u u r u u u r的坐标，然后根据投影的定义进行计算.解析 由已知得()()2,1,5,5AB CD ==u u u r u u u r，因此AB u u u r 在CD uuu r 方向上的投影为6-//a b 2430m --⨯=6m =-AB CDCD⋅==u u u r u u u ru u u r.故选A.2．(2013福建文10）在四边形ABCD中，()()1,2,4,2,AC BD==-u u u r u u u r则该四边形的面积为（）.AB．C．5D．102.分析先利用向量的数量积证明四边形的对角线垂直，再求面积.解析因为()()1,24,2440AC BD⋅=⋅-=-+=u u u r u u u r，所以AC BD⊥u u u r u u u r，所以11522ABCDS AC BD=⋅==四形u u u r u u u r边.故选C.3. (2013湖南文8）已知,a b是单位向量，0a b⋅=.若向量c满足1,c a b--=则c的最大值为（）.1123.分析将所给向量式两边平方后利用向量数量积的运算律求解.解析因为,a b是单位向量，所以1==a b.又0⋅=a b，所以⊥a b，所以+=a b所以()2222221--=-⋅++⋅++=c a b c c a b a b a b.所以()2210-⋅++=c c a b.所以()221⋅+=+c a b c.所以()212cosθθ+=++是与的夹角c c a b c a b.所以21cosθ+=≤c.所以210-+≤c.11≤c.所以c1.故选C.4.(2013天津文12）在平行四边形ABCD中，1AD=，60BAD︒∠=，E为CD的中点.若·1AC BE=u u u r u u u r，则AB的长为.4.分析用,AB ADu u u r u u u r表示ACuuu r与BEu u u r，然后进行向量的数量积计算.解析由已知得1,,2AC AD AB BE AD AB=+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r所以212AC BE AD AB AD AB⋅=-⋅+⋅u u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r221111222AD AB AB AD AB-=+⋅-u u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r2111||||cos 601,22AB AD AB =+⋅︒-=u u u r u u u r u u ur 所以1||=.2AB u u u r5.（2013浙江文17） 设12,e e 为单位向量，非零向量12,,x y x y =+∈b e e R ，若12,e e 的夹角为30o，则||||x b 的最大值等于________.5.分析 为了便于计算可先求2x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭b 的范围，再求xb 的最值.解析 根据题意，得()()()1222222212122x x x x y xy x y ⎛⎫=== ⎪ ⎪++⋅+⎝⎭b e e e e e e22222cos 6x x y xy =π++2114y x ==⎛+ ⎝⎭⎝⎭.因为21144y x ⎛++ ⎝⎭≥，所以204x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭≤<b ，所以02x ≤<b .故xb 的最大值为2. 6. (2013安徽文13）若非零向量a b ，满足32a b a b ==+，则a 与b 夹角的余弦值为 .6.解析 由2,=+a a b 两边平方，得()22224,=+=+⋅a a b a a b 所以2⋅=-a b b .又3,=a b 所以cos ,a b 22133-⋅===-b a b a b b . 7. （2013山东文15）在平面直角坐标系xOy 中，已知OA u u u r ()1,t =-，OB uuu r()2,2=．若90ABO ∠=o，则实数t 的值为 ．7.分析 利用向量垂直的充要条件，列方程求解.解析 因为90ABO ∠=︒，所以AB OB ⊥u u u r u u u r ，所以0OB AB ⋅=u u u r u u u r .又AB OB OA =-u u u r u u u r u u u r()()()2,21,3,2t t =--=-，所以()()()2,23,26220t t ⋅-=+-=.所以5t =.8. (2013重庆文14） 在OA 为边，OB 为对角线的矩形中，()()312OA OB k =-=-u u u r u u u r，，，，则实数k = .8.分析 画出矩形草图，利用向量加减运算及数量积运算直接求解.解析 如图所示，由于()()312,OA OB k =-=-u u u r u u u r ，，，所以()1,1AB OB OA k =-=-u u u r u u u r u u u r .在矩形中，由OA AB ⊥u u u r u u u r 得0OA AB ⋅=u u u r u u u r，所以()()3,11,10k -⋅-=，即()31110k -⨯+⨯-=，解得4k =.9.（2014大纲文6）已知，a b 为单位向量，其夹角为60o ，则(2)-⋅=a b b （ ）. A ．1- B ．0 C ．1 D ．210.（2014新课标Ⅱ文4）设向量，a b满足+=a b-=a b ⋅=a b （ ）.A.1B.2C.3D.511. （2014山东文7）已知向量((),3,m ==a b . 若向量,a b 的夹角为π6，则实数m =（ ）.A.B.C. 0D.12. （2014安徽文10）设，a b 为非零向量，2=b a ，两组向量1234，，，x x x x 和1234,,,y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成，若11223344⋅+⋅+⋅+⋅x y x y x y x y 所有可能取值中的最小值为24a ，则a 与b 的夹角为（ ）. A.23π B.3π C.6πD.0 13. 分析 本题考查向量的数量积的最值.解析 11223344x y x y x y x y ⋅+⋅+⋅+⋅u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r由如下三种可能： ① 222222210⋅+⋅=+=a a b b a b a ； ② 248cos ,⋅=a b a a b ；③ 2222254cos ,++⋅=+a b a b a a a b . 易知，当228cos ,4=a a b a 时，1cos ,2=a b ，,3π=a b ， 此时22254cos ,7+=a a a b a ， 因此最小值为24a .当22254cos ,4+=a a a b a 时，得1cos,4=-a b，此时2420⋅=-<a b a，不满足题意，故舍去.综上所述，若最小值为24a，则a与b的夹角3π.故选B.14.（2014四川文10）已知F为抛物线2y x=的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，2OA OB⋅=u u u r u u u r（其中O为坐标原点），则ABO△与AFO△面积之和的最小值是（）.A.2B.3C.172D.1015.（2014重庆文12）已知向量60(26)||10=--=⋅=o与的夹角为，且，，，则a b a b a b_________.16.（2014江西文12）已知单位向量12，e e的夹角为α，且1cos3α=，若向量1232=-a e e，则||=a.17.（2014陕西文13）设π2θ<<，向量()()sin2cos1cosθθθ==，，，-a b，若0⋅=a b，则=θtan_______.18.（2014四川文14）向量()1,2=a，()4,2=b，m=+c a b()m∈R，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m=____________.19．（2014湖北文12）若向量()1,3OA=-u u u r，OA OB=u u u r u u u r，0OA OB⋅=u u u r u u u r，则AB=u u u r.20.（2014江苏12）如图所示，在平行四边形ABCD中，已知8AB=，5AD=，3CP PD=u u u r u u u r，2AP BP⋅=u u u r u u u r，则AB AD⋅u u u r u u u r的值是．21. （2014天津文13）已知菱形ABCD的边长为2，120BAD∠=o，点E，F分别在边BC，DC上，3BC BE=，DC DFλ=.若1AE AF⋅=u u u r u u u r，则λ的值为________.22.（2015全国2文4）向量()11,=-a,()12,=-b，则()2+⋅=a b a（）.A. 1-B. 0C. 1D. 222.解析由向量的坐标表示方法知，22==2a a，3⋅-a b=.故有()22=2=223=1+⋅+⋅⨯-a b a a a b .故选C.23.（2015福建文7）设向量=(1,2)a ，()1,1b =，k =+c a b ．若⊥b c ，则实数k 的值等于（ ）. A ．32-B ．53-C ．53D ．3223.解析 由已知可得()()()1,21,11,2k k k =+=++c ，因为⊥b c ，则0=gb c ，即120k k +++=，解得32k =-.故选A.24.（2015广东文9） 在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，()1,2AB =-u u u r ，()2,1AD =u u u r，则u u u r u u u r AD AC ⋅=（ ）.A ．5B ．4C ．3D ．2 24.解析 因为四边形ABCD 是平行四边形，由平行四边形法则可得(1,2)(2,1)(3,1)AC AB AD =+=-+=-u u u r u u u r u u u r ，所以231(1)5AD AC =⨯+⨯-=u u u r u u u rg .故选A.评注 本题考查1.平面向量的加法运算；2.平面向量数量积的坐标运算．25.（2015重庆文7）已知非零向量a ，b 满足||=4b a ，且(+)⊥2a a b ，则a 与b 的夹角为 （ ）. A.π3 B. π2 C. 2π3 D. 5π625.解析 因为(+)⊥2a a b ，所以()20+=g a a b ，即22-g a b =a ，所以cos ,==g a b a b a b 222124-=-a a，所以a 与b 的夹角为23π．故选C ． 26.（2015陕西文8）对任意的平面向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是（ ）. A. g …a b a b B. --…a b a b C. ()22+=+a b a b D. ()()22+-=-g a b a b a b26.解析 因为cos ⋅=，…a b a b a b a b ，所以A 选项正确； 当a 与b 方向相反时，B 选项不成立，所以B 选项错误； 向量平方等于向量模的平方，所以C 选项正确；()()22+⋅-=-a b a b a b ，所以D 选项正确.故选B.27.（2015年湖南文9） 已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥.若点P 的坐标为()2,0，则PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r的最大值为（ ）.A. 6B. 7C. 8D. 927.解析 解法一 由题意，AC 为直径，所以PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r 2PO PB +u u u r u u u r…2PO PB +u u u r u u u r，当点B 为()1,0-时，4PB +u u u r 取得最大值7.故选B.解法二 由题意得，AC 为圆的直径， 故可设()()(),,,,,A m n C m n B x y --，所以()6,PA PB PC x y ++=-u u u r u u u r u u u r，而()222261236371249x y x y x x -+=+-+=-…，当且仅当“1x =-”时取“=”，所以PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r的最大值为7.故选B.28.（2015安徽文15）ABC △是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB =u u u ra ， 2AC =+u u u ra b ，则下列结论中正确的是 （写出所有正确结论的序号）.①a 为单位向量；②b 为单位向量；③⊥a b ；④//BC u u u rb ；⑤()4BC +⊥u u u r a b .28.解析 由题意作图，如图所示.因为等边三角形ABC 的边长为2，2AB =u u u ra ，所以22AB ==u u u ra ，得1=a .故①正确；因为2AC AB BC BC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r a ，所以BC =u u u rb ，得2=b .故②错误，④正确；由2AB =u u u r a ，BC =u u u rb ，ABC △为等边三角形，可得a 与b 的夹角为120o .故③错误；由()()21444412402BC ⎛⎫+=+=+=⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭u u u r g g g a b a b b a b b.所以()4BC +⊥u u u ra b ，故⑤正确. 综上可知，正确的编号是①④⑤.评注 1. 考查平面向量的基本概念；2. 考查平面向量的性质.29.（2015湖北文11）.已知向量OA AB ⊥u u u r u u u r ，||3OA =u u u r ，则OA OB ⋅=u u u r u u u r.29 .解析 因为OA AB ⊥u u u r u u u r ，所以0OA AB ⋅=u u u r u u u r即()=0OA OB OA ⋅-u u u r u u u r u u u r ，22239OA OB OA OA ⋅====u u u r u u u r u u u r u u u r .30.（2015山东文13）过点(1P 作圆221x y +=的两条切线，切点分别为A B ，，则u u u r u u u rPA PB ⋅= .30.解析 根据题意，作出图形，如图所示.由平面几何知识，得PA PB ==u u u r u u u r. 由切线长定理，得2APB OPB ∠=∠. 在Rt OPB △中，tan OB OPB PB ∠==，所以30OPB ∠=o. 可得60APB ∠=o.所以3cos cos602PA PB PA PB APB =∠==o u u u r u u u r u u u r u u u r g .31.（2015天津文13）在等腰梯形ABCD 中，已知//AB DC ，2AB =，1BC = ，60ABC ∠=o，点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上，且23BE BC =u u u r u u u r ，16DF DC =u u u r u u u r，则AE AF u u u r u u u rg 的值为 ．31.解析 在等腰梯形ABCD 中，由//AB DC ，2,1,60AB BC ABC ==∠=o，得12AD BC ⋅=u u u r u u u r ，1AB AD ⋅=u u u r u u u r ，12DC AB =u u u r u u u r，所以()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r21312AB BC AD AB ⎛⎫⎛⎫+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u rAB AD ⋅+u u u r u u u r 221131218BC AD AB BC AB ⋅++⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 111291331818++-=.32.（2015浙江文13） 已知1e ，2e 是平面单位向量，且1212⋅=e e ．若平面向量b 满足 121⋅=⋅=b e b e ，则=b ．32.解析 设1OA =e u u u r ，2OB =e u u u r ，由2OB =e u u u r，得121cos 2=e e ，，即12π3=e e ，. 又12⋅=⋅e e b b ，得120⋅-⋅=e e b b ，即()120⋅-=e e b ，故()12⊥-e e b .过点O 作直线l AB ⊥，如图所示，因为11⋅=e b ，21⋅=e b ，据平面向量数量积的几何意义知，OC uuu r在OA uuu r，OB uuu r上的投影均为1，所以1cos303OC ==ou u u r.故3=b .33.（2016北京文9）已知向量(=a，)=b ，则a 与b 夹角的大小为_________.33.解析 由已知可得，. 所以. 34.（2016全国丙文3）已知向量12BA ⎛= ⎝⎭u u u r ，12BC ⎫=⎪⎪⎝⎭u u u r ，，则ABC ∠=（ ）. A.30o B.45o C.60o D.120o34. A 解析 因为，，，所以. π62===ab 11⋅==ab 2cos ,⋅=⋅⨯==a b a b a bcos BA BC BA BC ABC ⋅=∠u u u r u u u r u u u r u u ur 122BA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u ur 122BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r cos BA BCABC BA BC⋅∠==⋅u u u r u u u ru u u r u u ur 1122⎛⎫⋅ ⎪由，所以.故选A.35.（2016全国乙文13）设向量()=1x x +,a ，()=12,b ，且⊥a b ，则x = . 35. 解析 由题意，解得. 36. （2016山东文13）已知向量()=1,1-a ，()=6,4-b .若()t ⊥+a a b ，则实数t 的值为________.36. 解析 由题意可得t +=a b ()(),6,4t t -+-=()6,4t t +--，，解得.37.（2016天津文7）已知ABC △是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则BC AF ⋅的值为（ ）.A.85-B.81 C.41 D.811 37.B 解析由题意作图，如图所示.则.故选B.38.（2016上海文12）如图所示，已知()0,0O ，()1,0A ，()0,1B -，P 是曲线y =上一个动点，则OP BA ⋅u u u r u u u r的取值范围是 .38.解析 由题意设，故，由线性规划的有关知识知.故填.评注 也可以设，，则，.利用三角有关知识求解.39.（2016浙江文15）已知平面向量a ，b ，1=a ，2=b ，·1=a b .若e 为平面单位向量，则··+a e b e 的最大值是________. 0πABC <∠<30ABC ∠=o23-()210x x ⋅=++=a b 23x =-5-()()()6,41,12100t t t t +⋅+--⋅-=+=a b a =5t =-()111cos60448AF BC AE EF BC AC BC ⋅=+⋅=⋅==o u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r FEDCBA(),P x y ()(),1,1OP BA x y x y ⋅=⋅=+u u u r u u urx y ⎡+∈-⎣⎡-⎣()cos ,sin P αα[]0,πα∈cos sin OP BA αα⋅=+u u u r u u u r[]0,πα∈解析 由已知得，所以. 不妨取，，设，则，取等号时与同号.所以（其中，，取为锐角）..易知当时，取最大值1，此时为锐角，，同为正，因此上述不等式中等号能同时取到..40.（2016江苏13）如图所示，在ABC △中，D 是BC 的中点，E ，F是AD 上两个三等分点，4BA CA ⋅=u u u r u u r ，1BF CF ⋅=-u u u r u u u r ，则BE CE ⋅u u u r u u u r的值是 .40. 解析 解法一（基底法）：令，，则，，，则，，，，，，故，，因此，.故.解法二（建系法）：可以考虑以为原点，所在直线为轴，的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设，，则，，.1cos ,2==ab a b a b ,60=o a b ()1,0=a (=b ()cos ,sin ααe =cos cos cos cos αααααα+=++++=…ae be 2cos ααcos αsinα()2cos +αααααθ=+=sin θ=cos θ=θ()+αθ…π+2αθ=()sin +αθαsin αcos α78DC =u u u r a DF =u u u r b DB =-u u u r a 2DE =u u u r b 3DA =u u u r b 3BA =+u u u r a b 3CA =-+u u r a b 2BE =+u u u ra b 2CE =-+u u u r a b BF =+u u u r a b CF =-+u u u r a b 2294BA CA ⋅=-+=u u u r u u ra b 221BF CF ⋅=-+=-u u u r u u u r a b 2138=a 258=b 22451374888BE CE ⨯⋅=-+=-=u u u r u u u r a b D BC x BC y (),0C a (),F b c (),0B a -()2,2E b c ()3,3A b c B则，，，，，.由题意，，因此，，故.评注 特别地，可以假定，建立特殊的直角坐标系.这类问题以前也遇到过，比如下面一题.在平面四边形中，点，分别是边，的中点，且，.若，则.解析 解法一（配凑）：由题意得，，从而，平方整理得.（或）. 故.故填.解法二：（建系）建立如图所示的平面直角坐标系， 不妨设，，从而，，. ()3,3BA b a c =+u u u r ()3,3CA b a c =-u u r ()2,2BE b a c =+u u u r ()2,2CE b a c =-u u u r(),BF b a c =+u u u r (),CF b a c =-u u u r 222994BA CA b c a ⋅=+-=u u u r u u r 2221BF CF b c a ⋅=+-=-u u u r u u u r 2138a =2258b c +=2224513744888BE CE b c a ⨯⋅=+-=-=u u u r u u u r DA BC ⊥ABCD E F AD BC 1AB =EF =CD =15AD BC ⋅=u u u r u u u r AC BD ⋅=u u u r u u u rEFD CBAEF EA AB BF =++u u u r u u u r u u u r u u u r EF ED DC CF =++u u ur u u u r u u u r u u u r 2EF AB DC =+u u u r u u u r u u u r 2AB DC ⋅=u u u r u u u r2EF EC EB =+u u u r u u u r u u u r ED DC EA AB =+++u u u r u u u r u u u r u u u r AB DC =+u u u r u u u r ()()AC BD AD DC BC CD ⋅=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r AD BC AD CD DC BC DC CD =⋅+⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()AD BC DC AD BC CD =⋅+⋅-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 13AD BC DC BA =⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r13(),D m n (),C a b ()1,0B ,22m n E ⎛⎫⎪⎝⎭1,22a b F +⎛⎫⎪⎝⎭由题意，从而，即通过，求解，①②得，即④，而③即为⑤，⑤④得，即.故填.可见，强制建系归根结底转化为恰当的代数（强烈的目标意识）处理，而合理的建系会对运算起到简化作用.41.（2017全国1文13）已知向量()1,2=-a ，(),1m =b .若向量+a b 与a 垂直.则m = .解析 由题得()1,3m +=-a b ，因为+a b 与a ()0+⋅=a b a ，所以(1)230m --+⨯=，解得7m =.42.（2017全国3文13）已知向量()2,3=-a ，()3,m =b ，且⊥a b ，则m = . 解析 因为⊥a b ，所以0⋅=a b ，即，解得.评注 考查向量的坐标运算，属于基础题型，公式套用即可，没有难度.43.（2017浙江10）如图所示，已知平面四边形ABCD ，AB BC ⊥，2AB BC AD ===，3CD =，AC 与BD 交于点O ，记1·I OAOB =u u u r u u u r ，2·I OB OC =u u u r u u u r ，3·I OC OD =u u u r u u u r，则（ ）. (a,b )15CD EF AD BC ⎧=⎪⎪=⎨⎪⋅=⎪⎩u u u r ()()()()2222223122222,1,15CD m a n b m a n b EF AD BC m n a b ⎧=-+-=⎪⎪+⎪⎛⎫⎛⎫=-+-=⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⋅=-=⎪⎩u u u r u u u r ()()()()()2222318115m a n b m a n b m a bn ⎧-+-=⎪⎪--+-=⎨⎪-+=⎪⎩①②③()(),1,AC BD a b m n ma a bn ⋅=-=-+u u u r u u u r -()()2215m a m a ----=2m a -=-15ma m bn -+=+13ma a bn -+=13AC BD ⋅=u u u r u u u r13A ．123I I I <<B ．132I I I <<C ．312I I I <<D ．213I I I <<43.解析 如图所示，动态研究问题D D ¢®，O O ¢®．此时有90AOB?o ，90BOC?o ，90COD ?o ，且CO AO >，DO BO >．故OB OCOA OBOC OD ???uu u r uuu ruu r uu u r uuu r uuu r.44.（2017浙江15）已知向量a ，b 满足1=a ，2=b ，则++-a b a b 的最小值是 ，最大值是 .44.解析 解法一：如图所示，a +b 和-a b 是以,a b 为邻边的平行四边形的两条对角线，则()2222210++-=+=a b a b a b，A 是以O 为圆心的单位圆上的一动点，构造2个全等的平行四边形AOBD ，平行四边形ECOA ．所以AB AC +-=+a +b a b ． 易知当A ，B ，C 三点共线时，AB AC +最小，此时4AB AC BC +==； 当AO BC ⊥时，AB AC +最大，此时2AB AC AB +== 解法二()2222++-=++-++-=a b a b a b a b a b a b ()222++a b1010+=+θ是向量a ，b 的夹角).所以当2cos1θ=时，++-a b a b 取得最小值4；当2cos 0θ=时，++-a b a b 取得最大值45.（2017江苏12）如图所示，在同一个平面内，向量OA u u u r，OB uuu r，OC uuu r的模分别为1，1，B Aa，OA u u u r 与OC uuu r 的夹角为α，且tan 7α=，OB uuu r 与OC uuu r的夹角为45︒．若OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r(),m n ∈R ， 则m n += ．45.解析 解法一：由题意OC OA mOA OA nOB OAOC OB mOA OB nOB OB⎧⋅=⋅+⋅⎪⎨⋅=⋅+⋅⎪⎩u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r （*）而由tan 7α=，得sin α=cos α=，11cos 4OA OB απ⎛⎫⋅=⨯⨯+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r 3cos cos sin sin 445ααππ=⋅-⋅=-．将（*）式化简为 13 5531 5m n m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩①②式①加式②，得3m n +=．故填3．解法二（坐标法）：如图所示，以OA 所在的直线为x 轴，过O 且垂直于OA 的直线为y 轴建立平面直角坐标系，由题意结合解法一可得()1,0A ，17,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，34,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由 OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r ，得()1734,1,0,5555m n ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即13557455m n n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得5474m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故3m n +=．故填3．B解法三（解三角形）：由tan 7α=，可得sin 10α=，cos 10α=，如图所示，根据向 量的分解，易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩即2100210m m +=⎪⎪⎪-=⎪⎩，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，解得57,44m n ==，所以3m n +=．2018年1.（2018全国Ⅱ文4）已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b （ ）. A ．4B ．3C ．2D ．0解析 ()()2222222113⋅-=-⋅-⋅⨯--=a a b a a b =a a b =.故选B.2.（2018北京文9）设向量()1,0=a ，1,m =-（）b ,若()m ⊥-a a b ，则m =_________. 解析 因为()1,0=a ，1,m =-（）b , 所以()()(),01,1,m m m m m ---=+-a b = 由()m ⊥-a a b 得：()0m ⋅-=a a b ，所以()10m m ⋅-=+=a a b ， 即1m =-.3.（2018天津文8）在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=o,2,2,BM MA CN NA ==u u u u r u u u r u u u r u u u r则·BC OM u u u r u u u u r 的值为().（A ）15- （B ）9- （C ）6-（D ）0解析 如图所示，联结MN ，由2,2,BM MA CN NA ==u u u u r u u u r u u u r u u u r可知点,M N 分别为线段,AB AC 上靠近点A 的三等分点， 则()33BC MN ON OM ==-u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，由题意可知：221OM OM ==u u u u r u u u u r ，12cos1201OM ON ⋅=⨯⨯︒=-u u u u r u u u r结合数量积的运算法则可得：()2333336BC OM ON OM OM ON OM OM ⋅=-⋅=⋅-=--=-u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r .故选C.4.（2018浙江9）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为，向量b 满足2430-⋅+=b e b ，则-a b 的最小值是（ ）. A1BC ．2D ．2解析 2430-⋅+=b e b ，即22430-⋅+=b e b e ，则()()30--=b e b e ，所以()()3-⊥-b e b e ，则b 的终点落在如图所示的单位圆上（设点O 为其圆心）.若使-a b 最小，即使圆上的点到a 的距离最小. 作OA ⊥u u u r a 于点A ，则min 2sin 113OA r π-=-=-a b .故选A.π32019年1.（2019全国Ⅰ文8）已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解析 因为()-⊥a b b ，所以()22cos ,0-⋅⋅-=⋅<>-=a b b =a b b a b a b b ，所以22cos ,2<>===⋅bba b a bb又因为0,]π[<>∈，a b ，所以π,3<>=a b ．故选B ． 2.（2019全国Ⅱ文3）已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a –b |= AB ．2C ．D ．50解析 因为(2,3)=a ，(3,2)=b ，所以-(1,1)=-a b ，所以-==a b A.3. （2019全国Ⅲ13）已知向量(2,2),(8,6)==-a b ，则cos ,<>=a b ___________. 解析 ()8264⋅⨯-+⨯=-a b =2，==a10==b，cos ,10==-a b ． 4.（2019北京文9）已知向量a =（–4，3），b =（6，m ），且⊥a b ，则m =__________．解析 因为⊥a b ，所以()4630m ⋅=-⨯+⨯=a b ，得8m =.5.（2019天津文14）在四边形中，，， ， ，点在线段的延长线上，且，则__________.ABCD AD BC ∥AB =5AD =30A ∠=︒E CB AE BE =BD AE ⋅=u u u r u u u r解析 因为AB BE =，//AD BC ，30A ∠=o ，所以在等腰三角形ABE 中，120BEA ∠=o ，又AB =2AE =，所以25BE AD =-u u u r u u ur .因为AE AB BE =+u u u r u u u r u u u r，所以25AE AB AD =-u u u r u u u r u u u r .又BD BA AD AB AD =+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以()22272555BD AE AB AD AB AD AB AB AD AD ⎛⎫⋅=-+⋅-=-+⋅-= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2272cos 55AB AB AD A AD -+⋅-=u u u r u u u r u u u r u u ur 72125251525-+⨯⨯-⨯=-. 6.（2019江苏12）如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则ABAC的值是 .解析 设()2AD AB A AO C λλ==+u u u u r u u u u u r u u u rr ，1()(1)3AO AE EO AE EC AE AC AE AE AC AB ACμμμμμμ-=+=+=+-=-+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以1232λμλμ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1214λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以11()24AO AD AB AC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r ，13EC AC AE AB AC =-=-+u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，221131266()()()43233AO EC AB AC AB AC AB AB AC AC ⋅=⨯+⨯-+=-+⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r221322AB AB AC AC -+⋅+u u ur u u u r u u u r u u u r ，因为221322AB AC AB AB AC AC ⋅=-+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以221322AB AC =u u ur u u u r ，所以223AB AC=u u u r u u u r ，所以AB AC =7.（2019浙江17）已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍1±时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值是________，最大值是_______.解析：正方形ABCD 的边长为1，可得AB AD AC +=u u u r u u u r u u u r ，BD AD AB =-u u u r u u u r u u u r ，0AB AD ⋅=u u ur u u u r ，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r12345566||AB AD AB AD AB AD AD AB λλλλλλλλ=+--+++-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r13562456|()()|AB AD λλλλλλλλ=-+-+-++u u u r u u u r=由于(1,2,3,4,5,6)i i λ=λi (i =1,2，3，4，5，6)取遍1±， 可得13560λλλλ-+-=，24560λλλλ-++=，可取5613241,1,1,1λλλλλλ=====-=，可得所求最小值为0；由13564λλλλ-+-=，24564λλλλ-++=，可取2456131,1,1,1,1,λλλλλλ==-====-可得所求最大值为题型69 向量与三角形四心——暂无。
高考复习文科数学之平面向量
各地解析分类汇编:平面向量1.【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考文】已知平面向量,a b满足3,2,a b a b == 与的夹角为60°，若(),a mb a -⊥则实数m 的值为（ ）A.1B.32C.2D.3【答案】D【解析】因为(),a mb a -⊥ 所以()0a mb a -= ，即20a m a b -=，所以2cos600a m a b -=，解得3m =，选D.2【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试文】在△ABC 中，若2···AB AB AC BA BC CA CB =++ ，则△ABC 是( )A.等边三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形 【答案】D 【解析】因为2···()AB AB AC BA BC CA CB AB AC BC CA CB =++=-+AB AB CA CB =+ ,所以0CA CB = ，即C A C B⊥ ，所以三角形为直角三角形，选D.3【山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试 文】已知向量(0,1),(2,a b c k a b c k ===+=若与垂直则A ．—3B ．—2C ．lD ．－l【答案】A【解析】因为2a bc + 与垂直，所以有2=0a b c + （），即2=0a c b c +，所以30++=，解得3k =-，选A.4【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试文】已知点(5,6)(1,2),M a M N a -=-=-和向量若，则点N 的坐标为A ．（2，0）B ．（-3，6）C ．（6，2）D ．（—2，0）【答案】A【解析】33(1,2)(3,6)MN a =-=--=- ，设(,)N x y ,则(5,(6))(3,6)MN x y =---=-，所以5366x y -=-⎧⎨+=⎩，即2=0x y =⎧⎨⎩，选A.5【山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试 文科】 已知向量a =（2,1），b =（-1，k ），a ·（2a -b ）=0，则k=（ ）A. -12B. -6C. 6D. 12 【答案】D【解析】因为(2)0a a b -= ，即(2,1)(5,2)0k -= ，所以10+20k -=，即12k =，选D.6【山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试 】已知向量25,10),1,2(=+=⋅=→→→→→b a b a a ，则=→b （ ）A. 5B.10C.5D.25 【答案】C【解析】因为222a (2,1),ab 10,a b (a b)50a 2a b b →→→→→→→→→→→=⋅=+=+==++ ，解得可知=→b 5，选C7【山东省临沂市2013届高三上学期期中考试 数学文】如图，已知4,,,3AP AB OA OB OP OP = 用表示则等于A ．1433OA OB -B ．1433OA OB +C ．1433OA OB -+D ．1433OA OB --【答案】C【解析】OP OA AP =+ 4414()3333OA AB OA OB OA OA OB =+=+-=-+,选C.8 【山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（文）】已知非零向量a 、b ，满足a b ⊥，则函数2()()f x ax b =+ (R)x ∈是A. 既是奇函数又是偶函数B. 非奇非偶函数C. 奇函数D. 偶函数 【答案】D【解析】因为a b ⊥ ，所以0a b =，所以2222()()f x ax b a x b =+=+ ，所以2()()f x ax b =+ 为偶函数，选D.9 【山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（文）】已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，则A ．2AO OD =B ．AO OD =C ．3AO OD =D ．2AO OD =【答案】B【解析】因为D 为BC 边中点，所以由20OA OB OC ++= 得22OB OC OA AO +=-=，即22OD AO = ,所以AO OD =，选B.10 【山东省烟台市2013届高三上学期期中考试文】若向量)6,12(),2,4(),6,3(--==-=,则下列结论中错误的是A ．v u ⊥B ．w v //C ．v u w 3-=D ．对任一向量，存在实数b a ,，使v b u a AB +=【答案】C【解析】因为0=⋅v u ，所以v u ⊥；又因0)12(2)6(4=---⨯，所以w v //；u 与v 为不共线向量，所以对任一向量AB ，存在实数b a ,，使v b u a AB +=. 故选C.11 【天津市新华中学2013届高三上学期第一次月考数学（文）】若向量a 与不共线，0≠⋅b a ，且()a a c a b a b=-，则向量a 与c 的夹角为（ ）A. 0B.6π C.3π D.2π 【答案】D【解析】因为()a a c a ba b =- ，所以222[()]0a a c a a b a a a b =-=-=，所以a c ⊥ ，即向量夹角为2π，选D.12 【山东省烟台市2013届高三上学期期中考试文】已知向量),sin ,(cos θθ=a 向量),1,3(-=b 则|2|b a -的最大值、最小值分别是A ．24 ，0B ．4， 24C ．16，0D ．4，0 【答案】D【解析】)6cos(88)sin cos 3(44444|2|222πθθθ+-=--+=⋅-+=-b a b a b a ，故|2|-的最大值为4，最小值为0.故选D.13 【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测文】已知平面内一点P 及ABC ∆，若AB PC PB PA =++，则点P 与ABC ∆的位置关系是A.点P 在线段AB 上B.点P 在线段BC 上C.点P 在线段AC 上D.点P 在ABC ∆外部【答案】C【解析】由AB PC PB PA =++得PA PC AB PB AP +=-=，即2PC AP PA AP =-= ，所以点P 在线段AC 上，选C.14 【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （文）】若()1,a b a a b ==⊥- 且，则向量,a b的夹角为A.45°B.60°C.120°D.135°【答案】A【解析】因为()a ab ⊥- ，所以()0a ab -= ，即20a ab -= ，即2ab a =，所以向量,a b的夹角为2cos ,2a a b a b a b a b<>====，所以,45a b <>= ，选A. 15 【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）文】已知(2,)a m = ，(1,)b m =-，若(2)a b b -⊥ ，则||a ＝A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】因为(2a b b -⊥ )，所以(20a b b -⋅=)，即250m -+=，即25m =，所以||3a == ，故选B ． 16. 【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学文】如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=A.0B.BEC.ADD.CF【答案】D【解析】因为BA DE =,所以B AC D E F C D D E E ++=++=,选 D.17 【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测文】平面向量a 与b 的夹角为060，)0,2(=a，1=b ，则=+b aA ．9BC ．3D ． 7 【答案】B【解析】2a =,1cos ,2112a b a b a b =<>=⨯⨯= ,所以22224127a b a b a b +=++=++= ，所以a b += B.18. 【山东省德州市乐陵一中2013届高三10月月考数学（文）】已知向量a ),2(x =，b)8,(x =，若a ∥b，则x =A.4-B.4C.4±D.16【答案】C【解析】因为//a b，所以2160x -=，即4x =±，选C.19 【天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考文】若向量)2,1(),1,1(),1,1(--=-==c b a ，则=cA. b a 2321--B. b a 2321+-C. b a 2123-D. b a 2123+- 【答案】D【解析】设c xa yb =+ ，则(1,2)(1,1)(1,1)(,)x y x y x y --=+-=+-，所以12x y x y +=-⎧⎨-=-⎩，解得3212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即3122c a b =-+ ，选D.20 【山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试 文】已知点O 为△ABC 内一点，且230,OA OB OC ++=则△A OB 、△AOC、△BOC 的面积之比等于A ．9：4：1B ．1：4：9C ．3：2：1D ．1：2：3【答案】C【解析】延长OB 到'B ，使'2OB OB =,延长OC 到'C ，使'3OC OC =，连结''B C ,取''B C 的中点'A ，则232',OB OC OA OA +==-所以,,'A O A 三点共线且O 为三角形''AB C 的重心，则可以证明''''=AOB AOC B OC S S S ∆∆∆=。
高考文科数学分类汇编平面向量
2018高考文科数学分类汇编-平面向量1 / 1 平面向量1.（2018全国卷1文）在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u rA ．3144AB AC -u u u r u u u r B ．1344AB AC -u u u r u u u r C ．3144AB AC +u u u r u u u rD ．1344AB AC +u u u r u u u r 2.（2018全国卷2文）已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．03．（2018全国卷3文）已知向量(1,2)=a ，(2,2)=-b ，(1,)λ=c ．若()2+c a b P ，则λ=________．4．（2018北京卷文）设向量a =（1,0），b =（−1,m ）,若()m ⊥-a a b ，则m =_________.5．（2018天津卷文）在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=o, 2,2,BM MA CN NA ==u u u u r u u u r u u u r u u u r 则·BC OM u u u r u u u u r 的值为（A ）15-（B ）9- （C ）6-（D ）06．（2018江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u r u u u r ，则点A 的横坐标为 ． 7．（2018浙江卷）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是A ．3−1B ．3+1C ．2D ．2−3。
专题09平面向量2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(全国通用版)(解析版)
2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编专题09平面向量一、选择题1．(2022年全国乙卷理科·第3题)已知向量,a b满足||1,||2|3a b a b =-= ，则a b ⋅=( )A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C解析：∵222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ，又∵||1,||2|3,==-=a b a b ∴91443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ，∴1a b ⋅=故选：C ．【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\向量的线性运算【题目来源】2022年全国乙卷理科·第3题2．(2022新高考全国II 卷·第4题)已知向量(3,4),(1,0),t ===+ a b c a b ，若,,<>=<>a cbc ，则t =( )A ．6-B ．5-C ．5D ．6【答案】C解析：()3,4c t =+ ,cos ,cos ,a c b c =,即931635t t c c+++= ,解得5t =． 故选C ．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2022新高考全国II 卷·第4题3．(2022新高考全国I 卷·第3题)在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB=( )A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n+D ．23m n+【答案】B解析：因点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=- ，所以CB =3232CD CA n m -=-23m n =-+． 故选：B ．【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理【题目来源】2022新高考全国I 卷·第3题4．(2020年新高考I 卷(山东卷)·第7题)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范用是( )为A ．()2,6-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-【答案】A解析：AB的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB方向上的投影的取值范围是(1,3)-，结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB方向上的投影的乘积，所以AP AB⋅的取值范围是()2,6-，故选：A ．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2020年新高考I 卷(山东卷)·第7题5．(2020新高考II 卷(海南卷)·第3题)在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB=( )A ．2CD CA +B ．2CD CA-C ．2CD CA-D ．2CD CA+【答案】C解析：()222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA-=+=+=+-= 【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\向量的线性运算【题目来源】2020新高考II 卷(海南卷)·第3题6．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第6题)已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b ( )A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【答案】D解析：5a = ，6b = ，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-= ．7a b +==== ，因此，()1919cos ,5735a ab a a b a a b ⋅+<+>===⨯⋅+ ．故选：D ．【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第6题7．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第3题)已知()2,3AB = ，()3,AC t = ，1BC = ，则AB BC ⋅=( )【答案】C【解析】∵()2,3AB = ，()3,AC t = ，∴()1,3BC AC AB t =-=- ,∴1BC == ，解得3t =，即()1,0BC = ，则AB BC ⋅=()()2,31,021302⋅=⨯+⨯=．【点评】本题考查平面向量数量积的坐标运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法，利用转化与化归思想解题．本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．学生易在处理向量的法则运算和坐标运算处出错，借助向量的模的公式得到向量的坐标，然后计算向量数量积．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第3题8．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第7题)已知非零向量a ，b 满足2a b = ，且()a b b -⊥，则a 与b的夹角为( )A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【答案】B 解析：()()222,0,a b b a b b a b b a b b b -⊥∴-⋅=⋅-=∴⋅== ，所以221cos ,22b a b a b a b b⋅===⋅，所以,3a b π= ．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的垂直问题【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第7题9．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第4题)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐0.618≈，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是( )=( )A ．4B ．3C ．2D ．0【答案】B解析：2(2)2||213⋅-=-⋅=+=a a b a a b ，故选B ．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第4题11．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第6题)在ABC ∆中,AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =( )A ．3144AB AC-B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC+【答案】A 解析：在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，头顶咽喉肚脐足底()11312244EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC =-=-=-+=-，故选A ．【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理【题目来源】2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第6题12．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为( )A ．B ．CD ．【答案】A【解析】法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图则，，，，连结，过点作于点在中，有即所以圆的方程为可设由可得ABCD 1AB =2AD=P C BD AP AB AD λμ=+λμ+32A AB x AD y ()0,0A ()1,0B(0,2D ()1,2C BD C CE BD ⊥E Rt BDC ∆BD ==1122ACD S BC CD BDCE =⨯⨯=⨯⨯△111222CE CE ⨯⨯=⇒=C ()()224125x y -+-=1,2P θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭AP AB AD λμ=+ ()1,2,2θθλμ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭所以，所以其中，所以的最大值为，故选A ．法二：通过点作于点，由，，可求得又由，可求得由等和线定理可知，当点的切线(即)与平行时，取得最大值又点到的距离与点到直线而此时点到直线11λθμθ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩2λμθθ+=+()2sin θϕ=++sin ϕ=cos ϕ=λμ+3C CE BD ⊥E 1AB =2AD =BD ==1122ACD S CD CB BD CE =⨯⨯=⨯⨯△CE =P FH DB λμ+A BD C BD A FH 22r +==所以，所以的最大值为，故选A ．另一种表达：如图，由“等和线”相关知识知，当点在如图所示位置时，最大，且此时若，则有，由三角形全等可得，知，所以选A ．法三：如图，建立平面直角坐标系设，即圆的方程是，若满足即 ， ，所以，设 ，即3AF AB ==λμ+3P λμ+AG xAB y AD =+x y λμ+=+2AD DF FG ===3,0x y ==()()()()0,1,0,0,2,1,,A B D P x y ()22425x y -+=()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=AP AB ADλμ=+ 21x y μλ=⎧⎨-=-⎩,12x y μλ==-12x y λμ+=-+12x z y =-+，点在圆上，所以圆心到直线的距离，即，解得，所以的最大值是，即的最大值是，故选A ．法四：由题意，画出右图．设与切于点，连接．以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系则点坐标为．∵，．∴．切于点．∴⊥．∴是中斜边上的高．即．∵在上．∴点的轨迹方程为．设点坐标，可以设出点坐标满足的参数方程如下：而，，．∵∴，．两式相加得：102x y z -+-=(),P x y ()22425x y -+=d r ≤13z ≤≤z 3λμ+3BD C E CE A AD x AB y C (2,1)||1CD =||2BC =BD ==BD C E CE BD CE Rt BCD △BD 2||||BCD S EC BD ====△C P C P 224(2)(1)5x y -+-=P 00(,)x y P 0021x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩00(,)AP x y = (0,1)AB = (2,0)AD =(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=0112x μθ==+01y λθ==(其中，)当且仅当，时，取得最大值3．【考点】平面向量的坐标运算；平面向量基本定理【点评】(1)应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题13．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第12题)已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【命题意图】本题主要考查等边三角形的性质及平面向量的线性运算﹑数量积，意在考查考生转化与化归思想和运算求解能力【解析】解法一：建系法，112)2sin()3λμθθθϕθϕ+=++=++=++≤sin ϕ=cos ϕ=π2π2k θϕ=+-k ∈Z λμ+ABC ∆P ABC ()PA PB PC ⋅+2-32-43-1-)32解法二：均值法∵，∴ 由上图可知：；两边平方可得∵ ，∴ ∴ ，∴最小值为解法三：配凑法∵∴ ∴最小值为【知识拓展】三角形与向量结合的题属于高考经典题，一般在压轴题出现，解决此类问题的通法就是建系法，比较直接，易想，但有时计算量偏大．【考点】 平面向量的坐标运算，函数的最值【点评】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式我解集，方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第12题14．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题)已知向量1(2BA =,12BC = ,则ABC ∠=( )A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒【答案】A【解析】由题意,得cos BA BC ABC BA BC⋅∠===⋅ 所以30ABC ∠=︒,故选A.【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题15．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第3题)已知向量(1,)(3,2)a m b =- ，=，且()a b b ⊥+，则m =( )A ．8-B ．6-C ．6D ．82PC PB PO += ()2PA PC PB PO PA⋅+=⋅ OA PA PO =- ()()2232PA POPA PO=+-⋅()()222PA POPA PO +≥-⋅322PO PA ⋅≥-()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥- 32-2PC PB PO += ()()()()()222232222PO PA PO PAPO PA AOPA PC PB PO PA +--+-⋅+=⋅==≥-32-【答案】D【解析】由()a b b ⊥ +可得：()0a b b+=，所以20a b b += ，又(1,)(3,2)a mb =-，=所以2232+(3(2))0m -+-=，所以8m =，故选D ．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算【题目来源】2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第3题16．(2015高考数学新课标1理科·第7题)设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则( )A ．1433AD AB AC=-+B ．1433AD AB AC=-C ．4133AD AB AC=+D ．4133AD AB AC=-【答案】A解析：由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-= =1433AB AC -+，故选A ．考点：平面向量的线性运算【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理【题目来源】2015高考数学新课标1理科·第7题17．(2014高考数学课标2理科·第3题)设向量a,b 满足，，则a b=( )A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】A解析：因为222||()210,a b a b b a b +=+=++⋅=r r r r r r r r 222||()26,a b a b a b a b -=-=+-⋅=r r r r r r r r两式相加得：228,a b +=r r 所以1a b ⋅=r r ，故选A ．考点：(1)平面向量的模；(2)平面向量的数量积难度：B 备注：常考题【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2014高考数学课标2理科·第3题二、多选题18．(2021年新高考Ⅰ卷·第10题)已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，()1,0A ，则( )A ．12OP OP =B ．12AP AP =C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅【答案】AC⋅解析:A：1(cos ,sin )OP αα= ，2(cos ,sin )OP ββ=- ，所以1||1OP == ，2||1OP == ，故12||||OP OP =，正确；B ：1(cos 1,sin )AP αα=- ，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以1||2|sin |2AP α===== ，同理2||2|sin |2AP β= ，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+ ，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯= ，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+ 22cos cos sin sin cos sin sin cos cos sin αβαββαββαβ=---cos cos 2sin sin 2cos(2)αβαβαβ=-=+，错误；故选AC ．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2021年新高考Ⅰ卷·第10题三、填空题19．(2022年全国甲卷理科·第13题)设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a = ，3b =r ，则()2a b b +⋅= _________．【答案】11解析：设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a = ，3b =r ，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯= ，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+= ．故答案为：11．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的夹角问题【题目来源】2022年全国甲卷理科·第13题20．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第15题)已知向量0a b c ++= ，1a = ，2b c == ，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______．【答案】92-解析:由已知可得()()()22222920a b ca b c a b b c c a a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅=，因此，92a b b c c a ⋅+⋅+⋅=- ．故答案为：92-．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2021年新高考全国Ⅱ卷·第15题21．(2021年高考全国乙卷理科·第14题)已知向量()()1,3,3,4a b == ，若()a b b λ-⊥，则λ=__________．【答案】35解析：因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=--，所以由()a b b λ-⊥ 可得，()()3134340λλ-+-=，解得35λ=．故答案为：35．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设()()1122,,,a x y b x y ==，121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，注意与平面向量平行的坐标表示区分．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第14题22．(2021年高考全国甲卷理科·第14题)已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+ ．若a c ⊥，则k =________．【答案】103-．解析：()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+,(),33110a c a c k ⊥∴⋅=++⨯= ，解得103k =-,故答案为：103-．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量()()1122,,,p x y q x y ==垂直的充分必要条件是其数量积12120x x y y +=．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第14题23．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第14题)设,a b 为单位向量，且||1a b += ，则||a b -=______________．【解析】因为,a b为单位向量，所以1a b ==r r所以1a b +==解得：21a b ⋅=-b -=【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第14题24．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第13题)已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________．解析：由题意可得：11cos 45a b →→⋅=⨯⨯=，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：20k a a b k →→→⨯-⋅==，解得：k =．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第13题25．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)已知a ，b 为单位向量，且·=0a b，若2c a =- ，则cos ,a c 〈〉=___________．【答案】23．【解析】因为2c a = ，·=0a b，所以22=2a c a b ⋅=⋅，222||4||5||9c a b b =-⋅+= ，所以||3c = ，所以cos ,a c 〈〉= 22133a c ac ⋅==⨯⋅ ．【点评】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的夹角问题【题目来源】2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题26．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第13题)已知向量()1,2a = ，()2,2b =- ，()1,c λ=，若()//2c a b +，则λ=．【答案】12解析：依题意可得()()()22,42,24,2a b +=+-= ，又()1,c λ= ，()//2c a b+所以4210λ⨯-⨯=，解得12λ=．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第13题27．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第13题)已知向量,的夹角为,,,则__________．【答案】【解析】法一: 所以．法二(秒杀解法):利用如下图形,可以判断出的模长是以为边长的菱形对角线的长度,则为．a b 60︒2a = 1b = 2a b +=222|2|||44||4421cos 60412a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+=|2|a b +=2a b +2法三:坐标法依题意,可设,,所以．【考点】平面向量的运算【点评】平面向量中涉及到有关模长的问题,用到的通法是将模长进行平方,利用向量数量积的知识进行解答,很快就能得出答案;另外,向量是一个工具型的知识,具备代数和几何特征,在做这类问题时可以使用数形结合的思想,会加快解题速度．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的模长问题【题目来源】2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第13题28．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第13题)设向量(),1a m = ，()1,2b =，且222a b a b +=+ ，则m =．【答案】2m =-【解析】由已知得：()1,3a b m +=+∴()22222222213112a b a b m m +=+⇔++=+++ ，解得2m =-．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算【题目来源】2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第13题29．(2015高考数学新课标2理科·第13题)设向量a ，b 不平行，向量a b λ+ 与2a b +平行，则实数λ=_________．【答案】12解析：因为向量a b λ+ 与2a b + 平行，所以2a b k a b λ+=+ （），则12,k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=．考点：向量共线．【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\平面向量的共线问题【题目来源】2015高考数学新课标2理科·第13题30．(2014高考数学课标1理科·第15题)已知A,B,C 是圆O 上的三点,若,则与的夹角为______．()2,0a = 12b ⎛= ⎝ ()((22,0a b +=+=2b == 1()2AO AB AC =+ AB AC【答案】解析:∵,∴O 为线段BC 中点,故BC 为的直径,∴,∴与的夹角为．考点:(1)平面向量在几何中的应用(2)向量的夹角(3)化归与转化思想 难度:B 备注:高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2014高考数学课标1理科·第15题31．(2013高考数学新课标2理科·第13题)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD⋅＝________．【答案】2解析：由题意知：2211402222AE BD AD AD AB AB ⋅=-⋅-=--= 考点：(1)5．1．2向量的线性运算；(2)5．3．1平面向量的数量积运算难度： A 备注：高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2013高考数学新课标2理科·第13题32．(2013高考数学新课标1理科·第13题)已知两个单位向量,a b 的夹角为60°，(1)c ta t b =+-，若0b c ∙=，则t =_____．【答案】 2解析：∙b c =[(1)]t t ∙+-b a b =2(1)t t ∙+-a b b =112t t +-=112t -=0，解得t =2．考点: (1)5．3．1平面向量的数量积运算．难度：Ａ备注：高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2013高考数学新课标1理科·第13题901()2AO AB AC =+O 090BAC ∠=AB AC 090。