第五章 习题与复习题详解(矩阵特征值和特征向量)----高等代数教学文案
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第五章习题与复习题详解(矩阵特征值和特征向量)----高等代
数
习题5.1
1. (1) 若A 2 = E ,证明A 的特征值为1或-1;
(2) 若A 2 = A ,证明A 的特征值为0或1.
证明(1)22A E A =±所以的特征值为1,故A 的特征值为1 (2)
2222
2
,,()0,001
A A A X A X AX X X
X λλλλλλλ===-=-==所以两边同乘的特征向量得即由于特征向量非零,故即或
2. 若正交矩阵有实特征值,证明它的实特征值为1或 -1. 证明
1,1
T T T A A A E A A A A A λλλλ
-=∴==±设是正交阵,故有与有相同的特征值,
1
故设的特征值是,有=,即
3.求数量矩阵A=aE 的特征值与特征向量. 解
A 设是数量阵,则
000
0000
000000
a
a
A aE a a
a
E A
a
λλλλ⎛⎫ ⎪
⎪== ⎪ ⎪⎝⎭
---=
-
所以:特征值为a (n 重), A 属于a 的特征向量为 k 1(1,0,…,0)T + k 2(0,1,…,0)T + k n (0,0,…,1)T ,(k 1, k 2, …, k n 不全为0)
4.求下列矩阵的特征值与特征向量.
(1)113012002-⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
(2)324202423⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
(3)⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛---122212
221 (4)212533102-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭
()11122
212
11(5) , , (0,0)0.
T
T n n n n a a b a a b A b b b a b a a b αβαβαβ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪====≠≠= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
其中,且
解(1)
11
3
0120,1,2,00
2A E AX λλλ
λλλλ
---=-====-0,123求得特征值为:分别代入=求得
A 属于特征值1的全部特征向量为k(1,0,0)T ,(k ≠0) A 属于特征值2的全部特征向量为k(1,2,1)T ,(k ≠0)
解(2)
131323249490492222024
234
2
312
349(1)(1)(8)
2
A E r r c c λ
λλλλλλλλλλ
λλ
λλλλλλλ
-------=
-+-----+---+=-+--按第一列展开
231,8λλλ==-=1求得特征值:
将其代入()A E X λ-=0,求得特征向量:
1211211001X k k λ⎛⎫
- ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪=-=+ ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎝⎭ ⎪
⎝⎭
时,,12,k k 不全为零
11
821X k λ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭
时, 0k ≠
解(3)
12312312
2111111212212(1)21222
12
2
12
2
1011
(1)112(1)(1)(3)0
211,1,3
A E r r r λλλλλλ
λλλλ
λ
λ
λλλ
λλλλ
λλλ-----=--++--=------------=-+--=-+-+--==-=解得:
代入()A E X λ+=0,求得特征向量:
A 属于特征值-1的全部特征向量为k(1,-1,0)T ,(k ≠0);A 属于特征值1的全部特征向量为k(1,-1,1)T ,(k ≠0);A 属于特征值3的全部特征向量为k(0,1,-1)T ,(k ≠0)
解(4)
32
23
212212533503751
21
2(1)[21](1)r r λλλλλλ
λ
λλλλ------⨯+----------=+---=-+直接展开:
特征值为-1,-1,-1;A 属于特征值-1的全部特征向量为k(1,1,-1)T ,(k ≠0)
解(5)
()1111212212221212n n n n n n n n a a b a b a b a a b a b a b A b b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪ ⎪ ⎪
== ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
设λ为A 的任一特征值,A 的属于λ的特征向量为:ξ,则 A ξλξ= 于是 22A A ξλξλξ== 而2()()0T T T T T T T A αβαβαβαβααββ====
故 2λξ=0,因为特征向量0ξ≠,所以 0λ=,即矩阵A 的所有特征值为0.
1112111
1212122221
22211
212
12
0,0
0000000n
n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b A E a b a b a b a b a b a b a b b b b λ
λλλ-⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪- ⎪ ⎪
-=≠≠ ⎪ ⎪
⎪
⎪-⎝⎭⎝⎭
⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
1初等行变换
解得基础解系: