应用弹塑性力学1

弹塑性力学课程总结

主要内容： 1.应力分析 2.应变分析

3.弹性与塑型应力与应变的关系

4.弹性与塑性力学的解题方法

5.旋转圆盘的分析

第一章 应力分析

1．点的应力状态：①定义——合力dP 与面积微元dS 的比值

②描述方法（3个正应力分量与3个剪应力分量可以描述点 的应力状态）； ③分解：意义、方法（m

ij ij ij σδσσ+=' ）、图示

2．特殊应力：

①主应力（相互正交），含义/求解？

'3

'2'1'3

21321,,,,,,I I I I I I ij ij →→→σσσσσ

②最大剪应力 （主应力平面上的剪应力为零；最大剪应力位于坐标 轴分角面上，而三个最大剪应力分别等于三个主应力两两之差的一 半）且最大剪应力为：

23

1max σστ-=

③等倾面上的正应力和剪应力 等倾面即和三个主应力轴成相同角 度的面满足

12

22=++n m l

④ 平均应力（静水压力） 只产生体积缩胀，不产生形变；抑制裂 纹扩展。满足：

()

321031

σσσσ++=

⑤应力偏量

⎩⎨

⎧≠==j

i j i ij 当当01δ

从而有

ij

ij ij s +=0σδσ

3平衡微分方程：

熟悉35页公式1-39与37页1-40

第二章 应变分析

1．点的应变状态：定义、描述、分解

a 正应变（变形分布均匀）

l l l x -=

ε

b 用位移表示应变的几何关系47页式 （2-8） 柱坐标应变的几何方程48页式 （2-9） 球坐标应变的几何方程50页式 （2-12）

2．应力、应变分析的相似性与差异性（概念、分解、表示、相容性等） 一点的应变状态可以用50页式 （2-13）

3. 应变张量和应变偏量（注意：主应变、主剪应变形式差别）

31max εεγ-=

4. 应变协调方程 见67页式 （2-40）

柱坐标的变形协调方程见68页式 （2-41）

第三章 弹性与塑性应力应变关系

应力与应变的关系是相辅相成的，有应力就会有应变，而有应变就会有应力。 注意复习与掌握5组基本方程：

1. 应力平衡微分方程：含义：表征点的应力之间的关系（基体假设的应用，平面问题的具体形式）

2．几何方程：含义：位移-应变的关系

3．物理方程：广义虎克定律 含义：σ—ε关系 ①公式；②参数含义、关系

()μ+=

12E G

a 胡克定律用应力表示应变见85页式 （3-15）

b 胡克定律用应变来表示应力见87页式 （3-18）

4．应变协调方程（相容方程，连续方程）：含义，平面问题的相容方程（塑性变形连续方程：）

0321=++p p p εεε

a 特雷斯卡屈服条件见90页式 （3-21）

b 米泽斯屈服条件见式 （3-23）

c 熟悉特雷斯卡条件(1、2、3）与米泽斯条件（1、2、3）的不同处与相同处（1、2）

d 塑性应力应变关系（增量理论）：莱维-米泽斯本构方程（100）(3-31) 普朗特-罗伊斯本构方程（102）(3-39) （全量理论）：亨奇-伊柳辛变形理论 （111）(3-49)

5．边值方程：具体问题具体分析

第四章 弹性与塑性力学的解题方法

1 2种基本求解方法

1. 1 位移法：含义，求解过程：梅拉位移方程（130）（4-2），例题；

1.2 应力法：含义、保证解的连续性，应力函数的引入。以应力表示的变 形协调方程（136） （4-8） 2 应力函数：（定义）条件： ①

ij

σϕ

~

；②应力平衡条件；③应变连续条件

平面问题 用应力函数表示的协调条件：

02442244

4=∂∂+∂∂∂+∂∂y y x x ϕ

ϕϕ

3 应力法求解过程

（1）应力函数的设计

()()

(

)()

⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧832

~x x f x f 线性分布载荷均布载荷半逆解法逆解法

（2）求应力分量表达式（含待定参数） （3）利用边界条件确定待定参数 （4）确定应力函数φ

（5）平面问题的极坐标解法 应力分量（160） （4-30）

弹塑性力学试卷

1.已知平面应变状态

321321321===++=++=++=yz xy z xy y x y C x C C y B x B B y

A x A A εγγεγε

（1）校核上述状态是否满足应变协调方程

（2）若满足应变协调方程，试求位移u 和v 的关系 （3）已知边界条件

0,0,0,0,0=======v y l x v u y x

确定上述位移表达式中的待定系数。

2.已知位移分量为

().,,,,θθθy x f w zx v zy u ==-=

式中θ为常数。试求应变分量，并指出所研究物体的受力状况。

答案

1.解：（1）首先写出22y x ∂∂ε，22x y

∂∂ε和y x xy ∂∂∂γ2的表达式：

02

2=∂∂y x

ε 0

2

2=∂∂x

y ε

2=∂∂∂y

x xy γ

y x x y xy

y x ∂∂∂=∂∂+∂∂γεε2

2222

所以满足应变协调方程 （2）因为

x u x ∂∂=

ε，所以xy

A x A x A ydx A x A A dx u x 322132121

++=++==⎰⎰ε

同理

y v y ∂∂=

ε，所以2

32132121

y B xy B y B y B x B B dy v y ++=++==⎰⎰ε

（3）因为0,0,0====v u y x 满足上式，而当0,0,===v y l x ，则有：

2

1

221==+

v u l A l A

另外又因为

x v y u xy ∂∂+∂∂=

γ

有协调方程代入数据得

l C C l A y B x A x v y u xy 21323+==+=∂∂+∂∂=

γ

即位移式中的待定系数满足

l

C C l A 213+=。

2.解：应变分量为

====xy z y x γεεε

y x f

zx θγ-∂∂= x y f

zy θγ+∂∂=