【管理资料】正弦余弦正切的二倍角公式汇编
二倍角的正弦余弦正切公式
cos2α＝cos2α－sin2α
(C2 α)
tan tan
∵ tan(α + β)＝ 1 tan tan
∴ 当α＝β时, tan2α ＝
tan
2
2 tan 1 tan2
.
(T2 α )
利用sin2α+cos2α=1, 公式C2α还可以变形为： cos2α=2cos2α–1=1 –2sin2α.
引例
把下列各式化为一个角的三角函数形式
(1) 3 sin 1 cos
(2)s2in
2
cos
(3)a sin x b cos x
化asin x bcos x 为一个角的三角
函数形式
asin x bcos x
a2
b2
a
sin x
a2 b2
a
令
况，还可以运用于诸如将4α 作为2α 的2倍，将
α 作为 的2倍，将 α 作为 的2倍，将3α 作为3
2
的2倍等等.
2
4
2
例1.已知sinα ＝ 5 ，α ∈( ,π )，求sin2α ，
cos2α ，tan2α 的1值3 .
2
解：∵sinα＝ 5 ，α∈（ , π ),
13
2
∴cosα ＝－ 1 sin2 1 ( 5 )2 12.
3
2
例3 利用三角公式化简 sin 50 (1 3 tan10 ).
例4 若sin( ) 1 ,求sin( 2 ).
解：（2
）6（
3
2）
6
二倍角的正弦余弦正切公式
二倍角的正弦余弦正切公式二倍角指的是角度的两倍，即一个角度的两倍。
在三角函数中，我们通常使用θ来代表一个角度，那么二倍角就用2θ表示。
接下来，让我们来看一下二倍角的正弦、余弦和正切公式：1.二倍角的正弦公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ这个公式表示了一个角度的二倍角的正弦值与这个角度的正弦值、余弦值的关系。
具体来说，这个公式表明一个角度的二倍角的正弦值等于这个角度的正弦值和余弦值的乘积的2倍。
2.二倍角的余弦公式：cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ= 2cos^2θ - 1= 1 - 2sin^2θ这个公式表示了一个角度的二倍角的余弦值与这个角度的正弦值、余弦值的关系。
具体来说，这个公式有三种等价的形式，它们分别表示一个角度的二倍角的余弦值等于这个角度的余弦值的平方减去正弦值的平方、等于2倍的余弦值的平方减去1、等于1减去2倍的正弦值的平方。
3.二倍角的正切公式：tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan^2θ)这个公式表示了一个角度的二倍角的正切值与这个角度的正切值的关系。
具体来说，这个公式表明一个角度的二倍角的正切值等于角度的正切值的两倍除以1减去角度的正切值的平方。
使用这些二倍角公式可以方便地计算二倍角的三角函数值，从而简化三角函数的计算。
此外，二倍角公式还有很多应用，例如在解三角方程、求和差化积等问题中。
需要注意的是，这些公式只适用于特定的角度范围，通常是0到360度或者0到2π弧度之间。
当角度超过这个范围时，可能需要利用三角函数的周期性质进行转化。
另外，这些公式的推导可以通过三角函数的定义、三角恒等式和半角公式来完成。
总结起来，二倍角的正弦、余弦和正切公式是三角函数中的重要公式，它们可以方便地计算二倍角的三角函数值，简化三角函数的计算，并且在解三角方程、求和差化积等问题中有广泛的应用。
二倍角的正弦、余弦、正切公式
归纳小结
(1)二倍角公式是和角公式的特例，体现了 二倍角公式是和角公式的特例， 二倍角公式是和角公式的特例 将一般化归为特殊的基本数学思想方法。 将一般化归为特殊的基本数学思想方法。 (2)二倍角公式与和角、差角公式一样，反 二倍角公式与和角、 二倍角公式与和角 差角公式一样， 映的都是如何用单角α的三角函数值表示 映的都是如何用单角 的三角函数值表示 复角（ 的三角函数值， 复角（和、差、倍）的三角函数值，结合 前面学习到的同角三角函数关系式和诱导 公式可以解决三角函数中有关的求值、 公式可以解决三角函数中有关的求值、化 简和证明问题。 简和证明问题。
化简 sin 50 (1 + 3 tan10 )
o o
cos10o + 3 sin 10o o 解： 原式 = sin 50 ⋅ o cos10 o o 2 sin 40 = sin 50 ⋅ o cos10 o o 2 sin 40 = cos 40 ⋅ o cos10 o sin 80 = =1 o cos10
［例2］若270°＜α＜360°， 化简：
1 1 + 2 2
求值
1 1 + cos 2α 2 2
（1）cos80°cos40°cos20° （2）sin10°sin30°sin50°sin70°
例3
1+sin2 −cos2 θ θ 求 ： 证 = tanθ 1+sin2 +cos2 θ θ
2
1 + 2 sin θ cos θ − (1 − 2 sin θ ) 证明： 证明：左边 = 2 1 + 2 sin θ cos θ + ( 2 cos θ − 1)
同样对于正切也有这样的结论
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
14sinπ5π＝14. sin5
(2)原式＝－122cos2π8－1＝－12cosπ4＝－
2 4.
(3)原式＝tan21π2π－1＝－21－taπn21π2
tan12
2tan 12
＝－2·tan21×1π2＝t－an2π6＝－2 3.
在解决这种题型时，要正确处理角的倍半关系．如 4α 是 2α 的二倍角，α 是α2的二倍角，π2－2α 是π4－α 的二倍角．
2α .
求下列各式的值．
(1)cosπ5cos25π；(2)12－cos2π8；
(3)tan1π2－
1 π.
tan12
分析式 把式子变形，使其符合 【思路点拨】子结构 → 正、逆用或变形用形式 → 求值
π π 2π 1 2π 2π 1 4π
sin 解：(1)原式＝
5cos 5cos sinπ5
5 ＝2sins5incπ5os 5 ＝4ssiinnπ55 ＝
x
＝2sin
xcos cos
x－sin x＋sin
xcos x
x
＝sin
2xcos x－sin cos x＋sin x
x
＝sin
1－tan 2x1＋tan
xx＝sin
2xtanπ4－x
＝cosπ2－2xtanπ4－x＝ ＝2cos2π4－x－1tanπ4－x.
∵54π＜x＜74π， ∴－32π＜π4－x＜－π. 又∵cosπ4－x＝－45， ∴sinπ4－x＝35，tanπ4－x＝－34. ∴原式＝2×1265－1×－34＝－12010.
• 给值求角问题的求解一般按如下两个步骤进行：
• (1)根据题设条件，求角的某个三角函数值；
• (2)讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角 的范围，从而确定角的大小．
二倍角的正弦、余弦、正切公式
α ≠ π + kπ , α ≠ π + kπ 2 4 2
k ∈Z
运用这些公式要注意如下几点： 运用这些公式要注意如下几点： (1)公式Ｓ2α、C2α中，角α可以是任意角；但公式 公式Ｓ 可以是任意角； 公式 kπ π π T2α只有当 α ≠ kπ + 且α ≠ + （k ∈ Z) 时 2 2 4 才成立，否则不成立。 才成立，否则不成立。 当α＝ ＝
= a2 + b2 ( sin x cosϕ + cos xsinϕ)
= a2 + b2 sin( x +ϕ) = a2 + b2 cos( x −θ )
练习
把下列各式化为一个角的三角函数形式
(1) 2 ( sinα + cosα )
3 1 (2) sinα − cosα 2 2
2 π 6 π (3) sin − x + cos − x 4 4 4 4
(2)sinα + cosα
3 1 (1) sinα + cosα 2 2
(3)asin x + b cos x
化 函数形式
asin x +bcos x
asin x +bcos x
2 2
为一个角的三角
a b = a +b sin x + cos x 2 2 a2 + b2 a +b a cosϕ = a2 + b2 令 b sinϕ = a2 + b2
π
π
4、 (1)求 数 = sin x + cos x的 域 函 y 值 .
(2)函数y = 3sin2x + 3 3cos2x +1 的最小 值是 对 应的x值是 ；最大值 是
二倍角的正弦余弦和正切公式
二倍角的正弦余弦和正切公式二倍角公式是用来求解二倍角的三角函数的公式，以正弦、余弦和正切为例，其公式分别为：1.正弦的二倍角公式：正弦的二倍角公式可以表示为：sin(2θ) = 2sinθcosθ该公式说明了一个角的正弦的两倍可以通过该角的正弦和余弦相乘来得到。
2.余弦的二倍角公式：余弦的二倍角公式可以表示为：cos(2θ) = cos2θ - sin2θ该公式说明了一个角的余弦的两倍可以通过该角的余弦平方与正弦平方的差来得到。
3.正切的二倍角公式：正切的二倍角公式可以表示为：tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan^2θ)该公式说明了一个角的正切的两倍可以通过该角的正切的两倍与1减去该角的正切的平方的商来得到。
这些二倍角公式可用于简化复杂的三角函数表达式，以便更轻松地计算和求解。
下面将更详细地解释这些公式的推导和应用。
根据三角函数的定义，正弦函数可以表示为：sinθ = 对边 / 斜边令角度Φ等于2θ，则有：sinΦ = 对边 / 斜边那么对边到底边的距离可以通过利用余弦函数来表示为：sinΦ = cos(Φ - 90°)将Φ代入，并展开cosine函数的定义：sin2θ = cos(2θ - 90°)根据余弦的差积公式：cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ将(2θ-90°)分解为(2θ)与(90°)：cos(2θ - 90°) = cos2θcos90° + sin2θsin90°由于cos90° = 0且sin90° = 1，可以化简为：cos(2θ - 90°) = sin2θ因此，可得到正弦的二倍角公式：sin2θ = cos(2θ - 90°)由于cos(2θ - 90°) = sin2θ，所以可以进一步化简为：sin(2θ) = 2sinθcosθ根据三角函数的定义，余弦函数可以表示为：cosθ = 邻边 / 斜边令角度Φ等于2θ，则有：cosΦ = 邻边 / 斜边那么邻边到底边的距离可以通过利用正弦函数来表示为：cosΦ = sin(Φ + 90°)将Φ代入，并展开sine函数的定义：cos2θ = sin(2θ + 90°)根据正弦的和积公式：sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ将(2θ+90°)分解为(2θ)与(90°)：sin(2θ + 90°) = sin2θcos90° + cos2θsin90°由于cos90° = 0且sin90° = 1，可以化简为：sin(2θ + 90°) = cos2θ因此cos2θ = sin(2θ + 90°)由于sin(2θ + 90°) = cos2θ，所以可以进一步化简为：cos(2θ) = cos2θ - sin2θ根据三角函数的定义，正切函数可以表示为：tanθ = 对边 / 邻边令角度Φ等于2θ，则有：tanΦ = 对边 / 邻边可以利用正弦和余弦的定义来表示对边和邻边：tanΦ = sinΦ / cosΦ将Φ代入，根据正弦和余弦的二倍角公式：tan(2θ) = sin(2θ) / cos(2θ)通过之前推导的正弦和余弦的二倍角公式代入，即可得到正切的二倍角公式：tan(2θ) = (2sinθcosθ) / (cos^2θ - sin^2θ)由于正弦的倒数是余弦，所以可以进一步化简为：tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan^2θ)综上所述，正弦、余弦和正切的二倍角公式可以帮助我们计算和求解二倍角的三角函数。
二倍角的正弦、余弦和正切公式
4
2
4
3
2
6
2
6+2 3
＝ × ＋ × ＝
，
3
2
3
2
6
π
π
π
sin − ＝ sin cos － cos sin
2
4
2
4
2
4
3
2
6
2
6−2 3
＝ × － × ＝
，故C正确、D错误.
3
2
3
2
6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
9. 已知 sin
cos
2
－
25
.
− －1，
9
7
2α＝2× －1＝－ .
25
25
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
12.
为
2
等腰三角形一个底角的余弦值为 ，则这个三角形顶角的正弦值
3
4 5
9
.
设 A 是等腰△ ABC 的顶角，则
sin B ＝ 1 − cos2 ＝ 1 −
2
cos B ＝ ，
cos20°
＝
sin20°+2sin40°
cos20°
考点二
例2
(1)
(1)
二倍角的正弦、余弦、正切公式的逆用和变形应用
π
5
cos cos π的值为(
12
12
π
5
cos cos π＝
12
常用三角函数二倍角公式
常用三角函数二倍角公式三角函数是数学中的重要概念，它们在几何、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
其中，常用三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数。
在解决三角函数问题时，我们经常需要用到二倍角公式。
正弦函数二倍角公式正弦函数的二倍角公式为：sin2θ = 2sinθcosθ其中，θ为角度。
这个公式可以用来求解一些三角函数问题，例如： 1. 求sin120°的值。
根据正弦函数二倍角公式，我们可以将120°拆分成60°的两倍角，即：sin120° = 2sin60°cos60°由于sin60° = √3/2，cos60° = 1/2，代入公式得：sin120° = 2×√3/2×1/2 = √3因此，sin120°的值为√3。
2. 求sin15°的值。
由于15°无法拆分成已知角度的两倍角，我们需要用到半角公式：sin(θ/2) = ±√(1-cosθ)/2将θ=30°代入公式得：sin15° = ±√(1-cos30°)/2由于cos30° = √3/2，代入公式得：sin15° = ±√(1-√3/2)/2因为15°是第一象限角，所以sin15°为正数，代入公式得：sin15° = √(2-√3)/2余弦函数二倍角公式余弦函数的二倍角公式为：cos2θ = cos²θ - sin²θ这个公式可以用来求解一些三角函数问题，例如：1. 求cos150°的值。
根据余弦函数二倍角公式，我们可以将150°拆分成75°的两倍角，即：cos150° = cos²75° - sin²75°由于cos75° = (1+√3)/2√2，sin75° = (√6-√2)/4，代入公式得：cos150° = ((1+√3)/2√2)² - ((√6-√2)/4)²化简得：cos150° = (√2-√6)/4因此，cos150°的值为(√2-√6)/4。
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二倍角的含义：
“二倍角” 是一种相对的数量关系。
如：２α是α的二倍角；α是
3α是 3 的二倍角。
2
的 二倍角; 2
公式巩固训练
（1）sin = 2sin( )cos( 1 );
（2）cos 6 = cos2(
3
2
)-sin2( 3 )
= 2cos2( 3 )-1
= 1-2sin2( 3 );
(3)sin )( 2si ncos .
4 sic no cs o 2 s sic no s si n 1 24 24 1212 1262
练习2 化简：
1 (s5 i n co 5 )s(5 s i c no 5 )s 12 1212 12 原 ＝ s 式 i25 n co 25 s co 5 s 3
2 c o4ssi4n 12 12 6 2
正弦余弦正切的二倍角公式
问题一
利用 sin(+) cos(+) tan()
推出 sin2 cos2 tan2 的公式吗？
二倍角公式的推导
si n si cn o cs s ois 令 n ：β sαin2α 2sinαcos
co s cc oo s ss i sn i令n ：β αco 2 sco 2 ssi2 n
利用 si2n co2s1变形为 2cos2 1
1 2sin2
tantantan
1tantan
令：β αtan2α 12ttaann2αα
注： kα π π 且α kπ π
2
24
sin2α2sincos
cosα2co2sαsin2α
tan2α12ttaannα2α
2co2sα1
12sin2α
1、 si1n50co1s50
2、 sin2co2s
8
8
3、1tatann2222.52.5
观察式子的结构特点，对公式有一个整体感知，
将公式进行等价变形。
1 2 1
4
22
例 1 已 s2 i知 n 5 , ＜ ＜ ， 求 s4 i,n c4 o ,ts a 4 的 n. 14 3 2 解： 由 ，得 ＜ 2 ＜ 4 22
2 2
原 ＝ ( c 式 2 o s s2 in )(2 c o s2 isn ) cos 2 22 2
作业
课本第137页习题3.1A组 16、18、19
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2、 你在推导和应式 用的 这过 些，程 公 用中到了哪 基本的数学思 ？想方法
练习1 求值：
1．sin2230’cos2230’ 1sin450 2
2
4
2. 2 co2s 1 cos 2
8
42
3. s in2co2sco
8
8
s
4
2 2
4. 8s incoscoscos
48 48 2412
例 2 A B 中 ,C cA o 在 4 s ,ta B n 2 ,求 ta 2 A n 2 B 的 .
5
小结 倍角公式
sin2= 2sincos cos2= cos2-sin2
cos2=1-2sin2 cos2=2cos2-1 tan2 2tan
1tan2
感悟
1、 这节课你学到识 了 ？怎 什么 么获 知得这？ 些知
sin2= 2sincos cos2= cos2-sin2
cos2=1-2sin2 cos2=2cos2-1
tan212ttaann2
所c以 o2s 1si22 n12
13
si4n2si2nco2s120
169
co4 s 12si2n2119
169
ta4 ncsion 44 s1 11 29 0
4
88
二倍角公式(正用)
根据公式口答下列各题 ：
sin2α 2sinαcosα
cos2α cos2α sin 2α
tan2α
2tanα 1 tan 2α
(1)2sin15 cos15
(2)cos 2 π sin 2 π
6
6
(3)
2tan30 1 tan 2 30
11
22 3
二倍角公式(逆用)