江苏大学,大学物理13--15练习答案

O

A

2

练习 十三

(简谐振动、旋转矢量、简谐振动的合成)

一、选择题

1． 一弹簧振子，水平放置时，它作简谐振动。若把它竖直放置或放在光滑斜面上，试判断下列情况正确的是 （C ）

（A ）竖直放置作简谐振动，在光滑斜面上不作简谐振动； （B ）竖直放置不作简谐振动，在光滑斜面上作简谐振动； （C ）两种情况都作简谐振动； （D ）两种情况都不作简谐振动。

解：(C) 竖直弹簧振子:kx mg l x k dt x d m -=++-=)(22(mg kl =),0222=+x dt x

d ω

弹簧置于光滑斜面上:kx mg l x k dt x d m -=++-=αsin )(22 (mg kl =),0222=+x dt

x

d ω

2． 两个简谐振动的振动曲线如图所示，则有 （A ） （A ）A 超前

2π； （B ）A 落后2π

；（C ）A 超前π； （D ）A 落后π。

解：(A)t A x A ωcos =,)2/cos(πω-=t A x B

3． 一个质点作简谐振动，周期为T ，当质点由平衡位置向x 轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最

大位移这段路程所需要的最短时间为： （B ） （A ）

4T ； （B ）12T ； （C ）6T ； （D ）8

T

。

解：(B)振幅矢量转过的角度6/πφ=∆,所需时间12

/26/T T t ==∆=ππωφ,

4． 分振动表式分别为)π25.0π50cos(31+=t x 和)π75.0π50cos(42+=t x （SI 制）则它们的合振动表达式为： （C ）

（A ）)π25.0π50cos(2+=t x ； （B ）)π50cos(5t x =；

（C ）π1

5cos(50πarctan )27

x t =+

+； （D ）7=x 。 解：(C)作旋转矢量图或根据下面公式计算

)cos(210202122

2

1

φφ-++=A A A A A 5)25.075.0cos(432432

2

=-⋅⋅++=ππ

7

1

2)75.0cos(4)25.0cos(3)75.0sin(4)

25.0sin(3cos cos sin sin 112021012021011

0---+=++=++=tg tg A A A A tg πππππφφφφφ

5． 两个质量相同的物体分别挂在两个不同的弹簧下端，弹簧的伸长分别为1l ∆和2l ∆，且212l l ∆=∆，则两弹簧振子的周期之比21:T T 为 （B ）

（A ）2； （B ）2； （C ）2/1； （D ）2/1。 解：(B) 弹簧振子的周期k m

T π

2=,11l m g k ∆=, 22l m g k ∆=,2212

1=∆∆=l l T T 6. 一轻弹簧，上端固定，下端挂有质量为m 的重物，其自由振动的周期为T ．今已知振子离开平衡位置为

x 时，其振动速度为v ，加速度为a ．则下列计算该振子劲度系数的公式中，错误的是： （B ）

(A) 2

max

2max /x m k v =； (B) x mg k /=； (C) 2

2/4T m k π=； (D) x ma k /=。 解：B

7. 两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同．第一个质点的振动表式为x 1 = A cos(ωt + α)．当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处．则第二个质

点的振动表式为 （B ） (A) )π21cos(2++=αωt A x ； (B) )π21

cos(2-+=αωt A x ； (C) )π2

3

cos(2-+=αωt A x ； (D) )cos(2π++=αωt A x 。解：(B)作旋转矢量图

A

8. 一质点沿x 轴作简谐振动，振动表式为 )3

1

2cos(1042π+π⨯=-t x (SI 制)。从t = 0时刻起，到质点位

置在x = -2cm 处，且向x 轴正方向运动的最短时间间隔为

（C ）

（A ）18s ； （B

）16s ； （C ）12s ； （D ）14s 。

解：(C)作旋转矢量图s t

2/12//min ==∆=ππωφ 二、填空题 1. 一简谐振动用余弦函数表示，其振动曲线如图所示，则此简谐振动的三个特征量为A =______；ω =______；φ

0=______。 解：由图可知m cm A 1.010

==,s T 12=,16//2-==s T ππω,

作旋转矢量得3/0πφ=

2．单摆悬线长l ，在悬点的铅直下方2/l 处有一小钉，如图所示。则单摆的左右两方振动

周期之比21:T T 为 。解：单摆周期g l T π2=,2

2

=

=右左右左l l T T 3．一质点沿x 轴作简谐振动，振动范围的中心点为x 轴的原点。已知周期为T ，振幅为A 。

（1）若t = 0时质点过x = 0处且朝x 轴正方向运动，则振动方程为 x =＿＿＿＿＿＿＿＿。

（2）若t = 0时质点处于A x 2

1

=

处且向x 轴负方向运动，则振动方程为x =＿＿＿＿＿。 解：作旋转矢量图,由图可知(1))22cos(ππ-=t T A x ;(2))3

2cos(π

π+=t T A x

4．有两个相同的弹簧，其劲度系数均为k ，(1)把它们串联起来，下面挂一个质量为m 的重物，此系统作简谐振动的周期为 ；(2)把它们并联起来，下面挂一质量为m 的重物，此系统作简谐振动的周期为 。

解：两个相同弹簧串联, 劲度系数为

2k

,k

m T 22π=;两个相同弹簧并联,劲度系数为k 2,k m T 22π=. 5．质量为m 的物体和一轻质弹簧组成弹簧振子，其固有振动周期为T ，当它作振幅为A 的自由简谐振动

时，其振动能量E = 。解：弹簧振子振动周期k

m T π2=,224T

m k π=,振动能量22

22

221A T m kA E π== 6．若两个同方向、不同频率的谐振动的表达式分别为t A x π10cos 1=和t A x π12cos 2=，则它们的合振动频率为 ，拍频为 。

解：πνω2=,51=ν, 62=ν,合振动频率Hz 2

11212=+=ννν,拍频Hz 112=-=∆ννν

7．两个同方向的简谐振动曲线如图所示。合振动的振幅为________________，合振动的振动方程为___________________。

解：作旋转矢量图12A A -; ⎪⎭⎫

⎝⎛+-=22cos )(12ππt T

A A x

三、计算题

1．质量m = 10 g 的小球按如下规律沿x 轴作简谐振动：

)3

2

8cos(1.0π+

π=t x (SI)．求此振动的周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值以及振动的能量。 解：圆频率)/1(8s πω=,周期)(4/1/2s T ==ωπ,振幅m A 1.0=,初相3/20πφ= 振动速度最大值)/(5.28.081.0max s m A v ==⨯==ππω,

加速度最大值)/(634.6)8(1.02

2

2

2

max s m A a ==⨯==ππω

振动的能量J mv kA E 222max 210125.35.201.02

1

2121-⨯=⨯⨯===

2*. 边长为l 的一立方体木块浮于静水中，其浸入水中部分的深度为0h ，今用手指沿竖直方向将其慢慢压下，使其浸入水中部分的深度为h ，然后放手任其运动。若不计水对木块的粘滞阻力,试证明木块作简谐运

)(t A

4πO

)

0(A O

)

0(1A