初中数学相关定理及证明

高中数学相关定理、公式及结论证明

一、三角函数部分

1.正弦定理证明

内容：在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，则.sin sin sin C

c B b A a == 证明： 1.利用三角形的高证明正弦定理

（1）当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ， 根据锐角三角函数的定义，有sin CD b A ==sin CD a B 。 由此，得 sin sin a

b

=

，同理可得

sin sin c

b

C

B

=

，

故有

sin sin a

b

A

B

=

sin

c C

=

.

从而这个结论在锐角三角形中成立.

（2）当∆ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高， 交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义， 有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。

由此，得 =

∠sin sin a b

A

ABC

，

同理可得 =

∠sin sin c

b

C

ABC

故有

=

∠sin sin a

b

sin c

=

.

（3）在ABC Rt ∆中，,sin ,sin c

b B

c a A ==

∴

c B

b

A a ==sin sin ， .1sin ,90=︒=C C .sin sin sin C

c B b A a ==∴

由(1)(2)（3）可知，在∆ABC 中，sin sin a

b

A

B

=

sin c

C

=

成立.

2.外接圆证明正弦定理

在△ABC 中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC 的外接圆,O 为圆心, 连结BO 并延长交圆于B ′,设BB ′=2R.则根据直径所对的圆周

角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 ∠BAB ′=90°，∠C =∠B ′，

a

b

D

A

B

C A

B

C

b

a

∴sin C =sin B ′=R

c B C 2sin sin =

'=. R C

c

2sin =.

同理,可得

R B

b R A a 2sin ,2sin ==.∴

R C c B b A a 2sin sin sin ===.

3.向量法证明正弦定理

'cos(90)sin OC AC A b A =-=

'sin sin OC BC B a B ==

sin sin a B b A = sin sin a

b A

B =

同理 sin sin c

b

C

B =

故有

sin sin a

b

=

sin c

=

.

2.余弦定理证明

内容：在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，

则

⎪⎩

⎪⎨⎧-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b A

bc c b a cos 2cos 2cos 22222

22222 证明：如图在ABC ∆中，

))((2

2

2

a -

-===

cos 22A +∙-=+∙-=

A bc c b cos 222-+=

同理可证：⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=C ab b a c A bc c b a cos 2cos 22

222

22 所以⎪⎩

⎪⎨⎧-+=-+=-+=C

ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 22222

22222 3.两角和（差）的余弦公式证明

如图在单位圆中设P （cos α

,sin α）,Q

（cos β,sin β） 则：)cos()

β

αβα-=-=∙OQ OP

βαβαsin sin cos cos +=∙OQ OP ∴)cos(βα-βαβαsin sin cos cos += 在单位圆中设P （cos α,sin α）,Q （cos β,-sin β）

则：)cos()βαβα+=+=∙

βαβαsin sin cos cos -=∙OQ OP ∴)cos(βα+βαβαsin sin cos cos -= （或）[]cos()cos ()αβαβ+=-- 4.两角和（差）的正弦公式证明 二、两角和（差）的正弦公式证明。

内容：βαβαβαβαβαβαsin cos cos sin )sin(,sin cos cos sin )sin(-=-+=+ 证明：

βαπ

βαπ

βαπ

βαπ

βαsin )2

sin(

cos )2

cos(

])2

cos[(

)](2

cos[

)sin(-+-=--=+-=+

βαβαsin cos cos sin +=

βαπ

βαπ

βαπ

βαπ

βαsin )2

sin(

cos )2

cos(

])2

cos[(

)](2

cos[

)sin(---=+-=--=-

βαβαsin cos cos sin -=

5．两角和（差）的正切公式证明

内容：βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+，β

αβ

αβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-

证明：

=-

+

=-+=++=+β

αβαβαβαβαβ

αβαβαβαβαβαβαβαβαβαcos cos sin sin cos cos cos cos cos cos sin cos cos cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin()tan(βαβ

αtan tan 1tan tan -+

=+

-

=+-=--=-β

αβαβαβαβαβ

αβαβαβαβαβαβαβαβαβαcos cos sin sin cos cos cos cos cos cos sin cos cos cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin()tan(βαβ

αtan tan 1tan tan +-