初二数学勾股定理知识点及练习题

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初二下册数学勾股练习题带答案

初二下册数学勾股练习题带答案在初二下册数学学习中，勾股定理是一个重要的概念。

为了帮助同学们更好地理解和掌握勾股定理，以下是一些练习题和答案。

练习题一：已知一个直角三角形的两条直角边分别为3cm和4cm，请计算斜边的长度。

解答：根据勾股定理，斜边的长度可以通过以下公式计算：斜边的长度= √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5cm练习题二：在一个直角三角形中，已知两条直角边分别为5m和12m，请计算斜边的长度。

解答：根据同样的公式，可以计算得到：斜边的长度 = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13m练习题三：已知一个直角三角形的斜边长度为13cm，其中一条直角边的长度为5cm，请求另一条直角边的长度。

解答：根据勾股定理，可以用以下公式计算另一条直角边的长度：另一条直角边的长度= √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144 = 12cm练习题四：已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm和8cm，请计算斜边的长度、周长和面积。

解答：根据勾股定理，斜边的长度可以计算为：斜边的长度 = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10cm周长可以计算为：周长 = 6cm + 8cm + 10cm = 24cm面积可以计算为：面积 = (6cm × 8cm) / 2 = 24cm²练习题五：已知一个直角三角形的斜边长度为10cm，另一条直角边的长度为6cm，请计算另一条直角边的长度、周长和面积。

解答：根据勾股定理，可以用以下公式计算另一条直角边的长度：另一条直角边的长度= √(10² - 6²) = √(100 - 36) = √64 = 8cm周长可以计算为：周长 = 6cm + 8cm + 10cm = 24cm面积可以计算为：面积 = (6cm × 8cm) / 2 = 24cm²练习题六：在一个直角三角形中，已知一条直角边的长度为6cm，另一条直角边的长度为8cm，请计算斜边的长度、周长和面积。

八年级初二数学勾股定理知识点-+典型题及解析

A．①②③
B．①②③④
C．②③④
D．①③④
2．如图，已知 1 号、4 号两个正方形的面积之和为 7，2 号、3 号两个正方形的面积之和

为 4，则 a、b、c 三个正方形的面积之和为（）
A．11
B．15
C．10
D．22
3．如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从 A 点绕到正上方 B 点共四圈，已知易拉
12．在 ABC 中， BAC 90，以 BC 为斜边作等腰直角 BCD ，连接 DA ，若 AB 2 2 ， AC 4 2 ，则 DA 的长为______． 13．若 ABC 为直角三角形， B 90 ， AB 6， BC 8 ，点 D 在斜边 AC 上，且 AC 2BD ，则 AD 的长为__________．
与数轴的正半轴交于点 M ，则点 M 对应的数为（）
A．3．5
B． 2 3
C． 13
D． 3 6 2
二、填空题
11．如图，在四边形 ABCD 中，AB =AD，BC=DC，点 E 为 AD 边上一点，连接 BD、CE，CE
与 BD 交于点 F，且 CE∥AB，若 A =60°，AB=4，CE=3，则 BC 的长为_______．
A．20
B．24
C． 99 4
D． 53 2
6．若直角三角形的三边长分别为 a b 、a、 a b ，且 a、b 都是正整数，则三角形其中一
边的长可能为（）
A．22
B．32
C．62
D．82
7．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则点 C 到 AB 的距离是（）
A． 3 4
B． 3 5
MN⊥a 且 AM+MN+NB 的长度和最短，则此时 AM+NB＝（）

八年级初二数学勾股定理知识点-+典型题附解析

八年级初二数学勾股定理知识点-+典型题附解析一、选择题1．△ABC 的三边的长a 、b 、c 满足：2(1)250a b c -+-+-=，则△ABC 的形状为（）． A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形2．如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE a =，则下列说法正确的是（）①DC '平分BDE ∠；②BC 长为()22a +；③BCD 是等腰三角形；④CED 的周长等于BC 的长．A ．①②③B ．②④C ．②③④D ．③④ 3．如果直角三角形的三条边为3、4、a ，则a 的取值可以有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》（也称《赵爽弦图》），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a ，较长直角边为b ，那么2a b （）+的值为（）A ．13B ．19C ．25D ．1695．下列命题中，是假命题的是( )A ．在△ABC 中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC 是直角三角形B ．在△ABC 中，若a 2＝(b ＋c) (b －c)，则△AB C 是直角三角形 C ．在△ABC 中，若∠B＝∠C＝∠A，则△ABC 是直角三角形D ．在△ABC 中，若a ：b ：c ＝5：4：3，则△ABC 是直角三角形6．甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲以16海里/时的速度向北偏东75︒的方向航行，它们出发1.5小时后，两船相距30海里，若乙以12海里/时的速度航行，则它的航行方向为（） A ．北偏西15︒B ．南偏西75°C ．南偏东15︒或北偏西15︒D ．南偏西15︒或北偏东15︒7．如图，在矩形ABCD 中，AB =8，BC =4，将矩形沿AC 折叠，点B 落在点B ′处，则重叠部分△AFC 的面积为（）A ．12B ．10C ．8D ．68．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（） A ．7.5平方千米B ．15平方千米C ．75平方千米D ．750平方千米9．如图，点A 和点B 在数轴上对应的数分别是4和2，分别以点A 和点B 为圆心，线段AB 的长度为半径画弧，在数轴的上方交于点C ．再以原点O 为圆心，OC 为半径画弧，与数轴的正半轴交于点M ，则点M 对应的数为（）A ．3．5B ．23C ．13D ．3610．如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2，l 2，l 3之间的距离为3，则AC 的长是（）A ．17B ．5C ．2D ．7二、填空题11．若ABC ∆为直角三角形，90B ∠=︒，6AB =，8BC =，点D 在斜边AC 上，且2AC BD =，则AD 的长为__________．12．已知，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=7，D 是AB 的中点，点E 在AC 上，点F 在BC 上，DE=DF ，若BF=4，则EF=_______13．如图，正方体的底面边长分别为2cm 和3cm ，高为5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过四个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为_____cm ．14．已知a 、b 、c 是△ABC 三边的长，且满足关系式2222()0c a b a b --+-=，则△ABC 的形状为___________15．如图，Rt△ABC 中，∠BCA ＝90°，AB ＝5，AC ＝2，D 为斜边AB 上一动点（不与点A ，B 重合），DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，连接EF ，则EF 的最小值是_____．16．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，BD 是高，则点BD 的长为_____．17．如图，在四边形ABCD 中，AD =4，CD =3，∠ABC =∠ACB =∠ADC =45°，则2________BD =．18．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若12315S S S ++=，则2S 的值是__________．19．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，2AC BC ==，D 为BC 边上一动点，作如图所示的AED ∆使得AE AD =，且45EAD ∠=，连接EC ，则EC 的最小值为__________．20．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方行ABCD ，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为4的小正方形EFGH,已知AM 为Rt △ABM 的较长直角边，AM ＝7EF ，则正方形ABCD 的面积为_______.三、解答题21．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=10，E 为CD 边上一点，将△ADE 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处．（1）求BF 的长；（2）求CE 的长．22．如图，已知ABC ∆中，90B ∠=︒，8AB cm =，6BC cm =，P 、Q 是ABC ∆边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C →方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．（1）当2t =秒时，求PQ 的长；（2）求出发时间为几秒时，PQB ∆是等腰三角形？（3）若Q 沿B C A →→方向运动，则当点Q 在边CA 上运动时，求能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．23．在等腰△ABC 与等腰△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，且点D 、E 、C 三点在同一条直线上，连接BD ．（1）如图1，求证：△ADB ≌△AEC（2）如图2，当∠BAC ＝∠DAE ＝90°时，试猜想线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，当∠BAC ＝∠DAE ＝120°时，请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系式为：（不写证明过程）24．我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在ABC ∆中，AO 是BC 边上的中线，AB 与AC 的“广益值”就等于22AO BO -的值，可记为22AB AC OA BO ∇=-（1）在ABC ∆中，若90ACB ∠=︒，81AB AC ∇=，求AC 的值．（2）如图2，在ABC ∆中，12AB AC ==，120BAC ∠=︒，求AB AC ∇，BA BC ∇的值．（3）如图3，在ABC ∆中，AO 是BC 边上的中线，24ABC S ∆=，8AC =，64AB AC ∇=-，求BC 和AB 的长．25．如图所示，已知ABC ∆中，90B ∠=︒，16AB cm =，20AC cm =，P 、Q 是ABC ∆的边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C A →→方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为ts ．（1）则BC =____________cm ；（2）当t 为何值时，点P 在边AC 的垂直平分线上？此时CQ =_________? （3）当点Q 在边CA 上运动时，直接写出使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．26．已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，过顶点A 作射线AP .（1）当射线AP 在BAC ∠外部时，如图①，点D 在射线AP 上，连结CD 、BD ，已知21AD n =-，21AB n =+，2BD n =（1n >）.①试证明ABD ∆是直角三角形；②求线段CD 的长.（用含n 的代数式表示）（2）当射线AP 在BAC ∠内部时，如图②，过点B 作BD AP ⊥于点D ，连结CD ，请写出线段AD 、BD 、CD 的数量关系，并说明理由.27．如图，己知Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，斜边4AB =，ED 为AB 垂直平分线，且23DE =DB ，DA .（1）直接写出BC=__________，AC=__________；（2）求证：ABD∆是等边三角形；（3）如图，连接CD，作BF CD⊥，垂足为点F，直接写出BF的长；（4）P是直线AC上的一点，且13CP AC=，连接PE，直接写出PE的长.28．问题情境：综合实践活动课上，同学们围绕“已知三角形三边的长度，求三角形的面积”开展活动，启航小组同学想到借助正方形网格解决问题问题解决：图（1）、图（2）都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，操作发现，启航小组同学在图（1）中画出△ABC，其顶点A，B，C都在格点上，同时构造长方形CDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边EF经过点A，ED经过点B．同学们借助此图求出了△ABC的面积．（1）在图（1）中，△ABC的三边长分别是AB＝，BC＝，AC＝．△ABC 的面积是．（2）已知△PMN中，PM17，MN＝5NP13图（2）中画出△PMN，并直接写出△RMN的面积．29．如图，在边长为2正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，E 是线段OA 上一动点（不包括两个端点），连接BE .（1）如图1，过点E 作EF BE ⊥交CD 于点F ，连接BF 交AC 于点G . ①求证：BE EF =;②设AE x =，CG y =，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. （2）在如图2中，请用无刻度的直尺作出一个以BE 为边的菱形.30．（发现）小慧和小雯用一个平面去截正方体，得到一个三角形截面（截出的面），发现截面一定是锐角三角形．为什么呢？她们带着这个疑问请教许老师．（体验）（1）从特殊入手许老师用1个铆钉把长度分别为4和3的两根窄木棒的一端连在一起（如图，）,保持不动，让从重合位置开始绕点转动，在转动的过程，观测的大小和的形状，并列出下表：的大小的形状…直角三角形…直角三角形…请仔细体会其中的道理，并填空：_____，_____；（2）猜想一般结论在中，设，，（），①若为直角三角形，则满足；②若为锐角三角形，则满足____________；③若为钝角三角形，则满足_____________．（探索）在许老师的启发下，小慧用小刀在一个长方体橡皮上切出一个三角形截面（如图1），设，，，请帮助小慧说明为锐角三角形的道理．（应用）在小慧的基础上，小雯又切掉一块“角”，得到一个新的三角形截面（如图2），那么的形状是（）A．一定是锐角三角形B．可能是锐角三角形或直角三角形，但不可能是钝角三角形C．可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由等式可分别得到关于a 、b 、c 的等式，从而分别计算得到a 、b 、c 的值，再由222+=a b c 的关系，可推导得到△ABC 为直角三角形．【详解】∵2(1)250a b c --=又∵()2102050a b c ⎧-≥-≥-≥⎪⎩∴()21=02=05a b c ⎧-⎪⎪-⎨⎪⎪⎩∴125a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ ∴222+=a b c ∴△ABC 为直角三角形故选：D ．【点睛】本题考察了平方、二次根式、绝对值和勾股定理逆定理的知识；求解的关键是熟练掌握二次根式、绝对值和勾股定理逆定理，从而完成求解．2．B解析：B【分析】根据折叠前后得到对应线段相等，对应角相等判断①③④式正误即可，根据等腰直角三角形性质求BC 和DE 的关系．【详解】解：根据折叠的性质知，△C ED CED '≅∆，且都是等腰直角三角形，∴90BDE ∠<︒，45C DE ∠'=︒， ∴12C DE BDE ∠'≠∠ ∴DC '不能平分BDE ∠①错误；45DC E DCE ∴∠'=∠=︒，C E CE DE AD a '====，CD DC ='=，AC a ∴=，2)BC a ==，∴②正确；2ABC DBC ∠=∠，22.5DBC ∴∠=︒，45DCB ∠=︒，112.5BDC ∴∠=︒，BCD ∴∆不是等腰三角形，故③错误；CED ∴∆的周长(2CE DE CD a a a BC =++=+==，故④正确．故选：B ．【点睛】本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②等腰直角三角形，三角形外角与内角的关系，等角对等边等知识点．3．C解析：C【解析】【分析】根据勾股定理求解即可，注意要确认a 是直角边还是斜边.【详解】解：当a 是直角三角形的斜边时,5a == ；当a 为直角三角形的直角边时,a =故选C ．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．4．C解析：C【解析】试题分析：根据题意得：222c a b =+=13，4×12ab=13﹣1=12，即2ab=12，则2()a b +=222a ab b ++=13+12=25，故选C ．考点：勾股定理的证明；数学建模思想；构造法；等腰三角形与直角三角形．5．C解析：C【分析】一个三角形中有一个直角，或三边满足勾股定理的逆定理则为直角三角形，否则则不是，据此依次分析各项即可.【详解】A. △ABC 中，若∠B=∠C －∠A ，则∠C =∠A+∠B ，则△ABC 是直角三角形，本选项正确；B. △ABC 中，若a 2=(b+c)(b －c)，则a 2=b 2－c 2，b 2= a 2+c 2，则△ABC 是直角三角形，本选项正确；C. △ABC 中，若∠A ∶∠B ∶∠C=3∶4∶5，则∠，故本选项错误； D. △ABC 中，若a ∶b ∶c=5∶4∶3，则△ABC 是直角三角形，本选项正确；故选C.【点睛】本题考查的是直角三角形的判定，利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①确定三角形的最长边；②分别计算出最长边的平方与另两边的平方和；③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等．若相等，则此三角形是直角三角形；否则，就不是直角三角形． 6．C解析：C【分析】先求出出发1.5小时后，甲乙两船航行的路程，进而可根据勾股定理的逆定理得出乙船的航行方向与甲船的航行方向垂直，进一步即可得出答案．【详解】解：出发1.5小时后，甲船航行的路程是16×1.5=24海里，乙船航行的路程是12×1.5=18海里；∵222241857632490030+=+==，∴乙船的航行方向与甲船的航行方向垂直，∵甲船的航行方向是北偏东75°，∴乙船的航行方向是南偏东15°或北偏西15°．故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和方位角，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．7．B解析：B【分析】已知AD 为CF 边上的高，要求AFC △的面积，求得FC 即可，求证AFD CFB '△≌△，得B F DF '=，设DF x =，则在Rt AFD △中，根据勾股定理求x ，于是得到CF CD DF =-，即可得到答案．【详解】解：由翻折变换的性质可知，AFD CFB '△≌△，'DF B F ∴=，设DF x =，则8AF CF x ==-，在Rt AFD △中，222AF DF AD =+，即222(8)4x x -=+，解得：3x =，835CF CD FD ∴=-=-=，1102AFC S AF BC ∴=⋅⋅=△．故选：B ．【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等内容，根据折叠的性质得到AFD CFB '△≌△是解题的关键．8．A解析：A【解析】分析：直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．详解：∵52+122=132，∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形， ∴这块沙田面积为：12×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．故选A ．点睛：此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键． 9．B解析：B【分析】如图，作CD ⊥AB 于点D ，由题意可得△ABC 是等边三角形，从而可得BD 、OD 的长，然后根据勾股定理即可求出CD 与OC 的长，进而可得OM 的长，于是可得答案．【详解】解：∵点A 和点B 在数轴上对应的数分别是4和2，∴OB=2，OA=4，如图，作CD⊥AB于点D，则由题意得：CA=CB=AB=2，∴△ABC是等边三角形，∴BD=AD=11 2AB=，∴OD=OB+BD=3，223CD BC BD=-=，∴()22223323OC OD CD=+=+=，∴OM=OC=23，∴点M对应的数为23．故选：B．【点睛】本题考查了实数与数轴、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，属于常见题型，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键．10．A解析：A【解析】试题解析：作AD⊥l3于D，作CE⊥l3于E，∵∠ABC=90°，∴∠ABD+∠CBE=90°又∠DAB+∠ABD=90°∴∠BAD=∠CBE，{BAD CBEAB BCADB BEC∠=∠=∠=∠，∴△ABD≌△BCE∴BE=AD=3在Rt△BCE中，根据勾股定理，得25+9=34，在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得AC=342=217⨯. 故选A ．考点：1.勾股定理；2.全等三角形的性质；3.全等三角形的判定．二、填空题11．5【分析】在直角ABC 中，依据勾股定理求出AC 的长度，再算出BD ，过点B 作BE AC ⊥于点E ，通过等面积法求出BE ，得到两个直角三角形，分别运用勾股定理算出AE ED 、，两者相加即为AD 的长.【详解】解：如图，过点B 作BE AC ⊥于点E ，则90BEA ∠=︒,90BED ∠=︒,∵直角ABC 中，90B ∠=︒，6AB =，8BC =，∴22=10AC AB BC +=,又∵2ABC S AB BC AC BE =⋅=⋅，2AC BD =∴6810BE ⨯=，5BD =,∴=4.8BE ,∵90BEA ∠=︒,90BED ∠=︒∴22= 3.6AE AB BE -=,22= 1.4ED BD BE -=,∴5AD AE ED =+=.故答案为：5.【点睛】本题考查了勾股定理，通过作直角三角形斜边上的高，既构造了两个直角三角形求位置线段，又通过等面积法求出了一条直角边的长度，为运用勾股定理求线段创造了条件；故在求线段长时，可以考虑构造直角三角形.12．322或115或1095【分析】分别就E ，F 在AC,BC 上和延长线上，分别画出图形，过D 作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足为G ，H ，通过构造全等三角形和运用勾股定理作答即可.【详解】解：①过D作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足为G，H ∴DG∥BC,∠CDG=∠CDH=45°又∵D是AB的中点，∴DG=12 BC同理：DH=12 AC又∵BC=AC∴DG=DH在Rt△DGE和Rt△DHF中DG=DH,DE=DF∴Rt△DGE≌Rt△DHF（HL）∴GE=HF又∵DG=DH,DC=DC∴△GDC≌△FHC∴CG=HC∴CE=GC-GE=CH-HF=CF=AB-BF=3∴EF=223332+=②过D作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足为G，H∴DG∥BC,∠CDG=∠CDH=45°又∵D是AB的中点，∴DG=12 BC同理：DH=12 AC又∵BC=AC ∴DG=DH在Rt△DGE 和Rt△DHF 中DG=DH,DE=DF∴Rt△DGE≌Rt△DHF（HL ）∴GE=HF又∵DG=DH,DC=DC∴△GDC≌△FHC∴CG=HC∴CE=CF=AC+AE=AB+BF=7+4=11 ∴EF=221111112+=③如图，以点D 为圆心，以DF 长为半径画圆交AC 边分别为E 、E '，过点D 作DH⊥AC 于点H ，可知DF DE DE '==，可证△EHD≌△E HD '，CE D CFD '≌，△DHC 为等腰直角三角形，∴∠1+∠2=45°∴∠EDF=2（∠1+∠2）=90°∴△EDF 为等腰直角三角形可证AED CFD △△≌∴AE=CF=3,CE=BF=4∴2222435EF CE CF =+=+=④有第③知，EF=5，且△EDF 为等腰直角三角形，∴ED=DF=522,可证△E CF E DE ''∆∽,2223y x += 525222x=+ 综上可得：4225x =∴2222E F DE DF DE '''''=+=1095E F ''= 【点睛】本题考查了全等三角形和勾股定理方面的知识，做出辅助线、运用数形结合思想是解答本题的关键.13．55【解析】【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【详解】展开图如图所示：由题意，在Rt △APQ 中，PD=10cm ，DQ=5cm ，∴蚂蚁爬行的最短路径长2222105PD QD +=+5cm ），故答案为：5【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．14．等腰直角三角形【解析】根据非负数的意义，由()22220c a b a b --+-=，可知222c a b =+，a=b ，可知此三角形是等腰直角三角形.故答案为：等腰直角三角形.点睛：此题主要考查了三角形形状的确定，根据非负数的性质，可分别得到关系式，然后结合勾股定理的逆定理知是直角三角形，然后由a-b=0得到等腰直角三角形，比较容易，关键是利用非负数的性质得到关系式.15．25【解析】试题分析：根据勾股定理可求出BC=1，然后根据∠BCA＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，证得四边形CEDF是矩形，连接CD，则CD=EF，当CD⊥AB时，CD最短，即EF=CD=25.故答案为25.点睛：本题考查了勾股定理的运用，矩形的判定和性质以及垂线段最短的性质，同时也考查了学生综合运用性质进行推理和计算的能力．16．485【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质和勾股定理可知BC边上的高为8，然后根据三角形的面积法可得111012822BD⨯⨯=⨯⨯，解得BD=485.17．41【解析】作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD与△CAD′中，;BA CABAD CADAD AD＝＝＝⎧⎪∠∠'⎨⎪⎩∴△BAD≌△CAD′（SAS），∴BD=CD′，∠DAD′=90°，由勾股定理得，∠D′DA+∠ADC=90°，由勾股定理得BD 2=41．故答案是：41．18．5【分析】根据图形的特征得出四边形MNKT 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ，从而用x ，y 表示出1S ，2S ，3S ，得出答案即可．【详解】解：将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ，正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，12310S S S ++=，∴得出18S y x ，24S y x ，3S x =， 12331215S S S x y ，故31215x y， 154=53x y ，所以245S x y ，故答案为：5．【点睛】此题主要考查了图形面积关系，根据已知得出用x ，y 表示出1S ，2S ，3S ，再利用12315S S S ++=求出是解决问题的关键．19．2-【分析】根据已知条件，添加辅助线可得△EAC ≌△DAM （SAS ），进而得出当MD ⊥BC 时，CE 的值最小，转化成求DM 的最小值，通过已知值计算即可．【详解】解：如图所示，在AB 上取AM=AC=2，∵90ACB ∠=，2AC BC ==，∴∠CAB=45°，又∵45EAD ∠=，∴∠EAC+∠CAD=∠DAB+∠CAD=45°，∴∠EAC =∠DAB ，∴在△EAC 与△DAB 中AE=AD ，∠EAF =∠DAB ，AC =AM ，∴△EAC ≌△DAM （SAS ）∴CE=MD ，∴当MD ⊥BC 时，CE 的值最小，∵AC=BC=2，由勾股定理可得2222AB AC BC =+=，∴222=-BM ，∵∠B=45°，∴△BDM 为等腰直角三角形，∴DM=BD ，由勾股定理可得222+BD DM =BM∴DM=BD=22-∴CE=DM=22-故答案为：22-【点睛】本题考查了动点问题及全等三角形的构造，解题的关键是作出辅助线，得出全等三角形，找到CE 最小时的状态，化动为静．20．32【分析】由题意设AM=2a ，BM=b ，则正方形ABCD 的面积=224a b ＋，由题意可知EF=(2a-b)-2（a-b)=2a-b-2a ＋2b=b ，由此分析即可．【详解】解：设AM=2a ．BM=b ．则正方形ABCD 的面积=224a b ＋由题意可知EF=（2a-b)-2（a-b)=2a-b-2a ＋2b=b ，∵AM 7EF ，727,,a b a ∴== ∵正方形EFGH 的面积为4，∴24b =，∴正方形ABCD 的面积=2224+832.a b b ==故答案为32.【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理以及线段的垂直平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.三、解答题21．（1）BF 长为6；（2）CE 长为3，详细过程见解析．【分析】（1）由矩形的性质及翻折可知，∠B=90°，AF=AD=10，且AB=8，在Rt △ABF 中，可由勾股定理求出BF 的长；（2）设CE=x ，根据翻折可知，EF=DE=8-x ，由（1）可知BF=6，则CF=4，在Rt △CEF 中，可由勾股定理求出CE 的长．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 为矩形，∴∠B=90°，且AD=BC=10，又∵AFE 是由ADE 沿AE 翻折得到的，∴AF=AD=10，又∵AB=8，在Rt △ABF 中，由勾股定理得：，故BF 的长为6．（2）设CE=x ，∵四边形ABCD 为矩形，∴CD=AB=8，∠C=90°，DE=CD-CE=8-x ，又∵△AFE 是由△ADE 沿AE 翻折得到的，∴FE=DE=8-x ，由（1）知：BF=6，故CF=BC-BF=10-6=4，在Rt △CEF 中，由勾股定理得：222CF +CE =EF ，∴2224+x =(8-x)，解得：x=3，故CE 的长为3．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，利用勾股定理求解是本题的关键．22．（1）2）83；（3）5.5秒或6秒或6.6秒【分析】（1）根据点P 、Q 的运动速度求出AP ，再求出BP 和BQ ，用勾股定理求得PQ 即可；（2）由题意得出BQ BP =，即28t t =-，解方程即可；（3）当点Q 在边CA 上运动时，能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间有三种情况： ①当CQ BQ =时（图1)，则C CBQ ∠=∠，可证明A ABQ ∠=∠，则BQ AQ =，则CQ AQ =，从而求得t ；②当CQ BC =时（图2)，则12BC CQ +=，易求得t ；③当BC BQ =时（图3)，过B 点作BE AC ⊥于点E ，则求出BE ，CE ，即可得出t ．【详解】（1）解：（1）224BQ cm =⨯=，8216BP AB AP cm =-=-⨯=，90B ∠=︒， 222246213()PQ BQ BP cm =+=+=；（2）解：根据题意得：BQ BP =，即28t t =-，解得：83t =；即出发时间为83秒时，PQB ∆是等腰三角形；（3）解：分三种情况：①当CQ BQ =时，如图1所示：则C CBQ ∠=∠，90ABC ∠=︒， 90CBQ ABQ ∴∠+∠=︒，90A C ∠+∠=︒，A ABQ ∴∠=∠BQ AQ ∴=，5CQ AQ ∴==，11BC CQ ∴+=，112 5.5t ∴=÷=秒．②当CQ BC =时，如图2所示：则12BC CQ +=1226t ∴=÷=秒．③当BC BQ=时，如图3所示：过B点作BE AC⊥于点E，则684.8()10AB BCBE cmAC⨯===22 3.6CE BC BE cm∴=-=，27.2CQ CE cm∴==，13.2BC CQ cm∴+=，13.22 6.6t∴=÷=秒．由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，BCQ∆为等腰三角形．【点睛】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用．23．（1）见解析；（2）CD2AD+BD，理由见解析；（3）CD3+BD【分析】（1）由“SAS”可证△ADB≌△AEC；（2）由“SAS”可证△ADB≌△AEC，可得BD＝CE，由直角三角形的性质可得DE2AD，可得结论；（3）由△DAB≌△EAC，可知BD＝CE，由勾股定理可求DH＝32AD，由AD＝AE，AH⊥DE，推出DH＝HE，由CD＝DE+EC＝2DH+BD3AD+BD，即可解决问题；【详解】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；（2）CD2AD+BD，理由如下：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；∴BD＝CE，∵∠BAC＝90°，AD＝AE，∴DE＝2AD，∵CD＝DE+CE，∴CD＝2AD+BD；（3）作AH⊥CD于H．∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；∴BD＝CE，∵∠DAE＝120°，AD＝AE，∴∠ADH＝30°，∴AH＝12 AD，∴DH22AD AH-32AD，∵AD＝AE，AH⊥DE，∴DH＝HE，∴CD＝DE+EC＝2DH+BD3+BD，故答案为：CD3+BD．【点睛】本题是结合了全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识的综合问题，熟练掌握知识点，有简入难，层层推进是解答关键.24．(1)AC=9;(2)AB∇AC=-72,BA∇BC=73【分析】(1)在Rt AOC∆中,根据勾股定理和新定义可得AO2-OC2=81=AC2;(2)①先利用含30°的直角三角形的性质求出AO=2,OB=23再用新定义即可得出结论;②先构造直角三角形求出BE,AE,再用勾股定理求出BD,最后用新定义即可得出结论;(3)作BD⊥CD,构造直角三角形BCD,根据三角形面积关系求出BD,根据新定义和勾股定理逆定理得出三角形AOD是直角三角形,根据中线性质得出OA的长度,根据勾股定理求出OC,从而得出BC,再根据勾股定理求出CD,再求出AD,再运用勾股定理求出AB.【详解】(1)已知如图:AO为BC上的中线,在Rt AOC ∆中,AO 2-OC 2=AC 2因为81AB AC ∇=所以AO 2-OC 2=81所以AC 2=81所以AC=9.(2)①如图2,取BC 的中点D ,连接AO ,∵AB =AC ,∴AO ⊥BC ,在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =120°,∴∠ABC =30°,在Rt △AOB 中,AB =12,∠ABC =30°,∴AO =6,OB =2222126AB AO -=-=63,∴AB ∇AC =AO 2﹣BO 2=36﹣108=﹣72, ②取AC 的中点D ,连接BD ,∴AD =CD =12AC =6,过点B 作BE ⊥AC 交CA 的延长线于E ,在Rt △ABE 中,∠BAE =180°﹣∠BAC =60°,∴∠ABE =30°, ∵AB =12,∴AE =6,BE =222212663AB AE -=-=, ∴DE =AD +AE =12,在Rt △BED 中,根据勾股定理得,BD =()2222631267BE DE +=+=∴BA ∇BC =BD 2﹣CD 2=216;(3)作BD ⊥CD,因为24ABC S ∆=,8AC =,所以BD=26ABC S AC ∆÷=,因为64AB AC ∇=-,AO 是BC 边上的中线,所以AO 2-OC 2=-64,所以OC 2-AO 2=64,由因为AC 2=82=64,所以OC 2-AO 2= AC 2所以∠OAC=90°所以OA=24228322ABC S AC ∆⨯÷=⨯÷= 所以OC=22228373AC OA +=+=所以BC=2OC=273,在Rt △BCD 中,CD=()2222276163BC BD -=-=所以AD=CD-AC=16-8=8所以AB=22228610AD BD +=+=【点睛】考核知识点:勾股定理逆定理,含30°直角三角形性质.借助辅助线构造直角三角形,运用勾股定理等直角三角形性质解决问题是关键.25．（1）12；（2）t=12.5s 时，13 cm ；（3）11s 或12s 或13.2s【分析】（1）由勾股定理即可得出结论；（2）由线段垂直平分线的性质得到PC = PA =t ，则PB =16-t ．在Rt △BPC 中，由勾股定理可求得t 的值，判断出此时，点Q 在边AC 上，根据CQ =2t -BC 计算即可；（3）用t 分别表示出BQ 和CQ ，利用等腰三角形的性质可分BQ =BC 、CQ =BC 和BQ =CQ 三种情况，分别得到关于t 的方程，可求得t 的值．【详解】（1）在Rt △ABC 中，BC 2222212016AC AB =-=-=(cm )．故答案为：12；（2）如图，点P 在边AC 的垂直平分线上时，连接PC ，∴PC = PA =t ，PB =16-t ．在Rt △BPC 中，222BC BP CP +=，即2221216)t t +-=（，解得：t=25 2．∵Q从B到C所需的时间为12÷2=6(s)，252＞6，∴此时，点Q在边AC上，CQ=25212132⨯-=(cm)；（3）分三种情况讨论：①当CQ=BQ时，如图1所示，则∠C=∠CBQ．∵∠ABC=90°，∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°，∴∠A=∠ABQ，∴BQ=AQ，∴CQ=AQ=10，∴BC+CQ=22，∴t=22÷2=11(s)．②当CQ=BC时，如图2所示，则BC+CQ=24，∴t=24÷2=12(s)．③当BC=BQ时，如图3所示，过B 点作BE ⊥AC 于点E ，则BE 121648205AB BC AC ⋅⨯===， ∴CE 2222483612()55BC BE =-=-==7.2． ∵BC =BQ ，BE ⊥CQ ，∴CQ =2CE =14.4，∴BC +CQ =26.4，∴t =26.4÷2=13.2(s )．综上所述：当t 为11s 或12s 或13.2s 时，△BCQ 为等腰三角形．【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t 表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．26．（1）①详见解析；（2）222222CD n n =+-（1n >）；（2）2AD BD CD -=，理由详见解析.【分析】（1）①根据勾股定理的逆定理进行判断；②过点C 作CE ⊥CD 交DB 的延长线于点E ，利用同角的余角相等证明∠3=∠4，∠1=∠E ，进而证明△ACD ≌△BCE ，求出DE 的长，再利用勾股定理求解即可.（2）过点C 作CF ⊥CD 交BD 的延长线于点F ，先证∠ACD=∠BCF ，再证△ACD ≌△BCF ，得CD=CF ，AD=BF ，再利用勾股定理求解即可.【详解】（1）①∵()()()22222222212214AD BD n n n n n +=-+=-++()()22222211n n n =++=+ 又∵()2221AB n =+∴222AD BD AB +=∴△ABD 是直角三角形②如图①，过点C 作CE ⊥CD 交DB 的延长线于点E ，∵∠3+∠BCD=∠ACD=90°，∠4+∠BCD=∠DCE=90° ∴∠3=∠4由①知△ABD 是直角三角形∴1290∠+∠=︒又∵290E ∠+∠=︒∴∠1=∠E在ACD ∆和BCE ∆中，A 34E AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△BCE∴CD CE =，AD BE =∴221DE BD BE BD AD n n =+=+=+- 又∵CD CE =，90DCE ∠=︒ ∴由勾股定理得222DE CD DE CD =+=∴22CD =222222n n =+-（1n >）（2）AD 、BD 、CD 的数量关系为：2AD BD CD -=，理由如下：如图②，过点C 作CF ⊥CD 交BD 的延长线于点F ，∵∠ACD=90°+∠5，∠BCF=90°+∠5∴∠ACD=∠BCF∵BD ⊥AD∴∠ADB=90°∴∠6+∠7=90°∵∠ACB=90°∴∠9=∠8=90°又∵∠6=∠8∴∠7=∠9ACD ∆和BCF ∆中97AC BCACD BCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ACD ≌△BCF∴CD=CF ，AD=BF又∵∠DCF=90°∴由勾股定理得DF ==又DF=BF-BD=AD-BD∴AD BD -=【点睛】本题考查的是三角形全等、勾股定理及其逆定理，掌握三角形全等的判定方法及勾股定理及其逆定理是关键.27．（1）2，2）证明见解析（3）7（4）3【分析】（1）根据含有30°角的直角三角形的性质可得BC=2，再由勾股定理即可求出AC 的长；（2）由ED 为AB 垂直平分线可得DB=DA ，在Rt △BDE 中，由勾股定理可得BD=4，可得BD=2BE ，故∠BDE 为60°，即可证明ABD ∆是等边三角形；（3）由（1）（2）可知，AC AD=4，进而可求得CD 的长，再由等积法可得BCD ACD ACBD S S S =+四边形，代入求解即可；（4）分点P 在线段AC 上和AC 的延长线上两种情况，过点E 作AC 的垂线交AC 于点Q ，构造Rt △PQE ，再根据勾股定理即可求解.【详解】（1）∵Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，斜边4AB =， ∴122BC AB ==，∴AC = （2）∵ED 为AB 垂直平分线，∴ADB=DA ，在Rt △BDE 中， ∵122BE AE AB ===，DE =∴BD =，∴BD=2BE ，∴∠BDE 为60°，∴ABD ∆为等边三角形；（3））由（1）（2）可知，=23AC ，AD=4， ∴22=27CD AC AD =+，∵BCD ACD ACBD S SS =+四边形， ∴111()222BC AD AC AC AD BF CD +⨯=⨯+⨯， ∴221BF =；（4）分点P 在线段AC 上和AC 的延长线上两种情况，如图，过点E 作AC 的垂线交AC 于点Q ，∵AE=2，∠BAC=30°，∴EQ=1， ∵=23AC ，∴=3CQ QA =，①若点P 在线段AC 上，则23=333PQ CQ CP =-=， ∴2223PE PQ EQ =+； ②若点P 在线段AC 的延长线上，则2533333PQ CQ CP =+=， ∴22221=PE PQ EQ =+；综上，PE 23221. 【点睛】本题考查勾股定理及其应用、含30°的直角三角形的性质等，解题的关键一是能用等积法表示并求出BF 的长，二是对点P 的位置要分情况进行讨论.。

八年级初二数学勾股定理知识点及练习题及解析

一、选择题1．如图，点A 的坐标是(2)2，，若点P 在x 轴上，且APO △是等腰三角形，则点P 的坐标不可能是（）A ．（2，0）B ．（4，0）C ．（－22，0）D ．（3，0）2．已知长方体的长2cm 、宽为1cm 、高为4cm ，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A 点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是（）A ．29cmB ．5cmC ．37cmD ．4.5cm3．如图，长方体的长为15cm ，宽为10cm ，高为20cm ，点B 离点C5cm ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B 去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（）cm ．A ．25B ．20C ．24D ．54．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，90D ∠=，8AD =，6BC =，分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 长为半径作弧，两弧交于点E ，作射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O ．若点O 是AC 的中点，则CD 的长为（）A ．42B ．6C ．210D ．8 5．如图，在ABC ∆中，,90︒=∠=AB AC BAC ，ABC ∠的平分线BD 与边AC 相交于点D ，DE BC ⊥，垂足为E ，若CDE ∆的周长为6，则ABC ∆的面积为（）.A ．36B ．18C ．12D ．9 6．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是( ) A ．3，4，5B ．1，1，2C ．8，12，13D ．2、3、5 7．在下列以线段a 、b 、c 的长为边，能构成直角三角形的是（）A ．a =3，b =4，c =6B ．a =5，b =6，c =7C ．a =6，b =8，c =9D ．a =7，b =24，c =25 8．如图，在ABC 中，CE 平分ACB ∠，CF 平分ABC 的外角ACD ∠，且EF //BC 交AC 于M ，若CM 4=，则22CE CF +的值为（）A ．8B ．16C ．32D ．649．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺）（）A ．3B ．5C ．4.2D ．410．已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，2，5，分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（）A ．②B ．①②C ．①③D ．②③二、填空题11．将一副三角板按如图所示摆放成四边形ABCD ，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知AD ＝32，则AB 的长为__________．12．在△ABC 中，若222225,75a b a b c -+===，，则最长边上的高为_____．13．在ABC ∆中，10AB cm =，17AC cm =，BC 边上的高为8cm ，则ABC ∆的面积为______2cm ．14．已知Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，∠ACB ＝90°，以AC 为一边在Rt △ABC 外部作等腰直角三角形ACD ，则线段BD 的长为_____．15．以直角三角形的三边为边向外作正方形P ，Q ，K ，若S P =4，S Q =9，则K S =___16．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=，DE 垂直平分AC ，垂足为F ，//AD BC ，且3AB =，4BC =，则AD 的长为______．17．如图,在四边形ABCD 中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,AD=4,AB=3,则CD=_________18．如图，正方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过四个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为_____cm．19．如图，在△ABC中，AB AC＝10，BC＝12，AD是角平分线，P、Q分别是AD、AB边上的动点，则BP＋PQ的最小值为_______．20．如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AB＝5，AC＝2，D为斜边AB上一动点（不与点A，B重合），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，连接EF，则EF的最小值是_____．三、解答题21．如图，在△ABC中，AB＝30 cm，BC＝35 cm，∠B＝60°，有一动点M自A向B以1 cm/s的速度运动，动点N自B向C以2 cm/s的速度运动，若M，N同时分别从A，B出发．(1)经过多少秒，△BMN为等边三角形；(2)经过多少秒，△BMN为直角三角形．22．如图，在两个等腰直角ABC 和CDE △中，∠ACB = ∠DCE=90°．（1）观察猜想：如图1，点E 在BC 上，线段AE 与BD 的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把CDE △绕直角顶点C 旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；（3）拓展延伸：把CDE △绕点C 在平面内自由旋转，若AC = BC=10，DE=12，当A 、E 、D 三点在直线上时，请直接写出 AD 的长．23．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=10，E 为CD 边上一点，将△ADE 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处．（1）求BF 的长；（2）求CE 的长．24．如图，已知ABC ∆中，90B ∠=︒，8AB cm =，6BC cm =，P 、Q 是ABC ∆边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C →方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．（1）当2t =秒时，求PQ 的长；（2）求出发时间为几秒时，PQB ∆是等腰三角形？（3）若Q 沿B C A →→方向运动，则当点Q 在边CA 上运动时，求能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．25．如图，△ABC 中AC =BC ，点D ，E 在AB 边上，连接CD ，CE ．(1)如图1，如果∠ACB =90°，把线段CD 逆时针旋转90°，得到线段CF ，连接BF ， ①求证：△ACD ≌△BCF ；②若∠DCE =45°，求证：DE 2=AD 2+BE 2；(2)如图2，如果∠ACB =60°，∠DCE =30°，用等式表示AD ，DE ，BE 三条线段的数量关系，说明理由．26．我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在ABC ∆中，AO 是BC 边上的中线，AB 与AC 的“广益值”就等于22AO BO -的值，可记为22AB AC OA BO ∇=-（1）在ABC ∆中，若90ACB ∠=︒，81AB AC ∇=，求AC 的值．（2）如图2，在ABC ∆中，12AB AC ==，120BAC ∠=︒，求AB AC ∇，BA BC ∇的值．（3）如图3，在ABC ∆中，AO 是BC 边上的中线，24ABC S ∆=，8AC =，64AB AC ∇=-，求BC 和AB 的长．27．（1）如图1，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，CD 平分ACB ∠. 求证：CA AD BC +=.小明为解决上面的问题作了如下思考：作ADC ∆关于直线CD 的对称图形A DC '∆，∵CD 平分ACB ∠，∴A '点落在CB 上，且CA CA '=，A D AD '=.因此，要证的问题转化为只要证出A D A B ''=即可.请根据小明的思考，写出该问题完整的证明过程.（2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题：如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，10BC CD ==，17AC =，9AD =，求AB 的长.28．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 经过点C （a ，a ），且交x 轴于点A （m ，0），交y 轴于点B （0，n ），且m ，n 满足6m -＋（n ﹣12）2＝0．（1）求直线AB 的解析式及C 点坐标；（2）过点C 作CD ⊥AB 交x 轴于点D ，请在图1中画出图形，并求D 点的坐标；（3）如图2，点E （0，﹣2），点P 为射线AB 上一点，且∠CEP ＝45°，求点P 的坐标．29．2ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，E 是线段OA 上一动点（不包括两个端点），连接BE .（1）如图1，过点E 作EF BE ⊥交CD 于点F ，连接BF 交AC 于点G .①求证：BE EF =;②设AE x =，CG y =，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. （2）在如图2中，请用无刻度的直尺作出一个以BE 为边的菱形.30．已知：四边形ABCD 是菱形，AB ＝4，∠ABC ＝60°，有一足够大的含60°角的直角三角尺的60°角的顶点与菱形ABCD 的顶点A 重合，两边分别射线CB 、DC 相交于点E 、F ，且∠EAP ＝60°．（1）如图1，当点E 是线段CB 的中点时，请直接判断△AEF 的形状是．（2）如图2，当点E 是线段CB 上任意一点时（点E 不与B 、C 重合），求证：BE ＝CF ；（3）如图3，当点E 在线段CB 的延长线上，且∠EAB ＝15°时，求点F 到BC 的距离．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【详解】解：（1）当点P 在x 轴正半轴上，①以OA 为腰时，∵A的坐标是（2，2），∴∠AOP=45°，OA=22，∴P的坐标是（4，0）或（22，0）；②以OA为底边时，∵点A的坐标是（2，2），∴当点P的坐标为：（2，0）时，OP=AP；（2）当点P在x轴负半轴上，③以OA为腰时，∵A的坐标是（2，2），∴OA= 22∴OA=AP=2∴P的坐标是（-220）．故选D．2．B解析：B【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【详解】解：根据题意，如图所示，最短路径有以下三种情况：（1）沿AA'，A C''，C B''，B B'剪开，得图1:22222'=+'=++=；AB AB BB(21)425（2）沿AC，CC'，C B''，B D''，D A''，A A'剪开，得图2:22222'=+'=++=+=；2(41)42529AB AC B CDD，B D''，C B''，C A''，AA'剪开，得图3:（3）沿AD，'22222'=+'=++=+=；AB AD B D1(42)13637AB'=．综上所述，最短路径应为（1）所示，所以225AB'=，即5cm故选：B．【点睛】此题考查最短路径问题，将长方体从不同角度展开，是解决此类问题的关键，注意不要漏解．3．A解析：A【分析】分三种情况讨论：把左侧面展开到水平面上，连结AB；把右侧面展开到正面上，连结AB，；把向上的面展开到正面上，连结AB；然后利用勾股定理分别计算各情况下的AB，再进行大小比较．【详解】把左侧面展开到水平面上，连结AB，如图1()2210205925537AB=++==把右侧面展开到正面上，连结AB，如图2()()222010562525AB =++== 把向上的面展开到正面上，连结AB ，如图3()()2210205725529AB =++==925725625>>∴53752925>>∴需要爬行的最短距离为25cm故选：A ．【点睛】本题考查了平面展开及其最短路径问题：先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．4．A解析：A【分析】连接FC ，根据基本作图，可得OE 垂直平分AC ，由垂直平分线的性质得出AF =FC ．再根据ASA 证明△FOA ≌△BOC ，那么AF =BC =3，等量代换得到FC =AF =3，利用线段的和差关系求出FD =AD -AF =1．然后在直角△FDC 中利用勾股定理求出CD 的长．【详解】解：如图，连接FC ，∵点O 是AC 的中点，由作法可知，OE 垂直平分AC ，∴AF =FC ．∵AD ∥BC ，∴∠FAO =∠BCO ．在△FOA 与△BOC 中，FAO BCO OA OCAOF COB ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△FOA ≌△BOC （ASA ），∴AF =BC =6，∴FC =AF =6，FD =AD -AF =8-6=2．在△FDC 中，∵∠D =90°，∴CD 2+DF 2=FC 2，∴CD 2+22=62，∴CD =42故选：A ．【点睛】本题考查了作图-基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度适中．求出CF 与DF 是解题的关键．5．D解析：D【分析】利用角平分定理得到DE=AD ，根据三角形内角和得到∠BDE=∠BDA ，再利用角平分线定理得到BE=AB=AC ，根据CDE ∆的周长为6求出AB=6，再根据勾股定理求出218AB =，即可求得ABC ∆的面积.【详解】∵90BAC ︒∠=，∴AB ⊥AD,∵DE BC ⊥,BD 平分ABC ∠,∴DE=AD ，∠BED=90BAC ︒∠=，∴∠BDE=∠BDA ，∴BE=AB=AC ，∵CDE ∆的周长为6，∴DE+CD+CE=AC+CE=BC=6，∵,90︒=∠=AB AC BAC∴22236AB AC BC +==,∴2236AB =, 218AB =,∴ABC ∆的面积=211922AB AC AB ⋅⋅==, 故选：D.【点睛】此题考查角平分线定理的运用，勾股定理求边长，在利用角平分线定理时必须是两个垂直一个平分同时运用，得到到角两边的距离相等的结论. 6．C解析：C【分析】根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可作出判断．【详解】A. 32+42=52，能构成直角三角形，故不符合题意；B. 12+12=）2，能构成直角三角形，故不符合题意；C. 82+122≠132，不能构成直角三角形，故符合题意；D.）2+2=2，能构成直角三角形，故不符合题意，故选C.【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．7．D解析：D【解析】A 选项：32+42≠62，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；B 选项：52+62≠72，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；C 选项：62+82≠92，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；D 选项：72+242=252，故符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故正确．故选D ．8．D解析：D【分析】根据角平分线的定义推出△ECF 为直角三角形，然后根据勾股定理求得CE 2+CF 2=EF 2．【详解】∵CE 平分∠ACB ，CF 平分∠ACD ，∴∠ACE=12∠ACB ，∠ACF=12∠ACD ，即∠ECF=12（∠ACB+∠ACD ）=90°，又∵EF ∥BC ，CE 平分∠ACB ，CF 平分∠ACD ，∴∠ECB=∠MEC=∠ECM ，∠DCF=∠CFM=∠MCF ，∴CM=EM=MF=4，EF=8，由勾股定理可知CE 2+CF 2=EF 2=64．故选：D ．【点睛】此题考查角平分线的定义，直角三角形的判定，勾股定理的运用，解题关键在于掌握各性质定义.9．C解析：C【分析】根据题意可设折断处离地面的高度OA 是x 尺，折断处离竹梢AB 是（10－x ）尺，结合勾股定理即可得出折断处离地面的高度．【详解】设折断处离地面的高度OA 是x 尺，则折断处离竹梢AB 是（10－x ）尺，由勾股定理可得：222=OA OB AB +即：()2224=10x x +-，解得：x ＝4.2故折断处离地面的高度OA 是4.2尺．故答案选：C ．【点睛】本题主要考查直角三角形勾股定理的应用，解题的关键是熟练运用勾股定理．10．D解析：D【分析】根据三角形勾股定理的逆定理符合222a b c +=即为直角三角形，所以将数据分别代入，符合即为能构成直角三角形．【详解】由题意得：①2222+3=134≠ ；②2223+4=25=5 ；③2221+2=5=，所以能构成直角三角形的是②③．故选D ．【点睛】考查直角三角形的构成，学生熟悉掌握勾股定理的逆定理是本题解题的关键，利用勾股定理的逆定理判断是否能够成直角三角形．二、填空题11．【分析】利用勾股定理求出AC=6，在Rt △ABC 中，∠BAC=30°，得到12BC AB =，再利用勾股定理得到222AC BC AB +=，即可求出AB .【详解】在Rt △ACD 中，CD=AD=∴6=，在Rt △ABC 中，∠BAC=30°， ∴12BC AB =， ∵222AC BC AB +=， ∴22216()2AB AB +=,解得AB=故答案为：【点睛】此题考查勾股定理，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，正确理解勾股定理的三边的数量关系是解题的关键. 12．125【分析】解方程222225,7a b a b +=-=可求得a=4，b=3，故三角形ABC 是直角三角形，在利用三角形的面积转化得到斜边上的高.【详解】解：∵222225,7a b a b +=-=，将两个方程相加得：2232a =，∵a ＞0，∴a=4代入得：22425b +=，∵b ＞0，∴b=3，∵a=3，b=4，c=5满足勾股定理逆定理，∴△ABC 是直角三角形，如下图，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，1122ABC SAC BC AB CD =⋅⋅=⋅⋅ ，即：1134522CD ⋅⋅=⋅⋅，解得：CD=125，故答案为：125. 【点睛】本题考查求解三角形的高，解题关键是利用三角形的面积进行转化，在同一个三角形中，一个底乘对应高等于另一个底乘对应高.13．36或84【分析】过点A 作AD ⊥BC 于点D ，利用勾股定理列式求出BD 、CD ，再分点D 在边BC 上和在CB 的延长线上两种情况分别求出BC 的长度，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∵BC 边上的高为8cm ，∴AD=8cm ，∵AC=17cm ，由勾股定理得：22221086BD AB AD =-=-=cm ，222217815CD AC AD =-=-=cm ，如图1，点D 在边BC 上时，BC=BD+CD=6+15=21cm，∴△ABC的面积=12BC AD=12×21×8=84cm2，如图2，点D在CB的延长线上时，BC= CD−BD=15−6=9cm，∴△ABC的面积=12BC AD=12×9×8=36 cm2，综上所述，△ABC的面积为36 cm2或84 cm2，故答案为：36或84．【点睛】本题考查了勾股定理，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键，难点是在于要分情况讨论．14．72965【分析】分三种情形讨论：（1）如图1中，以点C所在顶点为直角时；（2）如图2中，以点D所在顶点为直角时；（3）如图3中，以点A所在顶点为直角时．【详解】（1）如图1中，以点C所在顶点为直角时．∵AC=CD=4，BC=3，∴BD=CD+BC=7；（2）如图2中，以点D所在顶点为直角时，作DE⊥BC与E，连接BD．在Rt△BDE中DE=2，BE=5，∴BD2229DE BE+（3）如图3中，以点A所在顶点为直角时，作DE⊥BC于E，在Rt△BDE中，DE=4．BE=7，∴BD2265DE BE+故答案为：72965【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．15．5或13【分析】根据已知可得题意中的图是一个勾股图，可得S P+S Q=S K为从而易求S K．【详解】解：如下图所示，若A=S P=4．B=S Q=9，C=S K，根据勾股定理，可得A+B=C，∴C=13．若A=S P=4．C=S Q=9，B=S K，根据勾股定理，可得A+B=C，∴B=9-4=5．∴S K为5或13．故答案为：5或13．【点睛】本题考查了勾股定理．此题所给的图中，以直角三角形两直角边为边所作的正方形的面积和等于以斜边为边所作的正方形的面积．16．25 8【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据DE垂直平分AC得出FA的长，根据相似三角形的判定定理得出△AFD∽△CBA，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．【详解】∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC=2222AB+BC=3+4=5；∵DE垂直平分AC，垂足为F，∴FA=12AC=52，∠AFD=∠B=90°，∵AD∥BC，∴∠A=∠C，∴△AFD∽△CBA，∴ADAC=FABC，即AD5=2.54，解得AD=258；故答案为258．【点睛】本题考查的是勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．17．【解析】【分析】延长BC，AD交于E点，在直角三角形ABE和直角三角形CDE中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理即可解答.【详解】如图，延长AD、BC相交于E，∵∠A=60°,∠B=∠ADC=90°,∴∠E=30°∴AE=2AB，CE=2CD∵AB=3，AD=4,∴AE=6, DE=2设CD=x,则CE=2x，DE=x即x=2x=即CD=故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理的运用，含30°角所对的直角边是斜边的一半的性质，本题中构建直角△ABE 和直角△CDE ，是解题的关键．18．55【解析】【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【详解】展开图如图所示：由题意，在Rt △APQ 中，PD=10cm ，DQ=5cm ，∴蚂蚁爬行的最短路径长2222105PD QD +=+5cm ），故答案为：5【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．19．6【解析】∵AB=AC ，AD 是角平分线，∴AD ⊥BC ，BD=CD ，∴B 点，C 点关于AD 对称，如图，过C 作CQ ⊥AB 于Q ，交AD 于P ，则CQ=BP+PQ的最小值，根据勾股定理得，AD=8，利用等面积法得：AB⋅CQ=BC⋅AD，∴CQ=BC ADAB⋅=12810⨯=9.6故答案为：9.6.点睛：此题是轴对称-最短路径问题，主要考查了角平分线的性质，对称的性质，勾股定理，等面积法，用等面积法求出CQ是解本题的关键.2025【解析】试题分析：根据勾股定理可求出BC=1，然后根据∠BCA＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，证得四边形CEDF是矩形，连接CD，则CD=EF，当CD⊥AB时，CD最短，即EF=CD=25 5.25点睛：本题考查了勾股定理的运用，矩形的判定和性质以及垂线段最短的性质，同时也考查了学生综合运用性质进行推理和计算的能力．三、解答题21．(1) 出发10s后，△BMN为等边三角形；(2)出发6s或15s后，△BMN为直角三角形．【分析】（1）设时间为x，表示出AM=x、BN=2x、BM=30-x，根据等边三角形的判定列出方程，解之可得；（2）分两种情况：①∠BNM=90°时，即可知∠BMN=30°，依据BN=12BM列方程求解可得；②∠BMN=90°时，知∠BNM=30°，依据BM=12BN列方程求解可得．【详解】解(1)设经过x秒，△BMN为等边三角形，则AM＝x，BN＝2x，∴BM＝AB－AM＝30－x，根据题意得30－x＝2x，解得x＝10，答：经过10秒，△BMN 为等边三角形；(2)经过x 秒，△BMN 是直角三角形，①当∠BNM ＝90°时，∵∠B ＝60°，∴∠BMN ＝30°，∴BN ＝12BM ，即2x ＝12(30－x)，解得x ＝6；②当∠BMN ＝90°时，∵∠B ＝60°，∴∠BNM ＝30°， ∴BM ＝12BN ，即30－x ＝12×2x ，解得x ＝15，答：经过6秒或15秒，△BMN 是直角三角形．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，等边三角形的判定.22．（1）AE BD =，AE BD ⊥；（2）成立，理由见解析；（3）14或2．【分析】（1）先根据等腰三角形的定义可得AC BC =，CE CD =，再根据三角形全等的判定定理与性质可得AE BD =，EAC DBC ∠=∠，然后根据直角三角形两锐角互余、等量代换即可得90AHD ∠=︒，由此即可得；（2）先根据三角形全等的判定定理与性质可得AE BD =，EAC DBC ∠=∠，再根据直角三角形两锐角互余可得90EAC AOC ∠+∠=︒，然后根据对顶角相等、等量代换可得90BOH DBC ∠∠+=︒，从而可得90OHB ∠=︒，由此即可得；（3）先利用勾股定理求出AB =，再分①点,,A E D 在直线上，且点E 位于中间，②点,,A E D 在直线上，且点D 位于中间两种情况，结合（1）（2）的结论，利用勾股定理求解即可得．【详解】（1）AE BD =，AE BD ⊥，理由如下：如图1，延长AE 交BD 于H ，由题意得：AC BC =，90ACE BCD ∠=∠=︒，CE CD =，∴()ACE BCD SAS ≅，∴AE BD =，EAC DBC ∠=∠，∵90DBC BDC ∠+∠=︒，∴90EAC BDC ∠+∠=︒，∴0)9018(EAC BD A D C H ∠+∠∠︒==-︒，即AE BD ⊥，故答案为：AE BD =，AE BD ⊥；（2）成立，理由如下：如图2，延长AE 交BD 于H ，交BC 于O ，∵90ACB ECD ∠=∠=︒，∴ACB BCE ECD BCE ∠-∠=∠-∠，即ACE BCD ∠=∠，在ACE △和BCD 中，AC BC ACE BCD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ACE BCD SAS ≅，∴AE BD =，EAC DBC ∠=∠，∵90ACB ∠=︒，∴90EAC AOC ∠+∠=︒，∵AOC BOH ∠=∠，∴90BOH DBC ∠∠+=︒，即90OBH BOH ∠+∠=︒，∴180()90OHB OBH BOH ∠=︒-∠+∠=︒，即AE BD ⊥；（3）设AD x =，10,90AC BC ACB ==∠=︒，2102AB AC ∴==，由题意，分以下两种情况：①如图3-1，点,,A E D 在直线上，且点E 位于中间，同理可证：AE BD =，AE BD ⊥，12DE =，12BD AE AD DE x ∴==-=-，在Rt ABD △中，222AD BD AB +=，即222(12)(102)x x +-=，解得14x =或2x =-（不符题意，舍去），即14AD =，②如图3-2，点,,A E D 在直线上，且点D 位于中间，同理可证：AE BD =，AE BD ⊥，12DE =，12BD AE AD DE x ∴==+=+，在Rt ABD △中，222AD BD AB +=，即222(12)(102)x x ++=，解得2x =或14x =-（不符题意，舍去），即2AD =，综上，AD 的长为14或2．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论，并画出图形是解题关键．23．（1）BF 长为6；（2）CE 长为3，详细过程见解析．【分析】（1）由矩形的性质及翻折可知，∠B=90°，AF=AD=10，且AB=8，在Rt △ABF 中，可由勾股定理求出BF 的长；（2）设CE=x ，根据翻折可知，EF=DE=8-x ，由（1）可知BF=6，则CF=4，在Rt △CEF 中，可由勾股定理求出CE 的长．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 为矩形，∴∠B=90°，且AD=BC=10，又∵AFE 是由ADE 沿AE 翻折得到的，∴AF=AD=10，又∵AB=8，在Rt △ABF 中，由勾股定理得：2222BF=AF -AB =10-8=6，故BF 的长为6．（2）设CE=x ，∵四边形ABCD 为矩形，∴CD=AB=8，∠C=90°，DE=CD-CE=8-x ，又∵△AFE 是由△ADE 沿AE 翻折得到的，∴FE=DE=8-x ，由（1）知：BF=6，故CF=BC-BF=10-6=4，在Rt △CEF 中，由勾股定理得：222CF +CE =EF ，∴2224+x =(8-x)，解得：x=3，故CE 的长为3．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，利用勾股定理求解是本题的关键．24．（1）2）83；（3）5.5秒或6秒或6.6秒【分析】（1）根据点P 、Q 的运动速度求出AP ，再求出BP 和BQ ，用勾股定理求得PQ 即可；（2）由题意得出BQ BP =，即28t t =-，解方程即可；（3）当点Q 在边CA 上运动时，能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间有三种情况： ①当CQ BQ =时（图1)，则C CBQ ∠=∠，可证明A ABQ ∠=∠，则BQ AQ =，则CQ AQ =，从而求得t ；②当CQ BC =时（图2)，则12BC CQ +=，易求得t ；③当BC BQ =时（图3)，过B 点作BE AC ⊥于点E ，则求出BE ，CE ，即可得出t ．【详解】（1）解：（1）224BQ cm =⨯=，8216BP AB AP cm =-=-⨯=，90B ∠=︒，)PQ cm ==；（2）解：根据题意得：BQ BP =，即28t t =-，解得：83t =；即出发时间为83秒时，PQB ∆是等腰三角形；（3）解：分三种情况：①当CQ BQ =时，如图1所示：则C CBQ ∠=∠，90ABC ∠=︒，90CBQ ABQ ∴∠+∠=︒，90A C ∠+∠=︒，A ABQ ∴∠=∠BQ AQ ∴=，5CQ AQ ∴==，11BC CQ ∴+=，112 5.5t ∴=÷=秒．②当CQ BC =时，如图2所示：则12BC CQ +=1226t ∴=÷=秒．③当BC BQ =时，如图3所示：过B 点作BE AC ⊥于点E ，则68 4.8()10AB BC BE cm AC ⨯=== 22 3.6CE BC BE cm ∴=-=，27.2CQ CE cm ∴==，13.2BC CQ cm ∴+=，13.22 6.6t ∴=÷=秒．由上可知，当t 为5.5秒或6秒或6.6秒时，BCQ ∆为等腰三角形．【点睛】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用．25．（1）①详见解析；②详见解析；（2）DE2=EB2+AD2+EB·AD，证明详见解析【分析】（1）①根据旋转的性质可得CF=CD，∠DCF=90°，再根据已知条件即可证明△ACD≌△BCF；②连接EF，根据①中全等三角形的性质可得∠EBF=90°，再证明△DCE≌△FCE得到EF=DE 即可证明；（2）根据（1）中的思路作出辅助线，通过全等三角形的判定及性质得出相等的边，再由勾股定理得出AD，DE，BE之间的关系．【详解】解：（1）①证明：由旋转可得CF=CD，∠DCF=90°∵∠ACD=90°∴∠ACD=∠BCF又∵AC=BC∴△ACD≌△BCF②证明：连接EF，由①知△ACD≌△BCF∴∠CBF=∠CAD=∠CBA=45°，∠BCF=∠ACD，BF=AD∴∠EBF=90°∴EF2=BE2+BF2，∴EF2=BE2+AD2又∵∠ACB=∠DCF=90°，∠CDE=45°∴∠FCE=∠DCE=45°又∵CD=CF，CE=CE∴△DCE≌△FCE∴EF=DE∴DE2= AD2+BE2⑵DE2=EB2+AD2+EB·AD理由：如图2，将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△CBF，过点F作FG⊥AB，交AB 的延长线于点G，连接EF，∴∠CBE=∠CAD，∠BCF=∠ACD， BF=AD∵AC=BC，∠ACB=60°∴∠CAB=∠CBA =60°∴∠ABE=120°，∠EBF=60°，∠BFG=30°∴BG=12BF，FG=32BF∵∠ACB=60°，∠DCE=30°，∴∠ACD+∠BCE=30°，∴∠ECF=∠FCB+∠BCE=30°∵CD=CF，CE=CE∴△ECF≌△ECD∴EF=ED在Rt△EFG中，EF2=FG2+EG2又∵EG=EB+BG∴EG=EB+12 BF，∴EF2=（EB+12BF）2+（3BF）2∴DE2=（EB+12AD）2+（3AD）2∴DE2=EB2+AD2+EB·AD【点睛】本题考查了全等三角形的性质与旋转模型，解题的关键是找出全等三角形，转换线段，并通过勾股定理的计算得出线段之间的关系．26．(1)AC=9;(2)AB∇AC=-72,BA∇BC=73【分析】(1)在Rt AOC∆中,根据勾股定理和新定义可得AO2-OC2=81=AC2;(2)①先利用含30°的直角三角形的性质求出AO=2,OB=23再用新定义即可得出结论;②先构造直角三角形求出BE,AE,再用勾股定理求出BD,最后用新定义即可得出结论;(3)作BD⊥CD,构造直角三角形BCD,根据三角形面积关系求出BD,根据新定义和勾股定理逆定理得出三角形AOD是直角三角形,根据中线性质得出OA的长度,根据勾股定理求出OC,从而得出BC,再根据勾股定理求出CD,再求出AD,再运用勾股定理求出AB.【详解】(1)已知如图:AO 为BC 上的中线,在Rt AOC ∆中,AO 2-OC 2=AC 2因为81AB AC ∇=所以AO 2-OC 2=81所以AC 2=81所以AC=9.(2)①如图2,取BC 的中点D ,连接AO ,∵AB =AC ,∴AO ⊥BC ,在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =120°,∴∠ABC =30°,在Rt △AOB 中,AB =12,∠ABC =30°,∴AO =6,OB =2222126AB AO -=-=63,∴AB ∇AC =AO 2﹣BO 2=36﹣108=﹣72, ②取AC 的中点D ,连接BD ,∴AD =CD =12AC =6,过点B 作BE ⊥AC 交CA 的延长线于E ,在Rt △ABE 中,∠BAE =180°﹣∠BAC =60°,∴∠ABE =30°, ∵AB =12,∴AE =6,BE =222212663AB AE -=-=, ∴DE =AD +AE =12,在Rt △BED 中,根据勾股定理得,BD =()2222631267BE DE +=+= ∴BA ∇BC =BD 2﹣CD 2=216;(3)作BD ⊥CD,因为24ABC S ∆=,8AC =,所以BD=26ABC S AC ∆÷=,因为64AB AC ∇=-,AO 是BC 边上的中线,所以AO 2-OC 2=-64,所以OC 2-AO 2=64,由因为AC 2=82=64,所以OC 2-AO 2= AC 2所以∠OAC=90°所以OA=24228322ABC S AC ∆⨯÷=⨯÷= 所以OC=22228373AC OA +=+=所以BC=2OC=273,在Rt △BCD 中, CD=()2222276163BC BD -=-= 所以AD=CD-AC=16-8=8所以AB=22228610AD BD +=+=【点睛】考核知识点:勾股定理逆定理,含30°直角三角形性质.借助辅助线构造直角三角形,运用勾股定理等直角三角形性质解决问题是关键.27．（1）证明见解析；（2）21.【分析】（1）只需要证明'30A DB B ∠=∠=︒，再根据等角对等边即可证明''A D A B =,再结合小明的分析即可证明；（2）作△ADC 关于AC 的对称图形AD'C ,过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则'D E =BE ．设'D E =BE=x ．在Rt △CEB 和Rt △CEA 中，根据勾股定理构建方程即可解决问题.【详解】解：（1）证明：如下图，作△ADC 关于CD 的对称图形△A′DC ，∴A′D=AD ，C A′=CA ，∠CA′D=∠A=60°，∵CD平分∠ACB，∴A′点落在CB上∵∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠A=30°，∴∠A′DB=∠CA′D-∠B=30°，即∠A′DB=∠B，∴A′D=A′B，∴CA+AD=CA′+A′D=CA′+A′B=CB.（2）如图，作△ADC关于AC的对称图形△AD′C．∴D′A=DA=9，D′C=DC=10，∵AC平分∠BAD，∴D′点落在AB上，∵BC=10，∴D′C=BC，过点C作CE⊥AB于点E，则D′E=BE，设D′E=BE=x，在Rt△CEB中，CE2=CB2-BE2=102-x2，在Rt△CEA中，CE2=AC2-AE2=172-（9+x）2．∴102-x2=172-（9+x）2，解得：x=6，∴AB=AD′+D′E+EB=9+6+6=21．【点睛】本题考查轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质.（1）中证明∠A′DB=∠B不是经常用的等量代换，而是利用角之间的计算求得它们的度数相等，这有点困难，需要多注意；（2）中掌握方程思想是解题关键.28．（1）y＝－2x＋12，点C坐标（4，4）；（2）画图形见解析，点D坐标（－4，0）；（3）点P的坐标（143-，643）【分析】（1）由已知的等式可求得m、n的值，于是可得直线AB的函数解析式，把点C的坐标代入可求得a的值，由此即得答案；（2）画出图象，由CD⊥AB知1AB CDk k=-可设出直线CD的解析式，再把点C代入可得CD的解析式，进一步可求D点坐标；（3）如图2，取点F（－2，8），易证明CE⊥CF且CE＝CF，于是得∠PEC＝45°，进一步求出直线EF的解析式，再与直线AB联立求两直线的交点坐标，即为点P.【详解】解：（1）∵6m-＋（n﹣12）2＝0，∴m＝6，n＝12，∴A（6，0），B（0，12），设直线AB解析式为y＝kx＋b，则有1260bk b=⎧⎨+=⎩，解得212kb=-⎧⎨=⎩，∴直线AB解析式为y＝－2x＋12，∵直线AB过点C（a，a），∴a＝－2a＋12，∴a＝4，∴点C坐标（4，4）．（2）过点C作CD⊥AB交x轴于点D，如图1所示，设直线CD解析式为y＝12x＋b′，把点C（4，4）代入得到b′＝2，∴直线CD解析式为y＝12x＋2，∴点D坐标（－4，0）．（3）如图2中，取点F（－2，8），作直线EF交直线AB于P，图2∵直线EC 解析式为y ＝32x －2，直线CF 解析式为y ＝－23x ＋203， ∵32×（－23）＝－1， ∴直线CE ⊥CF ，∵EC ＝CF ＝∴EC ＝CF ，∴△FCE 是等腰直角三角形，∴∠FEC ＝45°，∵直线FE 解析式为y ＝－5x －2，由21252y x y x =-+⎧⎨=--⎩解得143643x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴点P 的坐标为（1464,33-）. 【点睛】本题是一次函数的综合题，综合考查了坐标系中两直线的垂直问题、两条直线的交点问题和求特殊角度下的直线解析式，并综合了勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是熟知坐标系中两直线垂直满足121k k =-，一次函数的交点与对应方程组的解的关系.其中，第（3）小题是本题的难点，寻找到点F （－2，8）是解题的突破口.29．(1)①见解析；②()22012x y x x-=<<-；（2）见解析【解析】【分析】（1）①连接DE ，如图1，先用SAS 证明△CBE ≌△CDE ，得EB=ED ，∠CBE =∠1，再用四边形的内角和可证明∠EBC =∠2，从而可得∠1=∠2，进一步即可证得结论；②将△BAE 绕点B 顺时针旋转90°，点E 落在点P 处，如图2，用SAS 可证△PBG ≌△EBG ，所以PG=EG =2－x －y ，在直角三角形PCG 中，根据勾股定理整理即得y 与x 的函数关系式，再根据题意写出x 的取值范围即可.（2）由（1）题已得EB=ED ，根据正方形的对称性只需再确定点E 关于点O 的对称点即可，考虑到只有直尺，可延长BE 交AD 于点M ，再连接MO 并延长交BC 于点N ，再连接DN 交AC 于点Q ，问题即得解决.【详解】（1）①证明：如图1，连接DE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴CB=CD ，∠BCE =∠DCE =45°，又∵CE=CE ，∴△CBE ≌△CDE （SAS ），∴EB=ED ，∠CBE =∠1，∵∠BEC =90°，∠BCF =90°，。

初二数学勾股定理常考压轴题专题练习汇总(含解析)

别这个三角形的形状． 15．如图：四边形 ABCD 中，AB=CB= ，CD= ，DA=1，且 AB⊥CB 于 B．试求：（1）∠BAD 的度数；（2）四边形 ABCD 的面积．
16．如图，小华准备在边长为 1 的正方形网格中，作一个三边长分别为 4，5，的三角形，请你帮助小华作出来．
17．如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地 A 点出发，沿北偏东 60°方向走了 100 km 到达 B 点，然后再沿北偏西 30°方向走了 100km 到达目的地 C 点，求出 A、C 两点之间的距离．
11．已知 Rt△ABC 中，∠C=90°，a+b=14cm，c=10cm，则 Rt△ABC 的面积等于． 12．观察下列勾股数第一组：3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1 第二组：5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1 第三组：7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1 第四组：9=2×4+1，40=2×4×（4+1），41=2×4×（4+1）+1 …观察以上各组勾股数组成特点，第 7 组勾股数是（只填数，不填等式） 13．观察下列一组数：列举：3、4、5，猜想：32=4+5；列举：5、12、13，猜想：52=12+13；列举：7、24、25，猜想：72=24+25； … 列举：13、b、c，猜想：132=b+c；请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得 b= ，c= ．三．解答题（共 27 小题） 14．a，b，c 为三角形 ABC 的三边，且满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判

初二数学勾股定理知识点及习题

1、把直角三角形的两直角边均扩大到原来的
2 倍，则斜边扩大到原来的几倍？（
）
A、 2 B 、 4 C 、 3 D 、 5 2
2、等腰△ ABC的底边 BC为 16，底边上的高 AD为 6，则腰长 AB 的长为（
）
A． 10 B.12
C.15
D.20
3、将一根 24cm的筷子，置于底面直径为 15cm，高 8cm 的圆柱形水杯中，如右图所示，设筷子露
C
5.如图，南北方向 MN为我国领海线，即 MN以西是我国领海，以东为公海，上午
9B时 50 分，
我国反走私艇 A 发现正东方向有一走私船 C 以 13 海里 / 时的速度偷偷向我国领海开来，便立
即通知正在 MN线上巡逻的我国反走私艇 B 密切关注。反走私艇 A 和走私船 C 的距A离是 13 D
考点三：与高、面积有关
例 1．两个直角边分别是 3 和 4 的直角三角形斜边上的高是
例 2．等腰三角形的底边为
10cm，周长为 36cm，则它的面积是
2
_____ cm
◆勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a 2 b 2 c 2 ，那么这个三角形是
直角三角形。
判断步骤：（ 1）比较 a、b、c 大小，找最长边；（ 2）计算两条短边的平方和，看是否与最长
在杯子外面的长度 hcm，则 h 的取值范围是（
）
A、 h≤ 17cm B 、 h≥ 8cm C 、 15cm≤ h≤ 16cm D 、 7cm≤h≤ 16cm
二、填空题
ห้องสมุดไป่ตู้
1、如果梯子底端离建筑物 5m，那么 13m长的梯子可达到建筑物的高度是 ____________m。

初二(上)数学复习《勾股定理》解答题专练(含解析)

初二（上）数学复习《勾股定理》解答题专练1．（2017秋•常熟一中期中）如图所示，OA⊥OB，OA＝45cm，OB＝15cm，一机器人在B 处发现有一个小球自A点出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从B处出发以相同的速度匀速直线前进去拦截小球，在点C处截住了小球，求机器人行走的路程BC．2．（2018秋•吴江区期中）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝3，求AC 的长．3．（2018秋•吴江区期中）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，AC＝3，动点P从点C出发，沿着CB运动，速度为每秒1个单位，到达点B时运动停止，设运动时间为t秒，请解答下列问题：（1）求BC上的高；（2）当t为何值时，△ACP为等腰三角形？4．（2018秋•相城区期中）如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm如果将该矩形沿对角线BD折叠，求图中阴影部分的面积．5．（2018秋•太仓市期中）如图，有一公路AB和一铁路CD在点A处交汇，且∠BAD＝30°，在公路的点P处有一所学校（学校看作点P，点P与公路AB的距离忽略不计），AP＝320米，火车行驶时，火车周围200米以内会受到噪音的影响，现有一列动车在铁路CD上沿AD方向行驶，该动车车身长200米，动车的速度为180千米/时，那么在该动车行驶过程中．（1）学校P是否会受到噪声的影响？说明理由；（2）如果受噪声影响，那么学校P受影响的时间为多少秒？6．（2018秋•太仓市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，BC＝2，点D 为斜边AB的中点，连接CD，将△BCD沿CD翻折，使点B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接DF，将△ADF沿DF翻折，使点A与点E重合，求折痕DF的长．7．（2018秋•高新区期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝10，BD＝8，∠ACD＝45°．（1）求线段AD的长；（2）求△ABC的周长．8．（2018秋•高新区期中/13年苏州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD、BE、CF分别是三边上的中线．（1）若AC＝1，BC＝．求证：AD2+CF2＝BE2；（2）是否存在这样的Rt△ABC，使得它三边上的中线AD、BE、CF的长恰好是一组勾股数？请说明理由．（提示：满足关系a2+b2＝c2的3个正整数a、b、c称为勾股数．）9．（2018秋•高新区期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P 从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上，且满足P A＝PB时，求出此时t的值；（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值．10．（2016秋•工业园区期中）中日钓鱼岛争端持续，我海监船加大钓鱼岛海域的巡航维权力度．如图，OA⊥OB，OA＝45海里，OB＝15海里，钓鱼岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向钓鱼岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船．（1）请用直尺和圆规作出C处的位置；（2）求我国海监船行驶的航程BC的长．11．（2017秋•苏州期中）已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD2+CD2＝2AB2，CD⊥AD．（1）求证：AB⊥BC．（2）若AB＝5CD，AD＝21，求四边形ABCD的周长．12．（2016秋•相城区期中）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠DBC＝90°，若AD＝4cm，AB＝3cm，BC＝12cm，求CD的长及四边形ABCD的面积．13．（2016秋•相城区期中）已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D为BC边上一点（1）求证：△ACE≌△ABD；（2）求证：DE2＝BD2+CD2．14．（2017秋•高新区期中）如图，在直角坐标系中，长方形纸片ABCD的边AB∥CO，点B 坐标为（8，4），若把图形按如图所示折叠，使B、D两点重合，折痕为EF．（1）求证：△DEF为等腰三角形；（2）求折痕EF的长．答案与解析1．（2017秋•常熟一中期中）如图所示，OA⊥OB，OA＝45cm，OB＝15cm，一机器人在B 处发现有一个小球自A点出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从B处出发以相同的速度匀速直线前进去拦截小球，在点C处截住了小球，求机器人行走的路程BC．【分析】小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，得出BC＝AC，由勾股定理可求得BC的长．【解答】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，即BC＝CA，设AC为x，则OC＝（45﹣x），由勾股定理可知OB2+OC2＝BC2，又∵OA＝45，OB＝15，把它代入关系式152+（45﹣x）2＝x2，解方程得出x＝25（cm）．答：如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是25cm．【点评】本题考查了勾股定理的应用，理解题意找出等量关系是解题关键，再由勾股定理即可得到答案．2．（2019春•谢家集区期中）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝3，求AC的长．【分析】设AC＝x，可知AB＝10﹣x，再根据勾股定理即可得出结论．【解答】解：设AC＝x，∵AC+AB＝10，∴AB＝10﹣x．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，即x2+32＝（10﹣x）2．解得：x＝4.55，即AC＝4.55．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．3．（2018秋•吴江区期中）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，AC＝3，动点P从点C出发，沿着CB运动，速度为每秒1个单位，到达点B时运动停止，设运动时间为t秒，请解答下列问题：（1）求BC上的高；（2）当t为何值时，△ACP为等腰三角形？【分析】（1）直接利用勾股定的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出答案；（2）分别利用①当AP＝AC时，②当AC＝CP′时，③当AP″＝CP″时，结合锐角三角函数关系得出答案．【解答】解：（1）∵32+42＝52，∴△ABC是直角三角形，设BC上的高为x，则×AB×AC＝×BC×x，∴×3×4＝×5x，解得：x＝2.4，故BC边上高为2.4；（2）①当AP＝AC时，过A作AD⊥BC，则CD＝DP，∵cos C＝＝，∴CD＝AC cos C＝3×＝，∴CP＝2CD＝，∵P的速度为每秒1个单位，∴t＝；②当AC＝CP′时，∵AC＝3，∴CP′＝3，∴t＝3；③当AP″＝CP″时，过P″作P″E⊥AC，∵AC＝3，AP″＝CP″，∴EC＝1.5，∵CP″＝＝＝2.5，则t＝2.5．综上所述：t＝s或3s或2.5s．【点评】此题主要考查了勾股定定理以及逆定理、锐角三角函数关系，正确利用分类讨论求解是解题关键．4．（2018秋•相城区期中）如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm如果将该矩形沿对角线BD折叠，求图中阴影部分的面积．【分析】根据轴对称的性质及矩形的性质就可以得出BE＝DE，由勾股定理就可以得出DE的值，由三角形的面积公式就可以求出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8cm，BC＝AD＝16cm，AD∥BC，∠A＝90°，∴∠EDB＝∠CBD．∵折叠∴△CBD≌△C′BD，∴∠EBD＝∠CBD，∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE．设DE为x，则AE＝16﹣x，BE＝x，由勾股定理，得AB2+AE2＝BE2．∴64+（16﹣DE）2＝DE2．∴DE＝10∴图中阴影部分的面积＝×DE×AB＝40（cm2）【点评】本题考查了轴对称的性质的运用，矩形的性质的运用，勾股定理的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键．5．（2018秋•太仓市期中）如图，有一公路AB和一铁路CD在点A处交汇，且∠BAD＝30°，在公路的点P处有一所学校（学校看作点P，点P与公路AB的距离忽略不计），AP＝320米，火车行驶时，火车周围200米以内会受到噪音的影响，现有一列动车在铁路CD上沿AD方向行驶，该动车车身长200米，动车的速度为180千米/时，那么在该动车行驶过程中．（1）学校P是否会受到噪声的影响？说明理由；（2）如果受噪声影响，那么学校P受影响的时间为多少秒？【分析】（1）如图作PH⊥CD于H．求出PH与200比较即可；（2）当PE＝PF＝200时，动车在线段EF上时，受噪声影响，求出EF的长即可解决问题；【解答】解：（1）如图作PH⊥CD于H．在Rt△APH中，∵∠P AH＝30°，P A＝320m，∴PH＝P A＝160m，∵160＜200，∴学校P会受到噪声的影响．（2）当PE＝PF＝200时，动车在线段EF上时，受噪声影响，∵EF＝2FH＝＝240m，180千米/时＝50米/秒∵＝8.8秒，答：学校P受影响的时间为8.8秒．【点评】本题考查勾股定理、解直角三角形、路程、速度．时间之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，注意统一单位．6．（2018秋•太仓市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，BC＝2，点D 为斜边AB的中点，连接CD，将△BCD沿CD翻折，使点B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接DF，将△ADF沿DF翻折，使点A与点E重合，求折痕DF的长．【分析】只要证明△CDF∽△ACB，可得＝，由此求出DF即可；【解答】解：在Rt△ACB中，∵AB＝2，BC＝2，∠ACB＝90°，∴AC＝＝4，∵AD＝DB，∴CD＝DA＝DB＝，∴∠DCA＝∠A，∵∠CDB＝∠CDE，∠FDE＝∠FDA，∴∠CDF＝90°，∴∠CDF＝∠ACB，∴△CDF∽△ACB，∴＝，∴＝，∴DF＝．（方法二：设AF＝EF＝x，在Rt△CEF中，利用勾股定理求出x，再在Rt△DCF中，求出DF即可）【点评】本题考查翻折变换、直角三角形斜边中线的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．7．（2018春•花都区期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝10，BD＝8，∠ACD＝45°．（1）求线段AD的长；（2）求△ABC的周长．【分析】（1）由AD⊥BC可得出∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，利用勾股定理即可求出AD的长；（2）由AD⊥BC、∠ACD＝45°可得出△ACD为等腰直角三角形，结合AD的长度可得出CD、AC的长度，再利用周长的定理即可求出△ABC的周长．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°．在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝10，BD＝8，∴AD＝＝6．（2）∵AD⊥BC，∠ACD＝45°，∴△ACD为等腰直角三角形，又∵AD＝6，∴CD＝6，AC＝6，∴C△ABC＝AB+BD+CD+AC＝24+6．【点评】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形以及三角形的周长，解题的关键是：（1）在Rt△ABD中利用勾股定理求出AD的长；（2）根据等腰直角三角形的性质求出CD、AC的长．8．（2015秋•宝山区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD、BE、CF分别是三边上的中线．（1）若AC＝1，BC＝．求证：AD2+CF2＝BE2；（2）是否存在这样的Rt△ABC，使得它三边上的中线AD、BE、CF的长恰好是一组勾股数？请说明理由．（提示：满足关系a2+b2＝c2的3个正整数a、b、c称为勾股数．）【分析】（1）连接FD，根据三角形中线的定义求出CD、CE，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得FD＝AC，然后分别利用勾股定理列式求出AD2、CF2、BE2即可得证；（2）设两直角边分别为a、b，根据（1）的思路求出AD2、CF2、BE2，再根据勾股定理列出方程表示出a、b的关系，然后用a表示出AD、CF、BE，再进行判断即可．【解答】（1）证明：如图，连接FD，∵AD、BE、CF分别是三边上的中线，∴CD＝BC＝，CE＝AC＝，FD＝AC＝，由勾股定理得，AD2＝AC2+CD2＝12+（）2＝，CF2＝CD2+FD2＝（）2+（）2＝，BE2＝BC2+CE2＝（）2+（）2＝，∵+＝，∴AD2+CF2＝BE2；（2）解：设两直角边分别为a、b，∵AD、BE、CF分别是三边上的中线，∴CD＝a，CE＝b，FD＝AC＝a，由勾股定理得，AD2＝AC2+CD2＝b2+（a）2＝a2+b2，CF2＝CD2+FD2＝（a）2+（b）2＝a2+b2，BE2＝BC2+CE2＝a2+（b）2＝a2+b2，不妨设：AD2+CF2＝BE2，∴a2+b2+a2+b2＝a2+b2，整理得，a2＝2b2，∴AD＝b，CF＝b，BE＝b，∴CF：AD：BE＝1：：，∵没有整数是和的倍数，∴不存在这样的Rt△ABC．当CF2+BE2＝AD2时，同法可证．CF显然不能作为斜边，此种情形不存在．综上所述，不存在这样的Rt△ABC．【点评】本题考查了勾股定理，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，用两条直角边分别表示出三条中线的平方是解题的关键，也是本题的难点．9．（2017秋•连云区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P 从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上，且满足P A＝PB时，求出此时t的值；（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值．【分析】（1）设存在点P，使得P A＝PB，此时P A＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，根据勾股定理列方程即可得到结论；（2）当点P在∠CAB的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，此时BP＝7﹣2t，PE＝PC＝2t﹣4，BE＝5﹣4＝1，根据勾股定理列方程即可得到结论；【解答】解：（1）设存在点P，使得P A＝PB，此时P A＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，即：（4﹣2t）2+32＝（2t）2，解得：t＝，∴当t＝时，P A＝PB；（2）当点P在∠BAC的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，CP＝2t，此时BP＝7﹣2t，PE＝PC＝2t﹣4，BE＝5﹣4＝1，在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，即：（2t﹣4）2+12＝（7﹣2t）2，解得：t＝，∴当t＝时，P在△ABC的角平分线上．【点评】本题考查了勾股定理，关键是根据等腰三角形的判定，三角形的面积解答．10．（2017秋•东台市期中）中日钓鱼岛争端持续，我海监船加大钓鱼岛海域的巡航维权力度．如图，OA⊥OB，OA＝45海里，OB＝15海里，钓鱼岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向钓鱼岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船．（1）请用直尺和圆规作出C处的位置；（2）求我国海监船行驶的航程BC的长．【分析】（1）由题意得，我渔政船与不明船只行驶距离相等，即在OA上找到一点，使其到A点与B点的距离相等，所以连接AB，作AB的垂直平分线即可．（2）利用第（1）题中的BC＝AC设BC＝x海里，则AC＝x海里．在直角三角形BOC 中，BC＝x海里、OC＝（45﹣x）海里，利用勾股定理列出方程152+（45﹣x）2＝x2，解得即可．【解答】解：（1）作AB的垂直平分线与OA交于点C；（2）设BC为x海里，则CA也为x海里，∵∠O＝90°，∴在Rt△OBC中，BO2+OC2＝BC2，即：152+（45﹣x）2＝x2，解得：x＝25，答：我国渔政船行驶的航程BC的长为25海里．【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，利用勾股定理不仅仅能求直角三角形的边长，而且它也是直角三角形中一个重要的等量关系．11．（2017秋•苏州期中）已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD2+CD2＝2AB2，CD⊥AD．（1）求证：AB⊥BC．（2）若AB＝5CD，AD＝21，求四边形ABCD的周长．【分析】（1）理由勾股定理的逆定理证明∠ABC＝90°即可；（2）设CD＝k，则AB＝BC＝5k，由∠ABC＝90°，可得AC2＝50k2，在Rt△ACD中，根据AC2＝CD2+AD2，构建方程即可解决问题；【解答】（1）证明：连接AC．∵CD⊥AD，∴AD2+CD2＝AC2，∵AD2+CD2＝2AB2，AB＝BC，∴AC2＝AB2+BC2，∴∠ABC＝90°，∴AB⊥BC．（2）设CD＝k，则AB＝BC＝5k，∵∠ABC＝90°，∴AC2＝50k2，在Rt△ACD中，∵AC2＝CD2+AD2，∴50k2＝212+k2，∴k＝3，∴CD＝3，AB＝BC＝15，∴四边形ABCD的周长＝AB+BC+AD+CD＝54．【点评】本题考查勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．12．（2016秋•相城区期中）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠DBC＝90°，若AD＝4cm，AB＝3cm，BC＝12cm，求CD的长及四边形ABCD的面积．【分析】先根据勾股定理求出BD的长度，然后可根据勾股定理求出CD的长度，分别求出△ABD和△BCD的面积，即可求得四边形ABCD的面积．【解答】解：在Rt△ABD中，BD＝＝＝5（cm），在Rt△BCD中，CD＝＝＝13（cm），S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝×3×4+×5×12＝36（cm2），即四边形ABCD的面积为36cm2．【点评】本题考查了勾股定理的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．13．（2016秋•相城区期中）已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D为BC边上一点（1）求证：△ACE≌△ABD；（2）求证：DE2＝BD2+CD2．【分析】（1）易证∠EAC＝∠DAB，即可证明△ACE≌△ABD；（2）根据（1）中结论可得EC＝BD，∠ACE＝∠B＝45°，即可求得∠ECD＝90°，易求得BC得长，即可求得EC的长，在Rt△ECD中，根据勾股定理即可求得DE的长．【解答】（1）证明：∵∠EAC+∠CAD＝∠EAD＝90°，∠CAD+∠DAB＝∠BAC＝90°，∴∠EAC＝∠DAB，在△ACE和△ABD中，，∴△ACE≌△ABD（SAS）；（2）∵△ACE≌△ABD，∴EC＝BD，∠ACE＝∠B＝45°，∴∠ECD＝∠ACE+∠ACB＝90°，∵等腰直角△ABC中，AC＝BC，∴EC＝BD＝BC﹣CD，∴在Rt△ECD中，DE2＝BD2+CD2【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中求证△ACE≌△ABD是解题的关键．14．（2017秋•高新区期中）如图，在直角坐标系中，长方形纸片ABCD的边AB∥CO，点B 坐标为（8，4），若把图形按如图所示折叠，使B、D两点重合，折痕为EF．（1）求证：△DEF为等腰三角形；（2）求折痕EF的长．【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，可得AB∥OC，又由折叠的性质可得：∠BEF＝∠OEF，即可证得∠OEF＝∠OFE，则可得OE＝OF；（2）首先设BE＝OE＝x，则AE＝9﹣x，可得方程（8﹣x）2+32＝x2，继而求得点E，F 的坐标，即可求得折痕EF的长．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥OC，∴∠BEF＝∠OFE，由折叠的性质可得：∠BEF＝∠OEF，∴∠OEF＝∠OFE，∴OE＝OF，∴△DEF是等腰三角形；（2）设BE＝OE＝x，则AE＝8﹣x，在Rt△AEO中，AE2+OA2＝OE2，∴（8﹣x）2+42＝x2，解得：x＝5，∴OF＝OE＝5，AE＝OG＝3，∴E（3，4），F（5，0），∴EF＝＝2．【点评】本题考查了翻折变换的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．。

八年级初二数学提高题专题复习勾股定理练习题及答案

八年级初二数学提高题专题复习勾股定理练习题及答案一、选择题1．如图，在ABC ∆中，,90︒=∠=AB AC BAC ，ABC ∠的平分线BD 与边AC 相交于点D ，DE BC ⊥，垂足为E ，若CDE ∆的周长为6，则ABC ∆的面积为（）.A ．36B ．18C ．12D ．92．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是△ABC 的一条角平分线．若AC ＝6，AB ＝10，则点D 到AB 边的距离为（）A ．2B ．2.5C ．3D ．43．如图，在ABC 中，CE 平分ACB ∠，CF 平分ACD ∠，且//EF BC 交AC 于M ，若3CM =，则22CE CF +的值为( )A ．36B ．9C ．6D ．184．若△ABC 中，AB=AC=25，BC=4，则△ABC 的面积为（）A ．4B ．8C ．16D ．5 5．如图，已知数轴上点P 表示的数为1-，点A 表示的数为1，过点A 作直线l 垂直于PA ，在l 上取点B ，使1AB =，以点P 为圆心，以PB 为半径作弧，弧与数轴的交点C 所表示的数为（）A 5B 51C 51D ．51-6．如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=6，AC=8，现将Rt △ABC 沿BD 进行翻折，使点A 刚好落在BC 上，则CD 的长为（）A ．10B ．5C ．4D ．3 7．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A ．1，2，3B ．2，3，4C ．3，4，6D ．1，3，2 8．在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，两直角边长及斜边上的高分别为,,a b h ，则下列关系式成立的是（）A ．222221a b h +=B ．222111a b h +=C ．2h ab =D ．222h a b =+9．如图，在矩形ABCD 中，AB =8，BC =4，将矩形沿AC 折叠，点B 落在点B ′处，则重叠部分△AFC 的面积为（）A ．12B ．10C ．8D ．610．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（）A ．7.5平方千米B ．15平方千米C ．75平方千米D ．750平方千米二、填空题11．我国古代数学名著《九章算术》中有云：“今有木长二丈，围之三尺．葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛长几何？”大意为：有一根木头长2丈，上、下底面的周长为3尺，葛生长在木下的一方，绕木7周，葛梢与木头上端刚好齐平，则葛长是______尺．(注：l 丈等于10尺，葛缠木以最短的路径向上生长，误差忽略不计)12．若ABC ∆为直角三角形，90B ∠=︒，6AB =，8BC =，点D 在斜边AC 上，且2AC BD =，则AD 的长为__________．13．已知，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=7，D 是AB 的中点，点E 在AC 上，点F 在BC 上，DE=DF ，若BF=4，则EF=_______14．在Rt △ABC 中，直角边的长分别为a ，b ，斜边长c ，且a +b =35，c =5，则ab 的值为______．15．如图，在等边△ABC 中，AB ＝6，AN ＝2，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，则BM +MN 的最小值是_____．16．已知x ，y 为一个直角三角形的两边的长，且（x ﹣6）2=9，y =3，则该三角形的第三边长为_____．17．在等腰Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，过点C 作直线l AB ，F 是l 上的一点，且AB AF =，则FC =__________．18．一块直角三角形绿地，两直角边长分别为3m ，4m ，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充时只能延长长为3m 的直角边，则扩充后等腰三角形绿地的面积为____m 2．19．如图，E 为等腰直角△ABC 的边AB 上的一点，要使AE ＝3，BE ＝1，P 为AC 上的动点，则PB ＋PE 的最小值为____________．20．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方行ABCD ，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为4的小正方形EFGH,已知AM 为Rt △ABM 的较长直角边，AM 7EF ，则正方形ABCD 的面积为_______.三、解答题21．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD 于点D ，E 是AB 的中点，连接CE 交AD 于点F ，BD =3，求BF 的长．22．如图，已知ABC ∆中，90B ∠=︒，8AB cm =，6BC cm =，P 、Q 是ABC ∆边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C →方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．（1）当2t =秒时，求PQ 的长；（2）求出发时间为几秒时，PQB ∆是等腰三角形？（3）若Q 沿B C A →→方向运动，则当点Q 在边CA 上运动时，求能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．23．阅读与理解：折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在ABC 中，AB AC >（如图），怎样证明C B ∠>∠呢？分析：把AC 沿A ∠的角平分线AD 翻折，因为AB AC >，所以，点C 落在AB 上的点C '处，即AC AC '=，据以上操作，易证明ACD AC D '△△≌，所以AC D C '∠=∠，又因为AC D B '∠>∠，所以C B ∠>∠．感悟与应用：（1）如图（a ），在ABC 中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，CD 平分ACB ∠，试判断AC 和AD 、BC 之间的数量关系，并说明理由；（2）如图（b ），在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，16AC =，8AD =，12DC BC ==，①求证：180B D ∠+∠=︒；②求AB 的长．24．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 是BC 上一动点、连接AD ，过点A 作AE AD ⊥，并且始终保持AE AD =，连接CE ，（1）求证：ABD ACE ≅；（2）若AF 平分DAE ∠交BC 于F ，①探究线段BD ，DF ，FC 之间的数量关系，并证明；②若3BD =，4CF =，求AD 的长，25．如图1，在等腰直角三角形ABC 中，动点D 在直线AB （点A 与点B 重合除外）上时，以CD 为一腰在CD 上方作等腰直角三角形ECD ，且90ECD ∠=︒，连接AE ．（1）判断AE 与BD 的数量关系和位置关系；并说明理由．（2）如图2，若4BD =，P ，Q 两点在直线AB 上且5EP EQ ==，试求PQ 的长．（3）在第（2）小题的条件下，当点D 在线段AB 的延长线（或反向延长线）上时，判断PQ 的长是否为定值．分别画出图形，若是请直接写出PQ 的长；若不是请简单说明理由．26．已知ABC ∆中，如果过项点B 的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为ABC ∆的关于点B 的二分割线．例如：如图1，Rt ABC ∆中，90A ︒∠=，20C ︒∠=，若过顶点B 的一条直线BD 交AC 于点D ，若20DBC ︒∠=，显然直线BD 是ABC ∆的关于点B 的二分割线．（1）在图2的ABC ∆中，20C ︒∠=，110ABC ︒∠=．请在图2中画出ABC ∆关于点B 的二分割线，且DBC ∠角度是；（2）已知20C ︒∠=，在图3中画出不同于图1，图2的ABC ∆，所画ABC ∆同时满足:①C ∠为最小角；②存在关于点B 的二分割线．BAC ∠的度数是；（3）已知C α∠=，ABC ∆同时满足：①C ∠为最小角；②存在关于点B 的二分割线．请求出BAC ∠的度数（用α表示）．27．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2BC AC =.(1)如图1，点D 在边BC 上，1CD =，5AD =，求ABD ∆的面积.(2)如图2，点F 在边AC 上，过点B 作BE BC ⊥，BE BC =，连结EF 交BC 于点M ，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连结BG .求证：2EG BG CG =+.28．（已知：如图1，矩形OACB 的顶点A ，B 的坐标分别是（6，0）、（0，10），点D 是y 轴上一点且坐标为（0，2），点P 从点A 出发以每秒1个单位长度的速度沿线段AC ﹣CB 方向运动，到达点B 时运动停止．（1）设点P 运动时间为t ，△BPD 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；（2）当点P 运动到线段CB 上时（如图2），将矩形OACB 沿OP 折叠，顶点B 恰好落在边AC 上点B ′位置，求此时点P 坐标；（3）在点P 运动过程中，是否存在△BPD 为等腰三角形的情况？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由．29．如图1，点E 是正方形ABCD 边CD 上任意一点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接BF ，点M 是线段BF 中点，射线EM 与BC 交于点H ，连接CM ．（1）请直接写出CM 和EM 的数量关系和位置关系．（2）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转45︒，此时点F 恰好落在线段CD 上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．（3）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转90︒，此时点E 、G 恰好分别落在线段AD 、CD 上，连接CE ，如图3，其他条件不变，若2DG =，6AB =，直接写出CM 的长度．30．已知ABC 是等边三角形，点D 是BC 边上一动点，连结AD()1如图1，若2BD =，4DC =，求AD 的长；()2如图2，以AD 为边作60ADE ADF ∠=∠=，分别交AB ，AC 于点E ，F ． ①小明通过观察、实验，提出猜想：在点D 运动的过程中，始终有AE AF =，小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法想法1：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关知识获证．想法2：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造ADF 的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证．请你参考上面的想法，帮助小明证明.(AE AF =一种方法即可)②小聪在小明的基础上继续进行思考，发现：四边形AEDF 的面积与AD 长存在很好的关系.若用S 表示四边形AEDF 的面积，x 表示AD 的长，请你直接写出S 与x 之间的关系式．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】利用角平分定理得到DE=AD ，根据三角形内角和得到∠BDE=∠BDA ，再利用角平分线定理得到BE=AB=AC ，根据CDE ∆的周长为6求出AB=6，再根据勾股定理求出218AB =，即可求得ABC ∆的面积.【详解】∵90BAC ︒∠=，∴AB ⊥AD,∵DE BC ⊥,BD 平分ABC ∠,∴DE=AD ，∠BED=90BAC ︒∠=，∴∠BDE=∠BDA ，∴BE=AB=AC ，∵CDE ∆的周长为6，∴DE+CD+CE=AC+CE=BC=6，∵,90︒=∠=AB AC BAC∴22236AB AC BC +==,∴2236AB =, 218AB =,∴ABC ∆的面积=211922AB AC AB ⋅⋅==, 故选：D.【点睛】此题考查角平分线定理的运用，勾股定理求边长，在利用角平分线定理时必须是两个垂直一个平分同时运用，得到到角两边的距离相等的结论. 2．C解析：C【分析】作DE ⊥AB 于E ，由勾股定理计算出可求BC=8，再利用角平分线的性质得到DE=DC ，设DE=DC=x ，利用等等面积法列方程、解方程即可解答.【详解】解：作DE ⊥AB 于E ，如图，在Rt △ABC 中，BC 22106-8，∵AD 是△ABC 的一条角平分线，DC ⊥AC ，DE ⊥AB ，∴DE ＝DC ，设DE ＝DC ＝x ，S △ABD ＝12DE •AB ＝12AC •BD ，即10x ＝6（8﹣x ），解得x ＝3，即点D 到AB 边的距离为3．故答案为C ．【点睛】本题考查了角平分线的性质和勾股定理的相关知识，理解角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答本题的关键..3．A解析：A【分析】先根据角平分线的定义、角的和差可得90ECF ∠=︒，再根据平行线的性质、等量代换可得,ACE CEF ACF F ∠=∠∠=∠，然后根据等腰三角形的定义可得,EM CM FM CM ==，从而可得6EF =，最后在Rt CEF 中，利用勾股定理即可得．【详解】 CE 平分ACB ∠，CF 平分ACD ∠，,1122ACB ACD BCE ACE DCF ACF ∴∠∠=∠=∠=∠∠=， 111(90222)ACB AC E D ACB ACD CF ACE ACF ∠=∠+∴∠+∠=∠∠∠=+=︒， //EF BC ，,BCE CEF DCF F ∠=∴∠∠=∠，,ACE CEF ACF F ∴∠=∠∠=∠，3,3EM CM FM CM ∴====，6EF EM FM ∴=+=，在Rt CEF 中，由勾股定理得：2222636CE CF EF +===，故选：A ．【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的定义、勾股定理等知识点，熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键．4．B解析：B【分析】作AD ⊥BC ，则D 为BC 的中点，即BD=DC=2，根据勾股定理可以求得AD ，则根据S=12×BC×AD 可以求得△ABC 的面积．【详解】解：作AD ⊥BC ，则D 为BC 的中点，则BD=DC=2，∵AB=，∴△ABC的面积为S=12×BC×AD=12×4×4=8，故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理的运用，三角形面积的计算，本题中正确的运用勾股定理求AD是解题的关键．5．B解析：B【分析】由数轴上点P表示的数为1-，点A表示的数为1，得PA=2，根据勾股定理得PB而即可得到答案．【详解】∵数轴上点P表示的数为1-，点A表示的数为1，∴PA=2，又∵l⊥PA，1AB=，∴PB=∵∴数轴上点C1．故选B．【点睛】本题主要考查数轴上点表示的数与勾股定理，掌握数轴上两点之间的距离求法，是解题的关键．6．B解析：B【分析】根据“在Rt△ABC中”和“沿BD进行翻折”可知，本题考察勾股定理和翻折问题，根据勾股定理和翻折的性质，运用方程的方法进行求解．【详解】∵∠A=90°，AB=6，AC=8，∴，根据翻折的性质可得A′B=AB=6，A′D=AD，∴A′C=10-6=4．设CD=x，则A′D=8-x，根据勾股定理可得x2-（8-x）2=42，解得x=5，故答案为：B ．【点睛】本题考察勾股定理和翻折问题，根据勾股定理把求线段的长的问题转化为方程问题是解决本题的关键．7．D解析：D【分析】根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形．【详解】解：A 、12+22=5≠32，故不符合题意；B 、22+32=13≠42，故不符合题意；C 、32+42=25≠62，故不符合题意；D 、12+2=4=22，符合题意. 故选D.【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否能构成直角三角形的三边，简便的方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可．8．B解析：B【分析】设斜边为c ，根据勾股定理得出【详解】解：设斜边为c ，根据勾股定理得出 ∵12ab=12ch ，∴，即a 2b 2=a 2h 2+b 2h 2， ∴22222a b a b h =22222a h a b h +22222b h a b h，即21a +21b ＝21h ．故选：B ．【点睛】本题考查勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题关键．9．B解析：B已知AD 为CF 边上的高，要求AFC △的面积，求得FC 即可，求证AFD CFB '△≌△，得B F DF '=，设DF x =，则在Rt AFD △中，根据勾股定理求x ，于是得到CF CD DF =-，即可得到答案．【详解】解：由翻折变换的性质可知，AFD CFB '△≌△，'DF B F ∴=，设DF x =，则8AF CF x ==-，在Rt AFD △中，222AF DF AD =+，即222(8)4x x -=+，解得：3x =，835CF CD FD ∴=-=-=， 1102AFC S AF BC ∴=⋅⋅=△．故选：B ．【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等内容，根据折叠的性质得到AFD CFB '△≌△是解题的关键．10．A解析：A【解析】分析：直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．详解：∵52+122=132，∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，∴这块沙田面积为：12×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．故选A ．点睛：此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．二、填空题11．【分析】这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．【详解】解：如图，一条直角边（即木棍的高）长20尺，另一条直角边长7×3=21（尺），因此葛藤长222021+=29（尺）．答：葛藤长29尺．故答案为：29．【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解．12．5【分析】在直角ABC 中，依据勾股定理求出AC 的长度，再算出BD ，过点B 作BE AC ⊥于点E ，通过等面积法求出BE ，得到两个直角三角形，分别运用勾股定理算出AE ED 、，两者相加即为AD 的长.【详解】解：如图，过点B 作BE AC ⊥于点E ，则90BEA ∠=︒,90BED ∠=︒,∵直角ABC 中，90B ∠=︒，6AB =，8BC =，∴22=10AC AB BC +=,又∵2ABC S AB BC AC BE =⋅=⋅，2AC BD =∴6810BE ⨯=，5BD =,∴=4.8BE ,∵90BEA ∠=︒,90BED ∠=︒∴22= 3.6AE AB BE -=,22= 1.4ED BD BE -=,∴5AD AE ED =+=.故答案为：5.【点睛】本题考查了勾股定理，通过作直角三角形斜边上的高，既构造了两个直角三角形求位置线段，又通过等面积法求出了一条直角边的长度，为运用勾股定理求线段创造了条件；故在求线段长时，可以考虑构造直角三角形.13．322或115或1095【分析】分别就E ，F 在AC,BC 上和延长线上，分别画出图形，过D 作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足为G ，H，通过构造全等三角形和运用勾股定理作答即可.【详解】解：①过D作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足为G，H∴DG∥BC,∠CDG=∠CDH=45°又∵D是AB的中点，∴DG=12 BC同理：DH=12 AC又∵BC=AC∴DG=DH在Rt△DGE和Rt△DHF中DG=DH,DE=DF∴Rt△DGE≌Rt△DHF（HL）∴GE=HF又∵DG=DH,DC=DC∴△GDC≌△FHC∴CG=HC∴CE=GC-GE=CH-HF=CF=AB-BF=3∴EF=223332+=②过D作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足为G，H∴DG∥BC,∠CDG=∠CDH=45°又∵D是AB的中点，∴DG=12 BC同理：DH=12 AC又∵BC=AC∴DG=DH在Rt△DGE 和Rt△DHF 中DG=DH,DE=DF∴Rt△DGE≌Rt△DHF（HL ）∴GE=HF又∵DG=DH,DC=DC∴△GDC≌△FHC∴CG=HC∴CE=CF=AC+AE=AB+BF=7+4=11 ∴EF=221111112+=③如图，以点D 为圆心，以DF 长为半径画圆交AC 边分别为E 、E '，过点D 作DH⊥AC 于点H ，可知DF DE DE '==，可证△EHD≌△E HD '，CE D CFD '≌，△DHC 为等腰直角三角形，∴∠1+∠2=45°∴∠EDF=2（∠1+∠2）=90°∴△EDF 为等腰直角三角形可证AED CFD △△≌∴AE=CF=3,CE=BF=4∴2222435EF CE CF =+=+=④有第③知，EF=5，且△EDF 为等腰直角三角形，∴ED=DF=522,可证△E CF E DE ''∆∽,2223y x +=5252x =+综上可得：25x =∴2222E F DE DF DE '''''=+=1095E F ''= 【点睛】本题考查了全等三角形和勾股定理方面的知识，做出辅助线、运用数形结合思想是解答本题的关键.14．10【分析】先根据勾股定理得出a 2+b 2＝c 2，利用完全平方公式得到（a +b ）2﹣2ab ＝c 2，再将a +b ＝5c ＝5代入即可求出ab 的值．【详解】解：∵在Rt △ABC 中，直角边的长分别为a ，b ，斜边长c ，∴a 2+b 2＝c 2，∴（a +b ）2﹣2ab ＝c 2，∵a +b ＝5c ＝5，∴（52﹣2ab ＝52，∴ab ＝10．故答案为10．【点睛】本题考查勾股定理以及完全平方公式，灵活运用完全平方公式是解题关键.157【解析】【分析】通过作辅助线转化BM，MN的值，从而找出其最小值求解．【详解】解：连接CN，与AD交于点M．则CN就是BM+MN的最小值．取BN中点E，连接DE，如图所示：∵等边△ABC的边长为6，AN＝2，∴BN＝AC﹣AN＝6﹣2＝4，∴BE＝EN＝AN＝2，又∵AD是BC边上的中线，∴DE是△BCN的中位线，∴CN＝2DE，CN∥DE，又∵N为AE的中点，∴M为AD的中点，∴MN是△ADE的中位线，∴DE＝2MN，∴CN＝2DE＝4MN，∴CM＝34 CN．在直角△CDM中，CD＝12BC＝3，DM＝12AD＝332，∴CM2237 2CD MD+=∴CN＝43727 32=．∵BM+MN＝CN，∴BM+MN的最小值为7．故答案是：7【点睛】考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．16．106232【解析】【详解】∵（x-6）2=9，∴x-6=±3，解得：x 1=9，x 2=3，∵x ，y 为一个直角三角形的两边的长，y=3，∴当x=3时，x 、y 都为直角三角形的直角边，则斜边为223332+=；当x=9时，x 、y 都为直角三角形的直角边，则斜边为2293310+= ；当x=9时，x 为斜边、y 为直角边，则第三边为263922=-.故答案为：310，62或32.【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确分类讨论是解决问题的关键，解题时注意一定不要漏解．17．31+或31-【解析】如图，l AB ，2AC =，作AD l ⊥于点D ，∴1AD =，∵222AF AB ===，且F 有2个， ∴2212213DF DF ==-=∵1DC AD ==，∴1113CF CD DF =+= 2231CF DF CD =-=．点睛：本题考查了勾股定理的运用，通过添加辅助线，可将问题转化到直角三角形中，利用勾股定理解答，考查了学生的空间想象能力．18．8或10或12或253【详解】解：①如图1：当BC=CD=3m时，AB=AD=5m，AC⊥BD，此时等腰三角形绿地的面积：12×6×4=12（m2）；②如图2：当AC=CD=4m时，AC⊥CB，此时等腰三角形绿地的面积：12×4×4=8（m2）；③如图3：当AD=BD时，设AD=BD=xm，在Rt△ACD中，CD=（x-3）m，AC=4m，由勾股定理，得AD2=DC2+CA2，即(x-3)2+42=x2，解得x=256，此时等腰三角形绿地的面积：12BD·AC=12×256×4=253（m2）；④如图4，延长BC 到D ，使BD=AB=5m ，故CD=2m ，此时等腰三角形绿地的面积：12BD·AC=12×5×4=10（m 2）；综上所述，扩充后等腰三角形绿地的面积为8m 2或12m 2或10m 2或253m 2．点睛：此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解决问题的关键是根据题意正确画出图形．19．5【解析】试题分析：作点B 关于AC 的对称点F ，构建直角三角形，根据最短路径可知：此时PB +PE 的值最小，接下来要求出这个最小值，即求EF 的长即可，因此要先求AF 的长，证明△ADF ≌△CDB ，可以解决这个问题，从而得出EF =5，则PB +PE 的最小值为5．解：如图，过B 作BD ⊥AC ，垂足为D ，并截取DF =BD ，连接EF 交AC 于P ，连接PB 、AF ，则此时PB +PE 的值最小，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AB =CB ,∠ABC =90°，AD =DC ，∴∠BAC =∠C =45°，∵∠ADF =∠CDB ，∴△ADF ≌△CDB ，∴AF =BC ,∠FAD =∠C =45°，∵AE =3，BE =1，∴AB =BC =4，∴AF =4，∵∠BAF =∠BAC +∠FAD =45°+45°=90°,∴由勾股定理得：EF 22AF AE +2243+，∵AC 是BF 的垂直平分线，∴BP =PF ，∴PB +PE =PF +PE =EF =5，故答案为5.点睛：本题主要考查最短路径问题.解题的关键在于要利用轴对称知识，结合两点之间线段最短来求解.20．32【分析】由题意设AM=2a ，BM=b ，则正方形ABCD 的面积=224a b ＋，由题意可知EF=(2a-b)-2（a-b)=2a-b-2a ＋2b=b ，由此分析即可．【详解】解：设AM=2a ．BM=b ．则正方形ABCD 的面积=224a b ＋由题意可知EF=（2a-b)-2（a-b)=2a-b-2a ＋2b=b ，∵AM EF ，2,,2a a ∴== ∵正方形EFGH 的面积为4，∴24b =，∴正方形ABCD 的面积=2224+832.a b b ==故答案为32.【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理以及线段的垂直平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.三、解答题21．BF 的长为【分析】先连接BF ，由E 为中点及AC=BC ，利用三线合一可得CE ⊥AB ，进而可证△AFE ≌△BFE ，再利用AD 为角平分线以及三角形外角定理，即可得到∠BFD 为45°，△BFD 为等腰直角三角形，利用勾股定理即可解得BF ．【详解】解：连接BF ．∵CA=CB ，E 为AB 中点∴AE=BE ，CE ⊥AB ，∠FEB=∠FEA=90°在Rt △FEB 与Rt △FEA 中，BE AE BEF AEF FE FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴Rt △FEB ≌Rt △FEA又∵AD 平分∠BAC ，在等腰直角三角形ABC 中∠CAB=45°∴∠FBE=∠FAE=12∠CAB=22.5° 在△BFD 中，∠BFD=∠FBE+∠FAE=45°又∵BD ⊥AD ，∠D=90°∴△BFD 为等腰直角三角形，BD=FD=3 ∴222232BF BD FD BD =+==【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质及判定、三角形全等的性质及判定、三角形外角、角平分线，解题关键在于熟练掌握等腰直角三角形的性质．22．（1）132）83；（3）5.5秒或6秒或6.6秒【分析】（1）根据点P 、Q 的运动速度求出AP ，再求出BP 和BQ ，用勾股定理求得PQ 即可；（2）由题意得出BQ BP =，即28t t =-，解方程即可；（3）当点Q 在边CA 上运动时，能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间有三种情况： ①当CQ BQ =时（图1)，则C CBQ ∠=∠，可证明A ABQ ∠=∠，则BQ AQ =，则CQ AQ =，从而求得t ；②当CQ BC =时（图2)，则12BC CQ +=，易求得t ；③当BC BQ =时（图3)，过B 点作BE AC ⊥于点E ，则求出BE ，CE ，即可得出t ．【详解】（1）解：（1）224BQ cm =⨯=，8216BP AB AP cm =-=-⨯=，90B ∠=︒， 222246213()PQ BQ BP cm =+=+=；（2）解：根据题意得：BQ BP =，即28t t =-，解得：83t =；即出发时间为83秒时，PQB ∆是等腰三角形；（3）解：分三种情况：①当CQ BQ =时，如图1所示：则C CBQ ∠=∠，90ABC ∠=︒， 90CBQ ABQ ∴∠+∠=︒，90A C ∠+∠=︒，A ABQ ∴∠=∠BQ AQ ∴=，5CQ AQ ∴==，11BC CQ ∴+=，112 5.5t ∴=÷=秒．②当CQ BC =时，如图2所示：则12BC CQ +=1226t ∴=÷=秒．③当BC BQ =时，如图3所示：过B点作BE AC⊥于点E，则684.8()10AB BCBE cmAC⨯===22 3.6CE BC BE cm∴=-=，27.2CQ CE cm∴==，13.2BC CQ cm∴+=，13.22 6.6t∴=÷=秒．由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，BCQ∆为等腰三角形．【点睛】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用．23．（1）BC−AC＝AD；理由详见解析；（2）①详见解析；②AB=14【分析】（1）在CB上截取CE＝CA，连接DE，证△ACD≌△ECD得DE＝DA，∠A＝∠CED＝60°，据此∠CED＝2∠CBA，结合∠CED＝∠CBA＋∠BDE得出∠CBA＝∠BDE，即可得DE＝BE，进而得出答案；（2）①在AB上截取AM＝AD，连接CM，先证△ADC≌△AMC，得到∠D＝∠AMC，CD＝CM，结合CD＝BC知CM＝CB，据此得∠B＝∠CMB，根据∠CMB＋∠CMA＝180°可得；②设BN＝a，过点C作CN⊥AB于点N，由CB＝CM知BN＝MN＝a，CN2＝BC2−BN2＝AC2−AN2，可得关于a的方程，解之可得答案．【详解】解：（1）BC−AC＝AD．理由如下：如图（a），在CB上截取CE＝CA，连接DE，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠ECD，又CD＝CD，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴DE＝DA，∠A＝∠CED＝60°，∴∠CED＝2∠CBA，∵∠CED＝∠CBA＋∠BDE，∴∠CBA＝∠BDE，∴DE＝BE，∴AD ＝BE ，∵BE ＝BC−CE ＝BC−AC ，∴BC−AC ＝AD ．（2）①如图（b ），在AB 上截取AM ＝AD ，连接CM ，∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠MAC ，∵AC ＝AC ，∴△ADC ≌△AMC （SAS ），∴∠D ＝∠AMC ，CD ＝CM ＝12，∵CD ＝BC ＝12，∴CM ＝CB ，∴∠B ＝∠CMB ，∵∠CMB ＋∠CMA ＝180°，∴∠B ＋∠D ＝180°；②设BN ＝a ，过点C 作CN ⊥AB 于点N ，∵CB ＝CM ＝12，∴BN ＝MN ＝a ，在Rt △BCN 中，2222212CN BC BN a --＝＝，在Rt △ACN 中，2222216(8)CN AC AN a --+＝＝，则22221216(8)a a --+＝，解得：a ＝3，即BN ＝MN ＝3，则AB ＝8+3+3=14，∴AB=14．【点睛】本题考查了四边形的综合题，以及全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质；本题有一定难度，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果．24．（1）见详解（2）①结论：222BD FC DF +=，证明见详解②35【分析】（1）根据SAS ，只要证明BAD CAE ∠=∠即可解决问题；（2）①结论：222BD FC DF +=．连接EF ，进一步证明90ECF ∠=︒，DF EF =，再利用勾股定理即可得证；②过点A 作AG BC ⊥于点G ，在Rt ADG 中求出AG 、DG 即可求解．【详解】解：（1）∵AE AD ⊥∴90DAC CAE ∠+∠=︒∵90BAC ∠=︒∴90DAC BAD ∠+∠=︒∴BAD CAE ∠=∠∴在ABD △和ACE △中 AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABD △≌ACE △()SAS（2）①结论：222BD FC DF +=证明：连接EF ，如图：∵ABD △≌ACE △∴B ACE ∠=∠，BD CE =∴90ECF BCA ACE BCA B ∠=∠+∠=∠+∠=︒∴222FC CE EF +=∴222FC BD EF +=∵AF 平分DAE ∠∴DAF EAF ∠=∠∴在DAF △和EAF △中AD AE DAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DAF △≌EAF △()SAS∴DF EF =∴222FC BD DF +=即222BD FC DF +=②过点A 作AG BC ⊥于点G ，如图：∵由①可知222223425DF BD FC =+=+=∴5DF =∴35412BC BD DF FC =++=++=∵AB AC =，AG BC ⊥ ∴1112622BG AG BC ===⨯= ∴633DG BG BD =-=-=∴在Rt ADG 中，22223635AD DG AG =+=+=故答案是：（1）见详解（2）①结论：222BD FC DF +=，证明见详解②35【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质以及角平分线的性质．综合性较强，属中档题，学会灵活应用相关知识点进行推理证明．25．（1）AE=BD 且AE ⊥BD ；（2）6；（3）PQ 为定值6，图形见解析【分析】（1）由“SAS”可证△ACE ≌△BCD ，可得AE=BD ，∠EAC=∠DBC=45°，可得AE ⊥BD ；（2）由等腰三角形的性质可得PA=AQ ，由勾股定理可求PA 的长，即可求PQ 的长；（3）分两种情况讨论，由“SAS”可证△ACE ≌△BCD ，可得AE=BD ，∠EAC=∠DBC ，可得AE ⊥BD ，由等腰三角形的性质可得PA=AQ ，由勾股定理可求PA 的长，即可求PQ 的长．【详解】解：（1）AE=BD ，AE ⊥BD ，理由如下：∵△ABC ，△ECD 都是等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，∴∠ACE=∠DCB ，且AC=BC ，CE=CD ，∴△ACE ≌△BCD （SAS ）∴AE=BD ，∠EAC=∠DBC=45°，∴∠EAC+∠CAB=90°，∴AE ⊥BD ；（2）∵PE=EQ ，AE ⊥BD ，∴PA=AQ ，∵EP=EQ=5，AE=BD=4，∴AQ=22=2516=3EQ AE --，∴PQ=2AQ=6；（3）如图3，若点D 在AB 的延长线上，∵△ABC ，△ECD 都是等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，∴∠ACE=∠DCB ，且AC=BC ，CE=CD ，∴△ACE ≌△BCD （SAS ）∴AE=BD ，∠CBD=∠CAE=135°，且∠CAB=45°，∴∠EAB=90°，∵PE=EQ ，AE ⊥BD ，∴PA=AQ ，∵EP=EQ=5，AE=BD=4，∴AQ=22=2516=3EQ AE --，∴PQ=2AQ=6；如图4，若点D 在BA 的延长线上，∵△ABC ，△ECD 都是等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，∴∠ACE=∠DCB ，且AC=BC ，CE=CD ，∴△ACE ≌△BCD （SAS ）∴AE=BD ，∠CBD=∠CAE=45°，且∠CAB=45°，∴∠EAB=90°，∵PE=EQ ，AE ⊥BD ，∴PA=AQ ，∵EP=EQ=5，AE=BD=4，∴AQ=22=2516=3EQ AE --，∴PQ=2AQ=6.【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，证明AE ⊥BD 是本题的关键．26．（1）作图见解析，20DBC ∠=︒；（2）作图见解析，35BAC ∠=︒；（3）∠A =45°或90°或90°－2α或1452α︒-，或α＝45°时45°＜∠BAC ＜90°．【分析】（1）根据二分割线的定义，只要把∠ABC 分成90°角和20°角即可；（2）可以画出∠A=35°的三角形；（3）设BD 为△ABC 的二分割线，分以下两种情况．第一种情况：△BDC 是等腰三角形，△ABD 是直角三角形；第二种情况：△BDC 是直角三角形，△ABD 是等腰三角形分别利用直角三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可．【详解】解：（1）ABC ∆关于点B 的二分割线BD 如图4所示，20DBC ∠=︒；故答案为：20°；（2）如图所示：∠BAC=35°；（3）设BD 为△ABC 的二分割线，分以下两种情况．第一种情况：△BDC 是等腰三角形，△ABD 是直角三角形，易知∠C 和∠DBC 必为底角， ∴∠DBC ＝∠C ＝α．当∠A ＝90°时，△ABC 存在二分分割线；当∠ABD ＝90°时，△ABC 存在二分分割线，此时∠A ＝90°－2α；当∠ADB ＝90°时，△ABC 存在二分割线，此时α＝45°且45°＜∠A ＜90°；第二种情况：△BDC 是直角三角形，△ABD 是等腰三角形，当∠DBC ＝90°时，若BD ＝AD ，则△ABC 存在二分割线，此时1809014522A αα︒-︒-∠==︒-；当∠BDC ＝90°时，若BD ＝AD ，则△ABC 存在二分割线，此时∠A ＝45°，综上，∠A =45°或90°或90°－2α或1452α︒-，或α＝45°时，45°＜∠BAC ＜90°．【点睛】本题考查的是二分割线的理解与作图，属于新定义题型，主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质和三角形的内角和定理等知识，正确理解二分割线的定义、熟练掌握等腰三角形和直角三角形的性质是解答的关键．27．（1）3；（2）见解析．【分析】（1）根据勾股定理可得AC ，进而可得BC 与BD ，然后根据三角形的面积公式计算即可；（2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则根据余角的性质可得∠CBG =∠EBH ，由已知易得BE ∥AC ，于是∠E =∠EFC ，由于CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，则根据余角的性质得∠EFC =∠BCG ，于是可得∠E =∠BCG ，然后根据ASA 可证△BCG ≌△BEH ，可得BG =BH ，CG =EH ，从而△BGH 是等腰直角三角形，进一步即可证得结论．【详解】解：（1）在△ACD 中，∵90ACB ∠=︒，1CD =，5AD =∴222AC AD CD =-=，∵2BC AC =，∴BC=4，BD =3，∴1132322ABD S BD AC ∆=⋅=⨯⨯=；（2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则∠CBG +∠CBH =90°，∵BE BC ⊥，∴∠EBH +∠CBH =90°，∴∠CBG =∠EBH ，∵BE BC ⊥，90ACB ∠=︒，∴BE ∥AC ，∴∠E =∠EFC ，∵CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，∴∠EFC +∠FCG =90°，∠BCG +∠FCG =90°，∴∠EFC =∠BCG ，∴∠E =∠BCG ，在△BCG和△BEH中，∵∠CBG=∠EBH，BC=BE，∠BCG=∠E，∴△BCG≌△BEH（ASA），∴BG=BH，CG=EH，∴222GH BG BH BG=+=，∴2EG GH EH BG CG=+=+．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、余角的性质和勾股定理等知识，属于常考题型，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．28．（1）S=24(06)464(616)tt t<⎧⎨-+<<⎩（2）10,103⎛⎫⎪⎝⎭（3）存在，(6,6)或(6,1027)-，(6,272)【解析】【分析】（1）当P在AC段时，△BPD的底BD与高为固定值，求出此时面积；当P在BC段时，底边BD为固定值，用t表示出高，即可列出S与t的关系式；（2）当点B的对应点B′恰好落在AC边上时，设P（m，10），则PB=PB′=m，由勾股定理得m2=22+（6-m）2，即可求出此时P坐标；（3）存在，分别以BD，DP，BP为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出P坐标即可．【详解】解：（1）∵A，B的坐标分别是（6，0）、（0，10），∴OA=6，OB=10，当点P在线段AC上时，OD=2，BD=OB-OD=10-2=8，高为6，∴S=12×8×6=24；当点P在线段BC上时，BD=8，高为6+10-t=16-t，∴S=12×8×（16-t）=-4t+64；∴S与t之间的函数关系式为：240t6S4t64(6t16)<≤⎧=⎨-+<<⎩（）；（2）设P（m，10），则PB=PB′=m，如图1，。

八年级初二数学勾股定理知识点及练习题及解析

八年级初二数学勾股定理知识点及练习题及解析一、选择题1．在ABC 中，AB 边上的中线3,6,8CD AB BC AC ==+=，则ABC 的面积为（）A ．6B ．7C ．8D ．9 2．△ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC 的周长为（）A ．42B ．32C ．42或32D ．37或33 3．如图，在ABC 中，CE 平分ACB ∠，CF 平分ACD ∠，且//EF BC 交AC 于M ，若3CM =，则22CE CF +的值为( )A ．36B ．9C ．6D ．184．如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（）A ．200mB ．300mC ．400mD ．500m 5．已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长( )A ．4B ．16C 34D ．4346．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是( )A 236、、B 345C 347D 234 7．在△ABC 中，AB =10，BC =12，BC 边上的中线AD =8，则△ABC 边AB 上的高为（） A ．8 B ．9.6 C ．10D ．12 8．如图，BD 为ABCD 的对角线，45,DBC DE BC ︒∠=⊥于点E ，BF ⊥DC 于点F ，DE 、BF 相交于点H ，直线BF 交线段AD 的延长线于点G ，下列结论：①12CE BE = ；②A BHE ∠=∠；③AB=BH;④BHD BDG ∠=∠;⑤222BH BG AG +=；其中正确的结论有（）A ．①②③B ．②③⑤C ．①⑤D ．③④9．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD 是∠BAC 的平分线．若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC+PQ 的最小值是（）A ．245B ．5C ．6D ．810．小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O ，在数轴上找到表示数2的点A ，然后过点A 作AB ⊥OA ，使AB=3(如图)．以O 为圆心，OB 的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P ，则点P 所表示的数介于( )A ．1和2之间B ．2和3之间C ．3和4之间D ．4和5之间二、填空题11．如图，在矩形 ABCD 中，AB ＝10，BC ＝5，若点 M 、N 分别是线段 AC 、AB 上的两个动点，则 BM+MN 的最小值为_____________________．12．在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，以BC 为斜边作等腰直角BCD ∆，连接DA ，若22AB =42AC =DA 的长为______．13．如图是“赵爽弦图”，△ABH 、△BCG 、△CDF 和△DAE 是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形．如果AB ＝13，EF ＝7，那么AH 等于_____．14．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，BC=CD=10，AC=17，AD=9，则AB=_____.15．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AC 的垂直平分线交 BC 于 F ，交 AC 于 E ，交 BA 的延长线于 G ，若 EG ＝3，则 BF 的长是______．16．如图，正方体的底面边长分别为2cm 和3cm ，高为5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过四个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为_____cm ．17．已知a 、b 、c 是△ABC 三边的长，且满足关系式2222()0c a b a b --+-=，则△ABC 的形状为___________18．如图所示，四边形ABCD 是长方形，把△ACD 沿AC 折叠到△ACD′，AD′与BC 交于点E ，若AD ＝4，DC ＝3，求BE 的长．19．如图的实线部分是由Rt ABC ∆经过两次折叠得到的.首先将Rt ABC ∆沿高CH 折叠，使点B 落在斜边上的点B '处，再沿CM 折叠，使点A 落在CB '的延长线上的点A '处.若图中90ACB ∠=︒，15cm BC =，20cm AC =，则MB '的长为______.20．在Rt ABC 中，90A ∠=︒，其中一个锐角为60︒，23BC =，点P 在直线AC 上（不与A ，C 两点重合），当30ABP ∠=︒时，CP 的长为__________．三、解答题21．（1）计算：1312248233⎛⎫-+÷ ⎪ ⎪⎝；（2）已知a 、b 、c 满足2|23|32(30)0a b c +-+--=．判断以a 、b 、c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，说明此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．22．如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 点在边BC 上运动（不与B ，C 重合），点E 在边AB 的延长线上，点F 在边AC 的延长线上，AD DE DF ==．（1）若30AED ∠=︒，则ADB =∠______．（2）求证：BED CDF △≌△．（3）试说明点D 在BC 边上从点B 至点C 的运动过程中，BED 的周长l 是否发生变化？若不变，请求出l 的值，若变，请求出l 的取值范围．23．如图1，在等腰直角三角形ABC 中，动点D 在直线AB （点A 与点B 重合除外）上时，以CD 为一腰在CD 上方作等腰直角三角形ECD ，且90ECD ∠=︒，连接AE ．（1）判断AE 与BD 的数量关系和位置关系；并说明理由．（2）如图2，若4BD =，P ，Q 两点在直线AB 上且5EP EQ ==，试求PQ 的长．（3）在第（2）小题的条件下，当点D 在线段AB 的延长线（或反向延长线）上时，判断PQ 的长是否为定值．分别画出图形，若是请直接写出PQ 的长；若不是请简单说明理由．24．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，若点P 从点A 出发，以每秒2cm 的速度沿折线A ﹣C ﹣B ﹣A 运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）．（1）若点P 在AC 上，且满足PA ＝PB 时，求出此时t 的值；（2）若点P 恰好在∠BAC 的角平分线上，求t 的值；（3）在运动过程中，直接写出当t 为何值时，△BCP 为等腰三角形．25．如图，在四边形ABCD 中，=AB AD ，=BC DC ，=60A ∠︒，点E 为AD 边上一点，连接CE ，BD . CE 与BD 交于点F ，且CE ∥AB .（1）求证:CED ADB ∠=∠；（2）若=8AB ，=6CE . 求BC 的长 .26．在ABC ∆中，AB AC =，CD 是AB 边上的高，若10,45AB BC ==.（1）求CD 的长.（2）动点P 在边AB 上从点A 出发向点B 运动，速度为1个单位/秒；动点Q 在边AC 上从点A 出发向点C 运动，速度为v 个单位秒()v>1，设运动的时间为()0t t >，当点Q 到点C 时，两个点都停止运动.①若当2v =时，CP BQ =，求t 的值.②若在运动过程中存在某一时刻，使CP BQ =成立，求v 关于t 的函数表达式，并写出自变量t 的取值范围.27．如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，ABC ∆，ADE ∆，AFO ∆均为等边三角形，A 在y 轴正半轴上，点0()6,B -，点(6,0)C ，点D 在ABC ∆内部，点E 在ABC ∆的外部，32=AD ，30DOE ∠=︒，OF 与AB 交于点G ，连接DF ，DG ，DO ，OE .（1）求点A 的坐标；（2）判断DF 与OE 的数量关系，并说明理由；（3）直接写出ADG ∆的周长.28．已知：四边形ABCD 是菱形，AB ＝4，∠ABC ＝60°，有一足够大的含60°角的直角三角尺的60°角的顶点与菱形ABCD 的顶点A 重合，两边分别射线CB 、DC 相交于点E 、F ，且∠EAP ＝60°．（1）如图1，当点E 是线段CB 的中点时，请直接判断△AEF 的形状是．（2）如图2，当点E 是线段CB 上任意一点时（点E 不与B 、C 重合），求证：BE ＝CF ；（3）如图3，当点E 在线段CB 的延长线上，且∠EAB ＝15°时，求点F 到BC 的距离．29．菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，BD 是对角线，点E 、F 分别是边AB 、AD 上两个点，且满足AE ＝DF ，连接BF 与DE 相交于点G ．（1）如图1，求∠BGD 的度数；（2）如图2，作CH ⊥BG 于H 点，求证：2GH ＝GB +DG ；（3）在满足（2）的条件下，且点H 在菱形内部，若GB ＝6，CH ＝3ABCD 的面积．30．阅读下列材料，并解答其后的问题：我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书《数学九章》中，利用“三斜求积术”十分巧妙的解决了已知三角形三边求其面积的问题，这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的．我们也称这个公式为“海伦•秦九韶公式”，该公式是：设△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，△ABC的面积为S＝()()()()a b c a b c a c b b c a+++-+-+-．（1）（举例应用）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a＝4，b ＝5，c＝7，则△ABC的面积为；（2）（实际应用）有一块四边形的草地如图所示，现测得AB＝（26+42）m，BC＝5m，CD＝7m，AD＝46m，∠A＝60°，求该块草地的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】本题考查三角形的中线定义，根据条件先确定ABC为直角三角形，再根据勾股定理求得228AC BC=，最后根据12ABCAC BC∆=⋅求解即可.【详解】解：如图，在ABC中，AB边上的中线，∵CD=3，AB= 6，∴CD=3，AB= 6，∴CD= AD= DB ，12∠∠∴=，34∠=∠ ，∵1234180∠+∠+∠+∠=︒，∴1390∠+∠=︒，∴ABC 是直角三角形，∴22236AC BC AB +==，又∵8AC BC +=，∴22264AC AC BC BC +⋅+=，∴22264()643628AC BC AC BC ⋅=-+=-=，又∵12ABC AC BC ∆=⋅， ∴128722ABC S ∆=⨯=，故选B.【点睛】本题考查三角形中位线的应用，熟练运用三角形的中线定义以及综合分析、解答问题的能力，关键要懂得：在一个三角形中，如果获知一条边上的中线等于这一边的一半，那么就可考虑它是一个直角三角形，通过等腰三角形的性质和内角和定理来证明一个三是直角三角形.2．C解析：C【分析】存在2种情况，△ABC 是锐角三角形和钝角三角形时，高AD 分别在△ABC 的内部和外部【详解】情况一：如下图，△ABC 是锐角三角形∵AD 是高，∴AD ⊥BC∵AB=15，AD=12∴在Rt△ABD 中，BD=9∵AC=13，AD=12∴在Rt△ACD 中，DC=5∴△ABC 的周长为：15+12+9+5=42情况二：如下图，△ABC 是钝角三角形在Rt△ADC 中，AD=12，AC=13，∴DC=5在Rt△ABD 中，AD=12，AB=15，∴DB=9∴BC=4∴△ABC 的周长为：15+13+4=32故选：C【点睛】本题考查勾股定理，解题关键是多解，注意当几何题型题干未提供图形时，往往存在多解情况.3．A解析：A【分析】先根据角平分线的定义、角的和差可得90ECF ∠=︒，再根据平行线的性质、等量代换可得,ACE CEF ACF F ∠=∠∠=∠，然后根据等腰三角形的定义可得,EM CM FM CM ==，从而可得6EF =，最后在Rt CEF 中，利用勾股定理即可得．【详解】 CE 平分ACB ∠，CF 平分ACD ∠，,1122ACB ACD BCE ACE DCF ACF ∴∠∠=∠=∠=∠∠=， 111(90222)ACB AC E D ACB ACD CF ACE ACF ∠=∠+∴∠+∠=∠∠∠=+=︒， //EF BC ，,BCE CEF DCF F ∠=∴∠∠=∠，,ACE CEF ACF F ∴∠=∠∠=∠，3,3EM CM FM CM ∴====，6EF EM FM ∴=+=，在Rt CEF 中，由勾股定理得：2222636CE CF EF +===，故选：A ．【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的定义、勾股定理等知识点，熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键．4．D解析：D【分析】由于BC ∥AD ，那么有∠DAE=∠ACB ，由题意可知∠ABC=∠DEA=90°，BA=ED ，利用AAS 可证△ABC ≌△DEA ，于是AE=BC=300，再利用勾股定理可求AC ，即可求CE ，根据图可知从B 到E 的走法有两种，分别计算比较即可．【详解】解：如图所示，∵BC∥AD，∴∠DAE=∠ACB，又∵BC⊥AB，DE⊥AC，∴∠ABC=∠DEA=90°，又∵AB=DE=400m，∴△ABC≌△DEA，∴EA=BC =300m ，在Rt△ABC 中，22500AB BC m +=∴CE=AC -AE=200，从B 到E 有两种走法：①BA+AE=700m；②BC+CE=500m，∴最近的路程是500m ．故选D ．【点睛】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是证明△ABC ≌△DEA ，并能比较从B 到E 有两种走法． 5．D解析：D【解析】试题解析：当3和52235+34当52253-．故选D ．6．C解析：C【分析】利用勾股定理的逆定理依次计算各项后即可解答.【详解】选项A ，222(2)(3)(6)+≠，不能构成直角三角形；选项B ，222(3)(4)(5)+≠，不能构成直角三角形；选项C ，222(3)(4)(7)+=，能构成直角三角形；选项D ，222(2)(3)(4)+≠，不能构成直角三角形．故选C ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．7．B解析：B【分析】如图，作CE AB ⊥与E,利用勾股定理的逆定理证明AD BC ⊥,再利用面积法求出EC 即可.【详解】如图，作CE AB ⊥与E.AD 是ABC ∆的中线,BC =12,∴BD=6,10,8,6,AB AD BD ===∴ 222AB AD BD =+,90,ADB ∴∠=,AD BC ∴⊥11,22ABC S BC AD AB CE ∆== 1289.6.10CE ⨯∴== 故选B.【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理,三角形的面积等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,学会面积法求三角形的高.8．B解析：B【分析】根据直角三角形的意义和性质可以得到解答．【详解】解：由题意，90BHE HBE C HBE A C ∠+∠=∠+∠=︒∠=∠，∴A BHE C ∠=∠=∠，②正确；∵∠DBC=45°，DE ⊥BC ，∴∠EDB=∠DBC=45°，∴BE=DE∴Rt BEH Rt DEC ≅，∴BH=CD=AB ，③正确；∵AB CD BF CD ⊥，，∴AB ⊥CD ，∴222AB BG AG +=即 222BH BG AG +=，⑤正确，∵没有依据支持①④成立，∴②③⑤正确故选B ．【点睛】本题考查直角三角形的意义和性质，灵活应用有关知识求解是解题关键．9．A解析：A【分析】过C 作CM ⊥AB 于M ，交AD 于P ，过P 作PQ ⊥AC 于Q ，由角平分线的性质得出PQ=PM ，这时PC+PQ 有最小值，为CM 的长，然后利用勾股定理和等面积法求得CM 的长即可解答．【详解】过C 作CM ⊥AB 于M ，交AD 于P ，过P 作PQ ⊥AC 于Q ，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴PQ=PM ，则PC+PQ=PC+PM=CM ，即PC+PQ 有最小值，为CM 的长，∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴由勾股定理得：AB=10，又1122ABC S AB CM AC BC ==△， ∴6824105CM ⨯==， ∴PC+PQ 的最小值为245，故选：A ．【点睛】本题考查了角平分线的性质、最短路径问题、勾股定理、三角形等面积法求高，解答的关键是掌握线段和最短类问题的解决方法：一般是运用轴对称变换将直线同侧的点转化为异侧的点，从而把两条线段的位置关系转换，再根据两点之间线段最短或垂线段最短，使两条线段之和转化为一条直线来解决．10．C解析：C【分析】利用勾股定理求出AB的长，再根据无理数的估算即可求得答案.【详解】由作法过程可知，OA=2，AB=3，∵∠OAB=90°，∴OB=2222+=+=，2313OA AB∴P点所表示的数就是13，<<，∵91316<<，∴3134即点P所表示的数介于3和4之间，故选C.【点睛】本题考查了勾股定理和无理数的估算，熟练掌握勾股定理的内容以及无理数估算的方法是解题的关键.二、填空题11．8【解析】如图作点B关于AC的对称点B′，连接B′A交DC于点E，则BM+MN的最小值等于的最小值作交于，则为所求；设,,由，，h+5=8，即BM+MN的最小值是8.点睛：本题主要是利用轴对称求最短路线，题中应用了勾股定理与用不同方式表示三角形的面积从而求出某条边上的高，利用轴对称得出M点与N点的位置是解题的关键．12．6或2.【分析】由于已知没有图形，当Rt△ABC固定后，根据“以BC为斜边作等腰直角△BCD”可知分两种情况讨论：①当D点在BC上方时，如图1，把△ABD绕点D逆时针旋转90°得到△DCE，证明A、C、E三点共线，在等腰Rt△ADE中，利用勾股定理可求AD长；②当D点在BC下方时，如图2，把△BAD绕点D顺时针旋转90°得到△CED，证明过程类似于①求解．【详解】解：分两种情况讨论：①当D点在BC上方时，如图1所示，把△ABD绕点D逆时针旋转90°，得到△DCE，则∠ABD=∠ECD，2，AD=DE，且∠ADE=90°在四边形ACDB中，∠BAC+∠BDC=90°+90°=180°，∴∠ABD+∠ACD=360°-180°=180°，∴∠ACD+∠ECD=180°，∴A、C、E三点共线．∴222在等腰Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，即2AD2=（2）2，解得AD=6②当D 点在BC 下方时，如图2所示，把△BAD 绕点D 顺时针旋转90°得到△CED ，则CE=AB=22，∠BAD=∠CED ，AD=AE 且∠ADE=90°，所以∠EAD=∠AED=45°，∴∠BAD=90°+45°=135°，即∠CED=135°，∴∠CED+∠AED=180°，即A 、E 、C 三点共线．∴AE=AC-CE=42-22=22在等腰Rt △ADE 中，2AD 2=AE 2=8，解得AD=2．故答案为：6或2.【点睛】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理，解决这类等边（或共边）的两个三角形问题，一般是通过旋转的方式作辅助线，转化线段使得已知线段于一个特殊三角形中进行求解． 13．【分析】根据面积的差得出a+b 的值，再利用a-b=7，解得a ，b 的值代入即可．【详解】∵AB ＝13，EF ＝7，∴大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，∴四个直角三角形面积和为169﹣49＝120，设AE 为a ，DE 为b ，即141202ab ⨯=， ∴2ab ＝120，a 2+b 2＝169，∴（a +b ）2＝a 2+b 2+2ab ＝169+120＝289，∴a +b ＝17，∵a ﹣b ＝7，解得：a ＝12，b ＝5，∴AE ＝12，DE ＝5，∴AH ＝12﹣7＝5．故答案为：5．【点睛】此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得ab 的值． 14．21【分析】在AB 上截取AE=AD ，连接CE ，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，先证明△ADC ≌△AEC ，得出AE=AD=9，CE=CD=BC ＝10的长度，再设EF=BF=x ，在Rt △CFB 和Rt △CFA 中，由勾股定理求出x ，再根据AB=AE+EF+FB 求得AB 的长度．【详解】如图所示，在AB 上截取AE=AD ，连接CE ，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，∵AC 平分∠BAD ，∴∠DAC=∠EAC ．在△AEC 和△ADC 中，AE AD DAC EACAC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ADC ≌△AEC （SAS ），∴AE=AD=9，CE=CD=BC =10，又∵CF ⊥AB ，∴EF=BF ，设EF=BF=x ．∵在Rt △CFB 中，∠CFB=90°，∴CF 2=CB 2-BF 2=102-x 2，∵在Rt △CFA 中，∠CFA=90°，∴CF 2=AC 2-AF 2=172-（9+x ）2，即102-x 2=172-（9+x ）2，∴x=6，∴AB=AE+EF+FB=9+6+6=21，∴AB 的长为21．故答案是：21.【点睛】考查全等三角形的判定和性质、勾股定理和一元二次方程等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，再运用用方程的思想解决问题．15．4【分析】根据线段垂直平分线得出AE=EC，∠AEG=∠AEF=90°，求出∠B=∠C=∠G=30°，根据勾股定理和含30°角的直角三角形性质求出AE和EF，即可求出FG，再求出BF=FG即可【详解】∵AC的垂直平分线FG，∴AE=EC，∠AEG=∠AEF=90°，∵∠BAC=120°，∴∠G=∠BAC-∠AEG=120°-90°=30°，∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=12（180°-∠BAC）=30°，∴∠B=∠G，∴BF=FG，∵在Rt△AEG中，∠G=30°，EG=3，∴AG=2AE，即（2AE）2=AE2+32，∴即同理在Rt△CEF中，∠C=30°，CF=2EF，（2EF）2=EF2+2，∴EF=1（负值舍去），∴BF=GF=EF+CE=1+3=4，故答案为4．【点睛】本题考查了勾股定理，含30°角的直角三角形性质，等腰三角形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．16．【解析】【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【详解】展开图如图所示：由题意，在Rt △APQ 中，PD=10cm ，DQ=5cm ，∴蚂蚁爬行的最短路径长2222105PD QD +=+5cm ），故答案为：5【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．17．等腰直角三角形【解析】根据非负数的意义，由()22220c a b a b --+-=，可知222c a b =+，a=b ，可知此三角形是等腰直角三角形.故答案为：等腰直角三角形.点睛：此题主要考查了三角形形状的确定，根据非负数的性质，可分别得到关系式，然后结合勾股定理的逆定理知是直角三角形，然后由a-b=0得到等腰直角三角形，比较容易，关键是利用非负数的性质得到关系式. 18．78【解析】试题分析：根据矩形性质得AB=DC=6，BC=AD=8，AD ∥BC ，∠B=90°，再根据折叠性质得∠DAC=∠D′AC ，而∠DAC=∠ACB ，则∠D′AC=∠ACB ，所以AE=EC ，设BE=x ，则EC=4-x ，AE=4-x ，然后在Rt △ABE 中利用勾股定理可计算出BE 的长即可．试题解析：∵四边形ABCD 为矩形，∴AB=DC=3，BC=AD=4，AD∥BC，∠B=90°，∵△ACD 沿AC 折叠到△ACD′，AD′与BC 交于点E ，∴∠DAC=∠D′AC，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠D′AC=∠ACB，∴AE=EC，设BE=x ，则EC=4﹣x ，AE=4﹣x ，在Rt△ABE 中，∵AB 2+BE 2=AE 2，∴32+x 2=（4﹣x ）2，解得x=78，即BE 的长为78． 19．3【分析】根据题意利用折叠后图形全等，并利用等量替换和等腰三角形的性质进行综合分析求解.【详解】解：由题意可知','ACM A CM BCH B CH ≅≅,∵15cm BC =，20cm AC =，∴'15,'20,BC B C cm AC A C cm ====''20155A B cm =-=，∵90ACB ∠=︒，∴'A M AB ⊥(等量替换)，CH AB ⊥（三线合一），∴25,AB cm = 利用勾股定理假设MB '的长为m ，'257AM AM m ==-，则有222(257)5m m +-=，解得3m =，所以MB '的长为3.【点睛】本题考查几何的翻折问题，熟练掌握并综合利用等量替换和等腰三角形的性质以及勾股定理分析是解题的关键.20．23或2或4【分析】根据题意画出图形，分4种情况进行讨论，利用含30°角直角三角形与勾股定理解答．【详解】解：如图1：当∠C=60°时，∠ABC=30°，与∠ABP=30°矛盾；如图2：当∠C=60°时，∠ABC=30°，∵∠ABP=30°，∴∠CBP=60°，∴△PBC 是等边三角形， ∴23CP BC ==；如图3：当∠ABC=60°时，∠C=30°，∵∠ABP=30°，∴∠PBC=60°-30°=30°，∴PC=PB ， ∵23BC = ∴222213,(23)(3)32AB BC AC BC AB ===-=-=，在Rt △APB 中，根据勾股定理222AP AB BP +=,即222()AC PC AB PC -+=,即222(3)3)PC PC -+=，解得2PC =，如图4：当∠ABC=60°时，∠C=30°，∵∠ABP=30°，∴∠PBC=60°+30°=90°， ∴12BP PC = 在Rt △BCP 中，根据勾股定理222BP BC PC +=, 即2221()(23)2PC PC +=,解得PC=4（已舍去负值）．综上所述，CP 的长为232或4．故答案为：32或4．【点睛】本题考查含30°角直角三角形，等边三角形的性质和判定，勾股定理．理解直角三角形30°角所对边是斜边的一半，并能通过勾股定理去求另外一个直角边是解决此题的关键．三、解答题21．（1）423；（2）以a 、b 、c 为边能构成三角形，此三角形的形状是直角三角形，6【分析】（1）根据二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质求出即可；（2）先根据绝对值，偶次方、算术平方根的非负性求出a 、b 、c 的值，再根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再求出面积即可.【详解】解：（1）1312248233⎛÷ ⎝=2(63343)233÷=÷ ＝423；（2）以a 、b 、c 为边能构成三角形，此三角形的形状是直角三角形，理由是：∵a 、b 、c 满足2|a (c 0-=，∴a ﹣＝0，﹣b ＝0，c 0，∴a ＝，b ＝，c∵，，∴以a 、b 、c 为边能组成三角形，∵a ＝，b ＝，c∴a 2+b 2＝c 2，∴以a 、b 、c 为边能构成直角三角形，直角边是a 和b ，则此三角形的面积是12⨯. 【点睛】此题考查了计算能力，掌握二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质，绝对值，偶次方、算术平方根的非负性，勾股定理的逆定理是解题的关键.22．（1）90°；（2）证明见解析；（3）变化，24l +≤<．【分析】（1）由等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=60°，由等腰三角形的性质可求DAE=∠DEA=30°，由三角形内角和定理可求解；（2）根据等腰三角形的性质，可证得∠CDF=∠DEA 和∠EDB=∠DFA ，由此可利用“ASA”证明全等；（3）根据全等三角形的性质可得l =2+AD ，根据AD 的取值范围即可得出l 的取值范围．【详解】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠ABC=∠ACB=60°，∵AD=DE∴∠DAE=∠DEA=30°，∴∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=90°，故答案为：90°；（2）∵AD=DE=DF ，∴∠DAE=∠DEA ，∠DAF=∠DFA ，∵∠DAE+∠DAF=∠BAC=60°，∴∠DEA+∠DFA=60°，∵∠ABC=∠DEA+∠EDB=60°，∴∠EDB=∠DFA ，∵∠ACB=∠DFA+∠CDF=60°，∴∠CDF=∠DEA ，在△BDE 和△CFD 中∵CDF DEA DE DF EDB DFA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BDE ≌△CFD （ASA ）（3）∵△BDE ≌△CFD ，∴BE=CD ，∴l =BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD=2+AD ，当D 点在C 或B 点时，AD=AC=AB=2,此时B 、D 、E 三点在同一条直线上不构成三角形，2+AD=4；当D 点在BC 的中点时，∵AB=AC ，∴BD=112BC =，AD ==此时22l AD =+=综上可知24l +≤<．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．（1）掌握等腰三角形等边对等角是解决此问的关键；（2）中注意角之间的转换；（3）中注意临界点是否可取．23．（1）AE=BD 且AE ⊥BD ；（2）6；（3）PQ 为定值6，图形见解析【分析】（1）由“SAS”可证△ACE ≌△BCD ，可得AE=BD ，∠EAC=∠DBC=45°，可得AE ⊥BD ；（2）由等腰三角形的性质可得PA=AQ ，由勾股定理可求PA 的长，即可求PQ 的长；（3）分两种情况讨论，由“SAS”可证△ACE ≌△BCD ，可得AE=BD ，∠EAC=∠DBC ，可得AE ⊥BD ，由等腰三角形的性质可得PA=AQ ，由勾股定理可求PA 的长，即可求PQ 的长．【详解】解：（1）AE=BD ，AE ⊥BD ，理由如下：∵△ABC ，△ECD 都是等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，∴∠ACE=∠DCB ，且AC=BC ，CE=CD ，∴△ACE ≌△BCD （SAS ）∴AE=BD ，∠EAC=∠DBC=45°，∴∠EAC+∠CAB=90°，∴AE ⊥BD ；（2）∵PE=EQ ，AE ⊥BD ，∴PA=AQ ，∵EP=EQ=5，AE=BD=4，∴AQ=22=2516=3EQ AE --，∴PQ=2AQ=6；（3）如图3，若点D 在AB 的延长线上，∵△ABC ，△ECD 都是等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，∴∠ACE=∠DCB ，且AC=BC ，CE=CD ，∴△ACE ≌△BCD （SAS ）∴AE=BD ，∠CBD=∠CAE=135°，且∠CAB=45°，∴∠EAB=90°，∵PE=EQ ，AE ⊥BD ，∴PA=AQ ，∵EP=EQ=5，AE=BD=4，∴AQ=22=2516=3EQ AE --，∴PQ=2AQ=6；如图4，若点D 在BA 的延长线上，∵△ABC ，△ECD 都是等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，∴∠ACE=∠DCB ，且AC=BC ，CE=CD ，∴△ACE ≌△BCD （SAS ）∴AE=BD ，∠CBD=∠CAE=45°，且∠CAB=45°，∴∠EAB=90°，∵PE=EQ ，AE ⊥BD ，∴PA=AQ ，∵EP=EQ=5，AE=BD=4，∴AQ=22=2516=3EQ AE --，∴PQ=2AQ=6.【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，证明AE ⊥BD 是本题的关键．24．(1) 2516；（2）83t =或6；（3）当153,5,210t =或194时，△BCP 为等腰三角形．【分析】（1）设存在点P ，使得PA PB =，此时2PA PB t ==，42PC t =-，根据勾股定理列方程即可得到结论；（2）当点P 在CAB ∠的平分线上时，如图1，过点P 作PE AB ⊥于点E ，此时72BP t =-，24PE PC t ==-，541BE =-=，根据勾股定理列方程即可得到结论；（3）在Rt ABC 中，根据勾股定理得到4AC cm =，根据题意得：2AP t =，当P 在AC 上时，BCP 为等腰三角形，得到PC BC =，即423t -=，求得12t =，当P 在AB 上时，BCP 为等腰三角形，若CP PB =，点P 在BC 的垂直平分线上，如图2，过P 作PE BC ⊥于E ，求得194t =，若PB BC =，即2343t --=，解得5t =，PC BC =③，如图3，过C 作CF AB ⊥于F ，由射影定理得；2BC BF AB =⋅，列方程2234352t --=⨯，即可得到结论．【详解】解：在Rt ABC 中，5AB cm =，3BC cm =，4AC cm ∴=，（1）设存在点P ，使得PA PB =，此时2PA PB t ==，42PC t =-，在Rt PCB 中，222PC CB PB +=，即：222(42)3(2)t t -+=，解得：2516t =， ∴当2516t =时，PA PB =；（2）当点P 在BAC ∠的平分线上时，如图1，过点P 作PE AB ⊥于点E ，此时72BP t =-，24PE PC t ==-，541BE =-=，在Rt BEP 中，222PE BE BP +=，即：222(24)1(72)t t -+=-，解得：83t =，当6t =时，点P 与A 重合，也符合条件，∴当83t =或6时，P 在ABC ∆的角平分线上；（3）根据题意得：2AP t =，当P 在AC 上时，BCP 为等腰三角形，PC BC ∴=，即423t -=，12t ∴=，当P 在AB 上时，BCP 为等腰三角形，CP PB =①，点P 在BC 的垂直平分线上，如图2，过P 作PE BC ⊥于E ，1322BE BC ∴==， 12PB AB ∴=，即52342t --=，解得：194t =，PB BC =②，即2343t --=，解得：5t =，PC BC =③，如图3，过C 作CF AB ⊥于F ，12BF BP ∴=， 90ACB ∠=︒，由射影定理得；2BC BF AB =⋅，即2234352t --=⨯，解得：5310t =， ∴当15319,5,2104t =或时，BCP 为等腰三角形．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的面积，难度适中．利用分类讨论的思想是解（3）题的关键．25．（1）见解析；（2）27BC =.【分析】（1）由等边三角形的判定定理可得△ABD 为等边三角形，又由平行进行角度间的转化可得出结论.（2）连接AC 交BD 于点O ，由题意可证AC 垂直平分BD ，△ABD 是等边三角形，可得∠BAO=∠DAO=30°，AB=AD=BD=8，BO=OD=4，通过证明△EDF 是等边三角形，可得DE=EF=DF=2，由勾股定理可求OC ，BC 的长．【详解】（1）证明：∵AB AD =，=60A ∠︒，∴△ABD 是等边三角形.∴60ADB ∠=︒.∵CE ∥AB ，∴60CED A ∠=∠=︒.∴CED ADB ∠=∠.（2）解：连接AC 交BD 于点O ，∵AB AD =，BC DC =，∴AC 垂直平分BD .∴30BAO DAO ∠=∠=︒.∵△ABD 是等边三角形，8AB =∴8AD BD AB ===，∴4BO OD ==.∵CE ∥AB ，∴ACE BAO ∠=∠.∴6AE CE ==, 2DE AD AE =-=.∵60CED ADB ∠=∠=︒.∴60EFD ∠=︒.∴△EDF 是等边三角形.∴2EF DF DE ===,∴4CF CE EF =-=,2OF OD DF =-=.在Rt △COF 中， ∴2223OC CF OF =-=.在Rt △BOC 中， ∴22224(23)27BC BO OC =+=+=【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．26．（1）CD=8；（2）t=4；（3）12-=tvt(26t≤<)【分析】（1）作AE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得BE=12BC，然后利用勾股定理求出AE，再用等面积法可求出CD的长；（2）①过B作BF⊥AC于F，易得BF=CD，分别讨论Q点在AF和FC之间时，根据△BQF≌△CPD，得到PD=QF，建立方程即可求出t的值；（3）同（2）建立等式关系即可得出关系式，再根据Q在FC之间求出t的取值范围即可.【详解】解：（1）如图，作AE⊥BC于E，∵AB=AC，∴BE=12BC=25在Rt△ABE中，()2222AE=AB BE=1025=45--∵△ABC的面积=11BC AE=AB CD 22⋅⋅∴BC AE4545 CD===8AB⋅⨯（2）过B作BQ⊥AC，当Q在AF之间时，如图所示，∵△ABC的面积=11AC BF=AB CD22⋅⋅，AB=AC∴BF=CD在Rt △CPD 和Rt △BQF 中∵CP=BQ ，CD=BF ，∴Rt △CPD ≌Rt △BQF （HL ）∴PD=QF在Rt △ACD 中，CD=8，AC=AB=10 ∴22AD=AC CD =6-同理可得AF=6∴PD=AD=AP=6-t ，QF=AF-AQ=6-2t由PD=QF 得6-t=6-2t ，解得t=0，∵t ＞0，∴此种情况不符合题意，舍去；当Q 点在FC 之间时，如图所示，此时PD=6-t ，QF=2t-6由PD=QF 得6-t=2t-6，解得t=4，综上得t 的值为4.（3）同（2）可知v ＞1时，Q 在AF 之间不存在CP=BQ ，Q 在FC 之间存在CP=BQ ，Q 在F 点时，显然CP ≠BQ ，∵运动时间为t ，则AP=t ，AQ=vt ，∴PD=6-t ，QF=vt-6，由PD=QF 得6-t=vt-6，整理得12-=t v t， ∵Q 在FC 之间，即AF ＜AQ ≤AC∴610<≤vt ，代入12-=t v t得 61210<-≤t ，解得26t ≤<所以答案为12-=t v t (26t ≤<) 【点睛】本题考查三角形中的动点问题，熟练掌握勾股定理求出等腰三角形的高，利用全等三角形对应边相等建立方程是解题的关键.27．（1）(0，；（2）DF OE =；（3）9+【分析】（1）由等边三角形的性质得出6OB =，12AB AC BC ===，由勾股定理得出OA ==A 的坐标；（2）由等边三角形的性质得出AD AE =，AF AO =，60FAO DAE ∠=∠=︒，证出FAD OAE ∠=∠，由SAS 证明FAD OAE ∆≅∆，即可得出DF OE =；（3）证出90AGO ∠=︒，求出9AG =，由全等三角形的性质得出AOE AFD ∠=∠，证出6090FDO AFD AOD ∠=∠+︒+∠=︒，由等边三角形的性质得12DG OF ==即可得出答案．【详解】解：（1）ABC ∆是等边三角形，点0()6,B -，点(6,0)C ，6OB ∴=，12AB AC BC ===，OA === ∴点A 的坐标为(0，；（2）DF OE =；理由如下：ADE ∆，AFO ∆均为等边三角形，AD AE ∴=，AF AO =，60FAO DAE ∠=∠=︒，FAD OAE ∴∠=∠，在FAD ∆和OAE ∆中，AF AO FAD OAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()FAD OAE SAS ∴∆≅∆，DF OE ∴=；（3）60AOF ∠=︒，30FOB ∴∠=︒，60ABO ∠=︒，90AGO ∴∠=︒，AFO ∆是等边三角形，AO =·sin 609AG OA ∴=︒==， FAD OAE ∆≅∆，AOE AFD ∴∠=∠，30DOE AOD AOE ∠=︒=∠+∠，30AOD AFD ∴∠+∠=︒，FDO AFD FAO AOD ∠=∠+∠+∠，60603090FDO AFD AOD ∴∠=∠+︒+∠=︒+︒=︒，AG OF ⊥，AOF ∆为等边三角形，G ∴为斜边OF 的中点， 11633322DG OF ∴==⨯=， ADG ∴∆的周长93233AG AD DG =++=++．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、勾股定理、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．28．（1）△AEF 是等边三角形，理由见解析；（2）见解析；（3）点F 到BC 的距离为3﹣．【解析】【分析】（1）连接AC ，证明△ABC 是等边三角形，得出AC ＝AB ，再证明△BAE ≌△DAF ，得出AE ＝AF ，即可得出结论；（2）连接AC ，同（1）得：△ABC 是等边三角形，得出∠BAC ＝∠ACB ＝60°，AB ＝AC ，再证明△BAE ≌△CAF ，即可得出结论；（3）同（1）得：△ABC 和△ACD 是等边三角形，得出AB ＝AC ，∠BAC ＝∠ACB ＝∠ACD ＝60°，证明△BAE ≌△CAF ，得出BE ＝CF ，AE ＝AF ，证出△AEF 是等边三角形，得出∠AEF ＝60°，证出∠AEB ＝45°，得出∠CEF ＝∠AEF ﹣∠AEB ＝15°，作FH ⊥BC 于H ，在△CEF 内部作∠EFG ＝∠CEF ＝15°，则GE ＝GF ，∠FGH ＝30°，由直角三角形的性质得出FG ＝2FH ，GH ＝FH ，CF ＝2CH ，FH ＝CH ，设CH ＝x ，则BE ＝CF ＝2x ，FH ＝x ，GE ＝GF ＝2FH ＝2x ，GH ＝FH ＝3x ，得出EH ＝4+x ＝2x +3x ，解得：x ＝﹣1，求出FH ＝x ＝3﹣即可．【详解】（1）解：△AEF 是等边三角形，理由如下：连接AC ，如图1所示：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝AD ，∠B ＝∠D ，∵∠ABC ＝60°，∴∠BAD ＝120°，△ABC 是等边三角形，∴AC ＝AB ，∵点E 是线段CB 的中点，∴AE ⊥BC ，∴∠BAE ＝30°，∵∠EAF ＝60°，∴∠DAF ＝120°﹣30°﹣60°＝30°＝∠BAE ，在△BAE 和△DAF 中，，∴△BAE≌△DAF（ASA），∴AE＝AF，又∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形；故答案为：等边三角形；（2）证明：连接AC，如图2所示：同（1）得：△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，∵∠BCD＝∠BAD＝120°，∴∠ACF＝60°＝∠B，在△BAE和△CAF中，，∴△BAE≌△CAF（ASA），∴BE＝CF；（3）解：同（1）得：△ABC和△ACD是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠ACD＝60°，∴∠ACF＝120°，∵∠ABC＝60°，∴∠ABE＝120°＝∠ACF，∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，在△BAE和△CAF中，，∴△BAE≌△CAF（ASA），∴BE＝CF，AE＝AF，∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF＝60°，∵∠EAB＝15°，∠ABC＝∠AEB+∠EAB＝60°，∴∠AEB＝45°，∴∠CEF＝∠AEF﹣∠AEB＝15°，作FH⊥BC于H，在△CEF内部作∠EFG＝∠CEF＝15°，如图3所示：。

八年级初二数学提高题专题复习勾股定理练习题及答案

一、选择题1．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（）A ．0.8米B ．2米C ．2.2米D ．2.7米2．如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =60°，BC =5,AC =53，CB 的反向延长线上有一动点D ，以AD 为边在右侧作等边三角形，连CE ，CE 最短长为（）A ．5B ．53C ．53D ．5343．棱长分别为86cm cm ，的两个正方体如图放置，点A ，B ，E 在同一直线上，顶点G 在棱BC 上，点P 是棱11E F 的中点.一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A 爬到点P ，它爬行的最短距离是( )A ．(3510)cmB ．513cmC 277cmD ．583)cm4．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边6cm AC =，8cm BC =．现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm5．我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a 、b ，那么2()a b + 的值为（）.A ．49B ．25C ．13D ．16．如图，在数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值为（）A ．15--B ．15-C ．5-D ．15-+7．如图，已知AB AC =，则数轴上C 点所表示的数为( )A ．3-B ．5-C ．13-D ．15-8．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD 是∠BAC 的平分线．若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC+PQ 的最小值是（）A ．245B ．5C ．6D ．89．如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点．已知90ACB ∠=︒，4BE =，7AD =，则AB 的长为（）A ．10B ．53C ．213D ．215 10．下列条件中，不能．．判定ABC 为直角三角形的是（） A ．::5:12:13a b c =B ．A BC ∠+∠=∠ C ．::2:3:5A B C ∠∠∠=D ．6a =，12b =，10c =二、填空题11．如图，点E 在DBC △边DB 上，点A 在DBC △内部，∠DAE ＝∠BAC ＝90°，AD ＝AE ，AB ＝AC ，给出下列结论，其中正确的是_____（填序号）①BD ＝CE ；②∠DCB ＝∠ABD ＝45°；③BD ⊥CE ；④BE 2＝2（AD 2+AB 2）．12．如图，在ABC 中，D 是BC 边中点，106AB AC ==，，4=AD ，则BC 的长是_____________．13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝7.5cm ，AC ＝4.5cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以2cm/s 的速度移动，设运动的时间为t 秒，当△ABP 为等腰三角形时，t 的取值为_____．14．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，BC=CD=10，AC=17，AD=9，则AB=_____.15．如图，△ABC 中，∠ABC ＝45°，∠BCA ＝30°，点D 在BC 上，点E 在△ABC 外，且AD ＝AE ＝CE ，AD ⊥AE ，则AB BD的值为____________．16．Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，以 AC 为一边．在△ABC 外部作等腰直角三角形ACD ，则线段 BD 的长为_____．17．如图，在等边△ABC 中，AB ＝6，AN ＝2，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，则BM +MN 的最小值是_____．18．在Rt ABC 中，90A ∠=︒，其中一个锐角为60︒，23BC =P 在直线AC 上（不与A ，C 两点重合），当30ABP ∠=︒时，CP 的长为__________．19．在△ABC 中，∠A=30°，∠B=90°，AC=8，点 D 在边 AB ，且3，点 P 是△ABC 边上的一个动点，若 AP=2PD 时，则 PD 的长是____________．20．已知,在△ABC 中,BC=3,∠A=22.5°,将△ABC 翻折使得点B 与点A 重合,折痕与边AC 交于点P ,如果AP=4,那么AC 的长为_______三、解答题21．（1）计算：1312248233⎛÷ ⎝ （2）已知a 、b 、c 满足2|2332(30)0a b c -+-=．判断以a 、b 、c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，说明此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．22．如图，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，其中AB ＝AC ，AD ＝AE ，且∠BAC ＝∠DAE ．（1）如图①，连接BE 、CD ，求证：BE ＝CD ；（2）如图②，连接BE 、CD ，若∠BAC ＝∠DAE ＝60°，CD ⊥AE ，AD ＝3，CD ＝4，求BD 的长；（3）如图③，若∠BAC ＝∠DAE ＝90°，且C 点恰好落在DE 上，试探究CD 2、CE 2和BC 2之间的数量关系，并加以说明．23．在等腰△ABC 与等腰△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，且点D 、E 、C 三点在同一条直线上，连接BD ．（1）如图1，求证：△ADB ≌△AEC（2）如图2，当∠BAC ＝∠DAE ＝90°时，试猜想线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，当∠BAC ＝∠DAE ＝120°时，请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系式为：（不写证明过程）24．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 是BC 上一动点、连接AD ，过点A 作AE AD ⊥，并且始终保持AE AD =，连接CE ，（1）求证：ABD ACE ≅；（2）若AF 平分DAE ∠交BC 于F ，①探究线段BD ，DF ，FC 之间的数量关系，并证明；②若3BD =，4CF =，求AD 的长，25．已知ABC ∆中，AB AC =.（1）如图1，在ADE ∆中，AD AE =，连接BD 、CE ，若DAE BAC ∠=∠，求证：BD CE =（2）如图2，在ADE ∆中，AD AE =，连接BE 、CE ，若60DAE BAC ∠=∠=，CE AD ⊥于点F ，4AE =，5EC =，求BE 的长；（3）如图3，在BCD ∆中，45CBD CDB ∠=∠=，连接AD ，若45CAB ∠=，求AD AB的值.26．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，把△ABC 沿直线DE 折叠，使△ADE 与△BDE 重合．(1)若∠A ＝35°，则∠CBD 的度数为________；(2)若AC ＝8，BC ＝6，求AD 的长；(3)当AB ＝m(m>0)，△ABC 的面积为m ＋1时，求△BCD 的周长．(用含m 的代数式表示)27．如图，△ABC 中，90BAC ∠=︒，AB=AC ，P 是线段BC 上一点,且045BAP ︒<∠<︒.作点B 关于直线AP 的对称点D, 连结BD ，CD ，AD ．（1）补全图形.（2）设∠BAP 的大小为α.求∠ADC 的大小(用含α的代数式表示).（3）延长CD 与AP 交于点E,直接用等式表示线段BD 与DE 之间的数量关系.28．如图，在四边形ABCD 中，=AB AD ，=BC DC ，=60A ∠︒，点E 为AD 边上一点，连接CE ，BD . CE 与BD 交于点F ，且CE ∥AB .（1）求证:CED ADB ∠=∠；（2）若=8AB ，=6CE . 求BC 的长 .29．如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，ABC ∆，ADE ∆，AFO ∆均为等边三角形，A 在y 轴正半轴上，点0()6,B -，点(6,0)C ，点D 在ABC ∆内部，点E 在ABC ∆的外部，32=AD ，30DOE ∠=︒，OF 与AB 交于点G ，连接DF ，DG ，DO ，OE .（1）求点A 的坐标；（2）判断DF 与OE 的数量关系，并说明理由；（3）直接写出ADG ∆的周长.30．已知，矩形ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝8cm ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ，垂足为O ．（1）如图1，连接AF 、CE ．求证：四边形AFCE 为菱形．（2）如图1，求AF 的长．（3）如图2，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，沿△AFB 和△CDE 各边匀速运动一周．即点P 自A →F →B →A 停止，点Q 自C →D →E →C 停止．在运动过程中，点P 的速度为每秒1cm ，设运动时间为t 秒．①问在运动的过程中，以A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t 和点Q 的速度；若不可能，请说明理由．②若点Q 的速度为每秒0.8cm ，当A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】先根据勾股定理求出梯子的长，进而根据勾股定理可得出小巷的宽度．【详解】解：如图，由题意可得：AD2=0.72+2.42=6.25，在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，BC=1.5米，BC2+AB2=AC2，AD=AC，∴AB2+1.52=6.25，∴AB=±2，∵AB＞0，∴AB=2米，∴小巷的宽度为：0.7+2=2.7（米）．故选：D.【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．2．C解析：C【分析】在CB的反向延长线上取一点B’，使得BC=B’C，连接AB’，易证△AB’D≌△ABE，可得∠ABE=∠B’=60°，因此点E的轨迹是一条直线，过点C作CH⊥BE，则点H即为使得BE最小时的E点的位置，然后根据直角三角形的性质和勾股定理即可得出答案．【详解】解：在CB的反向延长线上取一点B’，使得BC=B’C，连接AB’，∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，∴△AB’B是等边三角形，∴∠B’=∠B’AB=60°，AB’=AB，∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE=60°，AD=AE，∴∠B’AD+∠DAB=∠DAB+∠BAE，∴∠B’AD=∠BAE，∴△AB’D≌△ABE（SAS），∴∠ABE=∠B’=60°，∴点E在直线BE上运动，过点C作CH⊥BE于点H，则点H即为使得BE最小时的E点的位置，∠CBH=180°-∠ABC-∠ABE=60°，∴∠BCH=30°，∴BH=12BC=52，∴CH=22BC BH-=53．即BE的最小值是53．故选C．【点睛】本题是一道动点问题，综合考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质和勾股定理等知识，将△ACB构造成等边三角形，通过全等证出∠ABC 是定值，即点E的运动轨迹是直线是解决此题的关键．3．C解析：C【分析】当E1F1在直线EE1上时，，得到AE=14，PE=9，由勾股定理求得AP的长；当E1F1在直线B2E1上时，两直角边分别为17和6，再利用勾股定理求AP的长,两者进行比较即可确定答案【详解】①当展开方法如图1时，AE=8+6=14cm，PE=6+3=9cm，由勾股定理得2222149277AP AE PE cm=+=+=②当展开方法如图2时，AP1=8+6+3=17cm，PP1=6cm，由勾股定理得222211176325AP AP PP cm =+=+= ∵277<325∴蚂蚁爬行的最短距离是277cm,【点睛】此题考察正方体的展开图及最短路径，注意将正方体沿着不同棱线剪开时得到不同的平面图形，路径结果是不同的4．B解析：B【分析】根据翻折的性质可知：AC ＝AE ＝6，CD ＝DE ，设CD ＝DE ＝x ，在Rt △DEB 中利用勾股定理解决．【详解】解：在Rt △ABC 中，∵AC ＝6，BC ＝8，∴AB 22AC BC +2268+＝10，△ADE 是由△ACD 翻折，∴AC ＝AE ＝6，EB ＝AB−AE ＝10−6＝4，设CD ＝DE ＝x ，在Rt △DEB 中，∵222DE EB DB +=，∴()22248x x +=-，∴x ＝3，∴CD ＝3．故答案为：B ．【点睛】本题考查翻折的性质、勾股定理，利用翻折不变性是解决问题的关键，学会转化的思想去思考问题．5．A解析：A【分析】根据正方形的面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：大正方形的面积即直角三角形斜边的平方25，也就是两条直角边的平方和是25，四个直角三角形的面积和是大正方形的面积减去小正方形的面积即2ab=12，据此即可得结果.【详解】根据题意，结合勾股定理a2+b2=25，四个三角形的面积=4×12ab=25-1=24，∴2ab=24，联立解得：（a+b）2=25+24=49．故选A.6．A解析：A【分析】首先根据勾股定理得出圆弧的半径,然后得出点A的坐标.【详解】∴由图可知：点A所表示的数为: 1-故选：A【点睛】本题主要考查的就是数轴上点所表示的数,属于基础题型.解决这个问题的关键就是求出斜边的长度.在数轴上两点之间的距离是指两点所表示的数的差的绝对值.7．D解析：D【分析】根据勾股定理求出AB的长，即为AC的长，再根据数轴上的点的表示解答.【详解】由勾股定理得，AB==∴AC AB==∵点A表示的数是1∴点C表示的数是1-故选D.【点睛】本题考查了勾股定理、实数与数轴，熟记定理并求出AB 的长是解题的关键.8．A解析：A【分析】过C 作CM ⊥AB 于M ，交AD 于P ，过P 作PQ ⊥AC 于Q ，由角平分线的性质得出PQ=PM ，这时PC+PQ 有最小值，为CM 的长，然后利用勾股定理和等面积法求得CM 的长即可解答．【详解】过C 作CM ⊥AB 于M ，交AD 于P ，过P 作PQ ⊥AC 于Q ，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴PQ=PM ，则PC+PQ=PC+PM=CM ，即PC+PQ 有最小值，为CM 的长，∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴由勾股定理得：AB=10，又1122ABC S AB CM AC BC ==△， ∴6824105CM ⨯==， ∴PC+PQ 的最小值为245，故选：A ．【点睛】本题考查了角平分线的性质、最短路径问题、勾股定理、三角形等面积法求高，解答的关键是掌握线段和最短类问题的解决方法：一般是运用轴对称变换将直线同侧的点转化为异侧的点，从而把两条线段的位置关系转换，再根据两点之间线段最短或垂线段最短，使两条线段之和转化为一条直线来解决．9．C解析：C【分析】设EC=x ，DC=y ，则直角△BCE 中，x 2+4y 2=BE 2=16，在直角△ADC 中，4x 2+y 2=AD 2=49，由方程组可求得x 2+y 2，在直角△ABC 中，2244ABx y【详解】解：设EC=x ，DC=y ，∠ACB=90°，∵D 、E 分别是BC 、AC 的中点，∴AC=2EC=2x ，BC=2DC=2y ，∴在直角△BCE 中，CE 2+BC 2=x 2+4y 2=BE 2=16在直角△ADC 中，AC 2+CD 2=4x 2+y 2=AD 2=49，∴2255164965x y ，即2213x y +=，在直角△ABC 中，2244413213ABx y ．故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理的灵活运用，考查了中点的定义，本题中根据直角△BCE 和直角△ADC 求得22x y +的值是解题的关键．10．D解析：D【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90︒即可．【详解】解：A 、22251213+=，ABC ∆∴是直角三角形，故能判定ABC ∆是直角三角形；B 、A BC ∠+∠=∠，90C ∴∠=︒，故能判定ABC ∆是直角三角形； C 、::2:3:5A B C ∠∠∠=，518090235C ∴∠=⨯︒=︒++，故能判定ABC ∆是直角三角形；D 、22261012+≠，ABC ∆∴不是直角三角形，故不能判定ABC ∆是直角三角形；故选：D ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．二、填空题11．①③【分析】①由已知条件证明DAB ≌EAC 即可；②由①可得∠ABD=∠ACE<45°，∠DCB>45°；③由∠ECB+∠EBC=∠ABD+∠ECB+∠ABC=∠ACE+∠ECB+∠ABC =45°+45°=90°可判断③； ④由BE 2＝BC 2－EC 2＝2AB 2－（CD 2﹣DE 2）＝2AB 2－CD 2+2AD 2＝2（AD 2+AB 2）－CD 2可判断④．【详解】解：∵∠DAE ＝∠BAC ＝90°，∴∠DAB ＝∠EAC ，∵AD ＝AE ，AB ＝AC ，∴∠AED=∠ADE=∠ABC=∠ACB=45°， ∵在DAB 和EAC 中，AD AE DAB EAC AB AC ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝， ∴DAB ≌EAC ，∴BD ＝CE ，∠ABD ＝∠ECA ，故①正确；由①可得∠ABD=∠ACE<45°，∠DCB>45°故②错误；∵∠ECB+∠EBC=∠ABD+∠ECB+∠ABC=∠ACE+∠ECB+∠ABC =45°+45°=90°，∴∠CEB ＝90°，即CE ⊥BD ，故③正确；∴BE 2＝BC 2－EC 2＝2AB 2－（CD 2﹣DE 2）＝2AB 2－CD 2+2AD 2＝2（AD 2+AB 2）－CD 2． ∴BE 2＝2（AD 2+AB 2）－CD 2，故④错误．故答案为：①③．【点睛】本题主要考查全等三角形判定与性质以及勾股定理的应用，熟记全等三角形的判定与性质定理以及勾股定理公式是解题关键．12．413【分析】延长AD 至点E ，使得DE ＝AD ＝4，结合D 是中点证得△ADC ≌△EDB ，进而利用勾股定理逆定理可证得∠E ＝90°，再利用勾股定理求得BD 长进而转化为BC 长即可．【详解】解：如图，延长AD 至点E ，使得DE ＝AD ＝4，连接BE ，∵D 是BC 边中点，∴BD ＝CD ，又∵DE ＝AD ，∠ADC ＝∠EDB ， ∴△ADC ≌△EDB （SAS ）， ∴BE ＝AC ＝6，又∵AB ＝10，∴AE 2＋BE 2＝AB 2，∴∠E ＝90°，∴在Rt △BED 中，222264213BD BE DE =++=，∴BC＝2BD＝413，故答案为：413．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、勾股定理及其逆定理，正确作出辅助线是解决本题的关键．13．75或6或9 4【分析】当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP 时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．【详解】在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝7.52﹣4.52＝36，∴BC＝6（cm）；①当AB＝BP＝7.5cm时，如图1，t＝7.52＝3.75（秒）；②当AB＝AP＝7.5cm时，如图2，BP＝2BC＝12cm，t＝6（秒）；③当BP＝AP时，如图3，AP＝BP＝2tcm，CP＝（4.5﹣2t）cm，AC＝4.5cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，所以4t2＝4.52+（4.5﹣2t）2，解得：t＝94，综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝3.75或t＝6或t＝94．故答案为：3.75或6或94．【点睛】此题是等腰三角形与动点问题，考查等腰三角形的性质，勾股定理，解题中应根据每两条边相等分情况来解答，不要漏解.14．21【分析】在AB上截取AE=AD，连接CE，过点C作CF⊥AB于点F，先证明△ADC≌△AEC，得出AE=AD=9，CE=CD=BC＝10的长度，再设EF=BF=x，在Rt△CFB和Rt△CFA中，由勾股定理求出x，再根据AB=AE+EF+FB求得AB的长度．【详解】如图所示，在AB 上截取AE=AD ，连接CE ，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，∵AC 平分∠BAD ，∴∠DAC=∠EAC ．在△AEC 和△ADC 中，AE AD DAC EACAC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ADC ≌△AEC （SAS ），∴AE=AD=9，CE=CD=BC =10，又∵CF ⊥AB ，∴EF=BF ，设EF=BF=x ．∵在Rt △CFB 中，∠CFB=90°，∴CF 2=CB 2-BF 2=102-x 2，∵在Rt △CFA 中，∠CFA=90°，∴CF 2=AC 2-AF 2=172-（9+x ）2，即102-x 2=172-（9+x ）2，∴x=6，∴AB=AE+EF+FB=9+6+6=21，∴AB 的长为21．故答案是：21.【点睛】考查全等三角形的判定和性质、勾股定理和一元二次方程等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，再运用用方程的思想解决问题．1562+【解析】【分析】过A 点作BC 的垂线，E 点作AC 的垂线，构造全等三角形，利用对应角相等计算得出∠DAM=15°，在AM 上截取AG=DG ，则∠DGM=30°，设DM=a,通过勾股定理可得到DG=AG=2a ，332)a ，31)a ，231)a ,代入计算即可.【详解】过A 点作AM ⊥BC 于M 点，过E 点EN ⊥AC 于N 点.∵∠BCA＝30°，AE=EC∴AM=12AC，AN=12AC∴AM=AN又∵AD=AE∴R t∆ADM≅ R t∆AEN(HL)∴∠DAM=∠EAN又∵∠MAC=60°，AD⊥AE∴∠DAM=∠EAN=15°在AM上截取AG=DG，则∠DGM=30°设DM=a,则 DG=AG=2a，根据勾股定理得：GM=3a,∵∠ABC＝45°∴AM=BM=(32)a+∴BD=(31)a+，AB=2(32)a+,∴()()62262231aABBD a++==+故答案为：62+【点睛】本题主要考查等于三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，关键是能根据已知条件构建全等三角形及构建等腰三角形将15°角转化为30°角，本题有较大难度.16．4或2510【分析】分三种情况讨论：①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC；②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD；③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC．分别画图，并求出BD．【详解】①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC，如图1．∵∠DAC=90°，且AD=AC，∴BD=BA+AD=2+2=4；②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD，如图2．连接BD，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于E．∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACD=90°，∴∠DCE=45°．又∵DE⊥CE，∴∠DEC=90°，∴∠CDE=45°，∴CE=DE=2222⨯=．在Rt△BAC中，BC2222=+=22，∴BD22222222BE DE（）（）=+=++= 25；③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC，如图3．∵∠ADC=90°，AD=DC，且AC=2，∴AD=DC=AC sin45°=2222⨯=．又∵△ABC、△ADC是等腰直角三角形，∴∠ACB=∠ACD=45°，∴∠BCD=90°．又∵在Rt△ABC中，BC2222=+=22，∴BD222222210BC CD=+=+=（）（）．故BD的长等于4或510．故答案为4或510．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识．解题的关键是分情况考虑问题，177【解析】【分析】通过作辅助线转化BM，MN的值，从而找出其最小值求解．【详解】解：连接CN，与AD交于点M．则CN就是BM+MN的最小值．取BN中点E，连接DE，如图所示：∵等边△ABC的边长为6，AN＝2，∴BN＝AC﹣AN＝6﹣2＝4，∴BE＝EN＝AN＝2，又∵AD是BC边上的中线，∴DE是△BCN的中位线，∴CN＝2DE，CN∥DE，又∵N为AE的中点，∴M为AD的中点，∴MN是△ADE的中位线，∴DE＝2MN，∴CN＝2DE＝4MN，∴CM＝34 CN．在直角△CDM中，CD＝12BC＝3，DM＝12AD＝332，∴CM2237 2CD MD+=∴CN＝43727 32=．∵BM+MN＝CN，∴BM+MN的最小值为7．故答案是：7【点睛】考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．18．232或4【分析】根据题意画出图形，分4种情况进行讨论，利用含30°角直角三角形与勾股定理解答．【详解】解：如图1：当∠C=60°时，∠ABC=30°，与∠ABP=30°矛盾；如图2：当∠C=60°时，∠ABC=30°，∵∠ABP=30°，∴∠CBP=60°，∴△PBC 是等边三角形， ∴23CP BC ==；如图3：当∠ABC=60°时，∠C=30°，∵∠ABP=30°，∴∠PBC=60°-30°=30°，∴PC=PB ， ∵23BC = ∴222213,(23)(3)32AB BC AC BC AB ===-=-=，在Rt △APB 中，根据勾股定理222AP AB BP +=,即222()AC PC AB PC -+=, 即222(3)(3)PC PC -+=，解得2PC =，如图4：当∠ABC=60°时，∠C=30°，∵∠ABP=30°，∴∠PBC=60°+30°=90°，∴12BP PC = 在Rt △BCP 中，根据勾股定理222BP BC PC +=,即2221()(23)2PC PC +=,解得PC=4（已舍去负值）．综上所述，CP 的长为23或2或4．故答案为：23或2或4．【点睛】本题考查含30°角直角三角形，等边三角形的性质和判定，勾股定理．理解直角三角形30°角所对边是斜边的一半，并能通过勾股定理去求另外一个直角边是解决此题的关键． 19．3或3或15【分析】根据直角三角形的性质求出BC ，勾股定理求出AB ，根据直角三角形的性质列式计算即可．【详解】解：如图∵∠B=90°，∠A=30°，∴BC=12AC=12×8=4，由勾股定理得，AB=22228443AC BC -=-=43333AD ∴=-=当点P 在AC 上时，∠A=30°，AP=2PD ，∴∠ADP=90°，则AD 2+PD 2=AP 2，即（33）2=（2PD ）2-PD 2，解得，PD=3，当点P 在AB 上时，AP=2PD ，AD=33，∴PD=3，当点P 在BC 上时，AP=2PD ，设PD=x ，则AP=2x ，由勾股定理得，BP 2=PD 2-BD 2=x 2-3，()()2222433x x ∴-=-解得，x=15 故答案为：3或3或15.【点睛】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．20．522,322++【分析】过B 作BF ⊥CA 于F ，构造直角三角形，分两种情况讨论，利用勾股定理以及等腰直角三角形的性质，即可得到AC 的长．【详解】分两种情况：①当∠C 为锐角时，如图所示，过B 作BF ⊥AC 于F ，由折叠可得，折痕PE 垂直平分AB ，∴AP=BP=4，∴∠BPC=2∠A=45°，∴△BFP 是等腰直角三角形，∴BF=DF=22∴Rt△BFC中，CF=221BC BF-=，∴AC=AP+PF+CF=5+22；②当∠ACB为钝角时，如图所示，过B作BF⊥AC于F，同理可得，△BFP是等腰直角三角形，∴BF=FP=22又∵BC=3，∴Rt△BCF中，221BC BF-=，∴AC=AF-CF=3+22故答案为：5+223+22【点睛】本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，解决问题的关键是分两种情况画出图形进行求解．解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．三、解答题21．（1）423；（2）以a、b、c为边能构成三角形，此三角形的形状是直角三角形，6【分析】（1）根据二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质求出即可；（2）先根据绝对值，偶次方、算术平方根的非负性求出a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再求出面积即可.【详解】解：（1）1312248233⎛÷⎝=2(63343)233÷=28(3)(23) 3÷＝423；（2）以a、b、c为边能构成三角形，此三角形的形状是直角三角形，∵a 、b 、c 满足2|a (c 0-=，∴a ﹣＝0，﹣b ＝0，c 0，∴a ＝，b ＝，c∵，，∴以a 、b 、c 为边能组成三角形，∵a ＝，b ＝，c∴a 2+b 2＝c 2，∴以a 、b 、c 为边能构成直角三角形，直角边是a 和b ，则此三角形的面积是12⨯. 【点睛】此题考查了计算能力，掌握二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质，绝对值，偶次方、算术平方根的非负性，勾股定理的逆定理是解题的关键.22．（1）证明见解析；（2）5；（3）CD 2+CE 2＝BC 2，证明见解析．【分析】（1）先判断出∠BAE=∠CAD ，进而得出△ACD ≌△ABE ，即可得出结论．（2）先求出∠CDA=12∠ADE=30°，进而求出∠BED=90°，最后用勾股定理即可得出结论．（3）方法1、同（2）的方法即可得出结论；方法2、先判断出CD 2+CE 2=2（AP 2+CP 2），再判断出CD 2+CE 2=2AC 2．即可得出结论．【详解】解：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC +∠CAE ＝∠DAE +∠CAE ，即∠BAE ＝∠CAD ．又∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ACD ≌△ABE （SAS ），∴CD ＝BE ．（2）如图2，连结BE ，∵AD ＝AE ，∠DAE ＝60°，∴△ADE 是等边三角形，∴DE ＝AD ＝3，∠ADE ＝∠AED ＝60°，∵CD ⊥AE ，∴∠CDA ＝12∠ADE ＝12×60°＝30°， ∵由（1）得△ACD ≌△ABE ，∴BE ＝CD ＝4，∠BEA ＝∠CDA ＝30°，∴∠BED ＝∠BEA +∠AED ＝30°+60°＝90°，即BE ⊥DE ，∴BD 5．（3）CD2、CE2、BC2之间的数量关系为：CD2+CE2＝BC2，理由如下：解法一：如图3，连结BE．∵AD＝AE，∠DAE＝90°，∴∠D＝∠AED＝45°，∵由（1）得△ACD≌△ABE，∴BE＝CD，∠BEA＝∠CDA＝45°，∴∠BEC＝∠BEA+∠AED＝45°+45°＝90°，即BE⊥DE，在Rt△BEC中，由勾股定理可知：BC2＝BE2+CE2．∴BC2＝CD2+CE2．解法二：如图4，过点A作AP⊥DE于点P．∵△ADE为等腰直角三角形，AP⊥DE，∴AP＝EP＝DP．∵CD2＝（CP+PD）2＝（CP+AP）2＝CP2+2CP•AP+AP2，CE2＝（EP﹣CP）2＝（AP﹣CP）2＝AP2﹣2AP•CP+CP2，∴CD2+CE2＝2AP2+2CP2＝2（AP2+CP2），∵在Rt△APC中，由勾股定理可知：AC2＝AP2+CP2，∴CD2+CE2＝2AC2．∵△ABC为等腰直角三角形，由勾股定理可知：∴AB2+AC2＝BC2，即2AC2＝BC2，∴CD2+CE2＝BC2．【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解（1）的关键是判断出∠BAE=∠CAD，解（2）（3）的关键是判断出BE⊥DE，是一道中等难度的中考常考题．23．（1）见解析；（2）CD＝2AD+BD，理由见解析；（3）CD＝3AD+BD【分析】（1）由“SAS”可证△ADB≌△AEC；（2）由“SAS”可证△ADB≌△AEC，可得BD＝CE，由直角三角形的性质可得DE＝2AD，可得结论；（3）由△DAB≌△EAC，可知BD＝CE，由勾股定理可求DH＝3AD，由AD＝AE，AH⊥DE，推出DH＝HE，由CD＝DE+EC＝2DH+BD＝3AD+BD，即可解决问题；【详解】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；（2）CD＝2AD+BD，理由如下：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；∴BD＝CE，∵∠BAC＝90°，AD＝AE，∴DE＝2AD，∵CD＝DE+CE，∴CD＝2AD+BD；（3）作AH⊥CD于H．∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；∴BD＝CE，∵∠DAE ＝120°，AD ＝AE ，∴∠ADH ＝30°，∴AH ＝12AD ， ∴DH， ∵AD ＝AE ，AH ⊥DE ，∴DH ＝HE ，∴CD ＝DE +EC ＝2DH +BD+BD ，故答案为：CD+BD ．【点睛】本题是结合了全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识的综合问题，熟练掌握知识点，有简入难，层层推进是解答关键.24．（1）见详解（2）①结论：222BD FC DF +=，证明见详解②【分析】（1）根据SAS ，只要证明BAD CAE ∠=∠即可解决问题；（2）①结论：222BD FC DF +=．连接EF ，进一步证明90ECF ∠=︒，DF EF =，再利用勾股定理即可得证；②过点A 作AG BC ⊥于点G ，在Rt ADG 中求出AG 、DG 即可求解．【详解】解：（1）∵AE AD ⊥∴90DAC CAE ∠+∠=︒∵90BAC ∠=︒∴90DAC BAD ∠+∠=︒∴BAD CAE ∠=∠∴在ABD △和ACE △中 AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABD △≌ACE △()SAS（2）①结论：222BD FC DF +=证明：连接EF ，如图：∵ABD △≌ACE △∴B ACE ∠=∠，BD CE =∴90ECF BCA ACE BCA B ∠=∠+∠=∠+∠=︒∴222FC CE EF +=∴222FC BD EF +=∵AF 平分DAE ∠∴DAF EAF ∠=∠∴在DAF △和EAF △中AD AE DAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DAF △≌EAF △()SAS∴DF EF =∴222FC BD DF +=即222BD FC DF +=②过点A 作AG BC ⊥于点G ，如图：∵由①可知222223425DF BD FC =+=+=∴5DF =∴35412BC BD DF FC =++=++=∵AB AC =，AG BC ⊥ ∴1112622BG AG BC ===⨯= ∴633DG BG BD =-=-=∴在Rt ADG中，AD ===故答案是：（1）见详解（2）①结论：222BD FC DF +=，证明见详解②【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质以及角平分线的性质．综合性较强，属中档题，学会灵活应用相关知识点进行推理证明．25．（1）详见解析；（2；（3【分析】（1）证∠EAC=∠DAB.利用SAS 证△ACE ≌△ABD 可得；（2）连接BD ，证1302FEA AED ∠=∠=，证△ACE ≌△ABD 可得30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5，利用勾股定理求解；（3）作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=，利用勾股定理得AE =，，根据（1）思路得.【详解】(1) 证明：∵∠DAE=∠BAC ，∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD ，即∠EAC=∠DAB.在△ACE 与△ABD 中，AD AE EAC BAB AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACE ≌△ABD(SAS)，∴BD CE =；(2)连接BD因为AD AE =， 60DAE BAC ∠=∠=，所以ADE ∆是等边三角形因为60DAE DEA EDA ∠=∠=∠=,ED=AD=AE=4因为CE AD ⊥ 所以1302FEA AED ∠=∠= 同(1)可知△ACE ≌△ABD(SAS)，所以30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5所以90BDE BDA ADE ∠=∠+∠=所以=(3)作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=所以AE=222AB AC AC +=因为AB AC =所以AE 2AB =又因为45CAB ∠=所以90ABE ∠=所以()222223BE AE AB AB AB AB =+=+= 因为45CBD CDB ∠=∠=所以BC=CD, 90BCD ∠=因为同(1)可得△ACD ≌△ECB(SAS)所以AD=BE=3AB所以33AD AB AB ==【点睛】考核知识点:等边三角形;勾股定理.构造全等三角形和直角三角形是关键.26．（1）∠CBD=20°；（2）AD=164；(3) △BCD 的周长为m+2 【分析】（1）根据折叠可得∠1=∠A=35°，根据三角形内角和定理可以计算出∠ABC=55°，进而得到∠CBD=20°；（2）根据折叠可得AD=DB ，设CD=x ，则AD=BD=8-x ，再在Rt △CDB 中利用勾股定理可得x2+62=（8-x）2，再解方程可得x的值，进而得到AD的长；（3）根据三角形ACB的面积可得11 2AC CB m=+，进而得到AC•BC=2m+2，再在Rt△CAB中，CA2+CB2=BA2，再把左边配成完全平方可得CA+CB的长，进而得到△BCD的周长．【详解】（1）∵把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合，∴∠1=∠A=35°，∵∠C=90°，∴∠ABC=180°-90°-35°=55°，∴∠2=55°-35°=20°，即∠CBD=20°；（2）∵把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合，∴AD=DB，设CD=x，则AD=BD=8-x，在Rt△CDB中，CD2+CB2=BD2，x2+62=（8-x）2，解得：x= 74，AD=8-74=164；（3）∵△ABC 的面积为m+1，∴12AC•BC=m+1，∴AC•BC=2m+2，∵在Rt△CAB中，CA2+CB2=BA2，∴CA2+CB2+2AC•BC=BA2+2AC•BC，∴（CA+BC）2=m2+4m+4=（m+2）2，∴CA+CB=m+2，∵AD=DB，∴CD+DB+BC=m+2．即△BCD的周长为m+2．【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理，完全平方公式，关键是掌握勾股定理，以及折叠后哪些是对应角和对应线段．27．（1）见解析；（2）∠ADC=45α︒+；（3）2BD DE =【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）根据对称的性质，等腰三角形的性质及角与角之间的和差关系进行计算即可；（3）画出图形，结合（2）的结论证明△BED 为等腰直角三角形，从而得出结论.【详解】解：（1）如图所示；（2）∵点B 与点D 关于直线AP 对称，∠BAP=α，∴∠PAD=α，AB=AD ，∵90BAC ∠=︒，∴902DAC α∠=︒-，又∵AB=AC ，∴AD=AC ，∴∠ADC=1[180(902)]2α⨯︒-︒-=45α︒+；（3）如图，连接BE ，由（2）知：∠ADC=45α︒+，∵∠ADC=∠AED+∠EAD ，且∠EAD=α，∴∠AED=45°，∵点B 与点D 关于直线AP 对称，即AP 垂直平分BD ，∴∠AED=∠AEB=45°，BE=DE ，∴∠BED=90°，∴△BED 是等腰直角三角形，∴22222BD BE DE DE =+=，∴2BD DE =.【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，明确角与角之间的关系，学会添加常用辅助线构造直角三角形是解题的关键.28．（1）见解析；（2）27BC =.【分析】（1）由等边三角形的判定定理可得△ABD 为等边三角形，又由平行进行角度间的转化可得出结论.（2）连接AC 交BD 于点O ，由题意可证AC 垂直平分BD ，△ABD 是等边三角形，可得∠BAO=∠DAO=30°，AB=AD=BD=8，BO=OD=4，通过证明△EDF 是等边三角形，可得DE=EF=DF=2，由勾股定理可求OC ，BC 的长．【详解】（1）证明：∵AB AD =，=60A ∠︒，∴△ABD 是等边三角形.∴60ADB ∠=︒.∵CE ∥AB ，∴60CED A ∠=∠=︒.∴CED ADB ∠=∠.（2）解：连接AC 交BD 于点O ，∵AB AD =，BC DC =，∴AC 垂直平分BD .∴30BAO DAO ∠=∠=︒.∵△ABD 是等边三角形，8AB =∴8AD BD AB ===，∴4BO OD ==.∵CE ∥AB ，∴ACE BAO ∠=∠.∴6AE CE ==, 2DE AD AE =-=.∵60CED ADB ∠=∠=︒.∴60EFD ∠=︒.∴△EDF 是等边三角形.∴2EF DF DE ===,∴4CF CE EF =-=,2OF OD DF =-=.在Rt △COF 中，∴OC ==.在Rt △BOC 中，∴BC === 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．29．（1）(0，；（2）DF OE =；（3）9+【分析】（1）由等边三角形的性质得出6OB =，12AB AC BC ===，由勾股定理得出OA ==A 的坐标；（2）由等边三角形的性质得出AD AE =，AF AO =，60FAO DAE ∠=∠=︒，证出FAD OAE ∠=∠，由SAS 证明FAD OAE ∆≅∆，即可得出DF OE =；（3）证出90AGO ∠=︒，求出9AG =，由全等三角形的性质得出AOE AFD ∠=∠，证出6090FDO AFD AOD ∠=∠+︒+∠=︒，由等边三角形的性质得12DG OF ==即可得出答案．【详解】解：（1）ABC ∆是等边三角形，点0()6,B -，点(6,0)C ，6OB ∴=，12AB AC BC ===，OA ===∴点A 的坐标为(0，；（2）DF OE =；理由如下：ADE ∆，AFO ∆均为等边三角形，AD AE ∴=，AF AO =，60FAO DAE ∠=∠=︒，FAD OAE ∴∠=∠，在FAD ∆和OAE ∆中，AF AO FAD OAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()FAD OAE SAS ∴∆≅∆，DF OE ∴=；（3）60AOF ∠=︒，30FOB ∴∠=︒，60ABO ∠=︒，90AGO ∴∠=︒，AFO ∆是等边三角形，AO =·sin 609AG OA ∴=︒==， FAD OAE ∆≅∆，AOE AFD ∴∠=∠，30DOE AOD AOE ∠=︒=∠+∠，30AOD AFD ∴∠+∠=︒，FDO AFD FAO AOD ∠=∠+∠+∠，60603090FDO AFD AOD ∴∠=∠+︒+∠=︒+︒=︒，AG OF ⊥，AOF ∆为等边三角形，G ∴为斜边OF 的中点，1122DG OF ∴==⨯= ADG ∴∆的周长9AG AD DG =++=+【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、勾股定理、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．30．（1）证明见解析；（2）AF ＝5cm ；（3）①有可能是矩形，P 点运动的时间是8，Q 的速度是0.5cm /s ；②t ＝203．【解析】【分析】（1）证△AEO ≌△CFO ，推出OE=OF ，根据平行四边形和菱形的判定推出即可；（2）设AF=CF=a ，根据勾股定理得出关于a 的方程，求出即可；（3）①只有当P运动到B点，Q运动到D点时，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，求出时间t，即可求出答案；②分为三种情况，P在AF上，P在BF上，P在AB 上，根据平行四边形的性质求出即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO，∵AC的垂直平分线EF，∴AO＝OC，AC⊥EF，在△AEO和△CFO中∵AEO CFOAOE COF AO OC∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴OE＝OF，∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴平行四边形AECF是菱形；（2）解：设AF＝acm，∵四边形AECF是菱形，∴AF＝CF＝acm，∵BC＝8cm，∴BF＝（8﹣a）cm，在Rt△ABF中，由勾股定理得：42+（8﹣a）2＝a2，a＝5，即AF＝5cm；（3）解：①在运动过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，只有当P运动到B点，Q运动到D点时，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，P点运动的时间是：（5+3）÷1＝8，Q的速度是：4÷8＝0.5，即Q的速度是0.5cm/s；②分为三种情况：第一、P在AF上，∵P的速度是1cm/s，而Q的速度是0.8cm/s，∴Q只能再CD上，此时当A、P、C、Q四点为顶点的四边形不是平行四边形；第二、当P在BF上时，Q在CD或DE上，只有当Q在DE上时，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形才有可能是平行四边形，如图，∵AQ＝8﹣（0.8t﹣4），CP＝5+（t﹣5），。

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第一章【勾股定理】知识点以及练习题
勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。即： 222cba。常见勾
股数：3、4、5；6、8、10；5、12、13；8、15、17；7、24、25。这个一定要牢记于心。
考点一：勾股定理的直接应用
例1.正方形的面积是2，它的对角线长为（）

A、1 B、2 C、2 D、22
例2．如图，由Rt△ABC的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为8cm，则正方形M
与正方形N的面积之和为2_____cm
考点二：求第三条边的长
例1．若RtABC中，90C且c=37,a=12，则b=（）
A、50 B、35 C、34 D、26
例2．已知两线段的长为6cm和8cm，当第三条线段取时，这三条线段能组成一个
直角三角形。（提示：所给的两条变长不一定都为直角边。）
例3．若一个直角三角形的三边分别为a、b、c, 22144,25ab,则2c（）
A、169 B、119 C、169或119 D、13或25
考点三：与高、面积有关
例1．两个直角边分别是3和4的直角三角形斜边上的高是
例2．等腰三角形的底边为10cm，周长为36cm，则它的面积是2_____cm
◆勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足222cba，那么这个三角形是
直角三角形。
判断步骤：（1）比较a、b、c大小，找最长边；（2）计算两条短边的平方和，看是否与最长
边的平方相等。
例1．木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm，宽为60cm，对角线为100cm，
则这个桌面。（填“合格”或“不合格” ）
例2．试判断：三边长分别是)(2,,2222baabbaba的三角形是不是直角三角形？

一、选择题
1、把直角三角形的两直角边均扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的几倍？（）

A、2 B、4 C、3 D、5
2、等腰△ABC的底边BC为16，底边上的高AD为6，则腰长AB的长为（）
A．10 B.12 C.15 D.20
3、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如右图所示，设
筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是（）
A、h≤17cm B、h≥8cm C、15cm≤h≤16cm D、7cm≤h≤16cm
二、填空题
1、如果梯子底端离建筑物5m，那么13m长的梯子可达到建筑物的高度是____________m。
2、如图，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最
短路程是 cm

（2题图）（3题图）（ 4题图）
3．、如右图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中
最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为。

4．一个零件的形状如图，按规定这个零件的A与BDC都要是直角，工人师傅量得零件
各边尺寸：AD=4,AB=3,DC=12,BC=13,BD=5。这个零件符合要求吗？

5.如图，南北方向MN为我国领海线，即MN以西是我国领海，以东为公海，上午9时50分，
我国反走私艇A发现正东方向有一走私船C以13海里/时的速度偷偷向我国领海开来，便立
即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切关注。反走私艇A和走私船C的距离是13
海里，A、B两艇的距离为5海里，反走私艇B测得距离C船12海里，若走私船C的速度不
变，最早会在什么时间进入我国领海？(精确到分)

A
B
D
C

A B C
M
N

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