拖拉机转向梯形机构的MATLAB优化与转向特性分析

拖拉机转向梯形机构的MATLAB优化与转向特性分析向铁明;周水庭;何明光【摘要】为使轮式拖拉机转向特性曲线更接近理想的Ackemann转向特性曲线,本研究对轮式拖拉机向左转向运动时,整体式转向梯形机构中铰链四杆机构的运动几何关系进行了推导,再以某四轮轮式拖拉机转向梯形的底角和梯形臂长度作为设计变量,以外侧车轮实际转角与理想转角的累计偏差量的绝对值之和最小作为目标函数,对拖拉机作业的工况进行加权处理,运用MATLAB对转向梯形机构进行了优化设计,优化后转向梯形底角为71.7.,梯形臂长为152.5 mm.根据优化前后参数进行转向分析,验证优化前后转向特性曲线与Ackemann转向特性曲线的差异,最后绘制出优化前后转向时的偏差曲线图.结果表明:该优化设计方法可行,优化后该拖拉机的转向特性曲线更加接近理想转向特性曲线,能更好地减少转向时轮胎的磨损.为轮式拖拉机转向梯形机构的优化设计提供参考.【期刊名称】《云南农业大学学报》【年(卷),期】2015(030)002【总页数】6页(P283-288)【关键词】拖拉机;转向梯形;MATLAB;优化;分析【作者】向铁明;周水庭;何明光【作者单位】厦门理工学院机械与汽车工程学院,福建厦门361024;厦门理工学院机械与汽车工程学院,福建厦门361024;厦门理工学院机械与汽车工程学院,福建厦门361024【正文语种】中文【中图分类】S219.1拖拉机有手扶拖拉机[1-2]、轮式拖拉机[3]、履带式拖拉机[4]和船形拖拉机之分，其中轮式拖拉机广泛采用前轮转向，配备整体式转向梯形机构。

合理的转向梯形机构设计是车轮转向角符合Ackerman 转向原理[5]的关键，而转向机构设计可归结为确定转向机构中的转向梯形的几何参数[6]。

当拖拉机转向梯形机构的梯形臂长度和梯形底角达到某一最优化配置时，拖拉机转向的内、外侧车轮的转角关系曲线越接近纯滚动时的理想特性曲线，拖拉机车轮的磨损就越小，从而保障有良好的转向性能[7]。

轮式拖拉机转向梯形机构的设计方法，传统的图解法[8-9]虽然已经很成熟，但精度不能很好地满足要求，于是学者们开始思考编写优化程序的优化设计方法，如陈启发[10]采用复合形法对4种国产拖拉机的转向梯形机构进行了优化设计，师帅兵等[11]采用FORTRAN语言编写复合形法程序对4种国产拖拉机进行优化设计。

然而，编程要求掌握较多的专业知识、数学知识及计算机程序设计相关知识，难度较大。

随着商业软件(如MATLAB,LINDO,LINGO,ISIGHT等)的成熟，研究设计人员可以借助现成的商业软件进行优化设计，避免了编程的麻烦。

如王博[12]利用MATLAB对KC140断开式转向梯形机构[13]进行了优化设计，李军[14]运用MATLAB优化工具箱对某一国产拖拉机转向梯形机构进行了优化设计，但对拖拉机的行驶和作业工况没有进行加权处理，优化结果与实际存在出入。

目前，铁牛60拖拉机[14]转向时前轮磨损严重，为减少这一磨损，本文将转向梯形的底角和梯形臂长度作为设计变量，以外侧车轮实际转角与理想转角的累计偏差量的绝对值之和最小作为目标函数，用权重系数考虑拖拉机行驶和作业情况，进行加权处理，利用MATLAB软件对转向梯形进行优化设计，并根据优化前后不同的参数进行了转向分析，验证优化设计的科学性。

轮式拖拉机在转向时是靠转向梯形机构来确定内外转向车轮之间的关系的，当转向梯形机构满足理想Ackemann几何学的公式时，则轮胎在地面做纯滚动，轮胎与地面间磨损最小。

Ackemann几何学的公式为θi=arccot(cotθo+K/L)式中，θo为内侧(左侧)转向车轮的转角;θi为外侧(右侧)转向车轮的转角;L为拖拉机的轴距;K为拖拉机两主销中心线的延长线与地面交点之间的距离。

实际上，拖拉机转向机构是不可能完全满足Ackemann几何学的，我们只能尽量让实际机构尽量满足理想关系。

图1为后置式的转向梯形机构左转向时的几何关系，原转向梯形为DCFE，当转向运动后，变成梯形DCHG(虚线所示)。

图中，γ为转向梯形的底角，m为转向梯形臂的臂长，K为两主销中心线延长线与地面交点之间的距离。

从图中可知∠EDC==K，转向前后，横拉杆的长度相同，即，外侧车轮(右前轮)转角为，内侧车轮(左前轮)转角为∠EDG=θo，令∠DCG=β，通过几何关系可求出右前轮(外侧车轮)的实际转角的函数表达式为∠DCG=γ-θo在△GDC中，由余弦定理有:在△GCH 中，由余弦定理有:∠GCH=∠DCF +∠FCH -∠DCG联立式(2)～(9)，可求出右前轮(外侧车轮)的实际转角的函数表达式为式中，μ=m/K。

2.1 目标函数的确定转向梯形机构优化设计的目标就是要在规定的转角范围内使实际的内(或外) 轮转角尽量地接近对应的理想内(或外)轮转角[15-16]。

为此，优化设计时，实际因变量与理想值θi相互接近为最优，即|-θi|绝对误差的值越小越好。

根据拖拉机在实际使用过程中：当在良好路面行驶时，内侧车轮转角小角度转弯的概率比较大，大角度转弯的概率较小；当在田间、地头作业时，为满足机动性要求，大角度拐弯仍然很常见，其他角度拐弯行驶的概率相对较小。

为此，我们对工况进行加权处理，引入加权因子，设当5°<θ0<15°时，加权系数为0.5，而其他情况系数为1.0，即这里对误差用相对百分数来表示[17]，构建出目标函数f(x)如式(12)所示。

根据几何关系推导可得目标函数的表达式如式(13)所示。

|g(θoi)|×100%根据以上思路和公式，可以绘制出目标函数的流程图。

如图2所示：根据流程图，可以利用MATLAB软件编写相应的程序代码。

2.2 设计变量和约束条件的确定根据机械原理可知：拖拉机梯形臂m的长短影响横拉杆上的受力和与其他部件的干涉，m太小横拉杆上受力将越大，m太大又容易与其他部件发生干涉；此外，拖拉机转向梯形的底角γ值不宜取得过大，如果γ值过大，在转向时会发生前置梯形臂与前轮内侧相碰，前置和后置梯形的横向拉杆还可能与前桥的梁架相碰。

根据相关设计经验[18-20]，梯形底角γmin=60°，γmax=90°，梯形臂长m常取mmin=0.10 K，mmax=0.15 K。

几何约束为γmin≤γ≤γmaxmmin≤m≤mmax在转向梯形所构成的四连杆机构当中，最小传动角θmin定义为左梯形臂DG与横拉杆GH所成的最小锐角，若θmin过小，甚至接近“死点”(θmin=0°)时，会导致转向梯形杆系的作用力臂很短，从而使杆系受的推力或拉力过大的不利情况，为避免这种情况，θmin不能太小，通常取θmin≥40°[15]。

在图2中，根据几何关系，可以推导出最小传动角的约束条件为车轮转向达到极限位置时，θ0出现最大值θ0max，由几何关系可得出：式中,Rmin为拖拉机最小转弯半径； a为主销横向偏移距[19]，是指从主销轴线的延长线与地面的交点，至同侧车轮中心平面的距离，也称为横向拖距或磨胎半径。

在MATLAB软件中，根据以上约束条件，写出非线性约束函数的程序代码如下：function[c,ceq]=constrainfun(x);K=1202;thetamin=0.6981317; theta0max=0.4537856;G=cos(thetamin)-2*cos(x(1))+cos(x(1)+theta0max);H=(cos(thetamin)-cos(x(1)))*cos(x(1));Q=2*x(2)/K;c=Q-G/H;ceq=[];end3.1 优化结果以mainfun.m为文件名进行存储，定义主函数，给出搜素初始值向量，然后调用MATLAB的fmincon()函数求解此带约束的最优化问题，调用程序代码如下：[x,fval,exitflag,output] =fmincon(@objectfun,x0,A,b,[],[],lb,ub,@constrainfun)运行程序，MATLAB调用fmincon求解最优值，并返回结果x=[71.7,152.5]′，即x1=71.7，x2=152.5是最优解，也就是转向梯形底角为71.7°，梯形臂长为152.5 mm。

优化前后，铁牛60拖拉机转向梯形的相关参数，如表1所示。

3.2 转向特性分析为更加方便的观察和验证优化设计前后，转向特性曲线与理想的Ackemann曲线的差别，在MATLAB中，书写如下程序代码，用于绘制转向特性曲线图。

x1=0.01:0.05:0.75; K=1202;L=2245;y1=acot(cot(x1)+K/L);x2=x1.*180/pi;y2=y1.*180/pi;plot(x2,y2,′r-′);r=1.3089969;m=175;K1=m/K;x1 =0.01:0.05:0.75;A=K1*(1-2*cos(r)*cos(r))+2*cos(r)-cos(r-x1);B=1+K1^2-2*K1*cos(r-x1);C=K1*sin(r-x1);y3=acos(A./sqrt(B))-r+asin(C./sqrt(B));x3=x1.*180/pi;y33=y3.*180/pi;hold on;plot(x3,y33,′k-′);r=1.251;m=152.5;x1 =0.01:0.05:0.75;A=K1*(1-2*cos(r)*cos(r))+2*cos(r)-cos(r-x1);B=1+K1^2-2*K1*cos(r-x1);C=K1*sin(r-x1);y4=acos(A./sqrt(B))-r+asin(C./sqrt(B));x4=x1.*180/pi;y44=y4.*180/pi;hold on;plot(x4,y44,′b-′);为了更加方便对转向特性曲线图进行分析，把数据文件导入到Origin软件进行绘图分析。

某拖拉机优化前后的内、外侧车轮转角的关系曲线如图3所示。

从图3可以看出，车轮向左转向时，随着内侧车轮转角的增大，外侧车轮转角也相继增大。

对比优化前、后的转向特性曲线可以发现，优化后的转向特性曲线比优化前的转向特性曲线更加接近于理想转向特性曲线，这说明车轮转向时，轮胎的磨损情况将在优化后得到一定的改善。

图4所示的偏差曲线，即实际曲线减去理想曲线的值，进一步证明了本次优化的可行性。

图中，最上面带方框标记的线为优化前的偏差曲线，下面带圆圈标记的线为优化后的偏差曲线。

当内侧车轮最大转角为34.95°时，优化前的最大偏差的绝对值为1.89°，偏差率为4.64%；当内侧车轮最大转角为26.36°时，优化后的最大偏差的绝对值仅为0.83°，偏差率仅为2.04%。