交通优化

2008研究生数学建模竞赛B题讨论区
2008研究生数学建模竞赛B题讨论区

城市道路交通信号实时控制问题

城市交通管理问题的基本问题之一，是城市道路交通信号控制问题。即根据不同交叉路口、不同相位、不同方向、不同时段的交通流量(标准车辆数)，合理的配置各路口的信号灯的周期长，以及同一周期内的红、绿、黄信号的响应时间。以前大多采用固定周期，固定信号比的配时控制方案。为提高道路服务功能，设计实时优化的配时方案对道路畅通和应急决策管理具有重要意义。实时配时方案，即根据交通流量的实时大小，实时配置信号灯的周期长、各种色灯的响应时间，同时考虑信号灯的转换与车辆的起动的损失时间，使全体车辆在所有道口的等待的时间最短。请你解决以下问题：
(路口相位设计示意图，可参考图1, 图2；此处假定右转相位不受色灯信号控制，即可以实时放行；车道数可考虑双向二车道或三车道即可)

1、 构造单个交叉路口(十字路口或丁字路口)交通信号实时控制的点控制数学模型, 并给出相应的实时算法。
2、 构造多个交叉路口(线状区域,)交通信号实时控制的线控制（至少2 个交叉口）数学模型，并给出相应的实时算法。.
3、 构造多个交叉路口(网络区域)交通信号实时控制的面控制（至少5个交叉口）数学模型，并设计相应的实时算法。
4、 根据城市交通流分布规律(一般理解为Poisson 分布), 设计一种实时产生交通流序列的方案。并根据你的算法和产生的交通流数据, 计算并给出单交叉路口点控制的实时信号配时方案(分为周期固定和周期不固定两种情形考虑)，并与固定配时方案比较,说明实时配时方案的效果和优势。
5、 对多路口信号配时的情况，根据你产生的交通流数据和相应的实时算法，分别给出线状区域、网络区域实时配时方案，并比较和评价你所得到的结果。同时分析模型算法的可计算性、算法的复杂性。
6、 给交通管理部门提出应用你所得结果的咨询和建议（例如：流量预测方法、数据处理方法，软件设计、实现步骤等）。





2004数学建模试题及答案
设某产品的供给函数 与需求函数 皆为线性函数：
其中 为商品单价，试推导 满足什么条件使市场稳定。
解：设Pn表示t=n时的市场价格，由供求平衡可知：
2分
即：
经递推有： 6分
表示初始时的市场价格
若 。 10分
某植物园的植物基因型为AA、Aa、aa，人们计划用AA型植物与每种基
因型植物相结合的方案培育后代（遗传方式为常染色体遗传），经过若干代后，这种植物后代的三种基因型分布将出现什么情形

？总体趋势如何？
依题意设未杂交时aa 、Aa、AA的分布分别为 ，杂交n代后分别为an bn cn (向为白分手)
由遗传学原理有：
4分
设向量
式中
递推可得：
对M矩阵进行相似对角化后可得：
其相似对角阵
从而
8分
当 时， 。 10分
试建立人口Logistic(逻辑)模型，并说明模型中何参数为自然增长率，为什么？
解：人口净增长率与人口极限以及目前人口均相关。人口量的极限为M，当前人口数量为N（t），r 为比例系数。建立模型：
4分
求解得到
6分
注意到当 时， 并说明r即为自然增长率。 10分
1968年，介壳虫偶然从澳大利亚传入美国，威胁着美国的柠檬生产。随后，美国又从澳大利亚引入了介壳虫的天然捕食者——澳洲瓢虫。后来，DDT被普通使用来消灭害虫，柠檬园主想利用DDT进一步杀死介壳虫。谁料，DDT同样杀死澳洲瓢虫。结果，介壳虫增加起来，澳洲瓢虫反倒减少了。试建立数学模型解释这个现象。
解：依据题意，设介壳虫的数量为x(t)，澳洲瓢虫的数量为y(t),则有数模方程组：
（1） 式中a b c f均大于零。 4分
解方程组（1）
得：
（3）
式（3）给出一族封闭曲线，显然x(t)、y(t)即为以下为周期（T>0）的周期函数，由于调查的虫子的数量为一个周期内的均值
则有
6分
当使用杀虫剂DDT后，设杀死介壳虫， ，澳洲瓢虫
则有模型为：
显然此时有：
即介壳虫的数量增加，澳洲瓢虫的数量反而减小。 10分
根据水情资料， 某地汛期出现平水水情的概率为0.9, 出现高水水情的概
率为0.05，出现洪水水情的概率为0.05。位于江边的某工地对其大型施工设备拟定三个处置方案：
运走，需支付运费15万元。
修堤坝保护，需支付修坝费5万元。
不作任何防范，不需任何支出。
若采用方案（1），那么无论出现任何水情都不会遭受损失；若采用方案（2），则仅当发生洪水时，因堤坝冲垮而损失400万元的设备；若采用方案（3），那么当出现平水水位时不遭受损失，发生高水水位时损失部分设备而损失200万元，发生洪水时损失设备400万元。根据上述条件，选择最佳决策方案。
解：我们利用数学期望来评判方案的优劣：
运走 -15
不发生洪水0.95 -5
A -15 修坝 B
发生洪水0.05 -405
平水0.9 0
C 高水0.05 -200
洪水0.05 -400
E(A)=-15 （2分）
E(B)=0.95×(-5)+0.05×（-405）= -25 （5分）
E(C)=0×0.75+(-200)×0.05+0.05×(-400)=-30 （8分）
所以-E(A)< -E(B)< -E(C)，因而A方案是最佳决策方案。 （10分）
某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供10,15,25,20台同一规格的
柴油机。已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如下表所示，如果生产出的柴油机当季不交货

，每台积压一个季度需储存、维护等费用0.15万元，建立一个数学模型（不要求求解），要求在完成合同的情况下，使该厂全年