14多项式的因式分解提公因式法

多项式的因式分解提公因式法

一、知识概述

因式分解与整式和分式联系极为密切.因式分解是在学习有理数和整式四则运算的基础上进行的，它为今后学习分式运算、解方程和方程组及代数式和三角函数式的恒等变形提供必要的基础.

1、一般地，对于两个多项式f与g，如果有多项式h使得f=gh，那么我们把g叫做f

的一个因式，此时，h也是f的一个因式，

2、一般地，把一个含字母的多项式表示成若干个均含字母的多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解．

3、几个多项式的公共的因式称为它们的公因式．

4、如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫做提公因式法．

5、提公因式的方法

公因式的系数为各项系数的最大公约数，字母部分为相同字母的最低次数．

如8x3y2－6x2y3＋2xy4的公因式为2xy2；

用提公因式法分解因式的关键是准确地出公因式，解题步骤可概括为“一找、二分、三提、四查”.

二、重难点知识

1、对因式分解的理解

(1)因式分解是多项式的一种恒等变形，也是单项式与多项式，多项式与多项式相乘的逆向变形.

(2)分解因式是对多项式而言的，且分解的结果必须是整式的积的形式.

(3)分解因式都是在指定的数集内进行(如无特殊说明，一般指有理数)，其结果要使每一个因式不能再分解为止.

2、公因式的构成

①系数：各项系数的最大公约数；

②字母：各项都含有相同字母；

③指数：相同字母的最低次幂.

3、提公因式时要一次提尽.添加括号时如果括号前面有负号，括号内的各项要变号．

三、典型例题讲解

例1、（1）下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（）

A．(x＋5)(x－5)=x2－25

B．

C．x2y－xy2=xy(x－y)

D．15=3×5

（2）下列各式的因式分解中正确的是（）

A．－a2＋ab－ac=－a(a＋b－c)

B．9xyz－6x2y2=3xyz(3－2xy)

C．3a2x－6bx＋3x=3x(a2－2b)

D．

解析：

（1）显然，A是乘法运算，不正确；B分解因式是将多项式分成几个整式的积，而右边有分式；D是常数，是单项式，不是多项式，不属于分解因式范围，所以C是正确的.

（2）A．提－a后括号里面各项要变号，但第二、三项未变号.

B．第二项没有公因式z.

C．提3x后，括号里第三项还有因数1，掉了一项.

D．是正确的.

答案：（1）C；（2）D

例2、分解因式：

（1）.

(2).

分析：

(1)由于两项、中都有公因式，因此可提取.

(2)多项式中各项字母没有相同的，因此只需提出系数公约数即可. 解：

(1)=.

(2)=.

点评：

（1）当公因式是单项式时，一定要注意取各项系数的最大公约数和相同字母的最低次幂；

(2)对于数字系数，提出的系数应是多项式中各项系数的最大公约数.很多同学在分解因式时容易忽略数字系数的处理，以致于造成分解不彻底的错误.

（3）提公因式后，一定要注意括号内的项数与原多项式的项数在合并同类项之前是相同的，不能漏项，尤其是将整个一项作为公因式提取后，这一项就变为1.

例3、把下列各式分解因式：

(1)6x4y2－12x3y＋27x2y3；

(2)－x4y＋x3y2－x2y3；

(3)x n＋3x n－1＋x n－2；

(4)5(x－y)3＋10(y－x)2；

(5)m(5ax＋ay－1)－m(3ax－ay－1).

分析：

分解因式时，首先要看多项式各项有无公因式，若有公因式，应先提取公因式，要对数字系数和字母分别进行考虑，如果系数为整数，应该提各项系数的最大公约数；字母考虑两点：一点是取各项相同的字母，一点是各项相同字母的指数取最低的；公因式提出后，剩下的因式的求法是：用公因式去除多项式的每一项，所得的商即为剩下的因式.

一个多项式中的公因式，既可以是一个单项式，也可以是一个多项式，注意用整体思想去观察分析多项式，关于幂的底数的符号与指数有如下规律：

解：

(1) 6x4y2－12x3y＋27x2y3

＝3x2y·2x2y－3x2y·4x＋3x2y·9y2

＝3x2y(2x2y－4x＋9y2)

(2)－x4y＋x3y2－x2y3＝－(x4y－x3y2＋x2y3)

＝－(x2y·x2－x2y·xy＋x2y·y2)

＝－x2y(x2－xy＋y2)

(3)x n＋3x n－1＋x n－2＝x n－2·x2＋x n－2·3x＋x n－2·1

＝x n－2(x2＋3x＋1)

(4)5(x－y)3＋10(y－x)2＝5(x－y)3＋10(x－y)2

＝5(x－y)2(x－y＋2)

(5)m(5ax＋ay－1)－m(3ax－ay－1)

＝m[(5ax＋ay－1)－(3ax－ay－1)]

＝m·(5ax＋ay－1－3ax＋ay＋1)

＝m(2ax＋2ay)=2ma(x＋y)

例4、不解方程组求7y(x－3y)2－2(3y－x)3的值.

分析：

先把7y(x－3y)2－2(3y－x)3进行因式分解，再将2x＋y=6和x－3y=1整体代入. 解：7y(x－3y)2－2(3y－x)3

=7y(x－3y)2＋2(x－3y)3

=(x－3y)2[7y＋2(x－3y)]

=(x－3y)2(2x＋y)

∵2x＋y=6，x－3y=1，

∴原式=12×6=6．