绝对值函数和绝对值不等式
绝对值函数和绝对值不
等式
Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998
绝对值函数和绝对值不等式
1
1
n n i
i i i z z .
【方法概论】
遇到绝对值的问题时，方法主要以下几种：
典型例题：
【过关习题4】
1.【2018年学考选考十校联盟，☆☆】已知a，b是实数，则“|a|≤1且|b|≤1”是“|a+b|+|a－b|≤2”的.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.【2018年绍兴高三适应性考试，，☆☆】已知a>0，函数f(x)=|x2+|x－a|－3|
在区间[－1，1]上的最大值是2，则a=.
3.【2018年温州二模，17，，☆☆☆】已知f(x)=x2－ax，|f(f(x))|≤1在[1，2]上恒成立，则实数a的最大值为.
4.【2017年绍兴诸暨二模，，☆☆☆☆】已知函数f(x)=|x2+ax+b|在区间[0，c]
内的最大值为M(a，b∈R，c>0为常数)且存在实数a，b，使得M取最小值2，则a+b+c=.
5.【☆☆】设正实数x，y，则|x－y|+的最小值为.
6.【2017年杭州二模，10，☆☆】设函数f(x)=x2+ax+b(a、b∈R)的两个零点为x1、x2，若|x1|+|x2|≤2，则.
A.|a|≥1
B.|b|≤1
C.|a+2b|≥2
D.|a+2b|≤2
7.【2017年浙江4月份学考，☆☆】已知a，b∈R，a≠1，则|a+b|+的最小值为.
8.【2017年浙江绍兴市柯桥中学5月质检，8，☆☆】已知x，y∈R，则.
A.若|x2+y|+|x－y2|≤1，则
B.若|x2－y|+|x－y2|≤1，则
C.若|x+y2|+|x2－y|≤1，则
D.若|x+y2|+|x2+y|≤1，则
9.【2016年浙江高考，8，☆☆☆】已知实数a、b、c，下面四个选项中正确的是.
A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2<100
B.若|a2+b+c|+|a2+b－c|≤1，则a2+b2+c2<100
C.若|a+b+c2|+|a+b－c2|≤1，则a2+b2+c2<100
D.若|a2+b+c|+|a+b2－c|≤1，则a2+b2+c2<100
10.【2017年杭州高级中学最后一模，17，☆☆】设实数x，y，z满足则
|x|+|y|+|z|的最大值为.
11.【2017年浙江名校协作体，7，☆】设f(x)=|2x－1|，若f(x)≥对任意的a≠0恒成立，则x的取值范围为.
12.【2016年浙江样卷，☆】已知f(x)=ax2+bx+c，a、b、c∈R，且a≠0，记
M(a，b，c)为|f(x)|在[0，1]上的最大值，则的最大值是.
13.【☆☆】设函数f(x)=|x2+ax+b|，若对任意的实数a、b，总存在x0∈[0，4]使得f(x0)≥m成立，则实数m的取值范围是.
14.【2017年浙江缙云、富阳、长兴联考，☆☆☆】已知函数f(x)=－x3－
3x2+x，记M(a，b)为函数g(x)=|ax+b－f(x)|(a>0，b∈R)在[－2，0]上的最大值，则M(a，b)的最小值为.
15.【2017年杭州一模，9，☆☆☆】设函数f(x)=x2+ax+b，记M为函数y=|f(x)|在[－1，1]上的最大值，N为|a|+|b|的最大值，则.
A.若M=，则N=3
B.若M=，则N=3
C.若M=2，则N=3
D.若M=3，则N=3
16.【2017年诸暨，☆☆☆】设函数f(x)=|ax+2+b|，若对任意的x∈[0，4]，函
数f(x)≤恒成立，则a+2b=.
17.【浙江省绍兴市2017届高三二模，17，☆☆☆】已知对任意实数x都有
|a cos2x+b sin x+c|≤1恒成立，则|a sin x+b|的最大值为.
18.【浙江省嘉兴市2016届高三教学质量测试(二)，14，☆☆】
设max{a，b}=，已知x，y∈R，m+n=6，则F=max
的最小值为．
19.【☆☆】已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，若对任意的|x|≤1，都有|f(x)|≤1，则
|a|+|b|+|c|的最大值为.
20.【2014年湖南高考，☆☆】在直角平面坐标系xOy中，O为原点，A(－1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足||=1，则|++|的最大值为.
21.【浙江省2017年预赛，10，☆☆☆】已知f(x)=若方程f(x)+2+|f(x)－2|－2ax －4=0有三个不等的实数根x1，x2，x3，且x1 22.【2006年辽宁，☆】已知函数f(x)=(sin x+cos x)－|sin x－cos x|，则f(x)的值域为. 23.【2008年江西，☆】函数y=tan x+sin x－|tan x－sin x|在区间内的图像是. 24.【浙江省绍兴市2015年高三教学质量调测，15，☆☆☆】当且仅当x∈(a， b)∪(c，d)(b≤c)时，函数f(x)=2x2+x+2的图像在函数g(x)=|2x+1|+|x－t|的下方，则b－a+d－c的取值范围为. 25.【2016高考浙江文数，☆☆】已知平面向量a，b，|a|=1，|b|=2，a·b=1．若e为平面单位向量，则|a·e|+|b·e|的最大值是______． 26.【2014年四川预赛，9，☆☆】已知a、b为实数，对任何满足0≤x≤1的实数x，都有|ax+b|≤1成立，则|20a+14b|+|20a－14b|的最大值是. 27.【2014年黑龙江预赛，14，☆☆】已知f(x)=g(x)=|x－k|+|x－1|，若对任意的x1，x2∈R，都有f(x1)≤g(x2)成立，则实数k的取值范围为. 28.【2014年全国联赛，3，☆☆】若函数f(x)=x2+a|x－1|在[0，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是. 29.【2015年湖北预赛，1，☆☆】若对任意实数x，|x+a|+|x+1|≤2a恒成立，则实数a的最小值为. 30.【2016年山东预赛，1，☆☆☆】方程x=|x－|x－6||的解为. 31.【2016年陕西预赛，12，☆☆】设x∈R，则函数f(x)=|2x－1|+|3x－2|+|4x－3|+|5x－4|的最小值为. 32.【2016年浙江预赛，11，☆☆☆】设a∈R，方程||x－a|－a|=2恰有三个不同的实数根，则a=. 33.【1982年全国，4，☆☆】由曲线|x－1|+|y－1|=1确定的曲线所围成的图形的面积是. 【2017年江苏预赛，5，，☆☆】定义区间[x1，x2]的长度为x2－x1.若函数 y=|log2x|的定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则区间[a，b]的长度的最大值和最小值的差为. 35.【2018年浙江预赛，8，☆】设f(x)=|x+1|+|x|－|x－2|，则f(f(x))+1=0有个不同的解. 36.【2015年全国，6，☆☆】在平面直角坐标系xOy中，点集 K={(x，y)|(|x|+3|y|－6)(3|x|+|y|－6)≤0} 所对应的平面区域的面积为. 37.【2008年湖南预赛，9，☆☆☆】在平行直角坐标系中，定义点P(x1，y1)，Q(x2，y2)之间的“直角距离”为d(P，Q)=|x1－x2|+|y1－y2|.若C(x，y)到点A(1，3)、B(6，9)的“直角距离”相等，其中实数x、y满足0≤x≤10，0≤y≤10，则所有满足条件点C的轨迹的长度之和为. 38.【2014年湖北预赛，4，☆☆】在直角坐标系中，曲线|x－1|+|x+1|+|y|=3围成的图形的面积是. 39.【2017年金华十校期末调研考试，9，☆☆】设x、y∈R，下列不等式成立的是. +|x+y|+|xy|≥|x|+|y|+2|x+y|≥|x|+|y|+2|xy|≥|x|+|y|D.|x+y|+2|xy|≥|x|+|y| 40.【2017年绍兴市高三教学质量调测，9，☆☆☆】记min{x，y}= 设f(x)=min{x2，x3}，则. A.存在t>0，|f(t)+f(－t)|>f(t)－f(－t) B.存在t>0，|f(t)－f(－t)|≥f(t)－f(－t) C.存在t>0，|f(1+t)+f(1－t)|>f(1+t)+f(1－t) D.存在t>0，|f(1+t)－f(1－t)|>f(1+t)－f(1－t) 41.【浙江省2016届高三下学期第二次五校联考(理)，18，☆☆☆】已知函数 f(x)=ax2+bx+c，g(x)=c|x|+bx+a，对任意x∈[－1，1]，|f(x)|≤. (I)求|f(2)|的取值范围； (II)证明：对任意的x∈[－1，1]，都有|g(x)|≤1 42.【浙江省嘉兴市2016届高三期末考试，20，☆☆☆】已知函数f(x)=－ x2+2bx+c，，设函数g(x)=|f(x)|在区间[－1，1]上的最大值为M． (I)若b=2，试求出M； (II)若M≥k对任意的b，c恒成立，试求出k的最大值． 43.【2016四川预赛，16，☆☆☆☆】已知a为实数，函数f(x)=|x2－ax|－ln x，请讨论函数f(x)的单调性.