2016-2017学年四川省乐山市高一(上)期末数学试卷含答案
四川省乐山市2016-2017学年高二(上)期末数学试卷(解析版)
2016-2017学年四川省乐山市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．“m=﹣1”是“直线x+y=0和直线x+my=0互相垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．已知F1，F2是定点，|F1F2|=16，动点M满足|MF1|+|MF2|=16，则动点M的轨迹是（）A．椭圆B．直线C．圆D．线段3．如果命题“￢（p或q）”为假命题，则（）A．p、q均为真命题B．p、q均为假命题C．p、q中至少有一个为真命题 D．p、q中至多有一个为真命题4．如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC （）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．钝角三角形5．关于直线a，b，l以及平面M，N，下面命题中正确的是（）A．若a∥M，b∥M，则a∥bB．若a∥M，b⊥a，则b⊥MC．若a⊥M，a∥N，则M⊥ND．若a⊂M，b⊂M，且l⊥a，l⊥b，则l⊥M6．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与曲线x2+y2﹣8x﹣9=0相切，则p的值为（）A．2 B．1 C．D．7．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为2，其正（主）视图如图所示，则此三棱柱侧（左）视图的面积为（）A．B．4 C．D．8．已知直线l与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且|AB|=，则•的值是（）A．﹣ B．C．﹣ D．09．如图是一正方体的表面展开图，MN和PB是两条面对角线，则在正方体中，直线MN与直线PB的位置关系为（）A．相交B．平行C．异面D．重合10．（理）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若点P在双曲线上，且，则=（）A． B．C．D．11．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，P为C的右支上一点，且|PF2|=|F1F2|，则等于（）A．24 B．48 C．50 D．5612．如图所示，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在面ABC 上的射影H必在（）A．直线AB上B．直线BC上C．直线CA上D．△ABC内部13．如图，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB则下列结论正确的是（）A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°14．已知F1，F2是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线上且不与顶点重合，过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为A．若，则该双曲线的离心率为（）A．B．1+C．2 D．2+二、填空题：本大题共5小题；每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.15．椭圆+=1的左右焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为．16．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知DA=DC=2，DD1=1，则异面直线A1B与B1C 所成角的余弦值．17．如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为．18．（理）如图在四面体OABC中，OA，OB，OC两两垂直，且OB=OC=3，OA=4，给出如下判断：①存在点D（O点除外），使得四面体DABC有三个面是直角三角形；②存在点D，使得点O在四面体DABC外接球的球面上；③存在唯一的点D使得OD⊥平面ABC；④存在点D，使得四面体DABC是正棱锥；⑤存在无数个点D，使得AD与BC垂直且相等．其中正确命题的序号是（把你认为正确命题的序号填上）．19．如图，正方形BCDE的边长为a，已知AB=BC，将△ABE沿边BE折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，则翻折后的几何体中有如下描述：①AB与DE所成角的正切值是；②AB∥CE体积是a3；③V B﹣ACE④平面ABC⊥平面ADC．其中正确的有．（填写你认为正确的序号）三、解答题：本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.20．已知命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（，），若命题p、q中有且只有一个为真命题，则实数m 的取值范围是．21．已知圆C：x2+y2﹣8y+12=0，直线l：ax+y+2a=0．（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）若直线l过点（0，2）与圆C相交于点A、B，求线段AB的长．22．如图1，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．（1）证明：AD⊥BC；（2）求三棱锥D﹣ABC的体积．23．设A、B分别为双曲线的左右顶点，双曲线的实轴长为，焦点到渐近线的距离为．（1）求双曲线的方程；（2）已知直线与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使，求t的值及点D的坐标．24．如图，已知ACDE是直角梯形，且ED∥AC，平面ACDE⊥平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，AB=AC=AE=2，，P是BC的中点．（Ⅰ）求证：DP∥平面EAB；（Ⅱ）求平面EBD与平面ABC所成锐二面角大小的余弦值．25．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=DA=6，AB=2，DE=3．（1）求棱锥C﹣ADE的体积；（2）在线段DE上是否存在一点P，使AF∥平面BCE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．26．（理）已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若．（i）求的最值；（ii）求四边形ABCD的面积．27．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为4．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线x=2与椭圆C交于P、Q两点，A、B是椭圆O上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为．①求四边形APBQ面积的最大值；②设直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，判断k1+k2的值是否为常数，并说明理由．2016-2017学年四川省乐山市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．“m=﹣1”是“直线x+y=0和直线x+my=0互相垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出直线垂直的充要条件，从而判断出结论即可．【解答】解：若“直线x+y=0和直线x+my=0互相垂直”，则﹣=1，解得：m=﹣1，故“m=﹣1”是“直线x+y=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件，故选：C．2．已知F1，F2是定点，|F1F2|=16，动点M满足|MF1|+|MF2|=16，则动点M的轨迹是（）A．椭圆B．直线C．圆D．线段【考点】轨迹方程．【分析】根据题意，利用|MF1|+|MF2|=16与|F1F2|=16的长度关系，确定点M在线段F1F2上，即可得答案．【解答】解：根据题意，点M与F1，F2可以构成一个三角形，则必有|MF1|+|MF2|＞|F1F2|，而本题中动点M满足|MF1|+|MF2|=|F1F2|=16，点M在线段F1F2上，即动点M的轨迹线段F1F2，故选：D．3．如果命题“￢（p或q）”为假命题，则（）A．p、q均为真命题B．p、q均为假命题C．p、q中至少有一个为真命题 D．p、q中至多有一个为真命题【考点】复合命题的真假．【分析】¬（p或q）为假命题既p或q是真命题，由复合命题的真假值来判断．【解答】解：¬（p或q）为假命题，则p或q为真命题所以p，q至少有一个为真命题．故选C．4．如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC （）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．钝角三角形【考点】斜二测法画直观图．【分析】根据斜二侧画法，∠x′O′y′=135°，直接判断△ABC的直观图是直角三角形．【解答】解：由斜二测画法，∠x′O′y′=135°，知△ABC直观图为直角三角形，如图故选B．5．关于直线a，b，l以及平面M，N，下面命题中正确的是（）A．若a∥M，b∥M，则a∥bB．若a∥M，b⊥a，则b⊥MC．若a⊥M，a∥N，则M⊥ND．若a⊂M，b⊂M，且l⊥a，l⊥b，则l⊥M【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】A．由线面平行的性质即可判断；B．由线面平行的性质和线面垂直的判定即可判断；C．由线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理即可得到；D．运用线面垂直的判定定理即可得到．【解答】解：A．同平行于一个平面的两条直线可平行也可相交或异面，故A错；B．当a∥M，b⊥a时b与M可平行、b⊂M，b⊥M，故B错；C．若a⊥M，a∥N，则过a的平面K∩N=b，则a∥b，即有b⊥M，又b⊂N，故M ⊥N，故C正确；D．根据线面垂直的判定定理，若a⊂M，b⊂M，且a∩b=O且l⊥a，l⊥b，则l⊥M，故D错误．故选C．6．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与曲线x2+y2﹣8x﹣9=0相切，则p的值为（）A．2 B．1 C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求得圆心及半径，由题意可知：抛物线y2=2px（p＞0）的准线与曲线x2+y2﹣8x﹣9=0相切，丨4+丨=5，解得：p=2．【解答】解：圆x2+y2﹣8x﹣9=0转化为（x﹣4）2+y2=25，圆心（4，0），半径为5，抛物线y2=2px（p＞0）的准线为x=﹣，∵抛物线y2=2px（p＞0）的准线与曲线x2+y2﹣8x﹣9=0相切，∴丨4+丨=5，解得：p=2，∴p的值为2，故选A．7．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为2，其正（主）视图如图所示，则此三棱柱侧（左）视图的面积为（）A．B．4 C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由正视图得到三视图的高，也即其侧视图的高；底面正三角形的高即为侧视图的宽，据以上分析可求出此三棱柱的侧视图的面积．【解答】解：由已知正三棱柱及其正视图可知：其侧视图是一个高与正视图的相同、宽是底面正三角形的高的矩形．由三棱柱的正视图的高为2，可得其侧视图的高也为2．∵底面是边长为2的正三角形，∴其高为．∴此三棱柱侧视图的面积=2×=．故选D．8．已知直线l与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且|AB|=，则•的值是（）A．﹣ B．C．﹣ D．0【考点】平面向量数量积的运算．【分析】直线与圆有两个交点，知道弦长、半径，确定∠AOB的大小，即可求得•的值．【解答】解：依题意可知角∠AOB的一半的正弦值，即sin （∠AOB）=，∴∠AOB=120°，则=1×1×cos120°=﹣，故选：A．9．如图是一正方体的表面展开图，MN和PB是两条面对角线，则在正方体中，直线MN与直线PB的位置关系为（）A．相交B．平行C．异面D．重合【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】把正方体的表面展开图还原成正方体，由此能求出直线MN与直线PB的位置关系．【解答】解：把正方体的表面展开图还原成正方体，如图，∵MN∥BD，PB∩BD=B，∴直线MN与直线PB异面．故选：C．10．（理）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若点P在双曲线上，且，则=（）A． B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】依题意可知a2=9，b2=4，进而求得c，求得F1F2，令PF1=p，PF2=q，由勾股定理得p2+q2=|F1F2|2，求得p2+q2的值，由双曲线定义：|p﹣q|=2a两边平方，把p2+q2代入即可求得pq即可得到结论．【解答】解：依题意可知a2=9，b2=4所以c2=13，F1F2=2c=2令PF1=p，PF2=q由双曲线定义：|p﹣q|=2a=6平方得：p2﹣2pq+q2=36∠F1PF2=90°，由勾股定理得：p2+q2=|F1F2|2=52所以pq=8即|PF1|+|PF2|=2故选B．11．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，P为C的右支上一点，且|PF2|=|F1F2|，则等于（）A．24 B．48 C．50 D．56【考点】双曲线的简单性质．【分析】设点P的坐标为（m，n），其中m＞2，根据点P在双曲线上且|PF2|=|F1F2|，建立关于m、n的方程组，解之得m、n的值，从而得到向量、的坐标，利用向量数量积的坐标公式，可算出的值．【解答】解：根据双曲线方程，得a2=4，b2=5，c==3，所以双曲线的焦点分别为F1（﹣3，0）、F2（3，0），设点P的坐标为（m，n），其中m＞2，则∵点P 在双曲线上，且|PF 2|=|F 1F 2|，∴，解之得m=，n=±∵=（﹣3﹣m ，﹣n ），=（3﹣m ，﹣n ）∴=（﹣3﹣m ）（3﹣m ）+（﹣n ）（﹣n ）=m 2﹣9+n 2=﹣9+=50故选C12．如图所示，在斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，BC 1⊥AC ，则C 1在面ABC 上的射影H 必在（ ）A ．直线AB 上 B ．直线BC 上 C ．直线CA 上D ．△ABC 内部 【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱的结构特征．【分析】如图，C 1在面ABC 上的射影H 必在两个相互垂直平面的交线上，所以证明面ABC ⊥面ABC 1就可以了．【解答】解： ⇒CA ⊥面ABC 1⇒面ABC ⊥面ABC 1，∴过C 1在面ABC 内作垂直于平面ABC ， 垂线在面ABC 1内，也在面ABC 内， ∴点H 在两面的交线上，即H ∈AB ． 故选A13．如图，已知六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，PA=2AB 则下列结论正确的是（ ）A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质．【分析】利用题中条件，逐一分析答案，通过排除和筛选，得到正确答案．【解答】解：∵AD与PB在平面的射影AB不垂直，所以A不成立，又，平面PAB⊥平面PAE，所以平面PAB⊥平面PBC也不成立；BC∥AD∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立．在Rt△PAD中，PA=AD=2AB，∴∠PDA=45°，故选D．14．已知F1，F2是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线上且不与顶点重合，过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为A．若，则该双曲线的离心率为（）A．B．1+C．2 D．2+【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可知：丨PQ丨=丨PF2丨，则丨丨PF1丨﹣丨PF2丨丨=2a，丨PF1丨﹣丨PQ丨=丨QF1丨=2a，由OA是△F2F1Q的中位线，丨QF1丨=2a=2丨OA丨=b，a=，c=a，双曲线的离心率e==．【解答】解：∵F1，F2是双曲线的左右焦点，延长F2A交PF1于Q，∵PA是∠F1PF2的角平分线，∴丨PQ丨=丨PF2丨，∵P在双曲线上，则丨丨PF1丨﹣丨PF2丨丨=2a，∴丨PF1丨﹣丨PQ丨=丨QF1丨=2a，∵O是F1F2中点，A是F2Q中点，∴OA是△F2F1Q的中位线，∴丨QF1丨=2a=2丨OA丨=b，∴a=，c==a，∴双曲线的离心率e==．故选A．二、填空题：本大题共5小题；每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.15．椭圆+=1的左右焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为16．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的方程知，长半轴a=4，利用椭圆的定义知，△ABF2的周长为4a，从而可得答案．【解答】解：椭圆+=1中a=4．又过焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，A，B与椭圆的另一个焦点F2构成△ABF2，则△ABF2的周长l=|AB|+|AF2|+|BF2|=（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=2a+2a=4a=16．故答案为：16．16．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知DA=DC=2，DD1=1，则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可得出．【解答】解：如图所示，B（2，2，0），A1（2，0，1），C（0，2，0），B1（2，2，1），=（0，2，﹣1），=（﹣2，0，﹣1），cos===．故答案为：．17．如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为y2=3x．．【考点】抛物线的标准方程．【分析】根据过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，作AM、BN垂直准线于点M、N，根据|BC|=2|BF|，且|AF|=3，和抛物线的定义，可得∠NCB=30°，设A（x1，y1），B（x2，y2），|BF|=x，而，，且，，可求得p的值，即求得抛物线的方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），作AM、BN垂直准线于点M、N，则|BN|=|BF|，又|BC|=2|BF|，得|BC|=2|BN|，∴∠NCB=30°，有|AC|=2|AM|=6，设|BF|=x，则2x+x+3=6⇒x=1，而，，由直线AB：y=k（x﹣），代入抛物线的方程可得，k2x2﹣（pk2+2p）x+k2p2=0，即有，∴，得y2=3x．故答案为：y2=3x．18．（理）如图在四面体OABC中，OA，OB，OC两两垂直，且OB=OC=3，OA=4，给出如下判断：①存在点D（O点除外），使得四面体DABC有三个面是直角三角形；②存在点D，使得点O在四面体DABC外接球的球面上；③存在唯一的点D使得OD⊥平面ABC；④存在点D，使得四面体DABC是正棱锥；⑤存在无数个点D，使得AD与BC垂直且相等．其中正确命题的序号是①②④⑤（把你认为正确命题的序号填上）．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】①，取D为长方体的一个顶点，使得A，B，C是与D相邻的三个顶点，则可使四面体ABCD有3个面是直角三角形；②，取同①的点D，使得点O与D为相对的两个长方体的顶点，利用长方体一定有外接球即可得出；③，过O可以作一条直线与面ABC垂直，点D可以是该直线上任意点；④，作△CBD为正三角形，使得AD=DB，则点D使四面体ABCD是正三棱锥．⑤过点A作BC的垂面，垂面内过AD的每一条都垂直BC，；【解答】解：对于①，取D为长方体的一个顶点，使得A，B，C是与D相邻的三个顶点，则可使四面体ABCD有3个面是直角三角形，故正确；对于②，∵二面角C﹣OA﹣B为直二面角，∴∠BOC=Rt∠，再取同①的点D，使得点O与D为相对的两个长方体的顶点，则点O在四面体ABCD的外接球球面上，故正确；对于③，过O可以作一条直线与面ABC垂直，点D可以是该直线上任意点，故错④作△CBD为正三角形，使得AD=DB，则点D使四面体ABCD是正三棱锥，故正确．⑤过点A作BC的垂面，垂面内过AD的每一条都垂直BC，故正确；故答案为：①②④⑤19．如图，正方形BCDE的边长为a，已知AB=BC，将△ABE沿边BE折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，则翻折后的几何体中有如下描述：①AB与DE所成角的正切值是；②AB∥CE体积是a3；③V B﹣ACE④平面ABC⊥平面ADC．其中正确的有①③④．（填写你认为正确的序号）【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】作出直观图，逐项进行分析判断．【解答】解：作出折叠后的几何体直观图如图所示：∵AB=a，BE=a，∴AE=．∴AD=．∴AC=．在△ABC中，cos∠ABC===．∴sin∠ABC==．∴tan∠ABC==．∵BC∥DE，∴∠ABC是异面直线AB，DE所成的角，故①正确．连结BD，CE，则CE⊥BD，又AD⊥平面BCDE，CE⊂平面BCDE，∴CE⊥AD，又BD∩AD=D，BD⊂平面ABD，AD⊂平面ABD，∴CE⊥平面ABD，又AB⊂平面ABD，∴CE⊥AB．故②错误．三棱锥B﹣ACE的体积V===，故③正确．∵AD⊥平面BCDE，BC⊂平面BCDE，∴BC⊥AD，又BC⊥CD，∴BC⊥平面ACD，∵BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD．故答案为①③④．三、解答题：本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.20．已知命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（，），若命题p、q中有且只有一个为真命题，则实数m的取值范围是0＜m≤，或3≤m＜5．【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假．【分析】根据椭圆的性质，可求出命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆为真命题时，实数m的取值范围；根据双曲线的性质，可得命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（，）为真命题时，实数m的取值范围；进而结合命题p、q中有且只有一个为真命题，得到答案．【解答】解：若命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆为真命题；则9﹣m＞2m＞0，解得0＜m＜3，则命题p为假命题时，m≤0，或m≥3，若命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（，）为真命题；则∈（，），即∈（，2），即＜m＜5，则命题q为假命题时，m≤，或m≥5，∵命题p、q中有且只有一个为真命题，当p真q假时，0＜m≤，当p假q真时，3≤m＜5，综上所述，实数m的取值范围是：0＜m≤，或3≤m＜5．故答案为：0＜m≤，或3≤m＜521．已知圆C：x2+y2﹣8y+12=0，直线l：ax+y+2a=0．（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）若直线l过点（0，2）与圆C相交于点A、B，求线段AB的长．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）直线l与圆C相切，则=2，解得a值；（2）若直线l过点（0，2）即x﹣y+2=0，代入圆的弦长公式，可得答案．【解答】解：将圆C的方程x2+y2﹣8y+12=0化为标准方程x2+（y﹣4）2=4，则此圆的圆心为（0，4），半径为2．…（1）若直线l与圆C相切，则有=2．…解得a=﹣．…（2）直线l的方程为：，即x﹣y+2=0，…圆心（0，4）到l的距离为，…则…22．如图1，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．（1）证明：AD⊥BC；（2）求三棱锥D﹣ABC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】（1）先证明BC⊥平面PAC，再证明AD⊥平面PBC，进而可得AD⊥BC；（2）三棱锥D﹣ABC的体积即为三棱锥B﹣ADC的体积，进而得到答案．【解答】解：（1）证明：因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，又AC⊥BC，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥AD．…由三视图可得，在△PAC中，PA=AC=4，D为PC中点，所以AD⊥PC，所以AD⊥平面PBC又因为BC⊂面PBC，故AD⊥BC…（2）由三视图可得BC=4，由（1）知∠ADC=90°，BC⊥平面PAC…又三棱锥D﹣ABC的体积即为三棱锥B﹣ADC的体积，所以，所求三棱锥的体积…23．设A、B分别为双曲线的左右顶点，双曲线的实轴长为，焦点到渐近线的距离为．（1）求双曲线的方程；（2）已知直线与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使，求t的值及点D的坐标．【考点】直线与圆锥曲线的关系；双曲线的标准方程．【分析】（1）由实轴长可得a值，由焦点到渐近线的距离可得b，c的方程，再由a，b，c间的平方关系即可求得b；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），D（x0，y0），则x1+x2=tx0，y1+y2=ty0，则x1+x2=tx0，y1+y2=ty0，联立直线方程与双曲线方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理可得x1+x2，进而求得y1+y2，从而可得，再由点D在双曲线上得一方程，联立方程组即可求得D点坐标，从而求得t值；【解答】解：（1）由实轴长为，得，渐近线方程为x，即bx﹣2y=0，∵焦点到渐近线的距离为，∴，又c2=b2+a2，∴b2=3，∴双曲线方程为：；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），D（x0，y0），则x1+x2=tx0，y1+y2=ty0，由，∴y1+y2=﹣4=12，∴，解得，∴t=4，∴，t=4．24．如图，已知ACDE是直角梯形，且ED∥AC，平面ACDE⊥平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，AB=AC=AE=2，，P是BC的中点．（Ⅰ）求证：DP∥平面EAB；（Ⅱ）求平面EBD与平面ABC所成锐二面角大小的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（I）取AB的中点F，连接PF，EF．利用三角形的中位线定理可得．再利用已知条件和平行四边形的判定定理可得四边形EFPD是平行四边形，可得PD∥EF．利用线面平行的判定定理即可得出；（II）通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．【解答】（I）证明：取AB的中点F，连接PF，EF．又∵P是BC的中点，∴．∵，ED∥AC，∴，∴四边形EFPD是平行四边形，∴PD∥EF．而EF⊂平面EAB，PD⊄平面EAB，∴PD∥平面EAB．（II）∵∠BAC=90°，平面ACDE⊥平面ABC，∴BA⊥平面ACDE．以点A为坐标原点，直线AB为x轴，AC为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则z轴在平面EACD内．则A（0，0，），B（2，0，0），，．∴，．设平面EBD的法向量，由，得，取z=2，则，y=0．∴．可取作为平面ABC的一个法向量，∴===．即平面EBD与平面ABC所成锐二面角大小的余弦值为．25．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=DA=6，AB=2，DE=3．（1）求棱锥C﹣ADE的体积；（2）在线段DE上是否存在一点P，使AF∥平面BCE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面平行的判定．=AE•DE．由于CD⊥平面【分析】（1）在Rt△ADE中，AE=，可得S△ADE=CD•S△ADE．ADE，可得V C﹣ADE（2）在线段DE上存在一点F，使AF∥平面BCE，=，设F为线段DE上的一点，过F作FM∥CD交CE于点M，由线面垂直的性质可得：CD∥AB．可得四边形ABMF 是平行四边形，于是AF∥BM，即可证明AF∥平面BCE【解答】解：（1）在Rt△ADE中，AE==3，=AE•DE=×3×3=，∴S△ADE=CD•S△ADE=×6×=9，∵CD⊥平面ADE，∴V C﹣ADE在线段DE上存在一点F，使AF∥平面BCE，=，下面给出证明：设F为线段DE上的一点，且=，过F作FM∥CD交CE于点M，则FM=，∵CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，∴CD∥AB．又CD=3AB，∴MF∥AB，MF=AB，∴四边形ABMF是平行四边形，∴AF∥BM，又AF⊄平面BCE，BM⊂平面BCE．∴AF∥平面BCE．26．（理）已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若．（i）求的最值；（ii）求四边形ABCD的面积．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）与已知列关于a，b，c的方程组，求解方程组可得a，b的值，则椭圆的标准方程可求；（2）设直线AB的方程为y=kx+m，联立直线方程和椭圆方程，由可得k与m的关系．（i）由数量积的坐标运算把化为含有k的代数式求得最值；（ii）首先求出△AOB的面积，乘以4即可求得四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）由题意，，又a2=b2+c2，解得：a2=8，b2=4，∴椭圆的标准方程为；（2）设直线AB的方程为y=kx+m，再设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0．△=（4m）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0…①，∵，∴，∴，=，∴，得4k2+2=m2．（i）=．∴﹣2=2﹣4．当k=0（此时m2=2满足①式），即直线AB平行于x轴时，的最小值为﹣2．又直线AB的斜率不存在时，，∴的最大值为2；（ii）设原点到直线AB的距离为d，则==．∴．27．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为4．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线x=2与椭圆C交于P、Q两点，A、B是椭圆O上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为．①求四边形APBQ面积的最大值；②设直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，判断k1+k2的值是否为常数，并说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）设椭圆C的方程为，由短轴长可得b值，根据离心率为及a2=b2+c2，得a值；（Ⅱ）①设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=x+t，代入得x的二次方程，四边形APBQ的面积S==．，而|PQ|易求，代入韦达定理即可求得S的表达式，由表达式即可求得S的最大值；②直线PA的斜率，直线PB的斜率，代入韦达定理即可求得k1+k2的值；【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为．第31页（共31页）由已知b=2，离心率e=，a 2=b 2+c 2，得a=4，所以，椭圆C 的方程为． （Ⅱ）①由（Ⅰ）可求得点P 、Q 的坐标为P （2，3），Q （2，﹣3），则|PQ |=6， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线AB 的方程为y=x +t ，代入， 得：x 2+tx +t 2﹣12=0．由△＞0，解得﹣4＜t ＜4，由根与系数的关系得， 四边形APBQ 的面积， 故当t=0时，；②由题意知，直线PA 的斜率，直线PB 的斜率， 则==，由①知可得，所以k 1+k 2的值为常数0．。
四川乐山16-17学年高一上期末--数学(解析版)
9．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低 ，现在价格为8100元的计算机经过15年的价格应降为（ ）
A．2300元B．2800元C．2400元D．2000元
10．已知a＞b，函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象如图所示，则函数g（x）=loga（x+b）的图象可能为（ ）
13．已知幂函数y=xα的图象过点 ，则f（4）=．
14．已知第二象限的角α的终边与单位圆的交点 ，则tanα=．
15．若f（x）= +a是奇函数，则a=．
16．对于函数①f（x）=lg（|x﹣2|+1），②f（x）=（x﹣2）2，③f（x）=cos（x+2）．给出如下三个命题：
命题甲：f（x+2）是偶函数；
（3）设a＞0，若对任意t∈[ ，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．
2016-2017学年四川省乐山市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={x||x|≤1}，则A∩B等于（ ）
【解答】解：∵函数f（x）= ，
∴f（ ）= =4，
=f（4）=log28=3．
故选：B．
4．函数f（x）=log3x+x﹣3的零点所在的区间是（ ）
A．（0，2）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】求出函数的定义域，判断连续性，求得 f（2）•f（3）＜0，根据函数的零点的判定定理，可得函数零点所在的大致区间．
2017年四川省乐山市高二上学期期末数学试卷与解析答案
2016-2017学年四川省乐山市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）“m=﹣1”是“直线x+y=0和直线x+my=0互相垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）已知F1，F2是定点，|F1F2|=16，动点M满足|MF1|+|MF2|=16，则动点M的轨迹是（）A．椭圆B．直线C．圆D．线段3．（5分）如果命题“￢（p或q）”为假命题，则（）A．p、q均为真命题B．p、q均为假命题C．p、q中至少有一个为真命题 D．p、q中至多有一个为真命题4．（5分）如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC （）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．钝角三角形5．（5分）关于直线a，b，l以及平面M，N，下面命题中正确的是（）A．若a∥M，b∥M，则a∥bB．若a∥M，b⊥a，则b⊥MC．若a⊥M，a∥N，则M⊥ND．若a⊂M，b⊂M，且l⊥a，l⊥b，则l⊥M6．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与曲线x2+y2﹣8x﹣9=0相切，则p 的值为（）A．2 B．1 C．D．7．（5分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为2，其正（主）视图如图所示，则此三棱柱侧（左）视图的面积为（）A．B．4 C．D．8．（5分）已知直线l与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且|AB|=，则•的值是（）A．﹣ B．C．﹣ D．09．（5分）如图是一正方体的表面展开图，MN和PB是两条面对角线，则在正方体中，直线MN与直线PB的位置关系为（）A．相交B．平行C．异面D．重合10．（5分）（理）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若点P在双曲线上，且，则=（）A． B．2C．D．11．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，P为C的右支上一点，且|PF2|=|F1F2|，则等于（）A．24 B．48 C．50 D．5612．（5分）如图所示，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在面ABC上的射影H必在（）A．直线AB上B．直线BC上C．直线CA上D．△ABC内部13．如图，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB 则下列结论正确的是（）A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°14．（5分）已知F1，F2是双曲线的左，右焦点，点P 在双曲线上且不与顶点重合，过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为A．若，则该双曲线的离心率为（）A．B．1+C．2 D．2+二、填空题：本大题共5小题；每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上. 15．（5分）椭圆+=1的左右焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为．16．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知DA=DC=2，DD1=1，则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值．17．（5分）如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为．18．（5分）（理）如图在四面体OABC中，OA，OB，OC两两垂直，且OB=OC=3，OA=4，给出如下判断：①存在点D（O点除外），使得四面体DABC有三个面是直角三角形；②存在点D，使得点O在四面体DABC外接球的球面上；③存在唯一的点D使得OD⊥平面ABC；④存在点D，使得四面体DABC是正棱锥；⑤存在无数个点D，使得AD与BC垂直且相等．其中正确命题的序号是（把你认为正确命题的序号填上）．19．如图，正方形BCDE的边长为a，已知AB=BC，将△ABE沿边BE折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，则翻折后的几何体中有如下描述：①AB与DE所成角的正切值是；②AB∥CE③V B体积是a3；﹣ACE④平面ABC⊥平面ADC．其中正确的有．（填写你认为正确的序号）三、解答题：本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.20．（10分）已知命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（，），若命题p、q中有且只有一个为真命题，则实数m的取值范围是．21．（12分）已知圆C：x2+y2﹣8y+12=0，直线l：ax+y+2a=0．（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）若直线l过点（0，2）与圆C相交于点A、B，求线段AB的长．22．（12分）如图1，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．（1）证明：AD⊥BC；（2）求三棱锥D﹣ABC的体积．23．（12分）设A、B分别为双曲线的左右顶点，双曲线的实轴长为，焦点到渐近线的距离为．（1）求双曲线的方程；（2）已知直线与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使，求t的值及点D的坐标．24．（12分）如图，已知ACDE是直角梯形，且ED∥AC，平面ACDE⊥平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，AB=AC=AE=2，，P是BC的中点．（Ⅰ）求证：DP∥平面EAB；（Ⅱ）求平面EBD与平面ABC所成锐二面角大小的余弦值．25．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=DA=6，AB=2，DE=3．（1）求棱锥C﹣ADE的体积；（2）在线段DE上是否存在一点P，使AF∥平面BCE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．26．（12分）（理）已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若．（i）求的最值；（ii）求四边形ABCD的面积．27．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为4．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线x=2与椭圆C交于P、Q两点，A、B是椭圆O上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为．①求四边形APBQ面积的最大值；②设直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，判断k1+k2的值是否为常数，并说明理由．2016-2017学年四川省乐山市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）“m=﹣1”是“直线x+y=0和直线x+my=0互相垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若“直线x+y=0和直线x+my=0互相垂直”，则﹣=1，解得：m=﹣1，故“m=﹣1”是“直线x+y=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件，故选：C．2．（5分）已知F1，F2是定点，|F1F2|=16，动点M满足|MF1|+|MF2|=16，则动点M的轨迹是（）A．椭圆B．直线C．圆D．线段【解答】解：根据题意，点M与F1，F2可以构成一个三角形，则必有|MF1|+|MF2|＞|F1F2|，而本题中动点M满足|MF1|+|MF2|=|F1F2|=16，点M在线段F1F2上，即动点M的轨迹线段F1F2，故选：D．3．（5分）如果命题“￢（p或q）”为假命题，则（）A．p、q均为真命题B．p、q均为假命题C．p、q中至少有一个为真命题 D．p、q中至多有一个为真命题【解答】解：¬（p或q）为假命题，则p或q为真命题所以p，q至少有一个为真命题．故选C．4．（5分）如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC （）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．钝角三角形【解答】解：由斜二测画法，∠x′O′y′=135°，知△ABC直观图为直角三角形，如图故选B．5．（5分）关于直线a，b，l以及平面M，N，下面命题中正确的是（）A．若a∥M，b∥M，则a∥bB．若a∥M，b⊥a，则b⊥MC．若a⊥M，a∥N，则M⊥ND．若a⊂M，b⊂M，且l⊥a，l⊥b，则l⊥M【解答】解：A．同平行于一个平面的两条直线可平行也可相交或异面，故A错；B．当a∥M，b⊥a时b与M可平行、b⊂M，b⊥M，故B错；C．若a⊥M，a∥N，则过a的平面K∩N=b，则a∥b，即有b⊥M，又b⊂N，故M⊥N，故C正确；D．根据线面垂直的判定定理，若a⊂M，b⊂M，且a∩b=O且l⊥a，l⊥b，则l ⊥M，故D错误．故选C．6．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与曲线x2+y2﹣8x﹣9=0相切，则p的值为（）A．2 B．1 C．D．【解答】解：圆x2+y2﹣8x﹣9=0转化为（x﹣4）2+y2=25，圆心（4，0），半径为5，抛物线y2=2px（p＞0）的准线为x=﹣，∵抛物线y2=2px（p＞0）的准线与曲线x2+y2﹣8x﹣9=0相切，∴丨4+丨=5，解得：p=2，∴p的值为2，故选A．7．（5分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为2，其正（主）视图如图所示，则此三棱柱侧（左）视图的面积为（）A．B．4 C．D．【解答】解：由已知正三棱柱及其正视图可知：其侧视图是一个高与正视图的相同、宽是底面正三角形的高的矩形．由三棱柱的正视图的高为2，可得其侧视图的高也为2．∵底面是边长为2的正三角形，∴其高为．∴此三棱柱侧视图的面积=2×=．故选D．8．（5分）已知直线l与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且|AB|=，则•的值是（）A．﹣ B．C．﹣ D．0【解答】解：依题意可知角∠AOB的一半的正弦值，即sin （∠AOB）=，∴∠AOB=120°，则=1×1×cos120°=﹣，故选：A．9．（5分）如图是一正方体的表面展开图，MN和PB是两条面对角线，则在正方体中，直线MN与直线PB的位置关系为（）A．相交B．平行C．异面D．重合【解答】解：把正方体的表面展开图还原成正方体，如图，∵MN∥BD，PB∩BD=B，∴直线MN与直线PB异面．故选：C．10．（5分）（理）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若点P在双曲线上，且，则=（）A． B．2C．D．【解答】解：依题意可知a2=9，b2=4所以c2=13，F1F2=2c=2令PF1=p，PF2=q由双曲线定义：|p﹣q|=2a=6平方得：p2﹣2pq+q2=36∠F1PF2=90°，由勾股定理得：p2+q2=|F1F2|2=52所以pq=8即|PF1|+|PF2|=2故选B．11．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，P为C的右支上一点，且|PF2|=|F1F2|，则等于（）A．24 B．48 C．50 D．56【解答】解：根据双曲线方程，得a2=4，b2=5，c==3，所以双曲线的焦点分别为F1（﹣3，0）、F2（3，0），设点P的坐标为（m，n），其中m＞2，则∵点P在双曲线上，且|PF2|=|F1F2|，∴，解之得m=，n=±∵=（﹣3﹣m，﹣n），=（3﹣m，﹣n）∴=（﹣3﹣m）（3﹣m）+（﹣n）（﹣n）=m2﹣9+n2=﹣9+=50故选C12．（5分）如图所示，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在面ABC上的射影H必在（）A．直线AB上B．直线BC上C．直线CA上D．△ABC内部【解答】解：⇒CA⊥面ABC1⇒面ABC⊥面ABC1，∴过C1在面ABC内作垂直于平面ABC，垂线在面ABC1内，也在面ABC内，∴点H在两面的交线上，即H∈AB．故选A13．如图，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB 则下列结论正确的是（）A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°【解答】解：∵AD与PB在平面的射影AB不垂直，所以A不成立，又，平面PAB⊥平面PAE，所以平面PAB⊥平面PBC也不成立；BC∥AD∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立．在Rt△PAD中，PA=AD=2AB，∴∠PDA=45°，故选D．14．（5分）已知F1，F2是双曲线的左，右焦点，点P 在双曲线上且不与顶点重合，过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为A．若，则该双曲线的离心率为（）A．B．1+C．2 D．2+【解答】解：∵F1，F2是双曲线的左右焦点，延长F2A交PF1于Q，∵PA是∠F1PF2的角平分线，∴丨PQ丨=丨PF2丨，∵P在双曲线上，则丨丨PF1丨﹣丨PF2丨丨=2a，∴丨PF1丨﹣丨PQ丨=丨QF1丨=2a，∵O是F1F2中点，A是F2Q中点，∴OA是△F2F1Q的中位线，∴丨QF1丨=2a=2丨OA丨=b，∴a=，c==a，∴双曲线的离心率e==．故选A．二、填空题：本大题共5小题；每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上. 15．（5分）椭圆+=1的左右焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为16．【解答】解：椭圆+=1中a=4．又过焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，A，B与椭圆的另一个焦点F2构成△ABF2，则△ABF2的周长l=|AB|+|AF2|+|BF2|=（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=2a+2a=4a=16．故答案为：16．16．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知DA=DC=2，DD1=1，则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值．【解答】解：如图所示，B（2，2，0），A1（2，0，1），C（0，2，0），B1（2，2，1），=（0，2，﹣1），=（﹣2，0，﹣1），cos===．故答案为：．17．（5分）如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为y2=3x．．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），作AM、BN垂直准线于点M、N，则|BN|=|BF|，又|BC|=2|BF|，得|BC|=2|BN|，∴∠NCB=30°，有|AC|=2|AM|=6，设|BF|=x，则2x+x+3=6⇒x=1，而，，由直线AB：y=k（x﹣），代入抛物线的方程可得，k2x2﹣（pk2+2p）x+k2p2=0，即有，∴，得y2=3x．故答案为：y2=3x．18．（5分）（理）如图在四面体OABC中，OA，OB，OC两两垂直，且OB=OC=3，OA=4，给出如下判断：①存在点D（O点除外），使得四面体DABC有三个面是直角三角形；②存在点D，使得点O在四面体DABC外接球的球面上；③存在唯一的点D使得OD⊥平面ABC；④存在点D，使得四面体DABC是正棱锥；⑤存在无数个点D，使得AD与BC垂直且相等．其中正确命题的序号是①②④⑤（把你认为正确命题的序号填上）．【解答】解：对于①，取D为长方体的一个顶点，使得A，B，C是与D相邻的三个顶点，则可使四面体ABCD有3个面是直角三角形，故正确；对于②，∵二面角C﹣OA﹣B为直二面角，∴∠BOC=Rt∠，再取同①的点D，使得点O与D为相对的两个长方体的顶点，则点O在四面体ABCD的外接球球面上，故正确；对于③，过O可以作一条直线与面ABC垂直，点D可以是该直线上任意点，故错④作△CBD为正三角形，使得AD=DB，则点D使四面体ABCD是正三棱锥，故正确．⑤过点A作BC的垂面，垂面内过AD的每一条都垂直BC，故正确；故答案为：①②④⑤19．如图，正方形BCDE的边长为a，已知AB=BC，将△ABE沿边BE折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，则翻折后的几何体中有如下描述：①AB与DE所成角的正切值是；②AB∥CE体积是a3；③V B﹣ACE④平面ABC⊥平面ADC．其中正确的有①③④．（填写你认为正确的序号）【解答】解：作出折叠后的几何体直观图如图所示：∵AB=a，BE=a，∴AE=．∴AD=．∴AC=．在△ABC中，cos∠ABC===．∴sin∠ABC==．∴tan∠ABC==．∵BC∥DE，∴∠ABC是异面直线AB，DE所成的角，故①正确．连结BD，CE，则CE⊥BD，又AD⊥平面BCDE，CE⊂平面BCDE，∴CE⊥AD，又BD∩AD=D，BD⊂平面ABD，AD⊂平面ABD，∴CE⊥平面ABD，又AB⊂平面ABD，∴CE⊥AB．故②错误．三棱锥B﹣ACE的体积V===，故③正确．∵AD⊥平面BCDE，BC⊂平面BCDE，∴BC⊥AD，又BC⊥CD，∴BC⊥平面ACD，∵BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD．故答案为①③④．三、解答题：本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.20．（10分）已知命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（，），若命题p、q中有且只有一个为真命题，则实数m的取值范围是0＜m≤，或3≤m＜5．【解答】解：若命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆为真命题；则9﹣m＞2m＞0，解得0＜m＜3，则命题p为假命题时，m≤0，或m≥3，若命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（，）为真命题；则∈（，），即∈（，2），即＜m＜5，则命题q为假命题时，m≤，或m≥5，∵命题p、q中有且只有一个为真命题，当p真q假时，0＜m≤，当p假q真时，3≤m＜5，综上所述，实数m的取值范围是：0＜m≤，或3≤m＜5．故答案为：0＜m≤，或3≤m＜521．（12分）已知圆C：x2+y2﹣8y+12=0，直线l：ax+y+2a=0．（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）若直线l过点（0，2）与圆C相交于点A、B，求线段AB的长．【解答】解：将圆C的方程x2+y2﹣8y+12=0化为标准方程x2+（y﹣4）2=4，则此圆的圆心为（0，4），半径为2．…（2分）（1）若直线l与圆C相切，则有=2．…（4分）解得a=﹣．…（6分）（2）直线l的方程为：，即x﹣y+2=0，…（8分）圆心（0，4）到l的距离为，…（10分）则…（12分）22．（12分）如图1，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．（1）证明：AD⊥BC；（2）求三棱锥D﹣ABC的体积．【解答】解：（1）证明：因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，又AC⊥BC，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥AD．…（3分）由三视图可得，在△PAC中，PA=AC=4，D为PC中点，所以AD⊥PC，所以AD⊥平面PBC又因为BC⊂面PBC，故AD⊥BC…（6分）（2）由三视图可得BC=4，由（1）知∠ADC=90°，BC⊥平面PAC…（9分）又三棱锥D﹣ABC的体积即为三棱锥B﹣ADC的体积，所以，所求三棱锥的体积…（12分）23．（12分）设A、B分别为双曲线的左右顶点，双曲线的实轴长为，焦点到渐近线的距离为．（1）求双曲线的方程；（2）已知直线与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使，求t的值及点D的坐标．【解答】解：（1）由实轴长为，得，渐近线方程为x，即bx﹣2y=0，∵焦点到渐近线的距离为，∴，又c2=b2+a2，∴b2=3，∴双曲线方程为：；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），D（x0，y0），则x1+x2=tx0，y1+y2=ty0，由，∴y1+y2=﹣4=12，∴，解得，∴t=4，∴，t=4．24．（12分）如图，已知ACDE是直角梯形，且ED∥AC，平面ACDE⊥平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，AB=AC=AE=2，，P是BC的中点．（Ⅰ）求证：DP∥平面EAB；（Ⅱ）求平面EBD与平面ABC所成锐二面角大小的余弦值．【解答】（I）证明：取AB的中点F，连接PF，EF．又∵P是BC的中点，∴．∵，ED∥AC，∴，∴四边形EFPD是平行四边形，∴PD∥EF．而EF⊂平面EAB，PD⊄平面EAB，∴PD∥平面EAB．（II）∵∠BAC=90°，平面ACDE⊥平面ABC，∴BA⊥平面ACDE．以点A为坐标原点，直线AB为x轴，AC为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则z轴在平面EACD内．则A（0，0，），B（2，0，0），，．∴，．设平面EBD的法向量，由，得，取z=2，则，y=0．∴．可取作为平面ABC的一个法向量，∴===．即平面EBD与平面ABC所成锐二面角大小的余弦值为．25．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=DA=6，AB=2，DE=3．（1）求棱锥C﹣ADE的体积；（2）在线段DE上是否存在一点P，使AF∥平面BCE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在Rt△ADE中，AE==3，=AE•DE=×3×3=，∴S△ADE=CD•S△ADE=×6×=9，∵CD⊥平面ADE，∴V C﹣ADE在线段DE上存在一点F，使AF∥平面BCE，=，下面给出证明：设F为线段DE上的一点，且=，过F作FM∥CD交CE于点M，则FM=，∵CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，∴CD∥AB．又CD=3AB，∴MF∥AB，MF=AB，∴四边形ABMF是平行四边形，∴AF∥BM，又AF⊄平面BCE，BM⊂平面BCE．∴AF∥平面BCE．26．（12分）（理）已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若．（i）求的最值；（ii）求四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）由题意，，又a2=b2+c2，解得：a2=8，b2=4，∴椭圆的标准方程为；（2）设直线AB的方程为y=kx+m，再设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0．△=（4m）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0…①，∵，∴，∴，=，∴，得4k2+2=m2．（i）=．∴﹣2=2﹣4．当k=0（此时m2=2满足①式），即直线AB平行于x轴时，的最小值为﹣2．又直线AB的斜率不存在时，，∴的最大值为2；（ii）设原点到直线AB的距离为d，则==．∴．27．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为4．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线x=2与椭圆C交于P、Q两点，A、B是椭圆O上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为．①求四边形APBQ面积的最大值；②设直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，判断k1+k2的值是否为常数，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为．由已知b=2，离心率e=，a2=b2+c2，得a=4，所以，椭圆C的方程为．（Ⅱ）①由（Ⅰ）可求得点P、Q的坐标为P（2，3），Q（2，﹣3），则|PQ|=6，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=x+t，代入，得：x2+tx+t2﹣12=0．由△＞0，解得﹣4＜t＜4，由根与系数的关系得，四边形APBQ的面积，故当t=0时，；②由题意知，直线PA的斜率，直线PB的斜率，则==，由①知，可得，所以k1+k2的值为常数0．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
高考数学一轮总复习专题2.6对数及对数函数练习(含解析)文(2021年整理)
专题2.6 对数及对数函数真题回放1. 【2017高考天津文第6题】已知奇函数在上是增函数.若，则的大小关系为 （A ）（B ）（C ）（D ） 【答案】【考点】1。
指数，对数；2.函数性质的应用【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性与指数、对数的运算问题,属于基础题型,首先根据奇函数的性质和对数运算法则，，再比较比较大小。
2.【2017高考全国卷文第9题】已知函数,则 A ． 在(0，2）单调递增B ．在（0，2）单调递减C ．y =的图像关于直线x =1对称D ．y =的图像关于点(1，0）对称【答案】C 【解析】试题分析：由题意知，,所以的图象关于直线对称,C 正确，D 错误；又（),在上单调递增，在上单调递减，A ，B 错误，故选C ．【考点】函数性质【名师点睛】如果函数，，满足，恒有 ()f x R0.8221(l o g ),(l o g 4.1),(2)5a f b f cf =-==,,abca b c <<b a c <<c b a <<c a b <<C()2l o g5a f =0.822l o g 5,l o g 4.1,2()l nl n (2)fx x x =+-()f x ()f x ()f x ()f x (2)l n (2)l n()fx x x f x -=-+=()f x 1x =112(1)'()2(2)x f x x x x x -=-=--02x <<(0,1)[1,2)()f x x D ∀∈x D ∀∈()()fa x fb x +=-，那么函数的图象有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心．3。
【2017高考全国卷文第8题】函数的单调递增区间是 A 。
B. C 。
D.【答案】D4。
【2015高考上海卷文第8题】 方程的解为 。
【答案】2【解析】依题意,所以， 令，所以,解得或， 当时，，所以，而，所以不合题意，舍去； 当时，，所以，，，所以满足条件，所以是原方程的解. 【考点定位】对数方程。
四川省宜宾市2016-2017学年高一上学期期末数学试卷( word版含答案)
四川省宜宾市2016-2017学年高一上学期期末数学试卷( word版含答案)2016-2017学年四川省宜宾市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={-2,-1,1,2,3}，集合B={x|-2≤x＜2}，则集合A∩B=（）A。
{-2,-1,1,2}B。
{x|-2≤x≤1}C。
{x|-2≤x＜2}D。
{x|-2＜x＜2}2.$\log_2\frac{1}{8}=$（）A。
-3B。
$\frac{1}{3}$C。
$\frac{1}{4}$D。
-43.函数$y=\frac{1}{x-1}$的定义域是（）A。
(-∞,1)B。
(1,+∞)C。
(0,1)D。
(1,∞)4.要得到函数$y=2\sin x$向左平移$\frac{\pi}{4}$个单位的图象，只需要将函数$y=2\sin(x-\frac{\pi}{4})$的图象（）A。
向左平移$\frac{\pi}{4}$个单位B。
向右平移$\frac{\pi}{4}$个单位C。
向左平移$\frac{\pi}{2}$个单位D。
向右平移$\frac{\pi}{2}$个单位5.函数$f(x)=\log_2(x+x^{-2})$的零点所在的区间是（）A。
（0,1）B。
(1,2)C。
(2,3)D。
(3,4)6.函数$f(x)=\sin^2x+\cos^2x$的图象大致为（）A。
一条水平直线B。
一条竖直直线C。
一条斜线D。
一个圆7.若$\tan\beta$是第四象限的角，则$\cos\beta$=A。
正数B。
负数C。
0D。
18.设$a=\log_3 2$，$b=\log_5 2$，$c=\log_2 3$，则（）A。
$a>c>b$B。
$b>c>a$XXX>b>a$D。
$c>a>b$9.若函数$f(x)=\frac{2x^2-5x+3}{(x-1)^2}$，则$f(x)=0$的解析式为（）A。
2016-2017学年四川省高一上学期期末考试数学试题(解析版)7
高一上学期期末考试数学试题一、选择题1．已知集合{}1,0,1,2A =-， {|1}B x x =≤，则A B ⋂等于( ) A. {}1,0,1- B. {}0,1,2 C. {}0,1 D. {}1,2 【答案】A【解析】依题意， []=1,1B -，故{}1,0,1A B ⋂=-.点睛：集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是定义域还是值域，是实数还是点的坐标还是其他的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间是包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.2．cos585︒的值为( )A.B. -C.D. 【答案】D 【解析】()()cos58=+=3．已知函数()()221,1{log 4,1x f x x x x <=+≥，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】B【解析】()214,4log 832f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.4．函数()3log 3f x x x =+-的零点所在的区间是( ) A. ()0,2 B. ()1,2 C. ()2,3 D. ()3,4 【答案】C【解析】由于()()32log 210,310f f =-=，故选C .5．已知集合2{|20}A x x x =+<， {|1}B x a x a =<<+，且B A ⊆，则实数a 的取值范围是( )A. 2a <-或1a >-B. 21a -<<-C. 2a ≤-或1a ≥-D. 21a -≤≤- 【答案】D【解析】依题意()2,0A =-，由于B 是A 的子集，所以2{10a a ≥-+≤，解得[]2,1a ∈--.6．已知函数()()sin (0,)2f x A x A πωϕϕ=+><的图象（部分）如图所示，则12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据图象的最高点得到2A =，由于511,2,π4632T T ω=-===，故()()2sin f x x πϕ=+，而1ππ2s i n 2,336f ϕϕ⎛⎫⎛⎫=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1ππ2s i n 322f ⎛⎫⎛-=-=- ⎪ ⎝⎭⎝. 7．下列函数中为奇函数的是( )A. cos y x x =B. sin y x x =C. 1n y x =D. 2x y -= 【答案】A【解析】A 为奇函数， B 为偶函数， C,D 为非奇非偶函数。
2019学年四川省乐山市高一上学期期末考试数学试卷【含答案及解析】
2019学年四川省乐山市高一上学期期末考试数学试卷【含答案及解析】姓名 ___________ 班级 ______________ 分数 ___________、选择题1.已知集合 J= {-1.0.1.2}， —{■v| < 1}则 “口等于（）A. {-10-1}B. {0.1.2}c. {(>1} D.2. ros.585的值为（）A.B._並C.匹D.T/?丁tr7«r1~ -: C<1FX3.已知函八）列上-则//二()10冬（工十X12丿丿A. 2B. 3C. 4D. 84. 函数. -.■■■的零点所在的区间是（）A. ' IB. ■丨C. JD. |5. 已知集合，汽|工, * 讥I —.小：-■，且 S ；，则实数的取值范围是（）A. : - 或 - ______________________B. - -C. : - 或-- ------------ D. __7. 下列函数中为奇函数的是（）A.：!■■■■ B. m- C.-，现在价格为8100元的计算机经过15年的价格应降为（） 已知血满足= 1 ，那么LOS—+住yJT —a彳l 斗丿u )25a25 C.77B. -D.1S1R1R18. A.的值为（9.由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔d 的图象（部分）如图所示，则5年计算机的价格降低A. 2300 元___________B. 2800 元___________C. 2400 元___________D. 2000 元10. 已知a > b ,函数f（x ）= （x - a ））的图象可能为（）（x - b ）的图象如图所示，贝恼(x+bA. B.11. 若，对任意实数匸都有f—+ I = / —-/成立,I弓）丿且/匚卜-1，则实数址的值等于（）A. -3 或1B. 1C. -1 或3D. -3（X—。
四川省乐山市2016年高中阶段教育学校招生统一考试数学试题(有答案)
ABCDE图235°60°图4(A )(B )(D)(C)图1A BCD图3乐山市2016年高中阶段教育学校招生统一考试数 学本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），共8页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．考生作答时，不能使用任何型号的计算器．第一部分（选择题 共30分）注意事项：1．选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上． 2．本部分共10小题，每小题3分，共30分．一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1.下列四个数中，最大的数是()A 0()B 2()C 3-()D 42．图1是由四个大小完全相同的正方体组成的几何体，那么它的俯视图是3．如图2，CE 是ABC ∆的外角ACD ∠的平分线，若35B ∠=o，60ACE ∠=o，则A ∠= ()A 35o()B 95o()C 85o()D 75o4．下列等式一定成立的是()A 235m n mn += ()B 326()=m m()C 236m m m ⋅=()D 222()m n m n -=- 5.如图3，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=o，AD BC ⊥于点D ，则下列结论不正确．．．的是 ()A sin AD B AB =()B sin AC B BC =()C sin AD B AC = ()D sin CDB AC = 6. 不等式组20210x x +>⎧⎨-≤⎩的所有整数解是 ()A 1-、0 ()B 2-、1- ()C 0、1 ()D 2-、1-、07. 如图4，C 、D 是以线段AB 为直径的⊙O 上两点，若CA CD =，且40ACD ∠=o则CAB ∠=()A 10o ()B 20oED A()C 30o()D 40o8．现有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子的六个面上都分别标有数字1、2、3、4、5、6.同时投掷这两枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果，那么所得结果之和为9的概率是()A 13 ()B 16 ()C 19 ()D 1129. 若t 为实数，关于x 的方程2420x x t -+-=的两个非负实数根为a 、b ，则代数式22(1)(1)a b --的最小值是()A 15- ()B 16- ()C 15 ()D 1610．如图5，在反比例函数象限内有一点C 图象上运动，若tan ∠()A 2 ()C 6注意事项1．考生使用0.5mm 234．本部分共16二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．11．计算：5-=__▲__.图8FE DCBA12．因式分解：32a ab -=__▲__.13．如图6，在ABC ∆中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，若ADE ∆与ABC ∆的周长之比为2:3，4AD =，则DB =___▲__.14．在数轴上表示实数a 的点如图72a -的结果为___▲__.15. 如图8，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=o，AC =以点C 为圆心，CB 的长为半径画弧，与AB 边交于点D ,将»BD绕点D 旋转0180后点B 与点A 恰好重合，则图中阴影部分的面积为___▲__.16.高斯函数[]x ，也称为取整函数，即[]x 表示不超过x 的最大整数.例如：[]2.32=，[]1.52-=-. 则下列结论： ①[][]2.112-+=-； ②[][]0x x +-=；③若[]13x +=，则x 的取值范围是23x ≤<； ④当11x -≤<时，[][]11x x ++-+的值为0、1、2.其中正确的结论有___▲__（写出所有正确结论的序号）.三、本大题共3小题，每小题9分，共27分. 17. 计算：012016sin 453︒-+--.18. 解方程：11322x x x--=--.19. 如图9，在正方形ABCD 中，E 是边AB 的中点，F 是边BC 的中点，连结CE 、DF .求证:CE DF =.（实线表示甲，虚线表示乙）图10北东B四、本大题共3小题，每小题10分，共30分．20. 先化简再求值：232()121x x x x x x --÷+++，其中x 满足220x x +-=.21. 甲、乙两名射击运动员中进行射击比赛，两人在相同条件下各射击10次，射击的成绩如图10所示.根据图中信息，回答下列问题：（1）甲的平均数是_____▲______，乙的中位数是______▲________；（2）分别计算甲、乙成绩的方差，并从计算结果来分析，你认为哪位运动员的射击成绩更稳定？22.如图11，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A 处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B 处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75︒方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C 处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间.五、本大题共2小题，每小题10分，共20分.23．如图12，反比例函数k y x =与一次函数y ax b =+的图象交于点(2,2)A 、1(,)2B n . （1）求这两个函数解析式；（2）将一次函数y ax b =+的图象沿y 轴向下平移m 个单位，使平移后的图象与反比例函数k y =的24．如图E ，（1（2六、本大题共2小题，第25题12分，第26题13分，共25分.25．如图14，在直角坐标系xoy 中，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴和y 轴正半轴上，点B 的坐标是(52)，，点P 是CB 边上一动点（不与点C 、点B 重合），连结OP 、AP ，过点O 作射线OE 交AP 的延长线于点E ，交CB 边于点M ，且AOP COM ∠=∠，令CP x =，MP y =. （1）当x 为何值时，OP AP ⊥？（2）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）在点P 的运动过程中，是否存在x ，使OCM ∆的面积与ABP ∆的面积之和等于EMP ∆的面积.若存在，请求x 的值；若不存在，请说明理由.26．在直角坐标系xoy 中，(0,2)A 、(1,0)B -，将ABO ∆经过旋转、平移变化后得到如图15.1所示的BCD ∆. （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）连结AC ，点P 是位于线段BC 上方的抛物线上一动点，若直线PC 将ABC ∆的面积分成1:3两部分，求此时点P 的坐标；（3）现将ABO ∆、BCD ∆分别向下、向左以1:2的速度同时平移，求出在此运动过程中ABO ∆与BCD∆重叠部分面积的最大值.乐山市2016年高中阶段教育学校招生统一考试数学试题参考答案及评分意见 第一部分（选择题 共30分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.1. )(D2. )(B3. )(C4. )(B5. )(C6. )(A7. )(B8. )(C9. )(A 10.)(D第二部分（非选择题 共120分）二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分. 11.5； 12.))((b a b a a -+； 13. 2； 14.3；15.23π；16.①③.(注：第16题填正确一个1分，全填正确3分)三、本大题共3小题，每小题9分，共27分.17．解：原式113=+……………………………………（8分） 23=.………………………………（9分） 18．解：方程两边同乘2-x ，得)1()2(31--=--x x ，………………………………… （3分） 即1631+-=+-x x ，…………………………………（6分） 则62-=-x …………………………………（7分） 得3=x . 检验，当3=x 时，02≠-x .所以，原方程的解为3=x .……………………………………（9分）19. 证明：ABCD Θ是正方形，∴BC AB =，ο90=∠=∠FCD EBC .………(3分) 又ΘE 、F 分别是AB 、BC 的中点，∴CF BE =，………………………(5分) ∴DFC CEB ∆≅∆，………………………(7分)∴CE DF =.………………………(9分)四、本大题共3小题，每小题10分，共30分. 20. 解：原式=2(1)32121x x x x x x x +--÷+++………………（1分）=2222112x x x x x x -++⨯+-………………（2分） =2(2)(1)12x x x x x -+⨯+-………………（4分）=)1(+x x =x x +2.………………（7分）Θ220x x +-=，∴22=+x x ，即原式=2. ………………（10分） 21．解：（1）8，7.5 ；………………（4分） （2）1(710...7)810x =+++=乙；………………（5分） 2S =甲()()()222168108...78 1.610⎡⎤-+-++-=⎣⎦………………（7分） 2S 乙=()()()222178108...78 1.210⎡⎤-+-++-=⎣⎦………………（9分） 22S S <Q 乙甲，∴乙运动员的射击成绩更稳定.…………（10分）22．解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x 小时.如图1所示，由题得4575120ABC ︒︒︒∠=+=，…………………（1分）D75°45°图1CBA图2EDOC FB A12AB =，10BC x =，14AC x =过点A 作AD CB ⊥的延长线于点D ， 在Rt ABD ∆中，12,60AB ABD ︒=∠=，∴6,BD AD ==∴106CD x =+.…………………（3分）在Rt ACD ∆中，由勾股定理得：()()(22214106x x =++…………（7分）解此方程得1232,4x x ==-（不合题意舍去）. 答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时…………（10分） 五、本大题共2小题，每小题10分，共20分 23．解：（1）Θ(2,2)A 在反比例函数ky x=的图象上，4=∴k .………………………（1分）∴反比例函数的解析式为4y x=. 又Θ1(,)2B n 在反比例函数4y x =的图象上，∴421=n ，得8=n ，…………………（2分）由(2,2)A 、1(,8)2B 在一次函数y ax b =+的图象上，得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=b a b a 21822，解得10,4=-=b a .………………………（4分）∴一次函数的解析式为104+-=x y .………………………（5分）(2)将直线104+-=x y 向下平移m 个单位得直线的解析式为m x y -+-=104，………………（6分）Θ直线m x y -+-=104与双曲线4y x=有且只有一个交点，令x m x 4104=-+-，得04)10(42=+-+x m x ，064)10(2=--=∆∴m ，解得2=m 或18.…………………（10分） 24．（1）证明：如图2所示，连结OD ，∵AB AC =，∴B ACD ∠=∠. ∵OC OD =，∴ODC OCD ∠=∠.∴B ODC ∠=∠，∴OD ∥AB .…………（2分） ∵DE AB ⊥，∴OD EF ⊥. ∴EF 是⊙O 的切线…………（5分） （2）在Rt ODF ∆和Rt AEF ∆中，∵3sin 5CFD ∠=，∴35OD AE OF AF == . 设3OD x =，则5OF x =.∴6AB AC x ==，8AF x =.…………（6分） ∵32EB =，∴362AE x =-.…………（7分）∴363285x x -=，解得x =54，…………（9分） ∴⊙O 的半径长为154，AE =6……………………（10分） 六、本大题共2小题，第25题12分，第26题13分，共25分25.解：（1）如图3所示，由题意知，5,2,90OA BC AB OC B OCM ︒====∠=∠=，BC ∥OA ∵OP AP ⊥，∴90OPC APB APB PAB ︒∠+∠=∠+∠=.∴OPC PAB ∠=∠.……………………(1分) ∴OPC ∆∽PAB ∆.……………………(2分) ∴CP OC AB PB =，即225x x=-，解得124,1x x ==（不合题意,舍去）. ∴当4x =时，OP AP ⊥.……………………(4分) （2）如图3所示，∵BC ∥OA ，∴CPO AOP ∠=∠. ∵AOP COM ∠=∠，∴COM CPO ∠=∠.∵OCM PCO ∠=∠，∴OCM ∆∽PCO ∆.……………………(6分) ∴CM CO CO CP =，即22x y x-=.∴4y x x=-，x 的取值范围是25x <<.……………………(8分) （3）假设存在x 符合题意. 如图3所示，过E 作ED OA ⊥于点D ，交MP 于点F ， 则2DF AB ==.∵OCM ∆与ABP ∆面积之和等于EMP ∆的面积， ∴12552EOA OABC S S ED ∆==⨯=⨯矩. ∴4,2ED EF ==.…………………(9分) ∵PM ∥OA ，∴EMP ∆∽EOA ∆. ∴EF MPED OA=.…………………(10分) 即245y=，解得52y =. ∴由（2）4y x x =-得，452x x -=.………(11分)解得12x x ==. ……………………(12分) ∴在点P的运动过程中，存在x =OCM ∆与ABP ∆面积之和等于EMP ∆的面积. 26．解：（1）∵(0,2)A 、(1,0)B -，将ABO ∆经过旋转、平移变化得到如图4.1所示的BCD ∆，∴2,1,90BD OA CD OB BDC AOB ︒====∠=∠=.∴()1,1C .…………………(1分)设经过A 、B 、C 三点的抛物线解析式为2y ax bx c =++，图4.1xx图4.2则有012a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：31,,222a b c =-==.∴抛物线解析式为231222y x x =-++.…………………(4分) （2）如图4.1所示，设直线PC 与AB 交于点E .∵直线PC 将ABC ∆的面积分成1:3两部分， ∴13AE BE =或3AE BE=，…………………(5分) 过E 作EF OB ⊥于点F ，则EF ∥OA .∴BEF ∆∽BAO ∆,∴EF BE BFAO BA BO==. ∴当13AE BE =时，3241EF BF ==， ∴33,24EF BF ==，∴13(,)42E -.…………………(6分)设直线PC 解析式为y mx n =+，则可求得其解析式为2755y x =-+，∴2312722255x x x -++=-+，∴122,15x x =-=（舍去），∴1239(,)525P -.…………………(7分) 当3AE BE =时，同理可得2623(,)749P -.…………………(8分) （3）设ABO ∆平移的距离为t ，111A B O ∆与211B C D ∆重叠部分的面积为S .可由已知求出11A B 的解析式为22y x t =+-，11A B 与x 轴交点坐标为2(,0)2t -. 12C B 的解析式为1122y x t =++，12C B 与y 轴交点坐标为1(0,)2t +. ………(9分)①如图4.2所示，当305t <<时，111A B O ∆与211B C D ∆重叠部分为四边形.设11A B 与x 轴交于点M ，12C B 与y 轴交于点N ，11A B 与12C B 交于点Q ，连结OQ . 由221122y x t y x t =+-⎧⎪⎨=++⎪⎩，得43353t x t y -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴435(,)33t t Q -.……………(10分) ∴1251134()223223QMO QNO t t tS S S t ∆∆--=+=⨯⨯+⨯+⨯2131124t t =-++.∴S 的最大值为2552.…………………(11分)②如图4.3所示，当3455t ≤<时，111A B O ∆与211B C D ∆重叠部分为直角三角形设11A B 与x 轴交于点H ， 11A B 与11C D 交于点G .则(12,45)G t t --，12451222t tD H t --=+-=，145D G t =-. ∴21111451(45)(54)2224t S D H D G t t -==-=-g g g .…………………(12分) ∴当3455t ≤<时，S 的最大值为14. 综上所述，在此运动过程中ABO ∆与BCD ∆重叠部分面积的最大值为2552.…………………(13分)。
四川省乐山市2016-2017学年高二(上)期末数学试卷 Word版含解析
2016-2017学年四川省乐山市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．“m=﹣1”是“直线x+y=0和直线x+my=0互相垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．已知F1，F2是定点，|F1F2|=16，动点M满足|MF1|+|MF2|=16，则动点M的轨迹是（）A．椭圆B．直线C．圆D．线段3．如果命题“￢（p或q）”为假命题，则（）A．p、q均为真命题B．p、q均为假命题C．p、q中至少有一个为真命题D．p、q中至多有一个为真命题4．如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC （）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形5．关于直线a，b，l以及平面M，N，下面命题中正确的是（）A．若a∥M，b∥M，则a∥bB．若a∥M，b⊥a，则b⊥MC．若a⊥M，a∥N，则M⊥ND．若a⊂M，b⊂M，且l⊥a，l⊥b，则l⊥M6．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与曲线x2+y2﹣8x﹣9=0相切，则p的值为（）A．2 B．1 C．D．7．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为2，其正（主）视图如图所示，则此三棱柱侧（左）视图的面积为（）A．B．4 C．D．8．已知直线l与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且|AB|=，则•的值是（）A．﹣B．C．﹣D．09．如图是一正方体的表面展开图，MN和PB是两条面对角线，则在正方体中，直线MN与直线PB的位置关系为（）A．相交B．平行C．异面D．重合10．（理）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若点P在双曲线上，且，则=（）A．B．C．D．11．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，P为C的右支上一点，且|PF2|=|F1F2|，则等于（）A．24 B．48 C．50 D．5612．如图所示，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在面ABC上的射影H必在（）A．直线AB上B．直线BC上C．直线CA上D．△ABC内部13．如图，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB 则下列结论正确的是（）A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°14．已知F1，F2是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线上且不与顶点重合，过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为A．若，则该双曲线的离心率为（）A．B．1+C．2D．2+二、填空题：本大题共5小题；每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.15．椭圆+=1的左右焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为．16．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知DA=DC=2，DD1=1，则异面直线A1B 与B1C所成角的余弦值．17．如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为．18．（理）如图在四面体OABC中，OA，OB，OC两两垂直，且OB=OC=3，OA=4，给出如下判断：①存在点D（O点除外），使得四面体DABC有三个面是直角三角形；②存在点D，使得点O在四面体DABC外接球的球面上；③存在唯一的点D使得OD⊥平面ABC；④存在点D，使得四面体DABC是正棱锥；⑤存在无数个点D，使得AD与BC垂直且相等．其中正确命题的序号是（把你认为正确命题的序号填上）．19．如图，正方形BCDE的边长为a，已知AB=BC，将△ABE沿边BE折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，则翻折后的几何体中有如下描述：①AB与DE所成角的正切值是；②AB∥CE③V B体积是a3；﹣ACE④平面ABC⊥平面ADC．其中正确的有．（填写你认为正确的序号）三、解答题：本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.20．已知命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（，），若命题p、q中有且只有一个为真命题，则实数m 的取值范围是．21．已知圆C：x2+y2﹣8y+12=0，直线l：ax+y+2a=0．（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）若直线l过点（0，2）与圆C相交于点A、B，求线段AB的长．22．如图1，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．（1）证明：AD⊥BC；（2）求三棱锥D﹣ABC的体积．23．设A、B分别为双曲线的左右顶点，双曲线的实轴长为，焦点到渐近线的距离为．（1）求双曲线的方程；（2）已知直线与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使，求t的值及点D的坐标．24．如图，已知ACDE是直角梯形，且ED∥AC，平面ACDE⊥平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，AB=AC=AE=2，，P是BC的中点．（Ⅰ）求证：DP∥平面EAB；（Ⅱ）求平面EBD与平面ABC所成锐二面角大小的余弦值．25．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=DA=6，AB=2，DE=3．（1）求棱锥C﹣ADE的体积；（2）在线段DE上是否存在一点P，使AF∥平面BCE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．26．（理）已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若．（i）求的最值；（ii）求四边形ABCD的面积．27．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为4．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线x=2与椭圆C交于P、Q两点，A、B是椭圆O上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为．①求四边形APBQ面积的最大值；②设直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，判断k1+k2的值是否为常数，并说明理由．2016-2017学年四川省乐山市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．“m=﹣1”是“直线x+y=0和直线x+my=0互相垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出直线垂直的充要条件，从而判断出结论即可．【解答】解：若“直线x+y=0和直线x+my=0互相垂直”，则﹣=1，解得：m=﹣1，故“m=﹣1”是“直线x+y=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件，故选：C．2．已知F1，F2是定点，|F1F2|=16，动点M满足|MF1|+|MF2|=16，则动点M的轨迹是（）A．椭圆B．直线C．圆D．线段【考点】轨迹方程．【分析】根据题意，利用|MF1|+|MF2|=16与|F1F2|=16的长度关系，确定点M在线段F1F2上，即可得答案．【解答】解：根据题意，点M与F1，F2可以构成一个三角形，则必有|MF1|+|MF2|＞|F1F2|，而本题中动点M满足|MF1|+|MF2|=|F1F2|=16，点M在线段F1F2上，即动点M的轨迹线段F1F2，故选：D．3．如果命题“￢（p或q）”为假命题，则（）A．p、q均为真命题B．p、q均为假命题C．p、q中至少有一个为真命题D．p、q中至多有一个为真命题【考点】复合命题的真假．【分析】¬（p或q）为假命题既p或q是真命题，由复合命题的真假值来判断．【解答】解：¬（p或q）为假命题，则p或q为真命题所以p，q至少有一个为真命题．故选C．4．如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC （）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形【考点】斜二测法画直观图．【分析】根据斜二侧画法，∠x′O′y′=135°，直接判断△ABC的直观图是直角三角形．【解答】解：由斜二测画法，∠x′O′y′=135°，知△ABC直观图为直角三角形，如图故选B．5．关于直线a，b，l以及平面M，N，下面命题中正确的是（）A．若a∥M，b∥M，则a∥bB．若a∥M，b⊥a，则b⊥MC．若a⊥M，a∥N，则M⊥ND．若a⊂M，b⊂M，且l⊥a，l⊥b，则l⊥M【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】A．由线面平行的性质即可判断；B．由线面平行的性质和线面垂直的判定即可判断；C．由线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理即可得到；D．运用线面垂直的判定定理即可得到．【解答】解：A．同平行于一个平面的两条直线可平行也可相交或异面，故A错；B．当a∥M，b⊥a时b与M可平行、b⊂M，b⊥M，故B错；C．若a⊥M，a∥N，则过a的平面K∩N=b，则a∥b，即有b⊥M，又b⊂N，故M⊥N，故C正确；D．根据线面垂直的判定定理，若a⊂M，b⊂M，且a∩b=O且l⊥a，l⊥b，则l ⊥M，故D错误．故选C．6．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与曲线x2+y2﹣8x﹣9=0相切，则p的值为（）A．2 B．1 C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求得圆心及半径，由题意可知：抛物线y2=2px（p＞0）的准线与曲线x2+y2﹣8x﹣9=0相切，丨4+丨=5，解得：p=2．【解答】解：圆x2+y2﹣8x﹣9=0转化为（x﹣4）2+y2=25，圆心（4，0），半径为5，抛物线y2=2px（p＞0）的准线为x=﹣，∵抛物线y2=2px（p＞0）的准线与曲线x2+y2﹣8x﹣9=0相切，∴丨4+丨=5，解得：p=2，∴p的值为2，故选A．7．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为2，其正（主）视图如图所示，则此三棱柱侧（左）视图的面积为（）A．B．4 C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由正视图得到三视图的高，也即其侧视图的高；底面正三角形的高即为侧视图的宽，据以上分析可求出此三棱柱的侧视图的面积．【解答】解：由已知正三棱柱及其正视图可知：其侧视图是一个高与正视图的相同、宽是底面正三角形的高的矩形．由三棱柱的正视图的高为2，可得其侧视图的高也为2．∵底面是边长为2的正三角形，∴其高为．∴此三棱柱侧视图的面积=2×=．故选D．8．已知直线l与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且|AB|=，则•的值是（）A．﹣B．C．﹣D．0【考点】平面向量数量积的运算．【分析】直线与圆有两个交点，知道弦长、半径，确定∠AOB的大小，即可求得•的值．【解答】解：依题意可知角∠AOB的一半的正弦值，即sin （∠AOB）=，∴∠AOB=120°，则=1×1×cos120°=﹣，故选：A．9．如图是一正方体的表面展开图，MN和PB是两条面对角线，则在正方体中，直线MN与直线PB的位置关系为（）A．相交B．平行C．异面D．重合【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】把正方体的表面展开图还原成正方体，由此能求出直线MN与直线PB的位置关系．【解答】解：把正方体的表面展开图还原成正方体，如图，∵MN∥BD，PB∩BD=B，∴直线MN与直线PB异面．故选：C．10．（理）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若点P在双曲线上，且，则=（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】依题意可知a2=9，b2=4，进而求得c，求得F1F2，令PF1=p，PF2=q，由勾股定理得p2+q2=|F1F2|2，求得p2+q2的值，由双曲线定义：|p﹣q|=2a两边平方，把p2+q2代入即可求得pq即可得到结论．【解答】解：依题意可知a2=9，b2=4所以c2=13，F1F2=2c=2令PF1=p，PF2=q由双曲线定义：|p﹣q|=2a=6平方得：p2﹣2pq+q2=36∠F1PF2=90°，由勾股定理得：p2+q2=|F1F2|2=52所以pq=8即|PF1|+|PF2|=2故选B．11．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，P为C的右支上一点，且|PF2|=|F1F2|，则等于（）A．24 B．48 C．50 D．56【考点】双曲线的简单性质．【分析】设点P的坐标为（m，n），其中m＞2，根据点P在双曲线上且|PF2|=|F1F2|，建立关于m、n的方程组，解之得m、n的值，从而得到向量、的坐标，利用向量数量积的坐标公式，可算出的值．【解答】解：根据双曲线方程，得a2=4，b2=5，c==3，所以双曲线的焦点分别为F1（﹣3，0）、F2（3，0），设点P的坐标为（m，n），其中m＞2，则∵点P在双曲线上，且|PF2|=|F1F2|，∴，解之得m=，n=±∵=（﹣3﹣m，﹣n），=（3﹣m，﹣n）∴=（﹣3﹣m）（3﹣m）+（﹣n）（﹣n）=m2﹣9+n2=﹣9+=50故选C12．如图所示，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在面ABC上的射影H必在（）A．直线AB上B．直线BC上C．直线CA上D．△ABC内部【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱的结构特征．【分析】如图，C1在面ABC上的射影H必在两个相互垂直平面的交线上，所以证明面ABC⊥面ABC1就可以了．【解答】解：⇒CA⊥面ABC1⇒面ABC⊥面ABC1，∴过C1在面ABC内作垂直于平面ABC，垂线在面ABC1内，也在面ABC内，∴点H在两面的交线上，即H∈AB．故选A13．如图，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB 则下列结论正确的是（）A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质．【分析】利用题中条件，逐一分析答案，通过排除和筛选，得到正确答案．【解答】解：∵AD与PB在平面的射影AB不垂直，所以A不成立，又，平面PAB⊥平面PAE，所以平面PAB⊥平面PBC也不成立；BC∥AD∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立．在Rt△PAD中，PA=AD=2AB，∴∠PDA=45°，故选D．14．已知F1，F2是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线上且不与顶点重合，过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为A．若，则该双曲线的离心率为（）A．B．1+C．2D．2+【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可知：丨PQ丨=丨PF2丨，则丨丨PF1丨﹣丨PF2丨丨=2a，丨PF1丨﹣丨PQ丨=丨QF1丨=2a，由OA是△F2F1Q的中位线，丨QF1丨=2a=2丨OA丨=b，a=，c=a，双曲线的离心率e==．【解答】解：∵F1，F2是双曲线的左右焦点，延长F2A交PF1于Q，∵PA是∠F1PF2的角平分线，∴丨PQ丨=丨PF2丨，∵P在双曲线上，则丨丨PF1丨﹣丨PF2丨丨=2a，∴丨PF1丨﹣丨PQ丨=丨QF1丨=2a，∵O是F1F2中点，A是F2Q中点，∴OA是△F2F1Q的中位线，∴丨QF1丨=2a=2丨OA丨=b，∴a=，c==a，∴双曲线的离心率e==．故选A．二、填空题：本大题共5小题；每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.15．椭圆+=1的左右焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为16．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的方程知，长半轴a=4，利用椭圆的定义知，△ABF2的周长为4a，从而可得答案．【解答】解：椭圆+=1中a=4．又过焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，A，B与椭圆的另一个焦点F2构成△ABF2，则△ABF2的周长l=|AB|+|AF2|+|BF2|=（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=2a+2a=4a=16．故答案为：16．16．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知DA=DC=2，DD1=1，则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可得出．【解答】解：如图所示，B（2，2，0），A1（2，0，1），C（0，2，0），B1（2，2，1），=（0，2，﹣1），=（﹣2，0，﹣1），cos===．故答案为：．17．如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为y2=3x．．【考点】抛物线的标准方程．【分析】根据过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，作AM、BN垂直准线于点M、N，根据|BC|=2|BF|，且|AF|=3，和抛物线的定义，可得∠NCB=30°，设A（x1，y1），B（x2，y2），|BF|=x，而，，且，，可求得p的值，即求得抛物线的方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），作AM、BN垂直准线于点M、N，则|BN|=|BF|，又|BC|=2|BF|，得|BC|=2|BN|，∴∠NCB=30°，有|AC|=2|AM|=6，设|BF|=x，则2x+x+3=6⇒x=1，而，，由直线AB：y=k（x﹣），代入抛物线的方程可得，k2x2﹣（pk2+2p）x+k2p2=0，即有，∴，得y2=3x．故答案为：y2=3x．18．（理）如图在四面体OABC中，OA，OB，OC两两垂直，且OB=OC=3，OA=4，给出如下判断：①存在点D（O点除外），使得四面体DABC有三个面是直角三角形；②存在点D，使得点O在四面体DABC外接球的球面上；③存在唯一的点D使得OD⊥平面ABC；④存在点D，使得四面体DABC是正棱锥；⑤存在无数个点D，使得AD与BC垂直且相等．其中正确命题的序号是①②④⑤（把你认为正确命题的序号填上）．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】①，取D为长方体的一个顶点，使得A，B，C是与D相邻的三个顶点，则可使四面体ABCD有3个面是直角三角形；②，取同①的点D，使得点O与D为相对的两个长方体的顶点，利用长方体一定有外接球即可得出；③，过O可以作一条直线与面ABC垂直，点D可以是该直线上任意点；④，作△CBD为正三角形，使得AD=DB，则点D使四面体ABCD是正三棱锥．⑤过点A作BC的垂面，垂面内过AD的每一条都垂直BC，；【解答】解：对于①，取D为长方体的一个顶点，使得A，B，C是与D相邻的三个顶点，则可使四面体ABCD有3个面是直角三角形，故正确；对于②，∵二面角C﹣OA﹣B为直二面角，∴∠BOC=Rt∠，再取同①的点D，使得点O与D为相对的两个长方体的顶点，则点O在四面体ABCD的外接球球面上，故正确；对于③，过O可以作一条直线与面ABC垂直，点D可以是该直线上任意点，故错④作△CBD为正三角形，使得AD=DB，则点D使四面体ABCD是正三棱锥，故正确．⑤过点A作BC的垂面，垂面内过AD的每一条都垂直BC，故正确；故答案为：①②④⑤19．如图，正方形BCDE的边长为a，已知AB=BC，将△ABE沿边BE折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，则翻折后的几何体中有如下描述：①AB与DE所成角的正切值是；②AB∥CE体积是a3；③V B﹣ACE④平面ABC⊥平面ADC．其中正确的有①③④．（填写你认为正确的序号）【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】作出直观图，逐项进行分析判断．【解答】解：作出折叠后的几何体直观图如图所示：∵AB=a，BE=a，∴AE=．∴AD=．∴AC=．在△ABC中，cos∠ABC===．∴sin∠ABC==．∴tan∠ABC==．∵BC∥DE，∴∠ABC是异面直线AB，DE所成的角，故①正确．连结BD，CE，则CE⊥BD，又AD⊥平面BCDE，CE⊂平面BCDE，∴CE⊥AD，又BD∩AD=D，BD⊂平面ABD，AD⊂平面ABD，∴CE⊥平面ABD，又AB⊂平面ABD，∴CE⊥AB．故②错误．三棱锥B﹣ACE的体积V===，故③正确．∵AD⊥平面BCDE，BC⊂平面BCDE，∴BC⊥AD，又BC⊥CD，∴BC⊥平面ACD，∵BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD．故答案为①③④．三、解答题：本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.20．已知命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（，），若命题p、q中有且只有一个为真命题，则实数m的取值范围是0＜m≤，或3≤m＜5．【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假．【分析】根据椭圆的性质，可求出命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆为真命题时，实数m的取值范围；根据双曲线的性质，可得命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（，）为真命题时，实数m的取值范围；进而结合命题p、q中有且只有一个为真命题，得到答案．【解答】解：若命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆为真命题；则9﹣m＞2m＞0，解得0＜m＜3，则命题p为假命题时，m≤0，或m≥3，若命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（，）为真命题；则∈（，），即∈（，2），即＜m＜5，则命题q为假命题时，m≤，或m≥5，∵命题p、q中有且只有一个为真命题，当p真q假时，0＜m≤，当p假q真时，3≤m＜5，综上所述，实数m的取值范围是：0＜m≤，或3≤m＜5．故答案为：0＜m≤，或3≤m＜521．已知圆C：x2+y2﹣8y+12=0，直线l：ax+y+2a=0．（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）若直线l过点（0，2）与圆C相交于点A、B，求线段AB的长．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）直线l与圆C相切，则=2，解得a值；（2）若直线l过点（0，2）即x﹣y+2=0，代入圆的弦长公式，可得答案．【解答】解：将圆C的方程x2+y2﹣8y+12=0化为标准方程x2+（y﹣4）2=4，则此圆的圆心为（0，4），半径为2．…（1）若直线l与圆C相切，则有=2．…解得a=﹣．…（2）直线l的方程为：，即x﹣y+2=0，…圆心（0，4）到l的距离为，…则…22．如图1，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．（1）证明：AD⊥BC；（2）求三棱锥D﹣ABC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】（1）先证明BC⊥平面PAC，再证明AD⊥平面PBC，进而可得AD⊥BC；（2）三棱锥D﹣ABC的体积即为三棱锥B﹣ADC的体积，进而得到答案．【解答】解：（1）证明：因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，又AC⊥BC，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥AD．…由三视图可得，在△PAC中，PA=AC=4，D为PC中点，所以AD⊥PC，所以AD⊥平面PBC又因为BC⊂面PBC，故AD⊥BC…（2）由三视图可得BC=4，由（1）知∠ADC=90°，BC⊥平面PAC…又三棱锥D﹣ABC的体积即为三棱锥B﹣ADC的体积，所以，所求三棱锥的体积…23．设A、B分别为双曲线的左右顶点，双曲线的实轴长为，焦点到渐近线的距离为．（1）求双曲线的方程；（2）已知直线与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使，求t的值及点D的坐标．【考点】直线与圆锥曲线的关系；双曲线的标准方程．【分析】（1）由实轴长可得a值，由焦点到渐近线的距离可得b，c的方程，再由a，b，c间的平方关系即可求得b；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），D（x0，y0），则x1+x2=tx0，y1+y2=ty0，则x1+x2=tx0，y1+y2=ty0，联立直线方程与双曲线方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理可得x1+x2，进而求得y1+y2，从而可得，再由点D在双曲线上得一方程，联立方程组即可求得D点坐标，从而求得t值；【解答】解：（1）由实轴长为，得，渐近线方程为x，即bx﹣2y=0，∵焦点到渐近线的距离为，∴，又c2=b2+a2，∴b2=3，∴双曲线方程为：；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），D（x0，y0），则x1+x2=tx0，y1+y2=ty0，由，∴y1+y2=﹣4=12，∴，解得，∴t=4，∴，t=4．24．如图，已知ACDE是直角梯形，且ED∥AC，平面ACDE⊥平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，AB=AC=AE=2，，P是BC的中点．（Ⅰ）求证：DP∥平面EAB；（Ⅱ）求平面EBD与平面ABC所成锐二面角大小的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（I）取AB的中点F，连接PF，EF．利用三角形的中位线定理可得．再利用已知条件和平行四边形的判定定理可得四边形EFPD是平行四边形，可得PD∥EF．利用线面平行的判定定理即可得出；（II）通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．【解答】（I）证明：取AB的中点F，连接PF，EF．又∵P是BC的中点，∴．∵，ED∥AC，∴，∴四边形EFPD是平行四边形，∴PD∥EF．而EF⊂平面EAB，PD⊄平面EAB，∴PD∥平面EAB．（II）∵∠BAC=90°，平面ACDE⊥平面ABC，∴BA⊥平面ACDE．以点A为坐标原点，直线AB为x轴，AC为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则z轴在平面EACD内．则A（0，0，），B（2，0，0），，．∴，．设平面EBD的法向量，由，得，取z=2，则，y=0．∴．可取作为平面ABC的一个法向量，∴===．即平面EBD与平面ABC所成锐二面角大小的余弦值为．25．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=DA=6，AB=2，DE=3．（1）求棱锥C﹣ADE的体积；（2）在线段DE上是否存在一点P，使AF∥平面BCE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面平行的判定．=AE•DE．由于CD 【分析】（1）在Rt△ADE中，AE=，可得S△ADE=CD•S△ADE．⊥平面ADE，可得V C﹣ADE（2）在线段DE上存在一点F，使AF∥平面BCE，=，设F为线段DE上的一点，过F作FM∥CD交CE于点M，由线面垂直的性质可得：CD∥AB．可得四边形ABMF是平行四边形，于是AF∥BM，即可证明AF∥平面BCE【解答】解：（1）在Rt△ADE中，AE==3，=AE•DE=×3×3=，∴S△ADE=CD•S△ADE=×6×=9，∵CD⊥平面ADE，∴V C﹣ADE在线段DE上存在一点F，使AF∥平面BCE，=，下面给出证明：设F为线段DE上的一点，且=，过F作FM∥CD交CE于点M，则FM=，∵CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，∴CD∥AB．又CD=3AB，∴MF∥AB，MF=AB，∴四边形ABMF是平行四边形，∴AF∥BM，又AF⊄平面BCE，BM⊂平面BCE．∴AF∥平面BCE．26．（理）已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若．（i）求的最值；（ii）求四边形ABCD的面积．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）与已知列关于a，b，c的方程组，求解方程组可得a，b的值，则椭圆的标准方程可求；（2）设直线AB的方程为y=kx+m，联立直线方程和椭圆方程，由可得k与m的关系．（i）由数量积的坐标运算把化为含有k的代数式求得最值；（ii）首先求出△AOB的面积，乘以4即可求得四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）由题意，，又a2=b2+c2，解得：a2=8，b2=4，∴椭圆的标准方程为；（2）设直线AB的方程为y=kx+m，再设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0．△=（4m）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0…①，∵，∴，∴，=，∴，得4k2+2=m2．（i）=．∴﹣2=2﹣4．当k=0（此时m2=2满足①式），即直线AB平行于x轴时，的最小值为﹣2．又直线AB的斜率不存在时，，∴的最大值为2；（ii）设原点到直线AB的距离为d，则==．∴．27．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为4．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线x=2与椭圆C交于P、Q两点，A、B是椭圆O上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为．①求四边形APBQ面积的最大值；②设直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，判断k1+k2的值是否为常数，并说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）设椭圆C的方程为，由短轴长可得b值，根据离心率为及a2=b2+c2，得a值；（Ⅱ）①设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=x+t，代入得x的二次方程，四边形APBQ的面积S==．，而|PQ|易求，代入韦达定理即可求得S的表达式，由表达式即可求得S的最大值；②直线PA的斜率，直线PB的斜率，代入韦达定理即可求得k1+k2的值；【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为．由已知b=2，离心率e=，a2=b2+c2，得a=4，所以，椭圆C的方程为．（Ⅱ）①由（Ⅰ）可求得点P、Q的坐标为P（2，3），Q（2，﹣3），则|PQ|=6，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=x+t，代入，得：x2+tx+t2﹣12=0．由△＞0，解得﹣4＜t＜4，由根与系数的关系得，四边形APBQ的面积，故当t=0时，；②由题意知，直线PA的斜率，直线PB的斜率，则==，由①知，可得，所以k1+k2的值为常数0．。
四川省乐山市21-22学年高一上学期期末数学试卷(含答案解析)
四川省乐山市21-22学年高一上学期期末数学试卷班级：_________ 姓名：_________ 分数：_________一、单选题（本大题共12小题，共60分）1、已知A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，那么A∪B=（）A. {3,4}B. {1,2,5,6}C. {1,2,3,4,5,6}D. φ2、cos780°=（）A. 12B. √22C. √32D. −√323、已知集合A={x|2x−3<3x}，B={x|x≥2}，有以下结论：①−3∈A，②3∉B，③B⊆A.其中错误的是（）A. ①③B. ②③C. ①②D. ①②③4、cos20°cos25°−cos70°sin25°=（）A. 12B. √22C. √32D. 15、已知f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=lnx+2，则f(−e)=（）A. 3B. −3C. 1D. −16、已知sinθ=13,θ∈(π2,π)，则sin2θ=（）A. −79B. 4√29C. −4√29D. 797、当前，全球疫情仍处于大流行状态，多国放松管控给我国外防输人带来挑战，冬季季节因素导致周边国家疾情输人我国风险大大增加．现有一组境外输人病例数据，x(月份)12345y(人数)97159198235261则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近（）A. y=ax+bB. y=ax+b C. y=a x+b D. y=log a x+b8、已知函数f(x)=sinx，g(x)=x，如图所示，则图象对应的解析式可能是（）A. y=f(x)+g(x)B. y=f(x)−g(x)C. y =f(x)⋅g(x)D. y =f(x)g(x) 9、函数f(x)=Asin(ωx +φ)(|φ|<π)的部分图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）A. 频率为16B. 周期为6πC. 振幅为2D. 初相为 −π6 10、函数f(x)=−sin 2x −cosx ，则f(x)的最大值为（ ）A. −54B. −1C. 1D. 14 11、函数f(x)={−x 2−2x,x ≤0log 2x,x >0，若y =f(x)+a 恰有3个零点，则a 的取值范围是（ ） A. (−∞,−1] B. (−1,0] C. [−1,0] D. [0,+∞)12、已知正实数x ，y ，z ，满足log 2x =log 3y =4z ，则（ ）A. y >x >zB. x >y >zC. z >y >xD. z >x >y二、填空题（本大题共4小题，共20分）13、已知幂函数y =f(x)的图象过点(2,√2)，则f(4)= ．14、角α的终边经过点P(2,−1)，则3sinα+2cosα的值为______．15、已知函数f(x)=2sin(x +π6)，将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向右平移π4个单位，得到函数的解析式______．16、已知函数f(x)满足f(x)=f(2−x)，当x ≥1时，f(x)=2−x 2，若不等式f(2x −a)>−2的解集是集合{x|1<x <3}的子集，则a 的取值范围是______三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、(本小题10.0分)计算求值：(1)(2a 12b 23)(−3a 13b 12)÷(6a 56b 16)；(2)(log 23+log 49)(log 32−log 92)．18、(本小题12.0分)已知4sinα−2cosα5cosα+3sinα=1．(1)求tanα的值；(2)求sinαcosα−cos 2α+1的值．19、(本小题12.0分)已知函数f(x)=a −22x +1(a ∈R)．(1)判断函数f(x)的单调性并用定义证明；(2)是否存在实数a 使函数f(x)为奇函数？若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．20、(本小题12.0分)已知函数f(x)=sin2ωx +√3cos2ωx(ω>0)，该函数图象一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为π4．(1)求函数f(x)的对称轴和对称中心；(2)求f(x)在[−π4,3π4]上的单调递增区间． 21、(本小题12.0分)为推动治理交通拥堵、停车难等城市病，不断提升城市道路交通治理能力现代化水平，乐山市政府决定从2021年6月1日起实施“差别化停车收费”，收费标准讨论稿如下：A 方案：首小时内3元，2～4小时为每小时1元(不足1小时按1小时计)，以后每半小时1元(不足半小时按半小时计)；单日最高收费不超过18元．B 方案：每小时1.6元．(1)分别求两个方案中，停车费y(元)与停车时间x(0<x ≤24)(小时)之间的函数关系式；(2)假如你的停车时间不超过4小时，方案A 与方案B 如何选择？并说明理由．(定义：大于或等于实数x 的最小整数称为x 的向上取整部分，记作[x]，比如：([2]=2,[2.1]=3)22、(本小题12.0分)已知函数f(x)=4x −2⋅2x+1+a ，其中x ∈[0,3]．(1)若f(x)的最小值为1，求a 的值；(2)若存在x ∈[0,3]，使f(x)≥33成立，求a 的取值范围；(3)已知g(x)=m ⋅2x ，在(1)的条件下，若f(x)≥g(x)恒成立，求m 的取值范围．参考答案及解析1.答案：C解析：∵A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，∴A∪B={1,2,3,4,5,6}．所以选：C．找出既属于A又属于B的元素，即可求出两集合的并集．此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2.答案：A解析：cos780°=cos(720°+60°)=cos60°=1．2所以选：A．直接利用诱导公式，转化为[0,π]间的角的三角函数得答案．本题考查利用诱导公式化简求值，关键是对诱导公式的记忆，属于基础题．3.答案：C解析：A={x|2x−3<3x}={x|x>−3}，B={x|x≥2}，故−3∉A，3∈B，B⊆A；所以选：C．化简A={x|2x−3<3x}={x|x>−3}，从而判断元素与集合，集合与集合的关系．本题考查了元素与集合，集合与集合的关系的判断，属于基础题．4.答案：B解析：本题考查两角和与差的余弦公式，属基础题．cos20°cos25°−cos70°sin25°=cos20°cos25°−cos(90°−20°)sin25°，利用两角和与差的余弦公式可求解．cos20°cos25°−cos70°sin25°=cos20°cos25°−cos(90°−20°)sin25°=cos20°cos25°−(cos90°cos20°+sin90°sin20°)sin25°=cos20°cos25°−sin20°sin25°= cos(20°+25°)=cos45°=√2．2所以选：B．5.答案：B解析：因为f(x)为奇函数且x>0时，f(x)=lnx+2，则f(−e)=−f(e)=−3．所以选：B．由已知结合已知函数解析式可求f(e)，然后结合奇函数定义可求f(−e)．本题主要考查了利用奇函数的定义求解函数值，属于基础题．6.答案：C解析：因为sinθ=13,θ∈(π2,π)，所以cosθ=−√1−sin2θ=−2√23，则sin2θ=2sinθcosθ=2×13×(−2√23)=−4√29．所以选：C．由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosθ的值，进而根据二倍角的正弦公式即可求解sin2θ的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．7.答案：D解析：如图所示，x与y的散点图如下：根据选项中的函数的图象性质以及散点图，即可判断选项D正确，所以选：D．画出已知函数的散点图，根据散点图即可判断求解．本题考查了函数的图象性质，涉及到散点图的应用，考查了学生的理解能力，属于基础题．8.答案：C解析：由图象可知函数关于y轴对称，所以函数为偶函数，A中，y=f(x)+g(x)=sinx+x，在R上是奇函数，排除，B中，y=f(x)−g(x)=sinx−x，在R上是奇函数，排除，D中，y=f(x)g(x)=sinxx，定义域为{x|x≠0}，不符合图象，排除，所以选：C．结合图象的对称性和函数定义域，分别对A，B，D分析可排除，选出答案．本题考查函数的定义域及奇偶性的性质的应用，数形结合的思想，属于中档题．9.答案：A解析：根据函数f(x)=Asin(ωx +φ)(|φ|<π)的部分图象，可得A =2，14×2πω=7π2−2π，∴ω=13． 结合五点法作图，可得13×2π+φ=π2，∴φ=−π6， ∴f(x)=2sin(x 3−π6)， 由此可得它的周期为2π13=6π，故B 正确； 由于它的频率为16π，故A 错误；它的振幅为2，故C 正确；它的初相为−π6，故D 正确，所以选：A ．由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，从而得出结论．本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题． 10.答案：C解析：f(x)=−sin 2x −cosx =cos 2x −cosx −1=(cosx −1)2−54，令t =cosx ，则f(t)=(t −12)2−54(−1≤t ≤1)，当t =−1时，f(x)max =1，所以选：C ．化简函数解析式可得f(x)=−sin 2x −cosx ==(cosx −1)2−54，然后利用二次函数的知识可得答案． 本题主要考查了二次函数的性质以及余弦函数的性质的应用，考查了函数思想，属于中档题． 11.答案：B解析：函数f(x)={−x 2−2x,x ≤0log 2x,x >0的图象如下图，y=f(x)+a的零点即为函数y=f(x)图象与函数y=−a的交点个数，结合图象可知，函数y=f(x)+a恰有3个零点，则0≤−a<1，所以−1<a≤0所以选：B．画出函数的图象，利用函数的零点个数，结合两个函数的图象，写出结果即可．本题考查分段函数的图象的作法，函数的零点个数的判断与应用，考查数形结合以及转化思想的应用，属于中档题．12.答案：A解析：在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=log2x，y=log3x，y=4x的图象如下，可得y>x>z，所以选：A．在同一平面直角坐标系中分别画出三个函数的图象即可求解．本题考查了对数函数，指数函数的图象与性质，属于中档题．13.答案：2解析：用待定系数法求出幂函数f(x)的解析式，再计算f(4)的值．本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．设幂函数y=f(x)=xα，α∈R，。
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2016-2017学年四川省乐山市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={x ||x |≤1}，则A ∩B 等于（ ） A ．{﹣1，0，1} B ．{0，1，2} C ．{0，1} D ．{1，2}2．cos585°的值为（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知函数f （x ）=，则=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．8 4．函数f （x ）=log 3x +x ﹣3的零点所在的区间是（ ）A ．（0，2）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）5．已知集合A={x |x 2+2x ＜0}，B={x |a ＜x ＜a +1}，且B ⊆A ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ＜﹣2或a ＞﹣1B ．﹣2＜a ＜﹣1C ．a ≤﹣2或a ≥﹣1D ．﹣2≤a ≤﹣16．已知函数f （x ）=Asin （ωx +φ）的图象（部分）如图所示，则=（ ）A ．B ．C ．D ．7．下列函数中为奇函数的是（ ）A ．y=xcosxB ．y=xsinxC ．y=|1nx |D ．y=2﹣x8．已知α满足sinα=，那么值为（）A．B．C．D．9．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低，现在价格为8100元的计算机经过15年的价格应降为（）A．2300元B．2800元C．2400元D．2000元10．已知a＞b，函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象如图所示，则函数g（x）=log a （x+b）的图象可能为（）A．B．C．D．11．若f（x）=2cos（ωx+φ）+k，对任意实数t都有成立，且，则实数k的值等于（）A．﹣3或1 B．1 C．﹣1或3 D．﹣312．设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣2，3]B．[﹣2，0]C．[1，3]D．[0，3]二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．13．已知幂函数y=xα的图象过点，则f（4）=．14．已知第二象限的角α的终边与单位圆的交点，则tanα=．15．若f（x）=+a是奇函数，则a=．16．对于函数①f（x）=lg（|x﹣2|+1），②f（x）=（x﹣2）2，③f（x）=cos（x+2）．给出如下三个命题：命题甲：f（x+2）是偶函数；命题乙：f（x）在区间（﹣∞，2）上是减函数，在区间（2，+∞）上是增函数；命题丙：f（x+2）﹣f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数．能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．若集合A={x|x2﹣2x﹣8＜0}，B={x|x﹣m＜0}．（1）若全集U=R，求∁U A；（2）若A∩B=A，求实数m的取值范围．18．已知sinθ﹣2|cosθ|=0，且θ为第二象限的角．（1）求tanθ的值；（2）求sin2θ﹣sinθ•cosθ﹣2cos2θ+1的值．19．设定义在[﹣2，2]上的偶函数f（x）在区间[﹣2，0]上单调递减，若f（1﹣m）＜f（1+m），求实数m的取值范围．20．某厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每一小时可获得的利润是元．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于1500元，求x的取值范围；（2）要使生产480千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．21．已知函数f（x）=sinx•cosx﹣x．（1）f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，若方程g（x）+=0在x∈[0，π]上有解，求实数m的取值范围．22．已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．（1）当a=5时，解不等式f（x）＞0；（2）若关于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．2016-2017学年四川省乐山市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={x||x|≤1}，则A∩B等于（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1，2}C．{0，1}D．{1，2}【考点】交集及其运算．【分析】由绝对值不等式的解法求出B，由交集的运算求出A∩B．【解答】解：由题意知，B={x||x|≤1}={x|﹣1≤x≤1}，∵集合A={﹣1，0，1，2}，∴A∩B={﹣1，0，1}，故选A．2．cos585°的值为（）A．B．C．D．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，计算即可得到结果．【解答】解：cos585°=cos=cos=﹣cos45°=﹣．故选：D．3．已知函数f（x）=，则=（）A．2 B．3 C．4 D．8【考点】函数的值．【分析】先求出f（）==4，从而=f（4），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（）==4，=f（4）=log28=3．故选：B．4．函数f（x）=log3x+x﹣3的零点所在的区间是（）A．（0，2） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【考点】函数零点的判定定理．【分析】求出函数的定义域，判断连续性，求得f（2）•f（3）＜0，根据函数的零点的判定定理，可得函数零点所在的大致区间．【解答】解：∵函数f（x）=log3x+x﹣3，定义域为：x＞0；函数是连续函数，∴f（2）=log32+2﹣3＜0，f（3）=log33+3﹣3=1＞0，∴f（2）•f（3）＜0，根据函数的零点的判定定理，故选：C．5．已知集合A={x|x2+2x＜0}，B={x|a＜x＜a+1}，且B⊆A，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣2或a＞﹣1 B．﹣2＜a＜﹣1 C．a≤﹣2或a≥﹣1 D．﹣2≤a≤﹣1【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】由已知中，集合A={x|x2+2x＜0}=（﹣2，0），B={x|a＜x＜a+1}，B⊆A，我们可以构造一个关于a的不等式组，解不等式组，即可得到实数a的取值范围．【解答】解：∵集合A={x|x2+2x＜0}=（﹣2，0），B={x|a＜x＜a+1}，B⊆A，∴，解得﹣2≤a≤﹣1，故实数a的取值范围是[﹣2，﹣1]故选D．6．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象（部分）如图所示，则=（）A．B．C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由图象求出函数的周期、最大值A，由周期公式求出ω的值，由函数过的特殊点列出方程，结合条件求出ϕ，可求出函数的解析式和f（﹣）．【解答】解：由图可得：A=2，且，解得T=2，又ω＞0，则，解得ω=π，则函数f（x）=2sin（πx+ϕ），因为函数图象过点（，0），所以2sin（+ϕ）=0，即+ϕ=kπ（k∈Z），解得ϕ=﹣+kπ（k∈Z），又，则，所以f（x）=2sin（πx+），即f（）=2sin（+）=2sin（）=，故选C．7．下列函数中为奇函数的是（）A．y=xcosx B．y=xsinx C．y=|1nx| D．y=2﹣x【考点】函数奇偶性的判断．【分析】利用奇偶函数的定义进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，﹣xcos（﹣x）=﹣xcosx，∴函数为奇函数；对于B，﹣xsin（﹣x）=xsinx，∴函数为偶函数；对于C，定义域不关于原点对称，非奇非偶函数；对于D，非奇非偶函数；故选A．8．已知α满足sinα=，那么值为（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】利用两角和差的三角公式、二倍角公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵sinα=，那么=（cosα﹣sinα）•（cosα+sinα）=﹣•sin2α=cos2α=（1﹣2sin2α）=（1﹣2×）=，故选：C．9．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低，现在价格为8100元的计算机经过15年的价格应降为（）A．2300元B．2800元C．2400元D．2000元【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：现在价格为8100元的计算机经过15年的价格应降为=8100×=2400元，故选：C．10．已知a＞b，函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象如图所示，则函数g（x）=log a （x+b）的图象可能为（）A．B．C．D．【考点】对数函数的图象与性质；二次函数的图象．【分析】由a＞b，函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象可知，a＞1＞b＞0．于是g （x）=log a（x+b）的图象是单调递增的，g（1）＞0，从而可得答案．【解答】解：由f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象与a＞b得：a＞1＞b＞0．∴g（x）=log a（x+b）的图象是单调递增的，可排除A，D，又g（1）=log a（1+b）＞log a1=0，可排除C，故选B．11．若f（x）=2cos（ωx+φ）+k，对任意实数t都有成立，且，则实数k的值等于（）A．﹣3或1 B．1 C．﹣1或3 D．﹣3【考点】正弦函数的对称性．【分析】通过有成立，判断函数的对称轴，就是函数取得最值的x值，结合，即可求出k的值．【解答】解：因为f（x）=2cos（ωx+φ）+m，对任意实数t都有成立，所以函数的对称轴是x=，就是函数取得最值，又，所以﹣1=±2+k，所以k=1或﹣3．故选：A．12．设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣2，3]B．[﹣2，0]C．[1，3]D．[0，3]【考点】分段函数的应用．【分析】由分段函数可得当x=0时，f（0）=a2，由于f（0）是f（x）的最小值，则（﹣∞，0]为减区间，即有a≥0，则有a2≤x++a+4，x＞0恒成立，运用基本不等式，即可得到右边的最小值2+a，解不等式a2≤2+a，即可得到a的取值范围【解答】解：由于f（x）=，则当x=0时，f（0）=a2，由于f（0）是f（x）的最小值，则（﹣∞，0]为减区间，即有a≥0，则有a2≤x++a+4，x＞0恒成立，由x+≥2=2，当且仅当x=1取最小值2，则a2≤6+a，解得﹣2≤a≤3．综上，a的取值范围为[0，3]．故选：D．二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．13．已知幂函数y=xα的图象过点，则f（4）=2．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】把幂函数y=xα的图象经过的点代入函数的解析式，求得α的值，即可得到函数解析式，从而求得f（4）的值．【解答】解：∵已知幂函数y=xα的图象过点，则2α=，∴α=，故函数的解析式为y f（x）=，∴f（4）==2，故答案为2．14．已知第二象限的角α的终边与单位圆的交点，则tanα=﹣．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】先求得m的值，再利用任意角的三角函数的定义，求得tanα的值．【解答】解：∵第二象限的角α的终边与单位圆的交点，∴m＜0，且=1，求得m=﹣，则tanα===﹣，故答案为：．15．若f（x）=+a是奇函数，则a=﹣．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由题意，f（0）==0，即可得出结论．【解答】解：由题意，f（0）==0，∴a=．故答案为﹣．16．对于函数①f（x）=lg（|x﹣2|+1），②f（x）=（x﹣2）2，③f（x）=cos（x+2）．给出如下三个命题：命题甲：f（x+2）是偶函数；命题乙：f（x）在区间（﹣∞，2）上是减函数，在区间（2，+∞）上是增函数；命题丙：f（x+2）﹣f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数．能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是②．【考点】命题的真假判断与应用；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】要判断题目中给出的三个函数中，使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号，我们可将题目中的函数一一代入命题甲、乙、丙进行判断，只要有一个命题为假，即可排除，最好不难得到最终的答案．【解答】解：①若f（x）=lg（|x﹣2|+1）则：f（x+2）是偶函数，此时命题甲为真；f（x）在（﹣∞，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数；此时命题乙为真；但f（x+2）﹣f（x）在（﹣∞，+∞）上不是单调递增的；此时命题丙为假．②f（x）=（x﹣2）2则：f（x+2）是偶函数，此时命题甲为真；f（x）在（﹣∞，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数；此时命题乙为真；但f（x+2）﹣f（x）=4x﹣4在（﹣∞，+∞）上是增函数的；此时命题丙为真．③若f（x）=cos（x+2），则：f（x+2）是不偶函数，此时命题甲为假；f（x）在（﹣∞，2）上不是减函数，在（2，+∞）上不是增函数；此时命题乙为假；但f（x+2）﹣f（x）在（﹣∞，+∞）上不是单调递增的；此时命题丙为假．故答案为：②．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．若集合A={x|x2﹣2x﹣8＜0}，B={x|x﹣m＜0}．（1）若全集U=R，求∁U A；（2）若A∩B=A，求实数m的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】（1）化简集合A，根据补集的定义写出C U A；（2）化简集合B，根据A∩B=A得A⊆B，从而写出取值范围．【解答】解：（1）A={x|x2﹣2x﹣8＜0}={x|﹣2＜x＜4}，∴C U A={x|x≤﹣2或x≥4}；（2）B={x|x﹣m＜0}={x|x＜m}，由A∩B=A，得A⊆B，∴m≥4．18．已知sinθ﹣2|cosθ|=0，且θ为第二象限的角．（1）求tanθ的值；（2）求sin2θ﹣sinθ•cosθ﹣2cos2θ+1的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）运用象限角的三角函数符号化简三角函数式，求得正切值；（2）巧用三角函数的平方关系，将整式看作分母为1的三角函数式，化为正切的式子求值．【解答】解：（1）因为θ为第二象限的角，所以sinθ﹣2|cosθ|=si nθ+2cosθ=0得tanθ=﹣2，（2）sin2θ﹣sinθ•cosθ﹣2cos2θ+1=2sin2θ﹣sinθ•cosθ﹣cos2θ===．19．设定义在[﹣2，2]上的偶函数f（x）在区间[﹣2，0]上单调递减，若f（1﹣m）＜f（1+m），求实数m的取值范围．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得f（x）在[﹣2，0]上单调递减，进而分析可得，解可得m的取值范围，即可得答案．【解答】解：∵f（x）是[﹣2，2]上的偶函数，且在[﹣2，0]上单调递减，∴f（x）在[0，2]上单调递增，由f（1﹣m）＜f（1+m）得解①得﹣3≤m≤1，解②得﹣1≤m≤3，由①②得﹣1≤m≤1，则③可化简为（1﹣m）2＜（1+m）2，得m＞0，综上得m的范围为0＜m≤1．20．某厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每一小时可获得的利润是元．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于1500元，求x的取值范围；（2）要使生产480千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）利用已知条件列出不等式求解即可．（2）利用二次函数的性质，通过配方求解函数的最值即可．【解答】解：（1）根据题意，有，得5x2﹣14x﹣3≥0，得x≥3或，又1≤x≤10，得3≤x≤10．（2）生产480千克该产品获得的利润为，1≤x≤10，记，1≤x≤10，则当且仅当x=6时取得最大值，则获得的最大利润为（元）故该厂以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为122000元．21．已知函数f（x）=sinx•cosx﹣x．（1）f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，若方程g（x）+=0在x∈[0，π]上有解，求实数m的取值范围．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性，求得f（x）的最小正周期和单调递增区间．（2）函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得实数m的取值范围．【解答】解：（1）===，因此f（x）的最小正周期为，由，k∈z，解得f（x）的单调递增区间为，k∈z．（2）将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，可得，则方程，可化简为=，∵x ∈[0，π]，则，则，则，得，故实数m 的取值范围为．22．已知a ∈R ，函数f （x ）=log 2（+a ）． （1）当a=5时，解不等式f （x ）＞0；（2）若关于x 的方程f （x ）﹣log 2[（a ﹣4）x +2a ﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围．（3）设a ＞0，若对任意t ∈[，1]，函数f （x ）在区间[t ，t +1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．【考点】函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（1）当a=5时，解导数不等式即可．（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论a 的取值范围进行求解即可．（3）根据条件得到f （t ）﹣f （t +1）≤1，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可．【解答】解：（1）当a=5时，f （x ）=log 2（+5），由f （x ）＞0；得log 2（+5）＞0，即+5＞1，则＞﹣4，则+4=＞0，即x ＞0或x ＜﹣，即不等式的解集为{x |x ＞0或x ＜﹣}．（2）由f （x ）﹣log 2[（a ﹣4）x +2a ﹣5]=0得log 2（+a ）﹣log 2[（a ﹣4）x +2a ﹣5]=0．即log 2（+a ）=log 2[（a ﹣4）x +2a ﹣5]，即+a=（a ﹣4）x +2a ﹣5＞0，① 则（a ﹣4）x 2+（a ﹣5）x ﹣1=0， 即（x +1）[（a ﹣4）x ﹣1]=0，②，当a=4时，方程②的解为x=﹣1，代入①，成立当a=3时，方程②的解为x=﹣1，代入①，成立当a≠4且a≠3时，方程②的解为x=﹣1或x=，若x=﹣1是方程①的解，则+a=a﹣1＞0，即a＞1，若x=是方程①的解，则+a=2a﹣4＞0，即a＞2，则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2．综上，若方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，则a 的取值范围是1＜a≤2，或a=3或a=4．（3）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，即log2（+a）﹣log2（+a）≤1，即+a≤2（+a），即a≥﹣=设1﹣t=r，则0≤r≤，==，当r=0时，=0，当0＜r≤时，=，∵y=r+在（0，）上递减，∴r+≥=，∴==，∴实数a的取值范围是a≥．。