参数方程练习题
空间曲线练习题解决空间曲线的参数方程和性质
空间曲线练习题解决空间曲线的参数方程和性质空间曲线是三维空间中的曲线，由于其具有复杂的几何特性，研究和解决空间曲线的参数方程和性质一直是数学领域的热门话题。
本文将通过解决一些典型的空间曲线练习题，来探讨空间曲线的参数方程和性质。
1. 题目一：直线的参数方程已知空间直线L过点A(1, 2, 3)，且与直线L1: x = 2t, y = 3t, z = 4t 平行，求直线L的参数方程和方向向量。
解析：空间直线L与直线L1平行，意味着L的方向向量与L1的方向向量平行。
因此，直线L的方向向量可以沿用直线L1的方向向量，即(2, 3, 4)。
又已知直线L过点A(1, 2, 3)，设直线L的参数方程为 x = x0 + 2t, y = y0 + 3t, z = z0 + 4t。
带入点A(1, 2, 3)，可得 x = 1 + 2t, y = 2 + 3t, z = 3 + 4t。
因此，直线L的参数方程为 x = 1 + 2t, y = 2 + 3t, z = 3 + 4t，方向向量为(2, 3, 4)。
2. 题目二：曲线在平面上的投影已知曲线C的参数方程为x = t, y = √t, z = t^2，求曲线C在xy平面上的投影方程。
解析：曲线C在xy平面上的投影即为将曲线C在z轴上的坐标消去，得到的二维曲线方程。
由曲线C的参数方程可知 z = t^2。
将其代入到x = t和y = √t中，可得到曲线C在xy平面上的投影方程为 x = y^2。
因此，曲线C在xy平面上的投影方程为 x = y^2。
3. 题目三：曲线的切线和法线方程已知曲线C的参数方程为 x = t^2, y = t^3, z = t，求曲线C在点(1, 1, 1)处的切线和法线方程。
解析：切线方程可以通过求曲线参数方程在给定点处的导数来得到。
法线方程是切线方程的垂直平分线。
对曲线C的参数方程分别求导数，可得 dx/dt = 2t, dy/dt = 3t^2, dz/dt = 1。
参数方程专题练习(整理)
1（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程。
已知曲线C 1：4cos ,3sin ,x t y t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数）， C 2：8cos ,3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）。
（1）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C 1上的点P 对应的参数为2t π=，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线332,:2x t C y t=+⎧⎨=-+⎩ （t 为参数）距离的最小值。
2（2009宁夏海南卷文）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程。
已知曲线C 1：4cos ,3sin ,x t y t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数）， C 2：8cos ,3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）。
（1）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C 1上的点P 对应的参数为2t π=，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线332,:2x t C y t=+⎧⎨=-+⎩ （t 为参数）距离的最小值。
3．（2010年高考福建卷理科21）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为3,2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）。
在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρθ=。
（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P的坐标为，求|PA|+|PB|。
4．（2010年高考江苏卷试题21）选修4-4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆ρ=2cos θ与直线3ρcos θ+4ρsin θ+a=0相切，求实数a 的值。
5. (2010年全国高考宁夏卷23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线C 1x 1t cos sin y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），C 2x cos sin y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），（Ⅰ）当α=3π时，求C 1与C 2的交点坐标； （Ⅱ）过坐标原点O 做C 1的垂线，垂足为，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。
圆锥曲线的参数方程练习题(带答案)
圆锥曲线的参数方程练习题1、若点()3,P m 在以点F 为焦点的抛物线24{4x t y t == (t 为参数)上,则PF 等于( )A.2B.3C.4D.5答案：C解析：抛物线为24y x =,准线为1x =-, PF 为()3,P m 到准线1x =-的距离,即为4.故选C.2、参数方程sin cos ,{1sin 2x y θθθ=+=+ (θ为参数)所表示的曲线为( )A.圆的一部分B.抛物线的一部分C.双曲线的一部分D.椭圆的一部分答案：B解析：参数方程sin cos ,{1sin 2x y θθθ=+=+ (θ为参数),化为普通方程为2(02)x y y =≤≤,表示抛物线的一部分.3、椭圆5cos ,{3sin x y ϕϕ== (ϕ为参数)的焦点坐标为( ) A.(5,0)± B.(4,0)± C.(3,0)± D.(0,4)±答案：B解析：椭圆5cos ,{3sin x y ϕϕ== (ϕ为参数)的普通方程为221259x y +=,故4c ==. 又椭圆焦点在x 轴上,故焦点坐标为(4,0)±.4、已知过曲线3cos ,{4sin x y θθ== (θ为参数,0θπ≤≤)上一点P 和原点O 的连线PO 的倾斜角为4π,则P 点的坐标是( ) A.(3,4) B.1212,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C.2⎛ ⎝D.1212,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ 答案：D解析：直线PO 的方程是y x =,又点P 为曲线3cos ,{4sin x y θθ==上一点,故3cos 4sin θθ=,即3tan 4θ=,因为倾斜角为4π,0θπ≤≤,所以曲线与直线的交点在第一象限,故3sin 5θ=,4cos 5θ=,所以125x y ==. 5、已知O 为原点,P为椭圆4cos ,{x y αα== (α为参数)上第一象限内一点,OP 的倾斜角为3π,则点P 坐标为( ) A.()2,3 B.()4,3C.(D.(,55答案：D解析：椭圆4cos ,{x y αα== (α为参数)化为普通方程,得2211612x y +=.由题意可得直线OP的方程为y = (0x >).由22(0),{11612y x x y =>+=解得x y ==. ∴点P的坐标为.故选D. 6、参数方程cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)化为普通方程为( ) A.2214y x += B.2212y x += C.2214x y += D.2212x y +=答案：A 解析：易知,2y cos x sin θθ==,∴2214y x +=,故选A. 7、方程cos cos x a y b θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数,0ab ≠)表示的曲线是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.双曲线的一部分 答案：D解析：由xcos a θ=,∴a cos xθ=,代入y bcos θ=,得xy ab =,又由y bcos θ=知,||,y b b ∈-⎡⎤⎣⎦,∴曲线应为双曲线的一部分.8、若曲线2sin cos 1x y θθ⎧=⎨=-⎩ (θ为参数)与直线x m =相交于不同两点,则m 的取值范围是( )A.RB.()0,+∞C.()0,1D.[)0,1答案：D解析：将曲线2sin cos 1x y θθ⎧=⎨=-⎩化为普通方程得()()()21101y x x +=--≤≤.它是抛物线的一部分,如图所示,由数形结合知01m ≤<.8、过椭圆5cos ,{3sin x y ϕϕ== (为参数)的右焦点,斜率为12的直线方程为__________ 答案：x-2y-4=0解析：椭圆的普通方程为221259x y+=,故5,3,a b==所以4c==,故右焦点的坐标为(4,0),又直线的斜率为12,故直线的方程为1(4)2y x=-,即240x y--=.9、已知实数0p>,曲线212:{2x ptCy pt==(t为参数)上的点(2,)A m,曲线26cos :{26sinpxCyθθ=+ = (θ为参数)的圆心为点B,A,B两点间的距离等于圆2C的半径,则p=__________.答案：8解析：曲线212:{2x ptCy pt==(t为参数)化为普通方程为22y px=,代入2x=得m=±则点(2,A±.曲线26cos:{26sinpxCyθθ=+=的圆心为(,0)2p,半径为6.10、设点O为坐标原点,直线l:4,{2xy t=+=(参数t R∈)与曲线24,:{4x uCy u==(参数u R∈)交于A、B两点.（1）求直线l与曲线C的普通方程;（2）求证:OA OB⊥.答案：1.直线l:4y x=-.曲线C:24y x=.2.证明:设1122(,),(,),A x yB x y由24{4y xy x==-消去y,得212160x x-+=.∴121212,16,x x x x+==∴12121212121212(4)(4)4()161OA OBy y x x x x x xk kx x x x x x---+⋅====-.∴OA OB⊥.11、在直角坐标系 xOy 中,直线l 的方程为40x y -+=,曲线 C的参数方程为,{sin ,x y θθ== (θ为参数).1.已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,点P 的极坐标为4,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭,判断点P 与直线l 的位置关系; 2.设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线l 的距离的最小值.答案：1. 点P 的极坐标为4,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭,则直角坐标为(0,4), 把()0,4P 代入直线l 的方程40x y -+=, 因为0?4? 4? 0-+=,所以点P 在直线l 上.2.因为点 Q 是曲线 C 上的一个动点,则点 Q的坐标可设为),sin Q αα. 点 Q 到直线l 的距离为2cos 4d πα⎛⎫++ ⎪==6πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭所以当cos 16πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时,d.。
参数方程练习题经典基础题型之欧阳地创编
参数方程练习题1．若直线的参数方程为12()23x t t y t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ） A ．23 B ．23- C ．32 D ．32-2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（ ） A ．1(,2 B ．31(,)42- C ． D ． 3．将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤D ．2(01)y x y =+≤≤4．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ）A ．201y y +==2x 或B ．1x =C ．201y +==2x 或xD ．1y =5．点M 的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为（ ） A ．(2,)3π B ．(2,)3π- C ．2(2,)3π D ．(2,2),()3k k Z ππ+∈ 6．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆 D ．一个圆10．圆5cos ρθθ=-的圆心坐标是（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,5π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3,5π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛32,5π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛35,5π 13．直线34()45x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数的斜率为______________________。
14．参数方程()2()t t t t x e e t y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为__________________。
15．直线cos sin 0x y αα+=的极坐标方程为____________________。
16．已知直线113:()24x t l t y t=+⎧⎨=-⎩为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，则AB =_______________。
高中数学双曲线的参数方程练习题含答案
．
∵ ， ，
∴ ，
∵当 时， ，
当 时， ，
∴ ．
∴ 的取值范围是： ．
【考点】
双曲线的参数方程
求线性目标函数的最值
【解析】
本题可以先利用用参数方程表示双曲线，再利用参数方程化简所示代数式，利用配方法、结合函数图象，研究二次函数的最值，得到本题结论．
28.求 满足下列条件的参数方程：
；
．
29.过双曲线上任意一点引双曲线的切线．试证：由两焦点到这条切线的距离之积为定值．
参考答案与试题解析
高中数学双曲线的参数方程练习题含答案
一、 选择题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）
1.
【答案】
C
【考点】
参数方程与普通方程的互化
直线与圆的位置关系
20.双曲线的参数方程 中，参数的几何意义是什么？
21.以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是 ．
（1）在直角坐标系 中，求曲线 的参数方程；
（2）在直角坐标系 中，已知 ， ， 为曲线 上任意一点，求 的取值范围．
22.经过点 作直线交曲线- （ 是参数）于A， 两点，若点 为线段 的中点，求直线 的方程．
A.双曲线B.双曲线的上支C.双曲线下支D.圆
3.参数方程 的曲线为（）
A.抛物线的一部分，且过点
B.抛物线的一部分，且过点
C.双曲线的一支，且过点
D.双曲线的一支，且过点
4.已知双曲线 ： （ 为参数），则该双曲线的离心率为________.
5.已知双曲线 的左、右焦点为 ， ，点 为双曲线 右支上一点， 的内切圆与 轴切于点 ，则点 的坐标为________．
参数方程解答题过关练习15题
参数方程解答题过关练习（15题）类型一：设点，即用参数表示曲线（椭圆）上任意点坐标，将问题转化为函数（三角函数）问题.1．已知曲线：，直线：（为参数）.（Ⅰ）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（Ⅱ）求曲线上任一点到直线的距离的最大值和最小值．2.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),以坐标原点为极点,以x 轴的正半轴为极轴,,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin=2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程.(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.3.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为.（1）若，求与的交点坐标；（2）若上的点到的距离的最大值为，求.4．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为．(Ⅰ)写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；；(Ⅱ)已知点为直线上的两个动点，且点为曲线上任意一点，求面积的最大值及此时点的直角坐标．5．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且直线经过曲线的左焦点．（1）求的值及直线的普通方程；（2）设曲线的内接矩形的周长为，求的最大值．类型二：直线标准参数方程参数t 的几何意义应用过点M 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是错误！未找到引用源。
(t 是参数). 若M,M 1,M 2是l 上的两点,其对应参数分别为t ，t 1,t 2,则 （1）tMM =0；（2）|M 1M 2|=|t 1-t 2|；（3）中点M 1,M 2对应的参数为221t t +.1.已知曲线的参数方程为（为参数），过点的直线交曲线于两点．（1）将曲线的参数方程化为普通方程； （2）求的最值．2．在直角坐标系中，直线过定点且与直线垂直．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．(1)求曲线的直角坐标方程和直线的参数方程； (2)设直线与曲线交于二点，求的值．3．在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系．已知直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为)0(cos 2sin 2>=m m θθρ．（1）求直线过点的参数方程；（2）已知直线与曲线交于，设，且，求实数m的值．4．已知在直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），曲线的参数方程是（为参数），点.（1）将曲线的方程化为普通方程，并指出曲线是哪一种曲线；（2）直线与曲线交于点，当时，求直线的斜率..类型三：求轨迹的参数方程1．已知动点都在曲线（为参数）上，对应参数分别为与，为的中点．（1）求的轨迹的参数方程；（2）将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点．2.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为．设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线．（1）写出的普通方程；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，为与的交点，求的极径．3.在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程．4．已知直线： ， 圆：.（1）当=时，求与的交点坐标：（2）过坐标原点O 做的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.5.已知直线的参数方程为（为参数），圆的参数方程为（为参数）.（1）若直线与圆的相交弦长不小于，求实数的取值范围；（2）若点的坐标为，动点在圆上，试求线段的中点的轨迹方程.6．在平面直角坐标系xOy 中，已知(0 1)A ，，(0 1)B -，，( 0)C t ，，3 0D t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，其中0t ≠．设直线AC 与BD 的交点为P ，求动点P 的轨迹的参数方程（以t 为参数）及普通方程．参数方程解答题过关练习参考答案类型一：设点，即用参数表示曲线（椭圆）上任意点坐标，将问题转化为函数（三角函数）问题.1.【解】(Ⅰ) 曲线C 的参数方程为：（为参数）， 直线的普通方程为：（Ⅱ）在曲线C 上任意取一点P (2cos,3sin )到的距离为，其中为锐角，且.当时，取得最大值，最大值为；当时，取得最小值，最小值为. 2.【解】(1)由x αy sin α⎧⎪=⎨⎪=⎩得2x 3+y 2=1.因为ρsin πθ4⎛⎫+ ⎪⎝⎭=ρsinθ+ρcosθ=2所以x+y=4.所以C 1的普通方程为2x 3+y 2=1,C 2的直角坐标方程为x+y=4.(2)由题意,可设点P的直角坐标为)α,sin α,因为C 2是直线,所以PQ 的最小值即为P 到C 2的距离d(α)的最小值,d(α)=πsin α23⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.当且仅当α=2kπ+π6 (k ∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为,此时P 的直角坐标为31,22⎛⎫⎪⎝⎭3.解析 （1）当1a =-时，直线l 的方程为430x y +-=，曲线C 的标准方程为2219x y +=. 联立方程2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则C 与l 交点坐标是()30，和21242525⎛⎫- ⎪⎝⎭，. （2）直线l 一般式方程为440x y a +--=，设曲线C 上点()3cos sin p θθ，． 则点P 到l的距离d =3tan 4ϕ=． 依题意得max d =16a =-或8a =.4.【解】（Ⅰ）曲线化为普通方程为，直线的直角坐标方程为．（Ⅱ）设点，则点到直线的距离．，∴当时，当点P 的直角坐标为时，有最大值12．5.【解】（1）因为曲线的极坐标方程为，即，将，代入上式并化简得，所以曲线的直角坐标方程为，于是，，直线的普通方程为，将代入直线方程得，所以直线的普通方程为．（2）设椭圆的内接矩形在第一象限的顶点为（），所以椭圆的内接矩形的周长为（其中），此时椭圆的内接矩形的周长取得最大值．类型二：直线标准参数方程参数t 的几何意义应用1.解：（1）曲线C的参数方程化为⎪⎩⎪⎨⎧==ααsincos2yx（α为参数），两边平方相加消去参数α，得曲线C的普通方程为1222=+yx.（2）由题意知，直线l的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsincos1tytx（t为参数），代入1222=+yx，得1cos2)sin2(cos222=-++θθθtt，设BA,对应的参数分别为21,tt，则]1,21[sin11sin2cos1||||||22221∈+=+==⋅θθθt tPBPA．∴当0sin=α时，||||PBPA⋅最大值为1；当0sin=α时，||||PBPA⋅最小值为21．2.解：(1)由0cos2sin2=-θθρ，即0cos2sin22=-θρθρ，化为直角坐标方程得，，因为，所以3-=O Pk，因为直线与直线垂直，所以1-=⋅O Pkk，即6,33tan παα===k ，直线的参数方程为 (为参数)．(2)设对应的参数分别为 ，将直线代入曲线的方程，得，则，故同正，.3.解：（1）由，得直线的直角坐标方程为，倾斜角为4π． 所以，直线过点的参数方程为（为参数）．（2）由，得，由代入，得．将直线的参数方程与的直角坐标方程联立，得，（*）．设点分别对应参数恰为上述方程的根，则．由题设得，即．由（*）得，，则有，得或．因为，所以．4.解：（Ⅰ）参数方程化为普通方程可得曲线的普通方程是，曲线是圆.（Ⅱ）点满足： 所以，即.因为，所以. 从而.所以.据此可得直线的斜率为.类型三：求轨迹的参数方程1.解：（1）由题意有，()()2cos ,2sin ,2cos2,2sin 2P Q αααα，因此()c o s c o s 2,s i n s i n 2M αααα++，M 的轨迹的参数方程为cos cos 2sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩（α为参数，02απ<<）．（2）M点到坐标原点的距离为)02d απ==<<，当a π=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点．2．解析 ⑴将参数方程转化为一般方程()1:2l y k x =- ①()21:2l y x k=+ ②⨯①②，消k 可得224x y -=，即点P 的轨迹方程为224x y -=()0y ≠.⑵将极坐标方程转化为一般方程3:0l x y +=，联立2204x y x y ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，解得ρ=M．3.解：（1）的直角坐标方程为．当时，与交于两点． 当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．综上，的取值范围是．（2）的参数方程为为参数，． 设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．于是，．又点的坐标满足所以点的轨迹的参数方程是为参数，．4.解：（Ⅰ）当3πα=时，1C的普通方程为1)y x =-，2C 的普通方程为221x y +=.联立方程组解得1C 与2C 的交点为()1,0，1(,)22-. （Ⅱ）1C 的普通方程为sin cos sin 0x y ααα--=.A 点坐标为2(sin ,cos sin )a a a -，故当a 变化时，P 点轨迹的参数方程为21sin 21sin cos 2x a y a a ==-⎧⎨⎩（a 为参数）P 点轨迹的普通方程为2211()416x y -+=， 故P 点轨迹是圆心为1(,0)4，半径为14的圆.5.解：（1）直线l 的普通方程为y mx =，圆C 的普通方程为()2211x y +-=，圆心()0,1C 到直线l的距离d =，相交弦长为=1m ≤-或1m ≥.即实数m 的取值范围为][(),11,-∞-⋃+∞. （2）设()cos ,1sin P αα+， (),Q x y ，则由线段的中点坐标公式，得cos 22{1sin 2x y αα+=+=（α为参数），消去参数α并整理，得()()2222211x y -+-=，即线段PA 的中点Q 的轨迹方程为()2211124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭.6.解：直线AC 的方程为1x y t+=，①直线BD 的方程为13x y -=，② 2分由①②解得，动点P 的轨迹的参数方程为2226 33 3t x t t y t ⎧=⎪+⎨-⎪=+⎩，（t 为参数，且0t ≠）， 6分 将263tx t =+平方得222236(3)t x t =+， ③将2233t y t -=+平方得()()2222233t y t -=+， ④ 8分 由③④得，221(0)3xy x +=≠． 10分（注：普通方程由①②直接消参可得．漏写“0x ≠”扣1分．）10。
高中数学选修4-4同步练习题库：直线的参数方程(困难)
直线的参数方程（困难）1、选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线交于A，B两点．（1）求的长；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．2、选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线的参数方程为（为参数，），曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于两点，当变化时，求的最小值．3、在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）分别写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设直线与轴的两个交点分别为，点在曲线上运动，当时，求的最大值与最小值．4、极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴.已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.（1）求的直角坐标方程；（2）设直线与曲线交于两点，求弦长.5、选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，设倾斜角为的直线：，（为参数）与曲线，（为参数）相交于不同两点、．(Ⅰ)若，求线段中点的坐标；(Ⅱ)若，其中，求直线的斜率．6、选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知曲线，将曲线上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标轴伸长到原来的2倍，得到曲线，又已知直线（是参数），且直线与曲线交于两点.（I）求曲线的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（II）设定点，求.7、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线l的参数方程为（为参数），若以O为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l和曲线C的直角坐标方程；（2）当时，求直线l与曲线C公共点的极坐标．8、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点O为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为。
坐标系与参数方程练习题及参考答案
高二年数学选修4-4坐标系与参数方程测试班级:__________________ 座号:______ 姓名：___________________成绩：___________ 一、选择题（共12题，每题5分）1、点M的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为（ ） A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈ 2、极坐标系中，下列各点与点P （ρ，θ）（θ≠k π，k ∈Z ）关于极轴所在直线对称的是 （ ）A ．（-ρ，θ）B ．（-ρ，-θ）C ．（ρ，2π-θ）D ．（ρ，2π+θ） 3．已知点P 的极坐标为（1，π），那么过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 （ ）A ．ρ=1B ．ρ=cos θC ．ρ=-θcos 1D ．ρ=θcos 14．以极坐标系中的点（1，1）为圆心，1为半径的圆的方程是 （ ）A ．ρ=2cos(θ-4π) B ．ρ=2sin(θ-4π) C ．ρ=2cos(θ-1) D ．ρ=2sin(θ-1) 5．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆 6．若直线的参数方程为12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ）A ．23 B ．23- C ．32 D ．32- 7．在极坐标系中，以（2,2πa ）为圆心，2a为半径的圆的方程为（ ）A ．θρcos a =B ．θρsin a =C ．a =θρcosD ．a =θρsin8．曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A ．线段 B .双曲线的一支 C.圆 D.射线 9、在同一坐标系中，将曲线y=2sin3x 变为曲线y=sinx 的伸缩变换是（ ）A ．⎪⎩⎪⎨⎧==//213y y x xB ．⎪⎩⎪⎨⎧==y y xx 213//C ．⎩⎨⎧==//23y y x xD ．⎩⎨⎧==y y x x 23// 10．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（ ）A ．1(,2B ．31(,)42- C ． D ．11、直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心12、设P(x ，y)是曲线C ：⎩⎨⎧θ=θ+-=sin y ,cos 2x （θ为参数，0≤θ<2π）上任意一点，则yx的取值范围是 （ ）A ．[-3，3]B ．（-∞，3）∪[3，+∞]C ．[-33，33]D ．（-∞，33）∪[33，+∞]二、填空题（共8题，各5分）1、点A 的直角坐标为（1，1，1），则它的球坐标为 ，柱坐标为2、曲线的1cos 3sin --=θθρ直角坐标方程为____________________3、直线3()14x att y t=+⎧⎨=-+⎩为参数过定点_____________4、设()y tx t =为参数则圆2240x y y +-=的参数方程为__________________________。
圆锥曲线的极坐标和参数方程练习题
圆锥曲线的极坐标和参数方程练习题
11. 二次曲线为参数的焦点坐标为
A． B． C．D．
22. 已知曲线C的参数方程是，则曲线C的离心率为；若点在曲线C上运动，则的取值范围是。
53.已知二次函数（为参数，）此抛物线顶点的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线D．两条相交直线
34.已知某圆锥曲线C的极坐标方程是，则曲线C的离心率为( )
A． B．C．D．
45. 在极坐标系中，以为准线，（1，0）为焦点的抛物线的极坐标方程为_________.
56.在平面直角坐标系中，动圆的圆心为，求的取值范围
6已知曲线C1的参数方程为，曲线C2的极坐标方程为
（1）将曲线C1和C2化为普通方程；
（2）设C1和C2的交点分别为A，B，求线段AB的中垂线的参数方程。
77. 已知曲线C：（t为参数）， C：（为参数）。
（Ⅰ）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（Ⅱ）若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求中点到直线（t为参数）距离的最小值。
88. 过点A（-2,4）引倾斜角为的直线，交曲线为参数,）于两点,若成等比数列,求的值。
99. 已知椭圆C的极坐标方程为，点F1、F2为其左，右焦点，直线的参数方程为(t为参数，t∈R)．（Ⅰ）求直线和曲线C的普通方程.（Ⅱ）求点F1、F2到直线的距离之和.。
参数方程练习题计算参数方程的导数积分与相关性质
参数方程练习题计算参数方程的导数积分与相关性质参数方程是一种用参数表示的函数形式，它在数学和物理学等领域中具有广泛的应用。
计算参数方程的导数和积分以及研究其相关性质是学习参数方程的重要内容。
本文将为你介绍参数方程的练习题，并详细讨论如何计算参数方程的导数、积分以及相关性质。
1.导数的计算对于含有参数的函数，求导数时需要注意使用链式法则。
考虑以下参数方程：x = f(t)y = g(t)我们希望计算参数方程的导数(dx/dt, dy/dt)。
首先，分别对x和y求导，得到：dx/dt = f'(t)dy/dt = g'(t)这里f'(t)和g'(t)分别表示函数f(t)和g(t)的导数。
由此可见，计算参数方程的导数可以简化为计算每个分量函数的导数。
2.积分的计算对于参数方程的积分，可以将其视为对参数t的积分。
根据用参数表示的函数形式，我们可以得到：∫f(t) dt = ∫x dt∫g(t) dt = ∫y dt利用上述关系，我们可以计算参数方程的积分。
需要注意的是，计算积分时需要考虑上下限，并根据实际情况对参数范围进行限定。
3.相关性质的研究参数方程中的两个参数通常表示平面上的曲线或空间中的曲面。
我们常常关心参数方程的相关性质，如曲线的弧长、曲率、曲面的切线方向等。
a.曲线的弧长曲线的弧长表示曲线的长度，可以通过参数方程计算得到。
根据数学知识，曲线的弧长可以表示为积分的形式：L = ∫√(dx/dt)² + (dy/dt)² dt这里dx/dt和dy/dt分别表示参数方程x和y的导数。
通过上述公式，我们可以计算曲线的弧长。
b.曲率曲线的曲率表示曲线弯曲的程度。
对于参数方程，曲率可以表示为：κ = |(dx/dt)(d²y/dt²) - (dy/dt)(d²x/dt²)| / [(dx/dt)² + (dy/dt)²]^(3/2)其中，(d²x/dt²)和(d²y/dt²)分别表示参数方程x和y的二阶导数。
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参数方程练习题
1、曲线C：1cos1sinxy（为参数）的普通方程为（ ）
A.1)1()1(22yx B.1)1()1(22yx C.1)1()1(22yx D.1)1()1(22yx
2、若直线y=x-b与曲线sincos2yx（)2,0[）有两个不同的公共点，则实数b的取值范围为（ ）
A.)1,22( B.]22,22[ C.),22()22,( D.)22,22(
3、已知圆C：cos2sin23yx（为参数），点F为抛物线xy42的焦点，G为圆的圆心，|GF|=（ ）
A.6 B.4 C.2 D.0
4、参数方程2cossinyx（为参数）表示的曲线为（ ）
A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分
5、已知曲线C的参数方程是sin2cos2yax（为参数），曲线C不经过第二象限，则实数a的取值范
围是（ ）
A.a≥2 B.a>3 C.a≥1 D.a<0
6、参数方程sin1cosyx（为参数）化成普通方程为_______________
7、若直线tytx21（为参数Rt）与圆ayxsincos（20，为参数，a为常数且a>0）相切，
则a=________________
8、设直线参数方程为tytx23322（t为参数），则它的斜截式方程为________________
9、在平面直角坐标系xoy中，已知圆C：2sin51cos5yx（为参数）和直线l：2364tytx（t为参数），
则圆C的普通方程为________________；直线l与圆C的位置关系是_____________
10、参数方程sin33cos33yx（为参数）表示的图形上的点到直线y=x的最短距离为____________
11、在直角坐标系xoy中，已知曲线C的参数方程是1sincosyx（为参数），若以O为极点，x轴
的正半轴为极轴，则曲线C的极坐标方程可写成_________________________
12、已知直线1l：ktytx221（t为参数），2l：sysx21（s为参数），若1l∥2l，则k=________；若
1l⊥2
l
，则k=________
13、曲线的参数方程是ttyttx1122（t是参数且t0），它的普通方程是_______________
14、已知椭圆的参数方程是sin5cos4yx（R），则该椭圆的焦距为_________________
15、曲线1sincosyx（为参数）与曲线0cos22的直角坐标方程分别为____________和
__________________，两条曲线的交点个数为__________个。
16、已知曲线1C：sin22cos23yx（为参数），曲线2C：tytx4131（t为参数），则1C与2C的位置关
系为_________________
17、若P（2，-1）为曲线sin5cos51yx（)2,0[）的弦的中点，则该弦所在直线的倾斜角为
_____________
18、已知曲线的参数方程为1sin51cos5yx，则这曲线上的点到原点的距离的最小值为__________
19、若P是极坐标方程为)(3R的直线与参数方程为2cos1cos2yx（为参数且R）的曲线
的交点，则P点的直角坐标为_______________
20、（08年湖北）圆Csin42cos43yx（为参数）的圆心坐标为_____________，和圆C关于直线x-y=0
对称的圆O的普通方程是__________________
21、（08年福建）若直线3x+4y+m=0与曲线sin2cos1yx（为参数）没有公共点，则实数m的取值
范围是___________________
22、（11年天津）已知抛物线C的参数方程为tytx882（t为参数），若斜率为1的直线经过抛物线C
的焦点，且与圆)0()4(222rryx相切，则r=_____________
23、（09年天津）设直线1l的参数方程为tytx311（t为参数），直线2l的方程为y=3x+4，则1l与2l的
距离为__________________
24、（07年广东）在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为tytx33（参数Rt），圆C的参
数方程为2sin2cos2yx（参数]2,0[），则圆C的圆心坐标为__________，圆心到直线l的距离
___________________
25、已知两曲线参数方程分别为5cos(0)sinxy≤＜和25()4xttRyt，它们的交点坐标为
26、已知直线的参数方程为tytx231（t为参数），圆的极坐标方程为sin4cos2。
（1）求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；（2）求直线被圆截得的弦长。
27、过点P（-3,0）且倾斜角为30的直线和曲线ttyttx11（t为参数）相交于A、B两点，求线段AB
的长度。
28、已知直线L的极坐标方程为1)sin(cos，曲线C的参数方程为sincos2yx（为参数），（1）
求直线L的直角坐标方程；（2）设直线L与曲线C交于A、B两点，原点为O，求ΔABO的面积。
29、(11年江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆5cos3sinxy（为参数）的右焦点，且与直
线423xtyt（t为参数）平行的直线的普通方程．
30、(08江苏)在平面直角坐标系xOy中，点()Pxy，是椭圆2213xy上的一个动点，求Sxy的最
大值．